حل المربعات الصغرى. LSM في حالة النموذج الخطي

مثال.

بيانات تجريبية على قيم المتغيرات Xو فيترد في الجدول.

نتيجة محاذاة الوظيفة

استخدام طريقة المربعات الصغرى ، تقريب هذه البيانات بالاعتماد الخطي ص = الفأس + ب(البحث عن المعلمات أو ب). اكتشف أي من الخطين أفضل (بمعنى طريقة المربعات الصغرى) يضبط البيانات التجريبية. جعل الرسم.

جوهر طريقة المربعات الصغرى (LSM).

تكمن المشكلة في إيجاد معاملات التبعية الخطية التي لها دالة متغيرين أو ب يقبل أصغر قيمة. هذا هو ، بالنظر إلى البيانات أو بسيكون مجموع الانحرافات التربيعية للبيانات التجريبية من الخط المستقيم الموجود هو الأصغر. هذه هي النقطة الكاملة لطريقة المربعات الصغرى.

وبالتالي ، يتم تقليل حل المثال إلى إيجاد الحد الأقصى لدالة من متغيرين.

اشتقاق الصيغ لإيجاد المعاملات.

نظام من معادلتين مع مجهولين يتم تجميعها وحلها. إيجاد المشتقات الجزئية للدوال بالمتغيرات أو ب، فنحن نساوي هذه المشتقات بصفر.

نقوم بحل نظام المعادلات الناتج بأي طريقة (على سبيل المثال طريقة الاستبدالأو طريقة كرامر) والحصول على صيغ لإيجاد المعاملات باستخدام طريقة المربعات الصغرى (LSM).

مع البيانات أو بوظيفة يأخذ أصغر قيمة. يتم تقديم الدليل على هذه الحقيقة أسفل النص في نهاية الصفحة.

هذه هي الطريقة الكاملة للمربعات الصغرى. صيغة البحث عن المعلمة أيحتوي على المبالغ ،،، والمعلمة ن- كمية البيانات التجريبية. يوصى بحساب قيم هذه المبالغ بشكل منفصل. معامل في الرياضيات او درجة بوجدت بعد الحساب أ.

حان الوقت لتذكر المثال الأصلي.

المحلول.

في مثالنا ن = 5. نقوم بملء الجدول لتسهيل حساب المبالغ التي تم تضمينها في صيغ المعاملات المطلوبة.

يتم الحصول على القيم الموجودة في الصف الرابع من الجدول بضرب قيم الصف الثاني في قيم الصف الثالث لكل رقم أنا.

يتم الحصول على القيم الموجودة في الصف الخامس من الجدول بتربيع قيم الصف الثاني لكل رقم أنا.

قيم العمود الأخير في الجدول هي مجاميع القيم عبر الصفوف.

نستخدم معادلات طريقة المربعات الصغرى لإيجاد المعاملات أو ب. نستبدل بها القيم المقابلة من العمود الأخير في الجدول:

بالتالي، ص = 0.165 س + 2.184هو الخط المستقيم التقريبي المطلوب.

يبقى معرفة أي من الخطوط ص = 0.165 س + 2.184أو تقترب بشكل أفضل من البيانات الأصلية ، أي لعمل تقدير باستخدام طريقة المربعات الصغرى.

تقدير خطأ طريقة المربعات الصغرى.

للقيام بذلك ، تحتاج إلى حساب مجموع الانحرافات التربيعية للبيانات الأصلية من هذه السطور و ، تتوافق القيمة الأصغر مع السطر الذي يقارب البيانات الأصلية بشكل أفضل من حيث طريقة المربعات الصغرى.

منذ ذلك الحين الخط ص = 0.165 س + 2.184تقرب البيانات الأصلية بشكل أفضل.

رسم توضيحي لطريقة المربعات الصغرى (LSM).

كل شيء يبدو رائعا على الرسوم البيانية. الخط الأحمر هو الخط الموجود ص = 0.165 س + 2.184، الخط الأزرق ، النقاط الوردية هي البيانات الأصلية.

في الممارسة العملية ، عند نمذجة العمليات المختلفة - على وجه الخصوص ، الاقتصادية والمادية والتقنية والاجتماعية - يتم استخدام طريقة أو أخرى لحساب القيم التقريبية للوظائف من قيمها المعروفة في بعض النقاط الثابتة على نطاق واسع.

غالبًا ما تنشأ مشاكل تقريب الوظائف من هذا النوع:

عند إنشاء صيغ تقريبية لحساب قيم الكميات المميزة للعملية قيد الدراسة وفقًا للبيانات المجدولة التي تم الحصول عليها نتيجة للتجربة ؛

في التكامل العددي ، التفاضل ، الحل المعادلات التفاضليةإلخ.؛

إذا كان من الضروري حساب قيم الوظائف عند نقاط وسيطة من الفترة المدروسة ؛

عند تحديد قيم الكميات المميزة للعملية خارج الفترة الزمنية قيد النظر ، على وجه الخصوص ، عند التنبؤ.

إذا تم إنشاء دالة تصف تقريبًا هذه العملية بناءً على طريقة المربعات الصغرى ، من أجل نمذجة عملية معينة يحددها الجدول ، فسيتم تسميتها دالة تقريبية (الانحدار) ، وستكون مهمة إنشاء وظائف تقريبية بحد ذاتها. تكون مشكلة تقريبية.

تناقش هذه المقالة إمكانيات حزمة MS Excel لحل مثل هذه المشكلات ، بالإضافة إلى طرق وتقنيات إنشاء (إنشاء) الانحدارات للوظائف المحددة جدوليًا (والتي هي أساس تحليل الانحدار).

هناك خياران لبناء الانحدارات في Excel.

إضافة الانحدارات المحددة ( خطوط الاتجاه- خطوط الاتجاه) في مخطط مبني على أساس جدول بيانات لخاصية العملية المدروسة (متاح فقط إذا تم إنشاء مخطط) ؛

استخدام الوظائف الإحصائية المضمنة في ورقة عمل Excel ، والتي تتيح لك الحصول على الانحدارات (خطوط الاتجاه) مباشرة من جدول البيانات المصدر.

إضافة خطوط الاتجاه إلى الرسم البياني

بالنسبة لجدول بيانات يصف عملية معينة ويمثلها رسم تخطيطي ، يحتوي Excel على أداة تحليل انحدار فعالة تسمح لك بما يلي:

بناء على طريقة المربعات الصغرى وإضافة خمسة إلى الرسم التخطيطي أنواع الانحدارالتي ، بدرجات متفاوتة من الدقة ، نموذج للعملية قيد الدراسة ؛

إضافة معادلة الانحدار المركب إلى الرسم التخطيطي ؛

تحديد درجة توافق الانحدار المحدد مع البيانات المعروضة على الرسم البياني.

استنادًا إلى بيانات المخطط ، يسمح لك Excel بالحصول على أنواع الانحدار الخطية ، متعددة الحدود ، اللوغاريتمية ، الأسية ، الأسية ، والتي يتم توفيرها بواسطة المعادلة:

ص = ص (س)

حيث x هو متغير مستقل ، والذي غالبًا ما يأخذ قيم سلسلة من الأرقام الطبيعية (1 ؛ 2 ؛ 3 ؛ ...) وينتج ، على سبيل المثال ، عدًا تنازليًا لوقت العملية قيد الدراسة (الخصائص) .

1 . يعد الانحدار الخطي جيدًا في نمذجة الميزات التي تزيد أو تنقص بمعدل ثابت. هذا هو أبسط نموذج للعملية قيد الدراسة. وهي مبنية على المعادلة:

ص = م س + ب

أين م هو ظل المنحدر الانحدارالخطيعلى المحور السيني. ب - تنسيق نقطة تقاطع الانحدار الخطي مع المحور الصادي.

2 . يعتبر خط الاتجاه متعدد الحدود مفيدًا في وصف الخصائص التي لها العديد من الحدود القصوى المتميزة (الارتفاعات والانخفاضات). يتم تحديد اختيار درجة كثير الحدود من خلال عدد القيم القصوى للخاصية قيد الدراسة. وبالتالي ، يمكن أن تصف كثير الحدود من الدرجة الثانية بشكل جيد عملية لها حد أقصى أو أدنى واحد فقط ؛ متعدد الحدود من الدرجة الثالثة - لا يزيد عن اثنين من القيم القصوى ؛ متعدد الحدود من الدرجة الرابعة - لا يزيد عن ثلاث نقاط قصوى ، إلخ.

في هذه الحالة ، يتم إنشاء خط الاتجاه وفقًا للمعادلة:

ص = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5 + c6x6

حيث المعاملات c0 و c1 و c2 و ... c6 هي ثوابت يتم تحديد قيمها أثناء البناء.

3 . يتم استخدام خط الاتجاه اللوغاريتمي بنجاح في خصائص النمذجة ، والتي تتغير قيمها بسرعة في البداية ، ثم تستقر تدريجياً.

y = c ln (x) + b

4 . يعطي خط اتجاه الطاقة نتائج جيدة إذا كانت قيم التبعية المدروسة تتميز بتغير ثابت في معدل النمو. مثال على هذا الاعتماد يمكن أن يكون بمثابة رسم بياني للحركة المتسارعة بشكل موحد للسيارة. إذا كان هناك صفر أو القيم السالبة، لا يمكنك استخدام خط اتجاه الطاقة.

تم بناؤه وفقًا للمعادلة:

ص = cxb

حيث المعامِلات ب ، ج ثوابت.

5 . يجب استخدام خط الاتجاه الأسي إذا كان معدل التغيير في البيانات يتزايد باستمرار. بالنسبة للبيانات التي تحتوي على قيم صفرية أو سلبية ، لا ينطبق هذا النوع من التقريب أيضًا.

تم بناؤه وفقًا للمعادلة:

ص = سيبكس

حيث المعامِلات ب ، ج ثوابت.

عند تحديد خط اتجاه ، يقوم Excel تلقائيًا بحساب قيمة R2 ، والتي تميز دقة التقريب: كلما اقتربت قيمة R2 من واحد ، كلما اقترب خط الاتجاه من العملية قيد الدراسة بشكل أكثر موثوقية. إذا لزم الأمر ، يمكن دائمًا عرض قيمة R2 في الرسم التخطيطي.

تحددها الصيغة:

لإضافة خط اتجاه إلى سلسلة بيانات:

قم بتنشيط المخطط المبني على أساس سلسلة البيانات ، أي انقر داخل منطقة المخطط. سيظهر عنصر المخطط في القائمة الرئيسية ؛

بعد النقر فوق هذا العنصر ، ستظهر قائمة على الشاشة يجب عليك فيها تحديد أمر إضافة سطر الاتجاه.

يتم تنفيذ نفس الإجراءات بسهولة إذا قمت بالمرور فوق الرسم البياني المقابل لإحدى سلاسل البيانات والنقر بزر الماوس الأيمن ؛ في قائمة السياق التي تظهر ، حدد الأمر إضافة سطر الاتجاه. سيظهر مربع حوار خط الاتجاه على الشاشة مع فتح علامة التبويب النوع (الشكل 1).

بعد ذلك تحتاج إلى:

في علامة التبويب النوع ، حدد نوع خط الاتجاه المطلوب (يتم تحديد الخطي بشكل افتراضي). بالنسبة للنوع متعدد الحدود ، في حقل الدرجة ، حدد درجة كثير الحدود المحدد.

1 . يسرد الحقل "مبني على السلسلة" جميع سلاسل البيانات في المخطط المعني. لإضافة خط اتجاه إلى سلسلة بيانات معينة ، حدد اسمها في حقل سلسلة مبنية.

إذا لزم الأمر ، بالانتقال إلى علامة التبويب المعلمات (الشكل 2) ، يمكنك تعيين المعلمات التالية لخط الاتجاه:

قم بتغيير اسم خط الاتجاه في اسم حقل المنحنى التقريبي (المتجانس).

تعيين عدد الفترات (للأمام أو للخلف) للتنبؤ في حقل التنبؤ ؛

عرض معادلة خط الاتجاه في منطقة الرسم البياني ، والتي يجب عليك تمكين خانة الاختيار لإظهار المعادلة على الرسم البياني لها ؛

عرض قيمة موثوقية التقريب R2 في منطقة الرسم التخطيطي ، والتي يجب أن تقوم بتمكين مربع الاختيار لها وضع قيمة موثوقية التقريب (R ^ 2) على الرسم التخطيطي ؛

قم بتعيين نقطة تقاطع خط الاتجاه مع المحور Y ، والتي يجب أن تقوم بتمكين مربع الاختيار تقاطع المنحنى مع المحور Y عند نقطة ما ؛

انقر فوق الزر "موافق" لإغلاق مربع الحوار.

هناك ثلاث طرق لبدء تحرير خط اتجاه تم إنشاؤه بالفعل:

استخدم أمر خط الاتجاه المحدد من قائمة التنسيق ، بعد تحديد خط الاتجاه ؛

حدد أمر تنسيق خط الاتجاه من قائمة السياق ، والتي يتم استدعاؤها بالنقر بزر الماوس الأيمن على خط الاتجاه ؛

عن طريق النقر المزدوج على خط الاتجاه.

سيظهر مربع حوار تنسيق خط الاتجاه على الشاشة (الشكل 3) ، ويحتوي على ثلاث علامات تبويب: العرض والنوع والمعلمات ومحتويات الأخيرين تتطابق تمامًا مع علامات التبويب المماثلة في مربع حوار خط الاتجاه (الشكل 1-2) ). في علامة التبويب عرض ، يمكنك تعيين نوع الخط ولونه وسمكه.

لحذف خط اتجاه تم إنشاؤه بالفعل ، حدد خط الاتجاه المراد حذفه واضغط على مفتاح Delete.

مزايا أداة تحليل الانحدار المدروسة هي:

السهولة النسبية لرسم خط اتجاه على المخططات دون إنشاء جدول بيانات له ؛

قائمة واسعة إلى حد ما لأنواع خطوط الاتجاه المقترحة ، وتشمل هذه القائمة أنواع الانحدار الأكثر استخدامًا ؛

إمكانية التنبؤ بسلوك العملية قيد الدراسة بشكل تعسفي (ضمن الفطرة السليمة) عدد الخطوات للأمام وكذلك للخلف ؛

إمكانية الحصول على معادلة خط الاتجاه في شكل تحليلي ؛

إمكانية ، إذا لزم الأمر ، للحصول على تقييم لموثوقية التقريب.

تشمل العيوب النقاط التالية:

يتم تنفيذ إنشاء خط الاتجاه فقط إذا كان هناك مخطط مبني على سلسلة من البيانات ؛

عملية إنشاء سلسلة البيانات للخاصية قيد الدراسة بناءً على معادلات خط الاتجاه التي تم الحصول عليها لها تشوش إلى حد ما: يتم تحديث معادلات الانحدار المرغوبة مع كل تغيير في قيم سلسلة البيانات الأصلية ، ولكن فقط داخل منطقة الرسم البياني ، في حين أن سلسلة البيانات التي تشكلت على أساس اتجاه معادلة الخط القديم ، لم تتغير ؛

في تقارير PivotChart ، عندما تقوم بتغيير طريقة عرض المخطط أو تقرير PivotTable المرتبط ، لا يتم الاحتفاظ بخطوط الاتجاه الحالية ، لذلك يجب عليك التأكد من أن تخطيط التقرير يلبي متطلباتك قبل رسم خطوط الاتجاه أو تنسيق تقرير PivotChart.

يمكن إضافة خطوط الاتجاه إلى سلسلة البيانات المعروضة في المخططات مثل الرسم البياني والمدرج التكراري والمخططات المسطحة غير الطبيعية والمخططات الشريطية والمخططات المبعثرة والفقاعية والأسهم.

لا يمكنك إضافة خطوط الاتجاه إلى سلسلة البيانات في المخططات ثلاثية الأبعاد والقياسية والرادارية والدائرية والدائرية المجوفة.

استخدام وظائف Excel المضمنة

يوفر Excel أيضًا أداة تحليل الانحدار لرسم خطوط الاتجاه خارج منطقة الرسم البياني. يمكن استخدام عدد من وظائف ورقة العمل الإحصائية لهذا الغرض ، ولكن جميعها تسمح لك ببناء الانحدار الخطي أو الأسي فقط.

يحتوي Excel على عدة وظائف لبناء الانحدار الخطي ، ولا سيما:

اتجاه؛

• المنحدر والقطع.

بالإضافة إلى العديد من الوظائف لإنشاء خط اتجاه أسي ، وعلى وجه الخصوص:

LGRFP تقريبًا.

وتجدر الإشارة إلى أن تقنيات إنشاء الانحدارات باستخدام وظائف TREND و GROWTH هي نفسها عمليًا. يمكن قول الشيء نفسه عن زوج الوظائف LINEST و LGRFPRIBL. بالنسبة إلى هذه الوظائف الأربع ، عند إنشاء جدول قيم ، يتم استخدام ميزات Excel مثل صيغ الصفيف ، مما يؤدي إلى تشويش عملية بناء الانحدارات إلى حد ما. نلاحظ أيضًا أن بناء الانحدار الخطي ، في رأينا ، أسهل في التنفيذ باستخدام الدالتين SLOPE و INTERCEPT ، حيث يحدد أولهما ميل الانحدار الخطي ، والثاني يحدد المقطع المقطوع بالانحدار على المحور ص.

مزايا أداة الدوال المضمنة لتحليل الانحدار هي:

عملية بسيطة إلى حد ما من نفس النوع من تكوين سلاسل البيانات للخاصية قيد الدراسة لجميع الوظائف الإحصائية المضمنة التي تحدد خطوط الاتجاه ؛

تقنية قياسية لإنشاء خطوط الاتجاه بناءً على سلسلة البيانات المتولدة ؛

إمكانية التنبؤ بسلوك العملية قيد الدراسة على المبلغ المطلوبخطوات للأمام أو للخلف.

وتشمل العيوب حقيقة أن Excel لا يحتوي على وظائف مضمنة لإنشاء أنواع أخرى (باستثناء الخطية والأسية) من خطوط الاتجاه. غالبًا لا يسمح هذا الظرف باختيار نموذج دقيق بما فيه الكفاية للعملية قيد الدراسة ، وكذلك الحصول على تنبؤات قريبة من الواقع. بالإضافة إلى ذلك ، عند استخدام دالتي TREND و GROW ، فإن معادلات خطوط الاتجاه غير معروفة.

وتجدر الإشارة إلى أن المؤلفين لم يحددوا هدف المقالة لتقديم مسار تحليل الانحدار بدرجات متفاوتة من الاكتمال. وتتمثل مهمتها الرئيسية في إظهار قدرات حزمة Excel في حل مشكلات التقريب باستخدام أمثلة محددة ؛ توضيح الأدوات الفعالة التي يمتلكها Excel لبناء الانحدارات والتنبؤ ؛ وضح كيف يمكن حل هذه المشكلات بسهولة نسبيًا حتى من قبل مستخدم ليس لديه معرفة عميقة بتحليل الانحدار.

أمثلة على حل مشاكل محددة

ضع في اعتبارك حل مشكلات معينة باستخدام الأدوات المدرجة في حزمة Excel.

مهمة 1

مع جدول بيانات عن أرباح شركة النقل بالسيارات 1995-2002. عليك أن تفعل ما يلي.

بناء مخطط.

أضف خطوط اتجاه خطية ومتعددة الحدود (تربيعية وتكعيبية) إلى المخطط.

باستخدام معادلات خط الاتجاه ، احصل على بيانات مجدولة عن ربح المؤسسة لكل خط اتجاه للفترة 1995-2004.

قم بعمل توقعات للأرباح للمؤسسة لعامي 2003 و 2004.

حل المشكلة

في نطاق الخلايا A4: C11 من ورقة عمل Excel ، ندخل ورقة العمل الموضحة في الشكل. أربعة.

بعد تحديد نطاق الخلايا B4: C11 ، نقوم ببناء مخطط.

نقوم بتنشيط الرسم البياني المُنشأ وباستخدام الطريقة الموضحة أعلاه ، بعد تحديد نوع خط الاتجاه في مربع حوار خط الاتجاه (انظر الشكل 1) ، نضيف خطوط الاتجاه الخطية والتربيعية والتكعيبية بالتناوب إلى المخطط. في مربع الحوار نفسه ، افتح علامة التبويب المعلمات (انظر الشكل 2) ، في اسم حقل المنحنى التقريبي (المتجانس) ، أدخل اسم الاتجاه المراد إضافته ، وفي التنبؤ إلى الأمام لـ: حقل الفترات ، قم بتعيين القيمة 2 ، حيث أنه من المخطط وضع توقعات للأرباح لمدة عامين مقبلين. لعرض معادلة الانحدار وقيمة موثوقية التقريب R2 في منطقة الرسم التخطيطي ، قم بتمكين خانات الاختيار إظهار المعادلة على الشاشة ووضع قيمة موثوقية التقريب (R ^ 2) على الرسم التخطيطي. لتحسين الإدراك البصري ، نقوم بتغيير نوع ولون وسمك خطوط الاتجاه المرسومة ، والتي نستخدم لها علامة التبويب عرض في مربع الحوار تنسيق خط الاتجاه (انظر الشكل 3). يظهر الرسم البياني الناتج مع خطوط الاتجاه المضافة في الشكل. 5.

للحصول على بيانات مجدولة عن ربح المؤسسة لكل خط اتجاه للفترة 1995-2004. دعنا نستخدم معادلات خطوط الاتجاه الواردة في الشكل. 5. للقيام بذلك ، في خلايا النطاق D3: F3 ، أدخل معلومات نصية حول نوع خط الاتجاه المحدد: الاتجاه الخطي ، الاتجاه التربيعي ، الاتجاه التكعيبي. بعد ذلك ، أدخل صيغة الانحدار الخطي في الخلية D4 ، وباستخدام علامة التعبئة ، انسخ هذه الصيغة مع المراجع النسبية إلى نطاق الخلايا D5: D13. تجدر الإشارة إلى أن كل خلية تحتوي على صيغة انحدار خطية من نطاق الخلايا D4: D13 لها خلية مقابلة من النطاق A4: A13 كوسيطة. وبالمثل ، بالنسبة للانحدار التربيعي ، يتم تعبئة نطاق الخلايا E4: E13 ، وبالنسبة للانحدار التكعيبي ، يتم تعبئة نطاق الخلايا F4: F13. وبالتالي ، تم عمل توقع لأرباح المؤسسة لعامي 2003 و 2004. مع ثلاثة اتجاهات. يظهر جدول القيم الناتج في الشكل. 6.

المهمة 2

بناء مخطط.

أضف خطوط الاتجاه اللوغاريتمي والأسي والأسي إلى الرسم البياني.

اشتق معادلات خطوط الاتجاه التي تم الحصول عليها ، وكذلك قيم موثوقية التقريب R2 لكل منها.

باستخدام معادلات خط الاتجاه ، احصل على بيانات جدولية عن ربح المؤسسة لكل خط اتجاه للفترة 1995-2002.

قم بعمل توقع ربح للأعمال لعامي 2003 و 2004 باستخدام خطوط الاتجاه هذه.

حل المشكلة

باتباع المنهجية الواردة في حل المشكلة 1 ، نحصل على رسم تخطيطي مع إضافة خطوط الاتجاه اللوغاريتمي والأسي والأسي (الشكل 7). علاوة على ذلك ، باستخدام معادلات خط الاتجاه التي تم الحصول عليها ، نقوم بملء جدول القيم لأرباح المؤسسة ، بما في ذلك القيم المتوقعة لعامي 2003 و 2004. (الشكل 8).

على التين. 5 والتين. يمكن ملاحظة أن النموذج ذو الاتجاه اللوغاريتمي يتوافق مع أدنى قيمة لموثوقية التقريب

R2 = 0.8659

تتوافق أعلى قيم R2 مع النماذج ذات الاتجاه متعدد الحدود: تربيعي (R2 = 0.9263) وتكعيبي (R2 = 0.933).

المهمة 3

باستخدام جدول بيانات عن أرباح مؤسسة النقل بالسيارات للفترة 1995-2002 ، الواردة في المهمة 1 ، يجب عليك تنفيذ الخطوات التالية.

احصل على سلسلة بيانات لخطوط الاتجاه الخطية والأسية باستخدام دالتي TREND و GROW.

باستخدام دالتي TREND و GROWTH ، قم بعمل توقع للأرباح للمؤسسة لعامي 2003 و 2004.

بالنسبة للبيانات الأولية وسلسلة البيانات المستلمة ، قم بإنشاء رسم تخطيطي.

حل المشكلة

دعنا نستخدم ورقة عمل المهمة 1 (انظر الشكل 4). دعنا نبدء ب وظائف TREND:

حدد نطاق الخلايا D4: D11 ، والتي يجب ملؤها بقيم دالة TREND المقابلة للبيانات المعروفة عن ربح المؤسسة ؛

قم باستدعاء أمر الوظيفة من قائمة "إدراج". في مربع الحوار "معالج الدالة" الذي يظهر ، حدد وظيفة TREND من الفئة الإحصائية ، ثم انقر فوق الزر "موافق". يمكن إجراء نفس العملية بالضغط على الزر (إدراج وظيفة) لشريط الأدوات القياسي.

في مربع الحوار "وسيطات الوظيفة" الذي يظهر ، أدخل نطاق الخلايا C4: C11 في الحقل Known_values_y ؛ في الحقل Known_values_x - نطاق الخلايا B4: B11 ؛

لجعل الصيغة المدخلة صيغة صفيف ، استخدم مجموعة المفاتيح + +.

ستبدو الصيغة التي أدخلناها في شريط الصيغة كما يلي: = (TREND (C4: C11؛ B4: B11)).

نتيجة لذلك ، يتم ملء نطاق الخلايا D4: D11 بالقيم المقابلة لوظيفة TREND (الشكل 9).

لعمل توقع لأرباح الشركة لعامي 2003 و 2004. من الضروري:

حدد نطاق الخلايا D12: D13 ، حيث سيتم إدخال القيم التي تنبأت بها الدالة TREND.

قم باستدعاء دالة TREND وفي مربع حوار وسيطات الوظيفة الذي يظهر ، أدخل حقل Known_values_y - نطاق الخلايا C4: C11 ؛ في الحقل Known_values_x - نطاق الخلايا B4: B11 ؛ وفي الحقل New_values_x - نطاق الخلايا B12: B13.

حول هذه الصيغة إلى صيغة مصفوفة باستخدام اختصار لوحة المفاتيح Ctrl + Shift + Enter.

ستبدو الصيغة المدخلة على النحو التالي: = (TREND (C4: C11؛ B4: B11؛ B12: B13)) ، وسيتم ملء نطاق الخلايا D12: D13 بالقيم المتوقعة لوظيفة TREND (انظر الشكل. 9).

وبالمثل ، يتم ملء سلسلة البيانات باستخدام دالة GROWTH ، والتي تُستخدم في تحليل التبعيات غير الخطية وتعمل تمامًا مثل نظيرتها الخطية TREND.

يوضح الشكل 10 الجدول في وضع عرض الصيغة.

للبيانات الأولية وسلسلة البيانات التي تم الحصول عليها ، الرسم البياني الموضح في الشكل. أحد عشر.

المهمة 4

مع وجود جدول بيانات عن استلام طلبات الحصول على الخدمات من خلال خدمة الإرسال لمؤسسة النقل بالسيارات للفترة من اليوم الأول إلى اليوم الحادي عشر من الشهر الحالي ، يجب تنفيذ الإجراءات التالية.

الحصول على سلسلة بيانات للانحدار الخطي: استخدام الدالتين SLOPE و INTERCEPT ؛ باستخدام دالة LINEST.

استرجع سلسلة بيانات للانحدار الأسي باستخدام الدالة LYFFPRIB.

باستخدام الوظائف المذكورة أعلاه ، قم بعمل توقع حول استلام الطلبات إلى خدمة الإرسال للفترة من اليوم الثاني عشر إلى اليوم الرابع عشر من الشهر الحالي.

بالنسبة لسلسلة البيانات الأصلية والمستلمة ، قم بإنشاء رسم تخطيطي.

حل المشكلة

لاحظ أنه ، بخلاف دالات TREND و GROW ، لا تعتبر أي من الوظائف المذكورة أعلاه (SLOPE ، INTERCEPTION ، LINEST ، LGRFPRIB) انحدارات. تلعب هذه الوظائف دورًا مساعدًا فقط ، حيث تحدد معاملات الانحدار الضرورية.

بالنسبة للانحدار الخطي والأسي الذي تم إنشاؤه باستخدام الدالات SLOPE و INTERCEPT و LINEST و LGRFPRIB ، فإن مظهر معادلاتهم معروف دائمًا ، على عكس الانحدار الخطي والأسي المقابل للوظائف TREND و GROWTH.

1 . لنقم ببناء انحدار خطي له المعادلة:

ص = م س + ب

باستخدام الدالتين SLOPE و INTERCEPT ، مع تحديد ميل الانحدار m بواسطة وظيفة SLOPE ، والمصطلح الثابت b - بواسطة دالة INTERCEPT.

للقيام بذلك ، نقوم بالإجراءات التالية:

أدخل الجدول المصدر في نطاق الخلايا A4: B14 ؛

سيتم تحديد قيمة المعلمة m في الخلية C19. حدد من الفئة الإحصائية وظيفة المنحدر ؛ أدخل نطاق الخلايا B4: B14 في حقل known_values_y ونطاق الخلايا A4: A14 في الحقل known_values_x. سيتم إدخال الصيغة في الخلية C19: = ميل (B4: B14 ؛ A4: A14) ؛

باستخدام طريقة مماثلة ، يتم تحديد قيمة المعلمة b في الخلية D19. وسيبدو محتواه كما يلي: = INTERCEPT (B4: B14؛ A4: A14). وبالتالي ، سيتم تخزين قيم المعلمات m و b الضرورية لإنشاء انحدار خطي ، على التوالي ، في الخلايا C19 ، D19 ؛

ثم ندخل صيغة الانحدار الخطي في الخلية C4 بالشكل: = $ C * A4 + $ D. في هذه الصيغة ، تتم كتابة الخلايا C19 و D19 بمراجع مطلقة (يجب ألا يتغير عنوان الخلية مع إمكانية النسخ). يمكن كتابة علامة المرجع المطلق $ إما من لوحة المفاتيح أو باستخدام المفتاح F4 ، بعد وضع المؤشر على عنوان الخلية. باستخدام مقبض التعبئة ، انسخ هذه الصيغة إلى نطاق الخلايا C4: C17. نحصل على سلسلة البيانات المطلوبة (الشكل 12). نظرًا لحقيقة أن عدد الطلبات عدد صحيح ، يجب عليك تعيين تنسيق الأرقام في علامة التبويب رقم في نافذة تنسيق الخلية مع عدد المنازل العشرية إلى 0.

2 . لنقم الآن ببناء انحدار خطي معطى بالمعادلة:

ص = م س + ب

باستخدام دالة LINEST.

لهذا:

أدخل دالة LINEST كصيغة صفيف في نطاق الخلايا C20: D20: = (LINEST (B4: B14؛ A4: A14)). نتيجة لذلك ، نحصل على قيمة المعلمة m في الخلية C20 ، وقيمة المعلمة b في الخلية D20 ؛

أدخل الصيغة في الخلية D4: = $ C * A4 + $ D ؛

انسخ هذه الصيغة باستخدام علامة التعبئة إلى نطاق الخلايا D4: D17 واحصل على سلسلة البيانات المطلوبة.

3 . نبني انحدارًا أسيًا له المعادلة:

بمساعدة وظيفة LGRFPRIBL ، يتم إجراؤها بالمثل:

في نطاق الخلايا C21: D21 ، أدخل الدالة LGRFPRIBL كصيغة صفيف: = (LGRFPRIBL (B4: B14 ؛ A4: A14)). في هذه الحالة ، سيتم تحديد قيمة المعلمة m في الخلية C21 ، وسيتم تحديد قيمة المعلمة b في الخلية D21 ؛

يتم إدخال الصيغة في الخلية E4: = $ D * $ C ^ A4 ؛

باستخدام علامة التعبئة ، يتم نسخ هذه الصيغة إلى نطاق الخلايا E4: E17 ، حيث سيتم تحديد موقع سلسلة البيانات للانحدار الأسي (انظر الشكل 12).

على التين. يوضح الشكل 13 جدولاً يمكننا من خلاله رؤية الوظائف التي نستخدمها مع نطاقات الخلايا الضرورية ، فضلاً عن الصيغ.

قيمة ص 2 اتصل معامل التحديد.

تتمثل مهمة بناء تبعية الانحدار في العثور على متجه المعامِلات m للنموذج (1) الذي يأخذ فيه المعامل R القيمة القصوى.

لتقييم أهمية R ، يتم استخدام اختبار Fisher's F ، محسوبًا بالصيغة

أين ن- حجم العينة (عدد التجارب) ؛

k هو عدد معاملات النموذج.

إذا تجاوز F بعض القيمة الحرجة للبيانات نو كومستوى الثقة المقبول ، فإن قيمة R تعتبر كبيرة. يتم إعطاء جداول القيم الحرجة لـ F في الكتب المرجعية حول الإحصاء الرياضي.

وبالتالي ، لا يتم تحديد أهمية R من خلال قيمتها فحسب ، ولكن أيضًا من خلال النسبة بين عدد التجارب وعدد معاملات (معلمات) النموذج. في الواقع ، فإن نسبة الارتباط لـ n = 2 لنموذج خطي بسيط هي 1 (من خلال نقطتين على المستوى ، يمكنك دائمًا رسم خط مستقيم واحد). ومع ذلك ، إذا كانت البيانات التجريبية متغيرات عشوائية ، فيجب الوثوق بهذه القيمة من R بعناية كبيرة. عادة ، من أجل الحصول على R وانحدار موثوق به ، فإنه يهدف إلى ضمان أن عدد التجارب يتجاوز بشكل كبير عدد معاملات النموذج (n> k).

لبناء نموذج انحدار خطي ، يجب عليك:

1) قم بإعداد قائمة n من الصفوف والأعمدة m تحتوي على البيانات التجريبية (العمود الذي يحتوي على قيمة الإخراج صيجب أن يكون إما الأول أو الأخير في القائمة) ؛ على سبيل المثال ، لنأخذ بيانات المهمة السابقة ، بإضافة عمود يسمى "رقم الفترة" ، وترقيم أرقام الفترات من 1 إلى 12. (ستكون هذه هي القيم X)

2) انتقل إلى القائمة البيانات / تحليل البيانات / الانحدار

إذا كان عنصر "تحليل البيانات" في قائمة "الأدوات" مفقودًا ، فيجب عليك الانتقال إلى عنصر "الوظائف الإضافية" في القائمة نفسها وتحديد مربع "حزمة التحليل".

3) في مربع حوار "الانحدار" ، اضبط:

الفاصل الزمني للإدخال Y ؛

فاصل الإدخال X ؛

الفاصل الزمني للإخراج - الخلية اليسرى العلوية للفاصل الزمني الذي سيتم فيه وضع نتائج الحساب (يوصى بوضعها في ورقة عمل جديدة) ؛

4) انقر فوق "موافق" وتحليل النتائج.

له العديد من الاستخدامات حيث يسمح بالتمثيل التقريبي وظيفة معينةالبعض الآخر أبسط. يمكن أن يكون LSM مفيدًا للغاية في معالجة الملاحظات ، ويتم استخدامه بنشاط لتقدير بعض الكميات من نتائج قياسات أخرى تحتوي على أخطاء عشوائية. في هذه المقالة ، ستتعلم كيفية تنفيذ حسابات المربعات الصغرى في Excel.

بيان المشكلة في مثال محدد

لنفترض أن هناك مؤشرين X و Y. علاوة على ذلك ، يعتمد Y على X. نظرًا لأن OLS يهمنا من وجهة نظر تحليل الانحدار (في Excel ، يتم تنفيذ طرقه باستخدام وظائف مضمنة) ، يجب أن نبدأ على الفور للنظر في مشكلة معينة.

لذا دع X يكون المنطقة التجاريةبقالة ، تقاس بـ متر مربع، و Y هو رقم الأعمال السنوي ، المحدد بملايين الروبلات.

مطلوب للتنبؤ بحجم دوران المتجر (Y) إذا كان يحتوي على مساحة بيع بالتجزئة واحدة أو أخرى. من الواضح أن الوظيفة Y = f (X) تتزايد ، حيث يبيع الهايبر ماركت سلعًا أكثر من الكشك.

بضع كلمات حول صحة البيانات الأولية المستخدمة للتنبؤ

لنفترض أن لدينا جدولًا مبنيًا ببيانات لعدد n من المتاجر.

وفق الإحصاء الرياضي، ستكون النتائج صحيحة إلى حد ما إذا تم فحص البيانات الموجودة على 5-6 كائنات على الأقل. أيضًا ، لا يمكن استخدام النتائج "الشاذة". على وجه الخصوص ، يمكن أن يكون لمتجر النخبة الصغير حجم مبيعات أكبر بعدة مرات من حجم مبيعات المنافذ الكبيرة لفئة "ماسماركت".

جوهر الطريقة

يمكن عرض بيانات الجدول بتنسيق فكرة مبدعةعلى شكل نقاط M 1 (x 1 ، y 1) ، ... M n (x n ، y n). الآن سيتم تقليل حل المشكلة إلى اختيار دالة تقريبية y = f (x) ، والتي لها رسم بياني يمر في أقرب وقت ممكن من النقاط M 1 ، M 2 ، .. M n.

بالطبع ، يمكنك استخدام كثير الحدود درجة عالية، ولكن هذا الخيار ليس صعب التنفيذ فحسب ، ولكنه غير صحيح ببساطة ، لأنه لن يعكس الاتجاه الرئيسي الذي يجب اكتشافه. الحل الأكثر منطقية هو البحث عن خط مستقيم y = ax + b ، والذي يقارب البيانات التجريبية بشكل أفضل ، وبشكل أكثر دقة ، المعامِلات - a و b.

درجة الدقة

لأي تقريب ، تقييم دقتها له أهمية خاصة. قم بالإشارة بواسطة e i إلى الفرق (الانحراف) بين القيم الوظيفية والتجريبية للنقطة x i ، أي e i = y i - f (x i).

من الواضح ، لتقييم دقة التقريب ، يمكنك استخدام مجموع الانحرافات ، على سبيل المثال ، عند اختيار خط مستقيم لتمثيل تقريبي لاعتماد X على Y ، يجب إعطاء الأفضلية لتلك التي لها أصغر قيمة مجموع e i في جميع النقاط قيد النظر. ومع ذلك ، ليس كل شيء بهذه البساطة ، لأنه إلى جانب الانحرافات الإيجابية ، سيكون هناك عمليا انحرافات سلبية.

يمكنك حل المشكلة باستخدام وحدات الانحراف أو مربعاتها. تلقت الطريقة الأخيرة أكثر من غيرها استخدام واسع. يتم استخدامه في العديد من المجالات ، بما في ذلك تحليل الانحدار (في Excel ، يتم تنفيذه باستخدام وظيفتين مدمجتين) ، وقد ثبتت فعاليته منذ فترة طويلة.

طريقة المربعات الصغرى

في Excel ، كما تعلم ، توجد وظيفة تجميع تلقائي مضمنة تسمح لك بحساب قيم جميع القيم الموجودة في النطاق المحدد. وبالتالي ، لن يمنعنا أي شيء من حساب قيمة التعبير (e 1 2 + e 2 2 + e 3 2 + ... e n 2).

في التدوين الرياضي ، يبدو هذا كما يلي:

منذ أن تم اتخاذ القرار في البداية بالتقريب باستخدام خط مستقيم ، لدينا:

وبالتالي ، فإن مهمة إيجاد خط مستقيم يصف على أفضل وجه علاقة محددة بين X و Y تعني حساب الحد الأدنى لوظيفة من متغيرين:

يتطلب هذا معادلة صفر مشتقات جزئية فيما يتعلق بالمتغيرات الجديدة أ و ب ، وحل نظام بدائي يتكون من معادلتين مع 2 مجهول من النموذج:

بعد التحولات البسيطة ، بما في ذلك القسمة على 2 ومعالجة المبالغ ، نحصل على:

حلها ، على سبيل المثال ، بطريقة كريمر ، نحصل عليها نقطة ثابتةمع بعض المعاملات a * و b *. هذا هو الحد الأدنى ، أي للتنبؤ بحجم دوران المتجر ومتى منطقة معينة، الخط المستقيم y \ u003d a * x + b * سيفعل ، وهو نموذج الانحدارعلى سبيل المثال في السؤال. بالطبع لن تسمح لك بالعثور عليه النتيجة الدقيقة، ولكن سيساعدك في الحصول على فكرة عما إذا كان شراء متجر بالائتمان لمنطقة معينة سيؤتي ثماره.

كيفية تنفيذ طريقة المربعات الصغرى في Excel

لدى Excel وظيفة لحساب قيمة المربعات الصغرى. انها لديها العرض التالي: "TREND" (قيم Y المعروفة ؛ قيم X المعروفة ؛ قيم X الجديدة ؛ ثابت). دعنا نطبق صيغة حساب OLS في Excel على جدولنا.

للقيام بذلك ، في الخلية التي يجب أن يتم فيها عرض نتيجة الحساب باستخدام طريقة المربعات الصغرى في Excel ، أدخل علامة "=" وحدد وظيفة "TREND". في النافذة التي تفتح ، املأ الحقول المناسبة ، مع تحديد:

• نطاق القيم المعروفة لـ Y (in هذه القضيةبيانات حجم التجارة) ؛
• النطاق x 1 ، ... x n ، أي حجم مساحة البيع بالتجزئة ؛
• كلاهما مشهور و قيم غير معروفة x ، والتي تحتاج إلى معرفة حجم دورانها (للحصول على معلومات حول موقعها في ورقة العمل ، انظر أدناه).

بالإضافة إلى ذلك ، هناك متغير منطقي "Const" في الصيغة. إذا أدخلت 1 في الحقل المقابل له ، فهذا يعني أنه يجب إجراء الحسابات ، على افتراض أن ب \ u003d 0.

إذا كنت بحاجة إلى معرفة التوقعات لأكثر من قيمة x واحدة ، فبعد إدخال الصيغة ، يجب ألا تضغط على "Enter" ، ولكن عليك كتابة المجموعة "Shift" + "Control" + "Enter" ("Enter" ) على لوحة المفاتيح.

بعض الملامح

تحليل الانحداريمكن الوصول إليها حتى عن طريق الدمى. صيغة Excelللتنبؤ بقيمة مجموعة من المتغيرات غير المعروفة - "TREND" - يمكن استخدامها حتى من قبل أولئك الذين لم يسمعوا أبدًا بطريقة المربعات الصغرى. يكفي فقط معرفة بعض ميزات عملها. خاصه:

• إذا رتبنا نطاق القيم المعروفة للمتغير y في صف أو عمود واحد ، فسيكون كل صف (عمود) مع القيم المعروفةسيعامل البرنامج x كمتغير منفصل.
• إذا لم يتم تحديد النطاق مع x المعروف في نافذة "TREND" ، ففي حالة استخدام الوظيفة في برنامج اكسلسوف نعتبرها مصفوفة تتكون من أعداد صحيحة ، وعددها يتوافق مع النطاق مع القيم المعطاة للمتغير y.
• لإخراج صفيف من القيم "المتوقعة" ، يجب إدخال تعبير الاتجاه كصيغة صفيف.
• إذا لم يتم تحديد قيم x جديدة ، فإن دالة TREND تعتبرها مساوية للقيم المعروفة. إذا لم يتم تحديدها ، فسيتم اعتبار المصفوفة 1 كوسيطة ؛ 2 ؛ 3 ؛ 4 ؛ ... ، الذي يتناسب مع النطاق مع المعلمات المعطاة بالفعل y.
• يجب أن يتكون النطاق الذي يحتوي على قيم x الجديدة من نفس أو أكثرصفوف أو أعمدة ، كنطاق بقيم ص معطاة. بمعنى آخر ، يجب أن تكون متناسبة مع المتغيرات المستقلة.
• يمكن أن تحتوي المصفوفة ذات قيم x المعروفة على متغيرات متعددة. ومع ذلك، إذا نحن نتكلمحوالي واحد فقط ، فمن الضروري أن تكون النطاقات ذات القيم المعطاة لـ x و y متناسبة. في حالة وجود العديد من المتغيرات ، من الضروري احتواء النطاق مع قيم y المقدمة في عمود واحد أو صف واحد.

دالة FORECAST

يتم تنفيذه باستخدام عدة وظائف. واحد منهم يسمى "التنبؤ". إنه مشابه لـ TREND ، أي أنه يعطي نتيجة الحسابات باستخدام طريقة المربعات الصغرى. ومع ذلك ، فقط لـ X واحد ، حيث تكون قيمة Y غير معروفة.

أنت الآن تعرف صيغ Excel للدمى التي تسمح لك بالتنبؤ بقيمة القيمة المستقبلية لمؤشر وفقًا لاتجاه خطي.

يستخدم على نطاق واسع في الاقتصاد القياسي في شكل تفسير اقتصادي واضح لمعاييره.

يتم تقليل الانحدار الخطي إلى إيجاد معادلة للصيغة

أو

اكتب المعادلة مسموح ل ضع القيممعامل Xلها قيم نظرية للميزة الفعالة ، لتحل محل القيم الفعلية للعامل فيها X.

يعتمد بناء الانحدار الخطي على تقدير معلماته - أو في.يمكن العثور على تقديرات معامل الانحدار الخطي بطرق مختلفة.

يعتمد النهج الكلاسيكي لتقدير معاملات الانحدار الخطي على المربعات الصغرى(MNK).

يسمح LSM للشخص بالحصول على تقديرات المعلمات هذه أو في،تحتها مجموع الانحرافات التربيعية للقيم الفعلية للسمة الناتجة (ذ)من المحسوب (النظري) الحد الأدنى المصغر:

للعثور على الحد الأدنى للدالة ، من الضروري حساب المشتقات الجزئية فيما يتعلق بكل من المعلمات أو بونعادلها بالصفر.

دل من خلال S ، ثم:

نحصل على تحويل الصيغة النظام القادم المعادلات العاديةلتقدير المعلمة أو في:

حل نظام المعادلات العادية (3.5) إما بالطريقة الاستبعاد المتسلسلالمتغيرات ، أو بطريقة المحددات ، نجد التقديرات المطلوبة للمعلمات أو في.

معامل فييسمى معامل الانحدار. توضح قيمته متوسط ​​التغيير في النتيجة مع تغيير في العامل بمقدار وحدة واحدة.

دائمًا ما يتم استكمال معادلة الانحدار بمؤشر على ضيق الاتصال. عند استخدام الانحدار الخطي ، يعمل معامل الارتباط الخطي كمؤشر. هناك إصدارات مختلفة من الصيغة معامل خطيالارتباطات. بعضها مذكور أدناه:

كما تعلم ، فإن معامل الارتباط الخطي يقع ضمن الحدود: -1 ≤ ≤ 1.

لتقييم جودة الاختيار دالة خطيةيتم حساب المربع

يسمى معامل الارتباط الخطي معامل التحديد.معامل التحديد يميز نسبة تباين السمة الفعالة ذأوضحه الانحدار التباين الكليعلامة فعالة:

وفقًا لذلك ، فإن القيمة 1 - تميز نسبة التشتت ذبسبب تأثير عوامل أخرى لا تؤخذ في الاعتبار في النموذج.

أسئلة لضبط النفس

1. جوهر طريقة المربعات الصغرى؟

2. كم عدد المتغيرات التي توفر الانحدار الزوجي؟

3. ما المعامل الذي يحدد ضيق الاتصال بين التغييرات؟

4. في أي حدود يتم تحديد معامل التحديد؟

5. تقدير المعامل (ب) في تحليل الارتباط والانحدار؟

1. كريستوفر دوجيرتي. مقدمة في الاقتصاد القياسي. - م: INFRA - M، 2001-402 ص.

2. S.A. بوروديتش. الاقتصاد القياسي. مينسك ذ م م "المعرفة الجديدة" 2001.

3. R.U. رحمتوف دورات قصيرةفي الاقتصاد القياسي. الدورة التعليمية. ألماتي. 2004. -78 ثانية.

4. I.I. إليسيفا. - م: "المالية والإحصاء" ، 2002

5. مجلة إعلامية وتحليلية شهرية.

النماذج الاقتصادية غير الخطية. نماذج الانحدار غير الخطي. التحويل المتغير.

غير خطي النماذج الاقتصادية..

التحويل المتغير.

معامل المرونة.

إذا كان بين الظواهر الاقتصاديةهناك علاقات غير خطية ، ثم يتم التعبير عنها باستخدام المقابل وظائف غير خطية: على سبيل المثال ، القطع الزائد المتساوي الأضلاع , القطع المكافئ من الدرجة الثانية وإلخ.

هناك فئتان من الانحدارات غير الخطية:

1. الانحدارات غير الخطية فيما يتعلق بالمتغيرات التوضيحية المدرجة في التحليل ، ولكنها خطية فيما يتعلق بالمعلمات المقدرة ، على سبيل المثال:

كثيرات الحدود بدرجات مختلفة - , ;

غلو متساوي الأضلاع - ؛

دالة شبه لوغاريتمية -.

2. الانحدارات غير الخطية في المعلمات المقدرة ، على سبيل المثال:

قوة - ؛

إيضاحي -؛

متسارع - .

المجموع الكلي للانحرافات التربيعية القيم الفرديةميزة فعالة فيمن متوسط ​​القيمة ناتج عن تأثير العديد من العوامل. نقسم مجموعة الأسباب بأكملها بشكل مشروط إلى مجموعتين: درس العامل العاشرو عوامل اخرى.

إذا لم يؤثر العامل على النتيجة ، فإن خط الانحدار على الرسم البياني يكون موازيًا للمحور أوهو

ثم يرجع التشتت الكامل للسمة الفعالة إلى تأثير العوامل الأخرى و المبلغ الإجماليستتزامن الانحرافات المربعة مع المتبقي. إذا لم تؤثر العوامل الأخرى على النتيجة ، إذن ش مقيدمع Xوظيفيا و اضطرابات الصدمةالمربعات صفر. في هذه الحالة ، يكون مجموع الانحرافات التربيعية التي أوضحها الانحدار هو نفسه المجموع الكلي للمربعات.

نظرًا لأنه لا تقع جميع نقاط مجال الارتباط على خط الانحدار ، فإن تبعثرها يحدث دائمًا بسبب تأثير العامل X، أي الانحدار فيعلى X ،وينتج عن فعل أسباب أخرى (اختلاف غير مفسر). تعتمد ملاءمة خط الانحدار للتنبؤ على أي جزء الاختلاف العامإشارة فيحسابات الاختلاف الموضح

من الواضح ، إذا كان مجموع الانحرافات التربيعية بسبب الانحدار أكبر من المجموع المتبقي للمربعات ، فإن معادلة الانحدار تكون ذات دلالة إحصائية والعامل Xله تأثير كبير على النتيجة. ذ.

, أي مع عدد حرية التباين المستقل للميزة. يرتبط عدد درجات الحرية بعدد وحدات السكان n وعدد الثوابت المحددة منها. فيما يتعلق بالمشكلة قيد الدراسة ، يجب أن يوضح عدد درجات الحرية عدد الانحرافات المستقلة عن ص

يتم تقييم أهمية معادلة الانحدار ككل بمساعدة F- معيار فيشر. في هذه الحالة ، يتم طرح فرضية فارغة مفادها أن معامل الانحدار يساوي صفرًا ، أي ب = 0 ، وبالتالي العامل Xلا يؤثر على النتيجة ذ.

يسبق الحساب المباشر لمعيار F تحليل التباين. محورها هو توسيع المجموع الكلي للانحرافات التربيعية للمتغير فيمن متوسط ​​القيمة فيإلى جزأين - "موضح" و "غير مفسر":

- مجموع الانحرافات التربيعية ؛

- مجموع الانحرافات التربيعية التي أوضحها الانحدار ؛

هو المجموع المتبقي لمربعات الانحراف.

يرتبط أي مجموع من الانحرافات التربيعية بعدد درجات الحرية , أي مع عدد حرية التباين المستقل للميزة. عدد درجات الحرية مرتبط بعدد الوحدات السكانية نوبعد تحديد الثوابت منه. فيما يتعلق بالمشكلة قيد الدراسة ، يجب أن يوضح عدد درجات الحرية عدد الانحرافات المستقلة عن صممكن مطلوب لتكوين مجموع معين من المربعات.

التشتت حسب درجة الحريةد.

نسب F (معيار F):

إذا كانت الفرضية الصفرية صحيحة، ثم العامل و التشتت المتبقيلا تختلف عن بعضها البعض. بالنسبة لـ H 0 ، يكون التفنيد ضروريًا بحيث يتجاوز تباين العامل المتبقي عدة مرات. طور الإحصائي الإنجليزي Snedecor جداول القيم الحرجة F- العلاقات على مستويات مختلفة من الأهمية النسبية فرضية العدمو أعداد مختلفةدرجات الحرية. قيمة الجدول F-المعيار هو القيمة القصوى لنسبة التباينات ، والتي يمكن أن تحدث في حالة الاختلاف العشوائي عن مستوى معيناحتمال وجود فرضية فارغة. القيمة المحسوبة F- يتم التعرف على العلاقة على أنها موثوقة إذا كانت o أكبر من تلك الجدولية.

في هذه الحالة ، يتم رفض الفرضية الصفرية حول عدم وجود علاقة سمات ويتم التوصل إلى استنتاج حول أهمية هذه العلاقة: حقيقة F> جدول F.تم رفض H 0.

إذا كانت القيمة أقل من الجدول حقيقة F ‹، جدول F، فإن احتمال الفرضية الصفرية أعلى من مستوى معين ولا يمكن رفضها دون وجود خطر جسيم في استخلاص نتيجة خاطئة حول وجود علاقة. في هذه الحالة ، تعتبر معادلة الانحدار غير ذات دلالة إحصائية. لا لا ينحرف.

الخطأ المعياري لمعامل الانحدار

لتقدير أهمية معامل الانحدار ، يتم مقارنة قيمته مع قيمته خطأ تقليدي، أي يتم تحديد القيمة الفعلية ر- معيار الطالب: والذي يتم مقارنته بعد ذلك بـ قيمة الجدولعند مستوى معين من الأهمية وعدد درجات الحرية ( ن- 2).

معلمة خطأ معياري أ:

يتم التحقق من أهمية معامل الارتباط الخطي بناءً على حجم الخطأ معامل الارتباط ص:

التباين الكلي للميزة X:

الانحدار الخطي المتعدد

بناء نموذج

الانحدار المتعددهو انحدار للخاصية الناتجة مع اثنين و عدد كبيرالعوامل ، أي نموذج العرض

يمكن أن يعطي الانحدار نتيجة جيدةعند النمذجة ، إذا كان من الممكن إهمال تأثير العوامل الأخرى التي تؤثر على موضوع الدراسة. لا يمكن التحكم في سلوك المتغيرات الاقتصادية الفردية ، أي أنه ليس من الممكن ضمان المساواة بين جميع الشروط الأخرى لتقييم تأثير عامل واحد قيد الدراسة. في هذه الحالة ، يجب أن تحاول تحديد تأثير العوامل الأخرى عن طريق إدخالها في النموذج ، أي بناء معادلة الانحدار المتعدد: ص = أ + ب 1 س 1 + ب 2 + ... + ب س س ع + .

الهدف الرئيسي من الانحدار المتعدد هو بناء نموذج مع عدد كبير من العوامل ، مع تحديد تأثير كل منها على حدة ، وكذلك تأثيرها التراكمي على المؤشر النموذجي. تتضمن مواصفات النموذج مجالين من الأسئلة: اختيار العوامل واختيار نوع معادلة الانحدار

طريقة المربعات الصغرىيستخدم لتقدير معاملات معادلة الانحدار.

عدد الخطوط (بيانات أولية)

أحد طرق دراسة العلاقات العشوائية بين السمات هو تحليل الانحدار.
تحليل الانحدار هو اشتقاق معادلة الانحدار ، والتي تستخدم لإيجاد متوسط ​​القيمةمتغير عشوائي (نتيجة مميزة) ، إذا كانت قيمة متغيرات أخرى (أو غيرها) (عوامل مميزة) معروفة. يتضمن الخطوات التالية:

1. اختيار شكل الاتصال (نوع معادلة تحليليةتراجع)؛
2. تقدير معلمات المعادلة ؛
3. تقييم جودة معادلة الانحدار التحليلي.

في أغلب الأحيان ، يتم استخدام نموذج خطي لوصف العلاقة الإحصائية للسمات. الانتباه إلى اتصال خطييفسر من خلال تفسير اقتصادي واضح لمعاييره ، مقيدًا بتغير المتغيرات ، وحقيقة أنه في معظم الحالات ، يتم تحويل أشكال الاتصال غير الخطية (عن طريق أخذ لوغاريتم أو تغيير المتغيرات) إلى شكل خطي لأداء العمليات الحسابية.
في حالة العلاقة الزوجية الخطية ، تأخذ معادلة الانحدار الشكل: y i = a + b · x i + u i. خيارات معادلة معينةيتم تقدير أ و ب من البيانات الملاحظة الإحصائيةس وص. نتيجة هذا التقييم هي المعادلة: ، أين ، - تقديرات المعلمات أ و ب ، - قيمة السمة الفعالة (المتغير) التي تم الحصول عليها بواسطة معادلة الانحدار (القيمة المحسوبة).

الأكثر استخدامًا لتقدير المعلمات هو طريقة المربعات الصغرى (LSM).
تعطي طريقة المربعات الصغرى أفضل التقديرات (المتسقة والفعالة وغير المتحيزة) لمعلمات معادلة الانحدار. ولكن فقط إذا تم استيفاء افتراضات معينة حول المصطلح العشوائي (u) والمتغير المستقل (x) (انظر افتراضات OLS).

مشكلة تقدير معاملات الخطي معادلة زوجيةالمربعات الصغرىيتألف مما يلي: للحصول على مثل هذه التقديرات للمعلمات ، حيث يكون مجموع الانحرافات التربيعية للقيم الفعلية للميزة الفعالة - y i من القيم المحسوبة - ضئيلاً.
رسميا معيار OLSيمكن كتابتها على هذا النحو: .

تصنيف طرق المربعات الصغرى

1. طريقة المربعات الصغرى.
2. طريقة الاحتمالية القصوى (بالنسبة لنموذج الانحدار الخطي الكلاسيكي العادي ، يتم افتراض الحالة الطبيعية لبقايا الانحدار).
3. يتم استخدام طريقة المربعات الصغرى المعممة لـ GLSM في حالة الارتباط التلقائي للخطأ وفي حالة عدم التجانس.
4. المربعات الصغرى المرجحة ( حالة خاصة GMS مع بقايا غير متجانسة).

وضح الجوهر الطريقة الكلاسيكية للمربعات الصغرى بيانياً. للقيام بذلك ، سوف نبني مؤامرة مبعثروفقًا للملاحظات (x i ، y i ، i = 1 ؛ n) في نظام مستطيلإحداثيات (يسمى مخطط التبعثر هذا حقل الارتباط). دعنا نحاول إيجاد خط مستقيم أقرب إلى نقاط حقل الارتباط. وفقًا لطريقة المربعات الصغرى ، يتم اختيار الخط بحيث يكون مجموع المسافات الرأسية المربعة بين نقاط حقل الارتباط وهذا الخط في حده الأدنى.

تدوين رياضي لهذه المشكلة: .
قيم y i و x i = 1 ... n معروفة لنا ، هذه بيانات رصدية. في الدالة S هم ثوابت. المتغيرات في هذه الوظيفة هي التقديرات المطلوبة للمعلمات - ،. للعثور على الحد الأدنى لدالة من متغيرين ، من الضروري حساب المشتقات الجزئية لهذه الوظيفة فيما يتعلق بكل من المعلمات ومعادلتها بالصفر ، أي .
نتيجة لذلك ، نحصل على نظام 2 عادي المعادلات الخطية:
اتخاذ القرار هذا النظام، نجد تقديرات المعلمات المطلوبة:

يمكن التحقق من صحة حساب معلمات معادلة الانحدار من خلال مقارنة المجاميع (بعض التناقض ممكن بسبب تقريب الحسابات).
لحساب تقديرات المعلمات ، يمكنك بناء الجدول 1.
تشير علامة معامل الانحدار ب إلى اتجاه العلاقة (إذا كانت ب> 0 ، تكون العلاقة مباشرة ، إذا ب<0, то связь обратная). Величина b показывает на сколько единиц изменится в среднем признак-результат -y при изменении признака-фактора - х на 1 единицу своего измерения.
بشكل رسمي ، قيمة المعلمة a هي متوسط ​​قيمة y لـ x يساوي صفرًا. إذا لم يكن لعامل الإشارة قيمة صفرية ولا يمكن أن يكون لها ، فإن التفسير أعلاه للمعامل a لا معنى له.

تقييم مدى ضيق العلاقة بين السمات يتم تنفيذها باستخدام معامل الارتباط الزوجي الخطي - r x ، y. يمكن حسابها باستخدام الصيغة: . بالإضافة إلى ذلك ، يمكن تحديد معامل الارتباط الزوجي الخطي من حيث معامل الانحدار ب: .
يتراوح نطاق القيم المسموح بها للمعامل الخطي للارتباط الزوجي من -1 إلى +1. تشير علامة معامل الارتباط إلى اتجاه العلاقة. إذا كان r x ، y> 0 ، يكون الاتصال مباشرًا ؛ إذا ص س ، ذ<0, то связь обратная.
إذا كان هذا المعامل قريبًا من الوحدة في المعامل ، فيمكن تفسير العلاقة بين السمات على أنها علاقة خطية قريبة إلى حد ما. إذا كان معاملها يساوي واحد ê r x ، y ê = 1 ، فإن العلاقة بين السمات تكون وظيفية خطية. إذا كانت السمتان x و y مستقلتين خطيًا ، فإن r x و y قريبان من 0.
يمكن أيضًا استخدام الجدول 1 لحساب r x و y.

الجدول 1

ملاحظات N	س ط	ذ أنا	س ط ∙ ص ط
1	× 1	ص 1	× 1 ص 1
2	x2	y2	× 2 ص 2
...
ن	x ن	ذ ن	x n y n
مجموع العمود	∑x	∑y	∑x ذ
يعني

لتقييم جودة معادلة الانحدار التي تم الحصول عليها ، يتم حساب المعامل النظري للتحديد - R 2 yx:

,
حيث d 2 هو التباين y الذي تفسره معادلة الانحدار ؛
ه 2 - التباين المتبقي (غير المبرر بواسطة معادلة الانحدار) y ؛
s 2 y - إجمالي (إجمالي) التباين y.
يميز معامل التحديد حصة التباين (التشتت) للميزة الناتجة y ، التي يفسرها الانحدار (وبالتالي العامل x) ، في التباين الكلي (التشتت) y. معامل التحديد R 2 yx يأخذ قيمًا من 0 إلى 1. وفقًا لذلك ، تحدد القيمة 1-R 2 yx نسبة التباين y الناجم عن تأثير العوامل الأخرى التي لم تؤخذ في الاعتبار في النموذج وأخطاء المواصفات.
مع الانحدار الخطي المقترن R 2 yx = r 2 yx.

100 صمكافأة من الدرجة الأولى

اختر نوع العمل عمل التخرج ورقة المصطلح ملخص أطروحة الماجستير تقرير عن الممارسة المادة تقرير مراجعة العمل الاختباري دراسة حل المشكلات خطة العمل إجابات على الأسئلة العمل الإبداعي مقال رسم التراكيب عروض الترجمة كتابة أخرى زيادة تفرد النص أطروحة المرشح عمل المختبر المساعدة على- خط

اسأل عن السعر

طريقة المربعات الصغرى هي تقنية رياضية (رياضية إحصائية) تعمل على معادلة السلاسل الزمنية ، وتحديد شكل الارتباط بين المتغيرات العشوائية ، وما إلى ذلك. وهي تتكون من حقيقة أن الوظيفة التي تصف هذه الظاهرة يتم تقريبها من خلال دالة أبسط . علاوة على ذلك ، يتم تحديد الأخير بطريقة يكون فيها الانحراف المعياري (انظر التباين) للمستويات الفعلية للوظيفة عند النقاط المرصودة من المستويات المستوية هو الأصغر.

على سبيل المثال ، وفقًا للبيانات المتاحة ( الحادي عشر,يي) (أنا = 1, 2, ..., ن) يتم إنشاء مثل هذا المنحنى ذ = أ + bx، حيث يتم الوصول إلى الحد الأدنى لمجموع الانحرافات التربيعية

على سبيل المثال ، يتم تصغير الوظيفة التي تعتمد على معلمتين: أ- المقطع على المحور ص و ب- منحدر الخط المستقيم.

معادلات تعطي الشروط اللازمة لتصغير دالة س(أ,ب)، وتسمى المعادلات العادية.كدوال تقريبية ، لا يتم استخدام الخطي فقط (المحاذاة على طول خط مستقيم) ، ولكن أيضًا من الدرجة الثانية ، ومكافئ ، وأسي ، وما إلى ذلك. M.2 ، حيث مجموع المسافات المربعة ( ذ 1 – ȳ 1)2 + (ذ 2 – ȳ 2) 2 .... هي الأصغر ، والخط المستقيم الناتج يعكس بشكل أفضل اتجاه السلسلة الديناميكية للملاحظات لبعض المؤشرات بمرور الوقت.

بالنسبة لتقديرات OLS غير المتحيزة ، من الضروري والكافي للوفاء بأهم شرط لتحليل الانحدار: يجب أن يكون التوقع الرياضي لخطأ عشوائي مشروط بالعوامل مساويًا للصفر. يتم استيفاء هذا الشرط ، على وجه الخصوص ، إذا: 1- التوقع الرياضي للأخطاء العشوائية يساوي صفرًا ، 2- العوامل والأخطاء العشوائية هي متغيرات عشوائية مستقلة. يمكن اعتبار الشرط الأول مرضيًا دائمًا للنماذج ذات الثابت ، نظرًا لأن الثابت يأخذ توقعًا رياضيًا غير صفري للأخطاء. الشرط الثاني - حالة العوامل الخارجية - أساسي. إذا لم يتم استيفاء هذه الخاصية ، فيمكننا أن نفترض أن أي تقديرات تقريبًا ستكون غير مرضية للغاية: لن تكون حتى متسقة (أي ، حتى كمية كبيرة جدًا من البيانات لا تسمح بالحصول على تقديرات نوعية في هذه الحالة).

الطريقة الأكثر شيوعًا في ممارسة التقدير الإحصائي لمعاملات معادلات الانحدار هي طريقة المربعات الصغرى. تعتمد هذه الطريقة على عدد من الافتراضات حول طبيعة البيانات ونتائج بناء النموذج. تتمثل العوامل الرئيسية في الفصل الواضح بين المتغيرات الأولية إلى متغيرات مستقلة ومستقلة ، وعدم ترابط العوامل المدرجة في المعادلات ، والخطية للعلاقة ، وغياب الارتباط التلقائي للمخلفات ، ومساواة توقعاتهم الرياضية إلى الصفر و تشتت مستمر.

إحدى الفرضيات الرئيسية لـ LSM هي افتراض أن تشتت الانحرافات ei متساوية ، أي يجب أن يكون انتشارها حول القيمة المتوسطة (صفر) للسلسلة قيمة ثابتة. هذه الخاصية تسمى اللواط. في الممارسة العملية ، غالبًا ما لا تكون تباينات الانحرافات هي نفسها ، أي أنه يتم ملاحظة عدم التجانس. قد يكون هذا لأسباب مختلفة. على سبيل المثال ، قد تكون هناك أخطاء في البيانات الأصلية. يمكن أن يكون لعدم الدقة العشوائية في معلومات المصدر ، مثل الأخطاء في ترتيب الأرقام ، تأثير كبير على النتائج. غالبًا ما يتم ملاحظة انتشار أكبر للانحرافات єi عند القيم الكبيرة للمتغير التابع (المتغيرات). إذا كانت البيانات تحتوي على خطأ كبير ، فمن الطبيعي أن يكون انحراف قيمة النموذج المحسوبة من البيانات الخاطئة كبيرًا أيضًا. للتخلص من هذا الخطأ ، نحتاج إلى تقليل مساهمة هذه البيانات في نتائج الحساب ، وتحديد وزن أقل لها عن باقي البيانات الأخرى. يتم تنفيذ هذه الفكرة في المربعات الصغرى الموزونة.