Trong sự khác biệt đầy đủ. Các phương trình vi phân tổng

Sinh viên đại học thường xuyên tìm kiếm thông tin “Làm thế nào để tìm nghiệm của phương trình trong đầy đủ sự khác biệt?". Từ bài học này bạn sẽ nhận được hướng dẫn đầy đủ cộng thêm giải pháp làm sẵn. Đầu tiên, giới thiệu ngắn gọn - Một phương trình trong tổng số vi phân là gì? Làm thế nào để tìm nghiệm của phương trình vi phân tổng?
Tiếp theo là phân tích các ví dụ làm sẵn, sau đó bạn có thể không còn câu hỏi nào về chủ đề này.

Phương trình trong tổng số chênh lệch

Định nghĩa 1. Phương trình có dạng M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 được gọi là phương trình vi phân tổng, nếu sự phụ thuộc phía trước dấu bằng là vi phân tổng của một hàm nào đó của hai biến u(x,y), thì có một công thức hợp lý
du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dx. (1)
Như vậy, phương trình ban đầu về nội dung có nghĩa là tổng vi phân của hàm số bằng 0
du(x,y)=0 .
Tích phân vi phân ta được tích phân tổng quátđiều khiển từ xa ở dạng
u(x,y)=C. (2)
Trong tính toán, theo quy luật, hằng số được đặt bằng 0.
Trước khi tính toán, câu hỏi luôn đặt ra "Làm thế nào để kiểm tra xem một phương trình vi phân đã cho có phải là phương trình vi phân tổng hay không?"
Câu hỏi này được trả lời bằng điều kiện sau.

Điều kiện cần và đủ của tổng sai phân

Điều kiện cần và đủ để có vi phân tổng làđẳng thức của đạo hàm riêng
(3)
Khi giải phương trình vi phân, trước hết người ta kiểm tra xem phương trình đó có vi phân tổng hay có thể có phương trình khác.
Về mặt nội dung, điều kiện này có nghĩa là các đạo hàm hỗn hợp của hàm số bằng nhau.
Trong các công thức, có tính đến sự phụ thuộc
(4)
cần thiết và đủ điều kiện sự tồn tại của sự khác biệt tổng thể chúng ta có thể viết nó dưới dạng

Tiêu chí đã cho được sử dụng khi kiểm tra sự tuân thủ vi phân tổng của một phương trình, mặc dù khi nghiên cứu chủ đề này, giáo viên sẽ không hỏi bạn một loại phương trình khác.

Thuật toán giải phương trình vi phân tổng

Từ ký hiệu (4) của đạo hàm riêng của vi phân tổng của hàm số, chúng ta có thể tìm u(x,y) bằng cách lấy tích phân

Các công thức này cung cấp sự lựa chọn trong tính toán; do đó, để tích phân, hãy chọn đạo hàm riêng có tích phân dễ tìm hơn trong thực tế.
Hơn nữa thứ hai tâm điểm - không xác định, không thể thiếuđại diện cho một phản đạo hàm nghĩa là "+ C" cần được xác định.
Do đó, nếu chúng ta lấy tích phân đạo hàm riêng M(x,y) theo “x”, thì đạo hàm phụ thuộc vào y và ngược lại - nếu chúng ta lấy tích phân N(x,y) theo y, thì đạo hàm phụ thuộc vào “x”.
Tiếp theo, để xác định hằng số, hãy lấy đạo hàm của u(x,y) theo một biến khác với biến đã thực hiện tích phân và cho nó bằng đạo hàm riêng thứ hai.
Trong công thức nó sẽ trông như thế này

Theo quy luật, một số thuật ngữ được đơn giản hóa và chúng ta thu được phương trình đạo hàm của một hằng số. Đối với phương trình đầu tiên chúng ta nhận được

Cuối cùng, tích phân tổng quát sau khi xác định hằng số có dạng

Ở dạng đối xứng, chúng ta thu được đáp án cho phương trình còn lại.
Việc ghi âm chỉ có vẻ phức tạp nhưng thực tế mọi thứ trông đơn giản và rõ ràng hơn nhiều. Phân tích các bài toán vi phân tổng sau đây.

Đã có đáp án cho các phương trình vi phân tổng

Ví dụ 1.

Giải: Vế trái của phương trình là đầy đủ sự khác biệt một số chức năng, vì điều kiện được thỏa mãn

Từ đây viết đạo hàm riêng của hàm hai biến từ "x"

và bằng cách tích hợp chúng ta tìm thấy hình thức của nó

Để xác định thêm hằng số tìm đạo hàm riêng của hàm số đối với"y" và đánh đồng nó với giá trị trong phương trình

Thuật ngữ tương tự chúng ta hủy bỏ vế phải và trái, sau đó chúng ta tìm hằng số bằng tích phân

Bây giờ chúng tôi có tất cả số lượng để ghi lại Giải pháp chung phương trình vi phân BẰNG

Làm thế nào bạn có thể chắc chắn sơ đồ giải phương trình vi phân tổng Nó không phức tạp và bất cứ ai cũng có thể học được. Các yếu tố tạo nên sự khác biệt rất quan trọng vì chúng phải được tích hợp và phân biệt để tìm ra giải pháp.

Ví dụ 2. (6.18) Tìm tích phân của phương trình vi phân

Giải: Theo lý thuyết, vế trái của phương trình phải là vi phân tổng của một hàm nào đó của hai biến u(x,y) và chúng ta kiểm tra xem điều kiện có được thỏa mãn hay không

Từ đây ta lấy đạo hàm riêng và thông qua tích phân ta tìm được hàm

Chúng ta tính đạo hàm riêng của hàm hai biến đối với y và đánh đồng nó với vế phải của phương trình vi phân.

Đạo hàm được thể hiện bằng sự phụ thuộc

Có tính đến hằng số, chúng tôi đã nhận được nó ở dạng

Thế là xong phần tính toán ví dụ này hoàn thành.

Ví dụ 3. (6.20)Giải phương trình vi phân

Giải: Vế trái của phương trình sẽ là vi phân tổng của một hàm số nào đó của hai biến u(x; y) nếu điều kiện được thỏa mãn

Từ đây chúng ta bắt đầu giải phương trình, hay đúng hơn là tích phân một trong các đạo hàm riêng

Tiếp theo, chúng ta tìm đạo hàm của hàm kết quả đối với biến y và đánh đồng nó với vế phải của sự phụ thuộc vi phân

Điều này cho phép bạn tìm hằng số dưới dạng hàm của y. Nếu chúng ta bắt đầu bộc lộ sự phụ thuộc vi phân ở vế phải, chúng ta sẽ thấy rằng hằng số phụ thuộc vào x. nó sẽ không thay đổi vì phương trình đã cho giống như

Điều này kết thúc ví dụ. Giải tổng quát của phương trình vi phân chúng ta có thể viết công thức

Để củng cố chủ đề, chúng tôi yêu cầu bạn kiểm tra độc lập xem các phương trình này có phải là phương trình vi phân tổng hay không và giải chúng:
Tại đây, bạn sẽ tìm thấy các hàm gốc, hàm lượng giác, số mũ, logarit trong một từ - mọi thứ có thể mong đợi bạn trong các mô-đun và bài kiểm tra.
Sau này, việc giải loại phương trình này sẽ trở nên dễ dàng hơn nhiều đối với bạn.
Trong bài tiếp theo bạn sẽ làm quen với các phương trình có dạng
M(x,y)dx+N(x,y)dx=0
khá giống với phương trình vi phân toàn phần nhưng không thỏa mãn điều kiện bằng đạo hàm riêng. Chúng được tính bằng cách tìm kiếm hệ số tích phân, nhân với đó phương trình đã cho trở thành phương trình vi phân tổng.

Trong chủ đề này, chúng ta sẽ xem xét phương pháp xây dựng lại một hàm từ vi phân tổng của nó và đưa ra các ví dụ về các vấn đề với phân tích đầy đủ về lời giải.

Điều xảy ra là các phương trình vi phân (DE) có dạng P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 có thể chứa vi phân hoàn chỉnh của một số hàm ở vế trái. Khi đó chúng ta có thể tìm tích phân tổng quát của phương trình vi phân nếu trước tiên chúng ta xây dựng lại hàm từ vi phân tổng của nó.

ví dụ 1

Xét phương trình P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0. Vế trái chứa vi phân của một hàm số nào đó U(x, y) = 0. Để làm điều này, điều kiện ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x phải được thỏa mãn.

Vi phân tổng của hàm U(x, y) = 0 có dạng d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y. Xét điều kiện ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x ta có:

P (x , y) d x + Q (x , y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

Bằng cách biến đổi phương trình đầu tiên từ hệ phương trình thu được, chúng ta có thể thu được:

U(x, y) = ∫ P(x, y) d x + φ (y)

Chúng ta có thể tìm hàm φ (y) từ phương trình thứ hai của hệ thu được trước đó:
∂ U(x, y) ∂ y = ∂ ∫ P(x, y) d x ∂ y + φ y " (y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y

Đây là cách chúng tôi tìm thấy hàm mong muốn U (x, y) = 0.

Ví dụ 2

Tìm điều khiển từ xa (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0 quyết định chung.

Giải pháp

P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y

Hãy kiểm tra xem điều kiện ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x có thỏa mãn hay không:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Điều kiện của chúng tôi được đáp ứng.

Dựa trên tính toán, chúng ta có thể kết luận rằng vế trái của phương trình vi phân ban đầu là vi phân tổng của hàm số U(x, y) = 0. Chúng ta cần tìm chức năng này.

Vì (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y là vi phân tổng của hàm số U (x, y) = 0 nên

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Tích phân phương trình đầu tiên của hệ theo x:

U(x, y) = ∫(x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Bây giờ chúng ta vi phân kết quả thu được theo y:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y " (y)

Biến đổi phương trình thứ hai của hệ, ta thu được: ∂ U ∂ y = - 2 xy . Nó có nghĩa là
- 2 x y + φ y " (y) = - 2 x y φ y " (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

trong đó C là hằng số tùy ý.

Ta có: U(x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. Tích phân tổng quát của phương trình ban đầu là x 3 3 - x y 2 + C = 0.

Chúng ta hãy xem xét một phương pháp khác để tìm hàm số bằng cách sử dụng vi phân tổng đã biết. Nó liên quan đến việc sử dụng tích phân đường cong từ một điểm cố định (x 0, y 0) đến một điểm có tọa độ thay đổi (x, y):

U (x , y) = ∫ (x 0 , y 0) (x , y) P (x , y) d x + Q (x , y) d y + C

Trong những trường hợp như vậy, giá trị của tích phân không phụ thuộc vào đường tích phân. Chúng ta có thể lấy một đường đứt nét làm đường tích phân, các liên kết của chúng nằm song song với các trục tọa độ.

Ví dụ 3

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0.

Giải pháp

Hãy kiểm tra xem điều kiện ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x có thỏa mãn không:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Hóa ra vế trái của phương trình vi phân được biểu diễn bằng vi phân tổng của một hàm U(x, y) = 0 nào đó. Để tìm được hàm này cần phải tính tích phân đường từ điểm (1 ; 1) trước (x, y). Chúng ta hãy coi đường hội nhập là một đường đứt đoạn, các đoạn của nó sẽ đi theo đường thẳng y = 1 từ điểm (1, 1) đến (x, 1) rồi từ điểm (x, 1) đến (x, y):

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y ) d y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2 x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

Ta đã thu được nghiệm tổng quát của phương trình vi phân có dạng x y - x y 2 + C = 0.

Ví dụ 4

Xác định nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 .

Giải pháp

Hãy kiểm tra xem điều kiện ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x có thỏa mãn hay không.

Vì ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x, nên điều kiện sẽ không được thỏa mãn. Điều này có nghĩa là vế trái của phương trình vi phân không phải là vi phân hoàn chỉnh của hàm số. Đây là một phương trình vi phân có các biến tách được và có các nghiệm khác phù hợp để giải nó.

Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter

Định nghĩa: Phương trình dạng

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, (9)

trong đó vế trái là vi phân tổng của một hàm nào đó của hai biến, được gọi là phương trình vi phân tổng.

Chúng ta hãy biểu thị hàm hai biến này bằng F(x,y). Khi đó phương trình (9) có thể được viết lại thành dF(x,y) = 0, và phương trình này có nghiệm tổng quát F(x,y) = C.

Cho một phương trình có dạng (9). Để biết đây có phải là phương trình vi phân tổng hay không, bạn cần kiểm tra xem biểu thức có phải là

P(x,y)dx + Q(x,y)dy (10)

tổng vi phân của hàm số nào đó của hai biến. Để làm điều này, bạn cần kiểm tra sự bình đẳng

Giả sử rằng đối với một biểu thức (10) đã cho, đẳng thức (11) được thỏa mãn trong một miền liên thông đơn giản nào đó (S) và do đó, biểu thức (10) là vi phân tổng của hàm F(x,y) nào đó trong (S) ).

Hãy xem xét cách tiếp theo tìm nguyên hàm này. Cần phải tìm hàm F(x,y) sao cho

trong đó hàm (y) sẽ được xác định bên dưới. Từ công thức (12) suy ra

tại tất cả các điểm của vùng (S). Bây giờ hãy chọn hàm (y) sao cho đẳng thức giữ nguyên

Để làm điều này, chúng ta viết lại đẳng thức (14) mà chúng ta cần, thay biểu thức của nó vào biểu thức F(x,y) theo công thức (12):

Chúng ta hãy lấy đạo hàm theo y theo dấu tích phân (điều này có thể thực hiện được vì P(x,y) và - hàm liên tục hai biến):

Vì theo (11) nên thay bằng dấu tích phân trong (16), ta có:

Tích phân trên y, chúng ta tìm thấy chính hàm (y), được xây dựng theo cách thỏa mãn đẳng thức (14). Sử dụng các đẳng thức (13) và (14), chúng ta thấy rằng

trong khu vực). (18)

Ví dụ 5. Kiểm tra xem phương trình vi phân đã cho có phải là phương trình vi phân tổng hay không và giải nó.

Đây là một phương trình vi phân trong tổng vi phân. Trên thực tế, bằng cách chỉ định, chúng tôi tin chắc rằng

và đây là điều kiện cần và đủ để biểu thức

P(x,y)dx+Q(x,y)dy

là vi phân tổng của một số hàm U(x,y). Hơn nữa, đây là các hàm liên tục trong R.

Do đó, để lấy tích phân phương trình vi phân này, bạn cần tìm một hàm mà vế trái của phương trình vi phân là vi phân toàn phần. Đặt hàm như vậy là U(x,y), thì

Tích phân vế trái và vế phải trên x, ta được:

Để tìm q(y), chúng ta sử dụng thực tế là

Thay giá trị tìm được μ(y) vào (*), cuối cùng chúng ta thu được hàm U(x,y):

Tích phân tổng quát của phương trình ban đầu có dạng

Các dạng cơ bản của phương trình vi phân bậc nhất (tiếp theo).

Phương trình vi phân tuyến tính

Định nghĩa: Phương trình tuyến tính bậc nhất là phương trình có dạng

y" + P(x)y = f(x), (21)

trong đó P(x) và f(x) là các hàm liên tục.

Tên của phương trình được giải thích là do đạo hàm y" là hàm tuyến tính từ y, nghĩa là nếu chúng ta viết lại phương trình (21) dưới dạng y" = - P(x) + f(x), thì phần bên phải chỉ chứa y ở bậc một.

Nếu f(x) = 0 thì phương trình

yґ+ P(x) y = 0 (22)

được gọi là phương trình đồng nhất tuyến tính. Rõ ràng, phương trình tuyến tính thuần nhất là phương trình có các biến tách được:

y" +P(x)y = 0; ,

Nếu f(x) ? 0 thì phương trình

yґ+ P(x) y = f(x) (23)

được gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất.

TRONG trường hợp chung các biến trong phương trình (21) không thể tách rời.

Phương trình (21) được giải như sau: ta sẽ tìm nghiệm dưới dạng tích của hai hàm U(x) và V(x):

Hãy tìm đạo hàm:

y" = U"V + UV" (25)

và thay các biểu thức này vào phương trình (1):

U"V + UV" + P(x)UV = f(x).

Hãy nhóm các thuật ngữ ở phía bên trái:

U"V + U = f(x). (26)

Chúng ta hãy áp đặt một điều kiện cho một trong các thừa số (24), cụ thể là, chúng ta giả sử rằng hàm V(x) sao cho nó biến biểu thức thành dấu ngoặc vuông trong (26), tức là rằng đó là nghiệm của phương trình vi phân

V" + P(x)V = 0. (27)

Đây là một phương trình với các biến có thể tách rời, chúng ta tìm thấy V(x) từ nó:

Hiện nay chúng ta hãy tìm hàm U(x) sao cho với hàm V(x) đã được tìm thấy, tích U V là nghiệm của phương trình (26). Để làm được điều này, điều cần thiết là U(x) phải là nghiệm của phương trình

Đây là một phương trình tách được nên

Thay các hàm tìm được (28) và (30) vào công thức (4), chúng ta thu được nghiệm tổng quát của phương trình (21):

Như vậy, phương pháp đang xét (phương pháp Bernoulli) rút gọn nghiệm phương trình đường thẳng(21) để giải hai phương trình có biến tách được.

Ví dụ 6. Tìm tích phân tổng quát của phương trình.

Phương trình này không tuyến tính đối với y và y", nhưng nó lại tuyến tính nếu chúng ta coi x là hàm mong muốn và y là đối số. Thật vậy, chuyển đến, chúng ta thu được

Để giải phương trình thu được, chúng ta sử dụng phương pháp thay thế (Bernoulli). Khi đó, chúng ta sẽ tìm nghiệm của phương trình có dạng x(y)=U(y)V(y). Chúng ta nhận được phương trình:

Chúng ta hãy chọn hàm V(y) sao cho. Sau đó

Vế trái của các phương trình vi phân có dạng đôi khi là vi phân đầy đủ của một số hàm nhất định. Nếu bạn khôi phục một hàm từ vi phân tổng của nó, bạn sẽ tìm được tích phân tổng quát của phương trình vi phân. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ mô tả một phương pháp khôi phục hàm từ vi sai tổng của nó, tài liệu lý thuyết Chúng tôi sẽ cung cấp các ví dụ và nhiệm vụ với miêu tả cụ thể các giải pháp.

Vế trái của phương trình vi phân là vi phân tổng của một hàm U(x, y) = 0 nếu điều kiện được thỏa mãn.

Vì tổng vi phân của hàm U(x, y) = 0 là , thì nếu điều kiện được thỏa mãn, chúng ta có thể nói rằng . Kể từ đây, .

Từ phương trình đầu tiên của hệ ta có . Hàm có thể được tìm thấy bằng phương trình thứ hai của hệ thống:

Bằng cách này, hàm mong muốn U(x, y) = 0 sẽ được tìm thấy.

Hãy xem một ví dụ.

Ví dụ.

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân .

Giải pháp.

Trong ví dụ này. Điều kiện được thỏa mãn vì

do đó, vế trái của phương trình vi phân ban đầu là vi phân tổng của một hàm U(x, y) = 0 nào đó. Nhiệm vụ của chúng ta là tìm ra chức năng này.

Bởi vì là vi phân tổng của hàm U(x, y) = 0, khi đó . Chúng tôi lấy tích phân phương trình đầu tiên của hệ theo x và lấy vi phân kết quả thu được theo y . Mặt khác, từ phương trình thứ hai của hệ ta có . Kể từ đây,

trong đó C là hằng số tùy ý.

Như vậy, và tích phân tổng quát của phương trình ban đầu là .

Có một phương pháp khác để tìm hàm số bằng vi phân tổng của nó. Nó bao gồm việc lấy tích phân đường cong từ một điểm cố định (x 0 , y 0) đến một điểm có tọa độ thay đổi (x, y): . Trong trường hợp này, giá trị của tích phân không phụ thuộc vào đường tích phân. Sẽ thuận tiện hơn khi lấy đường tích phân là một đường đứt nét có các liên kết song song với các trục tọa độ.

Hãy xem một ví dụ.

Ví dụ.

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân .

Giải pháp.

Hãy kiểm tra xem điều kiện có được đáp ứng không:

Do đó, vế trái của phương trình vi phân là vi phân tổng của một hàm U(x, y) = 0. Hãy tìm hàm này bằng cách tính tích phân đường cong từ điểm (1; 1) đến (x, y). Là đường tích phân, ta sẽ lấy đường đứt nét: đoạn đầu đường đứt nét sẽ đi dọc theo đường thẳng y = 1 từ điểm (1, 1) đến (x, 1), đoạn thứ hai của đường nét sẽ lấy đoạn thẳng từ điểm (x, 1) đến (x, y).

Định nghĩa 8.4. Phương trình vi phân có dạng

Ở đâu
được gọi là phương trình vi phân tổng.

Lưu ý rằng vế trái của phương trình như vậy là vi phân tổng của một hàm số nào đó
.

Nói chung, phương trình (8.4) có thể được biểu diễn dưới dạng

Thay vì phương trình (8.5), chúng ta có thể xét phương trình

nghiệm của nó là tích phân tổng quát của phương trình (8.4). Vì vậy, để giải phương trình (8.4) cần tìm hàm
. Theo định nghĩa của phương trình (8.4), ta có

(8.6)

Chức năng
chúng ta sẽ tìm một hàm thỏa mãn một trong các điều kiện sau (8.6):

Ở đâu - hàm tùy ý, độc lập khỏi .

Chức năng
được xác định sao cho điều kiện thứ hai của biểu thức (8.6) được thỏa mãn

(8.7)

Từ biểu thức (8.7) xác định được hàm số
. Thay thế nó vào biểu thức cho
và thu được tích phân tổng quát của phương trình ban đầu.

Vấn đề 8.3. Tích phân phương trình

Đây
.

Do đó, phương trình này thuộc loại phương trình vi phân tổng vi phân. Chức năng
chúng tôi sẽ tìm kiếm nó ở dạng

Mặt khác,

Trong một số trường hợp điều kiện
có thể không được đáp ứng.

Sau đó, các phương trình như vậy được rút gọn thành loại đang được xem xét bằng cách nhân với cái gọi là hệ số tích phân, trong trường hợp tổng quát, hệ số này chỉ là một hàm hoặc .

Nếu một phương trình nào đó có hệ số tích phân chỉ phụ thuộc vào , thì nó được xác định theo công thức

mối quan hệ ở đâu chỉ nên là một chức năng .

Tương tự, hệ số tích phân chỉ phụ thuộc vào , được xác định bởi công thức

mối quan hệ ở đâu
chỉ nên là một chức năng .

Sự vắng mặt của biến trong các mối quan hệ đã cho trong trường hợp đầu tiên , và trong phần thứ hai - biến , là dấu hiệu cho thấy sự tồn tại của hệ số tích phân đối với một phương trình đã cho.

Vấn đề 8.4. Rút gọn phương trình này thành phương trình vi phân tổng.

Hãy xem xét mối quan hệ:

Chủ đề 8.2. Phương trình vi phân tuyến tính

Định nghĩa 8.5. phương trình vi phân
được gọi là tuyến tính nếu nó tuyến tính đối với hàm mong muốn , đạo hàm của nó và không chứa tích của hàm mong muốn và đạo hàm của nó.

Dạng tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính được biểu diễn bằng quan hệ sau:

(8.8)

Nếu trong hệ thức (8.8) vế phải
, thì phương trình như vậy được gọi là đồng nhất tuyến tính. Trong trường hợp bên phải
, thì phương trình như vậy được gọi là tuyến tính không đồng nhất.

Chúng ta hãy chỉ ra rằng phương trình (8.8) có thể tích phân dưới dạng cầu phương.

Ở giai đoạn đầu tiên, chúng tôi xem xét một phương trình đồng nhất tuyến tính.

Phương trình như vậy là phương trình có các biến tách được. Thật sự,

;

Mối quan hệ cuối cùng xác định nghiệm tổng quát của tuyến tính phương trình thuần nhất.

Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không đồng nhất, người ta sử dụng phương pháp biến đổi đạo hàm của một hằng số. Ý tưởng của phương pháp là nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất có dạng giống như nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng nhưng là hằng số tùy ý. được thay thế bởi một số chức năng
phải được xác định. Vì vậy chúng tôi có:

(8.9)

Thay thế vào quan hệ (8.8) các biểu thức tương ứng
Và
, chúng tôi nhận được

Thay biểu thức cuối cùng vào hệ thức (8.9), chúng ta thu được tích phân tổng quát của phương trình tuyến tính không đồng nhất.

Như vậy, nghiệm tổng quát của một phương trình tuyến tính không đồng nhất được xác định bởi hai phương trình: nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính đồng nhất và nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không đồng nhất.

Vấn đề 8.5. Tích phân phương trình