Lô lồi và các tính chất của nó. Xác định một tập hợp lồi

Trong đó tất cả các điểm thuộc đoạn tạo bởi hai điểm bất kỳ thuộc tập hợp đã cho cũng thuộc tập hợp đã cho.

Định nghĩa

Các ví dụ

• Tập hợp con lồi của một tập hợp $\backslash \; R$(nhiều số thực) là khoảng thời gian từ $\backslash \; R$.
• Ví dụ về tập hợp con lồi trong không gian Euclide hai chiều ( $\backslash \; R\; ^\; 2$) là các đa giác đều.
• Ví dụ về tập con lồi trong không gian Euclide ba chiều ( $\backslash \; R\; ^\; 3$) là các chất rắn Archimedean và các khối đa diện đều.
• Chất rắn Keppler-Poinsot (khối đa diện hình sao thông thường) là ví dụ về các bộ lồi.

Đặc tính

• Một tập hợp lồi trong một không gian tuyến tính tôpô được kết nối và liên kết đường dẫn, tương đương về phương diện tương đồng với một điểm.
• Về khả năng kết nối, một tập hợp lồi có thể được định nghĩa như sau: một tập hợp là lồi nếu giao điểm của nó với bất kỳ đường thẳng (thực) nào được kết nối.
• Để cho $K$ là một tập lồi trong một không gian tuyến tính. Sau đó, đối với bất kỳ phần tử nào $u\_1,\; \backslash ;\; u\_2,\; \backslash ;\; \backslash \; ldots,\; \backslash ;\; u\_r$ sở hữu $K$ và cho tất cả không âm $\backslash \; lambda\_1,\; \backslash ;\; \backslash \; lambda\_2,\; \backslash ;\; \backslash \; ldots,\; \backslash ;\; \backslash \; lambda\_r$, như vậy mà $\backslash \; lambda\_1\; +\; \backslash \; lambda\_2\; +\; \backslash \; ldots\; +\; \backslash \; lambda\_r\; =\; 1$, vectơ $w\; =\; \backslash \; sum\_\; (k\; =\; 1)\; ^\; r\; \backslash \; lambda\_k\; u\_k$

thuộc về $K$.

• Véc tơ $w$được gọi là tổ hợp lồi của các phần tử $u\_1,\; \backslash ;\; u\_2,\; \backslash ;\; \backslash \; ldots,\; \backslash ;\; u\_r$.

Các biến thể và khái quát hóa

• Không có bất kỳ thay đổi nào, định nghĩa này hoạt động đối với không gian afin trên phần mở rộng tùy ý của trường số thực.

Xem thêm

Viết nhận xét về bài báo "Bộ lồi"

Văn chương

• Polovinkin E. S., Balashov M. V. Các yếu tố của lồi và phân tích lồi mạnh. - M .: FIZMATLIT, 2004. - 416 tr. - ISBN 5-9221-0499-3..
• Timorin V. A.. - M .: MTSNMO, 2002. - 16 tr. - ISBN 5-94057-024-0..

Liên kết

Một đoạn trích đặc trưng cho bộ Lồi

Và Natasha kiễng chân đứng dậy và bước ra khỏi phòng như cách các vũ công thường làm, nhưng mỉm cười như nụ cười hạnh phúc của những cô gái 15 tuổi. Gặp Sonya trong phòng khách, Rostov đỏ mặt. Anh không biết phải đối phó với cô như thế nào. Hôm qua họ đã hôn nhau trong giây phút đầu tiên của niềm vui gặp gỡ, nhưng hôm nay họ cảm thấy rằng không thể làm được điều này; anh cảm thấy rằng tất cả mọi người, cả mẹ và chị gái, đều nhìn anh dò ​​hỏi và mong đợi từ anh cách anh sẽ cư xử với cô ấy. Anh hôn tay cô và gọi cô là bạn - Sonya. Nhưng ánh mắt của họ, khi gặp nhau, đã nói “bạn” với nhau và hôn nhau một cách dịu dàng. Với đôi mắt của mình, cô cầu xin anh tha thứ vì tại đại sứ quán của Natasha, cô đã dám nhắc anh về lời hứa của mình và cảm ơn tình yêu của anh. Anh cảm ơn cô bằng ánh mắt của mình vì lời đề nghị tự do và nói rằng bằng cách này hay cách khác, anh sẽ không bao giờ ngừng yêu cô, bởi vì không thể không yêu cô.
“Tuy nhiên, thật kỳ lạ,” Vera nói, chọn một khoảnh khắc im lặng chung chung, “rằng Sonya và Nikolenka bây giờ gặp nhau như những người xa lạ. - Nhận xét của Vera cũng giống như tất cả những nhận xét của cô ấy; nhưng, giống như hầu hết các nhận xét của cô, mọi người đều trở nên xấu hổ, và không chỉ Sonya, Nikolai và Natasha, mà cả nữ bá tước già, người sợ tình yêu của con trai mình dành cho Sonya, có thể tước đi bữa tiệc rực rỡ của anh ta, cũng đỏ mặt. như một cô gái. Denisov, trước sự ngạc nhiên của Rostov, trong một bộ đồng phục mới, được bôi đầy dầu và thơm, xuất hiện trong phòng khách bảnh bao như khi anh ta đang trong trận chiến, và rất hòa nhã với các quý bà và quý ông, điều mà Rostov không mong đợi được gặp anh ta.

Trở về Moscow từ quân đội, Nikolai Rostov được gia đình đón nhận như con trai tốt nhất, anh hùng và Nikolushka được yêu mến; người thân - như một thanh niên ngọt ngào, dễ mến và tôn trọng; những người quen - với tư cách là một trung úy hussar đẹp trai, một vũ công thông minh và là một trong những chú rể tốt nhất ở Moscow.
Rostovs biết tất cả Moscow; năm nay ông đếm già có đủ tiền, bởi vì tất cả các điền trang đều được tái thiết, và do đó Nikolushka, đã có chiếc quần ống đứng của riêng mình và những chiếc quần thời trang nhất, những chiếc đặc biệt mà không ai khác ở Moscow có, và đôi ủng, loại thời trang nhất, với hầu hết tất nhọn và ít chóp bạc, có rất nhiều niềm vui. Rostov, khi trở về nhà, đã trải qua cảm giác dễ chịu sau một thời gian cố gắng vì những điều kiện cũ của cuộc sống. Với anh, dường như anh đã trưởng thành và trưởng thành hơn rất nhiều. Tuyệt vọng vì cuộc kiểm tra không phù hợp với luật pháp của Chúa, vay tiền từ Gavrila để đi taxi, những nụ hôn bí mật với Sonya, anh nhớ lại tất cả những điều này như về sự trẻ con, từ đó anh giờ đã xa cách vô cùng. Bây giờ anh ta là một trung úy hussar trong chiếc áo choàng bạc, cùng với người lính George, chuẩn bị cho người chạy lon ton của anh ta, cùng với những thợ săn nổi tiếng, cao tuổi, đáng kính. Anh ta có một người phụ nữ quen trên đại lộ, người mà anh ta đi vào buổi tối. Anh ta tiến hành mazurka tại vũ hội ở Arkharovs, nói về cuộc chiến với Thống chế Kamensky, đến thăm một câu lạc bộ ở Anh, và đi cùng bạn với một đại tá bốn mươi tuổi, người mà Denisov đã giới thiệu cho anh ta.
Niềm đam mê của ông đối với chủ quyền phần nào suy yếu ở Moscow, vì trong thời gian này ông không gặp ông. Nhưng hắn thường xuyên nói về chủ nhân, về tình yêu của hắn đối với hắn, khiến hắn cảm giác vẫn chưa nói hết, cảm giác của hắn đối với chủ nhân có cái gì khác mà không phải ai cũng có thể hiểu được; và hết lòng chia sẻ tình cảm tôn thờ chung lúc bấy giờ ở Mátxcơva đối với Hoàng đế Alexander Pavlovich, người mà lúc đó ở Mátxcơva được đặt cho cái tên như một thiên thần bằng xương bằng thịt.
Trong thời gian Rostov ở Moscow ngắn ngủi, trước khi lên đường nhập ngũ, anh không hề thân thiết mà ngược lại, chia tay Sonya. Cô ấy rất xinh đẹp, ngọt ngào, và rõ ràng là yêu anh say đắm; nhưng anh ấy đang ở trong khoảng thời gian tuổi trẻ của mình, khi dường như có quá nhiều việc phải làm đến mức không còn thời gian để làm, và người đàn ông trẻ tuổi này sợ phải tham gia - anh ấy coi trọng \ u200b \ u200 tự do này, điều này anh ấy cần cho nhiều thứ khác. Khi nghĩ về Sonya trong chuyến lưu trú mới này ở Moscow, anh tự nhủ: Ơ! vẫn còn rất nhiều, rất nhiều trong số này sẽ và đang ở đó, ở đâu đó, tôi vẫn chưa biết. Tôi vẫn có thời gian, khi tôi muốn, để làm tình, nhưng bây giờ không còn thời gian. Ngoài ra, đối với anh ta dường như là một điều gì đó sỉ nhục cho lòng dũng cảm của anh ta trong xã hội phụ nữ. Anh ta đi đến vũ hội và hội nữ sinh, giả vờ làm điều đó trái với ý muốn của mình. Chạy bộ, một câu lạc bộ tiếng Anh, một cuộc vui với Denisov, một chuyến đi đến đó - đó là một vấn đề khác: đó là điều tốt cho một chàng trai trẻ.
Vào đầu tháng 3, Bá tước già Ilya Andreevich Rostov đang bận rộn với việc sắp xếp một bữa tối trong một câu lạc bộ ở Anh để tiếp đón Hoàng tử Bagration.
Vị bá tước mặc áo choàng đi quanh hội trường, ra lệnh cho quản gia câu lạc bộ và Feoktist nổi tiếng, bếp trưởng. câu lạc bộ Tiếng Anh, về măng tây, dưa chuột tươi, dâu tây, bê và cá cho bữa tối của Hoàng tử Bagration. Tính từ ngày thành lập câu lạc bộ, là thành viên và quản đốc. Anh ấy được câu lạc bộ giao phó việc tổ chức một bữa tiệc mừng cho Bagration, bởi vì hiếm ai biết cách tổ chức một bữa tiệc trọng thể và hiếu khách như vậy, đặc biệt là vì hiếm ai biết cách và muốn đầu tư tiền của họ nếu họ cần để sắp xếp một bữa tiệc. . Người đầu bếp và quản gia của câu lạc bộ, với vẻ mặt vui vẻ, nghe lệnh của bá tước, bởi vì họ biết rằng không ai dưới quyền, như dưới quyền của ông, tốt hơn là kiếm lời từ một bữa tối có giá vài nghìn.

Một tập X được gọi là lồi nếu với bất kỳ hai điểm A, B ∈ X nào của nó, tất cả các điểm thuộc đoạn cũng thuộc tập X, nghĩa là, nếu với bất kỳ hai điểm A, B ∈ X nào của nó và với bất kỳ giá trị nào của α trong điểm M = αA + (1 - α) B cũng thuộc tập X: M ∈ X.

Cho X1, ... Xn là các tập lồi. Kí hiệu Y = Xi - giao của các tập lồi. Hãy chứng tỏ rằng Y là một tập lồi. Để làm được điều này, ta chỉ ra rằng với mọi điểm A, B ∈ Y và với giá trị α bất kỳ thì điểm M = αA + (1 - α) B cũng thuộc tập Y: M ∈ Y. Vì Y là giao của các tập lồi X1, ... Xn nên được chọn tùy ý điểm A, B thuộc mỗi tập này Xi, i = 1..n. Vì mỗi tập Xi là lồi, nên theo định nghĩa rằng với một giá trị được chọn tùy ý α ∈, điểm M = αA + (1 − α) B thuộc mỗi tập (chúng đều lồi và chứa A, B) . Vì tất cả các tập hợp Xi đều chứa điểm M nên

giao của các tập hợp này cũng chứa điểm M: M ∈ Y. Từ lần kết hợp cuối cùng có hiệu lực sự tùy tiện A, B∈ Y và tính tùy ý của tham số α ∈ ngụ ý độ lồi của tập Y, cần được chỉ ra.

95. Tập hợp các điểm thỏa mãn điều kiện có phải là tập lồi không? Biện minh cho câu trả lời.

Đúng, rõ ràng là đẳng thức này xác định một nửa mặt phẳng tuyến tính trong R4.

Hãy chứng minh điều này bằng định nghĩa:

A = (a1, a2, a3, a4), B = (b1, b2, b3, b4) ∈ X,

thỏa mãn bất đẳng thức trên.

Xem xét điểm tùy ý M = αA + (1 - α) B, trong đó α ∈ là một giá trị tùy ý của tham số. Khi đó M (m1, m2, m3, m4) = αA + (1 - α) B

m1 = αa1 + (1 - αb1)

m2 = αa2 + (1 - αb2)

m3 = αa3 + (1 - αb3)

m4 = αa4 + (1 - αb4)

thỏa mãn của bất đẳng thức đã cho:

5 + 2m1 + 3m2 - m3 + 5m4 ≥ 0

5 + 2 (αa1 + (1 - αb1)) + 3 (αa2 + (1 - αb2)) - (αa3 + (1 - αb3)) + 5 (αa4 + (1 - αb4)) ≥ 0

Hãy biểu diễn 5 = α5 + (1 − α) 5, khai triển và nhóm các số hạng cho ai và bi. Chúng tôi nhận được:

α (5 + 2a1 + 3a2 - a3 + 5a4) + (1 - α) (5 + 2b1 + 3b2 - b3 + 5b4) ≥ 0

Vì các điểm A, B nằm trong tập X nên tọa độ của chúng thỏa mãn bất đẳng thức

xác định một tập hợp. Do đó, cả hai thuật ngữ đều không phủ định do không phủ định

α và 1 - α. Do đó, bất đẳng thức cuối cùng áp dụng cho bất kỳ A, B và bất kỳ giá trị nào

tham số α ∈. Theo định nghĩa, chúng tôi đã chỉ ra rằng một tập X cho trước là

lồi lõm.

96. Tập hợp các điểm thoả mãn điều kiện là tập lồi? Biện minh cho câu trả lời.

Vâng, rõ ràng là đẳng thức này xác định một siêu phẳng tuyến tính trong R4.

Hãy chứng minh điều này bằng định nghĩa:

Xem xét hai điểm bất kỳ trong không gian này

A = (a1, a2, a3, a4), B = (b1, b2, b3, b4) ∈ X

thỏa mãn đẳng thức trên.

Xét một điểm tùy ý M = αA + (1 - α) B, trong đó α ∈ là một giá trị tùy ý của tham số. Khi đó M (m1, m2, m3, m4) = αA + (1 - α) B

m1 = αa1 + (1 - αb1)

m2 = αa2 + (1 - αb2)

m3 = αa3 + (1 - αb3)

m4 = αa4 + (1 - αb4)

Hãy để chúng tôi kiểm tra xem điểm M (m1, m2, m3, m4) có thuộc tập X bằng cách sử dụng

tính khả thi bình đẳng đưa ra:

m1 + 2m2 - 3m3 + 4m4 = 55

(αa1 + (1 - αb1)) + 2 (αa2 + (1 - αb2)) - 3 (αa3 + (1 - αb3)) + 4 (αa4 + (1 - αb4)) = 55

Hãy để chúng tôi mở rộng dấu ngoặc và nhóm các thuật ngữ cho ai và bi. Chúng tôi nhận được:

α (a1 + 2a2 - 3a3 + 4a4) + (1 - α) (b1 + 2b2 - 3b3 + 4b4) = 55

Vì các điểm A, B nằm trong tập X nên tọa độ của chúng thỏa mãn đẳng thức,

xác định tập hợp, nghĩa là (a1 + 2a2 - 3a3 + 4a4) = 55 và (b1 + 2b2 - 3b3 + 4b4) = 55.

Thay các giá trị bằng nhau này vào biểu thức cuối cùng, chúng ta nhận được:

α55 + (1 - α) 55 = 55

Đẳng thức cuối cùng giữ cho bất kỳ A, B và bất kỳ giá trị nào của tham số α ∈. Theo định nghĩa, chúng ta đã chứng minh rằng một tập X đã cho là tập lồi.

97. Cho các ví dụ về tập lồi: a) có một điểm ở góc; b) không có điểm ở góc. Tập hợp lồi không giới hạn có thể có một điểm ở góc không? Cho một ví dụ.

a) một hình vuông có 4 điểm ở góc

b) đường tròn không có điểm ở góc

c) một tập hợp không giới hạn có thể có các điểm góc: có một điểm góc (0; 0)

98. Định nghĩa lồi của một hệ điểm. Giả sử phần lồi của các điểm,,,. Các điểm có thuộc tập hợp:,? Biện minh cho câu trả lời.

nghĩa là, điều kiện để đây là một tổ hợp tuyến tính lồi được thỏa mãn, có nghĩa là X là một phần của vỏ lồi. Giả sử Y cũng nằm trong tổ hợp lồi, thì tất cả các điểm của đoạn phải được đưa vào tổ hợp tuyến tính, nhưng nó có thể được nhìn thấy từ các điểm ban đầu (chúng đều nằm bên phải đường thẳng x = -1) rằng toàn bộ tổ hợp lồi nằm ở bên phải của đường thẳng x = -1 và điểm Y nằm ở bên trái, điều này xác nhận rằng toàn bộ đoạn hay điểm Y đều không thuộc bao lồi.

tập hợp lồi- một tập con của không gian Euclide có chứa một đoạn nối hai điểm bất kỳ của tập này.

Sự định nghĩa

Nói cách khác, một tập hợp được gọi là lồi nếu:

Đó là, nếu bộ X cùng với hai điểm bất kỳ thuộc tập hợp này, chứa một đoạn nối chúng:

Trong không gian, các tập lồi sẽ là một đoạn thẳng, nửa đoạn thẳng, đoạn thẳng, khoảng, tập hợp một điểm.

Trong không gian, bản thân không gian, bất kỳ không gian con tuyến tính nào của nó, một quả bóng, một đoạn thẳng, một tập hợp một điểm sẽ là lồi. Ngoài ra, các tập hợp sau sẽ lồi:

• siêu máy bay H p? với bình thường P :

• các nửa không gian trong đó các siêu máy bay phân chia không gian:

Tất cả các tập hợp được liệt kê (trừ gạch đầu dòng) là một trường hợp đặc biệt của tập hợp lồi của khối đa diện.

Tính chất của tập hợp lồi

• Giao của các tập lồi là tập lồi.
• Một tổ hợp tuyến tính của các điểm thuộc một tập lồi là tập lồi.
• Một tập lồi chứa bất kỳ tổ hợp lồi nào của các điểm của nó.
• Bất cứ điểm nào N-không gian Euclid chiều với bao lồi của một tập hợp có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp lồi của nhiều nhất N+1 điểm của bộ này

Xem xét N là một không gian Euclide có chiều và để là một điểm trong không gian này.

Cân nhắc hai điểm và, thuộc. Tập hợp các điểm , có thể được biểu diễn dưới dạng

(trong tọa độ nó được viết như thế này:

bộ phận kết nối các điểm và. Bản thân các điểm được gọi là phần cuối của phân đoạn. Trong các trường hợp N= 2 và N\ u003d 3 là một đoạn theo nghĩa thông thường của từ trên mặt phẳng hoặc trong không gian (xem Hình 12). Lưu ý rằng đối với  = 0 và đối với  = 1, tức là với  = 0 và  = 1 thì thu được hai đầu đoạn.

Cho vào

được kđiểm

. Chấm

nơi mọi thứ được gọi là kết hợp lồiđiểm.

Hãy để có một số vùng trong không gian (nói cách khác,

G có một số điểm

).

Sự định nghĩa. Tập hợp (vùng) được gọi là lồi lõm, nếu từ những gì sau đó cho  . Nói cách khác, G - một tập lồi nếu cùng với hai điểm bất kỳ của nó, nó chứa một đoạn nối các điểm này.

Trong các hình này, "a" và "b" là các tập lồi, và "c" không phải là tập lồi, vì nó có một cặp điểm đến nỗi đoạn nối chúng không hoàn toàn thuộc tập này.

Định lý 1. Cho G là tập lồi. Khi đó bất kỳ tổ hợp lồi nào của các điểm thuộc tập hợp này cũng thuộc tập hợp này.

Bằng chứng

Hãy chứng minh định lý bằng phương pháp quy nạp toán học. Tại k= 2 định lý là đúng, vì nó chỉ đơn giản là chuyển sang định nghĩa của một tập lồi.

Hãy để định lý đúng với một số k. Lấy một điểm và xem xét một tổ hợp lồi

mọi người đâu rồi

và .

Tưởng tượng

như

Định lý đã được chứng minh.

Định lý 2. Miền cho phép của bài toán lập trình tuyến tính là một tập hợp lồi.

Bằng chứng.

1. Ở dạng tiêu chuẩn trong ký hiệu ma trận khu vực cho phép G được xác định bởi điều kiện

Những thứ kia. x thuộc G và do đó lồi.

2. Ở dạng chuẩn miền G được xác định bởi các điều kiện

Hãy để và thuộc về G, tức là,

.

những thứ kia. và do đó G là lồi. Định lý đã được chứng minh.

Do đó, vùng chấp nhận được trong một bài toán lập trình tuyến tính là một tập lồi. Bằng cách tương tự với hai chiều hoặc Trường hợp 3D, bất cứ gì N khu vực này được gọi là lồi lõm

khối đa diện N- không gian chiều

Định lý 3. Tập các phương án tối ưu cho một bài toán lập trình tuyến tính là tập lồi (nếu nó không rỗng).

Bằng chứng

Nếu nghiệm của một bài toán lập trình tuyến tính là duy nhất thì nó là lồi theo định nghĩa - một điểm được coi là một tập lồi. Hãy để bây giờ và hai phương án tối ưu của bài toán lập trình tuyến tính.

những thứ kia. cũng có một phương án tối ưu và do đó, tập các phương án tối ưu là lồi. Định lý đã được chứng minh.

Định lý 4. Để một bài toán lập trình tuyến tính có lời giải, cần và đủ rằng hàm mục tiêu trên tập hợp có thể chấp nhận được giới hạn từ phía trên (khi giải quyết vấn đề là tối đa) hoặc từ bên dưới (khi giải quyết vấn đề là tối thiểu).

Chúng tôi đưa ra định lý này mà không cần chứng minh.

Để cho X, tại, z- phần tử N-không gian Euclide thực có chiều Chúng ta cũng sẽ gọi chúng là vectơ hoặc điểm của không gian

Sự định nghĩa . Một đường nối các điểm x và y, là tập hợp các điểm của biểu mẫu

Sự định nghĩa . Tập hợp các điểm được gọi là tập hợp lồi, nếu đoạn nối hai điểm bất kỳ được bao gồm trong tập hợp M, đó là

Ví dụ, các tập lồi là một điểm, một đoạn, một không gian, một song song mở và đóng, một quả cầu mở và một quả cầu đóng. Bộ trống không phải lồi lõm.

Định lý . Một giao không rỗng của bất kỳ số tập lồi nào là tập lồi.

Bằng chứng . Cho là các tập lồi và các điểm x, y thuộc đồng thời tất cả các tập này, do đó, theo định nghĩa của một tập lồi, thuộc tất cả các tập đồng thời. Vì vậy, với hai điểm bất kỳ, các điểm thuộc tập M. Do đó, theo định nghĩa M là một tập hợp lồi.

Sự định nghĩa . Siêu phẳng trong được gọi là một tập hợp các điểm

ở đâu một-dimensional hướng dẫn vector, dấu ngoặc đơn biểu thị sản phẩm vô hướng số thực Vớiđược gọi là thành viên miễn phí.

Nhận xét . 1) Siêu phẳng là một tập hợp lồi. Thật vậy, hãy để cho bất kỳ điểm nào thuộc về G, tại vì

2) Vectơ hướng một trực giao với siêu phẳng, nghĩa là đối với bất kỳ vectơ nào z = x - y kết nối hai điểm noncoinciding tùy ý của siêu phẳng ( một, z) = 0. Thật vậy,

(một, z) = (một, x) – (một, y) = c – c = 0.

Sự định nghĩa . Tập hợp các điểm xem

gọi là Nửa không gian Trong

Hướng của bất đẳng thức trong định nghĩa cũng có thể được thực hiện theo hướng ngược lại.

Bình luận . Nửa không gian là một tập lồi. Thật vậy, hãy để cho bất kỳ điểm nào thuộc về S, tại vì

Sự định nghĩa . Giao lộ không trống số giới hạn nửa không gian được gọi là đa diện lồi.

Việc sử dụng thuật ngữ đa diện lồi được giải thích bởi thực tế rằng một nửa không gian là một tập lồi và giao của một số hữu hạn các tập lồi là một tập lồi.

Sự định nghĩa . Rất nhiều loại

gọi là orthant tích cực.

Một orthant dương là một hình đa diện lồi. Thật vậy, bất bình đẳng có thể được hiểu là một hệ thống các bất bình đẳng

Sự định nghĩa . Cho một khối đa diện lồi Gđược đưa ra bởi hệ thống bất phương trình

vectơ hướng ở đâu, k > N. Nếu điểm chuyển đổi thành các điểm bằng nhau thì ít nhất N bất đẳng thức và hạng của hệ vectơ tương ứng bằng N, sau đó là điểm tại gọi là góc cạnhđiểm (hoặc cực trị) của khối đa diện.

Lưu ý rằng số lượng các điểm góc đa diện lồi có thể (tùy thuộc vào N và k) rất rộng. Có, tại N = 10, k= 20 số này có thể được so sánh với 10 11.

Bình luận . Vì sự bình đẳng của hình thức

có thể được thay thế bằng một hệ hai bất phương trình

sau đó nếu một số bất đẳng thức (hoặc tất cả các bất đẳng thức) trong định nghĩa được thay thế bằng các bất đẳng thức tương ứng, thì hệ điều kiện thu được cũng xác định một đa diện lồi.

Nhắc lại định nghĩa của tập lồi thường dùng.

Sự định nghĩa . ε - vùng lân cận của một điểm là một quả bóng mở

Rõ ràng, ε, một lân cận của một điểm, là một tập lồi.

Sự định nghĩa . Chấm x gọi là điểm ranh giớiđặt nếu ε -neighborhood chứa các điểm thuộc tập hợp X và những điểm không thuộc tập hợp X.

Sự định nghĩa . Chấm x gọi là điểm bên trongđặt nếu phát hiện ra rằng ε -neighborhood nằm hoàn toàn bên trong tập hợp X.

Bình luận . Điểm ranh giới có thể không thuộc tập hợp X. Ví dụ, đối với một bộ Sự định nghĩa. Nhiều X gọi là giới hạn nếu đường kính của nó là một số hữu hạn.

Sự định nghĩa . hình nón là một tập hợp sao cho nó theo sau đó.

Bình luận . Nó theo định nghĩa rằng hình nón chứa điểm rỗng X= 0. Hình nón là tập hợp không có giới hạn (trừ trường hợp suy biến khi hình nón chỉ chứa một điểm X= 0). Một hình nón có thể đóng và không đóng.

Sự định nghĩa . gọn nhẹđược gọi là tập có giới hạn đóng.

Bình luận . Các tập có giới hạn đóng được quan tâm đặc biệt liên quan đến định lý Weierstrass, định lý này phát biểu rằng chức năng liên tụcđóng cửa bộ giới hạn(nhỏ gọn) đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

Khi nghiên cứu hiện tượng kinh tế phương pháp toán học tính chất của nhiều tập hợp và hàm như độ lồi hóa ra lại rất quan trọng. Bản chất của hành vi của nhiều chủ thể kinh tế là do phụ thuộc nhất định, mô tả các đối tượng này, là lồi.

Sự tồn tại hoặc tính duy nhất của các giải pháp cho các vấn đề kinh tế thường gắn liền với tính lồi của các hàm và tập hợp: nhiều thuật toán tính toán dựa trên tính chất này.

Tính hợp lệ của nhiều câu lệnh liên quan đến tập lồi và hàm là khá rõ ràng, chúng gần như hiển nhiên. Đồng thời, việc chứng minh chúng thường rất khó khăn. Do đó, một số dữ kiện cơ bản liên quan đến độ lồi sẽ được nêu ra ở đây mà không cần chứng minh, dựa vào khả năng thuyết phục trực quan của chúng.

Bộ lồi trong mặt phẳng.

Không tí nào hình học trên mặt phẳng có thể coi là tập hợp các điểm thuộc hình vẽ này. Một số tập hợp (ví dụ, hình tròn, hình chữ nhật, dải giữa các đường thẳng song song) chứa cả điểm bên trong và điểm biên; những cái khác (ví dụ: một đoạn thẳng, một đường tròn) chỉ bao gồm các điểm biên.

Tập hợp các điểm trong mặt phẳng được gọi là lồi nếu nó có tài sản tiếp theo: đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của tập hợp này hoàn toàn nằm trong tập hợp này.

Ví dụ về tập lồi là: tam giác, đoạn thẳng, nửa mặt phẳng (một phần của mặt phẳng nằm về một phía của đường thẳng), toàn mặt phẳng.

Theo quy ước, một tập hợp bao gồm một điểm duy nhất và một tập hợp rỗng không chứa điểm nào cũng được coi là tập lồi. Trong mọi trường hợp, trong các tập hợp này, không thể vẽ một đoạn nối một số điểm của các tập hợp này và không hoàn toàn thuộc về các tập hợp này - nói chung là không thể chọn hai điểm trong chúng. Do đó, việc đưa chúng vào số tập lồi sẽ không dẫn đến mâu thuẫn với định nghĩa, và điều này là đủ để lập luận toán học.

Giao lộ, tức là một phần chung hai tập lồi luôn luôn lồi: lấy hai giao điểm bất kỳ (và chúng là chung, tức là chúng thuộc mỗi tập giao nhau) và nối chúng với nhau bằng một đoạn, ta dễ dàng thấy rằng tất cả các điểm của đoạn đều là chung. cho cả hai tập hợp, vì vậy làm thế nào mỗi tập hợp trong số chúng là lồi. Giao của bất kỳ số tập lồi nào cũng sẽ lồi.

Tính chất quan trọng của tập lồi là khả năng phân tách của chúng: nếu hai tập lồi không có chung điểm nội bộ, thì mặt phẳng có thể được cắt dọc theo một đường thẳng theo cách sao cho một trong các tập hợp sẽ nằm hoàn toàn trong một nửa mặt phẳng và nửa mặt phẳng kia (các điểm của cả hai tập hợp có thể nằm trên đường cắt). Đường thẳng ngăn cách chúng trong một số trường hợp hóa ra là đường duy nhất có thể xảy ra, trong những trường hợp khác thì không.

Bản thân điểm biên của bất kỳ tập lồi nào cũng có thể được coi là tập lồi không có các điểm bên trong chung với tập ban đầu, do đó có thể ngăn cách nó bằng một đoạn thẳng nào đó. Đường phân cách điểm biên của nó với một tập lồi được gọi là đường hỗ trợ của tập này tại điểm đã cho. Các đường tham chiếu tại một số điểm của đường bao có thể là duy nhất, ở những điểm khác - không phải là duy nhất.

Hãy để chúng tôi giới thiệu trên máy bay hệ thống Tọa độ Descartes x, y. Bây giờ chúng ta có cơ hội xem xét các hình khác nhau như một tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn các phương trình hoặc bất phương trình nhất định (nếu tọa độ của một điểm thỏa mãn bất kỳ điều kiện nào, chúng ta sẽ nói ngắn gọn rằng bản thân điểm đó thỏa mãn điều kiện này).