Gaussova metoda za rješavanje neodređenog sistema linearnih jednačina. Gaussova metoda za lutke: Primjeri rješenja

Neka je sistem linearnog algebarske jednačine, koji treba riješiti (naći takve vrijednosti nepoznatog hi da svaku jednačinu sistema pretvaraju u jednakost).

Znamo da sistem linearnih algebarskih jednadžbi može:

1) Nemati rješenja (biti nekompatibilno).
2) Imati beskonačno mnogo rješenja.
3) Imati jedinstveno rješenje.

Kao što se sjećamo, Cramerovo pravilo i matrična metoda su neprikladni u slučajevima kada sistem ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan. Gaussova metoda – najmoćniji i najsvestraniji alat za pronalaženje rješenja za bilo koji sistem linearne jednačine , što je u svakom slučaju dovedi nas do odgovora! Sam algoritam metode u svemu tri slučaja radi na isti način. Ako Cramer i matrične metode zahtijevaju poznavanje determinanti, tada je za primjenu Gaussove metode potrebno samo znanje aritmetičke operaciješto ga čini dostupnim čak i učenicima osnovnih škola.

Proširene matrične transformacije ( ovo je matrica sistema - matrica sastavljena samo od koeficijenata nepoznatih, plus kolona slobodnih termina) sistemi linearnih algebarskih jednadžbi u Gaussovom metodu:

1) With troky matrice mogu preurediti mjesta.

2) ako matrica ima (ili ima) proporcionalnu (kao poseban slučaj su isti) nizovi, onda slijedi izbrisati iz matrice, svi ovi redovi osim jednog.

3) ako se nulti red pojavio u matrici tokom transformacija, onda i on slijedi izbrisati.

4) red matrice može pomnožiti (podijeliti) na bilo koji broj osim nule.

5) do reda matrice, možete dodajte još jedan niz pomnožen brojem, različito od nule.

U Gauss metodi, elementarne transformacije ne mijenjaju rješenje sistema jednačina.

Gaussova metoda se sastoji od dvije faze:

"Direktan potez" - koristeći elementarne transformacije, dovedite proširenu matricu sistema linearnih algebarskih jednadžbi na "trokutasti" stepenasti pogled: elementi proširene matrice koji se nalaze ispod glavne dijagonale jednaki su nuli (pomak odozgo prema dolje). Na primjer, na ovu vrstu:

Da biste to učinili, izvršite sljedeće korake:

1) Razmotrimo prvu jednačinu sistema linearnih algebarskih jednačina i koeficijent na x 1 je jednak K. Druga, treća itd. transformiramo jednadžbe na sljedeći način: svaku jednačinu (koeficijente za nepoznate, uključujući slobodne članove) podijelimo sa koeficijentom za nepoznato x 1, koji se nalazi u svakoj jednadžbi, i pomnožimo sa K. Nakon toga, oduzmimo prvu od druge jednačine ( koeficijenti za nepoznate i slobodne termine). Kod x 1 u drugoj jednačini dobijamo koeficijent 0. Od treće transformisane jednačine oduzimamo prvu, tako da sve jednačine osim prve, sa nepoznatim x 1, neće imati koeficijent 0.

2) Prijeđite na sljedeću jednačinu. Neka je ovo druga jednadžba i koeficijent na x 2 je jednak M. Sa svim "podređenim" jednadžbama nastavljamo kako je gore opisano. Dakle, "ispod" nepoznatog x 2 u svim jednačinama će biti nule.

3) Prelazimo na sljedeću jednačinu i tako sve dok ne ostane posljednji nepoznati i transformirani slobodni član.

« Obrnuto» Gaussova metoda - dobijanje rješenja sistema linearnih algebarskih jednačina (odozdo prema gore). Iz posljednje "niže" jednačine dobijamo jedno prvo rješenje - nepoznato x n. Za ovo odlučujemo elementarna jednačina A * x n = B. U gornjem primjeru, x 3 = 4. Pronađenu vrijednost zamjenjujemo u "gornju" sljedeću jednačinu i rješavamo je za sljedeću nepoznanicu. Na primjer, x 2 - 4 \u003d 1, tj. x 2 \u003d 5. I tako dalje dok ne pronađemo sve nepoznanice.

Primjer.

Sistem linearnih jednadžbi rješavamo Gaussovom metodom, kako savjetuju neki autori:

Pišemo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovodimo je do oblika koraka:

Gledamo gornji levi "stupak". Tamo bi trebali imati jedinicu. Problem je što ih u prvoj koloni uopšte nema, pa se preuređivanjem redova ništa ne može riješiti. U takvim slučajevima, jedinica mora biti organizirana korištenjem elementarna transformacija. To se obično može učiniti na nekoliko načina. Uradimo to ovako:
1 korak . Prvom redu dodajemo drugi red, pomnožen sa -1. Odnosno, mentalno smo pomnožili drugi red sa -1 i izvršili sabiranje prvog i drugog reda, dok se drugi red nije promijenio.

Sada gore lijevo "minus jedan", što nam savršeno odgovara. Ko želi dobiti +1 može izvršiti dodatnu radnju: pomnožiti prvi red sa -1 (promijeniti njegov predznak).

2 korak . Prvi red pomnožen sa 5 dodat je drugom redu, a prvi red pomnožen sa 3 dodan je trećem redu.

3 korak . Prvi red je pomnožen sa -1, u principu, ovo je za lepotu. Predznak trećeg reda je također promijenjen i pomjeren na drugo mjesto, tako da smo na drugom “korak” dobili željenu jedinicu.

4 korak . Trećem redu dodajte drugi red, pomnožen sa 2.

5 koraka . Treći red je podeljen sa 3.

Znak koji ukazuje na grešku u proračunima (rjeđe grešku u kucanju) je „loš“ krajnji rezultat. Odnosno, ako smo dobili nešto poput (0 0 11 | 23) ispod, i, shodno tome, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, onda sa velikim stepenom vjerovatnoće možemo reći da je greška napravljena tokom osnovnog transformacije.

Izvodimo obrnuti potez, u dizajnu primjera često se ne prepisuje sam sistem, a jednačine se „preuzimaju direktno iz date matrice“. Obrnuti potez, podsjećam, radi "odozdo prema gore". AT ovaj primjer dobio poklon:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 = 1, dakle x 1 + 3 - 1 = 1, x 1 \u003d -1

Odgovori:x 1 = -1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Rešimo isti sistem koristeći predloženi algoritam. Dobijamo

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Podijelite drugu jednačinu sa 5, a treću sa 3. Dobijamo:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Pomnožimo drugu i treću jednačinu sa 4, dobićemo:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Oduzmimo prvu jednačinu od druge i treće jednačine, imamo:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Podijelite treću jednačinu sa 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Pomnožite treću jednačinu sa 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Oduzmite drugu jednačinu od treće jednačine, dobićemo „stepenastu“ proširenu matricu:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Dakle, budući da se greška nakupila u procesu izračunavanja, dobijamo x 3 = 0,96, ili približno 1.

x 2 = 3 i x 1 = -1.

Rješavajući na ovaj način, nikada se nećete zbuniti u proračunima i, uprkos greškama u proračunu, dobit ćete rezultat.

Ova metoda rješavanja sistema linearnih algebarskih jednadžbi je laka za programiranje i ne uzima u obzir specifične karakteristike koeficijenti za nepoznate, jer se u praksi (u ekonomskim i tehničkim proračunima) mora nositi sa necjelobrojnim koeficijentima.

Želim vam uspjeh! Vidimo se na času! Učitelj.

blog.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

U ovom članku metoda se razmatra kao način rješavanja sistema linearnih jednačina (SLAE). Metoda je analitička, odnosno omogućava vam da upišete algoritam rješenja opšti pogled, a zatim tamo zamijenite vrijednosti iz konkretnih primjera. Za razliku od matrične metode ili Cramerovih formula, pri rješavanju sistema linearnih jednadžbi pomoću Gaussove metode možete raditi i sa onima koje imaju beskonačno mnogo rješenja. Ili ga uopšte nemaju.

Šta znači Gauss?

Prvo treba da zapišete naš sistem jednačina u To izgleda ovako. Sistem se uzima:

Koeficijenti su upisani u obliku tabele, a desno u posebnoj koloni - slobodni članovi. Stupac sa slobodnim članovima je odvojen radi praktičnosti.Matrica koja uključuje ovaj stupac naziva se proširena.

Nadalje, glavna matrica s koeficijentima mora se svesti na gornji trokutast oblik. Ovo je glavna tačka rješavanja sistema Gaussovom metodom. Jednostavno, nakon određenih manipulacija, matrica bi trebala izgledati ovako, tako da u njenom donjem lijevom dijelu postoje samo nule:

Zatim, ako novu matricu ponovo napišete kao sistem jednačina, primijetit ćete da posljednji red već sadrži vrijednost jednog od korijena, koji se zatim zamjenjuje gornjom jednačinom, pronalazi se drugi korijen i tako dalje.

Ovaj opis rješenja Gaussovom metodom u većini uopšteno govoreći. A šta se dešava ako sistem odjednom nema rešenje? Ili ih ima beskonačan broj? Da bismo odgovorili na ova i mnoga druga pitanja, potrebno je posebno razmotriti sve elemente korištene u rješenju Gaussovom metodom.

Matrice, njihova svojstva

Nema skriveno značenje nije u matrici. To je samo zgodan način za snimanje podataka za kasnije operacije. Ni školarci ih se ne bi trebali bojati.

Matrica je uvijek pravokutna, jer je pogodnija. Čak iu Gaussovom metodu, gdje se sve svodi na izgradnju matrice trouglasti, u unosu se pojavljuje pravougaonik, samo sa nulama na mjestu gdje nema brojeva. Nule se mogu izostaviti, ali se podrazumijevaju.

Matrica ima veličinu. Njegova "širina" je broj redova (m), njegova "dužina" je broj kolona (n). Zatim veličina matrice A (za njihovo označavanje obično se koriste velika slova) pisma) će biti označeno kao A m×n . Ako je m=n, onda je ova matrica kvadratna, a m=n je njen red. Prema tome, bilo koji element matrice A može se označiti brojem njegovog reda i stupca: a xy ; x - broj reda, promjene, y - broj kolone, promjene.

B nije glavna poenta rješenja. U principu, sve se operacije mogu izvoditi direktno sa samim jednadžbama, ali će se notacija pokazati mnogo glomaznijom i bit će mnogo lakše zabuniti se u njoj.

Odrednica

Matrica takođe ima determinantu. Ovo je veoma važna karakteristika. Sada se ne isplati saznati njegovo značenje, možete jednostavno pokazati kako se izračunava, a zatim reći koja svojstva matrice određuje. Najlakši način za pronalaženje determinante je dijagonala. Imaginarne dijagonale su nacrtane u matrici; elementi koji se nalaze na svakom od njih se množe, a zatim se dodaju rezultirajući proizvodi: dijagonale s nagibom udesno - sa znakom "plus", s nagibom ulijevo - sa znakom "minus".

Izuzetno je važno napomenuti da se determinanta može izračunati samo za kvadratnu matricu. Za pravougaone matrice možete uraditi sledeće: od broja redova i broja kolona izabrati najmanji (neka bude k), a zatim nasumično označiti k kolona i k redova u matrici. Elementi koji se nalaze na raskrsnici odabranih kolona i redova će činiti novi kvadratna matrica. Ako je determinanta takve matrice broj različit od nule, onda se naziva bazni minor originalne pravokutne matrice.

Prije nego što pređemo na rješavanje sistema jednačina Gaussovom metodom, ne škodi izračunavanje determinante. Ako se pokaže da je nula, onda možemo odmah reći da matrica ima ili beskonačan broj rješenja, ili ih uopće nema. U ovako tužnom slučaju, morate ići dalje i saznati o rangu matrice.

Klasifikacija sistema

Postoji takva stvar kao što je rang matrice. Ovo je maksimalni red njegove determinante koja nije nula (sjetimo se oko osnovni mol, možemo reći da je rang matrice red baznog malog).

Prema tome kako stoje stvari sa rangom, SLAE se može podijeliti na:

Joint. At zajedničkih sistema, rang glavne matrice (koja se sastoji samo od koeficijenata) poklapa se sa rangom proširene (sa kolonom slobodnih članova). Takvi sistemi imaju rješenje, ali ne nužno jedno, pa pored toga zglobni sistemi podijeljen u:
- siguran- ima jedinstveno rješenje. U određenim sistemima, rang matrice i broj nepoznatih (ili broj kolona, što je ista stvar) su jednaki;
- neodređeno - sa beskonačnim brojem rješenja. Rang matrica za takve sisteme je manji od broja nepoznatih.
Nekompatibilno. At u takvim sistemima, rangovi glavne i proširene matrice se ne poklapaju. Nekompatibilni sistemi nemaju rješenja.

Gaussova metoda je dobra po tome što omogućava da se dobije ili nedvosmislen dokaz nekonzistentnosti sistema (bez izračunavanja determinanti velikih matrica) ili opšte rešenje za sistem sa beskonačnim brojem rešenja tokom rešavanja.

Elementarne transformacije

Pre nego što pređete direktno na rešenje sistema, moguće ga je učiniti manje glomaznim i pogodnijim za proračune. To se postiže elementarnim transformacijama - tako da njihova implementacija ni na koji način ne mijenja konačni odgovor. Treba napomenuti da neke od navedenih elementarnih transformacija vrijede samo za matrice čiji je izvor bio upravo SLAE. Evo liste ovih transformacija:

Permutacija nizova. Očigledno je da ako promijenimo redoslijed jednačina u zapisu sistema, onda to ni na koji način neće utjecati na rješenje. Posljedično, također je moguće zamijeniti redove u matrici ovog sistema, ne zaboravljajući, naravno, na kolonu slobodnih članova.
Množenje svih elemenata niza nekim faktorom. Veoma korisno! Može se koristiti za skraćivanje veliki brojevi u matrici ili ukloniti nule. Skup rješenja, kao i obično, neće se mijenjati, a postat će prikladnije za izvođenje daljnjih operacija. Glavna stvar je da koeficijent nije jednak nuli.
Izbrišite redove sa proporcionalnim koeficijentima. Ovo djelimično proizilazi iz prethodnog stava. Ako dva ili više reda u matrici imaju proporcionalne koeficijente, tada se pri množenju / dijeljenju jednog od reda s koeficijentom proporcionalnosti dobivaju dva (ili, opet, više) apsolutno identična reda, a možete ukloniti dodatne, ostavljajući samo jedan.
Uklanjanje nulte linije. Ako se u toku transformacije negdje dobije niz u kojem su svi elementi, uključujući i slobodni član, jednaki nuli, onda se takav niz može nazvati nula i izbaciti iz matrice.
Dodavanje elementima jednog reda elemenata drugog (u odgovarajućim kolonama), pomnoženo određenim koeficijentom. Najnejasnija i najvažnija transformacija od svih. Vrijedi se detaljnije zadržati na tome.

Dodavanje niza pomnoženog faktorom

Radi lakšeg razumijevanja, vrijedno je rastaviti ovaj proces korak po korak. Dva reda su uzeta iz matrice:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Pretpostavimo da morate prvo dodati drugom, pomnoženo sa koeficijentom "-2".

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

Zatim se u matrici drugi red zamjenjuje novim, a prvi ostaje nepromijenjen.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Treba napomenuti da se faktor množenja može odabrati na način da, kao rezultat sabiranja dva niza, jedan od elemenata novog niza bude jednak nuli. Stoga je moguće dobiti jednačinu u sistemu, gdje će biti jedna nepoznata manje. A ako dobijete dvije takve jednadžbe, onda se operacija može ponoviti i dobiti jednačinu koja će već sadržavati dvije manje nepoznanice. A ako svaki put okrenemo nulu jedan koeficijent za sve redove koji su niži od originalnog, onda se možemo, poput koraka, spustiti do samog dna matrice i dobiti jednadžbu s jednom nepoznatom. Ovo se zove rješavanje sistema korištenjem Gausove metode.

Uglavnom

Neka postoji sistem. Ima m jednačina i n nepoznatih korijena. Možete to zapisati ovako:

Glavna matrica je sastavljena od koeficijenata sistema. Stupac slobodnih članova se dodaje proširenoj matrici i odvaja prečkom radi praktičnosti.

prvi red matrice se množi sa koeficijentom k = (-a 21 / a 11);
prvi modificirani red i drugi red matrice se dodaju;
umjesto drugog reda u matricu se ubacuje rezultat dodavanja iz prethodnog stava;
sada prvi koeficijent u nova sekunda linija je 11 × (-a 21 / a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Sada se izvodi ista serija transformacija, samo prvi i treći red su uključeni. Prema tome, u svakom koraku algoritma, element a 21 se zamjenjuje sa 31 . Zatim se sve ponavlja za 41, ... a m1. Rezultat je matrica u kojoj je prvi element u redovima jednak nuli. Sada moramo zaboraviti na red broj jedan i izvršiti isti algoritam počevši od drugog reda:

koeficijent k \u003d (-a 32 / a 22);
drugi modifikovani red se dodaje u "trenutni" red;
rezultat sabiranja se zamjenjuje u trećem, četvrtom i tako daljem redu, dok prvi i drugi ostaju nepromijenjeni;
u redovima matrice, prva dva elementa su već jednaka nuli.

Algoritam se mora ponavljati dok se ne pojavi koeficijent k = (-a m,m-1 /a mm). To znači da je algoritam posljednji put pokrenut samo za nižu jednačinu. Sada matrica izgleda kao trokut ili ima stepenasti oblik. Donja linija sadrži jednakost a mn × x n = b m . Koeficijent i slobodni član su poznati, a korijen se izražava kroz njih: x n = b m /a mn. Dobijeni korijen se zamjenjuje u gornji red kako bi se pronašlo x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . I tako dalje po analogiji: svaki sljedeći red sadrži novi root, i, došavši do "vrha" sistema, može se naći mnoga rješenja. To će biti jedini.

Kad nema rješenja

Ako u jednom od matrični redovi svi elementi, osim slobodnog člana, jednaki su nuli, tada jednačina koja odgovara ovoj liniji izgleda kao 0 = b. Nema rješenja. A pošto je takva jednačina uključena u sistem, onda je skup rješenja cijelog sistema prazan, odnosno degenerisan.

Kada postoji beskonačan broj rješenja

Može se ispostaviti da u datom trouglasta matrica ne postoje redovi sa jednim elementom-koeficijentom jednačine i jednim slobodnim članom. Postoje samo nizovi koji bi, kada se ponovo napišu, izgledali kao jednadžba sa dvije ili više varijabli. To znači da sistem ima beskonačan broj rješenja. U ovom slučaju, odgovor se može dati u obliku generalnog rješenja. Kako uraditi?

Sve varijable u matrici su podijeljene na osnovne i slobodne. Osnovni su oni koji stoje "na rubu" linija u stepenasta matrica. Ostalo je besplatno. U opštem rešenju osnovne varijable su zapisane u terminima slobodnih.

Radi praktičnosti, matrica se prvo prepisuje nazad u sistem jednačina. Zatim u posljednjem od njih, gdje je ostala samo jedna osnovna varijabla, ona ostaje na jednoj strani, a sve ostalo se prenosi na drugu. Ovo se radi za svaku jednačinu sa jednom osnovnom varijablom. Zatim se u ostalim jednačinama, gdje je to moguće, umjesto osnovne varijable, zamjenjuje dobijeni izraz za nju. Ako se kao rezultat toga ponovo pojavi izraz koji sadrži samo jednu osnovnu varijablu, on se ponovo izražava odatle, i tako dalje, sve dok se svaka osnovna varijabla ne zapiše kao izraz sa slobodnim varijablama. To je ono što je zajednička odluka SLAU.

Možete pronaći i osnovno rješenje sistema - dajte slobodnim varijablama bilo koje vrijednosti, a zatim za ovaj konkretan slučaj izračunajte vrijednosti osnovnih varijabli. Postoji beskonačno mnogo konkretnih rješenja.

Rješenje sa konkretnim primjerima

Evo sistema jednačina.

Radi praktičnosti, bolje je odmah kreirati njegovu matricu

Poznato je da će pri rješavanju Gaussovom metodom jednačina koja odgovara prvom redu ostati nepromijenjena na kraju transformacija. Stoga će biti isplativije ako je gornji lijevi element matrice najmanji - tada će se prvi elementi preostalih redova nakon operacija okrenuti na nulu. To znači da će u kompajliranoj matrici biti korisno staviti drugi umjesto prvog reda.

drugi red: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 = 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 = -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24

treći red: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57

Sada, da se ne bi zbunili, potrebno je zapisati matricu sa srednji rezultati transformacije.

Očigledno je da se takva matrica može učiniti pogodnijom za percepciju uz pomoć nekih operacija. Na primjer, možete ukloniti sve "minuse" iz drugog reda množenjem svakog elementa sa "-1".

Također je vrijedno napomenuti da su u trećem redu svi elementi višestruki od tri. Zatim možete skratiti niz za ovaj broj, množeći svaki element sa "-1/3" (minus - u isto vrijeme, za uklanjanje negativne vrijednosti).

Izgleda mnogo lepše. Sada moramo ostaviti na miru prvu liniju i raditi sa drugom i trećom. Zadatak je dodati drugi red trećem redu, pomnožen s takvim faktorom da element a 32 postane jednak nuli.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 običan razlomak, a tek onda, kada dobijete odgovore, odlučite da li ćete zaokružiti i prevesti u drugi oblik zapisa)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k × a 23 = 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 = 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Matrica se ponovo upisuje s novim vrijednostima.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Kao što vidite, rezultirajuća matrica već ima stepenasti oblik. Stoga nisu potrebne dalje transformacije sistema Gaussovom metodom. Ono što se ovdje može učiniti je ukloniti iz trećeg reda ukupni koeficijent "-1/7".

Sada je sve prelepo. Poenta je mala - ponovo napišite matricu u obliku sistema jednačina i izračunajte korijene

x + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

Algoritam po kojem će se korijeni sada pronaći naziva se obrnuti potez u Gaussovom metodu. Jednačina (3) sadrži vrijednost z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

I prva jednadžba vam omogućava da pronađete x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

Imamo pravo da takav sistem nazivamo zajedničkim, pa čak i definitivnim, odnosno da ima jedinstveno rješenje. Odgovor je napisan u sljedećem obliku:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Primjer neodređenog sistema

Rješenje određeni sistem je analiziran Gausovom metodom, sada je potrebno razmotriti slučaj da je sistem neodređen, odnosno da se za njega može naći beskonačno mnogo rješenja.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Sam izgled sistema je već alarmantan, jer je broj nepoznatih n = 5, a rang matrice sistema je već tačno manji od ovog broja, jer je broj redova m = 4, tj. najveća narudžba kvadratna determinanta - 4. Dakle, rješenja postoje beskonačan skup, te je potrebno tražiti njen opći oblik. Gaussova metoda za linearne jednačine to omogućava.

Prvo, kao i obično, kompajlira se proširena matrica.

Drugi red: koeficijent k = (-a 21 / a 11) = -3. U trećem redu, prvi element je prije transformacija, tako da ne morate ništa dirati, morate ostaviti kako jeste. Četvrti red: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Pomnožeći elemente prvog reda svakim od njihovih koeficijenata redom i dodajući ih željenim redovima, dobijamo matricu sledeće vrste:

Kao što vidite, drugi, treći i četvrti red se sastoje od elemenata koji su međusobno proporcionalni. Drugi i četvrti su uglavnom isti, tako da se jedan od njih može odmah ukloniti, a ostatak pomnožiti sa koeficijentom "-1" i dobiti red broj 3. I opet ostaviti jednu od dvije identične linije.

Ispostavilo se da je takva matrica. Sistem još nije zapisan, ovdje je potrebno odrediti osnovne varijable - stoje na koeficijentima a 11 = 1 i a 22 = 1, a slobodno - sve ostalo.

Druga jednačina ima samo jednu osnovnu varijablu - x 2 . Dakle, odatle se može izraziti pisanjem kroz varijable x 3 , x 4 , x 5 , koje su slobodne.

Dobijeni izraz zamjenjujemo u prvu jednačinu.

Ispostavila se jednačina u kojoj je jedina osnovna varijabla x 1. Uradimo s njim isto kao i sa x 2 .

Sve osnovne varijable, kojih ima dvije, izražene su u terminima tri slobodne, sada možete napisati odgovor u opštem obliku.

Također možete odrediti jedno od posebnih rješenja sistema. U takvim slučajevima, u pravilu, nule se biraju kao vrijednosti za slobodne varijable. Tada će odgovor biti:

16, 23, 0, 0, 0.

Primjer nekompatibilnog sistema

Najbrže je rješenje nekonzistentnih sistema jednačina Gaussovom metodom. Završava se čim se u jednoj od faza dobije jednačina koja nema rješenja. Odnosno, faza sa izračunavanjem korijena, koja je prilično duga i turobna, nestaje. Razmatra se sledeći sistem:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Kao i obično, matrica se sastavlja:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

I svodi se na stepenasti oblik:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Nakon prve transformacije, treći red sadrži jednačinu oblika

bez rješenja. Dakle, sistem je nekonzistentan, a odgovor je prazan skup.

Prednosti i nedostaci metode

Ako odaberete metodu rješavanja SLAE na papiru olovkom, onda metoda koja je razmatrana u ovom članku izgleda najatraktivnije. U elementarnim transformacijama mnogo je teže doći do zabune nego što se to dešava ako morate ručno tražiti determinantu ili neku lukavu inverznu matricu. Međutim, ako koristite programe za rad s podacima ove vrste, npr. tabele, ispostavilo se da takvi programi već sadrže algoritme za izračunavanje glavnih parametara matrica - determinante, minora, inverza i tako dalje. A ako ste sigurni da će mašina sama izračunati ove vrijednosti i da neće pogriješiti, svrsishodnije je koristiti matričnu metodu ili Cramerove formule, jer njihova primjena počinje i završava se izračunavanjem determinanti i inverzne matrice.

Aplikacija

Budući da je Gausovo rješenje algoritam, a matrica je, u stvari, dvodimenzionalni niz, može se koristiti u programiranju. Ali budući da se članak pozicionira kao vodič "za lutke", treba reći da je najlakše mjesto za postavljanje metode proračunske tablice, na primjer, Excel. Opet, bilo koji SLAE unesen u tabelu u obliku matrice Excel će smatrati dvodimenzionalnim nizom. A za operacije s njima postoji mnogo lijepih naredbi: zbrajanje (možete dodati samo matrice iste veličine!), množenje brojem, množenje matrice (također uz određena ograničenja), pronalaženje inverzne i transponirane matrice i, što je najvažnije , izračunavanje determinante. Ako se ovaj dugotrajni zadatak zamijeni jednom naredbom, mnogo je brže odrediti rang matrice i, prema tome, utvrditi njenu kompatibilnost ili nedosljednost.

Još od početka 16.-18. stoljeća matematičari su počeli intenzivno proučavati funkcije, zahvaljujući kojima se toliko toga promijenilo u našim životima. Računarska tehnologija bez ovog znanja jednostavno ne bi postojalo. Za rješenja izazovni zadaci, kreirane su linearne jednadžbe i funkcije razni koncepti, teoreme i metode rješavanja. Jedna od takvih univerzalnih i racionalnih metoda i tehnika za rješavanje linearnih jednačina i njihovih sistema bila je Gaussova metoda. Matrice, njihov rang, determinante - sve se može izračunati bez upotrebe složenih operacija.

Šta je SLAU

U matematici postoji koncept SLAE - sistema linearnih algebarskih jednačina. Šta ona predstavlja? Ovo je skup m jednačina sa potrebnim n nepoznatih, obično označenih kao x, y, z, ili x 1 , x 2 ... x n, ili drugim simbolima. Riješi Gaussovom metodom ovaj sistem- znači pronaći sve tražene nepoznanice. Ako sistem ima isti broj nepoznanice i jednačine, onda se naziva sistem n-tog reda.

Najpopularnije metode za rješavanje SLAE

AT obrazovne institucije srednje škole izučavaju različite tehnike za rješavanje ovakvih sistema. Najčešće ovo jednostavne jednačine, koji se sastoji od dvije nepoznate, dakle bilo koje postojeća metoda neće trebati dugo da se pronađu odgovori na njih. To može biti kao metoda zamjene, kada se iz jedne jednačine izvede druga jednačina i zamjenjuje u originalnu. Ili pojam po član oduzimanje i sabiranje. Ali Gaussova metoda se smatra najlakšom i najuniverzalnijom. Omogućava rješavanje jednačina sa bilo kojim brojem nepoznanica. Zašto se ova tehnika smatra racionalnom? Sve je jednostavno. Matrična metoda dobra stvar je što ovdje nije potrebno nekoliko puta prepisivati nepotrebne znakove u obliku nepoznatih, dovoljno je izvršiti aritmetičke operacije nad koeficijentima - i dobićete pouzdan rezultat.

Gdje se SLAE koriste u praksi?

Rješenje SLAE su tačke presjeka linija na grafovima funkcija. U našem kompjuterskom dobu visoke tehnologije, ljudi koji su blisko uključeni u razvoj igara i drugih programa moraju znati kako riješiti takve sisteme, šta oni predstavljaju i kako provjeriti ispravnost rezultirajućeg rezultata. Programeri najčešće razvijaju posebne kalkulatore linearne algebre, što uključuje sistem linearnih jednačina. Gaussova metoda vam omogućava da izračunate sva postojeća rješenja. Koriste se i druge pojednostavljene formule i tehnike.

SLAE kriterij kompatibilnosti

Takav sistem se može riješiti samo ako je kompatibilan. Radi jasnoće, predstavljamo SLAE u obliku Ax=b. Ima rješenje ako je rang(A) jednak rang(A,b). U ovom slučaju, (A,b) je matrica proširenog oblika koja se može dobiti iz matrice A prepisivanjem sa slobodnim terminima. Ispostavilo se da je rješavanje linearnih jednadžbi Gaussovom metodom prilično jednostavno.

Možda neka notacija nije sasvim jasna, pa je potrebno sve razmotriti na primjeru. Recimo da postoji sistem: x+y=1; 2x-3y=6. Sastoji se od samo dvije jednadžbe u kojima postoje 2 nepoznate. Sistem će imati rješenje samo ako je rang njegove matrice jednak rangu proširene matrice. Šta je čin? Ovo je broj nezavisnih linija sistema. U našem slučaju, rang matrice je 2. Matrica A će se sastojati od koeficijenata koji se nalaze u blizini nepoznanica, a koeficijenti iza znaka “=” će se takođe uklopiti u proširenu matricu.

Zašto se SLAE može predstaviti u matričnom obliku

Na osnovu kriterijuma kompatibilnosti prema dokazanoj Kronecker-Capelli teoremi, sistem linearnih algebarskih jednačina može se predstaviti u matričnom obliku. Koristeći Gaussovu kaskadnu metodu, možete riješiti matricu i dobiti jedini pouzdan odgovor za cijeli sistem. Ako je rang obične matrice jednak rangu njene proširene matrice, ali manji od broja nepoznatih, tada sistem ima beskonačan broj odgovora.

Matrične transformacije

Prije nego što pređemo na rješavanje matrica, potrebno je znati koje se radnje mogu izvršiti na njihovim elementima. Postoji nekoliko osnovnih transformacija:

Prepisivanje sistema na matrični pogled a realizacijom njegovog rješenja moguće je sve elemente niza pomnožiti istim koeficijentom.
Da bi se matrica pretvorila u kanonski oblik, dva paralelna reda se mogu zamijeniti. Kanonski oblik podrazumijeva da svi elementi matrice koji se nalaze duž glavne dijagonale postaju jedinice, a preostali postaju nule.
Odgovarajući elementi paralelnih redova matrice mogu se dodati jedan drugom.

Jordan-Gaussova metoda

Suština rješavanja sistema linearnih homogenih i nehomogene jednačine Gaussova metoda je da se postupno eliminišu nepoznanice. Recimo da imamo sistem od dvije jednačine u kojima postoje dvije nepoznanice. Da biste ih pronašli, morate provjeriti kompatibilnost sistema. Gausova jednačina se rješava vrlo jednostavno. Potrebno je u matričnom obliku ispisati koeficijente koji se nalaze u blizini svake nepoznate. Da biste riješili sistem, morate napisati proširenu matricu. Ako jedna od jednadžbi sadrži manji broj nepoznanica, onda se "0" mora staviti na mjesto elementa koji nedostaje. Na matricu se primjenjuju sve poznate metode transformacije: množenje, dijeljenje brojem, dodavanje odgovarajućih elemenata redova jedni drugima i drugo. Ispada da je u svakom redu potrebno ostaviti jednu varijablu sa vrijednošću "1", a ostale vode do zero mind. Za preciznije razumijevanje potrebno je razmotriti Gaussovu metodu s primjerima.

Jednostavan primjer rješavanja 2x2 sistema

Za početak, uzmimo jednostavan sistem algebarskih jednadžbi, u kojem će biti 2 nepoznate.

Prepišimo to u proširenu matricu.

Za rješavanje ovog sistema linearnih jednačina potrebne su samo dvije operacije. Moramo dovesti matricu u kanonski oblik tako da postoje jedinice duž glavne dijagonale. Dakle, prevođenjem iz matričnog oblika nazad u sistem, dobijamo jednačine: 1x+0y=b1 i 0x+1y=b2, gde su b1 i b2 odgovori dobijeni u procesu rešavanja.

Prvi korak u rješavanju proširene matrice bit će sljedeći: prvi red se mora pomnožiti sa -7 i odgovarajući elementi dodati u drugi red, respektivno, kako bismo se riješili jedne nepoznate u drugoj jednačini.
Kako rješenje jednadžbi Gaussovom metodom podrazumijeva dovođenje matrice u kanonski oblik, onda je potrebno uraditi iste operacije sa prvom jednačinom i ukloniti drugu varijablu. Da bismo to učinili, oduzimamo drugi red od prvog i dobivamo potreban odgovor - rješenje SLAE. Ili, kao što je prikazano na slici, drugi red pomnožimo sa faktorom -1 i dodamo elemente drugog reda u prvi red. Ovo je isto.

Kao što vidite, naš sistem je riješen Jordan-Gaussovom metodom. Prepisujemo ga u traženom obliku: x=-5, y=7.

Primjer rješavanja SLAE 3x3

Pretpostavimo da imamo složeniji sistem linearnih jednačina. Gaussova metoda omogućava izračunavanje odgovora čak i za naizgled najzbunjujući sistem. Stoga, kako biste dublje ušli u metodologiju izračuna, možete prijeći na više složen primjer sa tri nepoznate.

Kao iu prethodnom primjeru, prepisujemo sistem u obliku proširene matrice i počinjemo da ga dovodimo u kanonski oblik.

Da biste riješili ovaj sistem, morat ćete izvršiti mnogo više radnji nego u prethodnom primjeru.

Prvo morate napraviti u prvoj koloni jedan jedini element, a ostatak nule. Da biste to učinili, pomnožite prvu jednačinu sa -1 i dodajte joj drugu jednačinu. Važno je zapamtiti da prvi red prepisujemo u izvornom obliku, a drugi - već u izmijenjenom obliku.
Zatim uklanjamo istu prvu nepoznatu iz treće jednačine. Da bismo to učinili, pomnožimo elemente prvog reda sa -2 i dodamo ih trećem redu. Sada su prvi i drugi red prepisani u izvornom obliku, a treći - već s promjenama. Kao što vidite iz rezultata, prvu smo dobili na početku glavne dijagonale matrice, a ostale su nule. Još nekoliko radnji, i sistem jednačina Gaussovom metodom će biti pouzdano riješen.
Sada morate izvršiti operacije na drugim elementima redova. Treći i četvrti korak se mogu kombinovati u jedan. Moramo podijeliti drugu i treću liniju sa -1 da bismo se riješili negativnih na dijagonali. Treću liniju smo već doveli u traženu formu.
Zatim, kanonikaliziramo drugi red. Da bismo to učinili, pomnožimo elemente trećeg reda sa -3 i dodamo ih drugom redu matrice. Iz rezultata se vidi da je i druga linija svedena na formu koja nam je potrebna. Ostaje napraviti još nekoliko operacija i ukloniti koeficijente nepoznanica iz prvog reda.
Da biste napravili 0 od drugog elementa reda, trebate treći red pomnožiti sa -3 i dodati ga prvom redu.
Sljedeći odlučujući korak je dodavanje potrebnih elemenata drugog reda u prvi red. Tako dobijamo kanonski oblik matrice i, shodno tome, odgovor.

Kao što vidite, rješenje jednadžbi Gaussovom metodom je prilično jednostavno.

Primjer rješavanja 4x4 sistema jednadžbi

Nešto više složeni sistemi jednadžbe se mogu riješiti Gaussovom metodom pomoću kompjuterski programi. Potrebno je ubaciti koeficijente za nepoznate u postojeće prazne ćelije, a program će korak po korak izračunati traženi rezultat, detaljno opisujući svaku radnju.

Opisano u nastavku instrukcija korak po korak rješenja za ovaj primjer.

U prvom koraku se slobodni koeficijenti i brojevi za nepoznate unose u prazne ćelije. Tako dobijamo istu proširenu matricu koju pišemo rukom.

I izvode se sve potrebne aritmetičke operacije kako bi se proširena matrica dovela u kanonski oblik. Mora se shvatiti da odgovor na sistem jednačina nije uvijek cijeli brojevi. Ponekad rješenje može biti iz razlomaka.

Provjera ispravnosti rješenja

Jordan-Gaussova metoda omogućava provjeru ispravnosti rezultata. Da biste saznali da li su koeficijenti ispravno izračunati, potrebno je samo da zamenite rezultat u originalni sistem jednačina. Lijeva strana jednadžbe mora odgovarati desnoj strani koja se nalazi iza znaka jednakosti. Ako se odgovori ne poklapaju, onda morate ponovo izračunati sistem ili pokušati primijeniti neku drugu metodu rješavanja SLAE koja vam je poznata, kao što je zamjena ili oduzimanje po član i sabiranje. Na kraju krajeva, matematika je nauka koja ima velika količina razne tehnike rješenja. Ali zapamtite: rezultat bi uvijek trebao biti isti, bez obzira na metodu rješenja koju ste koristili.

Gaussova metoda: najčešće greške u rješavanju SLAE

Prilikom rješavanja linearnih sistema jednačina najčešće dolazi do grešaka, kao što je netačan prijenos koeficijenata u matrični oblik. Postoje sistemi u kojima neke nepoznanice nedostaju u jednoj od jednadžbi, pa se, prenošenjem podataka u proširenu matricu, mogu izgubiti. Kao rezultat toga, prilikom rješavanja ovog sistema rezultat možda neće odgovarati stvarnom.

Još jedna od glavnih grešaka može biti netačno ispisivanje konačnog rezultata. Mora se jasno shvatiti da će prvi koeficijent odgovarati prvoj nepoznatoj iz sistema, drugi - drugoj, itd.

Gaussova metoda detaljno opisuje rješenje linearnih jednačina. Zahvaljujući njemu, lako je izvršiti potrebne operacije i pronaći pravi rezultat. Osim toga, ovo univerzalni lijek za traženje pouzdanog odgovora na jednačine bilo koje složenosti. Možda se zato toliko često koristi u rješavanju SLAE.

1. Sistem linearnih algebarskih jednadžbi

1.1 Koncept sistema linearnih algebarskih jednačina

Sistem jednačina je uslov koji se sastoji u istovremenom izvršavanju više jednačina u više varijabli. Sistem linearnih algebarskih jednadžbi (u daljem tekstu SLAE) koji sadrži m jednačina i n nepoznatih je sistem oblika:

gdje se brojevi a ij nazivaju koeficijenti sistema, brojevi b i su slobodni članovi, aij i b i(i=1,…, m; b=1,…, n) su neki poznati brojevi, i x 1 ,…, x n- nepoznato. U zapisu koeficijenata aij prvi indeks i označava broj jednačine, a drugi indeks j je broj nepoznate na kojoj se nalazi ovaj koeficijent. Podložno pronalaženju broja x n . Zgodno je napisati takav sistem u obliku kompaktne matrice: AX=B. Ovdje je A matrica koeficijenata sistema, koja se naziva glavna matrica;

je vektor kolone nepoznatog xj.
je vektor stupaca slobodnih članova bi.

Proizvod matrica A * X je definiran, jer u matrici A ima onoliko stupaca koliko ima redova u matrici X (n komada).

Proširena matrica sistema je matrica A sistema, dopunjena kolonom slobodnih pojmova

1.2 Rješenje sistema linearnih algebarskih jednačina

Rješenje sistema jednadžbi je uređeni skup brojeva (vrijednosti varijabli), kada ih zamijenite umjesto varijabli, svaka od jednadžbi sistema se pretvara u pravu jednakost.

Rješenje sistema je n vrijednosti nepoznatih x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, zamjenom kojih se sve jednačine sistema pretvaraju u prave jednakosti. Bilo koje rješenje sistema može se zapisati kao matrična kolona

Sistem jednačina naziva se konzistentan ako ima barem jedno rješenje, a nekonzistentan ako nema rješenja.

Zajednički sistem naziva se definitivnim ako ima jedinstveno rješenje, a neodređenim ako ima više od jednog rješenja. AT poslednji slučaj svako njegovo rješenje naziva se posebno rješenje sistema. Skup svih posebnih rješenja naziva se općim rješenjem.

Rešiti sistem znači otkriti da li je konzistentan ili nedosledan. Ako je sistem kompatibilan, pronađite njegovo opće rješenje.

Dva sistema se nazivaju ekvivalentna (ekvivalentna) ako imaju isto opšte rešenje. Drugim riječima, sistemi su ekvivalentni ako je svako rješenje jednog od njih rješenje drugog, i obrnuto.

Transformacija, čija primjena pretvara sistem u novi sistem, ekvivalentna originalnoj, naziva se ekvivalentna ili ekvivalentna transformacija. Primjeri ekvivalentne transformacije mogu poslužiti sljedeće transformacije: zamjena dvije jednačine sistema, zamjena dvije nepoznate zajedno sa koeficijentima svih jednačina, množenje oba dijela bilo koje jednačine sistema brojem koji nije nula.

Sistem linearnih jednadžbi naziva se homogenim ako su svi slobodni članovi jednaki nuli:

Homogeni sistem je uvijek konzistentan, jer je x1=x2=x3=…=xn=0 rješenje za sistem. Ovo rješenje se zove nulto ili trivijalno.

2. Gausova metoda eliminacije

2.1 Suština Gausove metode eliminacije

Klasična metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina je metoda sekvencijalno isključenje nepoznato - Gaussova metoda(Zove se i Gausova metoda eliminacije). Ovo je metoda uzastopne eliminacije varijabli, kada se uz pomoć elementarnih transformacija sistem jednačina svodi na ekvivalentni sistem stepenasti (ili trokutasti) oblik, iz kojeg se sve ostale varijable nalaze uzastopno, počevši od posljednje (po broju) varijabli.

Proces Gausovog rješenja sastoji se od dvije faze: kretanja naprijed i nazad.

1. Direktan potez.

U prvoj fazi se izvodi takozvano direktno kretanje, kada se elementarnim transformacijama po redovima sistem dovodi u stepenasti ili trouglasti oblik, ili se utvrdi da je sistem nekonzistentan. Naime, među elementima prve kolone matrice bira se nenulta jedinica, pomera se na najgornju poziciju permutacijom redova, a prvi red dobijen nakon permutacije oduzima se od preostalih redova množeći ga sa vrijednost jednaka omjeru prvog elementa svakog od ovih redova prema prvom elementu prvog reda, čime se nula stupac ispod njega.

Nakon što su navedene transformacije napravljene, prvi red i prvi stupac se mentalno precrtavaju i nastavljaju sve dok ne ostane matrica nulte veličine. Ako u nekoj od iteracija među elementima prve kolone nije pronađena jedinica različita od nule, onda idite na sljedeći stupac i izvršite sličnu operaciju.

U prvoj fazi (naprijed) sistem se svodi na stepenasti (posebno trokutasti) oblik.

Sistem ispod je postupno:

Koeficijenti aii nazivaju se glavnim (vodećim) elementima sistema.

(ako je a11=0, preurediti redove matrice tako da a 11 nije bilo jednako 0. Ovo je uvijek moguće, jer inače matrica sadrži nultu kolonu, njena determinanta je jednaka nuli i sistem je nekonzistentan).

Transformišemo sistem eliminacijom nepoznatog x1 u svim jednačinama osim u prvoj (koristeći elementarne transformacije sistema). Da biste to učinili, pomnožite obje strane prve jednadžbe sa

i saberite član po član sa drugom jednačinom sistema (ili od druge jednačine oduzimamo član po član prvi pomnožen sa ). Zatim pomnožimo oba dijela prve jednačine sa i dodamo je trećoj jednačini sistema (ili oduzmemo prvi pomnožen trećim članom po članu). Dakle, prvi red sukcesivno množimo brojem i dodajemo i-ti red, za i= 2, 3, …,n.

Nastavljajući ovaj proces, dobijamo ekvivalentni sistem:

– nove vrijednosti koeficijenata za nepoznate i slobodne članove u posljednjim m-1 jednačinama sistema, koje su određene formulama:

Tako se u prvom koraku uništavaju svi koeficijenti pod prvim vodećim elementom a 11

0, drugi korak uništava elemente ispod drugog vodećeg elementa a 22 (1) (ako je 22 (1) 0), i tako dalje. Nastavljajući ovaj proces dalje, konačno ćemo svesti originalni sistem na trouglasti sistem na (m-1) koraku.

Ako se u procesu svođenja sistema na stepenasti oblik pojave nulte jednačine, tj. jednakosti oblika 0=0, one se odbacuju. Ako postoji jednačina oblika

Ovo ukazuje na nekompatibilnost sistema.

Ovim je završen direktni kurs Gaussove metode.

2. Pokret unazad.

U drugoj fazi izvodi se takozvani obrnuti potez, čija je suština da se sve rezultirajuće osnovne varijable izraze u terminima neosnovnih i konstruišu fundamentalni sistem rješenja, ili, ako su sve varijable osnovne, onda izraziti u numeričkom obliku jedino rješenje sistema linearnih jednačina.

Ovaj postupak počinje posljednjom jednadžbom, iz koje se izražava odgovarajuća osnovna varijabla (u njoj je samo jedna) i zamjenjuje se u prethodne jednačine, i tako dalje, idući "stepenicama" do vrha.

Svaki red odgovara tačno jednoj osnovnoj varijabli, tako da se na svakom koraku, osim zadnjeg (najgornjeg), situacija tačno ponavlja slučaj zadnje linije.

Napomena: u praksi je prikladnije raditi ne sa sistemom, već sa njegovom proširenom matricom, izvodeći sve elementarne transformacije na njegovim redovima. Pogodno je da koeficijent a11 bude jednak 1 (preuredite jednačine, ili podijelite obje strane jednačine sa a11).

2.2 Primjeri rješavanja SLAE Gaussovom metodom

AT ovaj odeljak tri razni primjeri Pokažimo kako se SLAE može riješiti Gaussovom metodom.

Primjer 1. Riješite SLAE 3. reda.

Postavite koeficijente na nulu na

u drugom i trećem redu. Da biste to učinili, pomnožite ih sa 2/3 i 1, respektivno, i dodajte ih u prvi red:

Neka je dat sistem linearnih algebarskih jednadžbi, koji se moraju riješiti (naći takve vrijednosti nepoznanica hi da svaku jednačinu sistema pretvaraju u jednakost).

Znamo da sistem linearnih algebarskih jednadžbi može:

1) Nemati rješenja (biti nekompatibilno).
2) Imati beskonačno mnogo rješenja.
3) Imati jedinstveno rješenje.

Kao što se sjećamo, Cramerovo pravilo i matrična metoda su neprikladni u slučajevima kada sistem ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan. Gaussova metoda – najmoćniji i najsvestraniji alat za pronalaženje rješenja za bilo koji sistem linearnih jednačina, što je u svakom slučaju dovedi nas do odgovora! Algoritam metode u sva tri slučaja radi na isti način. Ako Cramer i matrične metode zahtijevaju poznavanje determinanti, onda primjena Gaussove metode zahtijeva poznavanje samo aritmetičkih operacija, što je čini dostupnom čak i učenicima osnovnih škola.

1) With troky matrice mogu preurediti mjesta.

2) ako postoje (ili postoje) proporcionalni (kao poseban slučaj - identični) redovi u matrici, onda slijedi izbrisati iz matrice, svi ovi redovi osim jednog.

3) ako se nulti red pojavio u matrici tokom transformacija, onda i on slijedi izbrisati.

4) red matrice može pomnožiti (podijeliti) na bilo koji broj osim nule.

5) do reda matrice, možete dodajte još jedan niz pomnožen brojem, različito od nule.

U Gauss metodi, elementarne transformacije ne mijenjaju rješenje sistema jednačina.

Gaussova metoda se sastoji od dvije faze:

"Direktan potez" - koristeći elementarne transformacije, dovedite proširenu matricu sistema linearnih algebarskih jednadžbi u "trokutasti" stepenasti oblik: elementi proširene matrice koji se nalaze ispod glavne dijagonale jednaki su nuli (pomak odozgo prema dolje ). Na primjer, na ovu vrstu:

Da biste to učinili, izvršite sljedeće korake:

3) Prelazimo na sljedeću jednačinu i tako sve dok ne ostane posljednji nepoznati i transformirani slobodni član.

"Obrnuti potez" Gaussove metode je dobivanje rješenja za sistem linearnih algebarskih jednačina (pomak "odozdo prema gore"). Iz posljednje "niže" jednačine dobijamo jedno prvo rješenje - nepoznato x n. Da bismo to učinili, rješavamo elementarnu jednadžbu A * x n = B. U gornjem primjeru, x 3 = 4. Pronađenu vrijednost zamjenjujemo u „gornju“ sljedeću jednačinu i rješavamo je u odnosu na sljedeću nepoznatu. Na primjer, x 2 - 4 \u003d 1, tj. x 2 \u003d 5. I tako dalje dok ne pronađemo sve nepoznanice.

Primjer.

Sistem linearnih jednadžbi rješavamo Gaussovom metodom, kako savjetuju neki autori:

Pišemo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovodimo je do oblika koraka:

Gledamo gornji levi "stupak". Tamo bi trebali imati jedinicu. Problem je što ih u prvoj koloni uopšte nema, pa se preuređivanjem redova ništa ne može riješiti. U takvim slučajevima, jedinica mora biti organizirana pomoću elementarne transformacije. To se obično može učiniti na nekoliko načina. Uradimo to ovako:
1 korak . Prvom redu dodajemo drugi red, pomnožen sa -1. Odnosno, mentalno smo pomnožili drugi red sa -1 i izvršili sabiranje prvog i drugog reda, dok se drugi red nije promijenio.

Sada gore lijevo "minus jedan", što nam savršeno odgovara. Ko želi dobiti +1 može izvršiti dodatnu radnju: pomnožiti prvi red sa -1 (promijeniti njegov predznak).

2 korak . Prvi red pomnožen sa 5 dodat je drugom redu, a prvi red pomnožen sa 3 dodan je trećem redu.

4 korak . Trećem redu dodajte drugi red, pomnožen sa 2.

5 koraka . Treći red je podeljen sa 3.

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 = 1, dakle x 1 + 3 - 1 = 1, x 1 \u003d -1

Odgovori:x 1 = -1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Rešimo isti sistem koristeći predloženi algoritam. Dobijamo

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Podijelite drugu jednačinu sa 5, a treću sa 3. Dobijamo:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Pomnožimo drugu i treću jednačinu sa 4, dobićemo:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Oduzmimo prvu jednačinu od druge i treće jednačine, imamo:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Podijelite treću jednačinu sa 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Pomnožite treću jednačinu sa 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Oduzmite drugu jednačinu od treće jednačine, dobićemo „stepenastu“ proširenu matricu:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Dakle, budući da se greška nakupila u procesu izračunavanja, dobijamo x 3 = 0,96, ili približno 1.

x 2 = 3 i x 1 = -1.

Rješavajući na ovaj način, nikada se nećete zbuniti u proračunima i, uprkos greškama u proračunu, dobit ćete rezultat.

Ova metoda rješavanja sistema linearnih algebarskih jednačina je lako programibilna i ne uzima u obzir specifičnosti koeficijenata za nepoznate, jer se u praksi (u ekonomskim i tehničkim proračunima) mora raditi sa necjelobrojnim koeficijentima.

Želim vam uspjeh! Vidimo se na času! Tutor Dmitry Aistrakhanov.

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.