N Ví dụ 2.3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình

x- tg (x) = 0. (2.18)

Giai đoạn đầu tiên của giải pháp (giai đoạn tách rễ) đã được thực hiện trong Mục 2.1 (Ví dụ 2.2). Căn nguyên mong muốn của phương trình nằm trên đoạn xО, có thể được nhìn thấy trên đồ thị (Hình 2.9).

Hình.2.9. Bước tách gốc

Giai đoạn tinh chỉnh gốcđược triển khai bằng Excel. Hãy chứng minh điều này bằng một ví dụ phương pháp phân nửa . Các phương án tính toán cho phương pháp tiếp tuyến và dây nhau khác một chút so với sơ đồ dưới đây.

Trình tự:

1. Lập một bảng như hình 2.10 và nhập các giá trị một, b, ε vào các ô В3, В4, В5 tương ứng.

2. Điền vào dòng đầu tiên của bảng:

D4 = 0 số lần lặp;

E4 = B3, F4 = B4, để tính toán f (a): G4 = E4-TAN (E4),

Tương tự, tại các ô H4, I4, J4, chúng tôi sẽ giới thiệu các công thức tính tương ứng f(b), x n=(a + b)/2 và f(x n);

Trong ô K4, tính độ dài của đoạn [ một, b]: K4 = ABS (E4-F4).

3. D5 = D4 + 1, để tạo thành số lặp.

4. Trong các ô E5, F5, chúng tôi giới thiệu các công thức để hình thành các phần cuối của các đoạn lồng nhau phù hợp với thuật toán được mô tả trong Phần 2.2.1:

E5 = IF (J4 * H4<0;I4;E4);

F5 = IF (J4 * H4> 0; I4; F4).

5. Chọn các ô G4: K4 và sao chép chúng xuống một đường thẳng.

6. Chọn các ô D5: K5 và sao chép chúng xuống cuối bảng.

Hình.2.10. Sơ đồ giải một phương trình phi tuyến bằng phương pháp phân giác

Chúng tôi tiếp tục chia các đoạn cho đến khi độ dài của đoạn sau nhỏ hơn ε đã cho, tức là cho đến khi điều kiện được đáp ứng.

Để hình dung phần cuối của quá trình lặp lại, chúng tôi sử dụng định dạng có điều kiện

Định dạng có điều kiện -đây là định dạng của các ô đã chọn dựa trên một số tiêu chí, do đó ô nào sẽ được tô màu, nội dung của ô đó thỏa mãn điều kiện được chỉ định (trong trường hợp của chúng tôi,).

Để thực hiện việc này, hãy thực hiện các bước sau:

Hãy chọn các ô của cột cuối cùng (K) của sơ đồ tính toán (Hình 2.10), nơi tiêu chí cho sự kết thúc của quá trình lặp lại sẽ được thiết lập;

Thực hiện lệnh

Trang chủ \ Kiểu \ Định dạng có điều kiện;

Hình.2.11. Cửa sổ lúc định dạng từ

Trong cửa sổ xuất hiện (Hình 2.11), chọn dòng:

Quy tắc chọn ô \ Nhỏ hơn;

Ở bên trái của hộp thoại xuất hiện Ít hơn (Hình 2.12) đặt giá trị sẽ được sử dụng làm tiêu chí (trong ví dụ của chúng tôi, đây là địa chỉ của ô B5, nơi giá trị được đặt ε ).

Hình.2.12. Cửa sổ hộp thoại Ít hơn

Ở phía bên phải của cửa sổ Ít hơn chọn màu sẽ được sử dụng để tô màu các ô đáp ứng điều kiện đã chỉ định; và nhấn nút ĐƯỢC RỒI.

Kết quả của định dạng này, các ô của cột K , giá trị của ai ít hơn 0,1, nhuộm màu, Hình.2.10.

Do đó, đối với giá trị gần đúng của nghiệm nguyên của phương trình x- tg (x) = 0 với độ chính xác e = 0,1, lần lặp thứ 3 được chấp nhận, tức là x * "4.46875. Đối với e = 0,01 - x * »4,49609(Lần lặp thứ 6).

Dung dịch không phải Các phương trình tuyến tính sử dụng tiện ích bổ sung "Chọn thông số"

Giải pháp của phương trình phi tuyến có thể được thực hiện trong ứng dụng MS vượt trội sử dụng tiện ích bổ sung Lựa chọn thông số, nơi một số quy trình lặp lại được thực hiện.

Chúng ta hãy tìm nghiệm nguyên của phương trình trên (2.18).

Đối với xấp xỉ 0 của nghiệm của phương trình, như có thể thấy trong Hình 2.13, chúng ta có thể lấy X 0 = 4 hoặc X 0 =4,5.

Giải trình tự

1. Chuẩn bị một bảng, như trong Hình 2.13. Đến ô A2 nhập một số giá trị x 0 (Ví dụ X 0 = 4) từ hàm ODZ y = f (x). Đây sẽ là giá trị gần đúng ban đầu cho quá trình lặp lại được ứng dụng thực hiện Lựa chọn thông số.

2. Tế bào TRONG 2 Là tế bào có thể thay đổi trong khi tiện ích bổ sung đang chạy. Hãy đặt giá trị này vào nó. x 0 và trong ô C3 tính giá trị của hàm f (xn) cho sự gần đúng này.

3. Chọn một lệnh:

Dữ liệu \ Làm việc với dữ liệu \ Phân tích "Điều gì xảy ra nếu" \ Lựa chọn một tham số.

4. Trong cửa sổ "Lựa chọn tham số", thực hiện các cài đặt như trong Hình 2.13 và nhấn nút OK.

Hình.2.13. Giải một phương trình phi tuyến tính bằng phần bổ trợ tra cứu tham số

Nếu mọi thứ được thực hiện một cách chính xác, thì trong ô B2 (Hình 2.13) sẽ thu được giá trị gần đúng của nghiệm nguyên của phương trình.

Thực hiện lại tất cả các thao tác này với một giá trị khác của giá trị gần đúng ban đầu, chẳng hạn x 0 \ u003d 4,5.

câu hỏi kiểm tra

1. Phương trình nào được gọi là phi tuyến tính. Nghiệm của phương trình phi tuyến tính là gì.

2. Giải thích hình học của nghiệm của một phương trình phi tuyến.

3. Phương pháp giải một phương trình phi tuyến (trực tiếp và lặp), sự khác biệt là gì.

4. Hai giai đoạn giải pháp số phương trình phi tuyến tính. Nhiệm vụ trong giai đoạn đầu tiên và thứ hai là gì.

5. Giai đoạn đầu của việc giải một phương trình phi tuyến. Cách chọn xấp xỉ 0 (không lặp lại) được chọn.

6. Xây dựng một chuỗi lặp. Khái niệm về sự hội tụ của một dãy lặp. Tìm một giá trị gần đúng của nghiệm nguyên của một phương trình phi tuyến với độ chính xác là ε.

7. Giải thích hình học của các phương pháp số để giải một phương trình phi tuyến: một nửa phép chia, Newton (tiếp tuyến), hợp âm.

Chương 3

Phương trình F (x) = 0 đã cho. Nó - hình thức chung phương trình phi tuyến với một ẩn số. Theo quy luật, thuật toán tìm gốc bao gồm hai giai đoạn:

1. Tìm giá trị gần đúng của gốc hoặc đoạn trên trục x chứa nó.

2. Tinh chỉnh giá trị gần đúng của gốc đến một số độ chính xác.

Ở giai đoạn đầu, phương pháp tách gốc được áp dụng, ở giai đoạn thứ hai - một trong những phương pháp sàng lọc (phương pháp chia nửa, phương pháp Newton, phương pháp Hợp âm hoặc phương pháp lặp đơn giản).

phương pháp bước

Ví dụ, xét phương trình x 2 - 11x + 30 = 0. Khoảng thời gian tìm kiếm, bước h = 0,3. Hãy giải quyết nó bằng cách sử dụng khả năng đặc biệt Gói Excel. Chuỗi các hành động (xem Hình 1):

1. Tạo kiểu cho tiêu đề trên dòng 1 " Phương pháp số nghiệm của phương trình phi tuyến tính ”.

2. Thiết kế tiêu đề trong dòng 3 "Phương pháp bước".

3. Trong các ô A6, C6 và B6 ghi dữ liệu về nhiệm vụ.

4. Trong các ô B9 và C9, viết tiêu đề của các hàng - tương ứng x và F (x).

5. Trong các ô B10 và B11, hãy nhập hai giá trị đầu tiên của đối số - 3 và 3,3.

6. Chọn các ô B5-B6 và kéo chuỗi dữ liệu đến giá trị cuối cùng (3.3), đảm bảo rằng cấp số cộng được căn chỉnh chính xác.

7. Nhập công thức vào ô C10"= B10 * B10-11 * B10 + 30".

8. Sao chép công thức vào phần còn lại của hàng bằng cách sử dụng kéo và thả. Trong khoảng C10: C18, ta thu được một số kết quả tính hàm số F (x). Có thể thấy rằng hàm thay đổi dấu hiệu một lần. Căn của phương trình nằm trong khoảng.

9. Để xây dựng một biểu đồ phụ thuộc F (x) sử dụng Chèn - Sơ đồ (kiểu "Điểm", các điểm đánh dấu được nối với nhau bằng các đường cong mịn).

Phương pháp Bisection

Ví dụ, hãy xem xét phương trình x 2 - 11x + 30 = 0. Khoảng thời gian tìm kiếm, với độ chính xác là ε = 0,01. Hãy giải quyết nó bằng cách sử dụng các tính năng đặc biệt của gói Excel.

1. Nhập vào ô B21 tiêu đề "Phương pháp chia đoạn làm đôi."

2. Nhập dữ liệu nhiệm vụ vào ô A23, C23, E23.

3. Trong vùng B25: H25, hãy vẽ tiêu đề của bảng (hàng B - đường viền bên trái của đoạn "a", hàng C - giữa đoạn "x", hàng D - đường viền bên phải của đoạn "b ", hàng E - giá trị của hàm ở viền trái của đoạn" F (a) ", dãy F - giá trị của hàm ở giữa đoạn" F (x) ", dãy G - tích "F (a) * F (x)", chuỗi H - kiểm tra mức độ chính xác "ê F (x) ê<е».

4. Nhập các giá trị ban đầu của các phần cuối của đoạn: trong ô B26 "4.8", trong ô D26 "5.1".

5. Nhập công thức "= (B26 + D26) / 2" vào ô C26.

6. Nhập công thức vào ô E26"= B26 * B26-11 * B26 + 30".

7. Nhập công thức vào ô F26"= C26 * C26-11 * C26 + 30".

8. Nhập công thức "= E26 * F26" vào ô G26.

9. Nhập vào ô H26 công thức "= IF (ABS (F26))<0.01; ² gốc²) ".

1 0. Chọn vùng B21: H21 và kéo nó theo chiều dọc cho đến khi thông báo “gốc” xuất hiện trong hàng H (ô H29, H30).

Phương pháp tiếp tuyến (Newton)

1. Nhập vào ô J23 tiêu đề "Phương pháp tiếp tuyến (Newton)".

2. Nhập văn bản “e =” vào ô L23 và giá trị độ chính xác “0,00001” vào ô M23.

3. Trong vùng K25: N25, hãy vẽ tiêu đề của bảng (hàng K - giá trị của đối số "x", hàng L - giá trị của hàm "F (x)", hàng M - đạo hàm của hàm " F¢ (x) ", dãy N - kiểm tra độ chính xác" ê F (x) ê<е».

4. Trong ô K26, nhập giá trị đầu tiên giá trị ban đầu tranh luận"-2".

5. Nhập công thức "= K26 * K26 * K26 + 2 * K26 * K26 + 3 * K26 + 5" vào ô L26.

6. Nhập công thức "= 3 * K26 * K26 + 4 * K26 + 3" vào ô M26.

7. Nhập vào ô N26 công thức "= IF (ABS (L26))<$M$23;"корень")».

8. Nhập công thức vào ô K27"= K26-L26 / M26".

9. Chọn vùng L27: N27 và kéo nó theo chiều dọc cho đến khi thông báo “gốc” xuất hiện ở hàng N (ô N30).

phương pháp hợp âm

Ví dụ, hãy xem xét phương trình x 3 + 2x 2 + 3x + 5 = 0. Độ chính xác ε = 0,01. Hãy giải quyết nó bằng cách sử dụng các tính năng đặc biệt của gói Excel.

1. Nhập tiêu đề “Phương pháp hợp âm” vào ô B32.

2. Nhập văn bản "e =" vào ô C34 và giá trị "0,00001" vào ô E34.

3. Trong vùng B36: D36, hãy vẽ tiêu đề của bảng (hàng B - giá trị của đối số "x", hàng C - giá trị của hàm "F (x)", hàng D - kiểm tra độ chính xác "ê F (x) ê<е».

4. Trong các ô B37 và B38, nhập giá trị ban đầu của đối số"-2 và. "-một"

5. Nhập vào ô C37 công thức "= B37 * B37 * B37 + 2 * B37 * B37 + 3 * B37 + 5".

6. Nhập công thức vào ô D37"= IF (ABS (B38-B37)<$D$34;"корень")».

7. Nhập công thức vào ô B39"= B38-C38 * (B38-B37) / (C38-C37)".

8. Chọn vùng C39: D39 và kéo nó theo chiều dọc cho đến khi thông báo “gốc” xuất hiện trong hàng D (ô D43).

Phương pháp lặp lại đơn giản

Ví dụ, hãy xem xét phương trình x 2 - 11x + 30 = 0. Khoảng tìm kiếm là, với độ chính xác là e = 0,05.

1. Nhập vào ô K32 tiêu đề "Phương pháp lặp đơn giản"

2. Nhập văn bản “e =” vào ô N34 và giá trị độ chính xác “0,05” vào ô O34.

3. Chọn một hàm j (x) thỏa mãn điều kiện hội tụ. Trong trường hợp của chúng ta, một hàm như vậy là hàm S (x) = (x * x + 30) / 11.

4. Trong vùng K38: N38, vẽ tiêu đề bảng (hàng K - giá trị của đối số "x", hàng L - giá trị của hàm "F (x)", hàng M - giá trị của hàm phụ " S (x) ", hàng N - kiểm tra mức độ chính xác"ê F (x) ê<е».

5. Trong ô K39, nhập giá trị ban đầu của đối số "4.8".

6. Nhập công thức vào ô L39"= K39 * K39-11 * K39 + 30".

7. Nhập công thức "= (K39 * K39 + 30) / 11" vào ô M39.

8. Nhập vào ô N39 công thức "= IF (ABS (L39)<$O$34;"корень")».

9. Nhập công thức "= M39" vào ô K40.

1 0. Sao chép các ô L39: N39 sang các ô L40: N40.

mười một. Chọn vùng L40: N40 và kéo nó theo chiều dọc cho đến khi thông báo “gốc” xuất hiện ở hàng N (ô N53).

Hình 1 Giải phương trình phi tuyến tính trong Excel

BỘ GIÁO DỤC VÀ KHOA HỌC LIÊN BANG NGA

NGÂN SÁCH NHÀ NƯỚC LIÊN BANG

CƠ SỞ GIÁO DỤC

GIÁO DỤC CHUYÊN NGHIỆP CAO HƠN

«SAMARA STATE

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC VÀ XÂY DỰNG »

Khoa Toán ứng dụng và Kỹ thuật Máy tính

vượt trộivàMathcad

HƯỚNG DẪN PHƯƠNG PHÁP

cho công việc trong phòng thí nghiệm

trong lĩnh vực "Toán học tính toán"

Giải pháp của phương trình phi tuyến tính trongExcel vàMathcad: Phương pháp. Án Lệnh. / Phần - Samara: SGASU, 20p.

Các hướng dẫn có phương pháp được phát triển phù hợp với tiêu chuẩn giáo dục của Tiểu bang cho việc học môn "Toán tính toán".

Việc thực hiện các phương pháp số để giải phương trình phi tuyến và hệ phương trình trong Excel và MathCad được xem xét. Các nhiệm vụ khác nhau để thực hiện cá nhân và các câu hỏi để tự kiểm soát và kiểm tra được đưa ra.

Được thiết kế cho sinh viên chuyên ngành 230201 - "Hệ thống thông tin và công nghệ" của tất cả các hình thức giáo dục.

Phản biện Ph.D. N.

Ó, biên soạn, 2012

ã SGASU, 2012

1.2 Tách rễ
1.5 Phương pháp hợp âm
1.6 Phương pháp Newton (tiếp tuyến)
1.7 Phương pháp kết hợp
1.8 Phương pháp lặp lại
2.2 Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton
3 Nhiệm vụ cho công việc trong phòng thí nghiệm
Phòng thí nghiệm số 1. Tách nghiệm nguyên và các công cụ tiêu chuẩn để giải một phương trình phi tuyến
Phòng thí nghiệm số 2. So sánh các phương pháp tinh chỉnh nghiệm nguyên của một phương trình phi tuyến
Phòng thí nghiệm số 3. Giải hệ phương trình phi tuyến
Phòng thí nghiệm số 4. Phương pháp lập trình giải hệ phương trình và hệ phi tuyến
4 câu hỏi và bài kiểm tra để kiểm soát bản thân

1 Giải một phương trình phi tuyến tính

1.1 Thông tin chung về nghiệm của một phương trình phi tuyến

Theo quy luật, phương trình phi tuyến tính dạng tổng quát f (x) = 0 không thể được giải quyết một cách phân tích. Đối với các bài toán thực tế, chỉ cần tìm một giá trị gần đúng là đủ x, theo một nghĩa nào đó gần với nghiệm chính xác của phương trình khtochn.

Trong hầu hết các trường hợp, việc tìm kiếm một giải pháp gần đúng bao gồm hai giai đoạn. Trên giai đoạn đầu tiên tách rời rễ, tức là, tìm các đoạn như vậy, bên trong có chính xác một gốc. Trên giai đoạn thứ hai làm rõ bắt nguồn từ một trong những phân đoạn này, tức là tìm giá trị của nó với độ chính xác cần thiết.

Độ chính xác đạt được có thể được đánh giá "theo chức năng" (tại điểm tìm thấy x, hàm đủ gần với 0, tức là, điều kiện | f (x) | ≤ef, ở đâu efđộ chính xác cần thiết dọc theo trục y) hoặc “theo đối số” (một đoạn đủ nhỏ đã được tìm thấy [ một,b], bên trong có một gốc, tức là | b–a | ≤ex, ở đâu exđộ chính xác cần thiết trên trục x).

1.2 Tách rễ

Việc tách rễ có thể được thực hiện bằng cách kết hợp đồ họa và phân tích nghiên cứu chức năng. Một nghiên cứu như vậy dựa trên định lý Weierstrass, theo đó, liên tục trên một đoạn [ một,b] chức năng f (x) và bất kỳ số nào y, đáp ứng điều kiện f (a) ≤y≤f (b), có một điểm trên phân đoạn này x, trong đó hàm bằng y. Do đó, đối với một hàm liên tục, chỉ cần tìm một đoạn mà ở các đầu của hàm có các dấu khác nhau, và bạn có thể chắc chắn rằng đoạn này có căn của phương trình. f (x) = 0.

Đối với một số phương pháp sàng lọc, điều mong muốn là đoạn được tìm thấy ở giai đoạn đầu tiên chỉ chứa một nghiệm nguyên của phương trình. Điều kiện này được thỏa mãn nếu hàm số trên khoảng là đơn điệu. Tính đơn điệu có thể được kiểm tra bằng đồ thị của hàm hoặc bằng dấu của đạo hàm.

Thí dụ Tìm đến số nguyên tất cả các gốc của phương trình phi tuyến y (x) =x3-10x + 7 = 0 a) bằng cách xây dựng một bảng và b) bằng cách xây dựng một đồ thị. Tìm nghiệm nguyên của phương trình trên đoạn đã chọn bằng cách sử dụng các tùy chọn "Lựa chọn tham số" và "Tìm kiếm giải pháp".

Dung dịch Hãy tạo một bảng trong Excel chứa các đối số và giá trị của hàm và xây dựng trên đó âm mưu phân tán . Hình 1 là ảnh chụp nhanh của giải pháp.

Đồ thị cho thấy rằng phương trình có ba nghiệm thuộc các đoạn [-4, -3] và. Các phân đoạn này cũng có thể được xác định bằng cách quan sát sự thay đổi các dấu hiệu của chức năng trong bảng. Theo đồ thị đã xây dựng, chúng ta có thể kết luận rằng trên các đoạn được chỉ ra, hàm f(x) là đơn nguyên và do đó, mỗi đơn vị chỉ chứa một gốc.

Phân tích tương tự có thể được thực hiện trong gói Mathcad. Để làm điều này, chỉ cần nhập định nghĩa của hàm là đủ f(x) , sử dụng toán tử gán (: =) và các quy ước tự nhiên của các phép toán và hàm chuẩn, thiết lập một vòng lặp để thay đổi đối số, chẳng hạn, sau đó hiển thị bảng giá trị hàm (nằm trên cùng một dòng với các lệnh x= f(x)= ) và đồ thị. Chu kỳ có thể được chỉ định, ví dụ, với lệnh x:=-5,-4.5…5 . Bước chu kỳ được hình thành bằng cách đặt giá trị ban đầu và giá trị sau của biến, và trước giá trị cuối cùng của biến, một dấu chấm phẩy được đặt, sẽ hiển thị trực quan trên màn hình dưới dạng dấu chấm lửng.

https://pandia.ru/text/78/157/images/image002_56.jpg "width =" 640 "height =" 334 ">

Hình 1 - Bảng và đồ thị để tách các nghiệm của một phương trình phi tuyến tính

1.3 Tinh chỉnh gốc rễ bằng cách sử dụng các công cụ Excel và Mathcad tiêu chuẩn

Trong tất cả các phương pháp tinh chế gốc, cần phải đặt giá trị gần đúng ban đầu, sau đó sẽ được tinh chế. Nếu phương trình có một số nghiệm, một trong số chúng sẽ được tìm thấy tùy thuộc vào giá trị gần đúng ban đầu đã chọn. Với một giá trị gần đúng ban đầu được chọn không thành công, giải pháp có thể không được tìm thấy. Nếu kết quả của giai đoạn tính toán đầu tiên, một đoạn có chứa một căn duy nhất của phương trình đã được chọn, thì bất kỳ điểm nào của đoạn này cũng có thể được lấy làm giá trị gần đúng ban đầu.

Trong Excel, để tinh chỉnh các giá trị của gốc, bạn có thể sử dụng các tùy chọn "Lựa chọn tham số" và "Tìm kiếm giải pháp". Ví dụ về thiết kế một giải pháp được thể hiện trong Hình 2 và Hình 3.

https://pandia.ru/text/78/157/images/image004_31.jpg "width =" 501 "height =" 175 src = ">

Hình 3 - Kết quả của việc sử dụng các phương tiện giải phương trình trongvượt trội

Trong Mathcad, để tinh chỉnh gốc của một phương trình, bạn có thể sử dụng hàm nguồn gốc(….) hoặc khối quyết định. Ví dụ về việc sử dụng hàm root (…) được hiển thị trong Hình 4 và một khối quyết định trong Hình 5. Lưu ý rằng trong khối quyết định (sau tiêu đề khối Được) giữa vế trái và vế phải của phương trình nên dấu bằng đậm(danh tính), có thể nhận được bằng cách chọn từ bảng công cụ tương ứng hoặc bằng cách nhấn đồng thời phím Điều khiển và = .

243 "chiều cao =" 31 ">

Hình 5 - Giải phương trình bằng khối giải trongMathcad

Như bạn có thể thấy, mỗi công cụ tiêu chuẩn đều tìm ra lời giải cho phương trình với độ chính xác nhất định. Độ chính xác này phụ thuộc vào phương pháp được sử dụng trong gói và ở một mức độ nào đó, các cài đặt của gói. Việc kiểm soát độ chính xác của kết quả ở đây là khá khó, và thường là không thể.

Đồng thời, rất dễ dàng để xây dựng bảng của riêng bạn hoặc viết một chương trình thực hiện một trong các phương pháp sàng lọc gốc. Ở đây bạn có thể sử dụng các tiêu chí tính toán độ chính xác do người dùng chỉ định. Đồng thời, sự hiểu biết về quá trình tính toán cũng đạt được mà không cần dựa vào nguyên tắc của Mitrofanushka: “Có tài xế, anh ta sẽ đưa bạn đi”.

Dưới đây là một số phương pháp phổ biến hơn. Lưu ý điểm rõ ràng: đối với điều kiện bình đẳng phương pháp đó việc sàng lọc các gốc sẽ hiệu quả hơn, trong đó kết quả với cùng một lỗi được tìm thấy với nhỏ hơn số lượng đánh giá chức năng f (x)(điều này cũng đạt được độ chính xác tối đa ở Cùng một số tính toán hàm).

1.4 Phương pháp phân tách

Trong phương pháp này, ở mỗi bước, phân đoạn được chia thành hai phần bằng nhau. Sau đó, họ so sánh các dấu hiệu của hàm ở cuối mỗi nửa (ví dụ: bằng dấu của tích các giá trị của các hàm ở cuối), xác định cái có chứa nghiệm (các dấu của hàm ở hai đầu phải khác nhau), và. thu hẹp phân khúc, chuyển ranh giới của nó đến điểm được tìm thấy ( một hoặc b). Điều kiện kết thúc là độ nhỏ của phân đoạn chứa gốc (“độ chính xác trong x”), Hoặc giá trị gần bằng 0 của giá trị hàm ở giữa đoạn (“ độ chính xác tính bằng y ”). Nghiệm của phương trình là giữa đoạn được tìm thấy ở bước cuối cùng.

Thí dụ. Xây dựng bảng để tinh chỉnh nghiệm nguyên của phương trình x3 –10 x+7=0 trên phân khúc [-4, -3] bằng cách chia đoạn làm đôi. Xác định xem cần thực hiện bao nhiêu bước bằng cách chia đoạn làm đôi và độ chính xác đạt được trong trường hợp này. X,để đạt được độ chính xác trong y bằng 0,1; 0,01; 0,001.

Dung dịch Bạn có thể sử dụng bảng tính để giải quyết Bộ xử lý Excel, cho phép các dòng tiếp tục tự động. Ở bước đầu tiên, chúng tôi nhập giá trị của hai đầu bên trái và bên phải của phân đoạn ban đầu đã chọn vào bảng và tính giá trị ở giữa phân đoạn Với=(một+b) / 2, và sau đó chúng tôi giới thiệu công thức tính hàm tại một điểm một (f(một)) và kéo dài (sao chép) nó để tính toán f(c) và f(b). Trong cột cuối cùng, chúng tôi tính toán biểu thức ( b-một) / 2 đặc trưng cho mức độ chính xác của tính toán. Tất cả các công thức đã nhập có thể được sao chép vào hàng thứ hai của bảng.

Ở bước thứ hai, bạn cần tự động hóa quá trình tìm một nửa đoạn có chứa gốc. Để thực hiện việc này, hãy sử dụng hàm logic IF ( Thực đơn: InsertFunctionBoolean). Đối với cạnh trái mới của phân đoạn, chúng tôi kiểm tra tính trung thực của điều kiện f(một)*f(c)> 0, nếu nó là true, thì chúng ta lấy số đó làm giá trị mới của phần cuối bên trái của đoạn c một, c một. Tương tự, đối với cạnh bên phải mới của phân đoạn, chúng tôi kiểm tra tính trung thực của điều kiện f(c)* f(b)> 0, nếu nó là true, thì chúng ta lấy số đó làm giá trị mới của phần cuối bên phải của đoạn c(bởi vì điều kiện này cho thấy rằng gốc trên khoảng [ c, b] không), nếu không, hãy để nguyên giá trị b.

Dòng thứ hai của bảng có thể được tiếp tục (sao chép) cho số dòng tiếp theo được yêu cầu.

Quá trình lặp lại kết thúc khi giá trị tiếp theo trong cột cuối cùng trở nên nhỏ hơn độ chính xác đã chỉ định, ví dụ: Trong trường hợp này, giá trị của giữa đoạn trong phép gần đúng cuối cùng được coi là giá trị gần đúng của căn mong muốn của phương trình phi tuyến. Hình 6 cho thấy một ảnh chụp nhanh của giải pháp. Để xây dựng một quy trình tương tự trong Mathcad, bạn có thể sử dụng một biểu mẫu tương tự như thể hiện trong Hình 7. Số bước N có thể thay đổi cho đến khi đạt được độ chính xác cần thiết trong bảng kết quả. Bảng sẽ tự động kéo dài hoặc rút ngắn.

Vì vậy, một trong ba nghiệm của phương trình phi tuyến x 3 – 10x+ 7 = 0 được tìm thấy với độ chính xác e = 0,0001 là x= - 3,46686. Như chúng ta thấy, nó thực sự thuộc phân khúc [-4; -3].

https://pandia.ru/text/78/157/images/image018_6.jpg "width =" 563 "height =" 552 src = ">

Hình 7 - Tinh chỉnh gốc bằng cách chia đoạn làm đôi trongMathcad

1.5 Phương pháp hợp âm

Trong phương pháp này chức năng phi tuyến f (x) trên khoảng cách nhau [ a, b] được thay thế bằng một tuyến tính - phương trình của một hợp âm, tức là, một đường thẳng nối các điểm biên của biểu đồ trên đoạn. Điều kiện để có thể áp dụng phương pháp là tính đơn điệu của hàm trên đoạn ban đầu, đảm bảo tính duy nhất của căn trên đoạn này. Cách tính theo phương pháp hợp âm tương tự như cách tính theo phương pháp chia đôi đoạn nhưng bây giờ ở mỗi bước. điểm mới x bên trong đoạn [ một, b] được tính bằng bất kỳ công thức nào sau đây:

(x)> 0), hoặc ranh giới bên phải của nó: x0 = b(nếu f (b) f "(x)> 0). Tính toán một giá trị gần đúng mới trong bước tiếp theo tôi+1 được sản xuất theo công thức:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image021_4.jpg "width =" 596 "height =" 265 src = ">

Hình 8 - Tinh chỉnh gốc bằng phương pháp tiếp tuyến trong Excel

Các phép tính trong Mathcad được thực hiện theo cách tương tự. Đồng thời, một sự nhẹ nhõm đáng kể được cung cấp bởi sự hiện diện trong gói này của một toán tử tự động tính toán đạo hàm của một hàm.

Yếu tố tốn nhiều thời gian nhất trong các phép tính của Newton là tính đạo hàm ở mỗi bước.

Có thể được sử dụng trong những điều kiện nhất định phương pháp đơn giản hóa của Newton, trong đó đạo hàm chỉ được tính một lần - tại điểm bắt đầu. Trong trường hợp này, một công thức đã sửa đổi được sử dụng

.

Đương nhiên, phương pháp đơn giản hóa, như một quy luật, yêu cầu hơn các bước.

Nếu việc tính đạo hàm liên quan đến những khó khăn nghiêm trọng (ví dụ: nếu hàm được cho không phải bởi một biểu thức phân tích, mà bởi một chương trình tính toán các giá trị của nó), nó được sử dụng phương pháp sửa đổi Newton, được gọi là phương pháp secant. Ở đây, đạo hàm được tính gần đúng từ các giá trị của hàm tại hai điểm liên tiếp, tức là, công thức được sử dụng

.

Trong phương thức secant, cần phải chỉ định không phải một mà là hai điểm bắt đầu - x0 và x1 . Chấm x1 thường được đưa ra bởi một ca x0đến ranh giới khác của phân đoạn bằng một lượng nhỏ, ví dụ: 0,01.

1.7 Phương pháp kết hợp

Có thể chỉ ra rằng nếu trên đoạn đầu của hàm f (x) các dấu của đạo hàm thứ nhất và thứ hai không thay đổi, sau đó các phương pháp của hợp âm và Newton tiếp cận gốc từ các điểm khác nhau. Phương pháp kết hợp sử dụng đồng thời cả hai thuật toán để tăng hiệu quả ở mỗi bước. Trong trường hợp này, khoảng chứa gốc bị giảm ở cả hai phía, điều này dẫn đến một điều kiện khác để kết thúc tìm kiếm. Việc tìm kiếm có thể được dừng lại ngay khi ở giữa khoảng thời gian thu được ở bước tiếp theo, giá trị của hàm trở thành mô-đun nhỏ hơn sai số được xác định trước ef.

Nếu, theo quy tắc được xây dựng ở trên, phương pháp Newton được áp dụng cho đường biên bên phải của đoạn thẳng, thì các công thức sau được sử dụng để tính toán:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image025_10.gif "width =" 107 "height =" 45 src = ">.

Nếu phương pháp của Newton được áp dụng cho ranh giới bên trái, - trong các công thức trước đó, các ký hiệu được đảo ngược một và b.

1.8 Phương pháp lặp lại

Để áp dụng phương pháp này, phương trình ban đầu f (x) = 0 chuyển sang dạng: x=y(X). Sau đó chọn giá trị ban đầu x0 và thay thế nó vào bên trái của phương trình, nhận, trong trường hợp chung, x1 = y(x0)¹ x0¹ y(x1), vì x0được lấy tùy ý và không phải là một căn của phương trình. Giá trị nhận được x1được coi như là một xấp xỉ gốc khác. Anh ấy lại bị đóng khung trong bên phải phương trình và nhận được giá trị tiếp theo x2 =y(x1)). Việc tính toán được tiếp tục theo công thức xi + 1 =y(xi). Chuỗi kết quả là: x0, x1, x2, x3 x4, ... hội tụ về gốc trong những điều kiện nhất định khtochn.

Có thể chứng minh rằng quá trình lặp lại hội tụ với điều kiện
|y’ (x) | < 1 на [một, b].

Hiện hữu nhiều cách khác nhau biến đổi phương trình f (x)= 0 loại y(X) = X, và trong một trường hợp cụ thể, một số trong số chúng sẽ dẫn đến một quá trình tính toán hội tụ và một số khác dẫn đến một quá trình tính toán khác nhau.

Một cách là áp dụng công thức

https://pandia.ru/text/78/157/images/image027_10.gif "width =" 188 "height =" 44 src = ">

ở đâu M= tối đa | y’ (x) | trên [ một, b].

2 Giải hệ phương trình phi tuyến

2.1 Thông tin chung về giải hệ phương trình phi tuyến

hệ thống N phương trình phi tuyến với N không xác định x1, x2, ..., xnđược viết dưới dạng:

ở đâu F1, F2,…, fn là các hàm của các biến độc lập, trong đó có các biến phi tuyến tính.

Như trong trường hợp của hệ phương trình tuyến tính, nghiệm của hệ là một vectơ như vậy X*, khi được thay thế, đồng thời biến tất cả các phương trình của hệ thành đồng nhất.

https://pandia.ru/text/78/157/images/image030_8.gif "width =" 191 "height =" 56 ">

Giá trị ban đầu x0 và y0 được xác định bằng đồ thị. Để tìm mỗi giá trị gần đúng liên tiếp (xi+1 , yi+1 ) sử dụng vectơ giá trị hàm và ma trận giá trị của các đạo hàm đầu tiên của chúng được tính tại điểm trước đó (xi, yi) .

https://pandia.ru/text/78/157/images/image032_5.gif "width =" 276 "height =" 63 src = ">

Để tính toán các giá trị gần đúng mới trong bước i + 1 công thức ma trận được sử dụng

https://pandia.ru/text/78/157/images/image034_4.gif "width =" 303 "height =" 59 src = ">.

Các công thức trên đặc biệt dễ viết trong Mathcad, nơi có các toán tử để tính đạo hàm và các phép toán với ma trận. Tuy nhiên, khi sử dụng đúng hoạt động ma trận những công thức này được viết khá đơn giản trong Excel. Đúng, ở đây cần phải có trước các công thức tính đạo hàm. Mathcad cũng có thể được sử dụng để tính toán các dẫn xuất một cách phân tích.

2.3 Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp lặp

Để thực hiện các phương pháp này, hệ phương trình ban đầu phải là phép biến đổi đại số thể hiện rõ ràng từng biến theo nghĩa của những biến khác. Đối với trường hợp hai phương trình có hai ẩn số hệ thống mới sẽ trông như thế nào

https://pandia.ru/text/78/157/images/image036_5.gif "width =" 114 "height =" 57 src = ">.

Nếu một trong các nghiệm của hệ thống và các giá trị ban đầu x0 và y0 nằm trong khu vực Dđược cho bởi các bất đẳng thức: một ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, sau đó tính toán bằng phương pháp lặp lại đơn giản hội tụ khi được thực thi trong khu vực D tỷ lệ:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image038_5.gif "width =" 75 height = 48 "height =" 48 ">< 1.

TẠI Phương pháp lặp lại Seidel cho mỗi phép tính, các giá trị chính xác nhất đã tìm thấy cho mỗi biến sẽ được sử dụng. Đối với trường hợp được xem xét của hai biến, logic như vậy dẫn đến các công thức

0 "style =" border -ump: sập; border: none ">

Công cụ (tùy chọn)

Xấp xỉ ban đầu

Nguồn gốcx

f (x)

3. Sắp xếp kết quả theo độ chính xác của lời giải.

Để giá trị gần đúng của nghiệm nguyên của phương trình được tìm thấy f(x) = 0, biểu thị nó x n. Công thức tính Phương pháp Newtonđể xác định giá trị gần đúng tiếp theo x n+1 có thể nhận được bằng hai cách.

Cách thứ nhất diễn đạt cảm giác hình học Phương pháp của Newton và trong thực tế là thay vì giao điểm của đồ thị hàm y = f(x) với trục CON BÒ, chúng tôi đang tìm điểm giao với trục CON BÒ Tiếp tuyến được vẽ với đồ thị của hàm số tại điểm ( x n, f(x n)) như trong Hình. 2.6. Phương trình tiếp tuyến có dạng.

Cơm. 2.7. Phương pháp Newton (tiếp tuyến)

Tại giao điểm của tiếp tuyến với trục CON BÒ Biến đổi y = 0. Cân bằng y không, chúng tôi bày tỏ x và lấy công thức phương pháp tiếp tuyến:

(2.6)

Cách thứ hai. Mở rộng chức năng f(x) thành một chuỗi Taylor trong vùng lân cận của điểm x = x n:

Chúng tôi tự giới hạn mình theo tuyến tính đối với ( x-xn), chúng tôi tương đương với 0 f(x) và, thể hiện ẩn số từ phương trình kết quả x và biểu thị nó thông qua x n+1, chúng tôi nhận được công thức (2.6).

Hãy trình bày các điều kiện đủ để có sự hội tụ của phương pháp Newton.

Định lý 2.3. Hãy để các điều kiện sau được thỏa mãn trên khoảng:

1) hàm và các đạo hàm của nó đều liên tục;

2) các đạo hàm khác 0 và giữ nguyên các dấu không đổi nhất định;

3) (hàm thay đổi dấu hiệu trên đoạn).

Sau đó, có một phân đoạn chứa căn cần thiết của phương trình, trên đó chuỗi lặp hội tụ. Nếu, như xấp xỉ 0, chúng ta chọn điểm biên mà tại đó dấu của hàm số trùng với dấu của đạo hàm cấp hai, tức là , sau đó chuỗi lặp lại hội tụ đơn điệu (Hình 2.8).

Bằng chứng. Vì nó là liên tục, thay đổi dấu và là đơn điệu trên, do đó là khoảng cách ly gốc. Hãy biểu thị gốc mong muốn bằng. Xem xét chức năng và tìm đạo hàm của nó. Vì vậy, liên tục trên, biến mất tại thời điểm, vì chức năng biến mất tại thời điểm này. Do đó, có một đoạn () như vậy . Nếu chúng ta lấy một phần của phân đoạn, nơi Do đó, do đó, hàm tăng, nhưng khi đó dãy là đơn điệu.

Cơm. 2.8. Điều kiện đủ sự hội tụ của phương pháp Newton

Bình luận. Lưu ý rằng phương pháp hợp âm chỉ đi kèm với phía đối diện và cả hai phương pháp này do đó có thể bổ sung cho nhau và kết hợp cũng có thể phương pháp hợp âm-tiếp tuyến.

Ví dụ 2.7. Tinh chỉnh đến 0,000001 theo phương pháp của Newton là nghiệm nguyên của phương trình
tội lỗi 5 x+ x 2 – 1 = 0. Lấy làm giá trị ban đầu x 0 = – 0,7.

Dung dịch. Hãy tìm đạo hàm .

TẠI Chương trình Excel giới thiệu công thức tính toán:

1) Hãy giới thiệu các công thức và ký hiệu trong các ô của phạm vi Một 1:D 3 và sao chép nó xuống bằng điểm đánh dấu điền của ô có công thức: B 3 - trước B 5,
C 2 - trước C 5, D 2 - trước D 5;

Bảng 2.9

	Một	B	C	D
	k	x	f (x)	f "(x)
		–0,7	= SIN (5 * B2) + B2 ^ 2–1	= 5 * COS (5 * B2) + 2 * B2
		= B2 – C2 / D2

Kết quả tính toán được thể hiện trong Bảng 2.10. Giá trị gốc thu được - 0,726631609 ≈ - 0,726632 với sai số 0,000001.

Bảng 2.10

	Một	B	C	D	Một
	k	x	f (x)	f "(x)
		-0,7	-0,159216772	-6,082283436
		-0,726177138	-0,002664771	-5,865681044	0,026177138
		-0,726631437	-1,00787E-06	-5,861240228	0,000454299
		-0,726631609	-1.45328E-13	-5,861238543	1.71955E-07

Hãy tạo các hàm trong Excelđể giải phương trình từ Ví dụ 2.7 bằng phương pháp Newton.

"Không giống như phương pháp hợp âm, trong phương pháp tiếp tuyến, thay vì một hợp âm, một tiếp tuyến của đường cong được vẽ ở mỗi bước y = F (x) tại x = x N và giao điểm của tiếp tuyến với trục abscissa được tìm kiếm:

Công thức cho (n + 1) xấp xỉ là:

Nếu một F (a) * F "(a)> 0, x 0 = a, nếu không thì x 0 = b.

Quá trình lặp lại tiếp tục cho đến khi nhận thấy rằng:

Thí dụ:

Hãy để nhiệm vụ sau được đưa ra: Tinh chỉnh gốc của phương trình cos (2x) + x-5 = 0 phương pháp tiếp tuyến với độ chính xác 0,00001.

Ban đầu, bạn cần xác định x0 bằng: a hoặc b. Để làm điều này, bạn phải thực hiện các bước sau:

Tìm đạo hàm cấp một của hàm số f (x) = cos (2x) + x-5. Nó sẽ giống như sau: f1 (x) = - 2sin (2x) +1.

Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số f (x) = cos (2x) + x-5. Nó sẽ có dạng như sau: f2 (x) = - 4cos (2x).

Kết quả là như sau:

Vì x0 = b, bạn cần làm như sau:

Điền vào các ô như sau (chú ý tên và số của các cột khi điền - chúng phải giống như trong hình):

Trong ô A6, nhập công thức = D5.

Chọn phạm vi ô B5: E5 và điền vào phạm vi ô B6: E6 bằng cách kéo.

Chọn phạm vi ô A6: E5 và điền vào phạm vi ô nằm dưới bằng cách kéo cho đến khi nhận được kết quả tại một trong các ô của cột E (phạm vi ô A6: E9).

Kết quả là, chúng tôi nhận được như sau:

4. Phương pháp kết hợp của hợp âm và tiếp tuyến

Để đạt được sai số chính xác nhất cần sử dụng đồng thời các phương pháp hợp âm và tiếp tuyến. "Theo công thức của hợp âm, họ tìm thấy x n + 1, và theo công thức tiếp tuyến - z n + 1. Quá trình tìm một căn gần đúng dừng lại ngay sau khi:

Là một căn gần đúng, lấy một giá trị bằng (11) :"[2 ]

Để yêu cầu tinh chỉnh nghiệm nguyên của phương trình cos (2x) + x-5 = 0 bằng phương pháp kết hợp với độ chính xác là 0,00001.

Để giải quyết vấn đề như vậy bằng Excel, bạn phải thực hiện các bước sau:

Vì trong phương pháp kết hợp, cần phải sử dụng một trong các công thức của hợp âm và công thức của tiếp tuyến, để đơn giản, ký hiệu sau nên được giới thiệu:

Đối với công thức của hợp âm, biểu thị:

Biến c sẽ đóng vai trò của a hoặc b tùy theo tình huống.

Các ký hiệu còn lại tương tự như các ký hiệu được đưa ra trong công thức của hợp âm, chỉ tính đến các biến được giới thiệu ở trên.

Đối với công thức tiếp tuyến, biểu thị:

Các chỉ định còn lại tương tự như được đưa ra trong công thức tiếp tuyến, chỉ tính đến các biến được giới thiệu ở trên.

Tìm đạo hàm cấp một của hàm số f (x) = cos (2x) + x-5. Nó sẽ giống như sau: f1 (x) = - 2sin (2x) +1.

Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số f (x) = cos (2x) + x-5. Nó sẽ có dạng như sau: f2 (x) = - 4cos (2x).

Điền vào các ô như sau (chú ý tên và số của các cột khi điền - chúng phải giống như trong hình):

Kết quả là như sau:

Trong ô G1, nhập e và trong G2, nhập số 0,00001.

Trong ô H1, nhập c và trong H2, nhập số 6, vì c = b (xem ô F2).

Trong ô I1 nhập f (c), và trong I2 nhập công thức = COS (2 * H2) + H2-5.

Điền tuần tự vào các ô như sau (chú ý tên và số của các cột khi điền - chúng phải giống như trong hình):

Trong ô A6, nhập công thức = E5.

Trong ô F6, nhập công thức = I5.

Chọn phạm vi ô B5: E5 và sử dụng điểm đánh dấu tự động điền để điền vào phạm vi ô B6: E6.

Chọn phạm vi ô G5: K5 và điền vào phạm vi ô G6: K6 bằng điểm đánh dấu tự động điền.

Chọn phạm vi ô A6: K6 và điền vào tất cả các ô bên dưới bằng cách kéo cho đến khi nhận được câu trả lời vào một trong các ô của cột K (phạm vi ô A6: K9).

Kết quả là, chúng tôi nhận được như sau:

Đáp số: Căn của phương trình cos (2x) + x-5 = 0 là 5.32976.