Vẽ sơ đồ bề mặt của một mặt trụ xoay. bề mặt hình nón

Định lý.

Khoảng cách từ điểm tới đường, cho một điểm và một vectơ chỉ phương có thể được tìm theo công thức

MỘT khoảng cách giữa hai đường cắt nhauđược tìm thấy bởi công thức

Bề mặt quay là một bề mặt, cùng với mỗi điểm của nó, chứa toàn bộ đường tròn thu được bằng cách quay điểm này quanh một đường cố định nào đó. Đường thẳng được thực hiện phép quay được gọi là trục quay. Phép quay của một điểm quanh một trục xảy ra trong mặt phẳng vuông góc với trục đó. Trong phần bề mặt quay của các mặt phẳng vuông góc với trục quay, thu được các vòng tròn, được gọi là sự tương đồng. Các mặt phẳng đi qua trục quay cắt mặt quay theo những đường thẳng gọi là kinh tuyến.

Định lý. TRONG hệ thống hình chữ nhật phương trình tọa độ

là phương trình của bề mặt xoay được hình thành khi quay quanh trục của đường thẳng, cho bởi các phương trình

Bề mặt hình trụ hoặc hình trụ là một bề mặt cùng với mỗi điểm chứa toàn bộ đường thẳng đi qua điểm song song với một vectơ khác 0 cho trước. Thẳng, song song với vectơ và thuộc một mặt hình trụ được gọi là hình thành bề mặt này.

Bề mặt hình trụ có thể được hình thành như sau. Giả sử là một đường thẳng nào đó và là một vectơ khác 0. Bề mặt được hình thành bởi tất cả các đường thẳng, mỗi đường thẳng đi qua một điểm nhất định của đường thẳng song song với vectơ, sẽ có dạng hình trụ. Trong trường hợp này dòng được gọi hướng dẫnđây là những bề mặt.

Nếu hệ tọa độ hình chữ nhật được chọn sao cho các bộ tạo bề mặt hình trụ bậc hai song song với trục và hướng dẫn trong hệ thống có phương trình chính tắc thì các bề mặt hình trụ được xác định như sau.

- hình trụ hình elip;

- hình trụ hyperbol;

- hình trụ parabol;

-một hình trụ tách thành một cặp mặt phẳng cắt nhau dọc theo trục;

- một hình trụ chia thành một cặp mặt phẳng song song;

- một hình trụ, là một cặp mặt phẳng hợp nhất.

Những phương trình này được gọi là phương trình chính tắc các bề mặt hình trụ tương ứng bậc hai.

Nếu trong phương trình chính tắc của hình trụ elip thì hướng dẫn của hình trụ là đường tròn nằm trong mặt phẳng. Trong trường hợp này bề mặt là xi lanh quay.

bề mặt hình nón hoặc hình nón với một đỉnh tại một điểm là một bề mặt có tính chất là cùng với mỗi điểm của nó khác với điểm đó, bề mặt này chứa một đường thẳng.

Các đường thẳng đi qua đỉnh của hình nón và nằm trên đó gọi là hình thành hình nón này.

Chúng ta hãy xét một đường thẳng và một điểm trong không gian không nằm trên đường thẳng đó. Bề mặt được hình thành bởi tất cả các đường thẳng, mỗi đường đi qua một điểm và đi qua một điểm nào đó của đường thẳng, là một bề mặt hình nón có một đỉnh.

Trong trường hợp này dòng được gọi hướng dẫn.

Xét một bề mặt hình nón có đỉnh ở gốc của hệ tọa độ hình chữ nhật, hướng dẫn của nó là một hình elip:

Hãy tìm phương trình của bề mặt này. Cho một điểm khác với điểm thuộc hình nón. Khi đó đường thẳng sẽ cắt đường dẫn tại một điểm nào đó. Vì cả hai vectơ đều thẳng hàng nên tồn tại một số thực, cái đó hoặc trong tọa độ:

Từ đây chúng ta tìm thấy

Thay thế các biểu thức thu được vào biểu thức đầu tiên, sau các phép biến đổi đơn giản, chúng ta tìm thấy:

Vì vậy, tọa độ của bất kỳ điểm nào trên hình nón đều thỏa mãn phương trình này. Cũng dễ dàng kiểm chứng rằng nếu một điểm không thuộc hình nón thì tọa độ của nó không thỏa mãn phương trình này.

Như vậy, ta thu được phương trình bậc hai nên hình nón được gọi là một hình nón bậc hai. Và chính phương trình đó được gọi là phương trình chính tắc của bề mặt hình nón bậc hai.

Trong trường hợp hướng dẫn của bề mặt hình nón bậc hai là một đường tròn, nghĩa là khi , phương trình có dạng

Bề mặt được xác định bởi phương trình này trong hệ tọa độ hình chữ nhật được gọi là bề mặt hình nón tròn hoặc một hình nón tròn.

Bài học thực tế:

Chủ đề 1:

Chủ đề 2:

Chủ đề 3:

Chủ đề 4:

Chủ đề 5:

Chủ đề 6:

Chủ đề 7:

Chủ đề 8:

Chủ đề 9:

Chủ đề 10:

Chủ đề 11.

Chủ đề 12.

Chủ đề 13.

Chủ đề 14.

Chủ đề 15.

Làm việc độc lập sinh viên:

Chủ đề 1: Các phép toán nhị phân trên một tập hợp. Khái niệm nhóm, vành và trường. Ví dụ. Trường số phức. Số 101 – 113, 17 – 18 b. ; Số 2,8, 2,10, 2,13, 2,15-2,21, 18-20 b.

Chủ đề 2: Các phép toán trên số phức. Dạng đại số và lượng giác số phức. Số 118 – 119, 136 – 140, 19 -20 b., Số 2,22 – 2,23, 2,26 – 2,28, 2,46-2,50, 20 – 23 b.

Chủ đề 3: Hoán vị và thay thế. Nhóm thay thế. Sự thay thế theo chu kỳ. Số 219 -221, 223, Số 410/28 – 29, 55 -56 b. Số 3,2 – 3,6, 3,38 / 26 – 27, 33 b

Chủ đề 4: Ma trận và các phép toán trên chúng. Các yếu tố quyết định của bậc hai và bậc ba. Số 235 – 240, 243 – 245, 231-232/31-32 b., Số 3,24-3,27, 3,30 (1,2)/29-30 b.

Chủ đề 5: Các yếu tố quyết định và tính chất của chúng. Trẻ vị thành niên và phép cộng đại số. Các định thức bậc n Số 231–232, 266–267, 273–280, Số 374, 31, 35–37, 48 b., Số 442 / 61 b. , Số 3,30–3,31 / 30–31 b., Số 4,24–4,28 / 44-45 b.

Chủ đề 6: Ma trận nghịch đảo và các phương pháp tính toán. Phương trình ma trận. Số 400, 410–411 / 55–56 b. , Số 3,38–3,40 / 33–34 b.

Chủ đề 7: Hệ thống Các phương trình tuyến tính. Không gian vectơ n chiều số học. Phương pháp Gauss. Quy tắc Cramer. Số 443–447 / 62–64 b. , Số 4,18–4,19, 4,64 / 41 – 43, 51 b.

Chủ đề 8:Đa thức trong một biến GCD của đa thức. Căn nguyên của đa thức. Công thức của Vieta. Định lý cơ bản của đại số và hệ quả của nó. Số 400–402 / 53–54 b. , Số 443–447, 449 / 62 – 64 b. Số 3,55-3,59, 4,18 - 4,19, 4,64 /36-37, 41-43, 51 b.

Chủ đề 9: Vectơ. Nền tảng không gian vector. Số 650, 167, 173/89, 22 – 23 b. , Số 11,59, 11,60, 11,65, 11,74 – 11,77, 11,81 – 11,86 / 123 – 125 b.

Chủ đề 10: Vô hướng, vectơ và tích hỗn hợp của vectơ. 104, 114, 117, 118, 124, 424, 428, 445(1,3,6), 446(1,3), 454, 462, 468(1,3), 473, 487(1), 489( 1.3) .

Chủ đề 11.Đường thẳng trên mặt phẳng. Các loại khác nhau các phương trình trên mặt phẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Vị trí tương đối của hai đường thẳng. 279(a, c), 282(a, c), 289(a, c), 294(a), 552, 553.

Chủ đề 12.Đường cong bậc hai. Hình elip, hyperbol, parabol. Phần kết luận phương trình chính tắc. 376, 379, 392, 403, 477(a, c), 479, 486, 507(a), 515, 558(1.3), 559(1.3), 564(1, 3), 567, 584 (1), 585(1), 598, 600(1).

Chủ đề 13. Máy bay trong không gian. Các loại phương trình mặt phẳng khác nhau. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng. 756, 758(a, c), 764(a, c), 765(a, c), 767(a, c), 794(a, c), 796(a, c), 798, 713, 715, 718(1), 719(1), 728(1, 3), 730(1), 733(1, 3).

Chủ đề 14.Đường thẳng trong không gian. Các loại phương trình khác nhau. Vị trí tương đối của hai đường thẳng. 1058(a), 1059(a, c), 1060(a), 1066(a), 1068(a), 1113(a), 1116(a), 1122(a), 624(1, 3), 625 (1,3), 630(1), 632, 645(1).

Chủ đề 15. Các bề mặt bậc 2. Các bề mặt quay. Các bề mặt hình trụ. Các bề mặt hình nón. 1252, 1254(a, c), 1256, 769, 770(1), 771, 775(1).

Cơm. 3,15

Các bề mặt quay có ứng dụng rất rộng rãi trong mọi lĩnh vực công nghệ. Bề mặt quay là bề mặt được tạo ra do sự quay của một đường dây phát điện nhất định. 1 quanh một đường cố định Tôi- trục quay của bề mặt (Hình 3.15). Trong bản vẽ, bề mặt quay được xác định bằng đường viền của nó. Đường viền của một bề mặt là các đường giới hạn diện tích hình chiếu của nó. Trong quá trình quay, mỗi điểm của ma trận mô tả một đường tròn, mặt phẳng của đường tròn đó vuông góc với trục. Theo đó, giao tuyến của mặt quay với mặt phẳng vuông góc với trục là đường tròn. Những vòng tròn như vậy được gọi là đường song song (Hình 3.15). Phần song song của bán kính lớn nhất được gọi là đường xích đạo, phần nhỏ nhất - cổ họng. Mặt phẳng đi qua trục của bề mặt quay được gọi là kinh tuyến, đường giao nhau của nó với bề mặt quay được gọi là kinh tuyến. Kinh tuyến nằm trong mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu gọi là kinh tuyến chính. Trong thực hành vẽ, các bề mặt xoay sau đây thường gặp nhất: hình trụ, hình nón, hình cầu, hình xuyến.

Cơm. 3.16

Bề mặt xoay hình trụ. Là người hướng dẫn MỘT nên lấy một vòng tròn, và như một đường thẳng b- trục Tôi(Hình 3.16). Sau đó chúng ta thấy rằng máy phát điện tôi, song song với trục Tôi, quay xung quanh cái sau. Nếu trục quay vuông góc mặt phẳng nằm ngang dự đoán, sau đó tiếp tục P 1 bề mặt hình trụ được chiếu thành một hình tròn và lên trên P 3 - thành một hình chữ nhật. Kinh tuyến chính của một mặt hình trụ là hai đường thẳng song song.

Hình 3.17

Bề mặt quay hình nón chúng ta thu được bằng cách xoay ma trận tạo tuyến tính tôi quanh trục Tôi. Trong trường hợp này, máy phát điện tôiđi qua trục Tôi tại điểm S, gọi là đỉnh của hình nón (Hình 3.17). Kinh tuyến chính của mặt hình nón là hai đường thẳng cắt nhau. Nếu ta lấy đoạn thẳng làm phần tử và trục của hình nón vuông góc P 1, sau đó tiếp tục P 1 bề mặt hình nón được chiếu thành hình tròn và lên trên P 2 - thành một hình tam giác.

Bề mặt hình cầuđược hình thành do đường tròn quay quanh một trục đi qua tâm đường tròn và nằm trong mặt phẳng của nó (Hình 3.18). Đường xích đạo và các kinh tuyến của mặt cầu là những đường tròn bằng nhau. Vì vậy, khi chiếu trực giao lên bất kỳ mặt phẳng nào, bề mặt hình cầu được chiếu thành các hình tròn.

Cơm. 3.18 Khi một đường tròn quay quanh một trục nằm trong mặt phẳng của đường tròn này nhưng không đi qua tâm của nó thì sẽ hình thành một bề mặt gọi là hình xuyến (Hình 3.19).

Cơm. 3.19

11. CÁC BÀI TẬP VỀ VỊ TRÍ. Dưới vị tríđề cập đến các vấn đề mà lời giải của nó cho phép chúng ta có được câu trả lời về việc liệu một phần tử (điểm) hoặc tập hợp con (đường) có thuộc về một tập hợp (bề mặt) hay không. Nhiệm vụ định vị cũng bao gồm các nhiệm vụ xác định các yếu tố chung thuộc các lĩnh vực khác nhau. hình dạng hình học. Nhóm bài toán đầu tiên có thể được kết hợp dưới tên chung là bài toán thành viên. Đặc biệt, chúng bao gồm các nhiệm vụ để xác định: 1) liệu một điểm có thuộc về một đường hay không; 2) liệu một điểm có thuộc về một bề mặt hay không; 3) liệu một đường có thuộc về một bề mặt hay không. Nhóm thứ hai bao gồm các vấn đề về giao điểm. Nhóm này cũng bao gồm ba loại bài toán: 1) về giao điểm của một đường thẳng với một đường thẳng; 2) về giao điểm của một mặt với một mặt; 3) về giao điểm của một đường thẳng với một mặt. Sự thuộc về một điểm trên một bề mặt . Điểm chính khi giải quyết vấn đề cho tùy chọn phụ kiện này là: : một điểm thuộc một bề mặt nếu nó thuộc bất kỳ đường nào của bề mặt đó. Trong trường hợp này, các đường thẳng phải được chọn càng đơn giản càng tốt để dễ dàng xây dựng các hình chiếu của đường thẳng đó, sau đó sử dụng thực tế là các hình chiếu của một điểm nằm trên bề mặt phải thuộc cùng các hình chiếu của đường thẳng này. bề mặt . Một giải pháp ví dụ cho vấn đề này được hiển thị trong hình.. Ở đây có hai giải pháp, vì có thể vẽ hai đường thẳng đơn giản thuộc bề mặt hình nón. Trong trường hợp đầu tiên, một đường thẳng được vẽ - đường sinh của bề mặt hình nón S1 để nó đi qua bất kỳ phép chiếu đã chođiểm C. Do đó, chúng ta giả sử rằng điểm C thuộc về bề mặt hình nón tạo ra S1, và do đó thuộc về chính bề mặt hình nón. Trong trường hợp này, các hình chiếu cùng tên của điểm C phải nằm trên các hình chiếu tương ứng của đường sinh này. Một đường thẳng đơn giản khác là đường tròn có đường kính 1-2 (bán kính của đường tròn này được đo từ trục của hình nón. đến bộ tạo phác thảo). Thực tế này đã được biết đến từ một môn hình học ở trường: khi một hình nón tròn cắt một mặt phẳng song song với đáy hoặc vuông góc với trục của nó thì sẽ thu được một mặt cắt ngang. Cách giải thứ hai cho phép tìm hình chiếu còn thiếu của điểm C xác định bằng hình chiếu trực diện của nó, thuộc bề mặt của hình nón và trùng trong hình vẽ với trục quay của hình nón mà không cần dựng hình chiếu thứ ba. Bạn phải luôn ghi nhớ xem một điểm nằm trên bề mặt hình nón là nhìn thấy được hay không nhìn thấy được (nếu không nhìn thấy được thì hình chiếu tương ứng của điểm sẽ được đặt trong ngoặc). Rõ ràng là trong bài toán của chúng ta, điểm C thuộc về bề mặt, vì các hình chiếu của điểm thuộc về hình chiếu của các đường cùng tên được sử dụng cho lời giải trong cả hai phương pháp giải thứ nhất và thứ hai. Thuộc đường bề mặt. Điểm chính: một đường thẳng thuộc về một bề mặt nếu tất cả các điểm của đường đó thuộc về một bề mặt nhất định. Điều này có nghĩa là trong trường hợp thuộc thành viên này, vấn đề một điểm có thuộc về một bề mặt hay không phải được giải quyết nhiều lần. Torema Monge: nếu hai bề mặt bậc hai được mô tả bằng một phần ba hoặc nội tiếp trong đó, thì đường giao nhau của chúng sẽ chia thành hai đường cong bậc hai, các mặt phẳng của chúng đi qua đường thẳng nối các điểm giao nhau của đường tròn tiếp tuyến.

12. PHẦN HÌNH NÓN QUAY BẰNG MÁY CHIẾU . Khi băng qua các bề mặt vật thể bằng mặt phẳng chiếu thì một hình chiếu của mặt cắt trùng với hình chiếu của mặt phẳng chiếu. Một hình nón có thể có năm hình dạng cắt ngang khác nhau. Tam giác- nếu mặt phẳng cắt cắt hình nón qua đỉnh dọc theo hai đường sinh. Vòng tròn- nếu mặt phẳng cắt hình nón song song với đáy (vuông góc với trục). hình elip- nếu mặt phẳng cắt tất cả các đường sinh ở một góc nhất định. Parabol- nếu mặt phẳng song song với một trong các đường sinh của hình nón. cường điệu- nếu mặt phẳng song song với trục hoặc hai đường sinh của hình nón. Mặt cắt của một bề mặt bởi một mặt phẳngđại diện hình phẳng, giới hạn đường khép kín, mọi điểm của nó đều thuộc mặt phẳng cắt và bề mặt. Khi một mặt phẳng cắt một mặt cắt một khối đa diện, sẽ thu được một đa giác có các đỉnh nằm trên các cạnh của khối đa diện. Ví dụ. Xây dựng các hình chiếu của đường thẳng L của giao điểm của bề mặt của hình nón tròn vuông ω với mặt phẳng β. Giải pháp. Mặt cắt tạo ra một hình parabol, đỉnh của nó được chiếu tới điểm A (A′, A′′). Các điểm A, D, E của đường giao nhau là các điểm cực trị. Trong bộ lễ phục. Việc xây dựng đường giao nhau mong muốn được thực hiện bằng cách sử dụng các mặt phẳng nằm ngang có mức αi, giao với bề mặt của hình nón ω dọc theo các đường song song pi và mặt phẳng β - dọc theo các đoạn của các đường thẳng chiếu phía trước. Đường giao nhau L hiện rõ hoàn toàn trên các mặt phẳng.

№13. Bề mặt đồng trục. Phương pháp hình cầu đồng tâm.

Khi xây dựng đường giao nhau của các bề mặt, đặc thù của giao điểm của các bề mặt xoay đồng trục cho phép sử dụng các mặt cầu đồng trục với các bề mặt này làm bề mặt trung gian phụ trợ. Các bề mặt quay đồng trục bao gồm các bề mặt có một trục quay chung. Trong bộ lễ phục. 134 thể hiện một hình trụ và hình cầu đồng trục (Hình 134, a), một hình nón và hình cầu đồng trục (Hình 134, b) và một hình trụ và hình nón đồng trục (Hình 134, c)

Các bề mặt quay đồng trục luôn cắt nhau dọc theo các đường tròn có mặt phẳng vuông góc với trục quay. Có nhiều đường tròn chung cho cả hai bề mặt cũng như có nhiều điểm giao nhau của các đường viền của các bề mặt. Các bề mặt trong hình. 134 giao nhau dọc theo các vòng tròn được tạo bởi điểm 1 và 2 của giao điểm kinh tuyến chính của chúng. Một hình cầu trung gian phụ cắt từng bề mặt đã cho dọc theo một đường tròn, tại giao điểm của chúng thu được các điểm thuộc về bề mặt kia và do đó thuộc về đường giao nhau. Nếu các trục của các bề mặt giao nhau thì các hình cầu phụ được vẽ từ một tâm - điểm giao nhau của các trục. Trong trường hợp này, đường giao nhau của các bề mặt được xây dựng bằng phương pháp các quả cầu đồng tâm phụ. Khi dựng đường giao nhau của các mặt sử dụng phương pháp mặt cầu đồng tâm phụ phải đảm bảo các điều kiện sau: 1) Giao điểm của các mặt quay; 2) các trục của các mặt - đường thẳng cắt nhau - song song với một trong các mặt phẳng chiếu, tức là có mặt phẳng chung tính đối xứng; 3) bạn không thể sử dụng phương pháp mặt phẳng cắt phụ vì chúng không cung cấp các đường đồ họa đơn giản trên các bề mặt. Thông thường, phương pháp mặt cầu phụ được sử dụng kết hợp với phương pháp mặt phẳng cắt phụ. Trong bộ lễ phục. Trong hình 135, một đường giao nhau của hai bề mặt hình nón quay với các trục quay giao nhau trong mặt phẳng phía trước mức Ф (Ф1) đã được xây dựng. Điều này có nghĩa là các kinh tuyến chính của các bề mặt này giao nhau và tại giao điểm của chúng cho biết điểm nhìn thấy của đường giao nhau so với mặt phẳng P2 hoặc điểm A cao nhất và điểm B thấp nhất. Tại giao điểm của đường kinh tuyến ngang h và đường song song h”, nằm trong một mặt phẳng cắt phụ Г(Г2), xác định được tầm nhìn C và D của đường giao nhau so với mặt phẳng P1. Sử dụng đường cắt phụ là không phù hợp. các mặt phẳng để xây dựng các điểm bổ sung của đường giao nhau, vì các mặt phẳng song song với Ф, sẽ cắt cả hai bề mặt dọc theo hyperbol, và các mặt phẳng song song với Г sẽ tạo ra các đường tròn và hyperbol tại giao điểm của các bề mặt. của các bề mặt sẽ giao nhau dọc theo các đường sinh và hình elip B. trong ví dụ nàyđã đáp ứng được các điều kiện cho phép sử dụng các quả cầu phụ để xây dựng các điểm của đường giao nhau. Các trục của các mặt quay cắt nhau tại điểm O (O1; O2) là tâm của các hình cầu phụ, bán kính hình cầu thay đổi trong khoảng Rmin< R < Rmах- Радиус максимальной сферы определяется расстоянием от центра О наиболее удаленной точки В (Rmax = О2В2), а радиус минимальной сферы определяется как радиус сферы, касающейся одной поверхности (по окружности h2) и пересекающей другую (по окружности h3).Плоскости этих окружностей перпендикулярны осям вращения поверхностей. В пересечении этих окружностей получаем точки Е и F, принадлежащие линии пересечения поверхностей:

h22^h32 = E2(F2); E2E1 || A2A1; E2E1^h21 =E1; F2F ^ h1 = F1 Một quả cầu trung gian có bán kính R cắt các bề mặt dọc theo đường tròn h4 và h5, tại giao điểm của chúng là các điểm Mie N: h42 ^ h52 = M2(N2); M2M1 || A2A1, M2M1^h41 = M1; N2N1 ^ h41 = N1 Bằng cách kết nối các hình chiếu của các điểm được xây dựng có cùng tên, có tính đến khả năng hiển thị của chúng, chúng ta thu được hình chiếu của đường giao nhau của các bề mặt.

Số 14. xây dựng một đường giao nhau của các bề mặt nếu có ít nhất một trong số chúng nhô ra. Các điểm đặc trưng của đường giao nhau.

Trước khi bắt đầu xây dựng đường giao nhau của các bề mặt, cần nghiên cứu kỹ các điều kiện của bài toán, tức là. những bề mặt nào giao nhau. Nếu một trong các bề mặt nhô ra thì việc giải quyết vấn đề sẽ đơn giản hơn, bởi vì trên một trong các hình chiếu, đường giao nhau trùng với hình chiếu bề mặt. Và nhiệm vụ là tìm đường chiếu thứ hai. Khi giải một bài toán, trước tiên bạn cần lưu ý những điểm “đặc trưng” hoặc những điểm “đặc biệt”. Cái này:

· Điểm trên máy phát cực trị

· Các điểm chia một đường thành phần nhìn thấy được và phần không nhìn thấy được

· Điểm trên và điểm dưới, v.v. Tiếp theo, bạn nên sáng suốt lựa chọn phương pháp mà chúng ta sẽ sử dụng khi xây dựng đường giao nhau của các bề mặt. Chúng ta sẽ sử dụng hai phương pháp: 1. mặt phẳng cắt phụ. 2. quả cầu cát tuyến phụ. Các bề mặt chiếu bao gồm: 1) hình trụ nếu trục của nó vuông góc với mặt phẳng chiếu; 2) lăng kính, nếu các cạnh của lăng kính vuông góc với mặt phẳng chiếu. Bề mặt chiếu được chiếu theo đường thẳng lên mặt phẳng chiếu. Tất cả các điểm và đường thẳng thuộc mặt bên của hình trụ chiếu hoặc lăng kính chiếu được chiếu thành một đường thẳng lên mặt phẳng sao cho trục của hình trụ hoặc cạnh của lăng kính vuông góc. Đường giao nhau của các bề mặt thuộc về cả hai bề mặt đồng thời và nếu một trong các bề mặt này hình chiếu thì có thể sử dụng quy tắc sau để dựng đường giao nhau: nếu một trong các bề mặt giao nhau là hình chiếu thì một hình chiếu của đường giao nhau là trong bản vẽ ở dạng hoàn thiện và trùng với hình chiếu của bề mặt chiếu (hình tròn mà hình trụ được chiếu vào hoặc hình đa giác mà lăng kính được chiếu vào). Hình chiếu thứ hai của đường giao nhau được xây dựng dựa trên điều kiện các điểm của đường này thuộc về một mặt không chiếu khác.

Các đặc điểm được xem xét của các điểm đặc trưng giúp dễ dàng kiểm tra tính đúng đắn của việc xây dựng đường giao nhau của các bề mặt nếu nó được xây dựng bằng cách sử dụng các điểm được chọn tùy ý. Trong trường hợp này, mười điểm là đủ để vẽ các hình chiếu mượt mà của đường giao nhau. Nếu cần thiết, có thể xây dựng bất kỳ số điểm trung gian nào. Các điểm được xây dựng được nối với nhau bằng một đường thẳng có tính đến các đặc điểm về vị trí và tầm nhìn của chúng. Hãy xây dựng nguyên tắc chung xây dựng đường giao nhau của các bề mặt: chọn loại bề mặt phụ; xây dựng các đường giao nhau của các bề mặt phụ với bề mặt đã cho; tìm các điểm giao nhau của các đường đã xây dựng và nối chúng với nhau. Chúng tôi chọn các mặt phẳng cắt phụ sao cho thu được các đường hình học đơn giản (đường thẳng hoặc đường tròn) tại giao điểm với các bề mặt đã cho. Lựa chọn mặt cắt phụ. Thông thường, các mặt phẳng chiếu, đặc biệt là các mặt phẳng ngang, được chọn làm mặt phẳng cắt phụ. Trong trường hợp này, cần phải tính đến các đường giao nhau thu được trên bề mặt do giao điểm của bề mặt với mặt phẳng. Vì vậy, hình nón là bề mặt phức tạp nhất xét về số lượng đường thẳng thu được trên nó. Chỉ các mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón hoặc vuông góc với trục của hình nón mới cắt nó theo đường thẳng và đường tròn (về mặt hình học là các đường đơn giản nhất). Một mặt phẳng chạy song song với một đường sinh sẽ cắt nó dọc theo một parabol, một mặt phẳng song song với trục của hình nón sẽ cắt nó dọc theo một hyperbol, và một mặt phẳng cắt tất cả các đường sinh và nghiêng với trục của hình nón sẽ cắt nó dọc theo một hình elip. Trên một hình cầu, khi cắt nó với một mặt phẳng luôn thu được một hình tròn, nếu cắt nó với một mặt phẳng ngang thì hình tròn này được chiếu lên mặt phẳng chiếu lần lượt thành đường thẳng và hình tròn. Vì vậy, với tư cách là các mặt phẳng phụ, chúng ta chọn các mặt phẳng ngang cắt cả hình nón và hình cầu theo hình tròn (các đường đơn giản nhất). Một số trường hợp đặc biệt giao lộ bề mặt Trong một số trường hợp, mối quan hệ về vị trí, hình dạng hoặc kích thước của các bề mặt cong đến mức không cần phải có cấu trúc phức tạp để mô tả đường giao nhau của chúng. Chúng bao gồm giao điểm của các hình trụ với các đường sinh song song, các hình nón có cùng một đỉnh, các bề mặt quay đồng trục, các bề mặt quay được mô tả xung quanh một hình cầu.

Cơm. 3,15

Các bề mặt quay có ứng dụng rất rộng rãi trong mọi lĩnh vực công nghệ. Bề mặt quay là bề mặt được tạo ra do sự quay của một đường dây phát điện nhất định. 1 quanh một đường cố định Tôi- trục quay của bề mặt (Hình 3.15). Trong bản vẽ, bề mặt quay được xác định bằng đường viền của nó. Đường viền của một bề mặt là các đường giới hạn diện tích hình chiếu của nó. Trong quá trình quay, mỗi điểm của ma trận mô tả một đường tròn, mặt phẳng của đường tròn đó vuông góc với trục. Theo đó, giao tuyến của mặt quay với mặt phẳng vuông góc với trục là đường tròn. Những vòng tròn như vậy được gọi là đường song song (Hình 3.15). Phần song song của bán kính lớn nhất được gọi là đường xích đạo, phần nhỏ nhất - cổ họng. Mặt phẳng đi qua trục của bề mặt quay được gọi là kinh tuyến, đường giao nhau của nó với bề mặt quay được gọi là kinh tuyến. Kinh tuyến nằm trên máy bay song song với mặt phẳng hình chiếu gọi là kinh tuyến chính. Trong thực hành vẽ, các bề mặt xoay sau đây thường gặp nhất: hình trụ, hình nón, hình cầu, hình xuyến.

Cơm. 3.16

Bề mặt xoay hình trụ. Là người hướng dẫn MỘT nên lấy một vòng tròn, và như một đường thẳng b- trục Tôi(Hình 3.16). Sau đó chúng ta thấy rằng máy phát điện tôi, song song với trục Tôi, quay xung quanh cái sau. Nếu trục quay vuông góc với mặt phẳng nằm ngang của hình chiếu thì trên P 1 bề mặt hình trụ được chiếu thành một hình tròn và lên trên P 3 - thành một hình chữ nhật. Kinh tuyến chính của một mặt hình trụ là hai đường thẳng song song.

Hình 3.17

Bề mặt hình cầuđược hình thành do đường tròn quay quanh một trục đi qua tâm đường tròn và nằm trong mặt phẳng của nó (Hình 3.18). Đường xích đạo và các kinh tuyến của bề mặt hình cầu là những đường tròn bằng nhau. Vì vậy, khi chiếu trực giao lên bất kỳ mặt phẳng nào, bề mặt hình cầu được chiếu thành các hình tròn.

Cơm. 3.19

11. CÁC BÀI TẬP VỀ VỊ TRÍ. Dưới vị tríđề cập đến các vấn đề mà lời giải của nó cho phép chúng ta có được câu trả lời về tư cách thành viên của một phần tử (điểm) hoặc tập hợp con (đường) với một tập hợp (bề mặt). Nhiệm vụ vị trí cũng bao gồm các nhiệm vụ xác định yếu tố chung thuộc về các hình hình học khác nhau. Nhóm nhiệm vụ đầu tiên có thể được kết hợp dưới tên gọi chung nhiệm vụ thuộc về. Đặc biệt, chúng bao gồm các nhiệm vụ để xác định: 1) liệu một điểm có thuộc về một đường hay không; 2) liệu một điểm có thuộc về một bề mặt hay không; 3) liệu một đường có thuộc về một bề mặt hay không. Nhóm thứ hai bao gồm các vấn đề về giao điểm. Nhóm này cũng bao gồm ba loại bài toán: 1) về giao điểm của một đường thẳng với một đường thẳng; 2) về giao điểm của một mặt với một mặt; 3) về giao điểm của một đường thẳng với một mặt. Sự thuộc về một điểm trên một bề mặt . Điểm chính khi giải quyết vấn đề cho tùy chọn phụ kiện này là: : một điểm thuộc một bề mặt nếu nó thuộc bất kỳ đường nào của bề mặt đó. Trong trường hợp này, các đường thẳng phải được chọn càng đơn giản càng tốt để dễ dàng xây dựng các hình chiếu của đường thẳng đó, sau đó sử dụng thực tế là các hình chiếu của một điểm nằm trên bề mặt phải thuộc cùng các hình chiếu của đường thẳng này. bề mặt . Một giải pháp ví dụ cho vấn đề này được hiển thị trong hình.. Ở đây có hai giải pháp, vì có thể vẽ hai đường thẳng đơn giản thuộc bề mặt hình nón. Trong trường hợp đầu tiên, một đường thẳng được vẽ - đường sinh của bề mặt hình nón S1 sao cho nó đi qua bất kỳ hình chiếu nào của điểm C. Do đó, chúng ta giả sử rằng điểm C thuộc về đường sinh của bề mặt hình nón S1, và do đó thuộc về bề mặt hình nón của chính nó. Trong trường hợp này, các hình chiếu cùng tên của điểm C phải nằm trên các hình chiếu tương ứng của đường sinh này. Một đường thẳng đơn giản khác là đường tròn có đường kính 1-2 (bán kính của đường tròn này được đo từ trục của hình nón. đến bộ tạo phác thảo). Thực tế này cũng được biết đến từ khóa học Hình học: Khi một hình nón tròn cắt một mặt phẳng song song với đáy của nó hoặc vuông góc với trục của nó thì sẽ thu được một mặt cắt ngang. Cách giải thứ hai cho phép tìm hình chiếu còn thiếu của điểm C xác định bằng hình chiếu trực diện của nó, thuộc bề mặt của hình nón và trùng trong hình vẽ với trục quay của hình nón mà không cần dựng hình chiếu thứ ba. Bạn phải luôn ghi nhớ xem một điểm nằm trên bề mặt hình nón là nhìn thấy được hay không nhìn thấy được (nếu không nhìn thấy được thì hình chiếu tương ứng của điểm đó sẽ được đặt trong ngoặc đơn). Rõ ràng là trong bài toán của chúng ta, điểm C thuộc về bề mặt, vì các hình chiếu của điểm thuộc về hình chiếu của các đường cùng tên được sử dụng cho lời giải trong cả hai phương pháp giải thứ nhất và thứ hai. Thuộc đường bề mặt. Điểm chính: một đường thẳng thuộc về một bề mặt nếu tất cả các điểm của đường thẳng đó thuộc về một bề mặt nhất định. Điều này có nghĩa là trong trong trường hợp nàyĐể xác định một điểm có thuộc một bề mặt hay không, bài toán một điểm có thuộc một bề mặt hay không phải được giải nhiều lần. Torema Monge: nếu hai bề mặt bậc hai được mô tả bằng một phần ba hoặc nội tiếp trong đó, thì đường giao nhau của chúng sẽ chia thành hai đường cong bậc hai, các mặt phẳng của chúng đi qua đường thẳng nối các điểm giao nhau của đường tròn tiếp tuyến.

12. PHẦN HÌNH NÓN QUAY BẰNG MÁY CHIẾU.Khi các bề mặt giao nhau vật thể bằng mặt phẳng chiếu thì một hình chiếu của mặt cắt trùng với hình chiếu của mặt phẳng chiếu. Một hình nón có thể có năm hình dạng cắt ngang khác nhau. Tam giác- nếu mặt phẳng cắt cắt hình nón qua đỉnh dọc theo hai đường sinh. Vòng tròn- nếu mặt phẳng cắt hình nón song song với đáy (vuông góc với trục). hình elip- nếu mặt phẳng cắt tất cả các đường sinh ở một góc nhất định. Parabol- nếu mặt phẳng song song với một trong các đường sinh của hình nón. cường điệu- nếu mặt phẳng song song với trục hoặc hai đường sinh của hình nón. Mặt cắt của một bề mặt bởi một mặt phẳng là một hình phẳng được giới hạn bởi một đường khép kín, tất cả các điểm của nó đều thuộc mặt phẳng cắt và bề mặt. Khi một mặt phẳng cắt một mặt cắt một khối đa diện, sẽ thu được một đa giác có các đỉnh nằm trên các cạnh của khối đa diện. Ví dụ. Xây dựng các hình chiếu của đường thẳng L của giao điểm của bề mặt của hình nón tròn vuông ω với mặt phẳng β. Giải pháp. Mặt cắt tạo ra một hình parabol, đỉnh của nó được chiếu tới điểm A (A′, A′′). Các điểm A, D, E của đường giao nhau là các điểm cực trị. Trong bộ lễ phục. Việc xây dựng đường giao nhau mong muốn được thực hiện bằng cách sử dụng các mặt phẳng nằm ngang có mức αi, giao với bề mặt của hình nón ω dọc theo các đường song song pi và mặt phẳng β - dọc theo các đoạn của các đường thẳng chiếu phía trước. Đường giao nhau L hiện rõ hoàn toàn trên các mặt phẳng.

Số 13. Bề mặt đồng trục. Phương pháp hình cầu đồng tâm.

Khi xây dựng đường giao nhau của các bề mặt, đặc thù của giao điểm của các bề mặt xoay đồng trục cho phép sử dụng các mặt cầu đồng trục với các bề mặt này làm bề mặt trung gian phụ trợ. Các bề mặt quay đồng trục bao gồm các bề mặt có một trục quay chung. Trong bộ lễ phục. 134 thể hiện một hình trụ và hình cầu đồng trục (Hình 134, a), hình nón và hình cầu đồng trục (Hình 134, b) và hình trụ và hình nón đồng trục (Hình 134, c)

Các bề mặt quay đồng trục luôn cắt nhau dọc theo các đường tròn có mặt phẳng vuông góc với trục quay. Có nhiều đường tròn chung cho cả hai bề mặt cũng như có nhiều điểm giao nhau của các đường viền của các bề mặt. Các bề mặt trong hình. 134 giao nhau dọc theo các vòng tròn được tạo bởi điểm 1 và 2 của giao điểm kinh tuyến chính của chúng. Một hình cầu trung gian phụ cắt từng bề mặt đã cho dọc theo một đường tròn, tại giao điểm của chúng thu được các điểm thuộc về bề mặt kia và do đó thuộc về đường giao nhau. Nếu các trục của các bề mặt giao nhau thì các hình cầu phụ được vẽ từ một tâm - điểm giao nhau của các trục. Trong trường hợp này, đường giao nhau của các bề mặt được xây dựng bằng phương pháp các quả cầu đồng tâm phụ. Khi xây dựng đường giao nhau của các mặt sử dụng phương pháp mặt cầu đồng tâm phụ, phải đảm bảo các điều kiện sau: 1) giao điểm của các mặt quay; 2) các trục của các mặt - các đường thẳng cắt nhau - song song với một trong các mặt đó. các mặt phẳng chiếu, tức là có một mặt phẳng đối xứng chung; 3) phương pháp này không thể được sử dụng các mặt phẳng cắt phụ vì chúng không cung cấp các đường đồ họa đơn giản trên các bề mặt. Thông thường, phương pháp mặt cầu phụ được sử dụng kết hợp với phương pháp mặt phẳng cắt phụ. Trong bộ lễ phục. Trong hình 135, một đường giao nhau của hai bề mặt hình nón quay với các trục quay giao nhau trong mặt phẳng phía trước mức Ф (Ф1) đã được xây dựng. Điều này có nghĩa là các kinh tuyến chính của các bề mặt này giao nhau và tại giao điểm của chúng cho biết điểm nhìn thấy của đường giao nhau so với mặt phẳng P2 hoặc điểm A cao nhất và điểm B thấp nhất. Tại giao điểm của đường kinh tuyến ngang h và đường song song h”, nằm trong một mặt phẳng cắt phụ Г(Г2), xác định được tầm nhìn C và D của đường giao nhau so với mặt phẳng P1. Sử dụng đường cắt phụ là không phù hợp. các mặt phẳng để xây dựng các điểm bổ sung của đường giao nhau, vì các mặt phẳng song song với Ф, sẽ cắt cả hai bề mặt dọc theo hyperbol, và các mặt phẳng song song với Г sẽ tạo ra các đường tròn và hyperbol tại giao điểm của các bề mặt. của các mặt sẽ cắt chúng theo các đường sinh và elip có điều kiện cho phép sử dụng các mặt cầu phụ để dựng các điểm của đường giao nhau. Các trục của các mặt phẳng quay cắt nhau tại điểm O (O1; O2), là tâm của mặt phụ. hình cầu, bán kính của hình cầu thay đổi trong Rmin.< R < Rmах- Радиус максимальной сферы определяется расстоянием от центра О наиболее удаленной точки В (Rmax = О2В2), а радиус минимальной сферы определяется как радиус сферы, касающейся одной поверхности (по окружности h2) и пересекающей другую (по окружности h3).Плоскости этих окружностей перпендикулярны осям вращения поверхностей. В пересечении этих окружностей получаем точки Е и F, принадлежащие линии пересечения поверхностей:

h22^h32 = E2(F2); E2E1 || A2A1; E2E1 ^ h21 =E1; F2F ^ h1 = F1 Một quả cầu trung gian có bán kính R cắt các bề mặt dọc theo đường tròn h4 và h5, tại giao điểm của chúng là các điểm Mie N: h42 ^ h52 = M2(N2); M2M1 || A2A1, M2M1^h41 = M1; N2N1 ^ h41 = N1 Bằng cách kết nối các hình chiếu của các điểm được xây dựng có cùng tên, có tính đến khả năng hiển thị của chúng, chúng ta thu được hình chiếu của đường giao nhau của các bề mặt.

Số 14. xây dựng một đường giao nhau của các bề mặt nếu có ít nhất một trong số chúng nhô ra. Các điểm đặc trưng của đường giao nhau.

Trước khi bắt đầu xây dựng đường giao nhau của các bề mặt, cần nghiên cứu kỹ các điều kiện của bài toán, tức là. những bề mặt nào giao nhau. Nếu một trong các bề mặt nhô ra thì việc giải quyết vấn đề sẽ đơn giản hơn, bởi vì trên một trong các hình chiếu, đường giao nhau trùng với hình chiếu bề mặt. Và nhiệm vụ là tìm đường chiếu thứ hai. Khi giải một bài toán, trước hết bạn cần lưu ý những điểm “đặc trưng” hoặc những điểm “đặc biệt”. Cái này:

· Điểm trên máy phát cực trị

Các điểm chia một đường thẳng thành phần nhìn thấy được và phần không nhìn thấy được

Các đặc điểm được xem xét của các điểm đặc trưng giúp dễ dàng kiểm tra tính đúng đắn của việc xây dựng đường giao nhau của các bề mặt nếu nó được xây dựng bằng cách sử dụng các điểm được chọn tùy ý. Trong trường hợp này, mười điểm là đủ để vẽ các hình chiếu mượt mà của đường giao nhau. Nếu cần thiết, có thể xây dựng bất kỳ số điểm trung gian nào. Các điểm được xây dựng được nối với nhau bằng một đường thẳng có tính đến các đặc điểm về vị trí và tầm nhìn của chúng. Chúng ta hãy xây dựng quy tắc chung để xây dựng đường giao nhau của các bề mặt: chọn loại bề mặt phụ; xây dựng đường giao nhau của các bề mặt phụ với các bề mặt đã cho; tìm các điểm giao nhau của các đường đã xây dựng và nối chúng với nhau. Chúng tôi chọn các mặt phẳng cắt phụ sao cho thu được các đường hình học đơn giản (đường thẳng hoặc đường tròn) tại giao điểm với các bề mặt đã cho. Lựa chọn mặt cắt phụ. Thông thường, các mặt phẳng chiếu, đặc biệt là các mặt phẳng ngang, được chọn làm mặt phẳng cắt phụ. Trong trường hợp này, cần phải tính đến các đường giao nhau thu được trên bề mặt do giao điểm của bề mặt với mặt phẳng. Vì vậy, hình nón là bề mặt phức tạp nhất xét về số lượng đường thẳng thu được trên nó. Chỉ các mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón hoặc vuông góc với trục của hình nón mới cắt nó theo đường thẳng và đường tròn (về mặt hình học là các đường đơn giản nhất). Một mặt phẳng chạy song song với một đường sinh sẽ cắt nó dọc theo một parabol, một mặt phẳng song song với trục của hình nón sẽ cắt nó dọc theo một hyperbol, và một mặt phẳng cắt tất cả các đường sinh và nghiêng với trục của hình nón sẽ cắt nó dọc theo một hình elip. Trên một hình cầu, khi cắt nó với một mặt phẳng luôn thu được một hình tròn, nếu cắt nó với một mặt phẳng ngang thì hình tròn này được chiếu lên mặt phẳng chiếu lần lượt thành đường thẳng và hình tròn. Vì vậy, với tư cách là các mặt phẳng phụ, chúng ta chọn các mặt phẳng ngang cắt cả hình nón và hình cầu theo hình tròn (các đường đơn giản nhất). Một số trường hợp đặc biệt của nút giao mặt Trong một số trường hợp, mối quan hệ về vị trí, hình dạng hoặc kích thước của các bề mặt cong đến mức không cần phải có cấu trúc phức tạp để mô tả đường giao nhau của chúng. Chúng bao gồm giao điểm của các hình trụ với các đường sinh song song, các hình nón có một đỉnh chung, các bề mặt quay đồng trục, các bề mặt quay được mô tả xung quanh một hình cầu.

Các bề mặt quay và các vật bị giới hạn bởi chúng được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực công nghệ: hình trụ của ống tia âm cực (Hình 8.11, MỘT), tâm của máy tiện (Hình 8.11, b), bộ cộng hưởng vi sóng thể tích của dao động điện từ (Hình 8.11, V), Bình Dewar để chứa không khí lỏng (Hình 8.11, G), bộ thu điện tử của thiết bị chùm điện tử mạnh (Hình 8.11, d), v.v.

Tùy thuộc vào loại đường sinh, các bề mặt xoay có thể được cai trị, không được cai trị hoặc bao gồm các phần của các bề mặt đó.

Bề mặt quay là bề mặt được tạo ra do sự quay của một đường sinh nhất định xung quanh một đường thẳng cố định - trục của bề mặt.

Trong các hình vẽ, trục được biểu thị bằng một đường chấm chấm. Đường hình thành có thể trường hợp chung có cả phần cong và phần thẳng. Bề mặt quay trong bản vẽ có thể được xác định bằng ma trận và vị trí của trục. Hình 8.12 thể hiện một mặt quay được hình thành do chuyển động quay của máy phátАьCD (hình chiếu phía trước của nó a"b"c"d") quanh trục OO 1 (hình chiếu phía trước o"o 1" , vuông góc với mặt phẳng N. Trong quá trình quay, mỗi điểm của ma trận mô tả một đường tròn, mặt phẳng của đường tròn đó vuông góc với trục. Theo đó, giao tuyến của bề mặt quay với mặt phẳng bất kỳ vuông góc với trục là một đường tròn. Những vòng tròn như vậy được gọi là sự tương đồng. Chế độ xem trên cùng (Hình 8.12) hiển thị hình chiếu của các vòng tròn được mô tả bởi các điểm A, B, C và D, đi qua các hình chiếu A B C D. Đường vĩ tuyến lớn nhất trong hai đường thẳng kề nhau về hai phía gọi làĐường xích đạo, tương tự như nhỏ nhất - họng.

Mặt phẳng đi qua trục của mặt quay gọi là kinh tuyến, đường giao nhau của nó với bề mặt quay - kinh tuyến. Nếu trục của mặt song song với mặt phẳng chiếu thì kinh tuyến nằm trong mặt phẳng song song với mặt phẳng chiếu đó gọi làkinh tuyến chính.Kinh tuyến chính được chiếu lên mặt phẳng chiếu này mà không bị biến dạng. Vì vậy, nếu trục của bề mặt quay song song với mặt phẳng V, thì kinh tuyến chính được chiếu lên mặt phẳng V. không bị biến dạng, chẳng hạn như chiếu a"f"b"c"d". Nếu trục của bề mặt quay vuông góc với mặt phẳng N, khi đó hình chiếu ngang của bề mặt có đường viền dưới dạng hình tròn.

Thuận tiện nhất cho việc tạo ảnh các bề mặt xoay là trường hợp trục của chúng vuông góc với mặt phẳng H, đến mặt phẳng V hoặc mặt phẳng W.

Một số bề mặt của cách mạnglà những trường hợp đặc biệt của các bề mặt được thảo luận ở 8.1, ví dụ, hình trụ quay, hình nón quay. Đối với hình trụ và hình nón quay, các kinh tuyến là đường thẳng. Chúng song song với trục và cách đều trục đối với hình trụ hoặc cắt trục tại cùng một điểm và cùng một góc với trục đối với hình nón. Hình trụ và hình nón xoay là những bề mặt vô hạn về hướng của các phần tử của chúng; do đó, trong ảnh, chúng bị giới hạn bởi một số đường, chẳng hạn như các đường giao nhau của các bề mặt này với các mặt phẳng chiếu hoặc bất kỳ đường song song nào. Từ phép đo lập thể, người ta biết rằng hình trụ tròn đứng và hình nón tròn đứng bị giới hạn bởi một bề mặt quay và các mặt phẳng vuông góc với trục của bề mặt đó. Kinh tuyến của hình trụ như vậy là hình chữ nhật và kinh tuyến của hình nón là hình tam giác.

Một bề mặt quay như hình cầu bị giới hạn và có thể được mô tả hoàn toàn bằng hình vẽ. Đường xích đạo và kinh tuyến của hình cầu là những đường tròn bằng nhau. Trong phép chiếu trực giao lên cả ba mặt phẳng chiếu, đường viền của hình cầu được chiếu lên một hình tròn.

Thần sấm. Khi một đường tròn (hoặc cung của nó) quay quanh một trục nằm trong mặt phẳng của đường tròn này nhưng không đi qua tâm của nó thì sẽ thu được một bề mặt gọi là hình xuyến. Hình 8.13 cho thấy: một hình xuyến mở, hay còn gọi là vòng tròn, - Hình 8.13, MỘT, hình xuyến khép kín - Hình 8.13, b, hình xuyến tự giao nhau - Hình 8.13, c, thành phố Tor (Hình 8.13, d) còn gọi là hình quả chanh. Trong hình 8.13 chúng được thể hiện ở vị trí mà trục hình xuyến vuông góc với mặt phẳng chiếu N. Các hình cầu có thể được ghi vào hình xuyến mở và đóng. Một hình xuyến có thể được coi là một bề mặt bao quanh các quả cầu giống hệt nhau có tâm nằm trên một vòng tròn.

Trong các công trình trong bản vẽ, hai hệ mặt cắt hình tròn của hình xuyến được sử dụng rộng rãi: trong các mặt phẳng vuông góc với trục của nó và trong các mặt phẳng đi qua trục của hình xuyến. Cùng lúc đó, tại một căn hộ

Lần lượt, trong các khu vực vuông góc với trục của hình xuyến, có hai họ đường tròn - các đường giao nhau của các mặt phẳng với bề mặt ngoài của hình xuyến và các đường giao nhau của các mặt phẳng với bề mặt trong của hình xuyến. Hình xuyến hình quả chanh (Hình 8.13, d) chỉ có họ hình tròn đầu tiên.

Ngoài ra, hình xuyến còn có hệ tiết diện thứ ba gồm các đường tròn nằm trong các mặt phẳng đi qua tâm hình xuyến và tiếp tuyến với nó. bề mặt bên trong. Hình 8.14 cho thấy các phần hình tròn có tâm o 1p và o 2p trên mặt phẳng chiếu bổ sung R, được hình thành bởi mặt phẳng chiếu phía trước Q(Qv), đi qua tâm hình xuyến có hình lồiồ" ồ và tiếp tuyến với bề mặt trong của hình xuyến tại các điểm có hình chiếu 1", 1, 2" 2. Hình chiếu của điểm 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 và 10làm cho bản vẽ dễ đọc hơn. Đường kính d những phần hình tròn này bằng chiều dài các trục chính của elip mà các tiết diện hình tròn được chiếu lên mặt phẳng chiếu ngang: d = 2R.

Các điểm trên bề mặt của cuộc cách mạng.Vị trí của một điểm trên bề mặt xoay được xác định bởi điểm thuộc đường thẳng của hệ quy chiếu bề mặt, tức là dùng một đường tròn đi qua điểm này trên bề mặt xoay. Trong trường hợp các bề mặt được cai trị, các biểu thức sinh tuyến tính cũng có thể được sử dụng cho mục đích này.

Việc sử dụng một ma trận sinh song song và thẳng để xây dựng hình chiếu của các điểm thuộc một bề mặt xoay nhất định được thể hiện trong Hình 8.12. Nếu như

đưa ra hình chiếu t", sau đó một phép chiếu phía trước được thực hiện f"f1" đường song song rồi bán kính R vẽ một đường tròn - hình chiếu ngang của một hình song song - và tìm hình chiếu trên đó T. Nếu một hình chiếu ngang được chỉ định T, thì bạn nên vẽ bán kính R=om đường tròn, dựng f" từ điểm f và vẽ f"f1" - hình chiếu phía trước của hình song song - và trên đó truyền thông chiếuđánh dấu một điểm T". Nếu đưa ra một hình chiếu P" trên một phần hình nón (hình nón) của bề mặt quay, sau đó thực hiện phép chiếu trực diện d"s" phác thảo máy phát điện và thông qua phép chiếu n" - phép chiếu trực diện s "k" thế sinh trên bề mặt hình nón. Sau đó trên hình chiếu ngang sk Phép chiếu n được xây dựng từ trình tạo này. Nếu cho một hình chiếu ngang n thì phải vẽ một hình chiếu ngang qua nó sk máy phát điện, theo phép chiếu k" và s" (cấu trúc của nó đã được thảo luận ở trên) xây dựng một hình chiếu phía trước"ĐẾN" và trên đó trong kết nối hình chiếu đánh dấu hình chiếu n"

Hình 8.15 trình bày cách xây dựng các phép chiếu điểmĐẾN, thuộc về bề mặt của hình xuyến. Cần lưu ý rằng việc xây dựng được thực hiện để có thể nhìn thấy các hình chiếu ngangĐẾN và hình chiếu phía trướcĐẾN".

Hình 8.16 thể hiện việc xây dựng theo hình chiếu chính diện cho trước T" các điểm trên bề mặt hình cầu nằm ngang t và hồ sơ t" các phép chiếu. Chiếu T dựng bằng đường tròn - đường song song đi qua hình chiếu t". Bán kính của nó là o-1. Hình chiếu t "" được dựng bằng cách sử dụng một đường tròn có mặt phẳng song song với mặt phẳng biên dạng của các hình chiếu đi qua hình chiếu t". Bán kính của nó vào khoảng "2".

Việc xây dựng hình chiếu của các đường thẳng trên một bề mặt xoay cũng có thể được thực hiện bằng cách sử dụng các đường tròn - các đường song song đi qua các điểm thuộc đường này.

Hình 8.17 thể hiện cách dựng hình chiếu ngangà đường được xác định bởi hình chiếu phía trước một "b" trên một bề mặt xoay, bao gồm các phần của bề mặt hình cầu, hình xuyến và hình nón. Để vẽ hình chiếu ngang của đường thẳng chính xác hơn, chúng ta sẽ tiếp tục hình chiếu trực diện của nó lên xuống và đánh dấu các hình chiếu 6" và 5" điểm cực trị. Hình chiếu ngang 6, 1, 3, 4, 5 được xây dựng bằng đường truyền thông. Phép chiếu b, 2, 7, 8, một được xây dựng bằng cách sử dụng song song, hình chiếu phía trướcđi qua các hình chiếu b"2", 7", 8", một" những điểm này. Số lượng và vị trí các điểm trung gian được lựa chọn dựa trên hình dạng của đường và độ chính xác yêu cầu của việc thi công. Hình chiếu ngang của đường thẳng gồm các phần: b-1 - các phần của hình elip,

Các bề mặt xoay là các bề mặt được hình thành bằng cách quay một ma trận sinh tùy ý quanh một trục cố định (Hình 51, a). Bề mặt dẫn hướng quay là một đường tròn có bán kính không đổi (hình trụ) hoặc bán kính thay đổi (hình nón, hình cầu). Bình thường - một phần vuông góc với trục quay của bất kỳ bề mặt quay nào; nó là một hình tròn có tâm trên trục của nó.

Cơm. 51. Bề mặt quay: a – Các đường chính trên bề mặt quay; b – biểu diễn bề mặt xoay dưới dạng mạng

Hướng dẫn còn được gọi là song song với bề mặt của cuộc cách mạng. Các mặt phẳng song song vuông góc với trục của bề mặt. Điểm vĩ tuyến lớn nhất được gọi là đường xích đạo của bề mặt, điểm vĩ tuyến nhỏ nhất được gọi là cổ họng. Các mặt phẳng đi qua trục của bề mặt quay được gọi là kinh tuyến và các đường thẳng cắt bề mặt đó được gọi là kinh tuyến. Bề mặt quay có thể được biểu diễn bằng các đường vĩ tuyến hoặc kinh tuyến của bề mặt, cũng như một mạng bao gồm các đường vĩ tuyến và kinh tuyến (Hình 51, b).

Một mặt quay được gọi là đóng nếu mặt cắt kinh tuyến của mặt đó là một đường cong khép kín cắt trục mặt tại hai điểm.

Khi quay quanh trục của một mặt phẳng hoặc đường cong đại số không gian bậc n, trong trường hợp tổng quát, một mặt đại số xoay được hình thành ở bậc 2. Nếu một đường cong bậc hai quay quanh trục của nó thì nó tạo thành một bề mặt bậc hai.

Tùy thuộc vào loại máy phát điện có:

Bề mặt hình xuyến – các bề mặt được hình thành do chuyển động quay của đường tròn hoặc cung của đường tròn:

Cơm. 52. Bề mặt hình xuyến: a – hình cầu; b – hình xuyến mở (vòng); c – hình xuyến đóng; d – hình cầu

Quả cầuđược hình thành bằng cách quay một vòng tròn quanh một trục đi qua tâm của nó (Hình 52, a).
Thần sấmđược hình thành bằng cách quay một đường tròn quanh một trục nằm trong mặt phẳng của đường tròn này và không đi qua tâm của nó (hình xuyến là bề mặt bậc bốn). Phân biệt hình xuyến mở, được hình thành do sự quay của một vòng tròn quanh một trục không giao nhau với đường sinh (Hình 52, b) và hình xuyến khép kín, được hình thành do sự quay của một vòng tròn quanh một trục giao với vòng tròn sinh ra hoặc chạm vào nó (Hình 52, c).
hình cầuđược hình thành bằng cách quay một vòng tròn có bán kính đủ lớn quanh một trục không giao nhau với đường sinh (Hình 52, d).

hình elip phép quay được hình thành bằng cách quay một hình elip quanh trục của nó. Nếu lấy trục chính của hình elip làm trục quay thì hình elip xoay được gọi là hình prolate (Hình 53.a), nếu lấy trục nhỏ là hình cầu bị nén hoặc hình cầu (Hình 53.b). Trái đất, ví dụ, hình dạng của nó gần giống hình cầu

Cơm. 53. Các mặt xoay: a – elip thuôn dài; b – hình cầu

Paraboloid quay được hình thành bằng cách xoay một parabol quanh trục của nó (Hình 54). Paraboloid cách mạng được sử dụng làm bề mặt phản chiếu trong đèn pha và đèn pha ô tô để tạo ra chùm ánh sáng song song.

Cơm. 54. Paraboloid quay

Hyperboloid xoay được hình thành bằng cách quay một hyperbol. Phân biệt hyperboloid đơn tờ(Hình 55, a), được hình thành bằng cách quay hyperbol quanh trục ảo của nó, và hyperboloid hai tờ(Hình 55, b), được hình thành bằng cách quay hyperbol quanh trục thực của nó.