Một phương trình mô tả dao động điều hòa. chuyển động dao động

Thời gian thay đổi theo quy luật hình sin:

ở đâu X- giá trị của đại lượng dao động tại thời điểm t, NHƯNG- biên độ, ω - tần số tròn, φ là pha ban đầu của dao động, ( φt + φ ) là tổng pha của các dao động. Đồng thời, các giá trị NHƯNG, ω và φ - dài hạn.

Cho dao động cơ học có giá trị dao động là Xđặc biệt là độ dịch chuyển và tốc độ đối với dao động điện - điện áp và cường độ dòng điện.

Dao động điều hòa chiếm một vị trí đặc biệt trong số tất cả các loại dao động, vì đây là loại dao động duy nhất mà hình dạng của nó không bị biến dạng khi truyền qua bất kỳ môi trường đồng nhất nào, tức là sóng lan truyền từ một nguồn dao động điều hòa cũng sẽ là sóng điều hòa. Bất kỳ dao động không điều hòa nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tổng (tích phân) của các dao động điều hòa khác nhau (dưới dạng phổ dao động điều hòa).

Sự biến đổi năng lượng trong quá trình dao động điều hòa.

Trong quá trình dao động có sự chuyển hoá thế năng Wp thành động học Tuần và ngược lại. Ở vị trí lệch cực đại so với vị trí cân bằng, thế năng cực đại, động năng bằng không. Khi trở về vị trí cân bằng, tốc độ của vật dao động điều hòa tăng dần và kéo theo động năng cũng tăng, đạt cực đại ở vị trí cân bằng. Thế năng sau đó giảm xuống bằng không. Chuyển động xa hơn cổ xảy ra với sự giảm tốc độ, giảm xuống 0 khi độ võng đạt cực đại thứ hai. Thế năng ở đây tăng đến giá trị ban đầu (cực đại) của nó (khi không có ma sát). Do đó, các dao động của động năng và thế năng xảy ra với tần số gấp đôi (so với dao động của chính con lắc) và ngược pha (tức là có độ lệch pha giữa chúng bằng π ). Tổng năng lượng rung động W vẫn không thay đổi. Đối với một vật dao động điều hòa dưới tác dụng của lực đàn hồi thì có giá trị bằng:

ở đâu v m- tốc độ cực đại của vật (ở vị trí cân bằng), x m = NHƯNG- biên độ.

Do có ma sát và lực cản của môi trường, dao động tự do tắt dần: năng lượng và biên độ của chúng giảm dần theo thời gian. Do đó, trong thực tế, không phải dao động tự do mà dao động cưỡng bức được sử dụng thường xuyên hơn.

Chúng tôi đã xem xét một số hệ thống hoàn toàn khác nhau về mặt vật lý và đảm bảo rằng các phương trình chuyển động được rút gọn về cùng một dạng

Sự khác biệt giữa các hệ thống vật chất chỉ thể hiện ở các định nghĩa khác nhau về lượng và theo một nghĩa vật lý khác của biến x: nó có thể là một tọa độ, góc, điện tích, dòng điện, vv Lưu ý rằng trong trường hợp này, như sau từ cấu trúc của phương trình (1.18), đại lượng luôn có thứ nguyên là thời gian nghịch đảo.

Phương trình (1.18) mô tả cái gọi là dao động điều hòa.

Phương trình dao động điều hòa (1.18) là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai (vì nó chứa đạo hàm cấp hai của biến x). Tính tuyến tính của phương trình có nghĩa là

nếu có chức năng x (t) là một nghiệm cho phương trình này, sau đó hàm Cx (t) cũng sẽ là giải pháp của anh ấy ( C là một hằng số tùy ý);

nếu chức năng x 1 (t) và x 2 (t) là nghiệm của phương trình này, sau đó tổng của chúng x 1 (t) + x 2 (t) cũng sẽ là một nghiệm cho cùng một phương trình.

Một định lý toán học cũng được chứng minh, theo đó một phương trình bậc hai có hai nghiệm độc lập. Tất cả các nghiệm khác, theo các tính chất của tuyến tính, có thể nhận được dưới dạng tổ hợp tuyến tính của chúng. Dễ dàng kiểm tra bằng cách phân biệt trực tiếp rằng các hàm độc lập và thỏa mãn phương trình (1.18). Vì vậy nghiệm tổng quát của phương trình này là:

ở đâu C1,C2 là các hằng số tùy ý. Giải pháp này cũng có thể được trình bày dưới một hình thức khác. Chúng tôi giới thiệu số lượng

và xác định góc là:

Khi đó, giải pháp chung (1.19) được viết là

Theo công thức lượng giác, biểu thức trong ngoặc là

Cuối cùng chúng tôi cũng đến nghiệm tổng quát của phương trình dao động điều hòa như:

Giá trị không âm Một triệu tập biên độ dao động, - pha ban đầu của dao động. Toàn bộ đối số cosine - tổ hợp - được gọi là giai đoạn dao động.

Biểu thức (1.19) và (1.23) hoàn toàn tương đương, vì vậy chúng ta có thể sử dụng một trong hai biểu thức này vì lý do đơn giản. Cả hai giải pháp đều là hàm tuần hoàn của thời gian. Thật vậy, sin và côsin tuần hoàn với một chu kỳ . Do đó, các trạng thái khác nhau của hệ thực hiện dao động điều hòa được lặp lại sau một khoảng thời gian t *, mà pha dao động nhận được một gia số là bội số của :

Do đó nó theo sau đó

Lần ít nhất trong số này

triệu tập chu kỳ dao động (Hình 1.8), a - của anh ấy tròn (theo chu kỳ) tần số.

Cơm. 1.8.

Họ cũng sử dụng tần số do dự

Theo đó, tần số tròn bằng số dao động mỗi giây.

Vì vậy, nếu hệ thống tại thời điểm tđược đặc trưng bởi giá trị của biến x (t), sau đó, cùng một giá trị, biến sẽ có sau một khoảng thời gian (Hình 1.9), nghĩa là

Tất nhiên, giá trị tương tự sẽ được lặp lại sau một thời gian. 2T, ZT vân vân.

Cơm. 1.9. Chu kỳ dao động

Giải pháp chung bao gồm hai hằng số tùy ý ( C 1, C 2 hoặc Một, một), các giá trị trong đó phải được xác định bởi hai điều kiện ban đầu. Thông thường (mặc dù không nhất thiết) vai trò của chúng được thực hiện bởi các giá trị ban đầu của biến x (0) và đạo hàm của nó.

Hãy lấy một ví dụ. Hãy giải (1.19) phương trình dao động điều hòa mô tả chuyển động của con lắc lò xo. Giá trị của các hằng số tùy ý phụ thuộc vào cách mà chúng ta đưa con lắc ra khỏi trạng thái cân bằng. Ví dụ, chúng tôi đã kéo lò xo đi một khoảng và thả quả cầu không vận tốc ban đầu. Trong trường hợp này

Thay thế t = 0 trong (1.19), chúng tôi tìm thấy giá trị của hằng số Từ 2

Giải pháp do đó trông giống như:

Tốc độ của tải được tìm thấy bằng cách phân biệt theo thời gian

Thay thế ở đây t = 0, tìm hằng số Từ 1:

Cuối cùng

So sánh với (1.23), chúng tôi thấy rằng là biên độ dao động và pha ban đầu của nó bằng không:.

Bây giờ chúng ta đưa con lắc ra khỏi trạng thái cân bằng theo một cách khác. Hãy nhấn tải để nó đạt được tốc độ ban đầu, nhưng thực tế không di chuyển trong khi va chạm. Sau đó, chúng tôi có các điều kiện ban đầu khác:

giải pháp của chúng tôi trông giống như

Tốc độ của tải sẽ thay đổi theo quy luật:

Hãy đặt nó ở đây:

Các chuyển động có một số mức độ lặp lại được gọi là biến động.

Nếu giá trị của các đại lượng vật lý thay đổi trong quá trình chuyển động được lặp đi lặp lại đều đặn thì chuyển động đó được gọi là định kỳ. Tùy theo bản chất vật lý của quá trình dao động mà người ta phân biệt dao động cơ và dao động điện từ. Theo phương pháp kích thích, dao động được chia thành: miễn phí(nội tại) xảy ra trong hệ thống được trình bày với chính nó gần vị trí cân bằng sau một số tác động ban đầu; bị ép- xảy ra dưới tác động định kỳ từ bên ngoài.

Điều kiện để xảy ra dao động tự do: a) Khi vật ra khỏi vị trí cân bằng thì trong hệ phải xuất hiện một lực, tìm cách đưa vật về vị trí cân bằng; b) Lực ma sát trong hệ phải đủ nhỏ.

NHƯNG biên độ A là môđun độ lệch cực đại của chất điểm dao động điều hòa khỏi vị trí cân bằng.

Dao động của một điểm xảy ra với biên độ không đổi được gọi là chưa đóng dấu, và dao động với biên độ giảm dần – mờ dần.

Thời gian để một dao động hoàn toàn thực hiện được gọi là giai đoạn = Stage(T).

Tính thường xuyên số dao động tuần hoàn là số dao động toàn phần trong một đơn vị thời gian:

Đơn vị tần số dao động - hertz(Hz). Hertz là tần số của dao động, chu kỳ của dao động bằng 1 s: 1 Hz = 1 s -1.

theo chu kỳhoặc tần số tròn số dao động tuần hoàn là số dao động hoàn chỉnh xảy ra trong một thời gian 2p với: . \ u003d rad / s.

Harmonic- đây là những dao động được mô tả theo định luật tuần hoàn:

hoặc (1)

trong đó là một đại lượng thay đổi theo chu kỳ (độ dời, tốc độ, lực, v.v.), A là biên độ.

Một hệ có định luật chuyển động có dạng (1) được gọi là dao động điều hòa . Đối số sin hoặc côsin triệu tập pha dao động. Pha của dao động xác định độ dời tại thời điểm t. Giai đoạn ban đầu xác định độ dịch chuyển của cơ thể tại thời điểm bắt đầu đếm ngược.

Xem xét sự bù đắp x vật dao động điều hòa về vị trí cân bằng. Phương trình dao động điều hòa:

Đạo hàm đầu tiên của đối với thời gian cho một biểu thức cho tốc độ của vật thể: ; (2)

Tốc độ đạt giá trị cực đại tại thời điểm =1: . Độ lệch của điểm tại thời điểm này sớm bằng 0 = 0 (Hình 17.1, b).

Gia tốc cũng thay đổi theo thời gian theo định luật điều hòa:

giá trị gia tốc lớn nhất ở đâu. Dấu trừ có nghĩa là gia tốc được hướng theo hướng ngược lại với độ dịch chuyển, tức là thay đổi gia tốc và dịch chuyển trong phản lực (Hình 17.1 trong). Có thể thấy tốc độ đạt giá trị cực đại khi chất điểm dao động điều hòa qua vị trí cân bằng. Tại thời điểm này, độ dời và gia tốc bằng không.

1.18. CẢNH QUAN ĐỘC HẠI VÀ CÁC ĐẶC ĐIỂM CỦA CHÚNG

Định nghĩa dao động điều hòa. Đặc điểm của dao động điều hòa: độ dời khỏi vị trí cân bằng, biên độ dao động, pha của dao động, tần số và chu kì của dao động. Vận tốc và gia tốc của một chất điểm dao động điều hòa. Năng lượng của vật dao động điều hòa. Ví dụ về dao động điều hòa: toán học, lò xo, lực xoắn và vật lý con lắc.

Âm học, kỹ thuật vô tuyến, quang học và các ngành khác của khoa học và công nghệ dựa trên học thuyết về dao động và sóng. Lý thuyết dao động trong cơ học đóng một vai trò quan trọng, đặc biệt là trong tính toán sức bền của máy bay, cầu, một số loại máy móc và tổ hợp.

dao động là các quá trình lặp lại đều đặn (tuy nhiên, không phải tất cả các quá trình lặp lại đều là dao động!). Tùy thuộc vào bản chất vật lý của quá trình lặp lại mà người ta phân biệt các dao động cơ học, điện từ, cơ điện .... Trong quá trình dao động cơ học, vị trí và tọa độ của các vật thể thay đổi theo chu kỳ.

Khôi phục lại lực lượng - lực chịu tác dụng của quá trình dao động. Lực này có xu hướng đưa vật hoặc chất điểm bị lệch khỏi vị trí nghỉ về vị trí ban đầu.

Tùy theo bản chất của lực tác động lên vật dao động, người ta phân biệt dao động tự do (hoặc tự nhiên) và dao động cưỡng bức.

Tùy theo tính chất tác động vào hệ dao động mà người ta phân biệt được dao động tự do, dao động cưỡng bức, dao động tự lực và dao động tham số.

Miễn phí (sở hữu) Dao động được gọi là những dao động xảy ra trong một hệ thống còn lại với chính nó sau khi nó được tạo ra một lực đẩy, hoặc nó đã được đưa ra khỏi vị trí cân bằng, tức là khi chỉ có lực phục hồi tác dụng lên vật dao động điều hòa Một ví dụ là dao động của quả cầu treo trên một sợi chỉ. Để gây ra rung động, bạn phải đẩy quả bóng hoặc di chuyển nó sang một bên, thả nó ra. Trong trường hợp không xảy ra hiện tượng tiêu tán năng lượng thì các dao động tự do không bị dập tắt. Tuy nhiên, các quá trình dao động thực bị cản trở, bởi vì vật dao động chịu tác dụng của lực cản chuyển động (chủ yếu là lực ma sát).

· bắt buộc những dao động như vậy được gọi là, trong đó hệ dao động tiếp xúc với một lực thay đổi định kỳ bên ngoài (ví dụ, dao động của một cây cầu xảy ra khi người đi bộ băng qua nó). Trong nhiều trường hợp, hệ thống thực hiện các dao động có thể được coi là điều hòa.

· Dao động tự , cũng như dao động cưỡng bức, chúng có kèm theo tác dụng của ngoại lực lên hệ dao động, tuy nhiên, thời điểm thực hiện các tác dụng này do chính hệ dao động quy định. Tức là hệ thống tự kiểm soát ảnh hưởng từ bên ngoài. Ví dụ về hệ tự dao động là một đồng hồ trong đó con lắc nhận được những cú sốc do năng lượng của một quả nặng nâng lên hoặc một lò xo xoắn, và những cú sốc này xảy ra tại thời điểm con lắc đi qua vị trí chính giữa.

· Tham số dao động được thực hiện với sự thay đổi tuần hoàn các thông số của hệ dao động (một người đu trên xích đu nâng và hạ thấp trọng tâm theo chu kỳ, do đó làm thay đổi các thông số của hệ). Trong những điều kiện nhất định, hệ thống trở nên không ổn định - một độ lệch ngẫu nhiên khỏi vị trí cân bằng dẫn đến sự xuất hiện và tăng trưởng của dao động. Hiện tượng này được gọi là kích thích theo tham số của dao động (tức là dao động được kích thích bằng cách thay đổi các tham số của hệ), và bản thân các dao động được gọi là tham số.

Mặc dù bản chất vật lý khác nhau, nhưng các dao động có đặc điểm là cùng điều hòa, được nghiên cứu bằng các phương pháp chung. Một đặc tính động học quan trọng là dạng dao động. Nó được xác định bởi dạng hàm của thời gian, nó mô tả sự thay đổi của một đại lượng vật lý cụ thể trong quá trình dao động. Quan trọng nhất là những biến động trong đó giá trị dao động thay đổi theo thời gian theo luật sin hoặc côsin . Họ đã gọi điều hòa .

Rung động điều hòađược gọi là dao động, trong đó đại lượng vật lý dao động thay đổi theo định luật sin (hay côsin).

Loại dao động này đặc biệt quan trọng vì những lý do sau. Thứ nhất, dao động trong tự nhiên và công nghệ thường có đặc tính rất gần với sóng hài. Thứ hai, các quá trình tuần hoàn có dạng khác (với sự phụ thuộc vào thời gian khác nhau) có thể được biểu diễn dưới dạng lớp phủ hoặc chồng chất của dao động điều hòa.

Phương trình dao động điều hòa

Dao động điều hòa được mô tả theo định luật tuần hoàn:

Cơm. 18.1. dao động điều hòa

W

đây
- đặc điểm thay đổi bất kỳ đại lượng vật lý nào trong quá trình dao động (dịch chuyển vị trí của con lắc khỏi vị trí cân bằng; hiệu điện thế trên tụ điện trong mạch dao động, v.v.), Một - biên độ dao động ,
- giai đoạn dao động , - giai đoạn đầu ,
- tần số tuần hoàn ; giá trị
còn được gọi là sở hữu tần số dao động. Tên này nhấn mạnh rằng tần số này được xác định bởi các tham số của hệ dao động. Một hệ có định luật chuyển động có dạng (18.1) được gọi là dao động điều hòa một chiều . Ngoài các đại lượng trên, các khái niệm sau được đưa ra để đặc trưng cho dao động: giai đoạn = Stage , I E. thời gian của một dao động.

(Một chu kỳ dao động T gọi là khoảng thời gian nhỏ nhất mà sau đó các trạng thái của hệ dao động được lặp lại (thực hiện được một dao động hoàn toàn) và pha của dao động nhận được một gia số 2p).

và tần số
, xác định số lần dao động trên một đơn vị thời gian. Đơn vị của tần số là tần số của dao động đó, chu kỳ của dao động là 1 s. Đơn vị này được gọi là hertz (Hz ).

Tần số dao độngN gọi là nghịch đảo của chu kỳ dao động - số dao động hoàn chỉnh trong một đơn vị thời gian.

Biên độ- giá trị lớn nhất của độ dịch chuyển hoặc độ thay đổi của một biến số trong quá trình dao động hoặc chuyển động của sóng.

Giai đoạn dao động- đối số của một hàm tuần hoàn hoặc mô tả một quá trình dao động điều hòa (ω - tần số góc, t- thời gian, - pha ban đầu của dao động, tức là pha của dao động tại thời điểm ban đầu t = 0).

Đạo hàm lần thứ nhất và lần thứ hai của một đại lượng dao động điều hòa cũng làm dao động điều hòa cùng tần số là:

Trong trường hợp này, phương trình của dao động điều hòa, được viết theo định luật côsin, được lấy làm cơ sở. Trong trường hợp này, phương trình thứ nhất (18.2) mô tả quy luật mà tốc độ của một chất điểm (vật) dao động thay đổi, phương trình thứ hai mô tả quy luật mà theo đó gia tốc của một điểm dao động (vật) thay đổi.

Biên độ
và
tương ứng bằng nhau
và
. do dự
phía trước
trong giai đoạn với; và do dự
phía trước
trên . Giá trị Một và có thể được xác định từ các điều kiện ban đầu cho trước
và
:

,
. (18.3)

Năng lượng dao động dao động

P

Cơm. 18.2. Con lắc lò xo

Bây giờ chúng ta hãy xem điều gì sẽ xảy ra với năng lượng rung động . Ví dụ về dao động điều hòa, hãy coi dao động một chiều do vật khối lượng thực hiện m Dưới sự ảnh hưởng đàn hồi sức mạnh
(ví dụ, một con lắc lò xo, xem hình 18.2). Các lực có bản chất khác với lực đàn hồi, nhưng thỏa mãn điều kiện F = -kx, được gọi là bán đàn hồi. Dưới tác dụng của các lực này, các vật cũng dao động điều hòa. Để cho được:

Thiên kiến:
tốc độ:
sự tăng tốc:

Những thứ kia. phương trình của dao động đó có dạng (18.1) với tần số riêng là
. Lực bán đàn hồi là bảo thủ . Do đó, năng lượng toàn phần của các dao động điều hòa đó phải không đổi. Trong quá trình dao động xảy ra sự biến đổi động năng E đến thành một tiềm năng E P và ngược lại, ở những thời điểm độ lệch lớn nhất so với vị trí cân bằng thì tổng năng lượng bằng giá trị cực đại của thế năng và khi hệ đi qua vị trí cân bằng thì tổng năng lượng bằng giá trị cực đại. giá trị của động năng. Hãy cùng tìm hiểu xem động năng và thế năng thay đổi như thế nào theo thời gian:

Động năng:

Năng lượng tiềm năng:

(18.5)

Xét rằng, tức là , biểu thức cuối cùng có thể được viết thành:

Như vậy, năng lượng toàn phần của dao động điều hòa biến thành không đổi. Cũng theo quan hệ (18.4) và (18.5), giá trị trung bình của động năng và thế năng bằng nhau và bằng một nửa của tổng năng lượng, vì giá trị trung bình
và
trong khoảng thời gian này là 0,5. Sử dụng công thức lượng giác, có thể nhận được động năng và thế năng thay đổi theo tần số
, I E. với tần số gấp đôi tần số điều hòa.

Ví dụ về một vật dao động điều hòa là con lắc lò xo, con lắc vật lý, con lắc toán học và con lắc xoắn.

1. Con lắc lò xo- Đây là tải trọng khối lượng m được treo vào lò xo đàn hồi tuyệt đối và thực hiện dao động điều hòa dưới tác dụng của lực đàn hồi F = –kx, trong đó k là độ cứng của lò xo. Phương trình chuyển động của con lắc có dạng hoặc (18.8) Từ công thức (18.8) suy ra con lắc lò xo thực hiện dao động điều hòa theo định luật x \ u003d Acos (ω 0 t + φ) với tần số tuần hoàn.

(18,9) và dấu chấm

(18.10) Công thức (18.10) đúng đối với dao động đàn hồi trong giới hạn thỏa mãn định luật Hooke, nghĩa là nếu khối lượng của lò xo nhỏ so với khối lượng của vật. Thế năng của một con lắc lò xo, sử dụng (18.9) và công thức thế năng của phần trước, là (xem 18.5)

2. con lắc vật lý- Đây là một vật cứng, dao động điều hòa dưới tác dụng của trọng lực quanh một trục nằm ngang cố định đi qua điểm O không trùng với khối tâm C của vật (Hình 1).

Hình 18.3 Con lắc vật lý

Nếu con lắc bị lệch khỏi vị trí cân bằng một góc α nào đó thì theo phương trình động học của chuyển động quay của vật cứng, mômen M của lực phục hồi (18.11) trong đó J là mômen quán tính của vật. con lắc về trục đi qua điểm treo O, l là khoảng cách giữa trục và khối tâm của con lắc, F τ ≈ –mgsinα ≈ –mgα là lực phục hồi (dấu trừ cho biết phương F τ và α luôn ngược dấu; sinα ≈ α vì dao động của con lắc được coi là nhỏ, tức là con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc nhỏ). Chúng tôi viết phương trình (18.11) dưới dạng

Hoặc Lấy (18.12) chúng ta nhận được phương trình

Giống với (18.8), giải pháp mà chúng tôi tìm thấy và viết là:

(18.13) Từ công thức (18.13) suy ra rằng đối với dao động nhỏ, con lắc vật lý thực hiện dao động điều hòa với tần số tuần hoàn ω 0 và chu kỳ

(18.14) trong đó giá trị L = J / (m l) -. Điểm O trên đoạn thẳng OS, cách điểm O của dây treo con lắc một khoảng có chiều dài giảm L được gọi là trung tâm xoay con lắc vật lý (Hình 18.3). Áp dụng định lý Steiner cho mômen quán tính của trục, chúng ta thấy

Tức là O "luôn luôn lớn hơn OS. Điểm treo O của con lắc và dao động tâm O" có tài sản hoán đổi cho nhau: nếu dời điểm treo về tâm dao động thì điểm treo cũ O sẽ là tâm dao động mới, chu kì dao động của con lắc vật lý không thay đổi.

3. Con lắc toán học là một hệ thống được lý tưởng hóa bao gồm một chất điểm có khối lượng m, được treo trên một sợi không trọng lượng không thể uốn nắn và dao động dưới tác dụng của trọng lực. Một con lắc toán học có giá trị gần đúng là một quả cầu nhỏ, nặng được treo bằng một sợi chỉ mảnh, dài. Mômen quán tính của con lắc toán học

(8) ở đâu l là chiều dài của con lắc.

Vì con lắc toán học là một trường hợp đặc biệt của con lắc vật lý, nếu chúng ta giả sử rằng tất cả khối lượng của nó đều tập trung tại một điểm - khối tâm, thì khi thay (8) vào (7), chúng ta tìm được biểu thức cho chu kỳ của dao động nhỏ của con lắc toán học (18.15) So sánh các công thức (18.13) và (18.15), ta thấy rằng nếu chiều dài giảm đi L của con lắc vật lý thì chiều dài đó bằng l con lắc toán học thì chu kỳ dao động của các con lắc này là như nhau. Có nghĩa, giảm chiều dài của một con lắc vật lý là chiều dài của một con lắc toán học, trong đó chu kỳ dao động trùng với chu kỳ dao động của một con lắc vật lý đã cho. Đối với một con lắc toán học (chất điểm có khối lượng mđược treo trên một sợi dài không thể kéo dài không trọng lượng l trong trọng trường với gia tốc rơi tự do bằng g) ở góc lệch nhỏ (không quá 5-10 độ góc) so với vị trí cân bằng, tần số dao động tự nhiên:
.

4. Một vật được treo trên một sợi dây đàn hồi hoặc một phần tử đàn hồi khác dao động điều hòa trên mặt phẳng nằm ngang là con lắc xoắn.

Đây là một hệ dao động cơ học sử dụng các lực của sự biến dạng đàn hồi. Trên hình. 18.4 cho thấy tương tự góc của một dao động điều hòa tuyến tính thực hiện dao động xoắn. Một đĩa nằm ngang treo vào một sợi dây đàn hồi cố định ở khối tâm của nó. Khi đĩa quay một góc θ thì xuất hiện một lực M biến dạng xoắn đàn hồi:

ở đâu Tôi = TôiC là momen quán tính của đĩa đối với trục đi qua khối tâm, ε là gia tốc góc.

Bằng cách tương tự với tải trọng trên lò xo, bạn có thể nhận được.

Thông tin chung về rung động

Chương 6 Chuyển động dao động

dao động Các quy trình khác nhau về mức độ lặp lại khác nhau được gọi.

Đặc tính lặp lại như vậy được sở hữu, ví dụ, do lắc đồng hồ, dao động của dây hoặc chân âm thoa, điện áp giữa các bản tụ điện trong mạch thu vô tuyến, v.v.

Tùy thuộc vào bản chất vật lý của quá trình lặp lại, các dao động được phân biệt:

- cơ khí;

- điện từ;

- cơ điện, v.v.

Tuỳ theo bản chất của lực tác động lên hệ dao động mà có:

- miễn phí (hoặc riêng);

- bị ép;

- tự dao động;

là các dao động tham số.

Miễn phí hoặc sở hữuđược gọi là những dao động như vậy xảy ra trong một hệ thống để lại cho chính nó sau khi nó đã được đưa ra một lực đẩy hoặc nó đã được đưa ra khỏi trạng thái cân bằng. Một ví dụ là dao động của một quả cầu được treo trên một sợi chỉ (con lắc).

bắt buộc những dao động như vậy được gọi là, trong đó hệ dao động tiếp xúc với một lực thay đổi định kỳ bên ngoài.

Dao động tựđều kèm theo ảnh hưởng của ngoại lực lên hệ dao động, tuy nhiên, thời điểm thực hiện các tác động này do chính hệ dao động thiết lập - hệ thống tự điều khiển tác động bên ngoài. Ví dụ về hệ tự dao động là một đồng hồ trong đó con lắc nhận được những cú sốc do năng lượng của một quả nặng nâng lên hoặc một lò xo xoắn, và những cú sốc này xảy ra tại thời điểm con lắc đi qua vị trí chính giữa.

Tại tham số dao động do tác động bên ngoài, có sự thay đổi tuần hoàn trong một số thông số của hệ, ví dụ chiều dài của sợi dây con lắc.

Đơn giản nhất là dao động điều hòa, tức là những dao động trong đó đại lượng dao động (ví dụ, độ lệch của con lắc) thay đổi theo thời gian theo định luật sin hoặc cosin.

Quan trọng nhất trong số các chuyển động dao động là cái gọi là chuyển động đơn giản hay dao động điều hòa.

Bản chất của chuyển động như vậy được bộc lộ rõ ​​nhất với sự trợ giúp của mô hình động học sau đây. Hãy giả sử rằng điểm hình học M quay đều quanh một đường tròn bán kính a với vận tốc góc không đổi (Hình 6.1). Chiếu của cô ấy N mỗi đường kính, ví dụ: mỗi trục X, sẽ dao động từ vị trí cực cận này đến vị trí cực cận khác và ngược lại. Như một sự biến động của điểm N gọi là dao động điều hòa hay đơn giản.

Để mô tả nó, bạn cần tìm tọa độ xđiểm N như một hàm của thời gian t. Giả sử tại thời điểm ban đầu bán kính OM tạo thành với trục X mũi tiêm . Sau thời gian t, góc này sẽ tăng dần và bằng. Từ hình. 6.1. Rõ ràng là

. (6.1)

Công thức này mô tả một cách phân tích chuyển động dao động điều hòa của một điểm N dọc theo đường kính.

Giá trị một cho độ lệch cực đại của chất điểm dao động so với vị trí cân bằng. Nó được gọi là biên độ biến động. Giá trị 0 được gọi là tần số tuần hoàn. Giá trị được gọi là giai đoạn biến động và giá trị của nó tại, tức là giá trị - sơ cấp giai đoạn. Sau khi thời gian trôi qua

tăng pha và chất điểm dao động trở lại vị trí ban đầu mà vẫn giữ nguyên hướng chuyển động ban đầu. Thời gian T gọi là chu kỳ của dao động.

Tốc độ của điểm dao động có thể được tìm thấy bằng biểu thức phân biệt (6.1) theo thời gian. Điều này cho

Phân biệt lần thứ hai, ta thu được gia tốc

hoặc, sử dụng (6.1),

Lực tác dụng lên chất điểm trong quá trình dao động điều hòa có giá trị bằng

. (6.6)

Nó tỷ lệ với độ lệch x và có hướng ngược lại. Nó luôn hướng về vị trí cân bằng.

Xét dao động điều hòa của một tải trọng trên một lò xo, một đầu cố định và treo một vật khối lượng vào đầu kia. m(Hình 6.2). Gọi là chiều dài của lò xo không định dạng. Nếu lò xo bị kéo căng hoặc nén đến một chiều dài l, sau đó có một lực lượng F có xu hướng đưa cơ thể về vị trí cân bằng. Đối với những căng thẳng nhỏ, Luật Hooke- Lực tỉ lệ với độ dãn của lò xo:. Trong điều kiện đó, phương trình chuyển động của vật có dạng

Liên tục k triệu tập hệ sốđộ đàn hồi hoặc độ cứng của lò xo. Dấu trừ có nghĩa là lực F hướng theo hướng ngược lại với sự dịch chuyển x, tức là đến vị trí cân bằng.

Khi suy ra phương trình (6.7), người ta cho rằng không có lực nào khác tác dụng lên vật thể. Hãy chứng tỏ rằng chuyển động của một vật được treo trên lò xo trong một trọng trường đều tuân theo cùng một phương trình. Hãy để chúng tôi biểu thị trong trường hợp này bằng chữ cái Xđộ giãn dài của lò xo, tức là sự khác biệt. Lò xo kéo tải trọng lên bằng một lực, trọng lực - tác dụng xuống. Phương trình chuyển động có dạng

Gọi là độ dài của lò xo ở vị trí cân bằng. sau đó . Loại bỏ trọng lượng, chúng tôi nhận được . Ta giữ nguyên ký hiệu thì phương trình chuyển động sẽ có dạng trước (6.7). Giá trị của x vẫn là độ dịch chuyển của tải trọng khỏi vị trí cân bằng. Tuy nhiên, vị trí cân bằng bị chuyển dịch bởi trọng lực. Ngoài ra, khi có trọng lực, ý nghĩa của đại lượng thay đổi. Bây giờ nó có nghĩa là kết quả của lực căng của lò xo và trọng lượng của tải. Nhưng tất cả điều này không ảnh hưởng đến mặt toán học của quá trình. Do đó, người ta có thể lập luận như thể không có lực hấp dẫn nào cả. Đây là cách chúng tôi sẽ làm điều đó.

Lực tạo thành có cùng dạng với lực trong biểu thức (6.6). Nếu chúng ta đặt, thì phương trình (6.7) trở thành

. (6.8)

Phương trình này trùng với phương trình (6.5). Hàm (6.1) là một nghiệm của một phương trình như vậy cho bất kỳ giá trị nào của các hằng số một và a. Đây là giải pháp chung. Từ đó suy ra chất tải vào lò xo sẽ ​​thực hiện dao động điều hòa với tần số tròn.

và thời kỳ

. (6.10)

Các dao động được mô tả bởi phương trình (6.8) là miễn phí(hoặc sở hữu).

Thế năng và động năng của vật được cho bằng biểu thức

. (6.11)

Mỗi người trong số họ thay đổi theo thời gian. Tuy nhiên, tổng E phải không đổi theo thời gian:

(6.12)

Mọi thứ được nêu ở đây đều có thể áp dụng cho dao động điều hòa của bất kỳ hệ cơ học nào có một bậc tự do. Vị trí tức thời của hệ cơ có một bậc tự do có thể được xác định bằng cách sử dụng một đại lượng bất kỳ q, được gọi là tọa độ tổng quát, ví dụ, góc quay, độ dời dọc theo một đường thẳng nào đó, v.v ... Đạo hàm của tọa độ tổng quát theo thời gian được gọi là tốc độ tổng quát. Khi xem xét các dao động của hệ cơ học có một bậc tự do, thuận tiện hơn nếu ta coi phương trình ban đầu không phải là phương trình chuyển động của Newton mà là phương trình năng lượng. Chúng ta hãy giả sử rằng một hệ cơ học sao cho thế năng và động năng của nó được biểu thị bằng các công thức có dạng

, (6.14)

trong đó d và b là các hằng số dương (tham số hệ thống). Khi đó định luật bảo toàn cơ năng dẫn đến phương trình

. (6.15)

Nó khác với phương trình (6.12) chỉ về mặt ký hiệu, điều này không quan trọng trong việc xem xét toán học. Từ nhận dạng toán học của các phương trình (6.12) và (6.15), theo đó nghiệm tổng quát của chúng là giống nhau. Do đó, nếu phương trình năng lượng được rút gọn về dạng (6.15) thì

, (6.16)

tức là tọa độ tổng quát q thực hiện dao động điều hòa với tần số tròn là