Ví dụ #9

Khảo sát sự hội tụ của chuỗi $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)) $.

Vì giới hạn tổng dưới là 1 nên số hạng chung của dãy số được viết dưới dấu tổng: $u_n=\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n- 1))$ . Đầu tiên, hãy xác định xem chuỗi này có dương hay không, tức là bất đẳng thức $u_n≥ 0$ có đúng không? Hệ số $\frac(1)(\sqrt(n))> 0$, điều đó rõ ràng, nhưng còn tiếp tuyến của cung thì sao? Không có gì phức tạp với arctangues: vì $\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)) >0$, nên $\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))>0$ . Kết luận: chuỗi của chúng tôi là tích cực. Hãy áp dụng phép thử so sánh để nghiên cứu câu hỏi về sự hội tụ của chuỗi này.

Đầu tiên, hãy chọn một loạt mà chúng ta sẽ so sánh. Nếu $n\to\infty$ thì $\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))\to 0$. Do đó, $\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))\sim\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$. Tại sao vậy? Nếu chúng ta nhìn vào bảng ở cuối tài liệu này, chúng ta sẽ thấy công thức $\arctg x\sim x$ cho $x\to 0$. Chúng tôi đã sử dụng công thức này, chỉ trong trường hợp của chúng tôi $x=\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$.

Trong biểu thức $\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$ tiếp tuyến của cung bởi phân số $\frac(\pi)(\sqrt (2n- 1))$. Chúng tôi nhận được như sau: $\frac(1)(\sqrt(n))\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$. Chúng tôi đã làm việc với các phân số như vậy trước đây. Loại bỏ các phần tử "phụ", chúng ta đến phân số $\frac(1)(\sqrt(n)\cdot\sqrt(n))=\frac(1)(n^(\frac(1)(2) +\frac (1)(3)))=\frac(1)(n^(\frac(5)(6)))$. Chúng tôi sẽ so sánh chuỗi đã cho bằng cách sử dụng . Vì $\frac(5)(6)≤ 1$, nên chuỗi $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^\frac(5)(6))$ phân kỳ.

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)))(\frac(1) (n^\frac(5)(6)))=\left|\frac(0)(0)\right|=\left|\begin(aligned)&\frac(\pi)(\sqrt(2n- 1))\to 0;\\&\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))\sim\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)).\end(căn chỉnh) \right| =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(1)(\sqrt(n))\cdot\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)))(\frac(1)( n^\frac(5)(6))) =\\=\pi\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(n))(\sqrt(2n-1)) =\pi \cdot\lim_(n\to\infty)\frac(1)(\sqrt(2-\frac(1)(n)))=\pi\cdot\frac(1)(\sqrt(2-0) )=\frac(\pi)(\sqrt(2)). $$

kể từ $0<\frac{\pi}{\sqrt{2}}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\frac{5}{6}}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\frac{5}{6}}$ расходится, то одновременно с ним будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$.

tôi lưu ý rằng trong trường hợp này thay vì tiếp tuyến của cung trong biểu thức của số hạng chung của chuỗi, có thể có sin, cung sin hoặc tiếp tuyến. Giải pháp sẽ vẫn như cũ.

Câu trả lời: chuỗi phân kỳ.

Ví dụ #10

Nghiên cứu chuỗi $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(1-\cos\frac(7)(n)\right)$ để tìm sự hội tụ.

Vì giới hạn dưới của tổng bằng 1 nên số hạng chung của dãy số được viết dưới dấu tổng: $u_n=1-\cos\frac(7)(n)$. Vì với mọi giá trị của $x$, chúng ta có $-1≤\cos x≤ 1$, thì $\cos\frac(7)(n)≤ 1$. Do đó, $1-\cos\frac(7)(n)≥ 0$, tức là $u_n≥ 0$. Chúng tôi đang đối phó với một loạt tích cực.

Nếu $n\to\infty$ thì $\frac(7)(n)\to 0$. Do đó $1-\cos\frac(7)(n)\sim \frac(\left(\frac(7)(n)\right)^2)(2)=\frac(49)(2n^2) $ . Tại sao vậy? Nếu nhìn vào bảng ở cuối tài liệu này, chúng ta sẽ thấy công thức $1-\cos x \sim \frac(x^2)(2)$ cho $x\to 0$. Chúng tôi đã sử dụng công thức này, chỉ trong trường hợp của chúng tôi $x=\frac(7)(n)$.

Hãy để chúng tôi thay thế biểu thức $1-\cos\frac(7)(n)$ bằng $\frac(49)(2n^2)$. Loại bỏ các phần tử "phụ", chúng ta có được phân số $\frac(1)(n^2)$. Với chuỗi $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^2)$, chúng ta sẽ so sánh chuỗi đã cho bằng cách sử dụng . Vì $2 > 1$ nên chuỗi $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^2)$ hội tụ.

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(1-\cos\frac(7)(n))(\frac(1)(n^2))=\left|\frac(0)(0 )\right|= \left|\begin(căn chỉnh)&\frac(7)(n)\to 0;\\&1-\cos\frac(7)(n)\sim\frac(49)(2n^ 2).\end(căn chỉnh)\right| =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(49)(2n^2))(\frac(1)(n^2))=\frac(49)(2). $$

kể từ $0<\frac{49}{2}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos\frac{7}{n}\right)$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, то одновременно с ним будет сходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos\frac{7}{n}\right)$.

Câu trả lời: chuỗi hội tụ.

Ví dụ #11

Khảo sát sự hội tụ của chuỗi $\sum\limits_(n=1)^(\infty)n\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2$.

Vì giới hạn tổng dưới là 1 nên số hạng chung của dãy số được viết dưới dấu tổng: $u_n=n\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2$. Vì cả hai yếu tố đều dương, nên $u_n >0$, tức là chúng tôi đang đối phó với một loạt tích cực.

Nếu $n\to\infty$ thì $\frac(3)(n)\to 0$. Do đó $e^\frac(3)(n)-1\sim\frac(3)(n)$. Công thức chúng tôi sử dụng nằm trong bảng ở cuối tài liệu này: $e^x-1 \sim x$ cho $x\to 0$. Trong trường hợp của chúng tôi $x=\frac(3)(n)$.

Chúng ta hãy thay thế biểu thức $e^\frac(3)(n)-1$ bởi $\frac(3)(n)$, do đó thu được $n\cdot\left(\frac(3)(n)\right )^ 2=\frac(9)(n)$. Loại bỏ số, chúng ta đến phân số $\frac(1)(n)$. Với chuỗi điều hòa $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$, chúng ta sẽ so sánh chuỗi đã cho bằng cách sử dụng . Hãy để tôi nhắc bạn rằng chuỗi điều hòa phân kỳ.

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(n\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2)(\frac(1)(n))=\lim_( n\to\infty)\frac(\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2)(\frac(1)(n^2)) =\left|\frac(0 )(0)\right|=\left|\begin(căn chỉnh)&\frac(3)(n)\to 0;\\&e^\frac(3)(n)-1\sim\frac(3) (n).\end(căn chỉnh)\right| =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(9)(n^2))(\frac(1)(n^2))=9. $$

kể từ $0<9<\infty$, то одновременно с рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\left(e^\frac{3}{n}-1\right)^2$.

Câu trả lời: chuỗi phân kỳ.

Ví dụ #12

Khảo sát sự hội tụ của chuỗi $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\ln\frac(n^3+7)(n^3+5)$.

Vì giới hạn tổng dưới là 1 nên số hạng chung của chuỗi được viết dưới dấu tổng: $u_n=\ln\frac(n^3+7)(n^3+5)$. Vì với bất kỳ giá trị nào của $n$, chúng ta có $n^3+7 > n^3+5$, khi đó $\frac(n^3+7)(n^3+5) > 1$. Do đó, $\ln\frac(n^3+7)(n^3+5) > 0$, tức là $u_n > 0$. Chúng tôi đang đối phó với một loạt tích cực.

Nhận thấy sự tương đương cần thiết trong trường hợp này hơi khó khăn. Hãy viết biểu thức dưới logarit ở dạng hơi khác:

$$ \ln\frac(n^3+7)(n^3+5)=\ln\frac(n^3+5+2)(n^3+5)=\ln\left(\frac( n^3+5)(n^3+5)+\frac(2)(n^3+5)\right)=\ln\left(1+\frac(2)(n^3+5)\ bên phải). $$

Bây giờ công thức hiển thị: $\ln(1+x)\sim x$ for $x\to 0$. Vì đối với $n\to\infty$ chúng ta có $\frac(2)(n^3+5)\đến 0$, nên $\ln\left(1+\frac(2)(n^3+5) \right)\sim\frac(2)(n^3+5)$.

Hãy để chúng tôi thay thế biểu thức $\ln\frac(n^3+7)(n^3+5)$ bằng $\frac(2)(n^3+5)$. Loại bỏ các phần tử "phụ", chúng ta có được phân số $\frac(1)(n^3)$. Với chuỗi $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^3)$ mà chúng ta sẽ so sánh chuỗi đã cho bằng cách sử dụng . Vì $3 > 1$ nên chuỗi $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^3)$ hội tụ.

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\ln\frac(n^3+7)(n^3+5))(\frac(1)(n^3))=\lim_(n \to\infty)\frac(\ln\left(1+\frac(2)(n^3+5)\right))(\frac(1)(n^3))=\left|\frac( 0)(0)\right|= \left|\begin(căn chỉnh)&\frac(2)(n^3+5)\to 0;\\&\ln\left(1+\frac(2)( n^3+5)\right)\sim\frac(2)(n^3+5).\end(aligned)\right|=\\ =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac (2)(n^3+5))(\frac(1)(n^3)) =\lim_(n\to\infty)\frac(2n^3)(n^3+5)=\lim_ (n\to\infty)\frac(2)(1+\frac(5)(n^3))=\frac(2)(1+0)=2. $$

kể từ $0<2<\infty$, то одновременно с рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ сходится и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\frac{n^3+7}{n^3+5}$.

Câu trả lời: chuỗi hội tụ.

Ví dụ #13

Khám phá chuỗi $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(n^n)(7^n\cdot n$ на сходимость.!}

Vì giới hạn tổng dưới là 1 nên số hạng chung của dãy số được viết dưới dấu tổng: $u_n=\frac(n^n)(7^n\cdot n$. Так как $u_n ≥ 0$, то заданный ряд является положительным.!}

Cho một dãy số dương $ \sum_(n=1) ^\infty a_n $. Hãy để chúng tôi xây dựng tiêu chí cần thiết cho sự hội tụ của chuỗi:

1. Nếu chuỗi hội tụ, thì giới hạn của số hạng chung của nó bằng 0: $$ \lim _(n \to \infty) a_n = 0 $$
2. Nếu giới hạn của số hạng chung của chuỗi không bằng 0, thì chuỗi sẽ phân kỳ: $$ \lim _(n \to \infty) a_n \neq 0 $$

Chuỗi điều hòa tổng quát

Loạt bài này được viết như sau $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(n^p) $. Ngoài ra, tùy thuộc vào $ p $, chuỗi hội tụ hoặc phân kỳ:

1. Nếu $ p = 1 $, thì chuỗi $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(n) $ phân kỳ và được gọi là điều hòa, mặc dù thực tế là số hạng phổ biến $ a_n = \frac(1 )( n) \đến 0 $. Tại sao vậy? Nhận xét nói rằng tiêu chí cần thiết không đưa ra câu trả lời về sự hội tụ, mà chỉ về sự phân kỳ của chuỗi. Do đó, nếu chúng ta áp dụng một phép thử đầy đủ, chẳng hạn như phép thử Cauchy tích phân, thì rõ ràng là chuỗi phân kỳ!
2. Nếu $ p \leqslant 1 $, thì chuỗi phân kỳ. Ví dụ, $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(\sqrt(n)) $, trong đó $ p = \frac(1)(2) $
3. Nếu $ p > 1 $ thì chuỗi hội tụ. Ví dụ, $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(\sqrt(n^3)) $, trong đó $ p = \frac(3)(2) > 1 $

ví dụ về giải pháp

ví dụ 1

Chứng minh chuỗi phân kỳ $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(n)(6n+1) $

Dung dịch

Chuỗi tích cực, chúng tôi viết ra thuật ngữ phổ biến: $$ a_n = \frac(n)(6n+1) $$ Tính giới hạn tại $n \to \infty $: $$ \lim _(n \to \infty) \frac(n)(6n+1) = \frac(\infty)(\infty) = $$ Đặt dấu ngoặc $ n $ ở mẫu số rồi rút gọn: $$ = \lim_(n \to \infty) \frac(n)(n(6+\frac(1)(n))) = \lim_(n \to \infty) \frac(1)(6 + \frac(1)(n)) = \frac(1)(6) $$ Vì chúng ta đã nhận được $ \lim_(n\to \infty) a_n = \frac(1)(6) \neq 0 $, phép thử Cauchy yêu cầu không được thỏa mãn và chuỗi do đó phân kỳ. Nếu bạn không thể giải quyết vấn đề của mình, hãy gửi nó cho chúng tôi. chúng tôi sẽ cung cấp giải chi tiết. Bạn sẽ có thể tự làm quen với tiến trình tính toán và thu thập thông tin. Điều này sẽ giúp bạn nhận được tín dụng từ giáo viên một cách kịp thời!

Câu trả lời

Chuỗi phân kỳ

Đăng kí

Trang dịch vụ trực tuyến sẽ giúp bạn tìm tổng của một dãy số trực tuyến của cả một dãy số và phạm vi chức năng. Tổng của một chuỗi đối với các nhà toán học là một điều đặc biệt trong việc hiểu phân tích Giá trị kiểu số và giới hạn quá trình chuyển đổi. chuyên nghiệp quyết định chung Rất nhiều tác phẩm hữu ích đã được nói và viết trong vài thế kỷ qua. Đối với cá nhân mỗi giáo viên, nhiệm vụ quan trọng là truyền đạt những kiến ​​​​thức toán học tích lũy được của mình cho người nghe cuối cùng, đó là học sinh. Việc tìm tổng như vậy của chuỗi 1/n sẽ dễ dàng hơn. Bạn sẽ tính tổng chuỗi 1/n^2 được biểu diễn bằng viết tắt.. Cùng với việc xác định tổng của một dãy số trực tuyến, trang web trong chế độ online có thể tìm thấy cái gọi là tổng riêng của chuỗi. Nó chắc chắn sẽ giúp ích cho biểu diễn phân tích, khi tổng của chuỗi trực tuyến phải được biểu thị và tìm dưới dạng một nghiệm cho giới hạn của chuỗi số tổng từng phần của chuỗi. Về cốt lõi, tổng của một chuỗi không gì khác hơn là hoạt động nghịch đảo của việc mở rộng một hàm thành một chuỗi. Hoạt động gần như đối ứng trong tự nhiên. Tình cờ là sự hội tụ của một chuỗi được nghiên cứu sau khi vượt qua một khóa học về giải tích toán học sau các giới hạn. Giải pháp tìm thấy của chuỗi có nghĩa là kết quả nghiên cứu của nó về sự hội tụ hoặc phân kỳ. Kết quả này được xác định duy nhất. So với các chất tương tự, trang web có riêng lợi thế không thể phủ nhận, bởi vì nó có thể tìm tổng của một chuỗi trực tuyến của cả chuỗi số và chuỗi hàm, điều này giúp có thể xác định duy nhất diện tích hội tụ của chuỗi ban đầu ban đầu, sử dụng gần như tất cả được khoa học biết đến phương pháp luận. Dựa trên lý thuyết chuỗi số, điều kiện cần cho sự hội tụ của một dãy số tại mọi thời điểm sẽ là giới hạn của số hạng chung bằng 0 dãy sốở vô cực. Nhưng điều kiện này là không đủ khi thiết lập sự hội tụ của một chuỗi số trực tuyến. Hãy lạc đề một chút khỏi vấn đề cấp bách và tranh luận với người khác quan điểm triết học về chuỗi trong toán học. Đối với bạn, giải pháp hàng loạt trực tuyến này sẽ trở thành máy tính và trợ lý tốt nhất cho mỗi ngày. Hoàn toàn không phải là mong muốn ngồi ngoài những ngày mùa đông đẹp trời để học bài, khi tổng của hàng ở hai tài khoản ngay trước mắt bạn. Nếu ai đó cần xác định số dặm của hàng, thì sẽ mất vài giây sau khi nhập dữ liệu chính xác sơ bộ. Mặc dù các trang web tương tự yêu cầu thù lao cho các dịch vụ của họ, nhưng chúng tôi cố gắng trở nên hữu ích cho tất cả những ai muốn tìm hiểu cách tự giải quyết các ví dụ bằng dịch vụ đơn giản của chúng tôi. Theo quyết định của bạn, chúng tôi có thể trình bày giải pháp của chuỗi trực tuyến trên bất kỳ thiết bị hiện đại nào, nghĩa là trên bất kỳ trình duyệt nào.Vì vậy, để tìm và chứng minh rằng tổng của chuỗi 1/n phân kỳ ở vô cực - sẽ là một nhiệm vụ đơn giản. Hãy luôn nhớ cách tổng của chuỗi 1/n^2 hội tụ và có một số lớn Ý nghĩa. Nhưng tổng của chuỗi cuối cùng thường được xác định sau khi sử dụng, chẳng hạn như dấu tích phân hoặc dấu Raabe, điều mà ít người biết đến trong các trường đại học thông thường. Bằng cách xác định sự hội tụ của chuỗi trực tuyến, các nhà khoa học đã rút ra đủ dấu hiệu khác nhau về sự hội tụ hoặc phân kỳ của chuỗi. Các phương pháp này được biết đến nhiều hơn và thường được sử dụng là dấu D "Alembert, dấu hội tụ Cauchy, dấu hội tụ Raabe, dấu so sánh của dãy số và dấu tích phân của sự hội tụ của một dãy số. đặc biệt chú ý một chuỗi số như vậy, trong đó các dấu hiệu của các thuật ngữ nhất thiết phải thay thế lần lượt từ trừ sang cộng và ngược lại, và giá trị tuyệt đối của các dãy số này giảm một cách đơn điệu, tức là đều. Trong thực tế, nghiên cứu về chuỗi hóa ra rằng đối với chuỗi số như vậy, tiêu chí cần thiết cho sự hội tụ của một chuỗi xen kẽ trực tuyến là đủ, đó là sự bằng nhau của giới hạn của số hạng chung của chuỗi số từ vô cực đến 0. Tổng của chuỗi được tìm thấy theo cách này tương đương với các phương pháp được áp dụng khác. Sự hội tụ của chuỗi mất rất nhiều thời gian, vì bản thân quá trình này bao gồm học đầy đủ Hàm số. Có nhiều trang web khác nhau cung cấp dịch vụ tính tổng của một chuỗi trực tuyến, cũng như mở rộng các hàm thành một chuỗi trực tuyến tại bất kỳ điểm nào từ miền của hàm đang nghiên cứu. Bạn có thể dễ dàng mở rộng một hàm thành một chuỗi trực tuyến trong các dịch vụ này, vì hàm để tính đạo hàm được sử dụng, nhưng phép toán ngược lại là tìm tổng của hàm sê-ri trực tuyến, có thành phần không phải là số mà là hàm, thường không thể thực hiện được trong thực tế do khó khăn phát sinh do thiếu tài nguyên máy tính cần thiết. Hãy sử dụng tài nguyên của chúng tôi để tính tổng của chuỗi trực tuyến, kiểm tra và củng cố kiến ​​​​thức của bạn. Nếu tổng của chuỗi phân kỳ, thì chúng tôi sẽ không nhận được kết quả mong đợi cho đẩy mạnh trong một số mục tiêu chung. Điều này có thể tránh được trước bằng cách áp dụng kiến ​​thức của bạn với tư cách là một chuyên gia. Cuối cùng, không thể không nhắc đến cách tổng của chuỗi 1/n là đơn giản nhất trong biểu thức và thường được lấy làm ví dụ. Ngay cả khi họ muốn chỉ ra một dấu hiệu hội tụ nào đó trong trường hợp, họ cũng chứng minh nó cho tổng của chuỗi 1/n^2, bởi vì cách biểu diễn như vậy là minh bạch cho học sinh và học sinh không bị nhầm lẫn. Vì chúng ta có một biểu thức cho số hạng tổng quát phức của chuỗi, nên tổng của chuỗi hữu hạn sẽ hữu ích nếu nó được chứng minh cho chuỗi chính (đối với chuỗi ban đầu) mà nó hội tụ. Mặt khác, sự hội tụ của chuỗi sẽ xảy ra bất kể điều kiện ban đầu nhiệm vụ. Chỉ trang web dịch vụ của chúng tôi mới có thể cung cấp giải pháp tốt nhất cho các hàng, bởi vì chỉ chúng tôi mới đảm bảo tiết kiệm thời gian của bạn bằng cách so sánh chi phí tính toán với tính hữu ích và độ chính xác của kết quả. Vì tổng mong muốn của chuỗi có thể được biểu diễn trong hầu hết các trường hợp bằng một chuỗi chính, nên việc nghiên cứu nó sẽ hợp lý hơn. Do đó, sự hội tụ của chuỗi từ số hạng tổng quát hóa chính tắc sẽ biểu thị rõ ràng sự hội tụ của biểu thức chính và bài toán sẽ tự giải ngay. cơ sở giáo dục cũng có thể sử dụng giải pháp xếp hạng trực tuyến của chúng tôi và kiểm tra công việc của các học viên của họ. Trong một số trường hợp, tổng của chuỗi có thể được tính trong một bài toán vật lý, hóa học hoặc một môn học ứng dụng mà không bị mắc kẹt trong các phép tính thông thường, để không đi chệch hướng chính khi nghiên cứu một số quá trình tự nhiên. Để bắt đầu, họ thường viết ra nhiều nhất là họ không thể ăn một biểu thức đơn giản hóa dưới dạng tổng của một chuỗi 1 / n, và cách tiếp cận này là hợp lý. Số Pi có mặt trong nhiều phép toán, nhưng tổng của chuỗi 1/n^2 có thể nói là ví dụ cổ điển sự hội tụ của chuỗi điều hòa ở vô cực. Biểu thức "tổng của một chuỗi hữu hạn" có nghĩa là gì? Và điều này có nghĩa là nó hội tụ và giới hạn của các tổng riêng của nó có một giá trị cụ thể giá trị số. Nếu sự hội tụ của chuỗi được xác nhận và điều này sẽ ảnh hưởng đến sự ổn định cuối cùng của hệ thống, thì có thể thay đổi các tham số đầu vào của vấn đề và thử thực hiện lại. Cuối cùng, chúng tôi muốn đưa ra cho bạn lời khuyên thoạt nhìn có vẻ ẩn ý nhưng rất hữu ích trong thực tế. Ngay cả khi bạn có đủ kinh nghiệm trong việc giải các chuỗi và không cần các dịch vụ như vậy để giải các chuỗi trực tuyến, chúng tôi khuyên bạn nên bắt đầu tìm tổng của một chuỗi bằng cách xác định sự hội tụ của một chuỗi. Chỉ dành một phút cho hành động này, sử dụng trang web, để trong suốt quá trình tính tổng của chuỗi, chỉ cần ghi nhớ thực tế này. Sẽ không thừa đâu! Đã có rất nhiều bài viết về tổng của một chuỗi trực tuyến trên các trang toán học, nhiều hình ảnh minh họa được đính kèm, như ở thế kỷ trước, các nhà khoa học đã biểu thị các biểu thức tính tổng của một chuỗi bằng các ký hiệu. Nhìn chung, ít thay đổi, nhưng khoảnh khắc thú vị có. Nếu sự hội tụ của chuỗi trực tuyến dường như là không thể, thì chỉ cần kiểm tra dữ liệu đã nhập và bình tĩnh lặp lại yêu cầu. Tuy nhiên, tốt hơn hết là bạn nên kiểm tra kỹ thuật ngữ phổ biến của chuỗi trước. Và bất kỳ giải pháp loạt bài trực tuyến nào sẽ xuất hiện ngay lập tức trên trang web, bạn không cần phải nhấp vào các liên kết bổ sung để nhận được câu trả lời cho nhiệm vụ. Điều tốt nhất, theo các chuyên gia, khiến học sinh đòi hỏi khắt khe hơn trong việc lựa chọn một bộ máy tính giải pháp hàng loạt. Trong tổng của chuỗi như dịch vụ trực tuyến nhúng khái niệm về sự hội tụ của một chuỗi, nghĩa là sự tồn tại của một tổng hữu hạn. Cùng với phần này, các chủ đề cơ bản như tích phân và đạo hàm được giới thiệu, vì chúng đều có liên quan chặt chẽ với nhau. Hãy cùng trò chuyện với chúng tôi về tổng của chuỗi 1/n phân kỳ như thế nào khi biến có xu hướng tiến tới vô cùng. Tuy nhiên, một tổng khác của một chuỗi như vậy là 1/n^2, ngược lại, sẽ hội tụ và lấy số giới hạn biểu hiện wow. Thật thú vị khi nghiên cứu các trường hợp trong đó tổng của một chuỗi hữu hạn được biểu diễn dần dần dưới dạng các tổng riêng phần trung gian của chuỗi với sự tăng dần biến số lên một hoặc có thể vài đơn vị cùng một lúc. Chúng tôi khuyên bạn nên kiểm tra sự hội tụ của chuỗi trực tuyến sau Quyết định của riêng bài tập. Điều này sẽ cho phép bạn hiểu chủ đề một cách chi tiết và nâng cao trình độ kiến ​​thức của bạn. Đừng bao giờ quên điều đó, chúng tôi chỉ đang cố gắng vì bạn. Một lần trong một buổi học, giáo viên cho thấy lời giải của loạt bài trực tuyến bằng công nghệ máy tính. Tôi phải nói rằng mọi người đều thích nó khá nhiều. Sau sự cố này, máy tính đã được yêu cầu trong suốt quá trình nghiên cứu toán học. Sẽ không thừa nếu kiểm tra cách máy tính trực tuyến tính tổng của chuỗi trong vài giây sau khi bạn yêu cầu hiển thị kết quả. Nó sẽ ngay lập tức trở nên rõ ràng theo hướng nào đáng để duy trì quá trình giải quyết vấn đề. Vì không có nhiều bài viết về sự hội tụ của chuỗi trong một số sách giáo khoa đắt tiền, nên tốt hơn là bạn nên tải xuống một số báo cáo hay của các nhà khoa học lỗi lạc từ Internet và tham gia một khóa học về phương pháp của họ. Kết quả sẽ tốt. Khi giải các chuỗi, người ta không thể loại trừ dấu hiệu hội tụ đầu tiên, đó là xu hướng về 0 của giới hạn của số hạng chung của nó. Dù đây không phải là điều kiện đủ nhưng nó luôn cần thiết. Tính toàn vẹn của ví dụ đã giải tạo ra cảm giác dễ chịu cho học sinh khi anh ta hiểu rằng tổng của chuỗi đã được tính mà không cần dùng đến gợi ý. Sách giáo khoa nhằm mục đích hướng dẫn bạn áp dụng các kỹ năng của mình vào thực tế. Khi bạn quên tài liệu đã học, bạn cần dành ít nhất năm phút vào thứ Năm hàng tuần để xem nhanh các bài giảng, nếu không bạn sẽ quên mọi thứ vào đầu buổi học và thậm chí bạn sẽ càng quên mất sự hội tụ của chuỗi bài học như thế nào. tính toán. Bắt đầu với một lần và sau đó vượt qua sự lười biếng của bạn. Không có gì ngạc nhiên khi các giáo viên buộc phải chứng minh tổng của chuỗi 1/n sẽ phân kỳ như thế nào. Tuy nhiên, nếu tổng của chuỗi 1 / n ^ 2 được trình bày dưới dạng một chuỗi xen kẽ, thì sẽ không có gì khủng khiếp xảy ra - sau cùng, chuỗi tuyệt đối sẽ hội tụ! Và tất nhiên, tổng của một chuỗi hữu hạn có thể được bạn đặc biệt quan tâm khi tự học ngành này. Phần lớn các ví dụ được giải bằng phương pháp d'Alembert, và nghiệm của chuỗi trong trường hợp này được rút gọn thành việc tính các giới hạn theo tỷ lệ của các số hạng lân cận của nó, cụ thể là số hạng tiếp theo so với số hạng trước đó. Vì vậy, chúng tôi chúc bạn may mắn trong việc giải toán và mong bạn không bao giờ mắc sai lầm! Chúng ta hãy lấy cái gọi là giải pháp của chuỗi trực tuyến làm cơ sở cơ bản theo hướng bất đồng khám phá về sự tham gia. nguyên tắc cơ bản và các lĩnh vực khoa học liên ngành. Hãy để chúng tôi tìm câu trả lời cho bạn và khẳng định với bạn rằng tổng của chuỗi được giải bằng một số phương pháp cơ bản khác nhau, nhưng cuối cùng thì kết quả là như nhau. Gợi ý về sự hội tụ của chuỗi không phải lúc nào cũng rõ ràng đối với học sinh, ngay cả khi họ được cho biết trước câu trả lời, mặc dù tất nhiên, điều này chắc chắn sẽ thúc đẩy họ đến giải pháp đúng. Trừu tượng hóa trong toán học, mặc dù nó vượt lên trên địa phương, tuy nhiên, nó được hỗ trợ bởi lý thuyết và chứng minh một số sự thật không thể chối cãi trong nháy mắt. Không thể bỏ qua một khía cạnh như vậy khi giải toán trực tuyến là khả năng áp dụng hay không áp dụng của cơ bản. nguyên tắc lý thuyết sự hội tụ của một chuỗi số và biểu diễn tổng phức của chuỗi số trong một số phiên bản đơn giản hóa để có giao diện đẹp mắt hơn. Nhưng có những trường hợp tổng của chuỗi 1 / n sẽ hội tụ và chúng tôi sẽ không làm phiền bạn với sự cố này, bởi vì tất cả những gì bạn cần làm là thay thế một số nguyên thay vì ký hiệu vô cực và sau đó toàn bộ tổng sẽ được giảm xuống thành bình thường chuỗi số học. Chuỗi điều hòa là tổng của chuỗi 1/n^2, sau đó mạng là bất kỳ công suất tăng nào.

Hàng cho ấm trà. ví dụ về giải pháp

Tất cả những người sống sót chào mừng đến với năm thứ hai! Trong bài học này, hay đúng hơn là trong một loạt bài học, chúng ta sẽ học cách quản lý các hàng. Đề không khó lắm nhưng để thành thạo bạn sẽ cần kiến ​​thức từ khóa đầu tiên, cụ thể là bạn cần hiểu giới hạn là gì và có thể tìm giới hạn đơn giản nhất. Tuy nhiên không sao, trong phần giải thích mình sẽ đưa link phù hợp đến các bài cần thiết. Đối với một số độc giả, chủ đề về chuỗi toán học, phương pháp giải, dấu hiệu, định lý có vẻ kỳ dị, thậm chí là khoa trương, vô lý. Trong trường hợp này, bạn không cần phải "tải" nhiều, chúng tôi chấp nhận sự thật như hiện tại và chỉ cần học cách giải quyết các nhiệm vụ thông thường, điển hình.

1) Hàng cho ấm trà, và cho nội dung samovar ngay lập tức :)

Để chuẩn bị cực nhanh về một chủ đề có một khóa học cấp tốc ở định dạng pdf, với sự trợ giúp của khóa học này, bạn thực sự có thể "nâng cao" việc luyện tập chỉ trong một ngày.

Khái niệm dãy số

TẠI nhìn chung dãy số có thể được viết như thế này:
Nơi đây:
- biểu tượng toán học của tổng;
– thuật ngữ chung của chuỗi(hãy nhớ thuật ngữ đơn giản này);
- biến - "bộ đếm". Kỷ lục có nghĩa là phép tổng được thực hiện từ 1 đến “cộng vô cực”, tức là đầu tiên chúng ta có , sau đó , sau đó , v.v. - đến vô cùng. Một biến hoặc đôi khi được sử dụng thay cho một biến. Tính tổng không nhất thiết phải bắt đầu từ một, trong một số trường hợp, nó có thể bắt đầu từ số không, từ hai hoặc từ bất kỳ số tự nhiên.

Theo biến "bộ đếm", bất kỳ chuỗi nào cũng có thể được vẽ chi tiết:
– và cứ thế đến vô tận.

Điều kiện - đây là CON SỐ, được gọi là các thành viên hàng ngang. Nếu chúng đều không âm (lớn hơn hoặc bằng 0), thì một chuỗi như vậy được gọi là dãy số dương.

ví dụ 1

Nhân tiện, đây đã là một nhiệm vụ "chiến đấu" - trên thực tế, người ta thường phải ghi lại một số thành viên của bộ truyện.

Đầu tiên và sau đó:
Sau đó, sau đó:
Sau đó, sau đó:

Quá trình này có thể được tiếp tục vô thời hạn, nhưng theo điều kiện, nó được yêu cầu viết ba thuật ngữ đầu tiên của chuỗi, vì vậy chúng tôi viết ra câu trả lời:

Lưu ý sự khác biệt cơ bản từ dãy số,
trong đó các điều khoản không được tính tổng, nhưng được xử lý như vậy.

ví dụ 2

Viết ba số hạng đầu của dãy số

Đây là một ví dụ cho giải pháp độc lập, đáp án cuối bài

Ngay cả đối với một chuỗi có vẻ phức tạp, không khó để mô tả nó ở dạng mở rộng:

ví dụ 3

Viết ba số hạng đầu của dãy số

Trong thực tế, nhiệm vụ được thực hiện bằng miệng: thay thế tinh thần trong thuật ngữ phổ biến của bộ truyệnđầu tiên , sau đó và . Sau cùng:

Để lại câu trả lời như thế này tốt hơn là không đơn giản hóa các điều khoản thu được của chuỗi, đó là đừng tuân theo hành động: , , . Tại sao? Trả lời theo mẫu giáo viên kiểm tra dễ dàng và thuận tiện hơn rất nhiều.

Đôi khi được tìm thấy chuyển nhượng ngược lại

Ví dụ 4

Không có thuật toán giải pháp rõ ràng ở đây. bạn chỉ cần xem mô hình.
Trong trường hợp này:

Để xác minh, chuỗi kết quả có thể được "sơn lại" ở dạng mở rộng.

Nhưng ví dụ này khó hơn một chút đối với một giải pháp độc lập:

Ví dụ 5

Viết tổng dưới dạng thu gọn với số hạng chung của dãy số

Kiểm tra lại bằng cách viết chuỗi ở dạng mở rộng

Sự hội tụ của dãy số

Một trong những việc cốt yếu chủ đề là kiểm tra sự hội tụ của một chuỗi. Trong trường hợp này, hai trường hợp có thể xảy ra:

1) Hàng ngangphân kỳ. Nó có nghĩa là tổng vô hạn bằng vô cực: một trong hai tổng nói chung không tồn tại, chẳng hạn như trong sê-ri
(nhân tiện, đây là một ví dụ về một chuỗi có các thuật ngữ phủ định). mẫu tốt dãy số phân kì gặp ở đầu bài: . Ở đây, rõ ràng là mỗi số hạng tiếp theo của chuỗi lớn hơn số hạng trước, do đó và do đó chuỗi phân kỳ. Một ví dụ thậm chí tầm thường hơn: .

2) Hàng nganghội tụ. Điều này có nghĩa là một tổng vô hạn bằng một số số cuối cùng: . Xin vui lòng: Chuỗi này hội tụ và tổng của nó bằng không. Một ví dụ có ý nghĩa hơn là giảm vô hạn tiến trình hình học, được biết đến với chúng tôi từ khi đi học: . Tổng các số hạng của một số hạng giảm vô hạn cấp số nhânđược tính theo công thức: , ở đâu là phần tử đầu tiên của cấp số và là cơ sở của nó, theo quy luật, được viết là Chính xác phân số. Trong trường hợp này: , . Theo cách này: Một số hữu hạn thu được, có nghĩa là chuỗi hội tụ, điều cần chứng minh.

Tuy nhiên, trong phần lớn các trường hợp tìm tổng của chuỗi không đơn giản như vậy, và do đó, trong thực tế, để nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi, các dấu hiệu đặc biệt đã được chứng minh về mặt lý thuyết được sử dụng.

Có một số dấu hiệu hội tụ của một chuỗi: tiêu chuẩn cần thiết cho sự hội tụ của một chuỗi, tiêu chuẩn so sánh, tiêu chuẩn d'Alembert, tiêu chuẩn Cauchy, dấu hiệu của Leibniz và một số dấu hiệu khác. Khi nào áp dụng biển báo gì? Nó phụ thuộc vào thuật ngữ phổ biến của bộ truyện, nói theo nghĩa bóng - vào việc "nhồi nhét" bộ truyện. Và rất sớm thôi, chúng tôi sẽ đặt mọi thứ lên kệ.

! Để học thêm, bạn cần hiểu tốt, giới hạn là gì và thật tốt khi có thể tiết lộ sự không chắc chắn của hình thức. Để lặp lại hoặc nghiên cứu tài liệu, hãy tham khảo bài viết Hạn mức. ví dụ về giải pháp.

Một tiêu chí cần thiết cho sự hội tụ của một chuỗi

Nếu chuỗi hội tụ, thì số hạng chung của nó có xu hướng bằng 0: .

Đảo ngược thành trường hợp chung là sai, tức là, nếu , thì chuỗi có thể hội tụ và phân kỳ. Và vì vậy dấu hiệu này được sử dụng để biện minh phân kỳ hàng ngang:

Nếu số hạng chung của dãy số không đi đến số không, thì chuỗi phân kỳ

Hay nói ngắn gọn: nếu , thì chuỗi phân kỳ. Cụ thể, một tình huống có thể xảy ra khi giới hạn hoàn toàn không tồn tại, chẳng hạn như, giới hạn. Tại đây, họ ngay lập tức chứng minh sự khác biệt của một chuỗi :)

Nhưng thường thì giới hạn của chuỗi phân kỳ bằng vô cực, trong khi thay vì "x", nó đóng vai trò là một biến "động". Hãy làm mới kiến ​​​​thức của chúng ta: giới hạn với "x" được gọi là giới hạn của hàm số và giới hạn với biến "en" - giới hạn của dãy số. Sự khác biệt rõ ràng là biến "en" nhận các giá trị tự nhiên rời rạc (không liên tục): 1, 2, 3, v.v. Nhưng mà đưa ra thực tếít ảnh hưởng đến các phương pháp giải giới hạn và phương pháp bộc lộ độ không đảm bảo.

Hãy để chúng tôi chứng minh rằng chuỗi từ ví dụ đầu tiên phân kỳ.
Thành viên chung của bộ truyện:

Sự kết luận: hàng ngang phân kỳ

Tính năng yêu cầu thường được sử dụng trong thực tế nhiệm vụ thực tế:

Ví dụ 6

Ta có đa thức ở tử số và mẫu số. Người đã đọc kỹ và hiểu rõ phương pháp bộc lộ điểm không chắc chắn trong bài viết Hạn mức. ví dụ về giải pháp, chắc chắn bắt được điều đó khi lũy thừa cao nhất của tử số và mẫu số bình đẳng, thì giới hạn là số cuối cùng .

Chia tử số và mẫu số cho

loạt nghiên cứu phân kỳ, vì điều kiện cần cho sự hội tụ của chuỗi không được thỏa mãn.

Ví dụ 7

Kiểm tra sự hội tụ của chuỗi

Đây là một ví dụ tự làm. Giải pháp hoàn chỉnh và đáp án ở cuối bài

Vì vậy, khi chúng ta được cung cấp BẤT KỲ dãy số nào, đầu tiên chúng tôi kiểm tra (trong đầu hoặc trên bản nháp): thuật ngữ chung của nó có xu hướng bằng 0 không? Nếu nó không phấn đấu, chúng tôi đưa ra một giải pháp theo ví dụ của các ví dụ số 6, 7 và đưa ra câu trả lời rằng chuỗi phân kỳ.

Chúng ta đã xem xét những loại chuỗi phân kỳ rõ ràng nào? Rõ ràng là các hàng thích hoặc phân kỳ. Chuỗi từ các ví dụ số 6, 7 cũng phân kỳ: khi tử số và mẫu số chứa đa thức và bậc cao nhất của tử số lớn hơn hoặc bằng bậc cao nhất của mẫu số. Trong tất cả các trường hợp này, khi giải quyết và thiết kế các ví dụ, chúng tôi sử dụng tiêu chí cần thiết cho sự hội tụ của chuỗi.

Tại sao dấu hiệu được gọi là cần thiết? Hiểu một cách tự nhiên nhất: để chuỗi hội tụ thì cần thiết sao cho số hạng chung của nó có xu hướng bằng không. Và mọi thứ sẽ ổn thôi, nhưng điều này không đủ. Nói cách khác, nếu số hạng chung của chuỗi tiến tới 0, ĐIỀU NÀY KHÔNG CÓ NGHĨA là chuỗi hội tụ- nó có thể hội tụ và phân kỳ!

Gặp:

Hàng này được gọi là loạt điều hòa. Hãy nhớ! Trong số các dãy số, anh ấy là một nữ diễn viên ba lê sơ cấp. Chính xác hơn, một nữ diễn viên ba lê =)

Thật dễ dàng để thấy rằng , NHƯNG. về lý thuyết phân tích toán học Chứng minh rằng chuỗi điều hòa phân kỳ.

Bạn cũng nên nhớ khái niệm về chuỗi điều hòa tổng quát:

1) Hàng này phân kỳ tại . Ví dụ, chuỗi phân kỳ, , .
2) Hàng này hội tụ tại . Ví dụ, chuỗi , , . Tôi nhấn mạnh một lần nữa rằng trong hầu hết tất cả các nhiệm vụ thực tế, chẳng hạn, tổng của chuỗi là bao nhiêu không quan trọng đối với chúng tôi, thực tế của sự hội tụ của nó là quan trọng.

Đây là những sự thật cơ bản từ lý thuyết về chuỗi, đã được chứng minh và khi giải quyết một số nghiên cứu trường hợp ví dụ, người ta có thể đề cập một cách an toàn đến sự phân kỳ của chuỗi hoặc sự hội tụ của chuỗi.

Nói chung, tài liệu đang được xem xét rất giống với nghiên cứu về tích phân không chính xác, và những ai đã nghiên cứu chủ đề này sẽ thấy dễ dàng hơn. Chà, đối với những người chưa học thì dễ hơn gấp đôi :)

Vì vậy, phải làm gì nếu thuật ngữ chung của chuỗi ĐI về 0? Trong những trường hợp như vậy, để giải quyết các ví dụ, bạn cần sử dụng những người khác, hợp lý dấu hiệu hội tụ/phân kỳ:

Tiêu chí so sánh đối với dãy số dương

tôi thu hút sự chú ý của bạn rằng ở đây chúng ta chỉ nói về chuỗi số dương (với các thành viên không âm).

Có hai dấu hiệu so sánh, một trong số chúng tôi sẽ gọi đơn giản là dấu hiệu so sánh, nữa - dấu hiệu so sánh giới hạn.

đầu tiên xem xét dấu hiệu so sánh, hay đúng hơn là phần đầu tiên của nó:

Xem xét hai chuỗi số dương và . Nêu biêt được, rằng hàng là hội tụ, và, bắt đầu từ một số nào đó , bất đẳng thức đúng, sau đó là chuỗi hội tụ quá.

Nói cách khác: Sự hội tụ của chuỗi có số hạng lớn hơn hàm ý sự hội tụ của chuỗi có số hạng nhỏ hơn. Trong thực tế, bất đẳng thức thường thỏa mãn một cách tổng quát với mọi giá trị của :

Ví dụ 8

Kiểm tra sự hội tụ của chuỗi

Đầu tiên, chúng tôi kiểm tra(tinh thần hoặc trên một dự thảo) thực hiện:
, điều đó có nghĩa là không thể "xuống tay với ít máu".

Chúng tôi xem xét "gói" của chuỗi điều hòa tổng quát và, tập trung vào mức độ cao nhất, chúng tôi tìm thấy một chuỗi tương tự: Theo lý thuyết, người ta biết rằng nó hội tụ.

Với mọi số tự nhiên, bất đẳng thức hiển nhiên đúng:

và các mẫu số lớn hơn tương ứng với phân số nhỏ hơn:
, có nghĩa là, theo tiêu chí so sánh, loạt bài đang nghiên cứu hội tụ cùng với bên cạnh .

Nếu bạn có bất kỳ nghi ngờ nào, thì sự bất bình đẳng luôn có thể được vẽ chi tiết! Hãy để chúng tôi viết ra bất đẳng thức được xây dựng cho một số số "en":
Nếu , sau đó
Nếu , sau đó
Nếu , sau đó
Nếu , sau đó
….
và bây giờ khá rõ ràng là sự bất bình đẳng giữ cho tất cả các số tự nhiên "en".

Hãy để chúng tôi phân tích tiêu chí so sánh và ví dụ đã giải quyết từ quan điểm không chính thức. Tuy nhiên, tại sao chuỗi hội tụ? Đây là lý do tại sao. Nếu chuỗi hội tụ, thì nó có một số cuối cùng số lượng : . Và vì tất cả các thành viên của bộ truyện ít hơn phần tử tương ứng của chuỗi, thì gốc rõ ràng là tổng của chuỗi không thể bằng số lượng nhiều hơn, và lại càng không thể bằng vô cực !

Tương tự, ta có thể chứng minh sự hội tụ của các chuỗi "đồng dạng": , , vân vân.

! Ghi chú rằng trong mọi trường hợp chúng ta đều có “điểm cộng” ở mẫu số. Sự hiện diện của ít nhất một dấu trừ có thể làm phức tạp nghiêm trọng việc sử dụng được xem xét tính năng so sánh. Ví dụ: nếu chuỗi được so sánh theo cách tương tự với chuỗi hội tụ (viết ra một số bất đẳng thức cho các điều khoản đầu tiên), thì điều kiện sẽ không được đáp ứng chút nào! Ở đây, bạn có thể né tránh và chọn một chuỗi hội tụ khác để so sánh, chẳng hạn, nhưng điều này sẽ kéo theo sự dè dặt không cần thiết và những khó khăn không cần thiết khác. Do đó, để chứng minh sự hội tụ của một chuỗi, ta dễ dàng hơn nhiều khi sử dụng tiêu chí so sánh cận biên(xem đoạn tiếp theo).

Ví dụ 9

Kiểm tra sự hội tụ của chuỗi

Và trong ví dụ này, tôi khuyên bạn nên tự mình xem xét phần thứ hai của tính năng so sánh:

Nêu biêt được, rằng hàng là phân kỳ, và bắt đầu từ một số (thường ngay từ đầu) bất đẳng thức giữ, sau đó chuỗi cũng phân kỳ.

Nói cách khác: Sự khác biệt của chuỗi với các số hạng nhỏ hơn ngụ ý sự khác biệt của chuỗi với các số hạng lớn hơn.

Nên làm gì?
Cần so sánh chuỗi đang nghiên cứu với chuỗi điều hòa phân kỳ. Vì hiểu rõ hơn xây dựng một số bất phương trình cụ thể và chắc chắn bất phương trình đó nghiệm đúng.

Bài giải và thiết kế mẫu cuối bài.

Như đã lưu ý, trong thực tế, tính năng so sánh vừa được xem xét hiếm khi được sử dụng. "Ngựa ô" thực sự của dãy số là tiêu chí so sánh cận biên, và về tần suất sử dụng, chỉ dấu hiệu của d'Alembert.

Dấu giới hạn so sánh của dãy số dương

Xem xét hai chuỗi số dương và . Nếu giới hạn của tỷ lệ các phần tử chung của các chuỗi này bằng số hữu hạn khác 0: , thì cả hai chuỗi đồng quy hoặc phân kỳ.

Tiêu chí so sánh giới hạn được sử dụng khi nào? Dấu hiệu so sánh giới hạn được sử dụng khi "nhồi nhét" chuỗi là đa thức. Một đa thức ở mẫu số, hoặc đa thức ở cả tử số và mẫu số. Tùy ý, đa thức có thể nằm dưới gốc.

Hãy giải quyết chuỗi mà dấu hiệu so sánh trước đó bị đình trệ.

Ví dụ 10

Kiểm tra sự hội tụ của chuỗi

So sánh chuỗi này với chuỗi hội tụ. Chúng tôi sử dụng phép thử giới hạn để so sánh. Biết rằng chuỗi hội tụ. Nếu chúng ta có thể chỉ ra rằng đó là cuối cùng khác không số thì chứng minh rằng chuỗi cũng hội tụ.

Thu được một số hữu hạn, khác 0, có nghĩa là chuỗi đang nghiên cứu hội tụ cùng với bên cạnh .

Tại sao bộ truyện được chọn để so sánh? Nếu chúng tôi đã chọn bất kỳ chuỗi nào khác từ “clip” của chuỗi điều hòa tổng quát, thì chúng tôi đã không thành công trong giới hạn cuối cùng khác không số (bạn có thể thử nghiệm).

Ghi chú: khi chúng ta sử dụng tính năng so sánh cận biên, không liên quan, theo thứ tự nào để tạo nên mối quan hệ của các thành viên chung, trong ví dụ được xem xét, mối quan hệ có thể được rút ra theo chiều ngược lại: - điều này sẽ không thay đổi bản chất của vấn đề.