Để dựng hình ảnh của một số chi tiết, cần phải có khả năng tìm hình chiếu của các điểm riêng lẻ. Ví dụ, rất khó để vẽ hình chiếu từ trên xuống của phần được hiển thị trong Hình. 139 mà không xây dựng các hình chiếu ngang của các điểm A, B, C, D, E, F, v.v.

Bài toán tìm hình chiếu của một điểm cho trước trên bề mặt của vật thể được giải như sau. Đầu tiên, các hình chiếu của bề mặt mà điểm nằm trên đó được tìm thấy. Sau đó, vẽ một đường nối với hình chiếu, trong đó bề mặt được biểu diễn bằng một đường, hình chiếu thứ hai của điểm được tìm thấy. Hình chiếu thứ ba nằm ở giao điểm của các đường liên lạc.

Hãy xem xét một ví dụ.

Ba hình chiếu của bộ phận được cho (Hình 140, a). Hình chiếu ngang a của điểm A nằm trên mặt phẳng nhìn thấy đã cho. Chúng ta cần tìm những dự báo khác về điểm này.

Trước hết, bạn cần vẽ một đường phụ. Nếu có hai hình chiếu, thì vị trí của đường phụ trong bản vẽ được chọn tùy ý, ở bên phải hình chiếu trên, sao cho hình chiếu bên trái ở khoảng cách cần thiết so với hình chiếu chính (Hình. 141).

Nếu ba hình chiếu đã được xây dựng (Hình. 142, a), thì vị trí của đường phụ không thể được tùy ý chọn; bạn cần phải tìm ra điểm mà nó sẽ vượt qua. Để làm điều này, chỉ cần tiếp tục cho đến khi giao điểm của các hình chiếu nằm ngang và mặt cắt của trục đối xứng và qua điểm kết quả k (Hình. 142, b) vẽ một đoạn thẳng theo góc 45 °, sẽ là một đường thẳng phụ trợ.

Nếu không có trục đối xứng, thì tiếp tục cho đến khi giao điểm tại điểm k 1 nằm ngang và hình chiếu mặt cắt của bất kỳ mặt nào được chiếu dưới dạng các đoạn thẳng (Hình. 142, b).

Sau khi vẽ một đường thẳng bổ trợ, họ bắt đầu xây dựng các hình chiếu của điểm (xem Hình 140, b).

Các hình chiếu trực diện a "và profile a" của điểm A phải nằm trên các hình chiếu tương ứng của bề mặt mà điểm A thuộc về. Các hình chiếu này được tìm thấy. Trên hình. 140, b chúng được tô màu. Vẽ các đường liên lạc như được chỉ ra bởi các mũi tên. Tại các giao điểm của các đường giao tiếp với các hình chiếu của bề mặt, các hình chiếu mong muốn a "và a" được tìm thấy.

Việc xây dựng các hình chiếu của các điểm B, C, D được thể hiện trong hình. 140, trong các dòng giao tiếp với các mũi tên. Các hình chiếu cho trước của các điểm được tô màu. Các đường giao tiếp được vẽ thành hình chiếu mà trên đó bề mặt được mô tả dưới dạng một đường chứ không phải dưới dạng hình. Do đó, hình chiếu chính diện từ điểm C. Đầu tiên được tìm thấy, hình chiếu mặt cắt từ điểm C được xác định bởi giao điểm của các đường giao tiếp.

Nếu bề mặt không được mô tả bằng một đường trên bất kỳ hình chiếu nào thì phải sử dụng một mặt phẳng phụ để dựng hình chiếu của các điểm. Ví dụ, một hình chiếu trực diện d của điểm A được cho, nằm trên bề mặt của một hình nón (Hình. 143, a). Một mặt phẳng phụ được vẽ qua một điểm song song với mặt đáy, sẽ cắt hình nón trong một đường tròn; hình chiếu trực diện của nó là một đoạn thẳng và hình chiếu ngang của nó là một đường tròn có đường kính bằng độ dài của đoạn này (Hình. 143, b). Bằng cách vẽ một đường giao tiếp với đường tròn này từ điểm a, ta sẽ có được hình chiếu ngang của điểm A.

Hình chiếu biên dạng a ”của điểm A được tìm thấy theo cách thông thường tại giao điểm của các đường liên lạc.

Theo cách tương tự, người ta có thể tìm hình chiếu của một điểm nằm, ví dụ, trên bề mặt của một kim tự tháp hoặc một quả bóng. Khi một hình chóp cắt nhau bởi một mặt phẳng song song với mặt đáy và đi qua một điểm cho trước thì một hình tương tự như mặt đáy được tạo thành. Các hình chiếu của điểm đã cho nằm trên các hình chiếu của hình này.

Trả lời các câu hỏi

1. Đường phụ được vẽ ở góc nào?

2. Đường phụ được vẽ ở đâu nếu đưa ra các hình chiếu phía trước và phía trên, nhưng bạn cần phải xây dựng một hình chiếu từ bên trái?

3. Làm thế nào để xác định vị trí của dòng phụ trong sự hiện diện của ba loại?

4. Phương pháp dựng hình chiếu của một điểm theo một phương cho trước, nếu một trong các bề mặt của vật thể được biểu diễn bằng một đoạn thẳng?

5. Đối với các vật thể hình học nào và trong những trường hợp nào thì hình chiếu của một điểm đã cho trên bề mặt của chúng được tìm thấy bằng một mặt phẳng phụ?

Bài tập cho § 20

Bài tập 68

Ghi vào sổ bài tập hình chiếu của các điểm được biểu thị bằng số trên các hình chiếu tương ứng với các điểm được chỉ ra bằng các chữ cái trong hình ảnh trực quan trong ví dụ được giáo viên chỉ ra cho bạn (Hình 144, a-d).

Bài tập 69

Trên hình. 145, các chữ cái a-b chỉ một hình chiếu của một số đỉnh. Tìm trong ví dụ mà giáo viên đưa cho bạn, các hình chiếu còn lại của các đỉnh này và chỉ định chúng bằng các chữ cái. Xây dựng trong một trong các ví dụ về hình chiếu bị thiếu của các điểm đã cho trên các cạnh của vật thể (Hình 145, d và e). Tô màu bằng tô màu các hình chiếu của các cạnh có các điểm. Hoàn thành bài tập trên giấy trong suốt, chồng lên trang sách giáo khoa. Không cần vẽ lại Hình 145.

Bài tập 70

Tìm hình chiếu còn thiếu của các điểm được cho bởi một phép chiếu trên bề mặt nhìn thấy của vật thể (Hình. 146). Gắn nhãn chúng bằng các chữ cái. Đánh dấu các hình chiếu đã cho của các điểm bằng màu sắc. Một hình ảnh trực quan sẽ giúp bạn giải quyết vấn đề. Nhiệm vụ có thể được hoàn thành cả trong sách bài tập và trên giấy trong suốt, phủ nó lên trang sách giáo khoa. Trong trường hợp thứ hai, hãy vẽ lại Hình. 146 là không cần thiết.

Bài tập 71

Trong ví dụ mà giáo viên đưa cho bạn, hãy vẽ ba kiểu (Hình. 147). Dựng hình chiếu khuyết của các điểm đã cho trên bề mặt nhìn thấy của vật thể. Đánh dấu các hình chiếu đã cho của các điểm bằng màu sắc. Dán nhãn cho tất cả các phép chiếu điểm. Để xây dựng hình chiếu của các điểm, hãy sử dụng một đường thẳng bổ trợ. Lập một bản vẽ kỹ thuật và đánh dấu các điểm đã cho trên đó.

Một điểm, như một khái niệm toán học, không có thứ nguyên. Rõ ràng, nếu đối tượng hình chiếu là một vật thể không chiều, thì việc nói về hình chiếu của nó là vô nghĩa.

Hình 9 Hình 10

Trong hình học dưới một điểm, nên lấy một đối tượng vật lý có kích thước tuyến tính. Thông thường, một quả bóng có bán kính nhỏ vô hạn có thể được coi là một điểm. Với cách giải thích khái niệm điểm này, chúng ta có thể nói về các phép chiếu của nó.

Khi xây dựng các phép chiếu trực giao của một điểm, người ta phải được hướng dẫn bởi tính chất bất biến đầu tiên của phép chiếu trực giao: hình chiếu trực giao của một điểm là một điểm.

Vị trí của một điểm trong không gian được xác định bởi ba tọa độ: XYZ, hiển thị khoảng cách tại đó điểm bị xóa khỏi mặt phẳng chiếu. Để xác định các khoảng cách này, chỉ cần xác định điểm gặp nhau của các đường thẳng này với mặt phẳng chiếu là đủ và đo các giá trị tương ứng, các giá trị này sẽ chỉ ra các giá trị của abscissa tương ứng. X, sắc lệnh Y và đồ trang trí Zđiểm (Hình 10).

Hình chiếu của một điểm là đáy của vuông góc thả từ điểm xuống mặt phẳng hình chiếu tương ứng. Chiếu ngangđiểm một gọi hình chiếu chữ nhật của một điểm trên mặt phẳng nằm ngang của các hình chiếu, hình chiếu trực diện a /- tương ứng trên mặt phẳng chính diện của các phép chiếu và hồ sơ a // - trên mặt phẳng chiếu biên dạng.

Trực tiếp Aa, Aa / và Aa //được gọi là các đường chiếu. Đồng thời, chỉ đạo Ah,điểm chiếu NHƯNG trên mặt phẳng nằm ngang của các phép chiếu, được gọi là đường chiếu theo chiều ngang, Аa / và Aa //- tương ứng: phía trước và biên dạng-hình chiếu các đường thẳng.

Hai đường chiếu đi qua một điểm NHƯNG xác định mặt phẳng, được gọi là phóng chiếu.

Khi chuyển đổi bố cục không gian, hình chiếu trực diện của điểm A - a / vẫn giữ nguyên vị trí như thuộc một mặt phẳng không thay đổi vị trí của nó dưới phép biến hình đã xét. Hình chiếu ngang - một cùng với mặt phẳng chiếu nằm ngang sẽ quay theo chiều chuyển động của kim đồng hồ và sẽ nằm trên một góc vuông góc với trục X với hình chiếu phía trước. Chiếu hồ sơ - một // sẽ quay cùng với mặt phẳng biên dạng và khi kết thúc phép biến đổi sẽ đến vị trí được chỉ ra trong Hình 10. Đồng thời - một // sẽ vuông góc với trục Z rút ra từ điểm một / và sẽ bị xóa khỏi trục Z cùng khoảng cách với hình chiếu ngang một xa trục X. Do đó, kết nối giữa các hình chiếu ngang và hình chiếu của một điểm có thể được thiết lập bằng cách sử dụng hai đoạn trực giao aa y và a y a // và một cung liên hợp của một đường tròn có tâm tại giao điểm của các trục ( O- nguồn gốc). Kết nối được đánh dấu được sử dụng để tìm hình chiếu bị thiếu (cho hai hình chiếu đã cho). Vị trí của hình chiếu (nằm ngang) theo phương ngang (hình chiếu) và hình chiếu trực diện đã cho có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng một đường thẳng được vẽ ở góc 45 0 từ gốc đến trục Y(đường phân giác này được gọi là đường thẳng) k là hằng số Monge). Phương pháp đầu tiên trong số những phương pháp này là thích hợp hơn, vì nó chính xác hơn.

Vì vậy:

1. Đã xóa điểm trong khoảng trắng:

từ mặt phẳng nằm ngang H Z,

từ mặt phẳng chính diện V bằng giá trị của tọa độ đã cho Y,

từ mặt phẳng hồ sơ W bằng giá trị của tọa độ. x.

2. Hai hình chiếu của một điểm bất kỳ thuộc cùng một vuông góc (một đường nối):

ngang và chính diện - vuông góc với trục x,

ngang và biên dạng - vuông góc với trục Y,

mặt trước và mặt cắt - vuông góc với trục Z.

3. Vị trí của một điểm trong không gian hoàn toàn được xác định bởi vị trí của hai hình chiếu trực giao của nó. Vì vậy - từ bất kỳ hai hình chiếu trực giao đã cho của một điểm, luôn có thể dựng hình chiếu thứ ba bị thiếu của nó.

Nếu một điểm có ba tọa độ xác định, thì điểm đó được gọi là điểm ở vị trí chung. Nếu một điểm có một hoặc hai tọa độ bằng 0, thì điểm đó được gọi là điểm vị trí riêng.

Cơm. 11 Hình. 12

Hình 11 cho thấy một bản vẽ không gian của các điểm có vị trí cụ thể, Hình 12 cho thấy một bản vẽ phức tạp (sơ đồ) của các điểm này. Chấm NHƯNG thuộc mặt phẳng chiếu chính diện, điểm TẠI- mặt phẳng nằm ngang của hình chiếu, điểm Với- mặt phẳng biên dạng của các hình chiếu và điểm D- trục abscissa ( X).

Các bề mặt của khối đa diện được biết đến là giới hạn trong các hình phẳng. Do đó, các điểm cho trên bề mặt của một hình đa diện bởi ít nhất một hình chiếu, trong trường hợp tổng quát, là các điểm xác định. Điều tương tự cũng áp dụng cho các bề mặt của các khối hình học khác: hình trụ, hình nón, quả bóng và hình xuyến, được giới hạn bởi các bề mặt cong.

Chúng ta hãy đồng ý mô tả các điểm nhìn thấy được nằm trên bề mặt của cơ thể dưới dạng hình tròn, các điểm không nhìn thấy được là các vòng tròn bị bôi đen (chấm); Các đường hiển thị sẽ được hiển thị dưới dạng đường liền nét và đường không nhìn thấy là đường đứt nét.

Cho hình chiếu ngang A 1 của điểm A nằm trên mặt của lăng trụ tam giác thẳng đã cho (Hình 162, a).

TBegin -> TEnd ->

Như hình vẽ bên có thể thấy, mặt trước và mặt sau của lăng trụ đều song song với mặt phẳng chiếu chính diện P 2 và được chiếu lên nó không bị biến dạng, mặt bên dưới của lăng trụ song song với mặt phẳng hình chiếu ngang P 1 và cũng được chiếu mà không bị biến dạng. Các cạnh bên của lăng trụ là hình chiếu của các đường thẳng, do đó chúng được chiếu lên mặt phẳng hình chiếu trực diện P 2 dưới dạng các điểm.

Vì hình chiếu A 1. được mô tả bởi một vòng tròn ánh sáng, khi đó điểm A có thể nhìn thấy và do đó, nằm ở mặt bên phải của lăng kính. Mặt này là một mặt phẳng chiếu chính diện, và hình chiếu chính diện A2 của điểm phải trùng với hình chiếu chính diện của mặt phẳng được biểu diễn bằng một đoạn thẳng.

Sau khi vẽ đường thẳng k 123 không đổi, ta tìm được hình chiếu thứ ba A 3 của điểm A. Khi chiếu lên mặt phẳng hình chiếu của hình chiếu, điểm A sẽ không nhìn thấy được, do đó điểm A 3 là hình tròn màu đen. Việc xác định một điểm bằng hình chiếu trực diện B 2 là không xác định, vì nó không xác định khoảng cách của điểm B từ mặt trước của lăng trụ.

Hãy dựng hình chiếu đẳng áp của lăng trụ và điểm A (Hình 162, b). Nó là thuận tiện để bắt đầu xây dựng từ cơ sở phía trước của lăng kính. Chúng tôi xây dựng một tam giác của cơ sở theo các kích thước lấy từ bản vẽ phức tạp; dọc theo trục y "ta dành kích thước của cạnh lăng trụ sang một bên. Ta dựng ảnh axonometric A" của điểm A bằng cách sử dụng đường đa giác tọa độ được khoanh trong cả hai hình vẽ bằng một nét mảnh kép.

Cho hình chiếu qua C 2 của điểm C, nằm trên mặt phẳng của hình chóp tứ giác đều, cho bởi hai hình chiếu chính (Hình 163, a). Yêu cầu phải dựng ba hình chiếu của điểm C.

Từ hình chiếu chính diện có thể thấy đỉnh của hình chóp cao hơn mặt đáy hình vuông. Trong điều kiện này, tất cả bốn mặt bên sẽ hiển thị khi chiếu lên mặt phẳng chiếu ngang П 1. Khi chiếu lên mặt phẳng hình chiếu cạnh P 2 thì chỉ được mặt trước của hình chóp. Vì hình chiếu C 2 trong hình vẽ là một đường tròn sáng nên điểm C là ánh sáng và thuộc thiết diện của hình chóp. Để dựng hình chiếu ngang C 1, ta kẻ đường thẳng phụ D 2 E 2 đi qua điểm C 2, song song với đường thẳng của đáy hình chóp. Ta tìm được hình chiếu ngang D 1 E 1 và điểm C 1 của nó, nếu có hình chiếu thứ ba của hình chóp thì ta tìm hình chiếu ngang của điểm C 1 đơn giản hơn: sau khi tìm được hình chiếu cắt C 3, ta dựng được hình thứ ba. một bằng cách sử dụng hai phép chiếu sử dụng các đường giao tiếp ngang và ngang-dọc. Tiến độ xây dựng được thể hiện trên bản vẽ bằng các mũi tên.

TBegin ->
Xu hướng ->

Hãy dựng một hình chiếu vuông góc của hình chóp và điểm C (Hình 163, b). Chúng tôi xây dựng cơ sở của kim tự tháp; đối với điều này, thông qua điểm O "lấy trên trục r", chúng tôi vẽ các trục x "và y"; trên trục x "chúng tôi dành riêng các kích thước thực tế của cơ sở và trên trục y" - giảm một nửa. Qua các điểm thu được ta kẻ các đường thẳng song song với các trục x "và y". Trên trục z, chúng tôi vẽ đồ thị chiều cao của hình chóp; chúng tôi nối điểm thu được với các điểm của đáy, có tính đến khả năng hiển thị của các cạnh. Để tạo điểm C, chúng tôi sử dụng polyline tọa độ được khoanh tròn trong các hình vẽ bằng một đường mảnh gấp đôi. Để kiểm tra độ chính xác của lời giải, ta kẻ đường thẳng D "E" đi qua điểm C tìm được, song song với trục x ". Độ dài của nó phải bằng độ dài đoạn thẳng D 2 E 2 (hoặc D 1 E 1).

DỰ ÁN MỘT ĐIỂM TRÊN HAI QUY HOẠCH DỰ ÁN

Sự hình thành đoạn thẳng AA 1 có thể được biểu diễn như là kết quả của việc di chuyển điểm A trong mặt phẳng H bất kỳ (Hình 84, a), và sự hình thành của một mặt phẳng có thể được biểu diễn dưới dạng chuyển vị của đoạn thẳng AB ( Hình 84, b).

Một điểm là yếu tố hình học chính của đường thẳng và bề mặt, vì vậy việc nghiên cứu hình chiếu chữ nhật của một vật thể bắt đầu bằng việc xây dựng các hình chiếu hình chữ nhật của một điểm.

Trong không gian của góc nhị diện tạo bởi hai mặt phẳng vuông góc - mặt phẳng chính diện (thẳng đứng) của hình chiếu V và mặt phẳng nằm ngang của hình chiếu H, ta đặt điểm A (Hình 85, a).

Đường giao tuyến của các mặt phẳng hình chiếu là một đoạn thẳng, gọi là trục hình chiếu và được kí hiệu là chữ x.

Mặt phẳng V được hiển thị ở đây là một hình chữ nhật và mặt phẳng H là một hình bình hành. Mặt nghiêng của hình bình hành này thường được vẽ một góc 45o so với mặt nằm ngang của nó. Chiều dài của mặt nghiêng được lấy bằng 0,5 chiều dài thực của nó.

Từ điểm A hạ các đường vuông góc trên các mặt phẳng V và H. Các điểm a "và a giao điểm của các đường vuông góc với các mặt phẳng hình chiếu V và H là hình chiếu vuông góc của điểm A. Hình Aaa x a" trong không gian là hình chữ nhật. Độ dài cạnh của hình chữ nhật này trong hình trực quan giảm đi 2 lần.

Ta dựng mặt phẳng H với mặt phẳng V bằng cách quay V quanh đường giao tuyến của các mặt phẳng x. Kết quả là một bản vẽ phức tạp của điểm A (Hình 85, b)

Để đơn giản hóa bản vẽ phức tạp, ranh giới của các mặt phẳng hình chiếu V và H không được chỉ ra (Hình 85, c).

Các đường vuông góc vẽ từ điểm A lên mặt phẳng hình chiếu được gọi là đường chiếu, và cơ sở của các đường chiếu này - điểm a và a "được gọi là hình chiếu của điểm A: a" là hình chiếu chính diện của điểm A, a là hình chiếu ngang của điểm A.

Đường a ”a được gọi là đường thẳng đứng của phép nối hình chiếu.

Vị trí của hình chiếu của một điểm trên hình vẽ phức phụ thuộc vào vị trí của điểm này trong không gian.

Nếu điểm A nằm trên mặt phẳng hình chiếu ngang H (Hình 86, a) thì hình chiếu ngang a của nó trùng với điểm đã cho và hình chiếu trực diện a "nằm trên trục. Khi điểm B nằm trên hình chiếu chính diện mặt phẳng V, hình chiếu chính diện của nó trùng với điểm này và hình chiếu ngang nằm trên trục x. , B và C được thể hiện trong Hình 86, b.

DỰ ÁN MỘT ĐIỂM TRÊN BA QUY HOẠCH CỦA DỰ ÁN

Trong trường hợp không thể hình dung được hình dạng của vật thể từ hai hình chiếu thì người ta chiếu vật đó lên ba mặt phẳng hình chiếu. Trong trường hợp này, mặt phẳng biên của hình chiếu W được giới thiệu, vuông góc với mặt phẳng V và H. Một hình biểu diễn trực quan của hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu được cho trên hình. 87 a.

Các cạnh của góc tam diện (giao của các mặt phẳng hình chiếu) được gọi là trục hình chiếu và được ký hiệu là x, y và z. Giao điểm của các trục hình chiếu được gọi là đầu của các trục hình chiếu và được ký hiệu là chữ O. Ta thả vuông góc từ điểm A xuống mặt phẳng hình chiếu W và đánh dấu gốc của vuông góc bằng chữ a, ta được thu được hình chiếu bằng của điểm A.

Để có hình vẽ phức, các điểm A thuộc mặt phẳng H và W thẳng hàng với mặt phẳng V, quay chúng quanh các trục Ox và Oz. Hình vẽ phức tạp của điểm A được thể hiện trong hình. 87b và c.

Các đoạn của các đường chiếu từ điểm A lên các mặt phẳng hình chiếu được gọi là toạ độ của điểm A và được kí hiệu là: x A, y A và z A.

Ví dụ, tọa độ z A của điểm A, bằng đoạn a "a x (Hình 88, a và b), là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng hình chiếu ngang H. Tọa độ tại điểm A, bằng đoạn aa x, là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng chính diện của hình chiếu V. Tọa độ x A bằng đoạn aa y là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng hình chiếu W.

Như vậy, khoảng cách giữa hình chiếu của một điểm và trục hình chiếu xác định tọa độ của điểm và là chìa khóa để đọc bản vẽ phức tạp của nó. Bằng hai hình chiếu của một điểm, cả ba tọa độ của một điểm có thể được xác định.

Nếu tọa độ của điểm A được cho trước (ví dụ: x A \ u003d 20 mm, y A \ u003d 22 mm và z A \ u003d 25 mm), thì có thể xây dựng ba hình chiếu của điểm này.

Để làm được điều này, từ gốc toạ độ O theo phương của trục Oz, toạ độ z A được đặt và toạ độ y A. Là các hình chiếu trực diện và phương ngang của điểm A.

Theo hai phép chiếu a "và điểm A, phép chiếu mặt cắt của nó có thể được xây dựng theo ba cách:

1) từ gốc tọa độ O vẽ một cung phụ có bán kính Oa y bằng tọa độ (Hình 87, b và c), từ điểm thu được a y1 kẻ một đường thẳng song song với trục Oz, và đặt a đoạn bằng z A;

2) Từ điểm a y kẻ một đường thẳng phụ một góc 45o với trục Oy (Hình 88, a), điểm a y1, v.v ...;

3) Từ gốc tọa độ O, kẻ một đường thẳng phụ một góc 45o với trục Oy (Hình 88, b), lấy điểm a y1, v.v.

Xét hình chiếu của các điểm lên hai mặt phẳng, chúng ta lấy hai mặt phẳng vuông góc với nhau (Hình 4), chúng ta gọi là mặt phẳng nằm ngang và mặt phẳng. Đường giao tuyến của các mặt phẳng này được gọi là trục hình chiếu. Ta chiếu một điểm A lên mặt phẳng đã xét bằng phép chiếu phẳng. Để làm được điều này, cần phải hạ các đường vuông góc Aa và A từ điểm đã cho xuống các mặt phẳng đã xét.

Phép chiếu lên mặt phẳng nằm ngang được gọi là chế độ xem kế hoạchđiểm NHƯNG, và phép chiếu một? trên mặt phẳng chính diện được gọi là chiếu phía trước.

Các điểm sẽ được chiếu trong hình học mô tả thường được biểu thị bằng các chữ cái Latinh viết hoa. A, B, C. Các chữ cái nhỏ được sử dụng để chỉ định các hình chiếu ngang của các điểm. a, b, c... Các hình chiếu từ phía trước được biểu thị bằng các chữ cái nhỏ với một nét ở trên cùng a ?, b ?, c?…

Việc chỉ định các điểm với các chữ số La Mã I, II, ... cũng được sử dụng và cho các phép chiếu của chúng - với các chữ số Ả Rập 1, 2 ... và 1?, 2? ...

Khi mặt phẳng nằm ngang được quay một góc 90 °, ta có thể thu được hình vẽ trong đó cả hai mặt phẳng nằm trong cùng một mặt phẳng (Hình 5). Bức tranh này được gọi là âm mưu điểm.

Qua các đường vuông góc Ah và Ah? vẽ một mặt phẳng (Hình 4). Mặt phẳng tạo thành vuông góc với mặt phẳng trực diện và mặt phẳng ngang vì nó chứa các đường vuông góc với các mặt phẳng này. Do đó, mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến của các mặt phẳng. Đường thẳng thu được cắt mặt phẳng nằm ngang theo một đường thẳng aa x, và mặt phẳng phía trước - trên một đường thẳng Huh? X. Thẳng thắn và Huh? x vuông góc với trục giao tuyến của các mặt phẳng. I E Aaah? là một hình chữ nhật.

Khi kết hợp mặt phẳng chiếu ngang và mặt phẳng chiếu chính diện một và một? sẽ nằm trên một vuông góc với trục giao của các mặt phẳng, vì khi mặt phẳng nằm ngang quay, độ vuông góc của các đoạn aa x và Huh? x không bị hỏng.

Chúng tôi nhận được điều đó trên sơ đồ chiếu một và một? một số điểm NHƯNG luôn nằm trên cùng một phương vuông góc với trục giao tuyến của các mặt phẳng.

Hai phép chiếu a và một? của một số điểm A có thể xác định duy nhất vị trí của nó trong không gian (Hình 4). Điều này được khẳng định bởi khi dựng một đường vuông góc từ hình chiếu a xuống mặt phẳng nằm ngang thì nó sẽ đi qua điểm A. Tương tự, đường vuông góc từ hình chiếu một?đến mặt phẳng trực diện sẽ đi qua điểm NHƯNG, tức là điểm NHƯNGđồng thời nằm trên hai đường thẳng xác định. Điểm A là giao điểm của chúng, tức là nó là xác định.

Xem xét một hình chữ nhật Aaa X một?(Hình 5), các câu sau đây là đúng:

1) Khoảng cách điểm NHƯNG từ mặt phẳng chính diện bằng khoảng cách của hình chiếu ngang a từ trục giao của các mặt phẳng, tức là

Ah? = aa X;

2) khoảng cách điểm NHƯNG từ mặt phẳng nằm ngang của các hình chiếu bằng khoảng cách của hình chiếu chính diện của nó một? từ trục giao của các mặt phẳng, tức là

Ah = Huh? X.

Nói cách khác, ngay cả khi không có chính điểm trên biểu đồ, chỉ sử dụng hai hình chiếu của nó, bạn có thể tìm ra điểm này nằm ở khoảng cách nào từ mỗi mặt phẳng chiếu.

Giao tuyến của hai mặt phẳng hình chiếu chia không gian thành bốn phần gọi là quý(Hình 6).

Trục giao của các mặt phẳng chia mặt phẳng nằm ngang thành hai phần - phía trước và phía sau, và mặt phẳng phía trước thành phần trên và phần dưới. Phần trên của mặt phẳng trán và phần trước của mặt phẳng ngang được coi là ranh giới của phần tư thứ nhất.

Khi nhận được sơ đồ, mặt phẳng nằm ngang sẽ quay và trùng với mặt phẳng phía trước (Hình 7). Trong trường hợp này, mặt trước của mặt phẳng ngang sẽ trùng với đáy của mặt phẳng chính diện và mặt sau của mặt phẳng ngang với đỉnh của mặt phẳng chính diện.

Hình 8-11 cho thấy các điểm A, B, C, D, nằm trong các phần khác nhau của không gian. Điểm A ở phần tư thứ nhất, điểm B ở phần thứ hai, điểm C ở phần thứ ba, và điểm D ở phần tư.

Khi các điểm nằm trong phần tư đầu tiên hoặc phần tư của phép chiếu ngang nằm ở phía trước của mặt phẳng nằm ngang, và trên sơ đồ chúng sẽ nằm bên dưới trục giao của các mặt phẳng. Khi một điểm nằm ở phần tư thứ hai hoặc thứ ba, hình chiếu ngang của nó sẽ nằm trên mặt sau của mặt phẳng nằm ngang và trên sơ đồ, hình chiếu đó sẽ nằm trên trục giao của các mặt phẳng.

Các phép chiếu phía trước các điểm nằm trong phần tư thứ nhất hoặc thứ hai sẽ nằm ở phần trên của mặt phẳng chính diện, và trên sơ đồ, chúng sẽ nằm ở phía trên trục giao của các mặt phẳng. Khi một điểm nằm trong phần tư thứ ba hoặc thứ tư, hình chiếu trực diện của nó nằm dưới trục giao của các mặt phẳng.

Thông thường, trong các công trình xây dựng thực tế, hình vẽ được đặt ở phần tư không gian đầu tiên.

Trong một số trường hợp cụ thể, điểm ( E) có thể nằm trên một mặt phẳng nằm ngang (Hình 12). Trong trường hợp này, hình chiếu ngang e và điểm chính nó sẽ trùng nhau. Hình chiếu trực diện của một điểm như vậy sẽ nằm trên trục của giao tuyến của các mặt phẳng.

Trong trường hợp điểm Đến nằm trên mặt phẳng phía trước (Hình 13), hình chiếu ngang của nó k nằm trên trục giao của các mặt phẳng và mặt trước k? hiển thị vị trí thực tế của điểm đó.

Đối với những điểm như vậy, dấu hiệu cho thấy nó nằm trên một trong những mặt phẳng hình chiếu là một trong những hình chiếu của nó nằm trên trục giao của các mặt phẳng.

Nếu một điểm nằm trên trục giao của các mặt phẳng hình chiếu thì điểm đó và cả hai hình chiếu của nó trùng nhau.

Khi một điểm không nằm trên mặt phẳng chiếu, nó được gọi là điểm của vị trí chung. Trong phần tiếp theo, nếu không có điểm đặc biệt nào thì điểm đang xét là điểm ở vị trí chung.

2. Thiếu trục chiếu

Để giải thích cách thu được hình chiếu mô hình của một điểm lên mặt phẳng chiếu vuông góc (Hình 4), cần lấy một tờ giấy dày có dạng một hình chữ nhật dài. Nó cần được uốn cong giữa các phép chiếu. Đường gấp sẽ mô tả trục của giao tuyến của các mặt phẳng. Nếu sau đó mảnh giấy bị uốn cong được duỗi thẳng trở lại, ta được một sơ đồ tương tự như trong hình.

Kết hợp hai mặt phẳng hình chiếu với mặt phẳng hình vẽ, bạn không thể hiển thị đường gấp khúc, tức là không vẽ được trục giao của các mặt phẳng trên sơ đồ.

Khi xây dựng trên một sơ đồ, bạn phải luôn đặt các phép chiếu một và một?điểm A trên một đường thẳng đứng (Hình 14), vuông góc với trục giao của các mặt phẳng. Do đó, ngay cả khi vị trí của trục giao của các mặt phẳng không xác định được nhưng đã xác định được phương của nó thì trục của giao tuyến của các mặt phẳng chỉ có thể vuông góc với đường thẳng trên giản đồ. Ah?.

Nếu không có trục chiếu trên giản đồ điểm, như trong hình 14 a đầu tiên, bạn có thể hình dung vị trí của điểm này trong không gian. Để làm điều này, hãy vẽ ở bất kỳ vị trí nào vuông góc với đường thẳng Ah? trục chiếu, như trong hình thứ hai (Hình 14) và uốn cong hình vẽ dọc theo trục này. Nếu chúng ta khôi phục các đường vuông góc tại các điểm một và một? trước khi chúng giao nhau, bạn có thể nhận được một điểm NHƯNG. Khi thay đổi vị trí của trục hình chiếu ta thu được các vị trí khác nhau của điểm so với mặt phẳng hình chiếu, nhưng độ không đảm bảo của vị trí trục hình chiếu không ảnh hưởng đến vị trí tương đối của một số điểm hoặc hình trong không gian.

3. Hình chiếu của một điểm lên ba mặt phẳng hình chiếu

Xem xét mặt phẳng biên dạng của các hình chiếu. Các phép chiếu trên hai mặt phẳng vuông góc thường xác định vị trí của hình và giúp ta có thể tìm ra kích thước và hình dạng thực của nó. Nhưng có những lúc hai phép chiếu là không đủ. Sau đó áp dụng việc xây dựng hình chiếu thứ ba.

Mặt phẳng hình chiếu thứ ba được thực hiện sao cho đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng hình chiếu (Hình 15). Mặt phẳng thứ ba được gọi là Hồ sơ.

Trong cấu tạo như vậy, đường thẳng chung của mặt phẳng nằm ngang và mặt trước được gọi là trục X , đường chung của mặt phẳng nằm ngang và mặt phẳng biên dạng - trục tại , và đường thẳng chung của mặt phẳng chính diện và mặt phẳng - trục z . Chấm O, thuộc cả ba mặt phẳng, được gọi là điểm gốc.

Hình 15a cho thấy điểm NHƯNG và ba trong số các phép chiếu của nó. Chiếu lên mặt phẳng biên dạng ( một??) được gọi là chiếu hồ sơ và biểu thị một??.

Để có được một sơ đồ của điểm A, bao gồm ba hình chiếu a, a a, cần phải cắt khối tam diện được tạo thành bởi tất cả các mặt phẳng dọc theo trục y (Hình 15b) và kết hợp tất cả các mặt phẳng này với mặt phẳng của hình chiếu chính diện. Mặt phẳng nằm ngang phải được quay quanh trục X và mặt phẳng biên dạng gần trục z theo hướng được chỉ ra bởi mũi tên trong Hình 15.

Hình 16 cho thấy vị trí của các phép chiếu à, hả? và một??điểm NHƯNG, nhận được là kết quả của việc kết hợp cả ba mặt phẳng với mặt phẳng vẽ.

Kết quả của việc cắt, trục y xuất hiện trên sơ đồ ở hai vị trí khác nhau. Trên mặt phẳng nằm ngang (Hình 16), nó có vị trí thẳng đứng (vuông góc với trục X), và trên mặt phẳng biên dạng - nằm ngang (vuông góc với trục z).

Hình 16 cho thấy ba phép chiếu à, hả? và một?? Các điểm A có một vị trí xác định chặt chẽ trên sơ đồ và tuân theo các điều kiện rõ ràng:

một và một? phải luôn nằm trên một đường thẳng thẳng đứng vuông góc với trục X;

một? và một?? phải luôn nằm trên cùng một đường ngang vuông góc với trục z;

3) khi được vẽ qua hình chiếu ngang và đường nằm ngang, nhưng qua hình chiếu nghiêng một??- một đường thẳng thẳng đứng, các đường thẳng xây dựng nhất thiết phải cắt nhau trên đường phân giác của góc giữa các trục hình chiếu, kể từ hình Oa tại một 0 một n là hình vuông.

Khi xây dựng ba hình chiếu của một điểm, cần phải kiểm tra việc đáp ứng cả ba điều kiện của mỗi điểm.

4. Tọa độ điểm

Vị trí của một điểm trong không gian có thể được xác định bằng cách sử dụng ba số được gọi là tọa độ. Mỗi tọa độ tương ứng với khoảng cách của một điểm từ mặt phẳng hình chiếu nào đó.

Khoảng cách điểm NHƯNG mặt phẳng biên dạng là tọa độ X, trong đó X = Huh?(Hình 15), khoảng cách đến mặt phẳng chính diện - theo tọa độ y, và y = Huh?, và khoảng cách đến mặt phẳng nằm ngang là tọa độ z, trong đó z = aA.

Trong Hình 15, điểm A chiếm chiều rộng của một hình hộp chữ nhật và các số đo của hình hộp này tương ứng với tọa độ của điểm này, tức là mỗi tọa độ được trình bày trong Hình 15 bốn lần, tức là:

x \ u003d a? a \ u003d Oa x \ u003d a y a \ u003d a z a ?;

y \ u003d a? a \ u003d Oa y \ u003d a x a \ u003d a z a ?;

z = aA = Oa z = a x a? = a y a?.

Trên biểu đồ (Hình 16), tọa độ x và z xảy ra ba lần:

x \ u003d a z a? \ u003d Oa x \ u003d a y a,

z = a x a? = Oa z = a y a?.

Tất cả các phân đoạn tương ứng với tọa độ X(hoặc z) song song với nhau. Danh từ: Tọa độ tạiđược biểu diễn hai lần bởi trục tung:

y \ u003d Oa y \ u003d a x a

và hai lần - nằm theo chiều ngang:

y \ u003d Oa y \ u003d a z a ?.

Sự khác biệt này xuất hiện do trục y hiện diện trên biểu đồ ở hai vị trí khác nhau.

Cần lưu ý rằng vị trí của mỗi hình chiếu được xác định trên sơ đồ chỉ bằng hai tọa độ, đó là:

1) ngang - tọa độ X và tại,

2) phía trước - tọa độ x và z,

3) hồ sơ - tọa độ tại và z.

Sử dụng tọa độ x, y và z, bạn có thể xây dựng các hình chiếu của một điểm trên sơ đồ.

Nếu điểm A được cho bởi tọa độ, bản ghi của chúng được xác định như sau: A ( X; y; z).

Khi xây dựng các phép chiếu điểm NHƯNG các điều kiện sau phải được kiểm tra:

1) phép chiếu ngang và chiếu trực diện một và một? X X;

2) các hình chiếu trực diện và sơ lược một? và một? nên nằm trên cùng vuông góc với trục z, vì chúng có một tọa độ chung z;

3) hình chiếu ngang và cũng được loại bỏ khỏi trục X, giống như bản chiếu hồ sơ một xa trục z, kể từ khi chiếu ah? và hả? có một tọa độ chung tại.

Nếu điểm nằm trong bất kỳ mặt phẳng hình chiếu nào, thì một trong các tọa độ của nó bằng không.

Khi một điểm nằm trên trục hình chiếu thì hai tọa độ của nó bằng không.

Nếu một điểm nằm tại gốc tọa độ thì cả ba tọa độ của nó đều bằng không.