Значение гармонические движения в энциклопедии брокгауза и ефрона. Простое гармоническое движение

Гармони́ческий осцилля́тор (в классической механике) - система , которая при выведении её из положения равновесия испытывает действие возвращающей силы F , пропорциональной смещению x :

где k - постоянный коэффициент.

Если F - единственная сила, действующая на систему, то систему называют простым или консервативным гармоническим осциллятором . Свободные колебания такой системы представляют собой периодическое движение около положения равновесия (гармонические колебания). Частота и амплитуда при этом постоянны, причём частота не зависит от амплитуды.

Механическими примерами гармонического осциллятора являются математический маятник (с малыми углами отклонения), , торсионный маятник и акустические системы. Среди немеханических аналогов гармонического осциллятора можно выделить электрический гармонический осциллятор (см. LC-цепь).

Свободные колебания консервативного гармонического осциллятора

Уравнение и его решения

Пусть x - смещение материальной точки относительно её положения равновесия, а F - действующая на точку возвращающая сила любой природы вида

F = − k x {\displaystyle F=-kx} ,

где k = const. Тогда, используя второй закон Ньютона , можно записать ускорение как

a = − k m x {\displaystyle a=-{\frac {k}{m}}x} .

Обозначая ω 0 2 = k / m {\displaystyle {\omega _{0}}^{2}=k/m} и заменяя a на вторую производную от координаты по времени x ¨ {\displaystyle {\ddot {x}}} , имеем

x ¨ + ω 0 2 x = 0 {\displaystyle {\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0} .

Это дифференциальное уравнение описывает поведение консервативного гармонического осциллятора. Величину ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} называют циклической частотой . (Имеется в виду круговая частота, измеряющаяся в радианах за секунду. Чтобы перевести её в частоту, выражающуюся в герцах , надо разделить на 2 π {\displaystyle 2\pi } .)

Будем искать решение этого уравнения в виде

x (t) = A sin ⁡ (ω t + φ) {\displaystyle x(t)=A\sin \left(\omega t+\varphi \right)} .

Здесь A - амплитуда, ω - частота колебаний, φ - начальная фаза .

Подставляем в дифференциальное уравнение и получаем:

x ¨ (t) = − A ω 2 sin ⁡ (ω t + φ) {\displaystyle {\ddot {x}}(t)=-A\omega ^{2}\sin(\omega t+\varphi)} , − A ω 2 sin ⁡ (ω t + φ) + ω 0 2 A sin ⁡ (ω t + φ) = 0 {\displaystyle -A\omega ^{2}\sin(\omega t+\varphi)+\omega _{0}^{2}A\sin(\omega t+\varphi)=0} .

Амплитуда сокращается. Значит, она может иметь любое значение (в том числе и нулевое - это означает, что материальная точка покоится в положении равновесия). На синус также можно сократить, так как равенство должно выполняться в любой момент времени t . Таким образом, остаётся условие для частоты колебаний:

− ω 2 + ω 0 2 = 0 , {\displaystyle -\omega ^{2}+\omega _{0}^{2}=0,} ω = ± ω 0 . {\displaystyle \omega =\pm \omega _{0}.}

Простое гармоническое движение является основой некоторых способов анализа более сложных видов движения. Одним из таких способов является способ, основанный на преобразовании Фурье , суть которого сводится к разложению более сложного вида движения в ряд простых гармонических движений.

Примеры осцилляторов

Любая система, в которой происходит простое гармоническое движение, обладает двумя ключевыми свойствами:

когда система выведена из состояния равновесия, должна существовать возвращающая сила, стремящаяся вернуть систему в равновесие;
возвращающая сила должна в точности или приближённо быть пропорциональна перемещению.

Ниже представлено несколько примеров.

Горизонтальная система груз-пружина

Типичным примером системы, в которой происходит простое гармоническое движение, является идеализированная система груз-пружина, в которой груз присоединён к пружине и находится на горизонтальной поверхности. Если пружина не сжата и не растянута, то на груз не действует никаких переменных сил и он находится в состоянии механического равновесия. Однако, если груз вывести из положения равновесия, пружина деформируется и с её стороны будет действовать сила, стремящаяся вернуть груз в положение равновесия. В случае системы груз-пружина такой силой является сила упругости пружины, которая подчиняется закону Гука :

F = − k x {\displaystyle F=-kx} ,

где k имеет вполне конкретный смысл - это коэффициент жёсткости пружины.

Однажды смещённый груз подвергается действию возвращающей силы, ускоряющей его и стремящейся вернуть в начальную точку, то есть в положение равновесия. По мере того, как груз приближается к положению равновесия, возвращающая сила уменьшается и стремится к нулю. Однако в положении x = 0 груз обладает некоторым количеством движения (импульсом), приобретённым благодаря действию возвращающей силы. Поэтому груз проскакивает положение равновесия, начиная снова деформировать пружину (но уже в противоположном направлении). Возвращающая сила будет стремиться замедлить его, пока скорость не станет равной нулю; и сила вновь будет стремиться вернуть груз в положение равновесия.

Если нет потерь энергии, груз будет колебаться как описано выше; такое движение является периодическим.

Вертикальная система груз-пружина

В случае вертикально подвешенного на пружине груза, наряду с силой упругости, действует сила тяжести, то есть суммарно сила составит

F = − k x − m g {\displaystyle F=-kx-mg} .

Если сделать замену переменной, чтобы оперировать не величиной x {\displaystyle x} , а величиной X = x + m g / k {\displaystyle X=x+mg/k} , то уравнение движения примет вид, идентичный случаю горизонтальной геометрии, только для переменной X {\displaystyle X} .

Колебания будут происходить с той же частотой ω 0 = k / m {\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {k/m}}} . Однако, если в горизонтальном случае равновесию отвечало состояние недеформированной пружины, то в вертикальном варианте пружина в равновесии будет растянута. Зависимости частоты от величины ускорения свободного падения g {\displaystyle g} при этом нет; g {\displaystyle g} влияет лишь на сдвиг положения равновесия m g / k {\displaystyle mg/k} .

Измерения частоты (или периода) колебаний груза на пружине используются в устройствах для определения массы тела - так называемых массметрах , применяемых на космических станциях, когда весы не могут функционировать из-за невесомости.

Универсальное движение по окружности

Простое гармоническое движение в некоторых случаях можно рассматривать как одномерную проекцию универсального движения по окружности.

Если объект движется с постоянной угловой скоростью ω по окружности радиуса r , центром которой является начало координат плоскости x − y , то такое движение вдоль каждой из координатных осей является простым гармоническим с амплитудой r и круговой частотой ω .

Груз как простой маятник

В приближении малых углов движение простого маятника является близким к простому гармоническому. Период колебаний такого маятника, прикреплённого к стержню длиной ℓ , даётся формулой

T = 2 π ℓ g . {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}.}

где g - ускорение свободного падения. Это показывает, что период колебаний не зависит от амплитуды и массы маятника, но зависит от g , поэтому, при той же самой длине маятника, на Луне он будет качаться медленнее, так как там слабее гравитация и меньше значение ускорения свободного падения.

Указанное приближение является корректным только при небольших углах отклонения, поскольку выражение для углового ускорения пропорционально синусу координаты:

ℓ m g sin ⁡ θ = I α , {\displaystyle \ell mg\sin \theta =I\alpha ,}

где I - момент инерции ; в данном случае I = m ℓ 2 . Небольшие углы реализуются в условиях, когда амплитуда колебаний значительно меньше длины стержня.

ℓ m g θ = I α , {\displaystyle \ell mg\theta =I\alpha ,}

что делает угловое ускорение прямо пропорциональным углу θ , а это удовлетворяет определению простого гармонического движения.

Свободные колебания гармонического осциллятора с затуханием

Уравнение и его решения

При рассмотрении осциллятора с затуханием за основу берётся модель консервативного осциллятора, в которую добавляется сила вязкого трения. Сила вязкого трения направлена против скорости движения груза относительно среды и прямо пропорциональна этой скорости. Тогда полная сила, действующая на груз, записывается так:

F = − k x − α v . {\displaystyle F=-kx-\alpha v.}

Используя второй закон Ньютона, получаем дифференциальное уравнение, описывающее затухающий осциллятор:

x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = 0. {\displaystyle {\ddot {x}}+2\gamma {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0.}

Здесь введено обозначение: 2 γ = α / m {\displaystyle 2\gamma =\alpha /m} . Коэффициент γ {\displaystyle \gamma } носит название постоянной затухания. Он тоже имеет размерность частоты.

Решение распадается на три случая.

x (t) = A e − γ t s i n (ω f t + φ) , {\displaystyle x(t)=Ae^{-\gamma t}sin(\omega _{f}t+\varphi),}

где ω f = ω 0 2 − γ 2 {\displaystyle \omega _{f}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}} - частота свободных колебаний.

x (t) = (A + B t) e − γ t . {\displaystyle \ x(t)=(A+Bt)e^{-\gamma t}.} x (t) = A e − β 1 t + B e − β 2 t , {\displaystyle x(t)=Ae^{-\beta _{1}t}+Be^{-\beta _{2}t},}

где β 1 , 2 = γ ± γ 2 − ω 0 2 . {\displaystyle \beta _{1,2}=\gamma \pm {\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}}.}

Транскрипт

1 И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru Гармоническое движение Перед решением задач листка следует повторить статью «Механические колебания», в которой изложена вся необходимая теория. При гармоническом движении координата тела меняется по закону синуса или косинуса. Например, если x = A sin ωt, то проекция скорости а проекция ускорения v x = ẋ = Aω cos ωt, a x = v x = ẍ = Aω sin ωt. Задача 1. («Покори Воробьёвы горы!», 014,) Два тела массами M и соединены пружиной, как показано на рисунке. Тело совершает гармонические колебания по вертикали с частотой ω и амплитудой A. Пружина невесома. Найдите отношение наибольшей F 1 и наименьшей F сил давления системы на плоскость стола. Ускорение свободного падения равно g. F1 = (M+)g+Aω F (M+)g Aω при (M +)g > Aω Задача. (Всеросс., 006, финал, 9) Брусок массой M, покоящийся на горизонтальном столе, и пружинный маятник, состоящий из груза массой и лёгкой длинной пружины, связаны лёгкой нерастяжимой нитью, перекинутой через идеальный неподвижный блок (см. рисунок). Коэффициент трения между основанием бруска и поверхностью стола µ = 0,3. Отношение массы бруска к массе груза M/ = 8. Груз совершает вертикальные колебания с периодом T = 0,5 c. Какова максимально возможная амплитуда A таких колебаний, при которых они остаются гармоническими? A () µm 1 gt 4pi = 8,8 см, A gt 4π = 6,3 см; таким образом, A = 6,3 см Задача 3. Маятник совершает гармонические колебания. В течение какой доли периода колебаний маятник удалён от положения равновесия не более чем на половину амплитуды? 1/3 Задача 4. (МФТИ, 006) Висящий на упругой пружине шар совершает колебания с периодом T и амплитудой A вдоль вертикали. Масса шара намного больше массы пружины. 1) Найдите максимальную скорость (по модулю) шара v.) Найдите ускорение (по модулю) шара в те моменты времени, когда его скорость (по модулю) равна v /3. 1) v = πa T ;) a = 8 π A 3T 1

2 Задача 5. (МФТИ, 1996) Чашка с гирями пружинных весов покоится. На чашку поставили ещё одну гирю массой. Найти амплитуду колебаний чашки. Жёсткость пружины. A = g Задача 6. (МФТИ, 1996) Пружина жёсткостью прикреплена к потолку и бруску массой (см. рисунок). Брусок лежит на подставке так, что ось пружины вертикальна и пружина сжата на величину L. Подставку быстро убирают. Найти амплитуду колебаний бруска. A = L + g Задача 7. (МФТИ, 1996) На пружине жёсткостью висят два груза, связанные нитью (см. рисунок). После пережигания нити верхний груз стал колебаться с амплитудой A. Найти массу нижнего груза. = A g Задача 8. (МФТИ, 1996) Груз массой привязан нитью, перекинутой через блок, к другому грузу, который удерживается на гладком горизонтальном столе пружиной, прикреплённой к стене (см. рисунок). Нить пережигают, и груз на столе начинает колебаться с амплитудой A. Найти жёсткость пружины. = g A Задача 9. (МФТИ, 199) Два груза общей массой = 1 кг, соединённые упругой пружиной жёсткостью = 100 Н/м, висят на нити (см. рисунок). Найти все возможные расстояния, на которые следует оттянуть вертикально вниз и затем отпустить нижний груз, чтобы при последующих его колебаниях верхний груз оставался неподвижным. A g 10 см Задача 10. (МФТИ, 199) Два груза общей массой = 1 кг, связанные нитью, висят на упругой пружине жёсткостью = 100 Н/м (см. рисунок). Найти все возможные расстояния, на которые следует оттянуть вертикально вниз грузы и затем отпустить их, чтобы при последующих колебаниях грузов нить не провисала. A g 10 см Задача 11. (МФТИ, 199) Доска с лежащим на ней бруском находится на гладкой горизонтальной поверхности стола (см. рисунок). Брусок в пять раз тяжелее доски. Система совершает колебания с амплитудой A = 8 см и периодом T = 0,8 с по поверхности стола под действием пружины, прикреплённой к бруску. Доска и брусок при колебаниях неподвижны относительно друг друга. При каких значениях коэффициента трения между доской и бруском такие колебания возможны? µ 4π A gt M 0,1

3 Задача 1. (МФТИ, 199) Доска с лежащим на ней бруском находится на гладкой горизонтальной поверхности стола (см. рисунок). Система совершает колебания под действием упругой пружины вдоль прямой с периодом T = 1 и максимальным значением скорости v = 0,5 м/с. При этом доска и брусок неподвижны относительно друг друга. При каких значениях коэффициента трения скольжения между доской и бруском такие колебания возможны? µ π T v g 0,3 Задача 13. (МФТИ, 005) На гладкой наклонной плоскости с углом наклона к горизонту α колеблются с амплитудой A как одно целое вдоль прямой шайба массой и брусок массой 3 под действием пружины жёсткостью, прикреплённой к бруску (см. рисунок). При каком минимальном коэффициенте трения скольжения между шайбой и бруском такие колебания возможны? 3 α µin = tg α + A 4g cos α Задача 14. (МФТИ, 005) Доска массой и брусок массой 8 колеблются вдоль прямой как одно целое на гладкой наклонной поверхности с углом наклона к горизонту α под действием пружины жёсткостью, прикреплённой к бруску (см. рисунок). Коэффициент трения скольжения между бруском и доской равен µ. При какой максимальной амплитуде колебаний такие колебания возможны? 8 α Aax = 9g (8µ cos α sin α) Задача 15. (МФТИ, 007) Брусок массой колеблется с амплитудой A 0 вдоль прямой на гладкой горизонтальной поверхности стола под действием упругой пружины. В тот момент, когда смещение бруска от положения равновесия было A 0 /3, на него упал и прилип кусок пластилина массой, двигавшийся перед ударом вертикально. Время соударения значительно меньше периода колебаний, и при соударении брусок не отрывается от стола. 1) Как и во сколько раз изменился период колебаний?) Найдите амплитуду колебаний бруска после прилипания пластилина. 1) T T0 = 3 ;) A = 17 7 A 0 Задача 16. (МФТИ, 003) Груз уравновешен на чашке пружинных весов, при этом в сжатой пружине запасена потенциальная энергия деформации U 0. На чашку весов поставили дополнительную гирю так, что масса нового груза стала в три раза больше первоначальной. 1) Во сколько раз величина максимального ускорения a ax во время возникших колебаний отличается от ускорения свободного падения g?) С каким по величине ускорением движется груз в момент, когда его кинетрическая энергия T = 3U 0? Затуханием колебаний пренебречь. 1) aax = g 3 ;) a = 1 3 g 3

4 Задача 17. (МФТИ, 003) Шарик висит на пружине в поле тяжести g. В положении равновесия в пружине запасена энергия, равная U 0. Шарик оттягивают вниз так, что в пружине запасается энергия U 1 = 9U 0 /4, а затем отпускают. 1) Чему равна величина максимального ускорения a ax, с которым движется шарик во время возникших вертикальных колебаний?) Чему равна кинетическая энергия T движения шарика в момент, когда его ускорение a = a ax /? Затуханием колебаний пренебречь. 1) aax = g ;) T = 3 16 U 0 Задача 18. (МФТИ, 000) Шары насажены на прямолинейную горизонтальную спицу и могут скользить по ней без трения (см. рисунок). К шару массой прикреплена лёгкая пружина жёсткостью, и он покоится. Шар массой движется со скоростью v. Радиусы шаров много меньше длины пружины. 1) Определить скорость шара массой после отрыва от пружины.) Определить время контакта шара массой с пружиной. v 1) v1 = v 3 ;) t = T = π 3 Задача 19. (МФТИ, 000) По гладкой горизонтальной поверхности стола движутся с постоянной скоростью v два бруска массами v 3 и 3, связанные нитью. Между брусками находится пружина жёсткостью, сжатая на величину x 0 (см. рисунок). Пружина прикреплена только к бруску массой. Размеры брусков малы по сравнению с длиной нити, массой пружины пренебречь, скорость брусков направлена вдоль нити. Во время движения нить обрывается, и бруски разъезжаются вдоль начального направления нити. 1) Найти скорость бруска массой 3 после его отделения от пружины.) Найти время соприкосновения пружины с бруском массой 3, считая от момента разрыва нити. 1) v = v + x 0 3 ;) t = π 4 3 Задача 0. (МФТИ, 1999) Небольшой брусок массой лежит на гладком столе внутри жёсткой рамы. Длина рамы равна L, масса. Брусок с помощью лёгкого стержня и пружины жёсткостью соединён с неподвижной опорой (см. рисунок). Брусок отводят к противоположной стороне рамы и отпускают. В результате упругих столкновений брусок и рама совершают периодические движения. 1) Найти скорость рамы сразу после первого столкновения с бруском.) Найти период колебаний бруска. 1) v = L ;) T = (π + 1) 4

5 Задача 1. (МФТИ, 1999) Небольшой брусок массой лежит на гладком столе внутри жёсткой рамы длиной L и массой. Брусок с помощью лёгкого стержня и пружины жёсткостью соединён с неподвижной опорой 1 (см. рисунок). Рама пружиной жёсткостью соединена с неподвижной опорой. В начальном положении брусок касался левой стороны рамы, а пружины не были деформированы. Раму отводят налево, до соприкосновения бруска с правой стенкой рамы, и отпускают. В результате упругих столкновений брусок и рама совершают периодические движения. 1) Найти скорость бруска сразу после первого столкновения с рамой.) Найти период колебаний рамы. 1) v = L ;) T = π Задача. (МФТИ, 1997) Маленький шарик массой с положительным зарядом q висит на длинной нерастяжимой нити вблизи большой непроводящей пластины П (см. рисунок). Определить период малых колебаний шарика, когда на пластине находится отрицательный заряд с поверхностной плотностью σ, если известно, что в отсутствие этого заряда период колебаний шарика равен T 0. Ускорение свободного падения считать заданным и равным g. T = T0 1+ σg ε 0 g Задача 3. (МФТИ, 1997) Тонкостенный цилиндр с гладкой внутренней поверхностью неподвижно лежит на горионтально расположенной непроводящей пластине П (см. рисунок). Размеры пластины (в горизонтальной плоскости) много больше размеров цилиндра. Известно, что отношение периода колебаний маленького отрицательно заряженного шарика внутри цилиндра при некоторой положительной плотности поверхностных зарядов σ x пластины к периоду колебаний при σ = 0 равно T x /T 0 = α. определить σ x, считая заданными отношение α, заряд шарика q, его массу и ускорение свободного падения g. σx = ε 0(1 α)g α q Задача 4. («Покори Воробьёвы горы!», 015,) Вертикальное колено изогнутой под прямым углом гладкой трубки постоянного сечения заполнено жидкостью, которую можно считать практически идеальной. Высота этого колена равна L (и она заметно больше поперечного размера трубки), а переливание её в горизонтальное колено не допускается благодаря удерживаемой неподвижно лёгкой пробке. В некоторый момент пробку аккуратно отпускают. За какое время после этого пробка вылетит из трубки? Длина горизонтального колена равна 3L/, поверхностное натяжение не учитывать. t = π+1 L g 5

6 Задача 5. («Покори Воробьёвы горы!», 014,) В системе, изображённой на рисунке, массы грузов равны 1 и, жёсткость пружины, блоки, нить и пружина невесомые, блоки вращаются без трения, нить по блокам не скользит. В положении равновесия пружина растянута. Груз 1 смещают из положения равновесия вниз на расстояние s, после чего грузы совершают гармонические колебания. Найдите максимальные скорости колеблющихся грузов. v1 = s, v = v1/ при условии s < (4 1+)g (иначе провисает нить) 41+ Задача 6. (МФО, 011, 11) Поезд, подходящий к станции, движется равнозамедленно с ускорением a = 0, м/с вплоть до момента остановки. На абсолютно гладком горизонтальном столе внутри вагона поезда находится грузик, соединённый пружиной с неподвижной опорой (см. рисунок). Пока поезд движется, грузик неподвижен относительно вагона. В момент, когда поезд останавливается, грузик приходит в движение и начинает колебаться с периодом T = 1 c. Найдите амплитуду колебаний грузика. A = at 4π 5 мм Задача 7. (МФО, 014, 11) Тележка высотой H = 30 см и длиной L = 40 см должна проехать под столом по горизонтальному полу, двигаясь равномерно и прямолинейно. К крышке стола снизу прикрепили лёгкую пружину жёсткостью = 50 Н/м. К пружине прицепили маленький груз массой = 0,4 кг. При недеформированной пружине груз находился на высоте h = 4 см над полом. Затем груз отпустили. С какой минимальной скоростью может двигаться тележка, чтобы она, проехав под столом, не задела груз? vin = (L / π arccos h H x) 0 = 3ωL 4π x 0 1,07 м/с Задача 8. (Всеросс., 014, регион, 11) Вблизи края гладкой горизонтальной полуплоскости лежат два одинаковых груза, соединённые лёгкой нерастянутой пружиной, длина которой равна l 0, а жёсткость. К грузу, ближайшему к краю плоскости, с помощью нерастяжимой нити, перекинутой через лёгкий блок, прикреплён ещё один такой же груз массой (см. рисунок). Его удерживают так, что участок нити, идущий от блока к этому грузу, вертикален. Нижний груз отпускают. Через какое минимальное время τ удлинение l пружины станет максимальным? Найдите это удлинение. τ = π 3 g, lax = 3 6

7 Задача 9. (МФО, 016, 11) На рисунке изображена механическая система, в которой через невесомый блок с прикреплённой к потолку горизонтальной осью перекинута невесомая нерастяжимая нить. К концам нити прикреплены небольшие грузы массами и. Груз лежит на горизонтальной опоре. Груз висит. К грузу через невесомую идеальную пружину с жёсткостью, расположенную вертикально и имеющую небольшую длину L 0, прикреплён второй такой же груз. В начальный момент пружина не деформирована, и второй груз лежит на той же опоре, что и груз. Расстояние от верхнего груза до блока равно l 0. Свободные участки нити, не лежащие на шкиве блока, вертикальны. В момент времени t = 0 опора исчезает (её быстро убирают вниз). Через время τ после этого один из грузов коснулся блока. Какой это груз? При каком значении l 0 время τ максимально? Чему равно это максимальное значение τ? Груз; τax = π 3 4 при l 0 = g 7

И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru Упругие взаимодействия При упругом взаимодействии тел в частности, при упругом ударе не происходит изменений в их внутреннем состоянии; внутренняя энергия тел

И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru Кинематические связи в динамике В некоторых задачах динамики наряду с законами Ньютона требуются нетривиальные дополнительные соотношения между ускорениями тел

И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru Упругие взаимодействия При упругом взаимодействии тел (в частности, при упругом ударе) не происходит изменений в их внутреннем состоянии; внутренняя энергия

И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru Уравнение гармонических колебаний Уравнение колебаний. 2 ẍ + ω 2 x = 0 можно получить, дифференцируя по времени закон сохранения энергии. Покажем это на простейшем

Две лодки вместе с грузом имеют массу M и M. Лодки идут навстречу параллельными курсами. Когда лодки находятся друг против друга, с каждой лодки во встречную одновременно перебрасывают по одному мешку

И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru Связанные тела Задача 1. Два тела массами m и 2m связаны лёгкой нерастяжимой нитью и лежат на гладкой горизонтальной поверхности (тело массой m расположено левее).

И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru Неупругие взаимодействия Примерами неупругих взаимодействий служат пробивание пулей бруска или абсолютно неупругий удар (после которого тела двигаются как единое

Дистанционная подготовка bituru ФИЗИКА Статья 8 Механические колебательные системы Теоретический материал В этой статье мы рассмотрим методы решения задач на колебательное движение тел Колебательным движением

С1.1. Два одинаковых бруска, связанные легкой пружиной, покоятся на гладкой горизонтальной поверхности стола. В момент t = 0 правый брусок начинают двигать так, что за время х он набирает конечную скорость

И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru Сила упругости Задача 1. (МОШ, 2018, 10) На пружине жёсткостью k = 100 Н/м, прикреплённой к потолку, покоится тело массой m = 2 кг (см. рис.). На него начинает

1.2.1. Инерциальные системы отсчета. Первый закон Ньютона. Принцип относительности Галилея 28(С1).1. Пассажир автобуса на остановке привязал к ручке сиденья за нитку легкий воздушный шарик, заполненный

1 Кинематика 1 Материальная точка движется вдоль оси x так, что времени координата точки x(0) B Найдите x (t) V x At В начальный момент Материальная точка движется вдоль оси x так, что ax A x В начальный

И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru Неконсервативные системы В неконсервативной системе механическая энергия E = K +W не сохраняется. Если, например, на тела системы действуют силы трения, то справедлив

216 год Класс 9 Билет 9-1 1 Два груза массами m и, находящиеся на гладком горизонтальном столе, связаны нитью и соединены с грузом массой 3m другой нитью, перекинутой через невесомый блок (см рис) Трением

Задачи для расчетного задания (ЭнМИ) по механике 2013/14 гг 1. Кинематика 1. С высоты 10 м вертикально вверх брошен камень с начальной скоростью 8 м/с. Составьте уравнение движения в трех вариантах, поместив

7.. Тонкий однородный стержень массы m и длины L может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси О, проходящей через верхний конец стержня. К нижнему концу стержня прикреплен конец горизонтальной

Группа 12-ЭУН Вариант 1. 5.49. 1. Тело массой 313 кг движется при торможении равнозамедленно. Его скорость в течение 42 секунд уменьшается от 17 м/с до 2 м/с. Найти силу торможения. 2. Автомобиль с выключенным

Занятие 7 Законы сохранения Задача 1 На рисунке изображены графики изменения скоростей двух взаимодействующих тележек разной массы (одна тележка догоняет и толкает другую). Какую информацию о тележках

2. ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 134. На тело действует постоянная сила F = 10-2 Н. Тело движется с ускорением а = 0, 5 м/с 2. Найти массу тела. 135. Тело, масса которого = 250 г, движется с ускоре

ДЗ2015(2)2.2(5) 1. На шероховатой поверхности лежит груз, прикрепленный к стенке пружиной. Пружина не деформирована. Если оттянуть груз на расстояние L и отпустить, то он остановится в первоначальном положении,

Отложенные задания (88) Мяч, брошенный вертикально вверх со скоростью υ, через некоторое время упал на поверхность Земли. Какой график соответствует зависимости проекции скорости на ось ОХ от времени движения?

Стр. 1 из 9 11.04.2016 21:29 Массивная доска шарнирно подвешена к потолку на лёгком стержне. На доску со скоростью 10 м/с налетает пластилиновый шарик массой 0,2 кг и прилипает к ней. Скорость шарика перед

Второй заключительный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по общеобразовательному предмету «Физика» Весна, 6 г Вариант 5 З А Д А Ч А Тело, движущееся равноускоренно с

Билет N 5 Билет N 4 Вопрос N 1 Два бруска с массами m 1 = 10,0 кг и m 2 = 8,0 кг, связанные легкой нерастяжимой нитью, скользят по наклонной плоскости с углом наклона = 30. Определите ускорение системы.

16 год Класс 1 Билет 1-1 1. Два груза массами и 5, находящиеся на гладком горизонтальном столе, связаны нитью и соединены с грузом массой другой нитью, перекинутой через невесомый блок (см. рис.). Трением

«КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ 1. Вариант 1. 1. На какую часть длины нужно уменьшить длину математического маятника, чтобы период его колебаний на высоте 10 км был бы равен периоду его колебаний

Второй заключительный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по общеобразовательному предмету «Физика» Весна, 6 г Вариант 3 З А Д А Ч А Тело, движущееся равноускоренно с

Тематическая диагностическая работа по подготовке к ЕГЭ по ФИЗИКЕ по теме «Механика» 18 декабря 2014 года 10 класс Вариант ФИ00103 (90 минут) Район. Город (населённый пункт). Школа Класс Фамилия. Имя.

Задачник школьника izprtalru 6 Динамика прямолинейного движения Основное уравнение динамики материальной точки (второй закон Ньютона) для тела постоянной массы в инерциальных системах отсчета имеет вид

Второй (заключительный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по общеобразовательному предмету «Физика» Весна, 6 г Вариант З А Д А Ч А Тело, движущееся равноускоренно с

Известен закон изменения радиус-вектора r частицы: r (t) b t. Здесь t время, положительная постоянная, b вектор, постоянный по величине и направлению. Найти путь s, который был пройден частицей с момента

1. Мяч, брошенный вертикально вверх со скоростью υ, через некоторое время упал на поверхность Земли. Какой график соответствует зависимости проекции скорости на ось ОХ от времени движения? Ось ОХ направлена

Физика. 9 класс. Тренинг «Инерция. Законы Ньютона. Силы в механике» 1 Инерция. Законы Ньютона. Силы в механике Вариант 1 1 Металлический брусок подвешен к пружине и целиком погружён в сосуд с водой, находясь

МЕХАНИКА Кириллов А.М., учитель гимназии 44 г. Сочи (http://kirillandrey72.narod.ru/) Данная подборка тестов сделана на основе учебного пособия «Веретельник В.И., Сивов Ю.А., Толмачева Н.Д., Хоружий В.Д.

Билет N 5 Билет N 4 Вопрос N 1 На тело массой m 2,0 кг начинает действовать горизонтальная сила, модуль которой линейно зависит от времени: F t, где 0.7 Н/с. Коэффициент трения k 0,1. Определить момент

Решение задач «Механические колебания При гармонических колебаниях пружинного маятника координата груза изменяется с течением времени t, как показано на рисунке. Период Т и амплитуда колебаний А равны

Билет N 5 Билет N 4 Вопрос N 1 Тонкий стержень массы M 0 = 1 кг и длины l = 60 см лежит на гладкой горизонтальной поверхности. Стержень может свободно вращаться вокруг закреплённой вертикатьной оси, проходящей

И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru Энергия зарядов Если точечные заряды 1 и находятся на расстоянии r друг от друга, то потенциальная энергия их взаимодействия равна W = k 1. r Потенциальная энергия

И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru Содержание Сила трения 1 Всероссийская олимпиада школьников по физике................... 1 2 Московская физическая олимпиада........................... 3 3 МФТИ

Задания А22 по физике 1. Если подвесить к легкой упругой пружине некоторый груз, то пружина, находясь в равновесии, окажется растянутой на 10 см. Чему будет равен период свободных колебаний этого груза,

Физика. 11 класс. Тренинг «Силы в природе» 1 Силы в природе Задания для тренировки 1 В сосуд, имеющий форму усечённого конуса (см. рисунок), налита вода массой 1,5 кг. Площадь дна сосуда равна 100 см 2,

Варианты домашнего задания ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ Вариант 1. 1. На рисунке а приведен график колебательного движения. Уравнение колебаний x = Asin(ωt + α o). Определить начальную фазу. x О t

И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru Наклонная плоскость Задача 1. На гладкую наклонную плоскость с углом наклона положили брусок массой и отпустили. Найдите ускорение бруска и силу давления бруска

С1.1. После толчка льдинка закатилась в яму с гладкими стенками, в которой она может двигаться практически без трения. На рисунке приведен график зависимости энергии взаимодействия льдинки с Землей от

Задания для самостоятельной работы студентов Модуль 6 «Механические колебания»... 3 Тема 1. Кинематика гармонических колебаний... 3 Тема 2. Сложение колебаний... 8 Тема 3. Динамика гармонических колебаний...

И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru Вращение твёрдого тела Задача 1. (МФТИ, 2003) В результате удара шар получил скорость v 0 вдоль горизонтальной поверхности стола и вращение вокруг своего горизонтального

Контрольные задания на тему «ДИНАМИКА» 1(А) Парашютист массой 65 кг спускается с раскрытым парашютом. Чему равна сила сопротивления воздуха F c в случае установившейся скорости парашютиста? Какова равнодействующая

ДЗ 3.3(01) 1.Точка совершает гармонические колебания вдоль прямой между положениями А и В. Зная, что ее максимальная скорость равна V m =10 м/с, найдите ее среднюю скорость на пути от А к В. 2.При фазе

Дистанционная подготовка Abituru ФИЗИКА Статья Законы Ньютона Теоретический материал В этой статье мы рассмотрим задачи на применение законов Ньютона Первый закон Ньютона (закон инерции) утверждает о том,

Билет N 10 Билет N 9 Вопрос N 1 Гироскоп прецессирует вокруг нижней точки опоры. Момент инерции гироскопа равен I = 0,2 кг м 2, угловая скорость вращения 0 = 1000 с -1, масса m = 20 кг, центр масс находится

ЗАДАЧИ К ИНДИВИДУАЛЬНОМУ ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ 3 1. Однородный диск радиусом 40 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса, совпадающую с одной из образующих поверхности диска.

Примеры решения задач Пример 1 Через вращающийся вокруг горизонтальной оси блок (рис1а) перекинута невесомая нерастяжимая нить к концам которой привязаны грузы 1 и Найдите силу давления X N F блока на

6.1. Однородный цилиндр массы M и радиуса R может вращаться без трения вокруг горизонтальной оси. На цилиндр намотана нить, к концу которой прикреплен груз массы m. Найти зависимость кинетической энергии

И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru Олимпиада «Физтех» по физике 11 класс, онлайн-этап, 2013/14 год 1. Камень, брошенный с крыши сарая почти вертикально вверх со скоростью 15 м/с, упал на землю

И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru Консервативные системы Система тел называется консервативной, если для неё выполняется закон сохранения механической энергии: K +W = const, где K кинетическая

10 класс. 1 тур 1. Задача 1 Если брусок массой 0,5 кг прижать к шершавой вертикальной стене силой 15 Н, направленной горизонтально, то он будет скользить вниз равномерно. С каким по модулю ускорением будет

1.2.1. Инерциальные системы отсчета. Первый закон Ньютона. Принцип относительности Галилея 27.1. Пассажир автобуса на остановке привязал к ручке сиденья за нитку легкий воздушный шарик, заполненный гелием.

Рычаги Статика 1. На неравноплечих весах уравновешены два стакана. Расстояние между центрами стаканов равно l. Из одного стакана взяли массу воды m и перелили во второй. Если при этом опору весов передвинуть

Задание #1 Тест по теме "Механические колебания" Координата колеблющегося тела изменяется по закону X=5ˑcos(/2)t (м). Чему равна частота колебаний? Все величины выражены в единицах СИ. 1) 2 Гц. 2) 1/2

Занятие 3. Основные принципы динамики. Силы: тяжести, реакции, упругости Вариант 3... На тело массой 0 кг действуют несколько сил, равнодействующая которых постоянна и равна 5 Н. Относительно инерциальной

1 вариант A1. Система состоит из двух тел а и b. На рисунке стрелками в заданном масштабе указаны импульсы этих тел. 1) 2,0 кг м/с 2) 3,6 кг м/с 3) 7,2 кг м/с 4) 10,0 кг м/с А2. Человек массой m прыгает

1 Импульс. Закон сохранения импульса 1.По какой формуле можно рассчитать импульс тела? 1) p m) p ma 3) p m 4) p Ft. Чему равно изменение импульса тела? 1) изменению скорости тела) импульсу силы, действующей

Динамика 008.Сила, возникающая между приводным ремнем и шкивом при его движении, является силой А) натяжения. В) трения скольжения. С) трения качения. D) упругости. Е) трения покоя.. Равнодействующая трех

Расчетно-графические работы по механике Задача 1. 1 Зависимость ускорения от времени при некотором движении тела представлена на рис. Определите среднюю путевую скорость за первые 8 с. Начальная скорость

Вариант 1 1. Какую работу А нужно совершить, чтобы растянуть на x=1 мм стальной стержень длиной l=1 м и площадью S поперечного сечения, равной 1 см 2? 2. Две пружины с жестокостями k 1 =0,3 кн/м и k 2

Законы сохранения Импульс тела (материальной точки) - физическая векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость. p = m υ [p] = кг м/с p υ Импульс силы векторная физическая величина,

План:

1 Свободные колебания
- 1.1 Консервативный гармонический осциллятор
  - 1.1.1
    - 1.1.1.1 Динамика простого гармонического движения
    - 1.1.1.2 Энергия простого гармонического движения
    - 1.1.1.3 Примеры
      - 1.1.1.3.1 Груз на пружине
      - 1.1.1.3.2 Универсальное движение по окружности
      - 1.1.1.3.3 Груз как простой маятник
- 1.2 Затухающий гармонический осциллятор
2 Вынужденные колебания

Введение

Гармонический осциллятор (в классической механике) - это система, которая при смещении из положения равновесия испытывает действие возвращающей силы , пропорциональной смещению (согласно закону Гука):

где k - положительная константа, описывающая жёсткость системы.

Если - единственная сила, действующая на систему, то систему называют простым или консервативным гармоническим осциллятором . Свободные колебания такой системы представляют собой периодическое движение около положения равновесия (гармонические колебания). Частота и амплитуда при этом постоянны, причём частота не зависит от амплитуды.

Если имеется ещё и сила трения (затухание), пропорциональная скорости движения (вязкое трение), то такую систему называют затухающим или диссипативным осциллятором . Если трение не слишком велико, то система совершает почти периодическое движение - синусоидальные колебания с постоянной частотой и экспоненциально убывающей амплитудой. Частота свободных колебаний затухающего осциллятора оказывается несколько ниже, чем у аналогичного осциллятора без трения.

Если осциллятор предоставлен сам себе, то говорят, что он совершает свободные колебания. Если же присутствует внешняя сила (зависящая от времени), то говорят, что осциллятор испытывает вынужденные колебания.

Механическими примерами гармонического осциллятора являются математический маятник (с малыми углами смещения), груз на пружине, торсионный маятник и акустические системы. Среди других аналогов гармонического осциллятора стоит выделить электрический гармонический осциллятор (см. LC-цепь).

1. Свободные колебания

1.1. Консервативный гармонический осциллятор

В качестве модели консервативного гармонического осциллятора возьмём груз массы , закреплённый на пружине жёсткостью .

Пусть - это смещение груза относительно положения равновесия. Тогда, согласно закону Гука, на него будет действовать возвращающая сила:

Используя второй закон Ньютона, запишем

Обозначая и заменяя ускорение на вторую производную от координаты по времени , напишем:

Это дифференциальное уравнение описывает поведение консервативного гармонического осциллятора. Коэффициент ω 0 называют циклической частотой осциллятора. (Здесь имеется в виду круговая частота, измеряющаяся в радианах в секунду. Чтобы перевести её в частоту, выражающуюся в Герцах, надо разделить круговую частоту на 2π )

Будем искать решение этого уравнения в виде:

Здесь - амплитуда, - частота колебаний (пока не обязательно равная собственной частоте), - начальная фаза.

Подставляем в дифференциальное уравнение.

Амплитуда сокращается. Значит, она может иметь любое значение (в том числе и нулевое - это означает, что груз покоится в положении равновесия). На синус также можно сократить, так как равенство должно выполняться в любой момент времени t . И остаётся условие на частоту колебаний:

Отрицательную частоту можно отбросить, так как произвол в выборе этого знака покрывается произволом выбора начальной фазы.

движение по кругу и движение гармоническое

Общее решение уравнения записывается в виде:

где амплитуда A и начальная фаза - произвольные постоянные. Эта запись исчерпывает все решения дифференциального уравнения, так как позволяет удовлетворить любым начальным условиям (начальному положению груза и его начальной скорости).

Итого, консервативный гармонический осциллятор может совершать чисто гармонические колебания с частотой, равной его собственной частоте, с амплитудой любой величины и с произвольной начальной фазой.

Кинетическая энергия записывается в виде

и потенциальная энергия есть

тогда полная энергия имеет постоянное значение

1.1.1. Простое гармоническое движение

Простое гармоническое движение - это движение простого гармонического осциллятора , периодическое движение, которое не является ни вынужденным, ни затухающим. Тело в простом гармоническом движении подвергается воздействию единственной переменной силы, которая по модулю прямо пропорциональна перемещению x , и направлена в обратную сторону.

Это движение является периодическим: тело колеблется около положения равновесия по синусоидальному закону. Каждое последующее колебание такое же как и предыдущее, и период, частота и амплитуда колебаний остаются постоянными. Если принять, что положение равновесия находится в точке с координатой, равной нулю, то перемещение x тела в любой момент времени даётся формулой:

A - это амплитуда колебаний, f - частота, φ - начальная фаза.

Частота движения определяется характерными свойствами системы (например, массой движущегося тела), в то время как амплитуда и начальная фаза определяются начальными условиями - перемещением и скоростью тела в момент начала колебаний. Кинетическая и потенциальная энергии системы также зависят от этих свойств и условий.

Простое гармоническое движение. На этой анимированной картинке по вертикальной оси отложена координата частицы (x в формуле), а по горизонтальной оси отложено время (t ).

Простое гармоническое движение может быть математическими моделями различных видов движения, таких как колебание пружины. Другими случаями, которые могут приближённо рассматриваться как простое гармоническое движение, являются движение маятника и вибрации молекул.

Простое гармоническое движение является основой некоторых способов анализа более сложных видов движения. Одним из таких способов является способ, основанный на преобразовании Фурье, суть которого сводится к разложению более сложного вида движения в ряд простых гармонических движений.

Простое гармоническое движение, показанное одновременно в реальном пространстве и в фазовом пространстве. Здесь ось скорости и ось положения показаны иначе по сравнению с обычным изображением осей координат - это сделано для того, чтобы оба рисунка соответствовали друг другу. Real Space - реальное пространство; Phase Space - фазовое пространство; velocity - скорость; position - положение (позиция).

Типичным примером системы, в которой происходит простое гармоническое движение, является идеализированная система груз-пружина, в которой груз присоединён к пружине. Если пружина не сжата и не растянута, то на груз не действует никаких переменных сил, и груз находится в состоянии механического равновесия. Однако, если груз вывести из положения равновесия, пружина деформируется, и с её стороны на груз будет действовать сила, которая будет стремиться вернуть груз в положение равновесия. В случае системы груз-пружина такой силой является сила упругости пружины, которая подчиняется закону Гука:

F = − k x , F - возвращающая сила, x - перемещение груза (деформация пружины), k - коэффициент жёсткости пружины.

Любая система, в которой происходит простое гармоническое движение, обладает двумя ключевыми свойствами:

Когда система выведена из состояния равновесия, должна существовать возвращающая сила, стремящаяся вернуть систему в равновесие.
Возвращающая сила должна в точности или приближённо быть пропорциональна перемещению.

Система груз-пружина удовлетворяет обоим этим условиям.

Однажды смещённый груз подвергается действию возвращающей силы, ускоряющей его, и стремящейся вернуть в начальную точку, то есть, в положение равновесия. По мере того, как груз приближается к положению равновесия, возвращающая сила уменьшается и стремится к нулю. Однако в положении x = 0 груз обладает некоторым количеством движения (импульсом), приобретённым благодаря действию возвращающей силы. Поэтому груз проскакивает положение равновесия, начиная снова деформировать пружину (но уже в противоположном направлении). Возвращающая сила будет стремиться замедлить его, пока скорость не станет равной нулю; и сила вновь будет стремиться вернуть груз в положение равновесия.

Пока в системе нет потерь энергии, груз будет колебаться как описано выше; такое движение называется периодическим.

Дальнейший анализ покажет, что в случае системы груз-пружина движение является простым гармоническим.

1.1.1.1. Динамика простого гармонического движения

Для колебания в одномерном пространстве, учитывая Второй закон Ньютона (F = m d²x /dt ² ) и закон Гука (F = −kx , как описано выше), имеем линейное дифференциальное уравнение второго порядка:

m - это масса тела, x - его перемещение относительно положения равновесия, k - постоянная (коэффициент жёсткости пружины).

Решение этого дифференциального уравнения является синусоидальным; одно из решений таково:

где A , ω , и φ - это постоянные величины, и положение равновесия принимается за начальное. Каждая из этих постоянных представляет собой важное физическое свойство движения: A - это амплитуда, ω = 2πf - это круговая частота, и φ - начальная фаза.

Положение, скорость и ускорение гармонического осцилятора

Используя приёмы дифференциального исчисления, скорость и ускорение как функция времени могут быть найдены по формулам:

Положение, скорость и ускорение простого гармонического движения на фазовой плоскости

Ускорение может быть также выражено как функция перемещения:

Поскольку ma = −mω ²x = −kx , то

Учитывая, что ω = 2πf , получим

и поскольку T = 1/f , где T - период колебаний, то

Эти формулы показывают, что период и частота не зависят от амплитуды и начальной фазы движения.

1.1.1.2. Энергия простого гармонического движения

Кинетическая энергия K системы в функции времени t такова:

и потенциальная энергия есть

Полная механическая энергия системы, однако, имеет постоянное значение

1.1.1.3. Примеры

Система груз-пружина без затухания, в которой происходит простое гармоническое движение.

Простое гармоническое движение представлено в различных простых физических системах, и ниже приведены некоторые примеры.

1.1.1.3.1. Груз на пружине

Масса m , прикреплённая к пружине с постоянной жёсткостью k является примером простого гармонического движения в пространстве. Формула

показывает, что период колебаний не зависит от амплитуды и ускорения свободного падения.

1.1.1.3.2. Универсальное движение по окружности

Простое гармоническое движение в некоторых случаях можно рассматривать как одномерная проекция универсального движения по окружности. Если объект движется с угловой скоростью ω по окружности радиуса r , центром которой является начало координат плоскости x -y , то такое движение вдоль каждой из координатных осей является простым гармоническим с амплитудой r и круговой частотой ω .

1.1.1.3.3. Груз как простой маятник

Движение маятника, не имеющего затуханий, можно приближённо рассматривать как простое гармоническое движение, если амплитуда колебаний очень мала в сравнении с длиной стержня.

В приближении малых углов движение простого маятника является близким к простому гармоническому. Период колебаний такого маятника, прикреплённого к стержню длиной ℓ с ускорением свободного падения g даётся формулой

Это показывает, что период колебаний не зависит от амплитуды и массы маятника, но зависит от ускорения свободного падения g , поэтому при той же самой длине маятника, на Луне он будет вращаться медленнее, так как там слабее гравитация и меньше значение ускорения свободного падения.

Указанное приближение является корректным только при небольших углах, поскольку выражение для углового ускорения пропорционально синусу координаты:

I - момент инерции; в данном случае I = m ℓ 2 .

1.2. Затухающий гармонический осциллятор

Взяв за основу ту же модель, добавим в неё силу вязкого трения. Сила вязкого трения направлена против скорости движения груза относительно среды и пропорциональна этой скорости. Тогда полная сила, действующая на груз, записывается так:

Проводя аналогичные действия, получаем дифференциальное уравнение, описывающее затухающий осциллятор:

Здесь введено обозначение: . Коэффициент γ носит название постоянной затухания. Он тоже имеет размерность частоты.

Решение же распадается на три случая.

При малом трении (γ < ω 0 ) общее решение записывается в виде:

, где - частота свободных колебаний.

Затухание γ = ω 0 называют критическим . Начиная с такого значения показателя затухания, осциллятор будет совершать так называемое неколебательное движение. В граничном случае движение происходит по закону:

При сильном же трении γ > ω 0 решение выглядит следующим образом:

, где

Критическое затухание примечательно тем, что именно при критическом затухании осциллятор быстрее всего стремится в положение равновесия. Если трение меньше критического, он дойдёт до положения равновесия быстрее, однако «проскочит» его по инерции, и будет совершать колебания. Если трение больше критического, то осциллятор будет экспоненциально стремиться к положению равновесия, но тем медленнее, чем больше трение.

Поэтому в стрелочных индикаторах (например, в амперметрах) обычно стараются ввести именно критическое затухание, чтобы прочитать его показания можно было максимально быстро.

Затухание осциллятора также часто характеризуют безразмерным параметром, называемым добротностью. Добротность обычно обозначают буквой Q . По определению, добротность равна:

Чем больше добротность, тем медленнее затухают колебания осциллятора.

У осциллятора с критическим затуханием добротность равна 0,5. Соответственно, добротность указывает характер поведения осциллятора. Если добротность больше 0,5, то свободное движение осциллятора представляет собой колебания; со временем он пересечёт положение равновесия неограниченное количество раз. Добротность меньше или равная 0,5 соответствует неколебательному движению осциллятора; в свободном движении он пересечёт положение равновесия не более одного раза.

Добротность иногда называют коэффициентом усиления осциллятора, так как при некоторых способах возбуждения при совпадении частоты возбуждения с резонансной амплитуда колебаний оказывается примерно в Q раз больше, чем при возбуждении на низкой частоте.

Также добротность примерно равна количеству колебательных циклов, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз, умноженному на π .

В случае колебательного движения затухание ещё характеризуют такими параметрами, как:

Время жизни колебаний, оно же время затухания , оно же время релаксации . τ - время, за которое амплитуда колебаний уменьшится в e раз.

τ = 1 / γ Это время рассматривается как время, необходимое для затухания (прекращения) колебаний (хотя формально свободные колебания продолжаются бесконечно долго).

2. Вынужденные колебания

Основная статья: Вынужденные колебания

Колебания осциллятора называют вынужденными, когда на него производится некоторое дополнительное воздействие извне. Это воздействие может производиться различными средствами и по различным законам. Например, силовым возбуждением называется воздействие на груз силой, зависящей только от времени по определённому закону. Кинематическим возбуждением называют воздействие на осциллятор движением точки закрепления пружины по заданному закону. Возможно также воздействие трением - это когда, например, среда, с которой груз испытывает трение, совершает движение по заданному закону.

Литература

Бутиков Е. И. Собственные колебания линейного осциллятора. Учебное пособие

Примечания

, Простое отношение , Простое поле , Простое предложение , Простое число .

Косинус в решении уравнения (21.2) наводит на мысль, что гармоническое движение имеет какое-то отношение к движению по окружности. Это сравнение, конечно, искусственное, потому что в линейном движении неоткуда взяться окружности: грузик движется строго вверх и вниз. Можно оправдаться тем, что мы уже решили уравнение гармонического движения, когда изучали механику движения по окружности. Если частица движется по окружности с постоянной скоростью , то радиус-вектор из центра окружности к частице поворачивается на угол, величина которого пропорциональна времени. Обозначим этот угол (фиг. 21.2). Тогда . Известно, что ускорение и направлено к центру. Координаты движущейся точки в заданный момент равны

Что можно сказать об ускорении? Чему равна -составляющая ускорения, ? Найти эту величину можно чисто геометрически: она равна величине ускорения, умноженной на косинус угла проекции; перед полученным выражением надо поставить знак минус, потому что ускорение направлено к центру:

Фиг. 21.2. Частица, движущаяся по кругу с постоянной скоростью.

Таким образом, имеется несколько причин, по которым следует ожидать, что отклонение грузика на пружинке окажется пропорциональным и движение будет выглядеть так, как если бы мы следили за -координатой частицы, движущейся по окружности с угловой скоростью . Проверить это можно, поставив опыт, чтобы показать, что движение грузика вверх-вниз на пружинке в точности соответствует движению точки по окружности. На фиг. 21.3 свет дуговой лампы проектирует на экран тени движущихся рядом воткнутой во вращающийся диск иголки и вертикально колеблющегося груза. Если вовремя и с нужного места заставить грузик колебаться, а потом осторожно подобрать скорость движения диска так, чтобы частоты их движений совпали, тени на экране будут точно следовать одна за другой. Вот еще способ убедиться в том, что, находя численное решение, мы почти вплотную подошли к косинусу.

Фиг. 21.3. Демонстрация эквивалентности простого гармонического движения и равномерного движения по окружности.

Здесь можно подчеркнуть, что поскольку математика равномерного движения по окружности очень сходна с математикой колебательного движения вверх-вниз, то анализ колебательных движений очень упростится, если представить это движение как проекцию движения по окружности. Иначе говоря, мы можем дополнить уравнение (21.2), казалось бы, совершенно лишним уравнением для и рассматривать оба уравнения совместно. Проделав это, мы сведем одномерные колебания к движению по окружности, что избавит нас от решения дифференциального уравнения. Можно сделать еще одни трюк - ввести комплексные числа, но об этом в следующей главе.

Косинус в решении уравнения (21.2) наводит на мысль, что гармоническое движение имеет какое-то отношение к движению по окружности. Это сравнение, конечно, искусственное, потому что в линейном движении неоткуда взяться окружности: грузик движется строго вверх и вниз. Можно оправдаться тем, что мы уже решили уравнение гармонического движения, когда изучали механику движения по окружности. Если частица движется по окружности с постоянной скоростью v, то радиус-вектор из центра окружности к частице поворачивается на угол, величина которого пропорциональна времени. Обозначим этот угол θ=vt/R (фиг. 21.2). Тогда dQθ/dt=ω 0 =v/R. Известно, что ускорение a=v 2 /R = ω 2 0 R и направлено к центру. Координаты движущейся точки в заданный момент равны
x = R cos θ, y = R sin θ.

Что можно сказать об ускорении? Чему равна x-составляющая ускорения, d 2 x/dt 2 ? Найти эту величину можно чисто геометрически: она равна величине ускорения, умноженной на косинус угла проекции; перед полученным выражением надо поставить знак минус, потому что ускорение направлено к центру:

Иными словами, когда частица движется по окружности, горизонтальная составляющая движения имеет ускорение, пропорциональное горизонтальному смещению от центра. Конечно, мы знаем решения для случая движения по окружности: x=R cos ω 0 t. Уравнение (21.7) не содержит радиуса окружности; оно одинаково при движении по любой окружности при одинаковой ω 0 . Таким образом, имеется несколько причин, по которым следует ожидать, что отклонение грузика на пружинке окажется пропорциональным cos ω 0 t и движение будет выглядеть так, как если бы мы следили за x-координатой частицы, движущейся по окружности с угловой скоростью ω 0 . Проверить это можно, поставив опыт, чтобы показать, что движение грузика вверх-вниз на пружинко в точности соответствует движению точки по окружности. На фиг. 21.3 свет дуговой лампы проектирует на экран тени движущихся рядом воткнутой во вращающийся диск иголки и вертикально колеблющегося груза. Если вовремя и с нужного места заставить грузик колебаться, а потом осторожно подобрать скорость движения диска так, чтобы частоты их движений совпали, тени на экране будут точно следовать одна за другой. Вот еще способ убедиться в том, что, находя численное решение, мы почти вплотную подошли к косинусу.

Здесь можно подчеркнуть, что поскольку математика равномерного движения по окружности очень сходна с математикой колебательного движения вверх-вниз, то анализ колебательных движений очень упростится, если представить это движение как проекцию движения по окружности. Иначе говоря, мы можем дополнить уравнение (21.2), казалось бы, совершенно лишним уравнением для у и рассматривать оба уравнения совместно. Проделав это, мы сведем одномерные колебания к движению по окружности, что избавит нас от решения дифференциального уравнения. Можно сделать еще один трюк — ввести комплексные числа, но об этом в следующей главе.