Bài viết này là câu trả lời cho hai câu hỏi: "Là gì" và "Cách tìm tọa độ của hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng”? Đầu tiên, thông tin cần thiết về phép chiếu và các loại của nó được đưa ra. Tiếp theo, định nghĩa hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng được đưa ra và đưa ra hình ảnh minh họa. Sau đó, một phương pháp thu được để tìm tọa độ của hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng. Tóm lại, giải pháp của các ví dụ được phân tích, trong đó tọa độ của hình chiếu của một điểm đã cho lên một mặt phẳng nhất định được tính toán.

Điều hướng trang.

Phép chiếu, các loại phép chiếu - thông tin cần thiết.

Khi nghiên cứu các hình không gian, việc sử dụng hình ảnh của chúng trong bài vẽ sẽ rất thuận tiện. Bản vẽ của một hình không gian được gọi là hình chiếu hình này với máy bay. Quá trình dựng hình của một hình không gian trên mặt phẳng xảy ra theo những quy luật nhất định. Vì vậy, quá trình xây dựng một hình ảnh của một hình không gian trên một mặt phẳng, cùng với một tập hợp các quy tắc mà quá trình này được thực hiện, được gọi là hình chiếu số liệu trên máy bay này. Mặt phẳng mà hình ảnh được xây dựng được gọi là mặt phẳng chiếu.

Tùy thuộc vào các quy tắc mà phép chiếu được thực hiện, có Trung tâm và phép chiếu song song. Chúng tôi sẽ không đi vào chi tiết, vì điều này nằm ngoài phạm vi của bài viết này.

Trong hình học, một trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song được sử dụng chủ yếu: phép chiếu vuông góc, còn được gọi là trực giao. Trong tên gọi của loại hình chiếu này, tính từ "vuông góc" thường bị lược bỏ. Có nghĩa là, khi trong hình học, họ nói về hình chiếu của một hình lên một mặt phẳng, họ thường có nghĩa là hình chiếu này thu được bằng cách sử dụng phép chiếu vuông góc (tất nhiên là trừ khi có quy định khác).

Cần lưu ý rằng hình chiếu của một hình lên mặt phẳng là tập hợp các hình chiếu của tất cả các điểm của hình này lên mặt phẳng hình chiếu. Nói cách khác, để có được hình chiếu của một hình nào đó, cần phải tìm được hình chiếu của các điểm của hình này lên mặt phẳng. Đoạn tiếp theo của bài viết chỉ hướng dẫn cách tìm hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng.

Phép chiếu của một điểm lên mặt phẳng - định nghĩa và hình minh họa.

Chúng tôi nhấn mạnh một lần nữa rằng chúng ta sẽ nói về hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng.

Hãy tạo các cấu trúc sẽ giúp chúng ta xác định hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng.

Trong không gian ba chiều, chúng ta có một điểm M 1 và một mặt phẳng. Hãy vẽ đường thẳng a đi qua điểm M 1, vuông góc với mặt phẳng. Nếu điểm M 1 không nằm trong mặt phẳng thì ta kí hiệu giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng là H 1. Như vậy, theo cách dựng, điểm H 1 là đáy của đường vuông góc hạ từ điểm M 1 xuống mặt phẳng.

Sự định nghĩa.

Phép chiếu điểm M 1 lên mặt phẳng là chính điểm M 1, nếu, hoặc điểm H 1, nếu.

Định nghĩa sau đây tương đương với định nghĩa này về hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng.

Sự định nghĩa.

Phép chiếu của một điểm lên mặt phẳng- Đây là chính nó, nếu nó nằm trong một mặt phẳng nhất định, hoặc là cơ sở của vuông góc thả từ điểm này xuống một mặt phẳng nhất định.

Trong hình vẽ bên, điểm H 1 là hình chiếu của điểm M 1 lên mặt phẳng; điểm M 2 nằm trong mặt phẳng nên M 2 là hình chiếu của chính điểm M 2 lên mặt phẳng.

Tìm tọa độ hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng - giải ví dụ.

Cho phép Oxyz được giới thiệu trong không gian ba chiều, một điểm và máy bay. Hãy đặt cho mình nhiệm vụ: xác định tọa độ hình chiếu của điểm M 1 lên mặt phẳng.

Lời giải của bài toán theo logic từ định nghĩa hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng.

Kí hiệu hình chiếu của điểm M 1 lên mặt phẳng là H 1. Theo định nghĩa, hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng, H 1 là giao điểm của mặt phẳng đã cho và đường thẳng a đi qua điểm M 1 vuông góc với mặt phẳng. Như vậy, tọa độ mong muốn của hình chiếu điểm M 1 lên mặt phẳng là tọa độ giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng.

Vì thế, để tìm tọa độ hình chiếu của một điểm trên máy bay bạn cần:

Hãy xem xét các ví dụ.

Ví dụ.

Tìm tọa độ hình chiếu của một điểm đến máy bay .

Quyết định.

Trong điều kiện của bài toán, ta được một phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng , vì vậy nó không cần phải được biên dịch.

Hãy viết phương trình chính tắc của đường thẳng a đi qua điểm M 1 vuông góc với mặt phẳng đã cho. Để làm điều này, chúng ta có được tọa độ của vectơ chỉ đạo của đường thẳng a. Vì đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng đã cho nên vectơ chỉ phương của đường thẳng a là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . I E, - vectơ chỉ phương của đường thẳng a. Bây giờ chúng ta có thể viết phương trình chính tắc của một đường thẳng trong không gian đi qua điểm và có một vectơ hướng :
.

Để có được tọa độ cần thiết của hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng, cần phải xác định tọa độ của giao điểm của đoạn thẳng và máy bay . Để làm được điều này, từ phương trình chính tắc của đường thẳng, ta chuyển sang phương trình của hai mặt phẳng cắt nhau, ta lập hệ phương trình và tìm ra giải pháp của nó. Chúng tôi sử dụng:

Vậy hình chiếu của điểm đến máy bay có tọa độ.

Trả lời:

Ví dụ.

Trong một hệ tọa độ hình chữ nhật Oxyz trong không gian ba chiều, các điểm và . Xác định tọa độ hình chiếu của điểm M 1 lên mặt phẳng ABC.

Quyết định.

Trước hết, chúng ta hãy viết phương trình của một mặt phẳng đi qua ba điểm cho trước:

Nhưng chúng ta hãy xem xét một cách tiếp cận thay thế.

Hãy lập phương trình tham số của đường thẳng a đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng ABC. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng có tọa độ, do đó, vectơ là vectơ chỉ phương của đường thẳng a. Bây giờ chúng ta có thể viết phương trình tham số của một đường thẳng trong không gian, vì chúng ta biết tọa độ của một điểm trên một đường thẳng ( ) và tọa độ của vectơ chỉ phương của nó ( ):

Nó vẫn là để xác định tọa độ của giao điểm của đường thẳng và máy bay. Để làm điều này, chúng tôi thay thế vào phương trình của mặt phẳng:
.

Bây giờ bằng phương trình tham số tính giá trị của các biến x, y và z tại:
.

Như vậy, hình chiếu của điểm M 1 lên mặt phẳng ABC có tọa độ.

Trả lời:

Kết luận, hãy thảo luận về việc tìm tọa độ hình chiếu của một điểm nào đó trên mặt phẳng tọa độ và mặt phẳng song song với mặt phẳng tọa độ.

dự báo điểm với các mặt phẳng tọa độ Oxy, Oxz và Oyz là những điểm có tọa độ và tương ứng. Và các dự báo của điểm trên máy bay và Song song với các mặt phẳng tọa độ Oxy, Oxz và Oyz lần lượt là các điểm có tọa độ và .

Hãy để chúng tôi cho thấy những kết quả này đã thu được như thế nào.

Ví dụ, hãy tìm hình chiếu của một điểm lên máy bay (các trường hợp khác tương tự như vậy).

Mặt phẳng này song song với mặt phẳng tọa độ Oyz và là vectơ pháp tuyến của nó. Vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Oyz. Khi đó phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M 1 vuông góc với mặt phẳng đã cho có dạng.

Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. Để làm điều này, trước tiên chúng ta thay thế vào phương trình đẳng thức: và hình chiếu của điểm

Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Toán học cao hơn. Tập một: Các yếu tố của Đại số tuyến tính và Hình học Giải tích.

Ilyin V.A., Poznyak E.G. Hình học giải tích.

Một điểm, như một khái niệm toán học, không có thứ nguyên. Rõ ràng, nếu đối tượng hình chiếu là một vật thể không chiều, thì việc nói về hình chiếu của nó là vô nghĩa.

Hình 9 Hình 10

Trong hình học dưới một điểm, nên lấy một đối tượng vật lý có kích thước tuyến tính. Thông thường, một quả bóng có bán kính nhỏ vô hạn có thể được coi là một điểm. Với cách giải thích khái niệm điểm này, chúng ta có thể nói về các phép chiếu của nó.

Khi xây dựng các phép chiếu trực giao của một điểm, người ta phải được hướng dẫn bởi tính chất bất biến đầu tiên của phép chiếu trực giao: hình chiếu trực giao của một điểm là một điểm.

Vị trí của một điểm trong không gian được xác định bởi ba tọa độ: XYZ, hiển thị khoảng cách tại đó điểm bị xóa khỏi mặt phẳng chiếu. Để xác định các khoảng cách này, chỉ cần xác định điểm gặp nhau của các đường thẳng này với mặt phẳng chiếu là đủ và đo các giá trị tương ứng, các giá trị này sẽ chỉ ra các giá trị của abscissa tương ứng. X, sắc lệnh Y và đồ trang trí Zđiểm (Hình 10).

Hình chiếu của một điểm là đáy của vuông góc thả từ điểm xuống mặt phẳng hình chiếu tương ứng. Chiếu ngangđiểm một gọi hình chiếu chữ nhật của một điểm trên mặt phẳng nằm ngang của các hình chiếu, hình chiếu trực diện a /- tương ứng trên mặt phẳng chính diện của các phép chiếu và hồ sơ a // - trên mặt phẳng chiếu biên dạng.

Trực tiếp Aa, Aa / và Aa //được gọi là các đường chiếu. Đồng thời, chỉ đạo Ah,điểm chiếu NHƯNG trên mặt phẳng nằm ngang của các phép chiếu, được gọi là đường chiếu theo chiều ngang, Аa / và Aa //- tương ứng: phía trước và biên dạng-hình chiếu các đường thẳng.

Hai đường chiếu đi qua một điểm NHƯNG xác định mặt phẳng, được gọi là phóng chiếu.

Khi chuyển đổi bố cục không gian, hình chiếu trực diện của điểm A - a / vẫn giữ nguyên vị trí như thuộc một mặt phẳng không thay đổi vị trí của nó dưới phép biến hình đã xét. Hình chiếu ngang - một cùng với mặt phẳng chiếu nằm ngang sẽ quay theo chiều chuyển động của kim đồng hồ và sẽ nằm trên một góc vuông góc với trục X với hình chiếu phía trước. Chiếu hồ sơ - một // sẽ quay cùng với mặt phẳng biên dạng và khi kết thúc phép biến đổi sẽ đến vị trí được chỉ ra trong Hình 10. Đồng thời - một // sẽ vuông góc với trục Z rút ra từ điểm một / và sẽ bị xóa khỏi trục Z cùng khoảng cách với hình chiếu ngang một xa trục X. Do đó, kết nối giữa các hình chiếu ngang và hình chiếu của một điểm có thể được thiết lập bằng cách sử dụng hai đoạn trực giao aa y và a y a // và một cung liên hợp của một đường tròn có tâm tại giao điểm của các trục ( O- nguồn gốc). Kết nối được đánh dấu được sử dụng để tìm hình chiếu bị thiếu (cho hai hình chiếu đã cho). Vị trí của hình chiếu (nằm ngang) theo phương ngang (hình chiếu) và hình chiếu trực diện đã cho có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng một đường thẳng được vẽ ở góc 45 0 từ gốc đến trục Y(đường phân giác này được gọi là đường thẳng) k là hằng số Monge). Phương pháp đầu tiên trong số những phương pháp này là thích hợp hơn, vì nó chính xác hơn.

Vì vậy:

1. Đã xóa điểm trong khoảng trắng:

từ mặt phẳng nằm ngang H Z,

từ mặt phẳng chính diện V bằng giá trị của tọa độ đã cho Y,

từ mặt phẳng hồ sơ W bằng giá trị của tọa độ. x.

2. Hai hình chiếu của một điểm bất kỳ thuộc cùng một vuông góc (một đường nối):

ngang và chính diện - vuông góc với trục x,

ngang và biên dạng - vuông góc với trục Y,

mặt trước và mặt cắt - vuông góc với trục Z.

3. Vị trí của một điểm trong không gian hoàn toàn được xác định bởi vị trí của hai hình chiếu trực giao của nó. Vì vậy - từ bất kỳ hai hình chiếu trực giao đã cho của một điểm, luôn có thể dựng hình chiếu thứ ba bị thiếu của nó.

Nếu một điểm có ba tọa độ xác định, thì điểm đó được gọi là điểm ở vị trí chung. Nếu một điểm có một hoặc hai tọa độ bằng 0, thì điểm đó được gọi là điểm vị trí riêng.

Cơm. 11 Hình. 12

Hình 11 cho thấy một bản vẽ không gian của các điểm có vị trí cụ thể, Hình 12 cho thấy một bản vẽ phức tạp (sơ đồ) của các điểm này. Chấm NHƯNG thuộc mặt phẳng chiếu chính diện, điểm TẠI- mặt phẳng nằm ngang của hình chiếu, điểm Với- mặt phẳng biên dạng của các hình chiếu và điểm D- trục abscissa ( X).

Dòng phụ trợ của multidrawing

Trong bản vẽ được hiển thị trong hình. 4,7, một, các trục chiếu được vẽ, và các hình ảnh được kết nối với nhau bằng các đường truyền thông. Hình chiếu ngang và hình chiếu mặt cắt được kết nối với nhau bằng các đường liên lạc sử dụng các vòng cung tập trung tại một điểm O các nút giao thông trục. Tuy nhiên, trong thực tế, một cách triển khai khác của bản vẽ tích hợp cũng được sử dụng.

Trên bản vẽ không trục, các hình cũng được đặt trong quan hệ hình chiếu. Tuy nhiên, hình chiếu thứ ba có thể được đặt gần hơn hoặc xa hơn. Ví dụ, một hình chiếu biên dạng có thể được đặt ở bên phải (Hình 4.7, b, II) hoặc bên trái (Hình 4.7, b, tôi). Điều này rất quan trọng để tiết kiệm không gian và dễ định cỡ.

Cơm. 4.7.

Nếu trong một bản vẽ được thực hiện theo một hệ không trục, yêu cầu vẽ các đường giao tiếp giữa hình chiếu trên và hình chiếu bên trái, thì một đường thẳng bổ trợ của bản vẽ phức hợp được sử dụng. Để thực hiện việc này, xấp xỉ ở mức của chế độ xem trên cùng và hơi chếch về bên phải của nó, một đường thẳng được vẽ ở một góc 45 ° so với khung bản vẽ (Hình 4.8, một). Nó được gọi là đường phụ của bản vẽ phức tạp. Quy trình xây dựng một bản vẽ bằng cách sử dụng đường thẳng này được trình bày trong hình. 4,8, b, c.

Nếu ba hình chiếu đã được xây dựng (Hình 4.8, d), thì vị trí của đường phụ không thể được chọn một cách tùy tiện. Đầu tiên bạn cần tìm điểm mà nó sẽ đi qua. Để làm điều này, chỉ cần tiếp tục cho đến khi giao nhau của trục đối xứng của hình chiếu ngang và hình chiếu mặt cắt và qua điểm kết quả k vẽ một đoạn thẳng ở góc 45 ° (Hình 4.8, d). Nếu không có trục đối xứng thì tiếp tục cho đến khi giao điểm tại k 1 hình chiếu ngang và hình chiếu mặt cắt của bất kỳ mặt nào được chiếu dưới dạng đường thẳng (Hình 4.8, d).

Cơm. 4.8.

Nhu cầu vẽ các đường giao tiếp, và do đó, một đường thẳng phụ phát sinh khi xây dựng các hình chiếu bị thiếu và khi thực hiện các bản vẽ cần xác định hình chiếu của các điểm để làm rõ hình chiếu của các phần tử riêng lẻ của bộ phận.

Các ví dụ về việc sử dụng đường phụ được đưa ra trong đoạn tiếp theo.

Hình chiếu của một điểm nằm trên bề mặt của một vật thể

Để xây dựng chính xác các hình chiếu của các phần tử riêng lẻ của một bộ phận khi lập bản vẽ, cần phải có khả năng tìm thấy hình chiếu của các điểm riêng lẻ trên tất cả các hình vẽ. Ví dụ, rất khó để vẽ hình chiếu ngang của phần được hiển thị trong Hình. 4.9 mà không sử dụng các phép chiếu của các điểm riêng lẻ ( A, B, C, D, E và vân vân.). Khả năng tìm thấy tất cả các hình chiếu của các điểm, các cạnh, các mặt cũng cần thiết để tái tạo trong trí tưởng tượng hình dạng của một vật thể theo các hình phẳng của nó trong bản vẽ, cũng như để kiểm tra tính đúng đắn của bản vẽ đã hoàn thành.

Cơm. 4.9.

Hãy xem xét các cách tìm hình chiếu thứ hai và thứ ba của một điểm đã cho trên bề mặt của một vật thể.

Nếu một hình chiếu của một điểm được đưa ra trong bản vẽ của một vật thể, thì trước tiên cần phải tìm các hình chiếu của bề mặt mà điểm này nằm trên đó. Sau đó, chọn một trong hai phương pháp được mô tả dưới đây để giải quyết vấn đề.

Cách đầu tiên

Phương pháp này được sử dụng khi ít nhất một trong các hình chiếu cho bề mặt đã cho dưới dạng một đường thẳng.

Trên hình. 4,10, một một hình trụ được hiển thị, trên hình chiếu chính diện mà hình chiếu đó được thiết lập một"điểm NHƯNG, nằm trên phần có thể nhìn thấy của bề mặt của nó (các hình chiếu đã cho được đánh dấu bằng các vòng tròn màu kép). Để tìm hình chiếu ngang của một điểm NHƯNG, họ lập luận như sau: điểm nằm trên bề mặt của hình trụ, hình chiếu ngang của nó là một đường tròn. Điều này có nghĩa là hình chiếu của một điểm nằm trên bề mặt này cũng sẽ nằm trên đường tròn. Vẽ một đường giao tiếp và đánh dấu điểm mong muốn tại giao điểm của nó với đường tròn một. hình chiếu thứ ba một"

Cơm. 4.10.

Nếu điểm TẠI, nằm trên đáy trên của hình trụ, được cho bởi hình chiếu ngang của nó b, sau đó các đường giao tiếp được vẽ đến giao điểm với các đoạn thẳng mô tả các hình chiếu trực diện và mặt cắt của đáy trên của hình trụ.

Trên hình. 4.10, b thể hiện chi tiết - sự nhấn mạnh. Để xây dựng các phép chiếu của một điểm NHƯNG,được cho bởi hình chiếu ngang của nó một, tìm hai hình chiếu khác của mặt trên (trên đó có điểm NHƯNG) và, vẽ các đường kết nối đến giao điểm với các đoạn thẳng mô tả khuôn mặt này, xác định các hình chiếu mong muốn - các điểm một" và một". Chấm TẠI nằm trên mặt thẳng đứng bên trái, có nghĩa là các hình chiếu của nó cũng sẽ nằm trên các hình chiếu của mặt này. Vì vậy, từ một điểm đã cho b " vẽ các đường giao tiếp (như được chỉ ra bằng các mũi tên) cho đến khi chúng gặp các đoạn thẳng mô tả khuôn mặt này. chiếu trực diện với"điểm VỚI, nằm trên một mặt nghiêng (trong không gian), được tìm thấy trên đường mô tả khuôn mặt này và tiểu sử với"- tại giao điểm của đường kết nối, vì hình chiếu của mặt này không phải là một đường mà là một hình. Xây dựng các phép chiếu điểm D hiển thị bằng các mũi tên.

Cách thứ hai

Phương pháp này được sử dụng khi phương pháp đầu tiên không thể sử dụng được. Sau đó, bạn nên làm điều này:

• vẽ qua hình chiếu đã cho của điểm là hình chiếu của đường phụ nằm trên mặt phẳng đã cho;
• tìm hình chiếu thứ hai của đường thẳng này;
• đến hình chiếu tìm được của đoạn thẳng, chuyển hình chiếu đã cho của điểm (điều này sẽ xác định hình chiếu thứ hai của điểm);
• tìm hình chiếu thứ ba (nếu cần) tại giao điểm của các đường liên lạc.

Trên hình. 4.10, hình chiếu trực diện được đưa ra một"điểm NHƯNG, nằm trên phần nhìn thấy của bề mặt hình nón. Để tìm hình chiếu ngang qua một điểm một" thực hiện phép chiếu trực diện của một đường thẳng phụ đi qua điểm NHƯNG và đỉnh của hình nón. Nhận một điểm V là hình chiếu giao điểm của đường vẽ với đáy của hình nón. Có các hình chiếu trực diện của các điểm nằm trên một đường thẳng, người ta có thể tìm thấy các hình chiếu nằm ngang của chúng. Chiếu ngang Sđỉnh của hình nón đã biết. Chấm b nằm trên chu vi của cơ sở. Một đoạn thẳng được vẽ qua các điểm này và một điểm được chuyển đến nó (như hình bên mũi tên). một", nhận được một điểm một. Phép chiếu thứ ba một"điểm NHƯNG nằm ở ngã tư sở.

Cùng một vấn đề có thể được giải quyết theo cách khác (Hình 4.10, G).

Là một đường phụ đi qua một điểm NHƯNG, chúng không phải là một đường thẳng, như trong trường hợp đầu tiên, mà là một đường tròn. Vòng tròn này được hình thành nếu tại điểm NHƯNG cắt hình nón với một mặt phẳng song song với mặt đáy, như hình vẽ bên. Hình chiếu chính diện của đường tròn này sẽ được mô tả là một đoạn thẳng, vì mặt phẳng của đường tròn vuông góc với mặt phẳng hình chiếu chính diện. Hình chiếu ngang của đường tròn có đường kính bằng độ dài đoạn thẳng này. Mô tả một hình tròn có đường kính được chỉ định, vẽ từ một điểm một"đường kết nối đến giao điểm với đường tròn phụ, kể từ hình chiếu ngang mộtđiểm NHƯNG nằm trên đường phụ, tức là trên vòng tròn đã xây dựng. hình chiếu thứ ba như"điểm NHƯNGđược tìm thấy ở giao điểm của các đường liên lạc.

Theo cách tương tự, bạn có thể tìm các hình chiếu của một điểm nằm trên một bề mặt, chẳng hạn như một kim tự tháp. Sự khác biệt sẽ là khi nó được cắt ngang bởi một mặt phẳng nằm ngang, không phải là một hình tròn được hình thành, mà là một hình tương tự như cơ sở.

Bàn thắng:

• Nghiên cứu quy tắc dựng hình chiếu của các điểm trên bề mặt vật thể và đọc bản vẽ.
• Phát triển tư duy không gian, khả năng phân tích hình dạng hình học của vật thể.
• Rèn luyện tính cần cù, khả năng hợp tác khi làm việc nhóm, yêu thích môn học.

THỜI GIAN LỚP HỌC

GIAI ĐOẠN I. ĐỘNG LỰC HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP.

GIAI ĐOẠN II. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC, KỸ NĂNG VÀ KỸ NĂNG.

TẠM DỪNG TIẾT KIỆM SỨC KHỎE. PHẢN XẠ (MOOD)

GIAI ĐOẠN III. CÔNG VIỆC CÁ NHÂN.

GIAI ĐOẠN I. ĐỘNG LỰC HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP

1) Cô giáo: Kiểm tra nơi làm việc của bạn, mọi thứ đã vào đúng vị trí chưa? Mọi người đã sẵn sàng đi chưa?

GIỮ VẾT THƯƠNG, GIỮ CON BÚ VÀO XẢ, XẢ.

Xác định tâm trạng của bạn khi bắt đầu bài học theo sơ đồ (sơ đồ như vậy là sẵn sàng cho tất cả mọi người)

TÔI CHÚC BẠN MAY MẮN.

2)Giáo viên: Làm việc thực tế về chủ đề “ Các phép chiếu của Dọc, Cạnh, Mặt ”cho thấy có những kẻ mắc lỗi khi chiếu. Họ nhầm lẫn giữa hai điểm phù hợp trong hình vẽ là đỉnh nhìn thấy được và đỉnh nào là không nhìn thấy; khi cạnh song song với mặt phẳng và khi nó vuông góc. Điều tương tự với các cạnh.

Để tránh lặp lại sai lầm, hãy hoàn thành các công việc cần thiết bằng phiếu tư vấn và sửa chữa những sai lầm trong công việc thực tế (bằng tay). Và khi bạn làm việc, hãy nhớ:

“MỌI NGƯỜI ĐỀU CÓ THỂ LÀM LỖI, Ở LẠI Ở MISTAKE CỦA MÌNH - CHỈ LÀ SỰ ĐIÊN RỒ”.

Và những người đã nắm vững chủ đề tốt sẽ làm việc theo nhóm với các nhiệm vụ sáng tạo (xem. Phụ lục 1 ).

GIAI ĐOẠN II. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC, KỸ NĂNG VÀ KỸ NĂNG.

1)Cô giáo: Trong sản xuất, có nhiều bộ phận được gắn với nhau theo một phương thức nhất định.
Ví dụ:
Bìa máy tính để bàn được gắn vào các trụ dọc. Chú ý đến cái bàn mà bạn đang ở, nắp và giá đỡ được gắn với nhau như thế nào và bằng gì?

Trả lời: Chớp.

Cô giáo: Những gì được yêu cầu cho một bu lông?

Trả lời: Hố.

Cô giáo: Thật sự. Và để tạo lỗ, bạn cần biết vị trí của nó trên sản phẩm. Làm bàn thì lần nào thợ mộc cũng không liên lạc được với khách. Vậy cung cấp thợ mộc cần những gì?

Trả lời: Vẽ.

Cô giáo: Vẽ!? Chúng ta gọi một bản vẽ là gì?

Trả lời: Hình vẽ là hình ảnh của một vật thể bằng các phép chiếu hình chữ nhật trong một phép chiếu nối. Theo bản vẽ, bạn có thể thể hiện hình dạng hình học và thiết kế của sản phẩm.

Cô giáo: Chúng tôi đã hoàn thành các phép chiếu hình chữ nhật, và sau đó? Liệu chúng ta có thể xác định vị trí của các lỗ từ một hình chiếu không? Những gì khác chúng ta cần biết? Học những gì?

Trả lời: Xây dựng điểm. Tìm hình chiếu của các điểm này trong tất cả các hình chiếu.

Cô giáo: Làm tốt! Đây là mục đích của bài học của chúng tôi và chủ đề: Xây dựng các hình chiếu của các điểm trên bề mặt của một vật thể. Ghi chủ đề của bài học vào vở.
Bạn và tôi biết rằng bất kỳ điểm hoặc đoạn nào trên hình ảnh của một vật thể đều là hình chiếu của đỉnh, cạnh, mặt, tức là mỗi chế độ xem là một hình ảnh không phải từ một phía (chế độ xem ch., chế độ xem từ trên xuống, chế độ xem bên trái), mà là toàn bộ đối tượng.
Để tìm chính xác hình chiếu của các điểm riêng lẻ nằm trên các mặt, trước hết bạn phải tìm các hình chiếu của mặt này, sau đó dùng các đường nối để tìm hình chiếu của các điểm.

(Chúng ta nhìn hình vẽ trên bảng, làm vào vở 3 hình chiếu của cùng một phần làm ở nhà).

- Mở vở có hình vẽ hoàn chỉnh (Giải thích về cấu tạo của các điểm trên bề mặt của một vật với câu hỏi dẫn dắt trên bảng và học sinh sửa vào vở.)

Cô giáo: Xem xét một điểm TẠI. Mặt có điểm này song song với mặt phẳng nào?

Trả lời: Mặt song song với mặt phẳng chính diện.

Cô giáo: Chúng tôi thiết lập hình chiếu của một điểm b ' trong phép chiếu trực diện. Rút ra từ điểm b ' đường thẳng đứng của giao tiếp với hình chiếu ngang. Hình chiếu ngang của điểm sẽ ở đâu? TẠI?

Trả lời: Tại giao điểm với hình chiếu ngang của mặt chiếu vào cạnh. Và nằm ở dưới cùng của hình chiếu (view).

Cô giáo: Phép chiếu biên dạng điểm b '' nó sẽ nằm ở đâu? Làm thế nào chúng ta sẽ tìm thấy nó?

Trả lời: Tại giao điểm của đường truyền thông tin liên lạc ngang từ b ' với một cạnh dọc ở bên phải. Cạnh này là hình chiếu của mặt với một điểm TẠI.

NHỮNG NGƯỜI MUỐN XÂY DỰNG DỰ ÁN TIẾP THEO CỦA ĐIỂM ĐƯỢC GỌI CHO BAN.

Cô giáo: Phép chiếu điểm NHƯNG cũng được định vị bằng cách sử dụng các đường liên lạc. Mặt phẳng nào song song với cạnh bằng một điểm NHƯNG?

Trả lời: Mặt song song với mặt phẳng biên dạng. Chúng tôi đặt một điểm trên bản chiếu hồ sơ một'' .

Cô giáo: Mặt được chiếu vào cạnh trên hình chiếu nào?

Trả lời:Ở mặt trước và ngang. Hãy vẽ một đường nối ngang đến giao điểm với một cạnh thẳng đứng bên trái trên hình chiếu chính diện, chúng ta nhận được một điểm một' .

Cô giáo: Cách tìm hình chiếu của một điểm NHƯNG trên một hình chiếu ngang? Rốt cuộc, các đường liên lạc từ hình chiếu của các điểm một' và một'' không giao nhau hình chiếu của mặt (cạnh) trên hình chiếu ngang bên trái. Điều gì có thể giúp chúng tôi?

Trả lời: Bạn có thể sử dụng một đường thẳng không đổi (nó xác định vị trí của chế độ xem bên trái) từ một'' vẽ một đường thẳng đứng cho đến khi nó giao với một đường thẳng không đổi. Từ giao điểm, một đường giao tiếp nằm ngang được vẽ cho đến khi nó giao với một cạnh thẳng đứng bên trái. (Đây là mặt với điểm A) và biểu thị hình chiếu với một điểm một .

2) Cô giáo: Mọi người đều có một phiếu nhiệm vụ trên bàn, có đính kèm một tờ giấy truy tìm. Hãy xem xét bản vẽ, bây giờ hãy tự mình thử mà không cần vẽ lại các hình chiếu, để tìm các hình chiếu cho trước của các điểm trên bản vẽ.

- Tìm trong SGK tr 76 hình. 93. Kiểm tra bản thân. Ai thực hiện đúng - điểm "5" "; sai một lần - '' 4 ''; hai - '' 3 ''.

(Điểm do học sinh tự ghi vào phiếu tự kiểm điểm).

- Thu bài để kiểm tra.

3)Làm việc nhóm: Thời gian giới hạn: 4 phút. + 2 phút. Séc. (Hai bàn có học sinh được kết hợp và một người lãnh đạo được chọn trong nhóm).

Đối với mỗi nhóm, các nhiệm vụ được phân bổ theo 3 cấp độ. Học sinh chọn nhiệm vụ theo cấp độ, (như họ muốn). Giải quyết các vấn đề về xây dựng điểm. Thảo luận việc xây dựng dưới sự giám sát của nhóm trưởng. Sau đó, câu trả lời đúng được hiển thị trên bảng với sự trợ giúp của kính codoscope. Mọi người kiểm tra xem các điểm đã được chiếu chính xác chưa. Với sự giúp đỡ của trưởng nhóm, điểm được đưa ra trên các bài tập và trong phiếu tự kiểm soát (xem. Phụ lục 2 và PHỤ LỤC 3 ).

TẠM DỪNG TIẾT KIỆM SỨC KHỎE. SỰ PHẢN XẠ

"Tư thế Pharaoh"- Ngồi trên mép ghế, thẳng lưng, gập cánh tay ở khuỷu tay, bắt chéo chân và kiễng chân. Hít vào, siết chặt tất cả các cơ của cơ thể đồng thời nín thở, thở ra. Làm 2-3 lần. Hãy nhắm mắt thật chặt, với những vì sao, hãy mở ra. Đánh dấu tâm trạng của bạn.

GIAI ĐOẠN III. PHẦN THỰC TIỄN. (Nhiệm vụ cá nhân)

Có các thẻ nhiệm vụ để lựa chọn với các cấp độ khác nhau. Học sinh tự chọn phương án của mình. Tìm hình chiếu của các điểm trên bề mặt của một vật thể. Tác phẩm được bàn giao và đánh giá cho bài sau. (Cm. Phụ lục 4 , Phụ lục 5 , Phụ lục 6 ).

GIAI ĐOẠN IV. CUỐI CÙNG

1) Bài tập về nhà phân công. (Hướng dẫn). Thực hiện bởi các cấp:

B - hiểu biết, trên "3". Bài tập 1 hình. 94a trang 77 - theo bài tập trong SGK: hoàn thành các hình chiếu còn thiếu của các điểm trên các hình chiếu này.

B - ứng dụng, trên "4". Bài tập 1 Hình 94 a, b. hoàn thành các hình chiếu còn thiếu và đánh dấu các đỉnh trên hình ảnh trực quan trong 94a và 94b.

A - phân tích, trên "5". (Tăng độ khó.) Bán tại. 4 Hình 97 - xây dựng các hình chiếu còn thiếu của các điểm và chỉ định chúng bằng các chữ cái. Không có hình ảnh trực quan.

2)Phân tích phản xạ.

1. Xác định tâm trạng khi kết thúc bài học, đánh dấu vào bảng tự kiểm bằng dấu hiệu nào.
2. Bạn đã học được gì mới trong bài học hôm nay?
3. Hình thức làm việc nào hiệu quả nhất đối với bạn: nhóm, cá nhân và bạn có muốn nó được lặp lại trong bài học tiếp theo không?
4. Thu thập danh sách kiểm tra.

3)"Sai giáo viên"

Cô giáo: Bạn đã học cách xây dựng các hình chiếu của đỉnh, cạnh, mặt và điểm trên bề mặt của một vật thể, tuân theo tất cả các quy tắc xây dựng. Nhưng ở đây bạn đã được đưa cho một bản vẽ, nơi có sai sót. Bây giờ hãy thử mình với tư cách là một giáo viên. Tự tìm lỗi sai, nếu bạn tìm thấy tất cả 8–6 lỗi thì điểm tương ứng là “5”; 5–4 lỗi - “4”, 3 lỗi - “3”.

Câu trả lời:

Xem xét mặt phẳng biên dạng của các hình chiếu. Hình chiếu trên hai mặt phẳng vuông góc thường xác định vị trí của hình và giúp ta có thể tìm ra kích thước và hình dạng thực của nó. Nhưng có những lúc hai phép chiếu là không đủ. Sau đó áp dụng việc xây dựng hình chiếu thứ ba.

Mặt phẳng chiếu thứ ba được thực hiện sao cho đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng chiếu (Hình 15). Mặt phẳng thứ ba được gọi là Hồ sơ.

Trong cấu tạo như vậy, đường thẳng chung của mặt phẳng nằm ngang và mặt trước được gọi là trục X , đường chung của mặt phẳng nằm ngang và mặt phẳng biên dạng - trục tại , và đường thẳng chung của mặt phẳng chính diện và mặt phẳng - trục z . Chấm O, thuộc cả ba mặt phẳng, được gọi là điểm gốc.

Hình 15a cho thấy điểm NHƯNG và ba trong số các phép chiếu của nó. Chiếu lên mặt phẳng biên dạng ( một) được gọi là chiếu hồ sơ và biểu thị một.

Để có được một sơ đồ của điểm A, bao gồm ba hình chiếu a, a a, cần phải cắt khối tam diện được tạo thành bởi tất cả các mặt phẳng dọc theo trục y (Hình 15b) và kết hợp tất cả các mặt phẳng này với mặt phẳng của hình chiếu chính diện. Mặt phẳng nằm ngang phải được quay quanh trục X và mặt phẳng biên dạng gần trục z theo hướng được chỉ ra bởi mũi tên trong Hình 15.

Hình 16 cho thấy vị trí của các phép chiếu a, a và mộtđiểm NHƯNG, nhận được là kết quả của việc kết hợp cả ba mặt phẳng với mặt phẳng vẽ.

Kết quả của việc cắt, trục y xuất hiện trên sơ đồ ở hai vị trí khác nhau. Trên mặt phẳng nằm ngang (Hình 16), nó có vị trí thẳng đứng (vuông góc với trục X), và trên mặt phẳng biên dạng - nằm ngang (vuông góc với trục z).

Hình 16 cho thấy ba phép chiếu a, a và một Các điểm A có một vị trí xác định chặt chẽ trên sơ đồ và tuân theo các điều kiện rõ ràng:

một và một phải luôn nằm trên một đường thẳng thẳng đứng vuông góc với trục X;

một và một phải luôn nằm trên cùng một đường ngang vuông góc với trục z;

3) khi được vẽ qua hình chiếu ngang và đường nằm ngang, nhưng qua hình chiếu nghiêng một- một đường thẳng đứng, các đường thẳng dựng sẽ nhất thiết phải cắt nhau trên đường phân giác của góc giữa các trục hình chiếu, kể từ hình Oa tại một 0 một n là hình vuông.

Khi xây dựng ba hình chiếu của một điểm, cần phải kiểm tra việc đáp ứng cả ba điều kiện của mỗi điểm.

Tọa độ điểm

Vị trí của một điểm trong không gian có thể được xác định bằng cách sử dụng ba số được gọi là tọa độ. Mỗi tọa độ tương ứng với khoảng cách của một điểm từ mặt phẳng hình chiếu nào đó.

Khoảng cách điểm NHƯNG mặt phẳng biên dạng là tọa độ X, trong đó X = a˝A(Hình 15), khoảng cách đến mặt phẳng chính diện - theo tọa độ y, và y = aa, và khoảng cách đến mặt phẳng nằm ngang là tọa độ z, trong đó z = aA.

Trong Hình 15, điểm A chiếm chiều rộng của một hình hộp chữ nhật và các số đo của hình hộp này tương ứng với tọa độ của điểm này, tức là mỗi tọa độ được trình bày trong Hình 15 bốn lần, tức là:

x = a˝A = Oa x = a y a = a z á;

y = а́А = Оа y = a x a = a z a˝;

z = aA = Oa z = a x a ′ = a y a˝.

Trên biểu đồ (Hình 16), tọa độ x và z xảy ra ba lần:

x \ u003d a z a ́ \ u003d Oa x \ u003d a y a,

z = a x á = Oa z = a y a˝.

Tất cả các phân đoạn tương ứng với tọa độ X(hoặc z) song song với nhau. Danh từ: Tọa độ tạiđược biểu diễn hai lần bởi trục tung:

y \ u003d Oa y \ u003d a x a

và hai lần - nằm theo chiều ngang:

y \ u003d Oa y \ u003d a z a˝.

Sự khác biệt này xuất hiện do trục y hiện diện trên biểu đồ ở hai vị trí khác nhau.

Cần lưu ý rằng vị trí của mỗi hình chiếu được xác định trên sơ đồ chỉ bằng hai tọa độ, đó là:

1) ngang - tọa độ X và tại,

2) phía trước - tọa độ x và z,

3) hồ sơ - tọa độ tại và z.

Sử dụng tọa độ x, y và z, bạn có thể xây dựng các hình chiếu của một điểm trên sơ đồ.

Nếu điểm A được cho bởi tọa độ, bản ghi của chúng được xác định như sau: A ( X; y; z).

Khi xây dựng các phép chiếu điểm NHƯNG các điều kiện sau phải được kiểm tra:

1) phép chiếu ngang và chiếu trực diện một và một X X;

2) các hình chiếu trực diện và sơ lược một và một nên nằm trên cùng vuông góc với trục z, vì chúng có một tọa độ chung z;

3) hình chiếu ngang và cũng được loại bỏ khỏi trục X, giống như bản chiếu hồ sơ một xa trục z, vì các phép chiếu a ′ và a˝ có một tọa độ chung tại.

Nếu điểm nằm trong bất kỳ mặt phẳng hình chiếu nào, thì một trong các tọa độ của nó bằng không.

Khi một điểm nằm trên trục hình chiếu thì hai tọa độ của nó bằng không.

Nếu một điểm nằm tại gốc tọa độ thì cả ba tọa độ của nó đều bằng không.

Phép chiếu của một đường thẳng

Hai điểm là cần thiết để xác định một đoạn thẳng. Một điểm được xác định bởi hai hình chiếu trên mặt phẳng nằm ngang và mặt trước, tức là một đường thẳng được xác định bằng cách sử dụng các hình chiếu của hai điểm của nó trên mặt phẳng nằm ngang và mặt trước.

Hình 17 cho thấy các phép chiếu ( một và a, b và b) hai điểm NHƯNG và B. Với sự giúp đỡ của họ, vị trí của một số đường thẳng AB. Khi kết nối các phép chiếu cùng tên của các điểm này (tức là một và ba và b) bạn có thể nhận được các phép chiếu ab và ab AB trực tiếp.

Hình 18 cho thấy hình chiếu của cả hai điểm và Hình 19 cho thấy hình chiếu của một đường thẳng đi qua chúng.

Nếu các hình chiếu của một đường thẳng được xác định bởi các hình chiếu của hai điểm của nó, thì chúng được ký hiệu bằng hai chữ cái Latinh liền kề tương ứng với ký hiệu của các hình chiếu của các điểm được lấy trên đường thẳng: với các nét để chỉ hình chiếu trực diện của đường thẳng hoặc không có nét - đối với hình chiếu ngang.

Nếu chúng ta không xem xét các điểm riêng lẻ của một đường thẳng mà là toàn bộ các hình chiếu của nó, thì những hình chiếu này được biểu thị bằng các con số.

Nếu một số điểm Với nằm trên một đường thẳng AB, các phép chiếu с và ​​с́ của nó nằm trên các phép chiếu của cùng một đường ab và ab. Hình 19 minh họa tình huống này.

Dấu vết thẳng

theo dõi thẳng- đây là giao điểm của nó với một số mặt phẳng hoặc bề mặt (Hình 20).

Đường ngang thẳng một số điểm được gọi là H nơi đường thẳng gặp mặt phẳng nằm ngang, và trán- dấu chấm V, trong đó đường thẳng này gặp mặt phẳng phía trước (Hình 20).

Hình 21a cho thấy vết ngang của một đường thẳng và vết phía trước của nó, trong Hình 21b.

Đôi khi dấu vết biên dạng của một đường thẳng cũng được xem xét, W- giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng biên.

Dấu vết ngang nằm trong mặt phẳng nằm ngang, tức là hình chiếu ngang của nó h trùng khớp với dấu vết này và h nằm trên trục x. Dấu vết phía trước nằm trong mặt phẳng phía trước, do đó hình chiếu phía trước của nó ν́ trùng với nó và v nằm ngang nằm trên trục x.

Cho nên, H = h, và V= v. Do đó, để biểu thị dấu vết của một đường thẳng, có thể sử dụng các chữ cái h và v.

Các vị trí khác nhau của dòng

Đoạn thẳng được gọi là vị trí chung trực tiếp, nếu nó không song song hoặc không vuông góc với bất kỳ mặt phẳng hình chiếu nào. Các hình chiếu của một đoạn thẳng ở vị trí chung cũng không song song cũng không vuông góc với các trục hình chiếu.

Các đường thẳng song song với một trong các mặt phẳng hình chiếu (vuông góc với một trong các trục). Hình 22 cho thấy một đường thẳng song song với mặt phẳng nằm ngang (vuông góc với trục z), là một đường thẳng nằm ngang; Hình 23 cho thấy một đường thẳng song song với mặt phẳng phía trước (vuông góc với trục tại), là đường thẳng phía trước; Hình 24 cho thấy một đường thẳng song song với mặt phẳng biên dạng (vuông góc với trục X), là một đường thẳng biên dạng. Mặc dù thực tế là mỗi đường thẳng này tạo thành một góc vuông với một trong các trục, chúng không cắt nó mà chỉ giao với nó.

Do đường nằm ngang (Hình 22) song song với mặt phẳng nằm ngang, các hình chiếu trực diện và mặt cắt của nó sẽ song song với các trục xác định mặt phẳng ngang, tức là các trục X và tại. Do đó, các dự báo ab|| X và a˝b˝|| tại z. Hình chiếu ngang ab có thể nhận vị trí bất kỳ trên sơ đồ.

Tại hình chiếu phía trước (Hình 23) ab|| x và a˝b˝ || z, tức là chúng vuông góc với trục tại, và do đó trong trường hợp này là hình chiếu trực diện ab dòng có thể ở bất kỳ vị trí nào.

Tại dòng hồ sơ (Hình 24) ab|| y, ab|| z và cả hai đều vuông góc với trục x. Phép chiếu a˝b˝ có thể được đặt trên sơ đồ theo bất kỳ cách nào.

Khi xem xét mặt phẳng chiếu đường nằm ngang lên mặt phẳng chính diện (Hình 22), bạn có thể thấy rằng nó chiếu đường thẳng này lên mặt phẳng biên dạng, tức là nó là mặt phẳng chiếu đường thẳng lên hai mặt phẳng chiếu cùng một lúc - mặt trước và hồ sơ. Vì lý do này nó được gọi là máy bay chiếu kép. Tương tự như vậy, đối với đường trực diện (Hình 23), mặt phẳng chiếu kép chiếu nó lên mặt phẳng của các hình chiếu nằm ngang và mặt cắt, và đối với mặt cắt (Hình 23) - lên mặt phẳng của các hình chiếu nằm ngang và mặt trước .

Hai hình chiếu không thể xác định một đường thẳng. Hai phép chiếu 1 và mộtđịnh hình đường thẳng (Hình 25) mà không xác định hình chiếu của hai điểm của đường thẳng này trên chúng sẽ không xác định được vị trí của đường thẳng này trong không gian.

Trong một mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng đối xứng đã cho, có thể có vô số đường thẳng mà dữ liệu trên biểu đồ 1 và một là những dự báo của họ.

Nếu một điểm nằm trên một đường thẳng thì các hình chiếu của nó trong mọi trường hợp đều nằm trên các hình chiếu cùng tên trên đường thẳng này. Tình huống ngược lại không phải lúc nào cũng đúng đối với dòng hồ sơ. Trên các hình chiếu của nó, bạn có thể tùy ý chỉ ra các hình chiếu của một điểm nhất định và không chắc chắn rằng điểm này nằm trên một đường thẳng nhất định.

Trong cả ba trường hợp đặc biệt (Hình 22, 23 và 24), vị trí của đường thẳng đối với mặt phẳng hình chiếu là đoạn tùy ý của nó AB, được thực hiện trên mỗi đường thẳng, được chiếu lên một trong các mặt phẳng chiếu mà không bị biến dạng, tức là lên mặt phẳng mà nó song song. Đoạn thẳng ABđường thẳng nằm ngang (Hình 22) cho phép chiếu kích thước thực lên một mặt phẳng nằm ngang ( ab = AB); đoạn thẳng ABđường thẳng phía trước (Hình 23) - có kích thước đầy đủ trên mặt phẳng của mặt phẳng phía trước V ( ab = AB) và phân khúc ABđường thẳng định hình (Hình 24) - với kích thước đầy đủ trên mặt phẳng biên dạng W (a˝b˝\ u003d AB), tức là có thể đo kích thước thực của đoạn trên bản vẽ.

Nói cách khác, với sự trợ giúp của sơ đồ, người ta có thể xác định kích thước tự nhiên của các góc mà đường thẳng đang xét tạo với mặt phẳng hình chiếu.

Góc của đường thẳng tạo với mặt phẳng ngang H, thông thường ký hiệu chữ cái α, với mặt phẳng chính diện - chữ β, với mặt phẳng biên - chữ γ.

Bất kỳ đường thẳng nào đang xét đều không có vết trên mặt phẳng song song với nó, tức là đường thẳng nằm ngang không có vết ngang (Hình 22), đường thẳng phía trước không có vết phía trước (Hình 23) và biên dạng đường thẳng không có vết biên dạng (Hình 24).