Уравнение на равнината. Как да напиша уравнение за равнина?
Взаимно подреждане на самолети. Задачи

Пространствената геометрия не е много по-сложна от "плоската" геометрия и нашите полети в космоса започват с тази статия. За да разберете темата, човек трябва да разбира добре вектори, освен това е желателно да сте запознати с геометрията на самолета - ще има много прилики, много аналогии, така че информацията ще се усвоява много по-добре. В поредица от мои уроци светът на 2D се отваря със статия Уравнение на права линия върху равнина. Но сега Батман слезе от телевизора с плосък екран и излита от космодрума Байконур.

Нека започнем с чертежи и символи. Схематично равнината може да бъде начертана като успоредник, което създава впечатление за пространство:

Самолетът е безкраен, но имаме възможност да изобразим само част от него. На практика освен паралелограма се рисува и овал или дори облак. По технически причини за мен е по-удобно да изобразя самолета по този начин и в тази позиция. Истинските равнини, които ще разгледаме в практически примери, могат да бъдат подредени по всякакъв начин - мислено вземете чертежа в ръцете си и го завъртете в пространството, като придадете на самолета всякакъв наклон, всякакъв ъгъл.

Нотация: обичайно е самолетите да се обозначават с малки гръцки букви, очевидно, за да не ги бъркате с направо в самолетаили с право в пространството. Свикнал съм да използвам буквата . На чертежа това е буквата "сигма", а не дупка. Въпреки че, дупка самолет, със сигурност е много смешно.

В някои случаи е удобно да се използват същите гръцки букви с индекси за обозначаване на равнини, например .

Очевидно е, че равнината се определя еднозначно от три различни точки, които не лежат на една и съща права линия. Следователно трибуквените обозначения на равнините са доста популярни - според принадлежащите им точки, например и т.н. Често буквите са затворени в скоби: , за да не объркате равнината с друга геометрична фигура.

За опитни читатели ще дам контекстно меню:

• Как да напиша уравнение за равнина с помощта на точка и два вектора?
• Как да напиша уравнение за равнина, използвайки точка и нормален вектор?

и няма да се бавим в дълго чакане:

Общо уравнение на равнината

Общото уравнение на равнината има вида , където коефициентите едновременно са различни от нула.

Редица теоретични изчисления и практически проблеми са валидни както за обичайната ортонормирана база, така и за афинната база на пространството (ако маслото е масло, върнете се към урока Линейна (не) зависимост на векторите. Векторна основа). За простота ще приемем, че всички събития се случват в ортонормирана основа и декартова правоъгълна координатна система.

А сега нека тренираме малко пространствено въображение. Всичко е наред, ако имате лошо, сега ще го развием малко. Дори играта на нерви изисква практика.

В най-общия случай, когато числата не са равни на нула, равнината пресича и трите координатни оси. Например, като това:

Още веднъж повтарям, че самолетът продължава безкрайно във всички посоки и имаме възможност да изобразим само част от него.

Помислете за най-простите уравнения на равнините:

Как да разберем това уравнение? Помислете за това: „Z“ ВИНАГИ, за всякакви стойности на „X“ и „Y“ е равно на нула. Това е уравнението на "родната" координатна равнина. Всъщност, формално уравнението може да бъде пренаписано, както следва: , откъдето е ясно видимо, че не ни интересува какви стойности приемат „x“ и „y“, важно е „z“ да е равно на нула.

По същия начин:
е уравнението на координатната равнина ;
е уравнението на координатната равнина.

Нека да усложним малко задачата, да разгледаме равнина (тук и по-нататък в параграфа приемаме, че числовите коефициенти не са равни на нула). Нека препишем уравнението във вида: . Как да го разберем? "X" е ВИНАГИ, за всяка стойност на "y" и "z" е равно на определено число. Тази равнина е успоредна на координатната равнина. Например равнината е успоредна на равнина и минава през точка.

По същия начин:
- уравнението на равнината, която е успоредна на координатната равнина;
- уравнението на равнина, която е успоредна на координатната равнина.

Добавяне на членове: . Уравнението може да бъде пренаписано по следния начин: , тоест "Z" може да бъде всичко. Какво означава? "X" и "Y" са свързани чрез съотношение, което чертае определена права линия в равнината (ще разпознаете уравнение на права линия в равнина?). Тъй като Z може да бъде всичко, тази линия се „възпроизвежда“ на всяка височина. По този начин уравнението дефинира равнина, успоредна на координатната ос

По същия начин:
- уравнението на равнината, която е успоредна на координатната ос;
- уравнението на равнината, която е успоредна на координатната ос.

Ако свободните членове са нула, тогава равнините ще преминат директно през съответните оси. Например класическата "пряка пропорционалност":. Начертайте права линия в равнината и мислено я умножете нагоре и надолу (тъй като "z" е всяко). Заключение: равнината, дадена от уравнението, минава през координатната ос.

Завършваме прегледа: уравнението на равнината преминава през началото. Е, тук е съвсем очевидно, че точката удовлетворява даденото уравнение.

И накрая, случаят, който е показан на чертежа: - равнината е приятел с всички координатни оси, докато винаги „отрязва“ триъгълник, който може да бъде разположен във всеки от осемте октанта.

Линейни неравенства в пространството

За да се разбере информацията, е необходимо да се учи добре линейни неравенства в равнинатазащото много неща ще бъдат подобни. Параграфът ще бъде кратък преглед с няколко примера, тъй като материалът е доста рядък на практика.

Ако уравнението дефинира равнина, тогава неравенствата
питам полупространства. Ако неравенството не е строго (последните две в списъка), тогава решението на неравенството, освен полупространството, включва и самата равнина.

Пример 5

Намерете единичния нормален вектор на равнината .

Решение: Единичен вектор е вектор, чиято дължина е единица. Нека означим този вектор с . Съвсем ясно е, че векторите са колинеарни:

Първо премахваме нормалния вектор от уравнението на равнината: .

Как да намеря единичния вектор? За да намерите единичния вектор, трябва всекивекторна координата, разделена на дължина на вектора.

Нека пренапишем нормалния вектор във формата и да намерим неговата дължина:

Според горното:

Отговор:

Проверка: , което се изискваше за проверка.

Читателите, които внимателно са проучили последния параграф от урока, вероятно са забелязали това координатите на единичния вектор са точно косинусите на посоката на вектора:

Нека се отклоним от разглобения проблем: когато ви е даден произволен ненулев вектор, а от условието се изисква да се намери косинус на посоката му (вижте последните задачи на урока Точково произведение на вектори), тогава вие всъщност намирате и единичен вектор, колинеарен на дадения. Всъщност две задачи в една бутилка.

Необходимостта от намиране на единичен нормален вектор възниква в някои задачи на математическия анализ.

Разбрахме риболова на нормалния вектор, сега ще отговорим на обратния въпрос:

Как да напиша уравнение за равнина с помощта на точка и нормален вектор?

Тази твърда конструкция на нормален вектор и точка е добре позната от мишената за дартс. Моля, протегнете ръка напред и мислено изберете произволна точка в пространството, например малка котка в бюфета. Очевидно през тази точка можете да начертаете една равнина, перпендикулярна на ръката си.

Уравнението на равнина, преминаваща през точка, перпендикулярна на вектора, се изразява с формулата:

Нека е необходимо да се намери уравнението на равнина, минаваща през три дадени точки, които не лежат на една права линия. Означавайки техните радиус вектори с и текущия радиус вектор с , можем лесно да получим желаното уравнение във векторна форма. Всъщност векторите трябва да са компланарни (всички те лежат в желаната равнина). Следователно векторно-скаларното произведение на тези вектори трябва да е равно на нула:

Това е уравнението на равнина, минаваща през три дадени точки, във векторна форма.

Обръщайки се към координатите, получаваме уравнението в координати:

Ако трите дадени точки лежат на една и съща права линия, тогава векторите ще бъдат колинеарни. Следователно съответните елементи от последните два реда на детерминантата в уравнение (18) биха били пропорционални и детерминантата би била идентично равна на нула. Следователно, уравнение (18) ще стане идентичност за всякакви стойности на x, y и z. Геометрично това означава, че през всяка точка от пространството минава равнина, в която също лежат три дадени точки.

Забележка 1. Същият проблем може да се реши без използване на вектори.

Обозначавайки координатите на трите дадени точки, съответно, чрез записваме уравнението на всяка равнина, минаваща през първата точка:

За да се получи уравнението на желаната равнина, трябва да се изисква уравнение (17) да бъде удовлетворено от координатите на другите две точки:

От уравнения (19) е необходимо да се определят съотношенията на два коефициента към третия и да се въведат намерените стойности в уравнение (17).

Пример 1. Напишете уравнение за равнина, минаваща през точки.

Уравнението за равнина, минаваща през първата от тези точки, ще бъде:

Условията равнината (17) да премине през две други точки и първата точка са:

Като добавим второто уравнение към първото, получаваме:

Замествайки във второто уравнение, получаваме:

Замествайки в уравнение (17) вместо A, B, C, съответно 1, 5, -4 (пропорционални на тях числа), получаваме:

Пример 2. Напишете уравнение за равнина, минаваща през точките (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Уравнението на всяка равнина, минаваща през точката (0, 0, 0), ще бъде]

Условията за преминаване на тази равнина през точките (1, 1, 1) и (2, 2, 2) са:

Намалявайки второто уравнение с 2, виждаме, че за да определим двете неизвестни, отношението има едно уравнение с

От тук получаваме. Замествайки сега в уравнението на равнината вместо неговата стойност, намираме:

Това е уравнението на необходимата равнина; зависи от произволното

количества B, C (а именно от отношението, т.е. има безкраен брой равнини, минаващи през три дадени точки (три дадени точки лежат на една права линия).

Забележка 2. Задачата за прокарването на равнина през три дадени точки, които не лежат на една и съща права линия, се решава лесно в общ вид, ако използваме детерминанти. Всъщност, тъй като в уравнения (17) и (19) коефициентите A, B, C не могат да бъдат едновременно равни на нула, тогава, разглеждайки тези уравнения като хомогенна система с три неизвестни A, B, C, ние записваме необходимо и достатъчно условие за съществуването на решение на тази система, различно от нула (част 1, гл. VI, § 6):

Разширявайки тази детерминанта с елементите на първия ред, получаваме уравнение от първа степен по отношение на текущите координати, което ще бъде удовлетворено по-специално от координатите на трите дадени точки.

Това последното също може да се провери директно, ако заместим координатите на някоя от тези точки вместо в уравнението, написано с детерминанта. От лявата страна се получава детерминанта, в която или елементите на първия ред са нула, или има два еднакви реда. Така формулираното уравнение представлява равнина, минаваща през три дадени точки.

За да бъде проведена една равнина през кои да е три точки в пространството, е необходимо тези точки да не лежат на една права линия.

Разгледайте точките M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) в обща декартова координатна система.

За да може произволна точка M(x, y, z) да лежи в същата равнина като точките M 1 , M 2 , M 3 , векторите трябва да са компланарни.

(
) = 0

По този начин,

Уравнение на равнина, минаваща през три точки:

Уравнение на равнина по отношение на две точки и вектор, колинеарен на равнината.

Нека точките M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) и векторът
.

Нека съставим уравнението на равнината, минаваща през дадените точки M 1 и M 2 и произволна точка M (x, y, z), успоредна на вектора .

вектори
и вектор
трябва да бъде компланарна, т.е.

(
) = 0

равнинно уравнение:

Уравнение на равнина по отношение на една точка и два вектора,

колинеарна равнина.

Нека са дадени два вектора
и
, колинеарни равнини. Тогава за произволна точка M(x, y, z), принадлежаща на равнината, векторите
трябва да е компланарна.

равнинно уравнение:

Равнисно уравнение по точка и нормален вектор .

Теорема. Ако точка M е дадена в пространството 0 (Х 0 , y 0 , z 0 ), тогава уравнението на равнината, минаваща през точката M 0 перпендикулярно на нормалния вектор (А, Б, ° С) изглежда като:

А(х – х 0 ) + Б(г – г 0 ) + ° С(z – z 0 ) = 0.

Доказателство. За произволна точка M(x, y, z), принадлежаща на равнината, съставяме вектор . Защото вектор - нормален вектор, тогава той е перпендикулярен на равнината и следователно перпендикулярен на вектора
. След това скаларното произведение

= 0

Така получаваме уравнението на равнината

Теоремата е доказана.

Уравнение на равнина в сегменти.

Ако в общото уравнение Ax + Wu + Cz + D \u003d 0, разделете двете части на (-D)

,

подмяна
, получаваме уравнението на равнината в сегменти:

Числата a, b, c са пресечните точки на равнината, съответно, с осите x, y, z.

Равно уравнение във векторна форма.

където

- радиус-вектор на текущата точка M(x, y, z),

Единичен вектор, който има посоката на перпендикуляра, спусната към равнината от началото.

,  и  са ъглите, образувани от този вектор с осите x, y, z.

p е дължината на този перпендикуляр.

В координати това уравнение има формата:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Разстоянието от точка до равнина.

Разстоянието от произволна точка M 0 (x 0, y 0, z 0) до равнината Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 е:

Пример.Намерете уравнението на равнината, като знаете, че точката P (4; -3; 12) е основата на перпендикуляра, изпуснат от началото на тази равнина.

Така че A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, използвайте формулата:

A(x – x 0 ) + B(y – y). 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Пример.Намерете уравнението на равнина, минаваща през две точки P(2; 0; -1) и

Q(1; -1; 3) е перпендикулярна на равнината 3x + 2y - z + 5 = 0.

Нормалният вектор към равнината 3x + 2y - z + 5 = 0
успоредна на желаната равнина.

Получаваме:

Пример.Намерете уравнението на равнината, минаваща през точките A(2, -1, 4) и

В(3, 2, -1) перпендикулярно на равнината х + в + 2z – 3 = 0.

Желаното равнинно уравнение има вида: A х+ Б г+ C z+ D = 0, нормален вектор към тази равнина (А, Б, В). вектор
(1, 3, -5) принадлежи на равнината. Дадената ни равнина, перпендикулярна на желаната, има нормален вектор (1, 1, 2). Защото точки A и B принадлежат на двете равнини и равнините са взаимно перпендикулярни, тогава

Така че нормалният вектор (11, -7, -2). Защото точка А принадлежи на желаната равнина, тогава нейните координати трябва да отговарят на уравнението на тази равнина, т.е. 112 + 71 - 24 + D= 0; D= -21.

Като цяло получаваме уравнението на равнината: 11 х - 7г – 2z – 21 = 0.

Пример.Намерете уравнението на равнината, като знаете, че точката P(4, -3, 12) е основата на перпендикуляра, изпуснат от началото на тази равнина.

Намиране на координатите на нормалния вектор
= (4, -3, 12). Желаното уравнение на равнината има вида: 4 х – 3г + 12z+ D = 0. За да намерим коефициента D, заместваме координатите на точка Р в уравнението:

16 + 9 + 144 + D = 0

Като цяло получаваме желаното уравнение: 4 х – 3г + 12z – 169 = 0

Пример.Като се имат предвид координатите на върховете на пирамидата A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Намерете дължината на ръба A 1 A 2 .

Намерете ъгъла между ръбовете A 1 A 2 и A 1 A 4.

Намерете ъгъла между ръба A 1 A 4 и лицето A 1 A 2 A 3 .

Първо, намерете нормален вектор към лицето A 1 A 2 A 3 като кръстосано произведение на вектори
и
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Намерете ъгъла между нормалния вектор и вектора
.

-4 – 4 = -8.

Желаният ъгъл  между вектора и равнината ще бъде равен на  = 90 0 - .

Намерете площта на лицето A 1 A 2 A 3 .

Намерете обема на пирамидата.

Намерете уравнението на равнината А 1 А 2 А 3 .

Използваме формулата за уравнението на равнина, минаваща през три точки.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

Когато използвате компютърната версия на “ Курс по висша математика” можете да стартирате програма, която ще реши горния пример за всякакви координати на върховете на пирамидата.

Щракнете двукратно върху иконата, за да стартирате програмата:

В прозореца на програмата, който се отваря, въведете координатите на върховете на пирамидата и натиснете Enter. По този начин всички точки на решение могат да бъдат получени една по една.

Забележка: За да стартирате програмата, трябва да имате инсталиран Maple ( Waterloo Maple Inc.) на вашия компютър, всяка версия, започваща с MapleV Release 4.

В този урок ще разгледаме как да използваме детерминанта за композиране равнинно уравнение. Ако не знаете какво е детерминант, преминете към първата част на урока - „Матрици и детерминанти». В противен случай рискувате да не разберете нищо в днешния материал.

Уравнение на равнина по три точки

Защо изобщо се нуждаем от уравнението на равнината? Просто е: знаейки го, можем лесно да изчисляваме ъгли, разстояния и други глупости в задача C2. Като цяло това уравнение е задължително. Следователно формулираме проблема:

Задача. Има три точки в пространството, които не лежат на една и съща права линия. Техните координати:

M = (x 1, y 1, z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);

Необходимо е да се напише уравнението на равнината, минаваща през тези три точки. И уравнението трябва да изглежда така:

Ax + By + Cz + D = 0

където числата A, B, C и D са коефициентите, които всъщност искате да намерите.

Е, как да получим уравнението на равнината, ако са известни само координатите на точките? Най-лесният начин е да замените координатите в уравнението Ax + By + Cz + D = 0. Получавате система от три уравнения, която лесно се решава.

Много студенти намират това решение за изключително досадно и ненадеждно. Миналогодишният изпит по математика показа, че вероятността да се направи изчислителна грешка е наистина голяма.

Затова най-напредналите учители започнаха да търсят по-прости и елегантни решения. И те го намериха! Вярно е, че получената техника е по-вероятно да е свързана с висшата математика. Лично аз трябваше да се ровя из целия федерален списък с учебници, за да се уверя, че имаме право да използваме тази техника без никаква обосновка и доказателства.

Уравнение на равнината през детерминанта

Стига глупости, да се захващаме с работата. Като начало, теорема за това как са свързани детерминантата на матрицата и уравнението на равнината.

Теорема. Нека са дадени координатите на три точки, през които трябва да се проведе равнината: M = (x 1 , y 1 , z 1); N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3). Тогава уравнението на тази равнина може да се запише по отношение на детерминанта:

Например, нека се опитаме да намерим двойка равнини, които действително се срещат при проблеми с C2. Вижте колко бързо се брои всичко:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Съставяме детерминанта и го приравняваме на нула:

Отваряне на детерминанта:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Както можете да видите, когато изчислявах числото d, промених малко уравнението, така че променливите x, y и z да са в правилната последователност. Това е всичко! Уравнението на равнината е готово!

Задача. Напишете уравнение за равнина, минаваща през точките:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Незабавно заменете координатите на точките в детерминанта:

Отново разширяване на детерминанта:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d \u003d a - b \u003d z - (x + y) \u003d z - x - y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

И така, уравнението на равнината се получава отново! Отново на последната стъпка трябваше да сменя знаците в него, за да получа по-„красива“ формула. Не е необходимо да се прави това в това решение, но все пак се препоръчва - за да се опрости по-нататъшното решаване на проблема.

Както можете да видите, сега е много по-лесно да напишете уравнението на равнината. Заместваме точките в матрицата, изчисляваме детерминанта - и това е всичко, уравнението е готово.

Това може да е краят на урока. Много студенти обаче постоянно забравят какво има вътре в детерминанта. Например кой ред съдържа x 2 или x 3 и кой ред само x . За да се справим най-накрая с това, нека проследим откъде идва всяко число.

Откъде идва формулата с детерминанта?

И така, нека да разберем откъде идва такова сурово уравнение с детерминант. Това ще ви помогне да го запомните и да го приложите успешно.

Всички равнини, които се срещат в задача C2, се определят от три точки. Тези точки винаги са маркирани на чертежа или дори са посочени директно в текста на проблема. Във всеки случай, за да съставим уравнението, трябва да изпишем техните координати:

M = (x 1, y 1, z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3).

Помислете за още една точка от нашата равнина с произволни координати:

T = (x, y, z)

Вземаме произволна точка от първите три (например точка M ) и чертаем вектори от нея към всяка от трите оставащи точки. Получаваме три вектора:

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1).

Сега нека направим квадратна матрица от тези вектори и да приравним нейната детерминанта на нула. Координатите на векторите ще станат редовете на матрицата - и ще получим същия детерминант, който е посочен в теоремата:

Тази формула означава, че обемът на кутията, изграден върху векторите MN , MK и MT, е равен на нула. Следователно и трите вектора лежат в една и съща равнина. По-специално, произволна точка T = (x, y, z) е точно това, което търсихме.

Замяна на точки и редове на детерминанта

Детерминантите имат някои прекрасни свойства, които го правят още по-лесно решение на задача C2. Например, за нас няма значение от коя точка да начертаем вектори. Следователно следните детерминанти дават същото равнинно уравнение като горното:

Можете също да размените редовете на детерминанта. Уравнението ще остане непроменено. Например, много хора обичат да пишат линия с координатите на точката T = (x; y; z) в самия връх. Моля, ако ви е удобно:

Обърква някои, че един от редовете съдържа променливи x , y и z , които не изчезват при заместване на точки. Но те не трябва да изчезват! Като замените числата в детерминанта, трябва да получите следната конструкция:

След това детерминантата се разширява по схемата, дадена в началото на урока, и се получава стандартното уравнение на равнината:

Ax + By + Cz + D = 0

Вижте един пример. Той е последният в днешния урок. Умишлено ще разменя линиите, за да се уверя, че отговорът ще бъде същото уравнение на равнината.

Задача. Напишете уравнение за равнина, минаваща през точките:

B 1 = (1, 0, 1);
С = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

И така, ние разглеждаме 4 точки:

B 1 = (1, 0, 1);
С = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Първо, нека направим стандартен детерминант и да го приравним на нула:

Отваряне на детерминанта:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d \u003d a - b \u003d y - (2 - x - z) \u003d y - 2 + x + z \u003d x + y + z - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Това е всичко, получихме отговора: x + y + z − 2 = 0 .

Сега нека пренаредим няколко реда в детерминанта и да видим какво ще се случи. Например, нека напишем ред с променливи x, y, z не в долната част, а в горната част:

Нека отново разширим получената детерминанта:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Получихме точно същото равнинно уравнение: x + y + z − 2 = 0. Така че наистина не зависи от реда на редовете. Остава да запишем отговора.

И така, видяхме, че уравнението на равнината не зависи от последователността на линиите. Можем да извършим подобни изчисления и да докажем, че уравнението на равнината не зависи от точката, чиито координати изваждаме от другите точки.

В разгледания по-горе проблем използвахме точката B 1 = (1, 0, 1), но беше напълно възможно да вземем C = (1, 1, 0) или D 1 = (0, 1, 1). По принцип всяка точка с известни координати, лежаща на желаната равнина.

В рамките на този материал ще анализираме как да намерим уравнението на равнина, ако знаем координатите на три различни точки върху нея, които не лежат на една права линия. За да направим това, трябва да си припомним какво представлява правоъгълната координатна система в триизмерното пространство. Първо, представяме основния принцип на това уравнение и показваме как да го използваме при решаване на конкретни проблеми.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Като начало трябва да запомним една аксиома, която звучи така:

Определение 1

Ако три точки не съвпадат една с друга и не лежат на една права линия, тогава в триизмерното пространство само една равнина минава през тях.

С други думи, ако имаме три различни точки, чиито координати не съвпадат и които не могат да бъдат свързани с права линия, тогава можем да определим равнината, минаваща през нея.

Да кажем, че имаме правоъгълна координатна система. Нека го означим O x y z . Съдържа три точки M с координати M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3), които не могат да бъдат свързани направо линия. Въз основа на тези условия можем да запишем уравнението на равнината, от която се нуждаем. Има два подхода за решаване на този проблем.

1. Първият подход използва общото уравнение на равнината. В буквална форма се записва като A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. С него можете да зададете определена равнина алфа в правоъгълна координатна система, която минава през първата дадена точка M 1 (x 1 , y 1 , z 1) . Оказва се, че нормалният равнинен вектор α ще има координати A , B , C .

Определение на Н

Познавайки координатите на нормалния вектор и координатите на точката, през която минава равнината, можем да напишем общото уравнение на тази равнина.

От това ще продължим по-нататък.

Така според условията на задачата имаме координатите на желаната точка (дори три), през която минава равнината. За да намерите уравнението, трябва да изчислите координатите на неговия нормален вектор. Означете го n → .

Припомнете си правилото: всеки ненулев вектор от дадена равнина е перпендикулярен на нормалния вектор на същата равнина. Тогава имаме, че n → ще бъде перпендикулярно на векторите, съставени от началните точки M 1 M 2 → и M 1 M 3 → . Тогава можем да означим n → като векторно произведение от вида M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Тъй като M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) и M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (доказателствата на тези равенства са дадени в статията, посветена на изчисляването на координатите на вектор от координатите на точки), тогава се оказва, че:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z един

Ако изчислим детерминанта, ще получим координатите на нормалния вектор n →, от който се нуждаем. Сега можем да напишем уравнението, което ни е необходимо за равнина, минаваща през три дадени точки.

2. Вторият подход за намиране на уравнение, преминаващо през M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) е въз основа на такава концепция като компланарността на векторите.

Ако имаме набор от точки M (x, y, z), то в правоъгълна координатна система те определят равнина за дадените точки M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) само ако векторите M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = ( x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) и M 1 M 3   → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) ще бъдат компланарни.

На диаграмата ще изглежда така:

Това ще означава, че смесеното произведение на векторите M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → ще бъде равно на нула: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , тъй като това е основното условие за компланарност: M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) и M 1 M 3   → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) .

Записваме полученото уравнение в координатна форма:

След като изчислим детерминанта, можем да получим уравнението на равнината, от която се нуждаем за три точки, които не лежат на една права линия M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) .

От полученото уравнение можете да преминете към уравнението на равнината на сегменти или към нормалното уравнение на равнината, ако се изисква от условията на задачата.

В следващия параграф ще дадем примери за това как посочените от нас подходи се прилагат на практика.

Примери за задачи за съставяне на уравнение на равнина, преминаваща през 3 точки

По-рано идентифицирахме два подхода, които могат да се използват за намиране на желаното уравнение. Нека видим как се използват при решаването на проблеми и кога да изберем всеки един от тях.

Пример 1

Има три точки, които не лежат на една права линия, с координати M 1 (- 3 , 2 , - 1) , M 2 (- 1 , 2 , 4) , M 3 (3 , 3 , - 1) . Напишете уравнение за равнина, минаваща през тях.

Решение

Използваме и двата метода на свой ред.

1. Намерете координатите на двата вектора, от които се нуждаем M 1 M 2 → , M 1 M 3 → :

M 1 M 2 → = - 1 - - 3, 2 - 2, 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2, 0, 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3, 3 - 2, - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Сега изчисляваме техния векторен продукт. В този случай няма да описваме изчисленията на детерминанта:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Имаме нормален вектор на равнината, който минава през трите необходими точки: n → = (- 5 , 30 , 2) . След това трябва да вземем една от точките, например, M 1 (- 3 , 2 , - 1) и да напишем уравнението за равнината с вектор n → = (- 5 , 30 , 2) . Получаваме, че: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Това е уравнението на равнината, от която се нуждаем, която минава през три точки.

2. Ние използваме различен подход. Записваме уравнението за равнина с три точки M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) в следната форма:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Тук можете да замените данни от състоянието на проблема. Тъй като x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, в резултат ще получим:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Получихме уравнението, от което се нуждаем.

Отговор:- 5x + 30y + 2z - 73 .

Но какво ще стане, ако дадените точки все още лежат на една и съща права линия и трябва да съставим равнинно уравнение за тях? Тук трябва да се каже веднага, че това условие няма да бъде напълно правилно. Безкрайно много самолети могат да преминат през такива точки, така че е невъзможно да се изчисли единичен отговор. Нека разгледаме такъв проблем, за да докажем неправилността на такава формулировка на въпроса.

Пример 2

Имаме правоъгълна координатна система в 3D пространство, съдържаща три точки с координати M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) . Необходимо е да се напише уравнение за минаваща през него равнина.

Решение

Използваме първия метод и започваме с изчисляване на координатите на два вектора M 1 M 2 → и M 1 M 3 → . Нека изчислим техните координати: M 1 M 2 → = (- 4 , 6 , 2) , M 1 M 3 → = - 6 , 9 , 3 .

Векторният продукт ще бъде равен на:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Тъй като M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → , тогава нашите вектори ще бъдат колинеарни (прочетете отново статията за тях, ако сте забравили определението на това понятие). По този начин началните точки M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) са на една и съща права линия и нашата задача има безкрайно много опции отговор.

Ако използваме втория метод, получаваме:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

От полученото равенство следва също, че дадените точки M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) са на една и съща права.

Ако искате да намерите поне един отговор на този проблем от безкраен брой опции, тогава трябва да изпълните следните стъпки:

1. Напишете уравнението на правата M 1 M 2, M 1 M 3 или M 2 M 3 (ако е необходимо, вижте материала за това действие).

2. Вземете точка M 4 (x 4 , y 4 , z 4), която не лежи на правата M 1 M 2 .

3. Запишете уравнението на равнина, която минава през три различни точки M 1 , M 2 и M 4 , които не лежат на една права линия.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter