المثلث عبارة عن مضلع بدائي محدد على مستوى بثلاث نقاط وثلاث مقاطع خطية تربط هذه النقاط في أزواج. زوايا المثلث حادة ومنفرجة ومستقيمة. مجموع زوايا المثلث مستمر ويساوي 180 درجة.

سوف تحتاج

• المعرفة الأساسية في الهندسة وعلم المثلثات.

تعليمات

1. دعونا نشير إلى أطوال أضلاع المثلث أ = 2 ، ب = 3 ، ج = 4 ، وزواياه ش ، ت ، ث ، كل منها يقع على الجانب المقابل من جانب واحد. طبقًا لقانون جيب التمام ، فإن مربع طول ضلع في المثلث يساوي مجموع مربعي أطوال الضلعين الآخرين ناقص ضعف حاصل ضرب هذين الضلعين بجيب جيب التمام للزاوية بينهما. أي ، a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc * cos (u). نستبدل أطوال الأضلاع في هذا التعبير ونحصل على: 4 \ u003d 9 + 16-24cos (u).

2. دعونا نعبر عن cos (u) من المساواة التي تم الحصول عليها. نحصل على ما يلي: cos (u) = 7/8. بعد ذلك ، نجد الزاوية الفعلية u. للقيام بذلك ، نحسب arccos (7/8). أي الزاوية u = arccos (7/8).

3. وبالمثل ، بالتعبير عن الأضلاع الأخرى بدلالة الباقي ، نجد الزوايا المتبقية.

ملحوظة!
لا يمكن أن تتجاوز قيمة الزاوية الواحدة 180 درجة. لا يمكن أن تحتوي علامة arccos () على رقم أكبر من 1 وأصغر من -1.

نصائح مفيدة
لاكتشاف جميع الزوايا الثلاث ، ليس من الضروري التعبير عن الجوانب الثلاثة ، يُسمح باكتشاف زاويتين فقط ، ويمكن الحصول على الزاوية الثالثة عن طريق طرح قيم 2 المتبقية من 180 درجة. هذا ناتج عن حقيقة أن مجموع زوايا المثلث كلها متصلة ويساوي 180 درجة.

في الهندسة ، الزاوية هي شكل يتكون من شعاعين ينبثقان من نقطة واحدة (رأس الزاوية). في أغلب الأحيان ، تُقاس الزوايا بالدرجات ، بزاوية كاملة ، أو دورة ، تساوي 360 درجة. يمكنك حساب زاوية المضلع إذا كنت تعرف نوع المضلع وحجم زواياه الأخرى ، أو في حالة المثلث القائم الزاوية ، طول ضلعين من ضلعه.

خطوات

حساب زوايا المضلع

احسب عدد الزوايا في المضلع.

أوجد مجموع كل زوايا المضلع.صيغة إيجاد مجموع كل الزوايا الداخلية للمضلع هي (ن - 2) × 180 ، حيث ن هو عدد أضلاع وزوايا المضلع. فيما يلي مجاميع الزوايا لبعض المضلعات الشائعة:

• مجموع زوايا المثلث (مضلع ثلاثي الأضلاع) يساوي 180 درجة.
• مجموع زوايا الشكل الرباعي (المضلع رباعي الأضلاع) هو 360 درجة.
• مجموع زوايا البنتاغون (مضلع خماسي الأضلاع) هو 540 درجة.
• مجموع زوايا الشكل السداسي (مضلع سداسي الأضلاع) هو 720 درجة.
• مجموع زوايا الشكل الثماني (المضلع الثماني) هو 1080 درجة.

1. حدد ما إذا كان المضلع منتظمًا.المضلع المنتظم هو المضلع الذي تتساوى فيه جميع الأضلاع والزوايا. من الأمثلة على المضلعات المنتظمة مثلث متساوي الأضلاع ومربع ، بينما مبنى البنتاغون في واشنطن دي سي مبني على شكل خماسي منتظم ، وعلامة التوقف على شكل مثمن منتظم.

   اجمع الزوايا المعروفة للمضلع ، ثم اطرح هذا المجموع من المجموع الكلي لجميع زواياه.تتعامل معظم مسائل الهندسة من هذا النوع مع المثلثات أو الرباعية الأضلاع لأنها تتطلب مدخلات أقل ، لذلك سنفعل الشيء نفسه.

   • إذا كانت زاويتان في المثلث تساوي 60 درجة و 80 درجة على التوالي ، اجمع هذين العددين. احصل على 140 درجة. ثم اطرح هذا المجموع من المجموع الكلي لجميع زوايا المثلث ، أي من 180 درجة: 180-140 = 40 درجة. (يسمى المثلث ، الذي تكون جميع زواياه غير متساوية مع بعضها البعض ، غير متساوي الأضلاع).
   • يمكنك كتابة هذا الحل بالصيغة a = 180 - (b + c) ، حيث a هي الزاوية التي تريد إيجادها ، b و c هما الزاويتان المعروفتان. بالنسبة للمضلعات التي تحتوي على أكثر من ثلاثة جوانب ، استبدل 180 بمجموع زوايا النوع المحدد من المضلع ، وأضف مصطلحًا واحدًا إلى المجموع بين قوسين لكل زاوية معروفة.
   • بعض المضلعات لها "حيلها" الخاصة بها لمساعدتك في حساب الزاوية المجهولة. على سبيل المثال ، المثلث متساوي الساقين هو مثلث له ضلعان متساويان وزاويتان متساويتان. متوازي الأضلاع هو شكل رباعي أضلاعه المتقابلة وزواياه المتقابلة متساوية.

   حساب زوايا المثلث القائم

   1. حدد البيانات التي تعرفها.يسمى المثلث القائم الزاوية لأن إحدى زواياه قائمة. يمكنك إيجاد قيمة إحدى الزاويتين المتبقيتين إذا كنت تعرف إحدى القيم التالية:

      حدد الدالة المثلثية التي تريد استخدامها.تعبر الدوال المثلثية عن نسب ضلعين من أضلاع المثلث الثلاثة. هناك ست دوال مثلثيّة ، لكن الدوال التالية هي الأكثر استخدامًا:

في الحياة ، غالبًا ما نضطر إلى مواجهة مشاكل الرياضيات: في المدرسة ، في الجامعة ، ثم نساعد أطفالنا في أداء واجباتهم المدرسية. سيواجه الأشخاص في بعض المهن الرياضيات بشكل يومي. لذلك ، من المفيد حفظ أو استرجاع القواعد الرياضية. في هذه المقالة ، سنقوم بتحليل واحد منهم: إيجاد ضلع مثلث قائم الزاوية.

ما هو المثلث القائم

أولًا ، لنتذكر ما هو المثلث القائم الزاوية. المثلث القائم الزاوية هو شكل هندسي من ثلاثة أجزاء تربط بين نقاط لا تقع على نفس الخط المستقيم ، وإحدى زوايا هذا الشكل هي 90 درجة. الأضلاع التي تشكل الزاوية القائمة تسمى الأرجل ، والجانب المقابل للزاوية القائمة يسمى الوتر.

إيجاد ضلع مثلث قائم الزاوية

هناك عدة طرق لمعرفة طول الساق. أود النظر فيها بمزيد من التفصيل.

نظرية فيثاغورس لإيجاد ضلع مثلث قائم الزاوية

إذا عرفنا الوتر والساق ، فيمكننا إيجاد طول الضلع المجهول باستخدام نظرية فيثاغورس. يبدو مثل هذا: "مربع الوتر يساوي مجموع مربعات الساقين." الصيغة: c² = a² + b² حيث c هو الوتر ، و a و b هما الساقان. نقوم بتحويل الصيغة والحصول على: a² = c²-b².

مثال. طول الوتر 5 سم ، والساق 3 سم ، نقوم بتحويل الصيغة: c² = a² + b² → a² = c²-b². بعد ذلك ، نقرر: a² = 5²-3²؛ أ² = 25-9 ؛ أ² = 16 ؛ أ = -16 ؛ أ = 4 (سم).

العلاقات المثلثية لإيجاد ضلع مثلث قائم الزاوية

من الممكن أيضًا العثور على ساق غير معروفة في حالة معرفة أي جانب آخر وأي زاوية حادة للمثلث القائم. هناك أربعة خيارات لإيجاد الساق باستخدام الدوال المثلثية: بالجيب ، وجيب التمام ، والظل ، والتظل. لحل المشاكل ، سيساعدنا الجدول أدناه. لنفكر في هذه الخيارات.

أوجد ضلع مثلث قائم الزاوية باستخدام الجيب

جيب الزاوية (sin) هو نسبة الضلع المقابلة إلى الوتر. الصيغة: sin \ u003d a / c ، حيث a هي الساق المقابلة للزاوية المعطاة ، و c هي الوتر. بعد ذلك ، نقوم بتحويل الصيغة والحصول على: a = sin * c.

مثال. طول الوتر 10 سم ، والزاوية أ 30 درجة. وفقًا للجدول ، نحسب جيب الزاوية A ، وهو يساوي 1/2. ثم ، باستخدام الصيغة المحولة ، نحل: a = sin∠A * c ؛ أ = 1/2 * 10 ؛ أ = 5 (سم).

أوجد ضلع مثلث قائم الزاوية باستخدام جيب التمام

جيب تمام الزاوية (cos) هو نسبة الضلع المجاورة إلى الوتر. الصيغة: cos \ u003d b / c ، حيث b هي الساق المجاورة للزاوية المعطاة ، و c هي الوتر. دعنا نحول الصيغة ونحصل على: b = cos * c.

مثال. الزاوية أ 60 درجة ، والوتر 10 سم ، وبحسب الجدول نحسب جيب التمام للزاوية أ ، وهو يساوي 1/2. بعد ذلك ، نحل: b = cos∠A * c ؛ ب = 1/2 * 10 ، ب = 5 (سم).

أوجد ضلع مثلث قائم الزاوية باستخدام الظل

ظل الزاوية (tg) هو نسبة الضلع المقابلة إلى المجاورة. الصيغة: tg \ u003d a / b ، حيث a هي الساق المقابلة للزاوية ، و b المجاورة. دعنا نحول الصيغة ونحصل على: a = tg * b.

مثال. الزاوية A قياسها 45 درجة ، والوتر 10 cm ، وبحسب الجدول نحسب ظل الزاوية A ، فهي تساوي Solve: a = tg∠A * b؛ أ = 1 * 10 ؛ أ = 10 (سم).

أوجد ضلع مثلث قائم الزاوية باستخدام ظل التمام

ظل التمام لزاوية (ctg) هو نسبة الساق المجاورة إلى الساق المقابلة. الصيغة: ctg \ u003d b / a ، حيث b هي الساق المجاورة للزاوية ، وهي عكس. بمعنى آخر ، ظل التمام هو "الظل المقلوب". نحصل على: b = ctg * a.

مثال. قياس الزاوية أ 30 درجة ، والضلع المقابل 5 سم ، وطبقاً للجدول ، ظل الزاوية أ هو √3. احسب: b = ctg∠A * a ؛ ب = √3 * 5 ؛ ب = 5√3 (سم).

إذن ، أنت تعرف الآن كيفية إيجاد الضلع في مثلث قائم الزاوية. كما ترون ، الأمر ليس بهذه الصعوبة ، الشيء الرئيسي هو تذكر الصيغ.

في الهندسة ، غالبًا ما توجد مشكلات تتعلق بجوانب المثلثات. على سبيل المثال ، غالبًا ما يكون من الضروري إيجاد ضلع المثلث إذا كان الضلعان الآخران معروفين.

المثلثات متساوية الساقين ومتساوية الأضلاع ومتساوية الأضلاع. من بين جميع الأنواع ، في المثال الأول ، سنختار مستطيلاً (في مثل هذا المثلث ، إحدى الزوايا 90 درجة ، والجوانب المجاورة لها تسمى الأرجل ، والثالث هو الوتر).

سريع المادة التنقل

طول ضلعي المثلث القائم

يأتي حل المشكلة من نظرية عالم الرياضيات العظيم فيثاغورس. تقول أن مجموع مربعات أرجل المثلث القائم الزاوية يساوي مربع الوتر: أ² + ب² = ج²

• أوجد مربع طول الساق أ ؛
• أوجد مربع الساق ب ؛
• نجمعهم معًا.
• من النتيجة التي تم الحصول عليها ، نستخرج جذر الدرجة الثانية.

مثال: أ = 4 ، ب = 3 ، ج =؟

• أ² = 4² = 16 ؛
• ب² = 3² = 9 ؛
• 16+9=25;
• √25 = 5. أي أن طول وتر هذا المثلث يساوي 5.

إذا لم يكن للمثلث زاوية قائمة ، فإن أطوال الضلعين غير كافية. يتطلب هذا معلمة ثالثة: يمكن أن تكون زاوية ، ارتفاع ، مساحة مثلث ، نصف قطر دائرة منقوشة فيه ، إلخ.

إذا كان المحيط معروفًا

في هذه الحالة ، تكون المهمة أسهل. المحيط (P) هو مجموع كل جوانب المثلث: P = a + b + c. وهكذا ، من خلال حل معادلة رياضية بسيطة ، نحصل على النتيجة.

مثال: P = 18 ، أ = 7 ، ب = 6 ، ج =؟

1) نقوم بحل المعادلة ، ونقل جميع المعلمات المعروفة إلى جانب واحد من علامة التساوي:

2) استبدل القيم بدلاً منها واحسب الضلع الثالث:

ج = 18-7-6 = 5 ، المجموع: الضلع الثالث من المثلث يساوي 5.

إذا كانت الزاوية معروفة

لحساب الضلع الثالث من المثلث بمعلومية الزاوية والجانبين الآخرين ، يتم تقليل الحل لحساب المعادلة المثلثية. من السهل حساب الضلع الثالث بمعرفة العلاقة بين أضلاع المثلث وجيب الزاوية. للقيام بذلك ، تحتاج إلى تربيع الجانبين وإضافة نتائجهما معًا. ثم اطرح من الناتج الناتج من الأضلاع مضروبًا في جيب تمام الزاوية: C = √ (a² + b²-a * b * cosα)

إذا كانت المنطقة معروفة

في هذه الحالة ، صيغة واحدة لا تكفي.

1) أولاً ، نحسب sin γ بالتعبير عنها من صيغة مساحة المثلث:

الخطيئة γ = 2S / (أ * ب)

2) باستخدام الصيغة التالية ، نحسب جيب التمام لنفس الزاوية:

sin² α + cos² α = 1

cos α = √ (1 - sin² α) = √ (1- (2S / (a ​​* b)) ²)

3) ومرة ​​أخرى نستخدم نظرية الجيب:

C = √ ((a² + b²) -a * b * cosα)

C = √ ((a² + b²) -a * b * √ (1- (S / (a ​​* b)) ²))

بالتعويض عن قيم المتغيرات في هذه المعادلة ، نحصل على إجابة المشكلة.

من المعروف أطوال أضلاعه (أ ، ب ، ج) ، استخدم نظرية جيب التمام. توضح أن مربع طول أي من الأضلاع يساوي مجموع مربعي أطوال الضلعين الآخرين ، حيث ينتج عنهما حاصل الضرب المزدوج لأطوال نفس الضلعين وجيب الزاوية بينهما مطروح. يمكنك استخدام هذه النظرية لحساب الزاوية في أي من القمم ، ومن المهم معرفة موقعها بالنسبة إلى الأضلاع فقط. على سبيل المثال ، للعثور على الزاوية α التي تقع بين الجانبين ب وج ، يجب كتابة النظرية على النحو التالي: أ² = ب² + ج² - 2 * ب * ج * جتا (α).

عبر عن جيب تمام الزاوية المرغوبة من الصيغة: cos (α) = (b² + c²-a²) / (2 * b * c). طبق دالة جيب التمام العكسي على كلا جزأي المعادلة - جيب التمام القوسي. يسمح لك باستعادة قيمة الزاوية بالدرجات بقيمة جيب التمام: arccos (cos (α)) = arccos ((b² + c²-a²) / (2 * b * c)). يمكن تبسيط الجانب الأيسر وسيأخذ حساب الزاوية بين الجانبين ب وج في الشكل النهائي: α = arccos ((b² + c²-a²) / 2 * b * c).

عند إيجاد مقادير الزوايا الحادة في مثلث قائم الزاوية ، فإن معرفة أطوال جميع الأضلاع ليس ضروريًا ، يكفي اثنان. إذا كان هذان الضلعان عبارة عن أرجل (أ و ب) ، اقسم طول الضلع المقابل للزاوية المرغوبة (α) على طول الآخر. لذلك تحصل على قيمة الظل للزاوية المرغوبة tg (α) = a / b ، وتطبق الدالة العكسية - قوس الظل على كلا الجزأين من المساواة - وتبسيط ، كما في الخطوة السابقة ، الجانب الأيسر ، اشتقاق الصيغة النهائية: α = arctg (a / b).

إذا كانت الأضلاع المعروفة هي الضلع (أ) والوتر (ج) ، لحساب الزاوية () المكونة من هذين الجانبين ، استخدم دالة جيب التمام وعكسها - جيب التمام القوسي. يتم تحديد جيب التمام من خلال نسبة طول الساق إلى الوتر ، ويمكن كتابة الصيغة النهائية على النحو التالي: β = arccos (a / c). لحساب نفس الزاوية الحادة الأولية (α) الواقعة مقابل الساق المعروفة ، استخدم نفس النسبة ، واستبدل القوسين بالقوس: α = arcsin (a / c).

مصادر:

• صيغة المثلث مع 2 الجانبين

نصيحة 2: كيفية إيجاد زوايا المثلث بأطوال أضلاعه

توجد عدة خيارات لإيجاد قيم جميع زوايا المثلث ، إذا كانت أطوالها الثلاثة معروفة. حفلات. إحدى الطرق هي استخدام صيغتين مختلفتين للمنطقة مثلث. لتبسيط العمليات الحسابية ، يمكنك أيضًا تطبيق نظرية الجيب والنظرية على مجموع الزوايا مثلث.

تعليمات

استخدم ، على سبيل المثال ، صيغتين لحساب المنطقة مثلث، واحد منها يشمل ثلاثة فقط من المعروف حفلاتق (جيرونا) ، والآخر - اثنان حفلات s وجيب الزاوية بينهما. استخدام أزواج مختلفة في الصيغة الثانية حفلات، يمكنك تحديد مقدار كل زاوية مثلث.

حل المشكلة بشكل عام. تحدد صيغة مالك الحزين المنطقة مثلث، كجذر تربيعي لمنتج مقياس نصف القطر (نصف الكل حفلات) على الفرق بين semiperimeter وكل من حفلات. إذا استبدلنا المجموع حفلات، ثم يمكن كتابة الصيغة على النحو التالي: S = 0.25 ∗ √ (a + b + c) ∗ (b + c-a) ∗ (a + c-b) ∗ (a + b-c). C آخر حفلاتالمنطقة مثلثيمكن التعبير عنها بنصف حاصل ضرب اثنين حفلاتبجيب الزاوية بينهما. على سبيل المثال ، ل حفلاتأ ، ب بزاوية γ بينهما ، يمكن كتابة هذه الصيغة على النحو التالي: S = a ∗ b ∗ sin (γ). استبدل الجانب الأيسر من المعادلة بصيغة هيرون: 0.25 ∗ √ (a + b + c) ∗ (b + c-a) ∗ (a + c-b) ∗ (a + b-c) = a ∗ b ∗ sin (γ). اشتق من هذه المعادلة صيغة