Arhiva datoteka. StudFiles
Konačno sam se dočepao ove ogromne i dugo očekivane teme. analitička geometrija. Prvo, malo o ovom dijelu višu matematiku…. Sigurno se sada sjećate školskog kursa geometrije sa brojnim teoremama, njihovim dokazima, crtežima itd. Šta sakriti, nevoljena i često opskurna tema za značajan dio učenika. Analitička geometrija, začudo, može se činiti zanimljivijom i pristupačnijom. Šta znači pridjev „analitički“? Odmah mi padaju na pamet dvije klišeirane matematičke fraze: “metoda grafičkog rješenja” i “metoda analitičkog rješenja”. Grafička metoda, naravno, povezan je sa konstrukcijom grafova i crteža. Analitički ili metoda uključuje rješavanje problema uglavnom kroz algebarske operacije. U tom smislu, algoritam za rješavanje gotovo svih problema analitičke geometrije je jednostavan i transparentan; često je dovoljno pažljivo primijeniti potrebne formule - i odgovor je spreman! Ne, naravno, to uopće neće biti moguće bez crteža, a osim toga, za bolje razumijevanje Pokušaću da obezbedim više materijala nego što je potrebno.
Novootvoreni kurs nastave iz geometrije ne pretenduje da je teorijski završen, već je usmeren na rešavanje praktičnih problema. U svoja predavanja ću uključiti samo ono što je, sa moje tačke gledišta, važno u praktičnom smislu. Ako vam je potrebna potpunija pomoć u bilo kojem pododjeljku, preporučujem sljedeću prilično pristupačnu literaturu:
1) Stvar koju, bez šale, poznaje nekoliko generacija: Školski udžbenik iz geometrije, autori - L.S. Atanasyan i kompanija. Ova školska svlačionica već je doživjela 20 (!) reprinta, što, naravno, nije granica.
2) Geometrija u 2 toma. Autori L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Ovo je literatura za srednju školu, trebat će vam prvi tom. Zadaci koji se rijetko susreću mogu mi ispasti iz vida, a tutorijal će mi biti od neprocjenjive pomoći.
Obje knjige mogu se besplatno preuzeti na internetu. Osim toga, možete koristiti moju arhivu sa gotovim rješenjima, koja se nalaze na stranici Preuzmite primjere iz više matematike.
Među alatima, ponovo predlažem svoj razvoj - softverski paket u analitičkoj geometriji, što će uvelike pojednostaviti život i uštedjeti mnogo vremena.
Pretpostavlja se da je čitalac upoznat sa osnovnim geometrijskim pojmovima i figurama: tačka, prava, ravan, trougao, paralelogram, paralelepiped, kocka itd. Preporučljivo je zapamtiti neke teoreme, barem Pitagorinu teoremu, pozdrav ponavljačima)
A sada ćemo razmotriti sekvencijalno: koncept vektora, akcije s vektorima, vektorske koordinate. Preporučujem čitanje dalje najvažniji članak Tačkasti proizvod vektora, i također Vektorski i mješoviti proizvod vektora. Lokalni zadatak - Podjela segmenta u tom pogledu - također neće biti suvišan. Na osnovu gore navedenih informacija, možete savladati jednačina prave u ravni With najjednostavniji primjeri rješenja, što će omogućiti naučiti rješavati zadatke iz geometrije. Sljedeći članci su također korisni: Jednačina ravni u prostoru, Jednačine prave u prostoru, Osnovni zadaci o pravoj liniji i ravni, ostali dijelovi analitičke geometrije. Naravno, standardni zadaci će se razmatrati usput.
Vektorski koncept. Besplatno vektor
Prvo, ponovimo školsku definiciju vektora. Vector pozvao usmjereno segment za koji su naznačeni njegov početak i kraj:
U ovom slučaju, početak segmenta je tačka, a kraj segmenta tačka. Sam vektor je označen sa . Smjer je bitno, ako pomaknete strelicu na drugi kraj segmenta, dobićete vektor, a to je već potpuno drugačiji vektor. Zgodno je poistovjetiti koncept vektora s kretanjem fizičkog tijela: morate se složiti, ulazak na vrata instituta ili napuštanje vrata instituta su potpuno različite stvari.
Pojedine tačke ravni ili prostora pogodno je smatrati tzv nulti vektor. Za takav vektor kraj i početak se poklapaju.
!!! Bilješka: Ovdje i dalje možete pretpostaviti da vektori leže u istoj ravni ili možete pretpostaviti da se nalaze u prostoru - suština predstavljenog materijala vrijedi i za ravan i za prostor.
Oznake: Mnogi su odmah primijetili štap bez strelice u oznaci i rekli, ima i strelica na vrhu! Istina, možete to napisati strelicom: , ali je također moguće unos koji ću koristiti u budućnosti. Zašto? Očigledno se ova navika razvila iz praktičnih razloga; moji strijelci u školi i na fakultetu su se pokazali previše velikim i čupavim. U obrazovnoj literaturi ponekad se uopće ne zamaraju klinastim pismom, već ističu slova podebljano: , što implicira da je to vektor.
To je bila stilistika, a sada o načinima pisanja vektora:
1) Vektori se mogu pisati sa dva velika latinična slova:
i tako dalje. U ovom slučaju, prvo slovo Nužno označava početnu tačku vektora, a drugo slovo označava krajnju tačku vektora.
2) Vektori se takođe pišu malim latiničnim slovima:
Konkretno, naš vektor se može redizajnirati zbog kratkoće malim latiničnim slovom.
Dužina ili modul vektor različit od nule naziva se dužina segmenta. Dužina nultog vektora je nula. Logično.
Dužina vektora je označena znakom modula: ,
Naučit ćemo kako pronaći dužinu vektora (ili ćemo to ponoviti, ovisno o tome ko) malo kasnije.
Ovo su bile osnovne informacije o vektorima, poznate svim školarcima. U analitičkoj geometriji tzv slobodni vektor.
Jednostavno rečeno - vektor se može nacrtati iz bilo koje tačke:
Navikli smo da takve vektore nazivamo jednakima (definicija jednakih vektora će biti data u nastavku), ali sa čisto matematičke tačke gledišta, oni su ISTI VEKTORI ili slobodni vektor. Zašto besplatno? Jer u toku rješavanja problema možete „prikačiti“ ovaj ili onaj vektor za BILO KOJU tačku ravni ili prostora koja vam je potrebna. Ovo je veoma cool karakteristika! Zamislite vektor proizvoljne dužine i smjera - može se "klonirati" beskonačan broj puta i u bilo kojoj tački u prostoru, zapravo, postoji SVUDA. Postoji takva studentska izreka: Svakog predavača je briga za vektor. Uostalom, nije samo duhovita rima, sve je matematički ispravno - tu se može pričvrstiti i vektor. Ali nemojte žuriti da se radujete, sami studenti često pate =)
dakle, slobodni vektor- Ovo gomila identični usmjereni segmenti. Školska definicija vektora, data na početku pasusa: „usmjereni segment se zove vektor...“ podrazumijeva specifično usmjereni segment uzet iz datog skupa, koji je vezan za određena tačka ravni ili prostoru.
Treba napomenuti da je sa stanovišta fizike koncept slobodnog vektora generalno netačan, a bitna je i tačka primjene vektora. Zaista, direktan udarac iste snage u nos ili čelo, dovoljan da razvije moj glupi primjer, povlači različite posljedice. Kako god, neslobodan vektori se takođe nalaze u toku vyshmata (ne idite tamo :)).
Akcije sa vektorima. Kolinearnost vektora
Školski kurs geometrije pokriva niz radnji i pravila s vektorima: sabiranje po pravilu trougla, sabiranje po pravilu paralelograma, pravilo vektorske razlike, množenje vektora brojem, skalarni proizvod vektora itd. Za početak, ponovimo dva pravila koja su posebno relevantna za rješavanje problema analitičke geometrije.
Pravilo za dodavanje vektora pomoću pravila trougla
Razmotrimo dva proizvoljna vektora različita od nule i :
Morate pronaći zbir ovih vektora. Zbog činjenice da se svi vektori smatraju slobodnim, ostavićemo po strani vektor iz kraj vektor:
Zbir vektora je vektor. Za bolje razumijevanje pravila, preporučljivo je uključiti fizičko značenje: neka tijelo putuje duž vektora, a zatim duž vektora. Tada je zbroj vektora vektor rezultujuće putanje sa početkom u tački polaska i krajem u tački dolaska. Slično pravilo je formulirano za zbir bilo kojeg broja vektora. Kako kažu, tijelo može ići svojim putem vrlo nagnuto duž cik-cak, ili možda na autopilotu - duž rezultirajućeg vektora zbira.
Usput, ako se vektor odgodi od počeo vektor, onda dobijamo ekvivalent pravilo paralelograma dodavanje vektora.
Prvo, o kolinearnosti vektora. Dva vektora se nazivaju kolinearno, ako leže na istoj liniji ili na paralelnim linijama. Grubo govoreći, govorimo o paralelni vektori. Ali u odnosu na njih uvijek se koristi pridjev „kolinearno“.
Zamisli dva kolinearni vektor. Ako su strelice ovih vektora usmjerene u istom smjeru, onda se takvi vektori nazivaju co-directed. Ako strelice pokazuju prema različite strane, tada će vektori biti suprotnim pravcima.
Oznake: kolinearnost vektora ispisuje se uobičajenim simbolom paralelizma: , dok je detaljizacija moguća: (vektori su kousmjereni) ili (vektori su suprotno usmjereni).
Posao vektor različit od nule na broju je vektor čija je dužina jednaka , a vektori i su usmjereni na i suprotno usmjereni na .
Pravilo množenja vektora brojem lakše je razumjeti uz pomoć slike:
Pogledajmo to detaljnije:
1) Smjer. Ako je množitelj negativan, onda je vektor mijenja smjer na suprotno.
2) Dužina. Ako je množitelj sadržan unutar ili , tada dužina vektora smanjuje. Dakle, dužina vektora je polovina dužine vektora. Ako je modul množitelja veći od jedan, tada je dužina vektora povećava na vrijeme.
3) Imajte na umu da svi vektori su kolinearni, dok se jedan vektor izražava kroz drugi, na primjer, . I obrnuto: ako se jedan vektor može izraziti kroz drugi, onda su takvi vektori nužno kolinearni. ovako: ako pomnožimo vektor brojem, dobićemo kolinearno(u odnosu na original) vektor.
4) Vektori su kousmjereni. Vektori i takođe su korežirani. Svaki vektor prve grupe je suprotno usmjeren u odnosu na bilo koji vektor druge grupe.
Koji su vektori jednaki?
Dva vektora su jednaka ako su u istom smjeru i imaju istu dužinu. Imajte na umu da kosmjernost implicira kolinearnost vektora. Definicija bi bila netačna (suvišna) ako bismo rekli: “Dva vektora su jednaka ako su kolinearni, kosmjerni i imaju istu dužinu.”
Sa stanovišta koncepta slobodnog vektora, jednaki vektori su isti vektor, kao što je objašnjeno u prethodnom paragrafu.
Vektorske koordinate na ravni i u prostoru
Prva stvar je razmatranje vektora na ravni. Predstavimo kartezijanca pravougaoni sistem koordinate i od početka koordinata odlažemo single vektori i :
Vektori i ortogonalno. Ortogonalno = okomito. Preporučujem da se polako navikavate na pojmove: umjesto paralelizma i okomitosti koristimo riječi redom kolinearnost I ortogonalnost.
Oznaka: Ortogonalnost vektora piše se uobičajenim simbolom okomitosti, na primjer: .
Vektori koji se razmatraju nazivaju se koordinatni vektori ili orts. Ovi vektori se formiraju osnovu na površini. Šta je osnova, mislim da je mnogima intuitivno jasno; detaljnije informacije možete pronaći u članku Linearna (ne)zavisnost vektora. Osnova vektora Jednostavnim riječima, osnova i porijeklo koordinata definiraju cijeli sistem - to je svojevrsni temelj na kojem vrije pun i bogat geometrijski život.
Ponekad se naziva izgrađena osnova ortonormalno osnova ravni: “orto” - jer su koordinatni vektori ortogonalni, pridjev “normaliziran” označava jedinicu, tj. dužine baznih vektora jednake su jedan.
Oznaka: osnova se obično piše u zagradama, unutar kojih u strogom redosledu bazni vektori su navedeni, na primjer: . Koordinatni vektori zabranjeno je preurediti.
Bilo koji ravan vektor jedini način izraženo kao:
, Gdje - brojevi koji se zovu vektorske koordinate u ovoj osnovi. I sam izraz pozvao vektorska dekompozicijapo osnovu .
Poslužena večera:
Počnimo s prvim slovom abecede: . Crtež jasno pokazuje da se pri dekomponovanju vektora u bazu koriste oni o kojima smo upravo govorili:
1) pravilo za množenje vektora brojem: i ;
2) sabiranje vektora prema pravilu trougla: .
Sada mentalno nacrtajte vektor iz bilo koje druge tačke na ravni. Sasvim je očigledno da će ga njegovo propadanje „nemilosrdno pratiti“. Evo je, sloboda vektora - vektor "nosi sve sa sobom". Ovo svojstvo, naravno, vrijedi za bilo koji vektor. Smiješno je da sami osnovni (slobodni) vektori ne moraju biti iscrtani od početka, jedan se može nacrtati npr. dolje lijevo, a drugi gore desno i ništa se neće promijeniti! Istina, ne morate to da radite, jer će i nastavnik pokazati originalnost i izvući vam "kredit" na neočekivanom mjestu.
Vektori ilustruju tačno pravilo za množenje vektora brojem, vektor je kosmeran sa baznim vektorom, vektor je usmeren suprotno od baznog vektora. Za ove vektore, jedna od koordinata je jednaka nuli; možete je pažljivo napisati ovako:
A osnovni vektori su, inače, ovakvi: (u stvari, oni se izražavaju kroz sebe).
I na kraju: , . Usput, šta je vektorsko oduzimanje i zašto nisam govorio o pravilu oduzimanja? Negdje u linearnoj algebri, ne sjećam se gdje, primijetio sam da je oduzimanje poseban slučaj sabiranja. Dakle, proširenja vektora “de” i “e” lako se zapisuju kao zbir: , . Preuredite pojmove i vidite na crtežu kako dobro staro dobro sabiranje vektora prema pravilu trougla funkcionira u ovim situacijama.
Razmatrana dekompozicija forme ponekad se naziva vektorska dekompozicija u ort sistemu(tj. u sistemu jediničnih vektora). Ali ovo nije jedini način za pisanje vektora; uobičajena je sljedeća opcija:
Ili sa znakom jednakosti:
Sami bazni vektori su zapisani na sljedeći način: i
To jest, koordinate vektora su naznačene u zagradama. U praktičnim problemima koriste se sve tri opcije notacije.
Dvoumio sam se da li da govorim, ali ipak ću reći: vektorske koordinate se ne mogu preurediti. Strogo na prvom mjestu zapisujemo koordinate koje odgovaraju jediničnom vektoru, strogo na drugom mestu zapisujemo koordinatu koja odgovara jediničnom vektoru. Zaista, i dva su različita vektora.
Shvatili smo koordinate u avionu. Pogledajmo sada vektore u trodimenzionalnom prostoru, ovdje je gotovo sve isto! Samo će dodati još jednu koordinatu. Teško je napraviti trodimenzionalne crteže, pa ću se ograničiti na jedan vektor, koji ću zbog jednostavnosti ostaviti po strani od porijekla:
Bilo koji 3D vektor prostora jedini način proširiti preko ortonormalne osnove:
, gdje su koordinate vektora (broja) u ovoj bazi.
Primjer sa slike: . Pogledajmo kako funkcionišu vektorska pravila. Prvo, množenje vektora brojem: (crvena strelica), (zelena strelica) i (strelica maline). Drugo, evo primjera dodavanja nekoliko u ovo slučaj tri, vektori: . Vektor zbroja počinje na početnoj tački polaska (početak vektora) i završava na konačnoj tački dolaska (kraj vektora).
Svi vektori trodimenzionalnog prostora, naravno, također su slobodni; pokušajte mentalno odvojiti vektor iz bilo koje druge točke i shvatit ćete da će njegova dekompozicija „ostati s njim“.
Slično kao i ravno kućište, osim pisanja verzije sa zagradama se široko koriste: bilo .
Ako jedan (ili dva) koordinatni vektor nedostaje u ekspanziji, tada se na njihovo mjesto stavljaju nule. primjeri:
vektor (pažljivo ) – pišimo ;
vektor (pažljivo ) – pišimo ;
vektor (pažljivo ) – pišemo.
Osnovni vektori se pišu na sljedeći način:
Ovo je, možda, svo minimalno teorijsko znanje potrebno za rješavanje problema analitičke geometrije. Možda postoji mnogo termina i definicija, pa preporučujem lutkama da ponovo pročitaju i shvate ove informacije opet. I svakom čitaocu će biti korisno da se osvrne osnovna lekcija radi bolje asimilacije materijala. Kolinearnost, ortogonalnost, ortonormalna osnova, vektorska dekompozicija - ovi i drugi koncepti će se često koristiti u budućnosti. Napominjem da materijali na sajtu nisu dovoljni za polaganje teorijskog testa ili kolokvijuma iz geometrije, budući da pažljivo šifriram sve teoreme (i bez dokaza) - na štetu naučnog stila izlaganja, ali plus za vaše razumijevanje predmet. Da biste dobili detaljne teorijske informacije, naklonite se profesoru Atanasyanu.
I prelazimo na praktični dio:
Najjednostavniji problemi analitičke geometrije.
Akcije sa vektorima u koordinatama
Veoma je preporučljivo naučiti kako rješavati zadatke koji će se razmatrati potpuno automatski, te formule zapamtiti, ni ne pamte posebno, oni će se sami sjetiti =) Ovo je vrlo važno, jer u najjednostavnijem elementarnih primjera drugi problemi analitičke geometrije su zasnovani, i bilo bi šteta potrošiti dodatno vrijeme jedući pijune. Nema potrebe da zakopčavate gornje dugmad na košulji, mnoge stvari su vam poznate iz škole.
Prezentacija materijala će se odvijati paralelno - i za avion i za svemir. Iz razloga što sve formule... videćete sami.
Kako pronaći vektor iz dvije tačke?
Ako su date dvije tačke ravni i, tada vektor ima sljedeće koordinate:
Ako su date dvije tačke u prostoru i, tada vektor ima sljedeće koordinate:
To je, iz koordinata kraja vektora morate oduzeti odgovarajuće koordinate početak vektora.
vježba: Za iste tačke zapišite formule za pronalaženje koordinata vektora. Formule na kraju lekcije.
Primjer 1
S obzirom na dvije točke ravnine i . Pronađite vektorske koordinate
Rješenje: prema odgovarajućoj formuli:
Alternativno, može se koristiti sljedeći unos:
Ovo će odlučiti esteti:
Lično sam navikao na prvu verziju snimka.
odgovor:
Prema uslovu, nije bilo potrebno konstruisati crtež (što je tipično za probleme analitičke geometrije), ali da bih razjasnio neke tačke za lutke, neću biti lijen:
Definitivno treba da razumete razlika između koordinata tačke i vektorskih koordinata:
Koordinate tačaka– to su obične koordinate u pravougaonom koordinatnom sistemu. Mislim da svi znaju crtati tačke na koordinatnoj ravni od 5.-6. razreda. Svaka tačka ima striktno mjesto u ravni i ne može se nigdje pomjeriti.
Koordinate vektora– to je njegovo proširenje po osnovu, u ovom slučaju. Svaki vektor je slobodan, tako da ako je potrebno, možemo ga lako odmaknuti od neke druge tačke u ravni. Zanimljivo je da za vektore uopće ne morate graditi ose ili pravougaoni koordinatni sistem, potrebna vam je samo baza, u ovom slučaju ortonormalna osnova ravni.
Čini se da su zapisi o koordinatama tačaka i koordinatama vektora slični: , i značenje koordinata apsolutno drugačije, i trebali biste biti svjesni ove razlike. Ova razlika se, naravno, odnosi i na prostor.
Dame i gospodo, napunimo ruke:
Primjer 2
a) Dani su bodovi i. Pronađite vektore i .
b) Daju se bodovi i . Pronađite vektore i .
c) Poeni i su dati. Pronađite vektore i .
d) Daju se bodovi. Pronađite vektore .
Možda je to dovoljno. Ovo su primjeri za nezavisna odluka, potrudite se da ih ne zanemarite, isplatiće vam se ;-). Nema potrebe za pravljenjem crteža. Rješenja i odgovori na kraju lekcije.
Šta je važno pri rješavanju zadataka analitičke geometrije? Važno je da budete IZUZETNO PAŽLJIVI da ne napravite majstorsku grešku „dva plus dva je nula“. Izvinjavam se odmah ako sam negde pogresio =)
Kako pronaći dužinu segmenta?
Dužina, kao što je već napomenuto, označena je znakom modula.
Ako su date dvije točke ravnine i , tada se dužina segmenta može izračunati pomoću formule
Ako su date dvije točke u prostoru i, tada se dužina segmenta može izračunati pomoću formule
Bilješka: Formule će ostati ispravne ako se zamijene odgovarajuće koordinate: i , ali prva opcija je standardnija
Primjer 3
Rješenje: prema odgovarajućoj formuli:
odgovor:
Radi jasnoće, napraviću crtež
Segment linije - ovo nije vektor, i, naravno, ne možete ga nigdje pomjeriti. Osim toga, ako crtate u mjerilu: 1 jedinica. = 1 cm (dve ćelije sveske), onda se dobijeni odgovor može proveriti običnim lenjirom direktnim merenjem dužine segmenta.
Da, rješenje je kratko, ali ima još par u njemu važne tačke da razjasnim:
Prvo, u odgovoru stavljamo dimenziju: „jedinice“. Uslov ne kaže ŠTA je, milimetri, centimetri, metri ili kilometri. Stoga bi matematički ispravno rješenje bila opća formulacija: “jedinice” – skraćeno kao “jedinice”.
Drugo, ponovimo školsko gradivo koje je korisno ne samo za razmatrani zadatak:
obratite pažnju na bitan tehnička tehnika – uklanjanje množitelja ispod korijena. Kao rezultat proračuna, imamo rezultat i dobar matematički stil uključuje uklanjanje faktora ispod korijena (ako je moguće). Detaljnije proces izgleda ovako: . Naravno, ostaviti odgovor kakav jeste ne bi bila greška – ali bi to svakako bio nedostatak i težak argument za prepirku od strane nastavnika.
Evo i drugih uobičajenih slučajeva:
Često korijen proizvodi prilično veliki broj, na primjer . Šta učiniti u takvim slučajevima? Pomoću kalkulatora provjeravamo da li je broj djeljiv sa 4: . Da, bilo je potpuno podijeljeno, dakle: . Ili se broj može ponovo podijeliti sa 4? . ovako: . Zadnja cifra broja je neparna, tako da dijeljenje sa 4 po treći put očigledno neće raditi. Pokušajmo podijeliti sa devet: . Kao rezultat:
Spreman.
zaključak: ako ispod korijena dobijemo broj koji se ne može izdvojiti kao cjelina, onda pokušavamo ukloniti faktor ispod korijena - pomoću kalkulatora provjeravamo da li je broj djeljiv sa: 4, 9, 16, 25, 36, 49, itd.
Prilikom rješavanja raznih problema često se susreću s korijenima; uvijek pokušajte da izvučete faktore ispod korijena kako biste izbjegli nižu ocjenu i nepotrebne probleme sa finaliziranjem rješenja na osnovu komentara nastavnika.
Ponovimo i kvadratne korijene i druge potencije:
Pravila za rad sa stepenom u opštem obliku mogu se naći u školskom udžbeniku algebre, ali mislim da je iz datih primera već sve ili skoro sve jasno.
Zadatak za samostalno rješenje sa segmentom u prostoru:
Primjer 4
Poeni i su dati. Pronađite dužinu segmenta.
Rješenje i odgovor nalaze se na kraju lekcije.
Kako pronaći dužinu vektora?
Ako je dat ravan vektor, tada se njegova dužina izračunava po formuli.
Ako je dat vektor prostora, onda se njegova dužina izračunava po formuli .
Sve knjige se mogu preuzeti besplatno i bez registracije.
NOVO. PC. Rashevsky. Rimanova geometrija i tenzorska analiza. 3rd ed. 1967 664 str. djvu. 5.7 MB.
U ovoj monografiji, u detaljnom prikazu i sveobuhvatnom obradi tematike, autor iznosi materijal koji obuhvata najosnovnije i najvažnije iz oblasti tenzorske analize i Rimanove geometrije.
Posebnost knjige je izlazak iz oblasti čiste tenzorske analize i Rimanove geometrije u mehaniku i fiziku (posebna pažnja u tom pogledu posvećena je teoriji relativnosti). Razmatraju se pseudo-euklidski i pseudo-rimanovi prostori i prostori afine veze. Koristeći niz primjera, date su osnovne ideje teorije geometrijskih objekata, uključujući teoriju spinora u četvorodimenzionalni prostor. Izlaganje je dopunjeno i nizom posebnih pitanja od fundamentalnog značaja (teorija krivulja i hiperpovršina u Rimanovom prostoru, itd.).
Knjiga je namenjena stručnjacima iz oblasti tenzorske analize i Rimanove geometrije, inženjerima, a može poslužiti i kao udžbenik za studente.
Ova knjiga je po svojoj prirodi mnogo bliža udžbeniku nego monografiji namenjenoj specijalistima. Materijal je prilično dostupan studentu treće godine fakulteta.
Skinuti
NOVO. IN AND. Filippenko. ELEMENTI TEORIJE POLJA. godine 2009. 27 str. PDF. 333 KB.
Priručnik pokriva osnovne koncepte teorije polja: gradijent, divergencija, rotor, cirkulacija. Date su primjene Gauss–Ostrogradskog i Stokesovog teorema. Naznačeni su uslovi za potencijalnost i solenoidnost vektorskih polja. Daju se detaljna rješenja tipičnih primjera proračuna. numeričke karakteristike vektorsko polje. Odabran je dovoljan broj primjera koje učenici mogu samostalno rješavati.
Priručnik je namenjen vanrednim studentima YURGUES-a.
Preporučujem čitanje opšte fizike kada proučavate elektricitet i magnetizam.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skinuti
Akivis M. A., Goldberg V. V. Tenzorski račun: Udžbenik. dodatak. 3. izdanje, revidirano. 2003 304 str. djvu. 2.0 MB.
Izložene su osnove tenzorskog računa i neke od njegovih primjena u geometriji, mehanici i fizici. Izrađen kao aplikacije opšta teorija proučavaju se površine drugog reda, tenzori inercije, napona, deformacija i razmatraju neka pitanja kristalne fizike. Završno poglavlje uvodi elemente tenzorske analize.
Za studente visokih tehničkih obrazovnih institucija.
Skinuti
Yu.A. Aminov. Geometrija vektorskog polja. 1990 215 str. djvu. 5.1 MB.
Prikazani su rezultati geometrije vektorskih polja u trodimenzionalnom euklidskom prostoru, počevši od radova Vossa, Sintsova, Lilienthala i dr. Razmatraju se vektorska polja u r-dimenzionalnom prostoru, sistemi Pfaffovih jednačina i eksterni oblici. Ukratko su predstavljeni neki topološki koncepti i formulisana de Ramova teorema. Uvedena je Godbillon-Vey invarijanta folijacije i dokazana Whiteheadova formula. .
Za dodiplomske, postdiplomce i istraživače specijalizirane za geometriju i topologiju. A).
. . . . Skinuti
Anchikov A. M. Osnove vektorske i tenzorske analize. 1988 140 str. djv. 1,5 MB.
Za studente specijalnosti fizike i radiofizike na univerzitetima i fakultetima koji žele samostalno da studiraju predmet.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skinuti
M.A. Akivis, V.V. Goldberg. Tenzorski račun. 1969 352 str. tdjvu. 3,4 MB.
Izložene su osnove tenzorskog računa i neke od njegovih primjena u geometriji, mehanici i fizici. Kao primjene konstruiše se opća teorija površina drugog reda, proučavaju tenzori inercije, naprezanja i def.. Posljednje poglavlje uvodi elemente tenzorske analize.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skinuti
Averu J. i dr. ČETVORIDIMENZIONALNA RIMAHOBA GEOMETRIJA. 175 str. djvu. 3.9 MB.
Kolektivna monografija koju je napisala grupa francuskih matematičara koju je uredio Arthur Besse. U knjizi su sistematski prikazani rezultati iz oblasti geometrije i analize, odražavajući njihovu povezanost sa savremeni problemi fizike. Za matematičare raznih specijalnosti, teorijske fizičare, diplomirane studente i studente.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skinuti
3.T. BAZYLEV, K.I. DUNICHEV. Geometrija 2. u 2 toma. Uch. dodatak 1975 368 str. djvu. 5.4 MB.
Sadržaj: PROJEKTIVNI PROSTOR I METODE SLIKE. OSNOVE GEOMETRIJE. ELEMENTI TOPOLOGIJE. LINIJE I POVRŠINE U EUKLIDIJANSKOM PROSTORU.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skinuti
3. T. BAZYLEV, K. I. DUNICHEV, V. P. IVANITSKAYA. Geometrija. u 2 toma. Uch. dodatak za 1. godinu. 1974 353 str. djvu. 5.1 MB.
Ovaj kurs geometrije, objavljen u dve knjige, sastavljen je na osnovu predavanja autora na Matematičkom fakultetu Moskovskog regionalnog pedagoškog instituta. N.K. Krupskaya. Odgovara novom programu usvojenom na pedagoškim zavodima 1970. godine. Prikaz ovog predmeta je u potpunosti usklađen sa novim programom iz algebre i teorije brojeva. Predmet je strukturiran na način da tako važni koncepti moderne matematike kao što su pojmovi skupa, vektorskog prostora, preslikavanja, transformacije, matematičke strukture predstavljaju radni alat u proučavanju geometrije. Aksiomatska metoda počinje da se koristi tek u poglavlju o n-dimenzionalnim afinim i euklidskim prostorima. Prije toga se gradivo predstavlja na osnovu onih geometrijskih pojmova koje su učenici razvili tokom izučavanja školskog predmeta geometrije. Aksiomatiku školskog predmeta geometrije i njene veze sa ostalim aksiomatikama geometrije razmatramo u dijelu o osnovama geometrije (u drugom dijelu predloženog predmeta).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skinuti
Borisenko, Tarapov. Vektorska analiza i počeci tenzorskog računa. Možda najrazumljivija knjiga na ovu temu. Predstavljeni materijal je sasvim dovoljan za razumijevanje grana fizike (posebno korisno za elektricitet i magnetizam). Mnogo je korisnih primjera na kraju knjige. Veličina 2.1 MB.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . skinuti
Wolf J. Prostori konstantna zakrivljenost. 1982 480 str. djvu. 6,5 MB.
Knjiga je posvećena problemima klasifikacije u teoriji prostora konstantne zakrivljenosti i simetričnih prostora. Istaknuto mjesto u kei zauzima cjelovito autorovo rješenje klasičnog problema sfernih prostornih oblika. No, pokriven je mnogo širi raspon problema, uključujući djelomičnu klasifikaciju pseudo-Riemanovih prostora konstantne zakrivljenosti. Prva dva poglavlja pružaju uvod u modernu Rimanovu geometriju.
Za istraživače i diplomirane studente specijaliziranih za geometriju, topologiju, teoriju Lieovih grupa, kao i za teorijske fizičare i specijaliste matematičke kristalografije. Može biti korisno za starije studente.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skinuti
P.B. Gusjatnikov, S.V. Reznichenko. Vektorska algebra u primjerima i problemima. Udžbenik 1985 233 str. djvu. 4.1 MB.
Knjiga je posvećena dobu rudarskog računa i njegovoj primjeni u rješavanju geometrijski problemi Date su potrebne informacije iz elementarne geometrije, razmatraju se vektori i linearne operacije nad njima, skalarni, vektorski i mješoviti produkti vektora.
Prilično jednostavan priručnik, ali svaki student tehnike bi trebao znati materijal sadržan u njemu.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skinuti
Dimitrienko Yu.I. Tenzorski račun. Udžbenik 2001 575 str. djvu. 5.1 MB.
Udžbenik pokriva glavne dijelove tenzorskog računa koji se koriste u mehanici kontinuuma i elektrodinamici, mehanici kompozita, kristalnoj fizici, kvantnoj hemiji: tenzorska algebra, tenzorska analiza, tenzorski opis krivulja i površina, osnove tenzorskog integralnog računa. Teorija invarijanti, teorija definiranja indiferentnih tenzora fizička svojstva medija, teorija anizotropnih tenzorskih funkcija, kao i osnove tenzorskog računa u Rimanovim prostorima i prostorima afine veze.
Za studente osnovnih i postdiplomskih studija visokoškolskih ustanova koji studiraju fiziku, matematiku i mašinstvo.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skinuti
V.A. Zhelnorovich. Teorija spinora i njena primjena. godine 2001. 401 str. djvu. 3.1 MB.
Knjiga sadrži sistematski prikaz teorije spinora u konačno-dimenzionalnim euklidskim i Rimanovim prostorima; razmatra se primjena spinora u teoriji polja i relativističke mehanike kontinuum. Glavni matematički dio odnosi se na proučavanje invarijantnih algebarskih i geometrijskih odnosa između spinora i tenzora. Teorija spinora i metode tenzorske reprezentacije spinora i spinorske jednadžbe u četverodimenzionalnim i trodimenzionalnim prostorima su posebno i detaljno prikazane. Kao primjenu, razmatramo invarijantnu tenzorsku formulaciju određenih klasa diferencijalnih spinornih jednadžbi, koje sadrže, posebno, najvažnije spinorne jednadžbe teorije polja i kvantne mehanike; data su tačna rješenja jednadžbi za relativističke spinske tekućine, Einstein-Diracove jednačine i neke nelinearne spinorne jednadžbe teorije polja. Knjiga sadrži mnogo činjeničnog materijala i može se koristiti kao referentna knjiga. Knjiga je namenjena specijalistima iz oblasti teorije polja, kao i studentima osnovnih i postdiplomskih studija fizike i matematike.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skinuti
P.A. Zhilin. Vektori i tenzori drugog ranga. >1996. 275 str. djvu. 1,5 MB.
Knjiga je prvi dio malo prerađene beleške sa predavanja iz predmeta teorijske mehanike, koju autor čita studentima Fizičko-mehaničkog fakulteta. Autor je morao uzeti u obzir konfliktne zahtjeve. S jedne strane, ovo savremeni kurs naprednog tipa, koji se čita budućim mašinskim inženjerima-istraživacima tokom trećeg, trećeg i četvrtog semestra. S druge strane, prilikom izvođenja nastave, autor je mogao računati samo na to da su učenici savladali matematiku u okviru školskog programa.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skinuti
O.E. Zubelevich. Predavanja o tenzorskoj analizi. 51 str. PDF. 281 KB.
Predavanja imaju dva poglavlja: 1. Multilinearna algebra, 2. Diferencijalni račun tenzora.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skinuti
M.L. Krasnov, A.I. Kiselev, G.I. Makarenko. Vektorska analiza. Problemi i primjeri sa detaljnim rješenjima. Udžbenik 2007 158 str. djvu. 944 KB.
Predložena zbirka zadataka može se smatrati kratkim kursom vektorske analize, u kojem se bez dokaza navode osnovne činjenice i ilustruju konkretnim primjerima. Stoga se predložena knjiga zadataka može koristiti, s jedne strane, za pregled osnova vektorske analize, as druge strane kao udžbenik za ljude koji, ne ulazeći u dokaze određenih tvrdnji i teorema, žele savladati tehnika operacija vektorske analize. Prilikom sastavljanja knjige zadataka, autori su koristili materijale sadržane u postojećim kursevima vektorskog računa i zbirkama zadataka. Značajan dio problema sastavili su sami autori, a na početku svakog paragrafa dat je sažetak glavnih teorijskih principa, definicija i formula, kao i detaljno rješenje od 100 primjera. Knjiga sadrži više od 300 zadataka i primjera za samostalno rješavanje. Svi oni imaju odgovore ili upute za rješenje. Postoji niz primijenjenih problema koji su odabrani tako da njihova analiza ne zahtijeva dodatne informacije od čitaoca iz posebnih disciplina. Materijal u šestom poglavlju, posvećen krivolinijskim koordinatama i osnovnim operacijama vektorske analize u krivolinijskim koordinatama, uvršten je u knjigu kako bi se čitatelju pružio barem minimalan broj zadataka za stjecanje potrebnih vještina.
Zbirka zadataka namijenjena je dnevnim i večernjim studentima tehnički univerziteti, inženjeri, kao i vanredni studenti koji su upoznati sa vektorskom algebrom i matematičkom analizom u prva dva predmeta.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skinuti
V.F. Kagan. Osnove teorije površina u tenzorskom prikazu. U 2 dijela. 1947-1948. djvu.
Dio 1. Istraživački aparat. Opće osnove teorije i unutrašnje geosetrije površina. 514 str. 16,4 MB.
Dio 2. Površine u prostoru. Prikaz i savijanje površina. Posebna pitanja. 410 str. 14,8 MB.
Knjiga za one koji žele temeljno razumjeti tenzorsku analizu.
Transkript
1 teorijska fizika „Odobravam“ Dekan Fizičkog fakulteta F.V.Titov 2012 Program rada discipline Vektorska i tenzorska analiza za specijalnost Fizika, ENF.3.4 Nastavni predmet: 1 Semestar: 2 Predavanja: 16 časova. Praktična nastava: 18 sati. Samostalan rad: 36 sati. Ukupno: 70 sati. Sastavio: dr.sc., vanredni profesor. KTF Kemerovski državni univerzitet Kravčenko N.G. Ispit: 2. semestar Kemerovo 2013
3 1. Objašnjenje Program rada je sastavljen na osnovu standardnog programa kursa „Vektorska i tenzorska analiza“ za specijalnost „Fizika“, smer „Fizika“, odobrenog od EMS-a za fiziku obrazovne ustanove klasičnih univerziteta (Moskva, 2001.) i u potpunosti ispunjava zahtjeve Državnog obrazovnog standarda za specijalnost "Fizika" (smjer "Fizika"), odobrenog 2000. godine. Relevantnost i značaj predmeta. Elementi vektorske i tenzorske analize se široko koriste u svim granama fizike. Predmet je usmjeren na razvijanje koncepata i vještina u radu sa matematičkim objektima tenzorske prirode, koji čine osnovu nepromjenjivog matematičkog aparata, koji se široko koristi kako u općoj (elektricitet i magnetizam) tako iu teorijskoj fizici (teorijska mehanika, elektrodinamika, osnove mehanika kontinuuma, kvantna mehanika itd.). Ovaj kurs je takođe osnova za većinu specijalnih kurseva obuke. Svrha i ciljevi izučavanja predmeta. Sistematizovati prethodno stečena znanja iz matematička analiza i analitička geometrija (koncepti skalara, vektora, prijelaza iz jednog koordinatnog sistema u drugi, integralne teoreme Gauss-Ostrogradskog i Stokesa, koncept vektorskog toka i cirkulacije vektorskog polja, itd.); steći nova znanja (pojam tenzora, rad sa indeksima; sposobnost rada u krivolinijskim koordinatama; diferencijalni operatori rot, dv i grad; generalizovane integralne teoreme itd.); biti sposoban primijeniti indeksne oblike notacije za rješavanje primijenjenih problema (rješavanje jednostavnih problema elektrodinamike, teorijska mehanika i mehanika kontinuuma). Mjesto discipline u stručnom usavršavanju specijalista. Disciplina je uključena u stručni ciklus opštih matematičkih i prirodno-naučnih disciplina (EN.F.3.4). Ova disciplina je logično i smisleno povezana sa disciplinama i OOP modulima kao što su: „Analitička geometrija“, „Linearna algebra“, „Matematička analiza“ i neophodna je prilikom izučavanja predmeta. opšta fizika“Elektricitet i magnetizam”, svi predmeti teorijske fizike. Struktura akademska disciplina. Ovaj kurs se sastoji od dva dijela: “Vektorska analiza” i “Tenzorska analiza”. Pitanja koja čine glavni sadržaj predmeta uključuju: skalarna i vektorska polja, teoreme Greena, Ostrogradskog-Gausa, Stokesa, gradijent diferencijalnih operatora, divergenciju, rotor, Laplaceov operator, osnovne operacije vektorske analize u krivolinijskim koordinatama, potencijal i solenoidna polja, vektor polilinearnih funkcija
4 argumenta, transformacija tenzorskih koordinata pri promjeni osnove linearnog prostora. Osobine izučavanja discipline. Ovaj predmet je dio velikog dijela matematike „Vektorska i tenzorska analiza“, ali je namijenjen studentima fizike i za njegovo izučavanje je određen mali broj sati. Stoga je iz ovog ogromnog dijela matematike odabran materijal koji je neophodan za izučavanje predmeta teorijske fizike. Na osnovu nivoa obučenosti studenata koji studiraju na Fakultetu fizike KemSU i tradicije predavanja ovog predmeta na univerzitetu, ne postoji odeljak „Elementi teorije grupa“. To je zbog alokacije ovaj odeljak na samostalnim predmetima “Teorija grupa” i “Teorija simetrije”. Istovremeno, pokušalo se skrenuti pažnju studenata na fizički sadržaj tenzorskog računa. Oblik organizacije nastave za predmet. Organizacija nastave je tradicionalna, u okviru predmeta „Vektorska i tenzorska analiza“ održavaju se predavanja i izvodi se praktična nastava u toku jednog semestra. Međutim, nastava se održava svake druge sedmice, što zahtijeva od učenika da ulože napore kako bi uspješno organizovali praktičnu nastavu, a od učenika da savladaju gradivo. Odnos učioničkog i samostalnog rada učenika. Učionička nastava, predavanja i vježbe zahtijevaju samostalan rad studenata na ovom predmetu. Predavanja nude dodatne teme za samostalno učenje i samostalno izvođenje nekih proračuna. Tokom praktične nastave daju se domaći zadaci za samostalno rješavanje zadataka i vježbi. Uslovi za nivo savladanosti sadržaja kursa. Slobodan rad sa takvima matematički koncepti kao tenzor, vektor i skalar; zavoj i divergencija vektorskog polja, gradijent skalarnog polja. Posjedovati vještine rada u različitim koordinatnim sistemima. Biti sposoban primijeniti znanje tenzorske i vektorske analize na fizičkih zadataka. Obim i vrijeme održavanja kursa. Predmet „Vektorska i tenzorska analiza“ izvodi se u prvoj godini (2. semestar): predavanja 1 sat sedmično (16 sati), praktična nastava 1 sat sedmično (18 sati), samostalni rad studenata (36 sati). Vrste kontrole znanja i izvještavanja. Usvajanje gradiva izloženog na predavanjima kontroliše se izvođenjem petominutnih „diktata predavanja“ o osnovnim pojmovima prethodnih predavanja. Savladanost svake teme obrađene tokom praktične nastave kontroliše se izvođenjem pet do sedam minuta testa. U toku semestra ima osam testovi i sedam diktata predavanja. Teme koje se podnose za samostalno učenje zahtijevaju pisanje sažetaka.
5 Kriterijumi za ocjenjivanje znanja studenata o predmetu. Za prijem na ispit iz predmeta „Vektorska i tenzorska analiza“ potrebno je pohađati nastavu u učionici i uraditi testne zadatke za praktični i teorijski predmet. Sistem ocjenjivanja studentskog rada je bodovan, studenti koji postignu najmanje 25% od maksimalno mogućeg rezultata mogu pristupiti ispitu. “Dobar” se daje pri rješavanju dva zadatka na ispitnom radu. Problem se smatra riješenim ako se da njegovo potpuno, ispravno, postupno rješenje uz usmeno objašnjenje. Da biste dobili ocjenu „odličan“, pored rješavanja zadatka, morate u potpunosti i s razumijevanjem odgovoriti na dva teorijska pitanja na listiću. Ispit se izvodi usmeno. 2. Tematski plan. Obim časova Naziv i sadržaj sekcija, tema, modula Opšte Rad u učionici Predavanja Praktična laboratorija Samostalni rad Oblici kontrole Elementi vektorske algebre Diktat predavanja, testni rad 2 Tenzorska algebra Diktat predavanja, testni rad 3 Vektorska analiza - osnovne definicije 4 Integralne teoreme vektor analiza, diferencijalne karakteristike vektorskih polja Diktat predavanja, testni rad Diktat predavanja, test
6. rad 5 Osnovne operacije vektorske diferencijacije 6 Greenove formule i glavna teorema vektorske analize Diktat predavanja, testni rad Diktat predavanja 7 Krivilinearni koordinatni sistemi Sažetak 8 Elementi teorije grupa Sažetak Ukupno: Sadržaj discipline. Teorijski kurs. Elementi vektorske algebre. Skalari. Vektori - definicija, pravilo sabiranja. Suprotan vektor. Null vektor. Projekcija vektora na osu. Linearna zavisnost vektori. Uslov za linearnu nezavisnost tri vektora. Vektorska dekompozicija. Vektorska osnova. Kartezijanska osnova. Skalarni, vektorski, mješoviti, dvostruki unakrsni proizvod vektora - definicija, izračunavanje u Kartezijanski sistem koordinate Transformacija jediničnih vektora dvije ortogonalne baze. Ortogonalne transformacije. Ortogonalne matrice. Tenzorska algebra. Opća definicija tenzora. Transformacioni zakon za ortogonalne transformacije koordinatnih sistema. Kovarijansa tenzorskih jednačina. Primjeri. Algebra tenzora: sabiranje, množenje, konvolucija tenzora. Simetrični i antisimetrični tenzori. -Kronecker simbol. Znak da je veličina tenzorska. Svoje i nevlasne ortogonalne transformacije. Pseudotenzori. Levi-Civita pseudotenzor. Vektorska analiza - osnovne definicije. Vektorska funkcija skalarnog argumenta. Derivat vektorske funkcije skalarnog argumenta. Tenzorsko polje. Diferencijacija tenzorskog polja po koordinatama. Skalarno polje. Smjerni derivat. Gradijent. Vektorsko polje. Vektorske linije. Jednadžba vektorskih linija. Integralne teoreme vektorske analize, diferencijalne karakteristike vektora. Vektorski tok polja. Teorema Ostrogradskog-
7 Gausov za vektorska polja. Divergencija vektorskog polja. Cirkulacija vektorskog polja. Stokesova teorema za vektorska polja. Rotor vektorskog polja. Osnovne operacije vektorske diferencijacije. Hamiltonov operator (). Zapisivanje osnovnih operacija vektorske diferencijacije u vektorskom obliku sa operatorom iu Dekartovom koordinatnom sistemu. Zapisivanje osnovnih operacija vektorske diferencijacije u tenzorskom obliku. Vektorske diferencijalne operacije drugog reda. Laplace operater. Greenove formule i glavna teorema vektorske analize. Posljedice integralnih teorema: Greenova 1. i 2. formula. Glavni teorem vektorske analize je konstrukcija potencijalnih i solenoidnih vektorskih polja. Krivolinijski koordinatni sistemi. Definicija. Lame koeficijenti. Lokalna osnova. Cilindrični, sferni koordinatni sistemi. Gradijent, divergencija, rotor, Laplaceov operator u krivolinijskim koordinatnim sistemima. Elementi teorije grupa. Apstraktne grupe. Aksiomi teorije grupa. Podgrupa, konjugirani agregati. Casovi. Izomorfizam i homomorfizam grupa. Direktan proizvod grupa. Grupne tablice množenja. Praktične vježbe 1. Vektorska algebra (vektori, skalari, osnovne operacije sa vektorima: skalar, vektor, mješoviti proizvod vektora). 2. Tenzorska algebra. -Kroneckerov simbol, Einsteinovo pravilo sumiranja, diferencijacija funkcija više varijabli korištenjem indeksne notacije (j, x,) x 3. Tenzorska algebra. Tenzori: definicija, zakon transformacije (zadaci o zakonu transformacije, invarijantni tenzori na primjeru - simbola). Dodatno: diferencijacija (lekcija 2). 4. Tenzorska algebra. Levi-Civita pseudotenzor, parne i neparne permutacije, pisanje vektorskih izraza u tenzorskom obliku. 5. Vektorska analiza. Gradijent: definicija (Kartezijanski koordinatni sistem). 1 Razmatranje osnovnih primjera: r, (a, r), (, a) r u Dekartovom sistemu r Diferencijacija bez koordinata ((r) r,) r 6. Vektorska analiza. Divergencija vektorskog polja: definicija (Dekartov koordinatni sistem), fizičko značenje sa primjerima. Glavni zadaci dv r 3,
8 dv[ a, r] 0, vektorske linije. „Vektorska“ diferencijacija bez koordinata koristeći svojstva divergencije: (dv(A B) dva dvb, dv A dva (, A),) 7. Vektorska analiza. Zavoj vektorskog polja: definicija (kartezijanski sistem), fizičko značenje sa primjerima. Glavni problemi: rotr 0, rot[ a, r] 2a. Primjeri diferencijacije bez koordinata „vektora“ koristeći svojstva rotora (rot(A B) rota rotb, rot A rota [, A],). 8. Rješavanje problema vektorske diferencijacije 1 9. Krivolinijski koordinatni sistemi. Razmatranje osnovnih primjera (r, r dvr r, dv, rotr) u cilindričnim i sfernim koordinatnim sistemima. n r 4. Spisak osnovne obrazovne literature 1. Gordienko A.B., Zolotarev M.L., Kravchenko N.G. Osnove vektorske i tenzorske analize: udžbenik. Tomsk: iz TSPU, str. 2. Žuravljev Yu.N., Kravchenko N.G. Uvod u teoriju simetrije: obrazovni priručnik / Kemerovski državni univerzitet. Kemerovo: Kuzbassvuzizdat, str. 3. Keller I. E. Tenzorski račun. / Sankt Peterburg: Lan, 2012, 176 str. (pristupljeno iz 4. Fikhtengolts G.M. Kurs diferencijalnog i integralnog računa: Udžbenik. U 3 toma. Tom 3. 9. izdanje / Sankt Peterburg: Lan, 2009, 656 str. (pristupljeno iz Dodatna literatura. 1. Gordienko A.B., Zolotarev). M.L., Polygalov Yu.I.Osnove vektorske i tenzorske analize Dio I Vektorska algebra Metodološka uputstva za samostalni rad studenata Kemerovo, KemSU, Fikhtengolts G.M. Kurs diferencijalnog i integralnog računa M.: Fizmatlit, 2003, vol. 3, 723 str. 3. Polygalov Yu.I.Smjernice za predmet Osnove vektorske i tenzorske analize, Kemerovo, Izdavačka kuća KemGU, 1988., 82. str. 4. Gordienko A.B., Zolotarev M.L., Polygalov Yu.I. i tenzorska analiza.Deo 2.Osnovi vektorske analize.Uputstva za samostalan rad studenata Kemerovo,KemSU,Oblici strujne, srednje i granične kontrole A ) Pitanja za ispit 1. Skalari Vektori - definicija, pravilo sabiranja. vektor Nulti vektor Projekcija na osu.
9 2. Linearna zavisnost vektora. Uslov za linearnu nezavisnost tri vektora. Vektorska dekompozicija. Vektorska osnova. Kartezijanska osnova. 3. Skalarni, vektorski, mješoviti, dvostruki vektorski proizvod definicija vektora, proračun u Dekartovom koordinatnom sistemu. 4. Transformacija jediničnih vektora dvije ortogonalne baze. Ortogonalne transformacije. Ortogonalne matrice. 5. Opća definicija tenzora. Transformacioni zakon za ortogonalne transformacije koordinatnih sistema. 6. Kovarijansa tenzorskih jednačina. Primjeri. 7. Algebra tenzora: sabiranje i množenje tenzora. 8. Algebra tenzora: konvolucija tenzora. 9. Simetrični i antisimetrični tenzori. -Kronecker simbol (definicija, zakon transformacije, rang). 10. Znak tenzornosti veličine. 11. Pravilne i nepravilne ortogonalne transformacije. Pseudotenzori. 12.Levi-Civita pseudotenzor. Pisanje vektorskog proizvoda u tenzorskom obliku. 13.Vektorska funkcija skalarnog argumenta. Derivat. 14.Tenzorsko polje. Diferencijacija tenzorskog polja po koordinatama. 15. Skalarno polje. Smjerni derivat. Gradijent. 16.Vektorsko polje. Vektorske linije. Jednadžba vektorskih linija. 17.Vektorski tok polja. 18. Ostrogradsky-Gaussova teorema za vektorska polja (formulacija). Divergencija vektorskog polja. 19. Kruženje vektorskog polja. Stokesova teorema za vektorska polja. Rotor vektorskog polja. 20. Zapisivanje osnovnih operacija vektorske diferencijacije u vektorskom obliku sa operatorom iu Dekartovom koordinatnom sistemu. 21.Pisanje osnovnih operacija vektorske algebre i vektorske diferencijacije u tenzorskom obliku: A, B, A B, A, B, C, dva, rota. 22.Vektorske diferencijalne operacije drugog reda. 23. Posljedice integralnih teorema: Greenova prva formula. 24. Posljedice integralnih teorema: Greenova druga formula. 25. Glavna teorema vektorske analize. Konstrukcija solenoidnog vektorskog polja. 26. Glavna teorema vektorske analize. Konstrukcija potencijalnog vektorskog polja. 27. Krivolinijske koordinate. 28. Gradijent skalarnog polja u ortogonalnim krivolinijskim koordinatnim sistemima. 29. Divergencija vektorskog polja u ortogonalnim krivolinijskim koordinatnim sistemima.
10 30.Rotor vektorskog polja u ortogonalnim krivolinijskim koordinatnim sistemima. 31. Laplaceov operator u ortogonalnim krivolinijskim koordinatnim sistemima. 32.Aksiomi teorije grupa. 33. Podgrupa, konjugirani agregati. Indeks podgrupe. 34.Nastava. 35. Direktan proizvod grupa. Okvirna lista zadataka za ispit 1. Operacije sa vektorima. 1.1 Izračunajte [ A, B ] i A, B) za vektore: A 5 6 j 3 i A 1 1j A 5 4 j 3 i A 3 j Izračunajte (C,[ A, B]) za vektore: (1) A 11 6 j 2, B 10 7 i C A j 2, B 10 7 i C 3 2 j 1.3 Direktnim proračunom pokazati da [ A,[ B, C]] [[ A, B], C] : (1) A 11 6 j 2, B 10 7 i C A j 2, B 10 7 i C 3 2 j 1.4 Direktnim proračunom pokazati da [ A,[ B, C]] B(A, C) C(A, B) : ( 1) A 11 6 j 2, B 10 7 i C 2 3 j A j, B 10 7 i C 2 j 1.5 Izračunati zapreminu piramide ABCD čiji vrhovi imaju koordinate: (2) A(1,- 1,0), B(2,3,1), C(-1,1,1), D(4,3,-5) A(2,0,3), B(1,1,1) , C(4, 6,6), D(-1,2,3) 2. Zbrojite izraz sa -simbolom: 2.1 Al m mj n 2.2 A B l lm l n mp 2.4 l lj j 2.4 Cm ml 2.27 j m jm m n jn n 2,28 n m nm mm m nn n mn 3. Zapišite zakon transformacije i označite rang veličine: 3,1 TlmBmC 3,2 A B 3,3 A B 3,4 B nl
11 Al lm 3,6 B x x x 2 A x x m A x x m 2 Bm x x l 2 T x x l 3,8 B l 4. Razlikovati: 2 x x 4,1 Cxx, T x x x j, j, j x x x j 4,2 xx s x 1 x 4.6 A x4 s x 1 x 4.6 4.20 x m A m exp x 5. Izračunajte, koristeći bilo koju od metoda, prikaz u Dekartovom koordinatnom sistemu, u tenzorskom ili vektorskom obliku: 5.1 rot[ r,[ a, r]] 5.2 (a, r) 5.3 dv[ a, r] (a, r) 5,5 grad 3 r 5,4 rot[ a, r] [ a, r] 5,6 rot 3 r 5,7 dv ar 5,8 rot ar 5,9 dv r ln 2 (a, r) 5.10 grad r ln 2 (a , r) ln(a, r) 5.12 (b,)[ a, r] 5.13 (r,)[ r, rb] 5.14 dv r ln r c) Primjeri pitanja za predavanje “diktati” 1. Definirati Kronecker -simbol 2. dati definiciju tenzora n-tog ranga 3. zapisati pravilo za sabiranje tenzora 4. zapisati pravilo za množenje tenzora 5. dati definiciju pseudotenzora 6. dati definicija pseudotenzora Levi Civita. 7. naznačiti kako se mijenja rang tenzora kada se diferencira u odnosu na skalarni argument 8. naznačiti kako se mijenja rang tenzora kada se diferencira u odnosu na koordinate radijus vektora m
12 9. upisati operator u Dekartov koordinatni sistem 10. definirati tok vektorskog polja 11. fizičko značenje divergencije 12. formulirati Stokesovu teoremu za vektorska polja 13. fizičko značenje rotora 14. izračunati dv grad 15 izračunaj dv rota 16. izračunaj rot grad a , b, c 17. napiši u tenzorskom obliku d) Sample Topics sažetaka. 1. Krivolinijski koordinatni sistemi. 2. Toroidalni koordinatni sistem. Laplasian skalarne funkcije. 3. Trodimenzionalne paraboličke koordinate. Laplasian skalarne funkcije. 4. Elipsoidne koordinate. Laplasian skalarne funkcije. 5. Paraboloidne koordinate. Laplasian skalarne funkcije. 6. Bicilindrične koordinate. Laplasian skalarne funkcije. 7. Bipolarne koordinate. Laplasian skalarne funkcije. 8. Parabolične koordinate. Laplasian skalarne funkcije. 9. Konične koordinate. Laplasian skalarne funkcije. 10. Koordinate eliptičnog cilindra. Laplasian skalarne funkcije. 11. Koordinate paraboličnog cilindra. Laplasian skalarne funkcije. 12. Toroidalni koordinatni sistem. Gradijent skalarne funkcije. 13. Trodimenzionalne paraboličke koordinate. Gradijent skalarne funkcije. 14. Elipsoidne koordinate. Gradijent skalarne funkcije. 15. Paraboloidne koordinate. Gradijent skalarne funkcije. 16. Bicilindrične koordinate. Gradijent skalarne funkcije. 17. Bipolarne koordinate. Gradijent skalarne funkcije. 18. Paraboličke koordinate. Gradijent skalarne funkcije. 19. Konusne koordinate. Gradijent skalarne funkcije. 20. Koordinate eliptičnog cilindra. Laplasian skalarne funkcije. 21. Koordinate paraboličnog cilindra. Laplasian skalarne funkcije. 22. Grupa permutacija. 23. Mathieu grupa. 24. Transformacije prostora. 25. Grupe simetrije tačaka. 26. Reducibilne i nesvodljive reprezentacije 27. Množenje operacija simetrije 28. Generatori grupa tačaka.
MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE RUJSKE FEDERACIJE Federalna državna budžetska obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja Katedra "Državni univerzitet Kemerovo"
I. Sažetak. Program rada sastavlja se na osnovu državnog obrazovnog standarda za visoko stručno obrazovanje iz predmeta „Vektorska i tenzorska analiza“ i nastavnog plana i programa za specijalnost
anotacija program rada disciplina (modul) “Vektorska i tenzorska analiza” u smeru 14.03.02. Nuklearna fizika i tehnologija (profil Radijaciona sigurnost ljudi i okoline) 1. Ciljevi
Bjeloruski državni univerzitet, Fakultet BSU -;r.:~at~~ni- V.M.Anishchik OSNOVE VEKTORSKE I TENZORSKE ANALIZE Nastavni plan i program za specijalnost: 1-31 04 01 “Fizika (u oblastima))) Fakultet
2 KOMPILATORA: N.G. Abrashina-Zhadayeva - šef Odsjeka za višu matematiku i matematičku fiziku Bjeloruskog državnog univerziteta, doktor fizičko-matematičkih nauka Ruske Federacije,
1 Apstrakt programa rada discipline Vektorska i tenzorska analiza (naziv discipline) Smjer nastave 03.03.02 fizika Profil nastave „Fundamentalna fizika“, „Fizika“ atomsko jezgro
Metodički materijali programa rada discipline “Vektorska i tenzorska analiza” Smjer obuke (specijalnost) 03.14.02 “Nuklearna fizika i tehnologija” Smjer (profil) obrazovnog
Program rada discipline "Vektorska i tenzorska analiza" namenjen je studentima 2. godine III semestra, specijalnost: 010801.65 - RADIOFIZIKA I ELEKTRONIKA
Državna obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja Moskovske oblasti "Međunarodni univerzitet za prirodu, društvo i čovjeka "Dubna" (Univerzitet "Dubna") Fakultet prirodnih nauka
Sažetak programa rada discipline Šifra discipline u nastavnom planu i programu Naziv discipline Šifra i smjer obuke Profil(i) obuke 1. Ciljevi i zadaci discipline B.B.1.4 Vektorska i tenzorska analiza
MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE RUJSKE FEDERACIJE Federalna državna budžetska obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja Katedra "Državni univerzitet Kemerovo"
1. Ciljevi i zadaci discipline: Cilj: razvoj logičkog mišljenja učenika, formiranje opštih naučnih kompetencija i veština za samostalno sticanje matematičkih znanja, nastava osnovnih matematičkih
8. FOND ZA OCJENJIVANJE SREDNJE SERTIFIKACIJE STUDENATA U DISCIPLINI (MODUL). Opće informacije 1. Odsjek 2. Smjer nastave 3. Disciplina (modul) Informatika, računarstvo
1. Spisak planiranih ishoda učenja za disciplinu (modul), u korelaciji sa planiranim rezultatima savladavanja obrazovnog programa Šifre kompetencije OPK-2 Planirani rezultati savladavanja obrazovnog programa
3. Elementi tenzorske analize 3.1. Kovarijantni izvod Zapitajmo se kako odrediti izvode vektora. Možemo li pretpostaviti da za vektor w w g vrijedi sljedeće: w w g? (3.1) Ispada da,
MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE RUJSKE FEDERACIJE Federalna državna budžetska obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja Katedra "Državni univerzitet Kemerovo"
MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE RUSKE Federalne državne budžetske obrazovne ustanove visokog stručnog obrazovanja "Irkutsk State University" (FSBEI HPE "ISU") Fizički fakultet
10201.65 Geofizičke metode istraživanja i istraživanja korisnih ležišta 10202.65 Geofizičke metode istraživanja bušotina sa punim radnim vremenom 1 2 1. Ciljevi i zadaci discipline: Svrha nastave studentima teorije polja
MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE RUJSKE FEDERACIJE Federalna državna budžetska obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja "Kemerovski državni univerzitet" Fizika
MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE RUJSKE FEDERACIJE Federalna državna budžetska obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja Katedra "Državni univerzitet Kemerovo"
Smjer: „Građevinarstvo“ Pitanja i zadaci za semestralni ispit. Matrice: definicija, tipovi. Operacije s matricama: transpozicija, sabiranje, množenje brojem, množenje matrice. 2. Elementarne transformacije
Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije Federalna državna budžetska obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja Odsjek "Kemerovski državni univerzitet"
Federalna agencija za ribarstvo Kamčatski državni tehnički univerzitet Fakultet informacionih tehnologija Odsjek za višu matematiku "ODOBRENO" Dekan Ekonomskog fakulteta I.A. Rychka " " 007 WORKING
MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE REPUBLIKE KAZAHSTAN Zapadno-Kazahstanski državni univerzitet po imenu M. Utemisov PROGRAM RADA UT4305 Teorija polja 050109 - Matematika 2 kredita Uralsk
Predavanje 1 Poglavlje V. Diferencijalni račun funkcija više varijabli (nastavak) 6. Teorema o inverzna funkcija Napomena o rješivosti sistema linearne jednačine Ax = y, m = n, m > n, m< n. Теорема
MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE RUJSKE FEDERACIJE Federalna državna budžetska obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja "Kemerovski državni univerzitet" Novokuznjeck
3.2 METODIČKA UPUTSTVA ZA NASTAVNIKE ZA PRAKTIČNU NASTAVU Semestar I Odjeljak 1. Vektorska i linearna algebra. Praktična lekcija 1 1. Svrha: Razmotriti probleme izračunavanja determinanti drugog
Autori: Kandidat fizičko-matematičkih nauka, profesor A.A. Gander; Kandidat fizičko-matematičkih nauka, vanredni profesor G.M. Gander; Vanredni profesor E.A. Bričikova Naučni urednik Doktor fizičko-matematičkih nauka, prof
Tenzori Tenzori kombinuju niz koncepata koji se koriste u fizici i matematici, posebno u analitičkoj geometriji.Posebni slučajevi tenzora su vektori, linearni operatori, kvadratni
Sadržaj Korišteni simboli... 12 1. Setovi brojeva i operacije sa brojevima... 14 1.1. Numerički skupovi..................................14 1.2. Numerički intervali...16 1.3. Znakovi djeljivosti...17
Trodimenzionalna ortogonalna grupa 2 1 Razmislite o vrlo važan primjer prostor R U datom koordinatnom sistemu, njegove tačke su identifikovane sa njihovim poluprečnik-vektorima X čije ćemo komponente locirati
2 1. Ciljevi i zadaci discipline Matematika je federalna komponenta obrazovnog standarda. To je osnovna disciplina na kojoj se proučavaju sve fundamentalne i tehničke
SEMINARI O TEORIJSKOJ MEHANICI 1 1 KRIVILINIJSKI KOORDINATNI SISTEMI I DIFERENCIJALNI VEKTORI OPERATORA Sažetak Razmatraju se krivolinijski koordinatni sistemi. Uvedeni su tangentni i jedinični vektori
Predgovor Poglavlje I. ELEMENTI LINEARNE ALGEBRE 1. Matrice 1.1. Osnovni koncepti 1.2. Operacije nad matricama 2. Determinante 2.1. Osnovni koncepti 2.2. Svojstva determinanti 3. Nesingularne matrice 3.1.
Ulaznica 1. 1. Krivolinijske koordinate u R 3. Osnova. Cobasis (međusobna osnova). 2. Zakon održanja ukupne energije ρ de dt + div q = P D, P D = 1 2 dovodi do divergentnog oblika i,j p ji (v i x j + v j x
2 1. Ciljevi i zadaci discipline Disciplina „Višestruki integrali i nizovi“ je osmišljena da proširi znanja studenata iz oblasti matematičke analize. Ovo znanje je neophodno i kod izvođenja teorijske nastave
Ministarstvo obrazovanja Republike Bjelorusije Obrazovno-metodološko udruženje visokoškolskih ustanova Republike Bjelorusije za obrazovanje nastavnika METODE MATEMATIČKE FIZIKE Model kurikuluma
1. Ciljevi i zadaci discipline Linearna algebra je dio algebre koji proučava vektore, vektorske ili linearne prostore, linearna preslikavanja i sisteme linearnih jednačina. Vektorski prostori upoznaj
Program discipline "Linearna algebra" sastavljen je u skladu sa zahtjevima Federalnog državnog obrazovnog standarda visokog stručnog obrazovanja za strukturu i rezultate savladavanja osnovnih obrazovnih programa specijalnosti u stručnom ciklusu u
Disciplina: Matematika Smjer: pedagoško obrazovanje Kvalifikacija (stepen): bachelor Obim rada 8 kredita (288 sati, od čega: 144 sata rada u učionici, 144 sata samostalnog rada
Semestar "Menadžment u tehničkim sistemima". Puno vrijeme obuka Diplomirani I godina, semestar Smjer "Menadžment u tehničkim sistemima" Disciplina - "Matematika" Sadržaj Sadržaj Poen - ocjena
2 3 1. OBJAŠNJENJE U vezi sa povećanom ulogom matematike u moderna nauka i tehnologije, budućim ekolozima i inženjerima je potrebna ozbiljna matematička obuka. Učenje matematike razvija logičnost
Sažetak discipline “Analitička geometrija i linearna algebra” Obim rada: 3 kreditne jedinice (108 sati, od čega 73 sata učionica: 36 sati predavanja, 36 sati praktične nastave, 8 sati samostalne nastave
FOND ZA OCJENJIVANJE ZA SREDNJU SERTIfikaciju STUDENATA U DISCIPLANI (MODUL). 1. Odsjek Opće informacije 2. Smjer obuke 3. Disciplina (modul) 4. Broj faza formiranja
MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE RUJSKE FEDERACIJE Savezna država autonomna institucija visoko stručno obrazovanje Institut "Kazan (Volga) Federalni univerzitet".
Sadržaj 1. Objašnjenje... 3 2. Spisak planiranih ishoda učenja u disciplini 4 3. Mjesto discipline u strukturi obrazovnog programa.. 5 4. Obim discipline u kreditnim jedinicama i akademskim satima
SADRŽAJ Predgovor... 15 Poglavlje I. ELEMENTI LINEARNE ALGEBRE 1. Matrice... 16 1.1. Osnovni pojmovi... 16 1.2. Akcije na matrice... 17 2. Determinante... 20 2.1. Osnovni pojmovi... 20 2.2. Svojstva
LA Svirkina, kandidat fizičko-matematičkih nauka, vanredni profesor Katedre za višu matematiku, direktor Centra za dodatne obrazovne programe, Državni univerzitet u Sankt Peterburgu Metode nastave
1 Sažetak programa rada discipline Matematička radionica (naziv discipline) Smjer nastave 03.03.02 fizika Profil nastave „Fundamentalna fizika“, „Fizika atomskog jezgra i čestica“
SAŽETAK programa discipline Algebra i analitička geometrija smer 01.03.02. Primijenjena matematika i informatiku. 1. Ciljevi savladavanja discipline Ciljevi savladavanja discipline Algebra i analitika
Mjesto discipline u strukturi obrazovnog programa Disciplina „Algebra i analitička geometrija“ je disciplina modula „Matematika“ B1.B.6 osnovnog dijela OPOP-a na smjeru pripreme 02.03.03.
DODATAK NEKI MATEMATIČKI POJMOVI I FORMULE 1. POJAM VEKTORA Vektor je usmjereni pravi segment. Dužina segmenta na određenoj skali naziva se modulom vektora. Vektori se smatraju
1. Svrha izučavanja discipline je: pripremiti visokostručnog specijaliste sa matematičkim znanjem, vještinama i sposobnostima za korištenje matematike kao alata za logičku analizu, numeričku analizu.
Þ.P. Samasim, A.A. Sashaeva, V.A. SAŽETAK MENADŽMENTA ZA UNIVERZITETE U RAZLICI Obnova svijeta u kontekstu svijeta õ ó åáíûõ çàâåäåíèé, îáó àþùèõñÿ
4. Substantalni izvod u odnosu na vrijeme (Substantal tm dats) za tenzor naprezanja Substancijalni ili pojedinačni izvod za skalarnu ili vektorsku funkciju ovisno samo o koordinatama
MINISTARSTVO PROSVETE I NAUKE RUJSKE FEDERACIJE Državna obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja "SAMARSKI DRŽAVNI UNIVERZITET" Mašinsko-matematički fakultet
Ulaznica 1 1. Definicija vektorske funkcije jedne i više varijabli. 2. Invarijantna definicija divergencije vektorskog polja. Izračunajte površinski integral 1. vrste: I = (x 2 + y 2) ds, gdje je S granica
MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE RF Filijala federalne državne budžetske obrazovne ustanove visokog obrazovanja "Murmansk Arctic State University" u Apatiti RADI
MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE RUSKO-FEDERALNE DRŽAVNE BUDŽETSKE OBRAZOVNE USTANOVE VISOKOG STRUČNOG OBRAZOVANJA "DRŽAVNI UNIVERZITET VORONJEŽ" (FSBEI HPE "VSU") ODOBRIO je šefa
Obrazovna ustanova "Gomel State University po imenu Franja Skarina" ODOBRIO Prorektor za vaspitno-obrazovni rad EE „GSU po imenu. F. Skarina" I.V. Semchenko Registracija UD- /r. VIŠA MATEMATIKA
Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije Federalni državni budžet obrazovne ustanove visoko stručno obrazovanje "Kemerovski državni univerzitet" Katedra za dif
SADRŽAJ Predgovor ................................................................ .......... 5 1. Elementi linearne algebre................................. .......... 6 IDZ 1. Odrednice................................. ........................
MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE REPUBLIKE KAZAHSTAN Zapadno-Kazahstanski državni univerzitet po imenu M.Utemisov RADNI NASTAVNI PROGRAM Aktuelna pitanja matematičke analize 6M060100 Matematika
MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE RUJSKE FEDERACIJE Federalna državna budžetska obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja "Kemerovski državni univerzitet" Matematički
7. Kovarijantna formulacija Maxwellovih jednadžbi i dinamičkih jednačina za potencijale. Dinamičke (diferencijalne) jednadžbe za potencijale elektromagnetno polje. Zamijenimo definiciju potencijala
Sažetak programa rada discipline “Algebra i geometrija” smera obuke 01.03.02. "Primijenjena matematika i računarstvo" na profilu "Matematička i informatička podrška ekonom
Federalna agencija za obrazovanje
Državna obrazovna ustanova visokog profesionalnog obrazovanja ½Syktyvkar State University\
Yu.N. BELYAEV
UVOD U VEKTOR
Tutorial
Syktyvkar 2008
ÓÄÊ 514.742.4(075) ÁÁÊ 22.14
Objavljeno prema odluci uredničkog i izdavačkog vijeća Syktyvkar State University
Ðå ö å í ç å í ò û:
Odsjek za matematičku analizu Državnog pedagoškog instituta Komi,
G.V. Ufimtsev Ph.D. Phys.-Math. nauka, vanredni profesor, Institut za šumarstvo Syktyvkar
Belyaev Yu.N.
Á 43 Uvod u vektorsku analizu: Udžbenik. Syktyvkar: Institut Syktyvkar State University, 2008. 215 str.: ilustr.
ISBN 978-5-87237-601-1
Ovaj priručnik sadrži osnovne informacije iz vektorske algebre.
Pravila za diferenciranje vektorske funkcije s obzirom na skalarni argument prikazana su na primjerima iz mehanike, posebno iz kinematike materijalne točke i apsolutno krutog tijela.
Glavne funkcije tačke gradijenta skalarnog polja, divergencije i vrtloga vektorskog polja date su u obliku invarijantnom u odnosu na izbor koordinatnog sistema. Integralni prikaz vrtloga i divergencija vektorskog polja koriste se za dokaz Ostrogradskog i Stokesovog teorema. Dat je izbor formula za gradijent, divergenciju, rotor i Laplaceov operator u nekim ortogonalnim koordinatnim sistemima, kao i zadaci za samostalan rad studenata sa primjerima rješavanja tipičnih zadataka koji se koriste za kontrolu asimilacije gradiva.
Knjiga je namijenjena studentima fizičkih specijalnosti.
c Belyaev Yu.N., 2008
c Državni univerzitet Syktyvkar, 2008
ISBN 978-5-87237-601-1
1.5. Množenje vektora brojem. . . . . . . . . . . . . 10
1.6. Vektorsko dodavanje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . jedanaest
1.7. Osnovna svojstva vektora. . . . . . . . . . . . . . jedanaest
1.8. Pravilo poligona. . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.9. Vektorska razlika. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Ÿ 2. Primjeri vektora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1. Radijus vektor tačke. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2. Kretanje, brzina i ubrzanje. . . . . . . . . 22
2.3. Koncept snage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Zadaci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Ÿ 3. Linearni prostor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1. Primjeri linearnih prostora. . . . . . . . . . . 29
3.2. Dimenzija i osnova linearnog prostora. . . . 34
4.1. Vektorska osnova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2. Svojstva vektorskih koordinata. . . . . . . . . . . . . . 39
4.3. Dimenzija vektorskog skupa. . . . . . . . . . 40
Zadaci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Ÿ 5. Vektorske projekcije. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1. Projekcija vektora na ravan. . . . . . . . . . . . 43
5.2. Projekcija vektora na osu. . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.3. Svojstva projekcije vektora na osu. . . . . . . . . . 45
Ÿ 6. Primjena na trigonometriju. . . . . . . . . . . . . . . 46
6.1. Projekcije jedinični vektor. . . . . . . . . . . . . 46
6.2. Trigonometrijski oblik zapisa projekcije. . . . 46
6.3. Osnovni trigonometrijski identitet. . . . . . 47
6.4. Formule redukcije. . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.5. Teorema sinusa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Zadaci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
Ÿ 7. Vektor u ortonormalnoj bazi. . . . . . . . . . . |
7.1. Vektorske koordinate u ortonormalnoj bazi. 50
7.2. Dužina vektora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.3. Smjer kosinus. . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.4. Ugao između pravaca. . . . . . . . . . . . . . 52
7.5. Radijus vektor u Dekartovom koordinatnom sistemu. . 53
7.6. Određivanje vektorske sume metodom projekcije. 55
Zadaci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Ÿ 8. Tačkasti proizvod vektora. . . . . . . . . . . . . 59
8.1. Svojstva skalarnog proizvoda. . . . . . . . . . 60
8.2. Euklidski prostor. . . . . . . . . . . . . . . 61
8.3. Kosinus teorema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.4. Točkasti proizvod u ortonormalnoj osnovi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Zadaci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Ÿ 9. Vektorski proizvod vektora. . . . . . . . . . . . . 68
9.1. Svojstva vektorskog proizvoda. . . . . . . . . . 69
9.2. Vektorski proizvod u ortonormalnoj bazi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
9.3. Izražavanje unakrsnog proizvoda u terminima
determinante drugog i trećeg reda. . . . . . | ||
Zadaci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | ||
Ÿ 10. Produkti tri vektora. . . . . . . . . . . . . . . . | ||
10.1. Mješoviti posao. . . . . . . . . . . . . . . | ||
10.2. Dvostruki unakrsni proizvod. . . . . . . . . . | ||
2. Vektorska funkcija skalarnog argumenta | ||
Derivat vektorske funkcije u odnosu na skalarni argument |
1.1. Geometrijsko značenje derivacije. . . . . . . . . 79
1.2. Osnovna svojstva derivata. . . . . . . . . . . 82
Ÿ 2. Vektorski integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Ÿ 3. Osi prirodnog triedra. . . . . . . . . . . . . . 91
3.1. Frenetove formule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.2. Brzina i ubrzanje u osi prirodnog triedra. 96
3.3. Proračun zakrivljenosti prostorne krive. . 99
3.4. Torzija prostorne krive. . . . . . . . . 103 Problemi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Ÿ 4. Krivolinijski ortogonalni koordinatni sistemi. . . 104
4.1. Bazni vektori i Lameovi koeficijenti. . . . . . 107
4.2. Brzina i ubrzanje materijalne tačke u krivolinijskom ortogonalnom koordinatnom sistemu. 108
Zadaci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Ÿ 5. Dodavanje pokreta. Primjena na kinematiku. . . . . 112
5.1. Pomeranje referentnog sistema. Ugaona brzina. 113
5.2. Brzine tačaka čvrstog tijela. . . . . . . . . . . . . 116
5.3. Ubrzanje čvrstog tijela. . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.4. Apsolutna brzina kretanja materijalne tačke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.5. Sabiranje ubrzanja. . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Problemi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
à ë à â à 3. Funkcije tačke |
Ÿ 1. Skalarno polje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
1.1. Površina nivoa skalarnog polja. . . . . . . . 133
1.2. Diferencibilno skalarno polje. . . . . . . . . 134
1.3. Smjerni derivat. . . . . . . . . . . . . 135
1.4. Geometrijsko značenje gradijenta. . . . . . . . . . . 136
1.5. Zbroj gradijenta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
1.6. Gradijent kompleksne funkcije. . . . . . . . . . . . . . 141
1.7. Gradijent u ortogonalnom koordinatnom sistemu. . . . 143 Problemi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Ÿ 2. Vektorsko polje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
2.1. Jednadžba vektorske linije. . . . . . . . . . . . . . 148
2.2. Krivolinijski integral vektorskog polja. . . . 151
2.3. Proračun integrala krive. . . . . . . 153
2.4. Vektorski vrtlog polja. . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.1. Brzina protoka. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.2. Vektorski tok polja. . . . . . . . . . . . . . . . . 166
3.3. Normalno na površinu. . . . . . . . . . . . . . . . . 167
3.4. Proračun protoka. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.5. Protok kroz zatvorenu površinu. . . . . . . . . 170 Problemi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Ÿ 4. Divergencija vektorskog polja. . . . . . . . . . . . . . . 171
4.1. Diskrepancija u ortogonalnom koordinatnom sistemu. 172
4.2. Solenoidno vektorsko polje. Vektorski potencijal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.3. Laplaceovo vektorsko polje. . . . . . . . . . . . . . . 175 Problemi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Ÿ 5. Simboličke oznake glavnih diferencijala
cijalne operacije. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.1. Simbolički vektor nabla. . . . . . . . . . . . . 177
5.2. Laplace operater, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.3. Derivat vektora u odnosu na drugi vektor. . . . . 179
5.4. Diferencijalne operacije iz proizvoda funkcija. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.5. Diferencijalne operacije drugog reda. . 183 Problemi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Ÿ 6. Neki ortogonalni koordinatni sistemi. . . . . . 184
6.1. Cilindrični koordinatni sistem. . . . . . . . . 185
6.2. Sferni koordinatni sistem. . . . . . . . . . . 186
6.3. Parabolički cilindrični koordinatni sistem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.4. Paraboloidni koordinatni sistem. . . . . . . . 188
6.5. Sistem eliptičkih cilindričnih koordinata. 189
6.6. Sistem proširenih elipsoidnih koordinata. 190 Problemi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Ÿ 7. Stokesova teorema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Problemi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Ÿ 8. Teorema Ostrogradskog i srodne formule. 195
8.1. Teorema Ostrogradskog. . . . . . . . . . . . . . . . 195
8.2. Formula za gradijent. . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.3. Formula za vrtlog. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.4. Greenove formule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Problemi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Bibliografska lista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Odgovori i rješenja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
OSNOVNE INFORMACIJE IZ VEKTORSKE ALGEBRE
Ÿ 1. Geometrijski koncept vektora
1.1. Uvod. Jedan od osnovnih geometrijskih pojmova, vektor, nastao je kao matematička apstrakcija objekata koje karakteriše veličina i pravac, u radovima više naučnika gotovo istovremeno sredinom 19. veka. Prvi vektorski račun na avionu razvio je 1835. italijanski naučnik Bellavitis (Guito Bellavitis, 1835-1880). Otprilike u isto vrijeme postao je poznat rad Arganda (Jean Robert Argand, 1768-1822) i Wessela (Caspar Wessel, 1745-1818) na geometrijskom tumačenju kompleksnih brojeva. Konačna formulacija vektorske algebre izvedena je u radovima Hermanna Grasmanna (1809-1877), Williama Rowena Hamiltona (1805-1865) i J.W. Gibbs (Josiah Willard Gibbs, 1839-1903).
Koncept vektora igra vitalnu ulogu u modernoj matematici i njenoj primeni, na primer u mehanici, relativnosti, elektrodinamici, kvantnoj fizici i drugim granama prirodnih nauka.
1.2. Skalari i vektori. Veličine se nazivaju skalarima (skalarima) ako su nakon odabira mjerne jedinice u potpunosti okarakterizirane jednim brojem. Primjeri skalara su vrijeme t, zapremina V, masa m, temperatura T, rad sile A, električni naboj q, itd.
Dva skalara iste dimenzije su jednaka ako se mjerenjem istom mjernom jedinicom dobiju iste mjere.
brojevi.
Takve veličine kao što su brzina ~v, ubrzanje ~a, sila F, on-
tenzija električno polje E , zahtijevajući za svoje
davanje ne samo indikacije numeričke vrijednosti, već i smjera u prostoru, nazivaju se vektorske veličine, ili
vektori.
Termine skalar (1843) i vektor (1845) skovao je Hamilton, koji ih je izveo iz Latinske riječi skala i vektorski nosilac.
Najjednostavniji skalar je apstraktni broj, a najjednostavniji vektor je pravolinijski segment određene dužine i određenog smjera od početne točke segmenta do njegove krajnje točke.
1.3. Slika i zapis vektorskih veličina. Postoji nekoliko različitih oblika označavanja vektorskih veličina. Jedna od najstarijih je crtica iznad slova. Upravo je tako Argan označio usmjereni segment. Maxwell (James Clerk Maxwell, 1831-1879) vektore označavao gotičkim slovima, Hamilton i Gibbs grčkim slovima. Označavanje vektora podebljanim slovima predložio je Oliver Heaviside, 1850-1925).
U tom radu geometrijski vektori označeni su slovom
vi sa strelicom na vrhu: ~a, b, ~c, itd. Ponekad ćemo raspravljati
označava vektor čija je početna tačka A, a krajnja tačka
B, simbol AB. Na slikama su vektori prikazani kao ravni segmenti koji imaju ne samo određenu dužinu, već i određeni smjer, označen strelicom na kraju segmenta.
Dužina vektora, inače nazvana veličina vektora, označava se istim slovom kao i vektor, ali bez strelice. Ponekad, da označimo modul vektora, uzimamo oznaku samog vektora, stavljenu u prave zagrade. Na primjer, p = jp~j modul vektora p~.
Nulti vektor, vektor 0 čija je dužina nula, može imati bilo koji smjer u prostoru.
Ugao između vektora p~ i q~ je najmanji ugao kroz koji se jedan vektor mora zarotirati tako da se poklapa u pravcu sa drugim (slika 1). Ovaj ugao ćemo označiti kao
vol (p;~ q~).
Ÿ 1. Geometrijski koncept vektora |
1.4. Jednakost vektora. Kada upoređujemo vektorske fizičke veličine, pretpostavlja se da imaju istu fizičku dimenziju.
Postoje tri različite vrste vektora. Svaki od njih kombinuje skup vektora sa istim svojstvima.
Slobodni vektori su određeni smjerom linije djelovanja i veličinom. Takvi vektori su jednaki ako su jednaki po snazi
f = g i jednako su usmjereni, tj. (f; ~g) = 0: Ostalo
Drugim riječima, ne pravimo razliku između dva slobodna vektora f i ~g, koji imaju različite točke primjene i dobivaju se jedan od drugog paralelnim prijenosom.
Jednakost dva vektora f i ~g simbolički je zapisana na sljedeći način:
Povezani vektor. Da biste odredili pridruženi vektor AB, potrebno je naznačiti njegovu liniju djelovanja (na slici 2a to je linija xx0), smjer na ovoj liniji (od x do x0), njegov početak (A) i dužinu vektora. Povezani vektori su vektori za koje ekvivalencija zahtijeva da budu jednake dužine, da imaju isti smjer i opšti početak. Primjer takvog vektora je sila primijenjena na neku tačku elastike
) (p;~ q~) | |||||
Klizni vektor. Definicija ostaje ista kao u prethodnom slučaju, ako izuzmemo zahtjev za fiksiranjem početka vektora. Može se nalaziti u bilo kojoj tački na xx0 osi. Klizni vektori su oni koji se razmatraju
su ekvivalentni ako su jednaki po modulu, identični
su usmjereni i leže na istoj pravoj liniji (na primjer, AB = A B na (sl. 2b)). Primjeri takvih vektora su sile, dis-
posmatrano u statičkoj mehanici.
Budući da smjer nul-vektora nije definiran, svi nul-vektori se smatraju jednakim.
Sva sljedeća pravila, posebno množenje vektora sa skalarne veličine a pravilo za dodavanje vektora biće dato u odnosu na slobodne vektore. Proširivanje ovih definicija na povezane i klizne vektore nije teško.
1.5. Množenje vektora brojem. Kada se vektor ~a množi realnim brojem, dobijamo vektor ~c, takav da je njegov modul jednak j ja, i usmjeren u istom smjeru kao vektor ~a za > 0, au suprotnom smjeru ako< 0. Умножение любого вектора ~a на нуль дает нулевой вектор. Таким образом,
~c; c = a; (~c;~a) = 0; vrijednosti > 0; | |||||
0; åñëè = 0:d | |||||
a; (~c;~a) = ; åsëè< 0; |
|||||
Vektori ~c i ~a, povezani jednakošću (1.1), međusobno su paralelni ili leže na istoj pravoj liniji. Takvi vektori se nazivaju kolinearni 1.
Na sl. Na slici 3 prikazan je, kao primjer, vektor ~a i vektori 2~a i 0:5~a dobijeni iz njega kao rezultat množenja brojevima 2 i 0:5.
U skladu sa ovom definicijom množenja vektora brojem, svaki vektor ~a može biti predstavljen kao proizvod
~a = a~ea ; |
1 Termin je izveden iz latinskog co together èlinearis linear i doslovno znači ½kolinearnost\. Hamilton u svom vektorskom računu
Leniya je uveo naziv termino-kolinearni za vektore koji imaju zajedničko porijeklo i čiji krajevi leže na istoj pravoj liniji. Ovaj naziv je pojednostavio Gibbs, zahvaljujući kome je termin ½kolinearnost\ ušao u vektor