Các nhiệm vụ về tính chất và đồ thị của hàm số bậc hai, như thực tế cho thấy, gây ra khó khăn nghiêm trọng. Điều này khá lạ lùng, bởi vì hàm số bậc hai được học từ năm lớp 8, và sau đó cả quý đầu năm lớp 9 bị "tra tấn" bởi các tính chất của parabol và đồ thị của nó được xây dựng cho nhiều tham số khác nhau.

Điều này là do buộc học sinh phải xây dựng các parabol, họ thực tế không dành thời gian để "đọc" đồ thị, tức là họ không thực hành lĩnh hội thông tin nhận được từ hình ảnh. Rõ ràng, giả định rằng, sau khi xây dựng được hai chục đồ thị, bản thân một học sinh thông minh sẽ khám phá và hình thành mối quan hệ giữa các hệ số trong công thức và vẻ bề ngoài nghệ thuật đồ họa. Trong thực tế, điều này không hoạt động. Đối với một khái quát như vậy, kinh nghiệm nghiêm túc nghiên cứu nhỏ về toán học, mà hầu hết học sinh lớp 9, tất nhiên, không có. Trong khi đó, trong GIA họ đề xuất xác định các dấu hiệu của hệ số một cách chính xác theo lịch trình.

Chúng tôi sẽ không yêu cầu những điều không thể từ học sinh và chỉ đơn giản là đưa ra một trong những thuật toán để giải quyết những vấn đề như vậy.

Vì vậy, một hàm của biểu mẫu y = ax2 + bx + cđược gọi là bậc hai, đồ thị của nó là một parabol. Như tên cho thấy, thành phần chính là rìu 2. Đó là một không được bằng 0, các hệ số còn lại ( b và Với) có thể bằng không.

Hãy xem các dấu hiệu của hệ số của nó ảnh hưởng như thế nào đến sự xuất hiện của parabol.

Sự phụ thuộc đơn giản nhất cho hệ số một. Hầu hết học sinh tự tin trả lời: "nếu một> 0, thì các nhánh của parabol hướng lên trên, và nếu một < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой một > 0.

y = 0,5x2 - 3x + 1

TẠI trường hợp này một = 0,5

Và bây giờ cho một < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

Trong trường hợp này một = - 0,5

Ảnh hưởng của hệ số Với cũng đủ dễ dàng để làm theo. Hãy tưởng tượng rằng chúng ta muốn tìm giá trị của một hàm tại một điểm X= 0. Thay số 0 vào công thức:

y = một 0 2 + b 0 + c = c. Nó chỉ ra rằng y = c. Đó là Với là hoành độ của giao điểm của parabol với trục y. Theo quy luật, điểm này rất dễ tìm thấy trên đồ thị. Và xác định xem nó nằm trên 0 hay thấp hơn. Đó là Với> 0 hoặc Với < 0.

Với > 0:

y = x2 + 4x + 3

Với < 0

y = x 2 + 4x - 3

Theo đó, nếu Với= 0, thì parabol nhất thiết sẽ đi qua điểm gốc:

y = x2 + 4x

Khó hơn với tham số b. Điểm mà chúng ta sẽ tìm thấy nó không chỉ phụ thuộc vào b nhưng cũng từ một. Đây là đỉnh của parabol. Abscissa của nó (trục tọa độ X) được tìm thấy bởi công thức x trong \ u003d - b / (2a). Bằng cách này, b = - 2ax in. Đó là, chúng ta hành động như sau: trên biểu đồ, chúng ta tìm thấy đỉnh của parabol, xác định dấu của abscissa của nó, tức là, chúng ta nhìn sang bên phải của số 0 ( x trong> 0) hoặc bên trái ( x trong < 0) она лежит.

Tuy nhiên, đây không phải là tất cả. Chúng ta cũng phải chú ý đến dấu của hệ số một. Đó là, để xem các nhánh của parabol hướng đến đâu. Và chỉ sau đó, theo công thức b = - 2ax in xác định dấu hiệu b.

Hãy xem xét một ví dụ:

Các nhánh hướng lên trên một> 0, parabol cắt trục tại dưới 0 có nghĩa là Với < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x trong> 0. Vì vậy b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: một > 0, b < 0, Với < 0.

Các vật liệu có phương pháp dành cho mục đích tham khảo và bao gồm một loạt các chủ đề. Bài viết cung cấp một cái nhìn tổng quan về đồ thị của các hàm sơ cấp chính và nhận xét câu hỏi quan trọng nhất – cách xây dựng biểu đồ một cách chính xác và NHANH CHÓNG. Trong nghiên cứu toán học cao hơn không có kiến ​​thức về các biểu đồ cơ bản chức năng cơ bản nó sẽ khó, vì vậy điều rất quan trọng là phải nhớ các đồ thị của một parabol, hyperbol, sin, cosine, v.v. trông như thế nào, hãy nhớ một số giá trị của hàm số. Cũng thế chúng ta sẽ nói chuyện về một số thuộc tính của các hàm cơ bản.

Tôi không giả vờ nói về tính hoàn chỉnh và tính khoa học của các tài liệu, trước hết sẽ nhấn mạnh vào thực hành - những thứ mà người ta phải đối mặt với nghĩa đen ở mọi bước, trong bất kỳ chủ đề nào của toán học cao hơn. Biểu đồ cho hình nộm? Bạn có thể nói như vậy.

Theo nhu cầu phổ biến của độc giả mục lục có thể nhấp:

Ngoài ra, còn có một bài tóm tắt cực ngắn về chủ đề
- nắm vững 16 loại biểu đồ bằng cách nghiên cứu SIX trang!

Nghiêm túc mà nói, sáu, ngay cả bản thân tôi cũng ngạc nhiên. Bản tóm tắt này chứa đồ họa được cải thiện và có sẵn với một khoản phí nhỏ, có thể xem phiên bản demo. Nó là thuận tiện để in tệp để các đồ thị luôn ở trong tầm tay. Cảm ơn đã ủng hộ dự án!

Và chúng tôi bắt đầu ngay lập tức:

Làm thế nào để xây dựng các trục tọa độ một cách chính xác?

Trong thực tế, các bài kiểm tra hầu như luôn được học sinh vẽ vào vở riêng, xếp trong lồng. Tại sao bạn cần dấu ca rô? Rốt cuộc, công việc, về nguyên tắc, có thể được thực hiện trên tờ A4. Và lồng là cần thiết chỉ để thiết kế bản vẽ chất lượng cao và chính xác.

Bất kỳ bản vẽ nào của đồ thị hàm số đều bắt đầu với các trục tọa độ.

Bản vẽ là hai chiều và ba chiều.

Đầu tiên chúng ta hãy xem xét trường hợp hai chiều Descartes hệ thống hình chữ nhật tọa độ:

1) Chúng tôi vẽ trục tọa độ. Trục được gọi là trục x , và trục trục y . Chúng tôi luôn cố gắng vẽ chúng gọn gàng và không quanh co. Các mũi tên cũng không được giống bộ râu của Papa Carlo.

2) Chúng tôi ký hiệu các trục bằng chữ in hoa "x" và "y". Đừng quên ký tên vào các trục.

3) Đặt tỷ lệ dọc theo các trục: vẽ không và hai cái. Khi thực hiện một bản vẽ, tỷ lệ thuận tiện và phổ biến nhất là: 1 đơn vị = 2 ô (hình vẽ bên trái) - hãy bám vào nó nếu có thể. Tuy nhiên, thỉnh thoảng lại xảy ra trường hợp hình vẽ không vừa với trang vở - khi đó ta giảm tỉ lệ: 1 đơn vị = 1 ô (hình vẽ bên phải). Hiếm khi, nhưng nó sẽ xảy ra rằng tỷ lệ của bản vẽ phải được giảm (hoặc tăng lên) nhiều hơn

KHÔNG viết nguệch ngoạc từ súng máy ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Vì mặt phẳng tọa độ không phải là tượng đài của Descartes, và học sinh không phải là chim bồ câu. Chúng ta đặt số không và hai đơn vị dọc theo trục. Đôi khi thay vìđơn vị, rất thuận tiện để “phát hiện” các giá trị khác, ví dụ, “hai” trên trục abscissa và “ba” trên trục tọa độ - và hệ thống này (0, 2 và 3) cũng sẽ thiết lập duy nhất lưới tọa độ.

Tốt hơn là ước lượng các kích thước ước tính của bản vẽ TRƯỚC KHI bản vẽ được vẽ.. Vì vậy, ví dụ, nếu nhiệm vụ yêu cầu vẽ một hình tam giác với các đỉnh, thì rõ ràng là tỷ lệ phổ biến 1 đơn vị = 2 ô sẽ không hoạt động. Tại sao? Hãy xem xét vấn đề - ở đây bạn phải đo xuống mười lăm cm, và rõ ràng là hình vẽ sẽ không vừa (hoặc vừa vặn) trên một tờ vở. Do đó, chúng ta chọn ngay tỷ lệ nhỏ hơn 1 đơn vị = 1 ô.

Nhân tiện, khoảng cm và ô vở. Có đúng là có 15 cm trong 30 ô vở không? Dùng thước đo vào vở cho lãi 15 cm. Ở Liên Xô, có lẽ điều này là đúng ... Điều thú vị là nếu bạn đo những cm theo chiều ngang và chiều dọc như nhau, thì kết quả (tính theo ô) sẽ khác! Nói một cách chính xác, sổ tay hiện đại không phải là ca rô, mà là hình chữ nhật. Nó có vẻ như là vô nghĩa, nhưng việc vẽ, ví dụ, một hình tròn với compa trong những tình huống như vậy là rất bất tiện. Thành thật mà nói, vào những thời điểm như vậy, bạn bắt đầu nghĩ về sự đúng đắn của đồng chí Stalin, người đã bị đưa vào trại vì công việc hack trong sản xuất, chưa kể đến ngành công nghiệp ô tô trong nước, máy bay rơi hay nhà máy điện phát nổ.

Nói về chất lượng, hoặc giới thiệu ngắn gọn về văn phòng phẩm. Cho đến nay, hầu hết các sổ tay được bày bán, nếu không nói xấu, đều là yêu tinh. Vì lý do là chúng bị ướt, và không chỉ từ bút gel, mà còn từ bút bi! Tiết kiệm trên giấy. Để giải phóng mặt bằng công việc kiểm soát Tôi khuyên bạn nên sử dụng sổ tay của Arkhangelsk Pulp and Paper Mill (18 tờ, lồng) hoặc Pyaterochka, mặc dù nó đắt hơn. Nên chọn loại bút gel, ngay cả loại bút gel rẻ nhất của Trung Quốc cũng tốt hơn rất nhiều so với bút bi, loại bút bị lem hoặc rách giấy. Cây bút bi "cạnh tranh" duy nhất trong trí nhớ của tôi là Erich Krause. Cô ấy viết rõ ràng, đẹp và ổn định - với một gốc đầy đủ hoặc với một phần gần như trống.

Ngoài ra: tầm nhìn của hệ tọa độ hình chữ nhật qua con mắt của hình học giải tích được đề cập trong bài viết Sự phụ thuộc tuyến tính (không) của vectơ. Cơ sở vectơ, thông tin chi tiết Về phối hợp khu có thể được tìm thấy trong đoạn thứ hai của bài học Bất bình đẳng tuyến tính.

Trường hợp 3D

Ở đây cũng gần như vậy.

1) Ta vẽ các trục tọa độ. Tiêu chuẩn: trục ứng dụng - hướng lên trên, trục - hướng sang phải, trục - hướng xuống bên trái nghiêm ngặtở góc 45 độ.

2) Chúng tôi ký các trục.

3) Đặt tỷ lệ dọc theo các trục. Tỷ lệ dọc theo trục - nhỏ hơn hai lần so với tỷ lệ dọc theo các trục khác. Cũng lưu ý rằng trong bản vẽ bên phải, tôi đã sử dụng "serif" không chuẩn dọc theo trục (khả năng này đã được đề cập ở trên). Theo quan điểm của tôi, nó chính xác hơn, nhanh hơn và đẹp hơn về mặt thẩm mỹ - bạn không cần phải tìm giữa ô dưới kính hiển vi và "điêu khắc" đơn vị đó cho đúng với điểm gốc.

Khi thực hiện lại bản vẽ 3D - hãy ưu tiên tỷ lệ
1 đơn vị = 2 ô (hình vẽ bên trái).

Tất cả những quy tắc này để làm gì? Các quy tắc có thể bị phá vỡ. Tôi phải làm gì bây giờ. Thực tế là các bản vẽ tiếp theo của bài viết sẽ được tôi thực hiện trong Excel, và các trục tọa độ sẽ trông không chính xác về mặt thiết kế phù hợp. Tôi có thể vẽ tất cả các biểu đồ bằng tay, nhưng thực sự đáng sợ khi vẽ chúng, vì Excel không muốn vẽ chúng chính xác hơn nhiều.

Đồ thị và tính chất cơ bản của hàm sơ cấp

Hàm tuyến tínhđược cho bởi phương trình. Đồ thị hàm số tuyến tính là thẳng thắn. Để dựng một đường thẳng, chỉ cần biết hai điểm là đủ.

ví dụ 1

Vẽ sơ đồ chức năng. Chúng ta hãy tìm hai điểm. Sẽ có lợi khi chọn số 0 là một trong những điểm.

Nếu, thì

Chúng tôi lấy một số điểm khác, ví dụ, 1.

Nếu, thì

Khi chuẩn bị nhiệm vụ, tọa độ của các điểm thường được tóm tắt trong một bảng:

Và bản thân các giá trị được tính toán bằng miệng hoặc trên bản nháp, máy tính.

Hai điểm được tìm thấy, hãy rút ra:

Khi lên bản vẽ, chúng tôi luôn ký tên vào đồ họa.

Sẽ không thừa khi nhớ lại các trường hợp đặc biệt của một hàm tuyến tính:

Lưu ý cách tôi đặt chú thích, chữ ký không được mơ hồ khi nghiên cứu bản vẽ. Trong trường hợp này, rất không mong muốn đặt một chữ ký bên cạnh điểm giao nhau của các đường hoặc ở dưới cùng bên phải giữa các biểu đồ.

1) Một hàm tuyến tính có dạng () được gọi là tỷ lệ thuận. Ví dụ, . Đồ thị tỉ lệ thuận luôn đi qua gốc tọa độ. Do đó, việc xây dựng một đường thẳng được đơn giản hóa - chỉ cần tìm một điểm là đủ.

2) Một phương trình có dạng xác định một đường thẳng song song với trục, cụ thể là trục chính được cho bởi phương trình. Đồ thị của hàm số được dựng ngay, không cần tìm điểm nào. Có nghĩa là, mục nhập phải được hiểu như sau: "y luôn bằng -4, với bất kỳ giá trị nào của x."

3) Một phương trình có dạng xác định một đường thẳng song song với trục, cụ thể là trục chính được cho bởi phương trình. Đồ thị của hàm số cũng được xây dựng ngay lập tức. Mục nhập phải được hiểu như sau: "x luôn luôn, với bất kỳ giá trị nào của y, bằng 1."

Một số người sẽ hỏi, tại sao lại nhớ năm lớp 6 ?! Đó là như vậy, có lẽ là vậy, chỉ trong những năm thực hành, tôi đã gặp một tá học sinh giỏi bị bối rối bởi nhiệm vụ xây dựng một đồ thị như hoặc.

Vẽ một đường thẳng là hành động phổ biến nhất khi thực hiện bản vẽ.

Đường thẳng được đề cập chi tiết trong giáo trình hình học giải tích, các em có nhu cầu có thể tham khảo bài viết Phương trình của một đường thẳng trên một mặt phẳng.

Đồ thị hàm số bậc hai, đồ thị hàm số bậc ba, đồ thị đa thức

Hình parabol. Đồ thị của một hàm số bậc hai () là một parabol. Xem xét trường hợp nổi tiếng:

Hãy nhớ lại một số thuộc tính của hàm.

Vì vậy, lời giải cho phương trình của chúng ta: - tại điểm này là đỉnh của parabol. Tại sao lại như vậy ta có thể rút ra bài học lý thuyết về đạo hàm và bài về cực trị của hàm số. Trong thời gian chờ đợi, chúng tôi tính toán giá trị tương ứng của "y":

Vì vậy, đỉnh là điểm

Bây giờ chúng ta tìm các điểm khác, trong khi sử dụng một cách trơ trẽn tính đối xứng của parabol. Cần lưu ý rằng hàm – thậm chí còn không, nhưng, tuy nhiên, không ai hủy bỏ tính đối xứng của parabol.

Còn lại để tìm những điểm còn lại thì mình nghĩ qua bảng cuối sẽ rõ:

Thuật toán này xây dựng có thể được gọi một cách hình tượng là “con thoi” hoặc nguyên tắc “có đi có lại” với Anfisa Chekhova.

Hãy vẽ một bức tranh:

Từ các biểu đồ được xem xét, một tính năng hữu ích khác xuất hiện trong tâm trí:

Đối với một hàm bậc hai () điều sau là đúng:

Nếu, thì các nhánh của parabol hướng lên trên.

Nếu, thì các nhánh của parabol hướng xuống dưới.

Các kiến ​​thức chuyên sâu về đường cong có thể tham khảo trong bài học Hyperbol và parabol.

Parabol bậc ba được cho bởi hàm. Đây là một bức vẽ quen thuộc từ thời đi học:

Chúng tôi liệt kê các thuộc tính chính của hàm

Đồ thị hàm số

Nó đại diện cho một trong những nhánh của parabol. Hãy vẽ một bức tranh:

Các tính chất cơ bản Tính năng, đặc điểm :

Trong trường hợp này, trục là tiệm cận đứng cho đồ thị hyperbol tại.

Sẽ là Sai lầm XẤU Nếu do sơ suất, khi vẽ ta để đồ thị cắt với đường tiệm cận.

Ngoài ra các giới hạn một phía, hãy cho chúng tôi biết rằng một cường điệu không giới hạn từ phía trên và không giới hạn từ bên dưới.

Hãy khám phá chức năng ở vô cực: nghĩa là, nếu chúng ta bắt đầu di chuyển dọc theo trục sang trái (hoặc phải) đến vô cùng, thì “trò chơi” sẽ là một bước dài gần vô hạn tiếp cận số không, và theo đó, các nhánh của hyperbola gần vô hạn tiếp cận trục.

Vì vậy, trục là tiệm cận ngang đối với đồ thị của hàm, nếu "x" có xu hướng cộng hoặc trừ vô cùng.

Chức năng là số lẻ, có nghĩa là hyperbol đối xứng với điểm gốc. Sự thật này là điều hiển nhiên từ bản vẽ, hơn nữa, nó có thể dễ dàng xác minh bằng phân tích: .

Đồ thị của một hàm có dạng () biểu diễn hai nhánh của một hyperbol.

Nếu thì hyperbola nằm ở góc tọa độ thứ nhất và thứ ba(xem hình trên).

Nếu, thì hyperbola nằm ở góc tọa độ thứ hai và thứ tư.

Không khó để phân tích tính đều đặn xác định của nơi cư trú của hyperbol theo quan điểm của các phép biến đổi hình học của đồ thị.

Ví dụ 3

Tạo nhánh bên phải của hyperbol

Chúng tôi sử dụng phương pháp xây dựng theo chiều điểm, trong khi thuận tiện là chọn các giá trị sao cho chúng phân chia hoàn toàn:

Hãy vẽ một bức tranh:

Sẽ không khó để xây dựng nhánh bên trái của hyperbol, ở đây tính chất kỳ lạ của hàm sẽ giúp ích cho bạn. Nói một cách đơn giản, trong bảng cấu tạo theo chiều kim loại, hãy tính nhẩm thêm một số trừ cho mỗi số, đặt các dấu chấm tương ứng và vẽ nhánh thứ hai.

Thông tin hình học chi tiết về đường được xem xét có thể được tìm thấy trong bài viết Hyperbol và parabol.

Đồ thị của một hàm số mũ

Trong đoạn này, tôi sẽ ngay lập tức xem xét hàm mũ, vì trong các bài toán của toán học cao hơn, 95% trường hợp là số mũ xảy ra.

Tôi nhắc bạn rằng đây là số vô tỉ:, điều này sẽ được yêu cầu khi xây dựng một biểu đồ, trong thực tế, tôi sẽ xây dựng mà không cần nghi lễ. Ba điểm có lẽ đủ:

Bây giờ chúng ta hãy để riêng phần đồ thị của hàm số, sẽ nói về nó sau.

Các thuộc tính chính của hàm:

Về cơ bản, đồ thị của các hàm trông giống nhau, v.v.

Tôi phải nói rằng trường hợp thứ hai ít phổ biến hơn trong thực tế, nhưng nó vẫn xảy ra, vì vậy tôi cảm thấy cần phải đưa nó vào bài viết này.

Đồ thị của một hàm số lôgarit

Xem xét một chức năng với lôgarit tự nhiên.
Hãy vẽ một đường thẳng:

Nếu bạn quên logarit là gì, hãy tham khảo sách giáo khoa của trường.

Các thuộc tính chính của hàm:

Miền:

Phạm vi giá trị:.

Chức năng không bị giới hạn ở trên: , mặc dù chậm, nhưng nhánh của logarit đi lên đến vô cùng.
Hãy để chúng tôi kiểm tra hoạt động của hàm gần 0 ở bên phải: . Vì vậy, trục là tiệm cận đứng cho đồ thị của hàm với "x" có xu hướng bằng 0 ở bên phải.

Đảm bảo biết và nhớ giá trị điển hình của lôgarit: .

Về cơ bản, đồ thị của logarit ở cơ số trông giống nhau:,, ( lôgarit thập phân trong cơ sở 10), v.v. Đồng thời, cơ sở càng lớn thì biểu đồ càng phẳng.

Chúng tôi sẽ không xem xét trường hợp này, điều mà tôi không nhớ lần cuối cùng tôi xây dựng một biểu đồ với cơ sở như vậy là khi nào. Vâng, và lôgarit dường như là một khách mời rất hiếm trong các bài toán của toán học cao hơn.

Trong phần kết của đoạn văn, tôi sẽ nói thêm một sự thật: Hàm mũ và hàm logarit là hai người lẫn nhau chức năng nghịch đảo . Nếu bạn nhìn kỹ vào đồ thị của lôgarit, bạn có thể thấy rằng đây là cùng một số mũ, chỉ là nó có vị trí hơi khác một chút.

Đồ thị của các hàm lượng giác

Sự dày vò về lượng giác bắt đầu ở trường như thế nào? Một cách chính xác. Từ ô sin

Hãy vẽ hàm

Dòng này được gọi là hình sin.

Tôi nhắc bạn rằng “pi” là một số vô tỉ :, và trong lượng giác nó làm chói mắt.

Các thuộc tính chính của hàm:

Chức năng này Là định kỳ với một khoảng thời gian. Nó có nghĩa là gì? Hãy nhìn vào vết cắt. Ở bên trái và bên phải của nó, chính xác cùng một phần của biểu đồ lặp lại không ngừng.

Miền:, nghĩa là, với bất kỳ giá trị nào của "x" đều có giá trị sin.

Phạm vi giá trị:. Chức năng là giới hạn:, tức là, tất cả các "trò chơi" đều nằm trong phân khúc.
Điều này không xảy ra: hay chính xác hơn là nó xảy ra, nhưng cho biết phương trình không có một giải pháp.

Làm thế nào để xây dựng một parabol? Có một số cách để vẽ đồ thị của một hàm số bậc hai. Mỗi người trong số họ có ưu và nhược điểm của nó. Hãy xem xét hai cách.

Hãy bắt đầu bằng cách vẽ một hàm bậc hai như y = x² + bx + c và y = -x² + bx + c.

Thí dụ.

Vẽ đồ thị của hàm số y = x² + 2x-3.

Dung dịch:

y = x² + 2x-3 là hàm số bậc hai. Biểu đồ là một parabol có các nhánh lên trên. Tọa độ đỉnh parabol

Từ đỉnh (-1; -4) ta dựng được đồ thị của parabol y = x² (từ gốc tọa độ. Thay vào (0; 0) - đỉnh (-1; -4). Từ (-1; - 4) chúng ta sang phải 1 đơn vị và lên 1, sau đó sang trái 1 và lên 1, sau đó: 2 - phải, 4 - lên, 2 - trái, 4 - lên, 3 - phải, 9 - lên, 3 - trái, 9 - lên. 7 điểm này là không đủ, sau đó - 4 sang phải, 16 - lên, v.v.).

Đồ thị của hàm số bậc hai y = -x² + bx + c là một parabol có các nhánh hướng xuống dưới. Để xây dựng một đồ thị, chúng tôi đang tìm tọa độ của đỉnh và từ đó chúng tôi xây dựng một parabol y = -x².

Thí dụ.

Vẽ đồ thị của hàm số y = -x² + 2x + 8.

Dung dịch:

y = -x² + 2x + 8 là hàm số bậc hai. Biểu đồ là một parabol với các nhánh hướng xuống. Tọa độ đỉnh parabol

Từ trên cùng, chúng ta xây dựng một parabol y = -x² (1 - phải, 1 - xuống; 1 - trái, 1 - xuống; 2 - phải, 4 - xuống; 2 - trái, 4 - xuống, v.v.):

Phương pháp này cho phép bạn xây dựng một parabol một cách nhanh chóng và không gây khó khăn nếu bạn biết cách vẽ đồ thị của các hàm y = x² và y = -x². Bất lợi: nếu tọa độ đỉnh là số phân số, mưu sự không được thuận lợi cho lắm. Nếu bạn muốn biết giá trị chính xác của các giao điểm của biểu đồ với trục x, bạn sẽ phải giải thêm phương trình x² + bx + c = 0 (hoặc -x² + bx + c = 0), ngay cả khi những điểm này có thể được xác định trực tiếp từ hình vẽ.

Một cách khác để xây dựng một parabol là theo các điểm, nghĩa là bạn có thể tìm thấy một số điểm trên đồ thị và vẽ một parabol qua chúng (lưu ý rằng đường thẳng x = xₒ là trục đối xứng của nó). Thông thường, đối với điều này, họ lấy đỉnh của parabol, các giao điểm của biểu đồ với các trục tọa độ và 1-2 điểm bổ sung.

Vẽ đồ thị của hàm số y = x² + 5x + 4.

Dung dịch:

y = x² + 5x + 4 là hàm số bậc hai. Biểu đồ là một parabol có các nhánh lên trên. Tọa độ đỉnh parabol

nghĩa là đỉnh của parabol là điểm (-2,5; -2,25).

Đang tìm . Tại giao điểm với trục Ox y = 0: x² + 5x + 4 = 0. Rễ phương trình bậc hai x1 = -1, x2 = -4, tức là ta có hai điểm trên đồ thị (-1; 0) và (-4; 0).

Tại giao điểm của đồ thị với trục Oy x = 0: y = 0² + 5 ∙ 0 + 4 = 4. Được một điểm (0; 4).

Để tinh chỉnh biểu đồ, bạn có thể tìm thêm một điểm. Hãy lấy x = 1, khi đó y = 1² + 5 ∙ 1 + 4 = 10, nghĩa là, một điểm nữa của đồ thị - (1; 10). Đánh dấu những điểm này vào mặt phẳng tọa độ. Tính đến tính đối xứng của parabol đối với đường thẳng đi qua đỉnh của nó, chúng ta đánh dấu thêm hai điểm: (-5; 6) và (-6; 10) và vẽ một parabol qua chúng:

Vẽ đồ thị của hàm số y = -x²-3x.

Dung dịch:

y = -x²-3x là hàm số bậc hai. Biểu đồ là một parabol có các nhánh hướng xuống. Tọa độ đỉnh parabol

Đỉnh (-1,5; 2,25) là điểm đầu tiên của parabol.

Tại các giao điểm của đồ thị với trục x y = 0, ta giải phương trình -x²-3x = 0. Các gốc của nó là x = 0 và x = -3, nghĩa là (0; 0) và (-3; 0) là hai điểm nữa trên đồ thị. Điểm (o; 0) cũng là giao điểm của parabol với trục y.

Tại x = 1 y = -1²-3 ∙ 1 = -4, tức là (1; -4) là một điểm bổ sung để vẽ biểu đồ.

Xây dựng một đường parabol từ các điểm là một phương pháp tốn nhiều thời gian hơn so với phương pháp đầu tiên. Nếu parabol không cắt trục Ox thì cần thêm nhiều điểm khác.

Trước khi tiếp tục vẽ các hàm số bậc hai có dạng y = ax² + bx + c, hãy xem xét việc vẽ các hàm bằng cách sử dụng phép biến đổi hình học. Đồ thị của các hàm có dạng y = x² + c cũng thuận tiện nhất để xây dựng bằng cách sử dụng một trong các phép biến đổi này - phép tịnh tiến song song.

Phiếu tự đánh giá: |