Άθροισμα μιας άπειρης αριθμητικής προόδου. Άθροισμα αριθμητικής προόδου

Όταν μελετάτε την άλγεβρα στο δευτεροβάθμιο σχολείο(9η τάξη) ένα από σημαντικά θέματαείναι η μελέτη των ακολουθιών αριθμών, που περιλαμβάνουν προόδους - γεωμετρικές και αριθμητικές. Σε αυτό το άρθρο θα δούμε μια αριθμητική πρόοδο και παραδείγματα με λύσεις.

Τι είναι μια αριθμητική πρόοδος;

Για να γίνει κατανοητό αυτό, είναι απαραίτητο να ορίσουμε την εν λόγω εξέλιξη, καθώς και να παρέχουμε τους βασικούς τύπους που θα χρησιμοποιηθούν αργότερα για την επίλυση προβλημάτων.

Αριθμητική ή είναι ένα σύνολο διατεταγμένων ρητών αριθμών, κάθε μέλος των οποίων διαφέρει από το προηγούμενο κατά κάποια σταθερή τιμή. Αυτή η τιμή ονομάζεται διαφορά. Δηλαδή, γνωρίζοντας οποιοδήποτε μέλος μιας διατεταγμένης σειράς αριθμών και τη διαφορά, μπορείτε να επαναφέρετε ολόκληρη την αριθμητική πρόοδο.

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα. Η ακόλουθη ακολουθία αριθμών θα είναι μια αριθμητική πρόοδος: 4, 8, 12, 16, ..., αφού η διαφορά σε αυτή την περίπτωση είναι 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Αλλά το σύνολο των αριθμών 3, 5, 8, 12, 17 δεν μπορεί πλέον να αποδοθεί στον τύπο της εξέλιξης που εξετάζεται, καθώς η διαφορά για αυτό δεν είναι σταθερή τιμή (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Σημαντικές Φόρμουλες

Ας παρουσιάσουμε τώρα τους βασικούς τύπους που θα χρειαστούν για την επίλυση προβλημάτων χρησιμοποιώντας αριθμητική πρόοδος. Ας συμβολίσουμε με το σύμβολο a n η θητείαακολουθίες όπου το n είναι ακέραιος αριθμός. Δηλώνουμε τη διαφορά Λατινικό γράμμαρε. Τότε δίκαιο τις παρακάτω εκφράσεις:

Για τον προσδιορισμό της τιμής του nου όρου, είναι κατάλληλος ο ακόλουθος τύπος: a n = (n-1)*d+a 1 .
Για να προσδιορίσετε το άθροισμα των πρώτων n όρων: S n = (a n +a 1)*n/2.

Για να κατανοήσουμε τυχόν παραδείγματα αριθμητικής προόδου με λύσεις στην 9η τάξη, αρκεί να θυμηθούμε αυτούς τους δύο τύπους, αφού τυχόν προβλήματα του υπό εξέταση τύπου βασίζονται στη χρήση τους. Θα πρέπει επίσης να θυμάστε ότι η διαφορά προόδου καθορίζεται από τον τύπο: d = a n - a n-1.

Παράδειγμα #1: εύρεση ενός άγνωστου όρου

Ας δώσουμε ένα απλό παράδειγμα μιας αριθμητικής προόδου και τους τύπους που πρέπει να χρησιμοποιηθούν για την επίλυσή της.

Αφήστε την ακολουθία 10, 8, 6, 4, ... να δοθεί, πρέπει να βρείτε πέντε όρους σε αυτήν.

Από τις συνθήκες του προβλήματος προκύπτει ήδη ότι οι 4 πρώτοι όροι είναι γνωστοί. Το πέμπτο μπορεί να οριστεί με δύο τρόπους:

Ας υπολογίσουμε πρώτα τη διαφορά. Έχουμε: d = 8 - 10 = -2. Ομοίως, θα μπορούσατε να πάρετε οποιαδήποτε άλλα δύο μέλη που στέκονται το ένα δίπλα στο άλλο. Για παράδειγμα, d = 4 - 6 = -2. Αφού είναι γνωστό ότι d = a n - a n-1, τότε d = a 5 - a 4, από το οποίο παίρνουμε: a 5 = a 4 + d. Ας αντικαταστήσουμε γνωστές αξίες: a 5 = 4 + (-2) = 2.
Η δεύτερη μέθοδος απαιτεί επίσης γνώση της διαφοράς της εν λόγω προόδου, επομένως πρέπει πρώτα να την προσδιορίσετε όπως φαίνεται παραπάνω (d = -2). Γνωρίζοντας ότι ο πρώτος όρος a 1 = 10, χρησιμοποιούμε τον τύπο για τον ν αριθμό της ακολουθίας. Έχουμε: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Αντικαθιστώντας το n = 5 στην τελευταία παράσταση, παίρνουμε: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Όπως μπορείτε να δείτε, και οι δύο λύσεις οδήγησαν στο ίδιο αποτέλεσμα. Σημειώστε ότι σε αυτό το παράδειγμα η διαφορά d της προόδου είναι αρνητική τιμή. Τέτοιες ακολουθίες ονομάζονται φθίνουσες, αφού κάθε επόμενος όρος είναι μικρότερος από τον προηγούμενο.

Παράδειγμα #2: διαφορά προόδου

Τώρα ας περιπλέκουμε λίγο το πρόβλημα, δώσουμε ένα παράδειγμα για το πώς να βρείτε τη διαφορά μιας αριθμητικής προόδου.

Είναι γνωστό ότι σε κάποια αλγεβρική πρόοδο ο 1ος όρος είναι ίσος με 6 και ο 7ος όρος είναι ίσος με 18. Είναι απαραίτητο να βρούμε τη διαφορά και να επαναφέρουμε αυτή την ακολουθία στον 7ο όρο.

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για να προσδιορίσουμε τον άγνωστο όρο: a n = (n - 1) * d + a 1 . Ας αντικαταστήσουμε τα γνωστά δεδομένα από τη συνθήκη σε αυτήν, δηλαδή τους αριθμούς a 1 και a 7, έχουμε: 18 = 6 + 6 * d. Από αυτή την έκφραση μπορείτε εύκολα να υπολογίσετε τη διαφορά: d = (18 - 6) /6 = 2. Έτσι, απαντήσαμε στο πρώτο μέρος του προβλήματος.

Για να επαναφέρετε την ακολουθία στον 7ο όρο, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ορισμό αλγεβρική πρόοδος, δηλαδή, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d και ούτω καθεξής. Ως αποτέλεσμα, επαναφέρουμε ολόκληρη την ακολουθία: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Παράδειγμα Νο. 3: σχεδίαση μιας εξέλιξης

Ας το περιπλέκουμε περισσότερο ισχυρότερη κατάστασηκαθήκοντα. Τώρα πρέπει να απαντήσουμε στο ερώτημα πώς να βρούμε μια αριθμητική πρόοδο. Μπορεί να δοθεί το ακόλουθο παράδειγμα: δίνονται δύο αριθμοί, για παράδειγμα - 4 και 5. Είναι απαραίτητο να δημιουργηθεί μια αλγεβρική πρόοδος έτσι ώστε να τοποθετηθούν άλλοι τρεις όροι μεταξύ αυτών.

Πριν ξεκινήσετε να λύνετε αυτό το πρόβλημα, πρέπει να καταλάβετε ποια θέση θα καταλάβουν οι συγκεκριμένοι αριθμοί στη μελλοντική εξέλιξη. Δεδομένου ότι θα υπάρχουν άλλοι τρεις όροι μεταξύ τους, τότε ένας 1 = -4 και ένας 5 = 5. Έχοντας διαπιστώσει αυτό, προχωράμε στο πρόβλημα, το οποίο είναι παρόμοιο με το προηγούμενο. Και πάλι, για τον nο όρο χρησιμοποιούμε τον τύπο, παίρνουμε: a 5 = a 1 + 4 * d. Από: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Αυτό που λάβαμε εδώ δεν είναι μια ακέραια τιμή της διαφοράς, αλλά είναι ρητός αριθμός, οπότε οι τύποι για την αλγεβρική πρόοδο παραμένουν οι ίδιοι.

Τώρα ας προσθέσουμε τη διαφορά που βρέθηκε στο 1 και ας επαναφέρουμε τους όρους που λείπουν από την εξέλιξη. Παίρνουμε: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, που συνέπεσε με τις συνθήκες του προβλήματος.

Παράδειγμα Νο. 4: πρώτος όρος προόδου

Ας συνεχίσουμε να δίνουμε παραδείγματα αριθμητικής προόδου με λύσεις. Σε όλα τα προηγούμενα προβλήματα, ο πρώτος αριθμός της αλγεβρικής προόδου ήταν γνωστός. Ας εξετάσουμε τώρα ένα πρόβλημα διαφορετικού τύπου: ας δοθούν δύο αριθμοί, όπου ένας 15 = 50 και ένας 43 = 37. Είναι απαραίτητο να βρούμε από ποιον αριθμό αρχίζει αυτή η ακολουθία.

Οι τύποι που χρησιμοποιήθηκαν μέχρι στιγμής προϋποθέτουν γνώση των 1 και δ. Στη δήλωση προβλήματος, τίποτα δεν είναι γνωστό για αυτούς τους αριθμούς. Ωστόσο, θα γράψουμε εκφράσεις για κάθε όρο σχετικά με τις διαθέσιμες πληροφορίες: a 15 = a 1 + 14 * d και a 43 = a 1 + 42 * d. Λάβαμε δύο εξισώσεις στις οποίες υπάρχουν 2 άγνωστα μεγέθη (α 1 και δ). Αυτό σημαίνει ότι το πρόβλημα περιορίζεται στην επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων.

Ο ευκολότερος τρόπος για να λύσετε αυτό το σύστημα είναι να εκφράσετε ένα 1 σε κάθε εξίσωση και στη συνέχεια να συγκρίνετε τις παραστάσεις που προκύπτουν. Πρώτη εξίσωση: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; δεύτερη εξίσωση: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Εξισώνοντας αυτές τις εκφράσεις, παίρνουμε: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, από όπου η διαφορά d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (δίνονται μόνο 3 δεκαδικά ψηφία).

Γνωρίζοντας το d, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιαδήποτε από τις 2 παραπάνω εκφράσεις για το 1. Για παράδειγμα, πρώτα: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Εάν έχετε αμφιβολίες σχετικά με το αποτέλεσμα που λάβατε, μπορείτε να το ελέγξετε, για παράδειγμα, να προσδιορίσετε τον 43ο όρο της προόδου, ο οποίος καθορίζεται στη συνθήκη. Παίρνουμε: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Το μικρό σφάλμα οφείλεται στο γεγονός ότι στους υπολογισμούς χρησιμοποιήθηκε η στρογγυλοποίηση στα χιλιοστά.

Παράδειγμα Νο. 5: ποσό

Τώρα ας δούμε πολλά παραδείγματα με λύσεις για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου.

Ας δοθεί αριθμητική πρόοδος τον παρακάτω τύπο: 1, 2, 3, 4, ...,. Πώς να υπολογίσετε το άθροισμα των 100 αυτών των αριθμών;

Χάρη στην ανάπτυξη τεχνολογία υπολογιστώνμπορείτε να λύσετε αυτό το πρόβλημα, δηλαδή να προσθέσετε όλους τους αριθμούς διαδοχικά, τα οποία Υπολογιστική μηχανήθα το κάνει μόλις το άτομο πατήσει το πλήκτρο Enter. Ωστόσο, το πρόβλημα μπορεί να λυθεί διανοητικά εάν προσέξετε ότι η παρουσιαζόμενη σειρά αριθμών είναι αλγεβρική πρόοδος και η διαφορά της είναι ίση με 1. Εφαρμόζοντας τον τύπο για το άθροισμα, παίρνουμε: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι αυτό το πρόβλημα ονομάζεται "Gaussian" επειδή στο αρχές XVIIIαιώνα, ο διάσημος Γερμανός, ενώ ήταν ακόμη μόλις 10 ετών, μπόρεσε να το λύσει στο κεφάλι του μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα. Το αγόρι δεν ήξερε τον τύπο για το άθροισμα μιας αλγεβρικής προόδου, αλλά παρατήρησε ότι αν προσθέσετε τους αριθμούς στα άκρα της ακολουθίας σε ζευγάρια, έχετε πάντα το ίδιο αποτέλεσμα, δηλαδή 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., και δεδομένου ότι αυτά τα αθροίσματα θα είναι ακριβώς 50 (100 / 2), τότε για να πάρετε τη σωστή απάντηση αρκεί να πολλαπλασιάσετε το 50 με το 101.

Παράδειγμα Νο. 6: άθροισμα όρων από n έως m

Ενα ακόμα χαρακτηριστικό παράδειγματο άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου είναι το εξής: δίνοντας μια σειρά αριθμών: 3, 7, 11, 15, ..., πρέπει να βρείτε με τι θα ισούται το άθροισμα των όρων της από το 8 έως το 14.

Το πρόβλημα λύνεται με δύο τρόπους. Το πρώτο από αυτά περιλαμβάνει την εύρεση άγνωστων όρων από το 8 έως το 14 και στη συνέχεια τη διαδοχική άθροισή τους. Δεδομένου ότι υπάρχουν λίγοι όροι, αυτή η μέθοδος δεν είναι αρκετά εντατική. Ωστόσο, προτείνεται η επίλυση αυτού του προβλήματος χρησιμοποιώντας μια δεύτερη μέθοδο, η οποία είναι πιο καθολική.

Η ιδέα είναι να ληφθεί ένας τύπος για το άθροισμα της αλγεβρικής προόδου μεταξύ των όρων m και n, όπου n > m είναι ακέραιοι. Και για τις δύο περιπτώσεις, γράφουμε δύο εκφράσεις για το άθροισμα:

S m = m * (a m + a 1) / 2.
S n = n * (a n + a 1) / 2.

Αφού n > m, είναι προφανές ότι το 2ο άθροισμα περιλαμβάνει το πρώτο. Το τελευταίο συμπέρασμα σημαίνει ότι αν πάρουμε τη διαφορά μεταξύ αυτών των αθροισμάτων και προσθέσουμε τον όρο a m σε αυτήν (στην περίπτωση λήψης της διαφοράς, αφαιρείται από το άθροισμα S n), θα λάβουμε την απαραίτητη απάντηση στο πρόβλημα. Έχουμε: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Είναι απαραίτητο να αντικαταστήσετε τους τύπους για ένα n και ένα m σε αυτήν την έκφραση. Τότε παίρνουμε: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Ο προκύπτων τύπος είναι κάπως περίπλοκος, ωστόσο, το άθροισμα S mn εξαρτάται μόνο από τα n, m, a 1 και d. Στην περίπτωσή μας, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Αντικαθιστώντας αυτούς τους αριθμούς, παίρνουμε: S mn = 301.

Όπως φαίνεται από τις παραπάνω λύσεις, όλα τα προβλήματα βασίζονται στη γνώση της έκφρασης για τον nο όρο και στον τύπο για το άθροισμα του συνόλου των πρώτων όρων. Πριν ξεκινήσετε να επιλύετε οποιοδήποτε από αυτά τα προβλήματα, συνιστάται να διαβάσετε προσεκτικά την κατάσταση, να κατανοήσετε ξεκάθαρα τι πρέπει να βρείτε και μόνο στη συνέχεια να προχωρήσετε στη λύση.

Μια άλλη συμβουλή είναι να προσπαθήσετε για απλότητα, δηλαδή, εάν μπορείτε να απαντήσετε σε μια ερώτηση χωρίς να χρησιμοποιήσετε πολύπλοκους μαθηματικούς υπολογισμούς, τότε πρέπει να κάνετε ακριβώς αυτό, καθώς σε αυτήν την περίπτωση η πιθανότητα να κάνετε λάθος είναι μικρότερη. Για παράδειγμα, στο παράδειγμα μιας αριθμητικής προόδου με τη λύση Νο. 6, θα μπορούσε κανείς να σταματήσει στον τύπο S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, και Διακοπή κοινή εργασίασε ξεχωριστές δευτερεύουσες εργασίες (σε σε αυτήν την περίπτωσηνα βρείτε πρώτα τους όρους a n και a m).

Εάν έχετε αμφιβολίες σχετικά με το αποτέλεσμα που προέκυψε, συνιστάται να το ελέγξετε, όπως έγινε σε ορισμένα από τα παραδείγματα που δίνονται. Ανακαλύψαμε πώς να βρούμε μια αριθμητική πρόοδο. Αν το καταλάβεις, δεν είναι και τόσο δύσκολο.

Ναι, ναι: η αριθμητική πρόοδος δεν είναι παιχνίδι για εσάς :)

Λοιπόν, φίλοι, αν διαβάζετε αυτό το κείμενο, τότε το εσωτερικό καπάκι-απόδειξη μου λέει ότι δεν ξέρετε ακόμα τι είναι η αριθμητική πρόοδος, αλλά πραγματικά (όχι, έτσι: SOOOOO!) θέλετε να μάθετε. Επομένως, δεν θα σας βασανίσω με μεγάλες εισαγωγές και θα μπω κατευθείαν στο θέμα.

Πρώτον, μερικά παραδείγματα. Ας δούμε διάφορα σύνολα αριθμών:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Τι κοινό έχουν όλα αυτά τα σύνολα; Με την πρώτη ματιά, τίποτα. Αλλά στην πραγματικότητα υπάρχει κάτι. Και συγκεκριμένα: κάθε επόμενο στοιχείο διαφέρει από το προηγούμενο κατά τον ίδιο αριθμό.

Κρίνετε μόνοι σας. Το πρώτο σετ είναι απλώς διαδοχικοί αριθμοί, ο κάθε επόμενος είναι ένας περισσότερος από τον προηγούμενο. Στη δεύτερη περίπτωση, η διαφορά μεταξύ της σειράς μόνιμους αριθμούςείναι ήδη ίσο με πέντε, αλλά αυτή η διαφορά παραμένει σταθερή. Στην τρίτη περίπτωση, υπάρχουν ρίζες συνολικά. Ωστόσο, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, και $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, π.χ. και σε αυτήν την περίπτωση, κάθε επόμενο στοιχείο απλώς αυξάνεται κατά $\sqrt(2)$ (και μην φοβάστε ότι αυτός ο αριθμός είναι παράλογος).

Άρα: όλες αυτές οι ακολουθίες ονομάζονται αριθμητικές προόδους. Ας δώσουμε έναν αυστηρό ορισμό:

Ορισμός. Μια ακολουθία αριθμών στην οποία κάθε επόμενος διαφέρει από τον προηγούμενο κατά το ίδιο ακριβώς ποσό ονομάζεται αριθμητική πρόοδος. Το ίδιο το ποσό κατά το οποίο διαφέρουν οι αριθμοί ονομάζεται διαφορά προόδου και τις περισσότερες φορές συμβολίζεται με το γράμμα $d$.

Σημείωση: $\left(((a)_(n)) \right)$ είναι η ίδια η πρόοδος, η $d$ είναι η διαφορά της.

Και ένα ζευγάρι ταυτόχρονα σημαντικά σχόλια. Πρώτον, εξετάζεται μόνο η εξέλιξη διέταξεακολουθία αριθμών: επιτρέπεται να διαβαστούν αυστηρά με τη σειρά που είναι γραμμένα - και τίποτα άλλο. Δεν είναι δυνατή η αναδιάταξη ή η εναλλαγή των αριθμών.

Δεύτερον, η ίδια η ακολουθία μπορεί να είναι είτε πεπερασμένη είτε άπειρη. Για παράδειγμα, το σύνολο (1; 2; 3) είναι προφανώς μια πεπερασμένη αριθμητική πρόοδος. Αλλά αν γράψετε κάτι στο πνεύμα (1; 2; 3; 4; ...) - αυτό είναι ήδη μια άπειρη εξέλιξη. Η έλλειψη μετά τα τέσσερα φαίνεται να αφήνει να εννοηθεί ότι θα ακολουθήσουν αρκετοί ακόμη αριθμοί. Άπειρα πολλά, για παράδειγμα. :)

Θα ήθελα επίσης να σημειώσω ότι οι προόδους μπορεί να αυξάνονται ή να μειώνονται. Έχουμε ήδη δει αυξανόμενα - το ίδιο σετ (1; 2; 3; 4; ...). Ακολουθούν παραδείγματα φθίνουσας προόδου:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

ΕΝΤΑΞΕΙ ΕΝΤΑΞΕΙ: τελευταίο παράδειγμαμπορεί να φαίνεται υπερβολικά περίπλοκο. Αλλά τα υπόλοιπα, νομίζω, τα καταλαβαίνεις. Επομένως, εισάγουμε νέους ορισμούς:

Ορισμός. Μια αριθμητική πρόοδος ονομάζεται:

αυξάνεται εάν κάθε επόμενο στοιχείο είναι μεγαλύτερο από το προηγούμενο.

μειώνεται εάν, αντίθετα, κάθε επόμενο στοιχείο είναι μικρότερο από το προηγούμενο.

Επιπλέον, υπάρχουν οι λεγόμενες «στάσιμες» ακολουθίες - αποτελούνται από τον ίδιο επαναλαμβανόμενο αριθμό. Για παράδειγμα, (3; 3; 3; ...).

Μόνο ένα ερώτημα παραμένει: πώς να διακρίνουμε μια αυξανόμενη εξέλιξη από μια φθίνουσα; Ευτυχώς, όλα εδώ εξαρτώνται μόνο από το πρόσημο του αριθμού $d$, δηλ. διαφορές εξέλιξης:

Εάν $d \gt 0$, τότε η εξέλιξη αυξάνεται.
Εάν $d \lt 0$, τότε η πρόοδος είναι προφανώς φθίνουσα.
Τέλος, υπάρχει η περίπτωση $d=0$ - σε αυτήν την περίπτωση ολόκληρη η εξέλιξη μειώνεται σε μια ακίνητη ακολουθία πανομοιότυπων αριθμών: (1; 1; 1; 1; ...), κ.λπ.

Ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε τη διαφορά $d$ για τις τρεις φθίνουσες προόδους που δίνονται παραπάνω. Για να γίνει αυτό, αρκεί να πάρουμε οποιαδήποτε δύο γειτονικά στοιχεία (για παράδειγμα, το πρώτο και το δεύτερο) και να αφαιρέσουμε τον αριθμό στα αριστερά από τον αριθμό στα δεξιά. Θα μοιάζει με αυτό:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Όπως βλέπουμε, σε όλα τρεις περιπτώσειςη διαφορά στην πραγματικότητα αποδείχθηκε αρνητική. Και τώρα που λίγο-πολύ καταλάβαμε τους ορισμούς, ήρθε η ώρα να καταλάβουμε πώς περιγράφονται οι προόδους και ποιες ιδιότητες έχουν.

Όροι προόδου και τύπος επανάληψης

Δεδομένου ότι τα στοιχεία των ακολουθιών μας δεν μπορούν να αντικατασταθούν, μπορούν να αριθμηθούν:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \σωστά$\]

Τα επιμέρους στοιχεία αυτού του συνόλου ονομάζονται μέλη μιας προόδου. Υποδεικνύονται με έναν αριθμό: πρώτο μέλος, δεύτερο μέλος κ.λπ.

Επιπλέον, όπως ήδη γνωρίζουμε, οι γειτονικοί όροι της προόδου σχετίζονται με τον τύπο:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Δεξί βέλος ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Εν ολίγοις, για να βρείτε τον όρο $n$th μιας προόδου, πρέπει να γνωρίζετε τον όρο $n-1$th και τη διαφορά $d$. Αυτός ο τύπος ονομάζεται επαναλαμβανόμενος, επειδή με τη βοήθειά του μπορείτε να βρείτε οποιονδήποτε αριθμό μόνο γνωρίζοντας τον προηγούμενο (και μάλιστα όλους τους προηγούμενους). Αυτό είναι πολύ άβολο, επομένως υπάρχει ένας πιο πονηρός τύπος που μειώνει τυχόν υπολογισμούς στον πρώτο όρο και τη διαφορά:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\αριστερά(n-1 \δεξιά)d\]

Πιθανότατα έχετε ήδη συναντήσει αυτόν τον τύπο. Τους αρέσει να το δίνουν σε κάθε είδους βιβλία αναφοράς και βιβλία λύσεων. Και σε κάθε λογικό εγχειρίδιο μαθηματικών είναι από τα πρώτα.

Ωστόσο, σας προτείνω να εξασκηθείτε λίγο.

Εργασία Νο. 1. Γράψτε τους τρεις πρώτους όρους της αριθμητικής προόδου $\left(((a)_(n)) \right)$ αν $((a)_(1))=8,d=-5$.

Λύση. Έτσι, γνωρίζουμε τον πρώτο όρο $((a)_(1))=8$ και τη διαφορά της προόδου $d=-5$. Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο που μόλις δόθηκε και ας αντικαταστήσουμε τα $n=1$, $n=2$ και $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\αριστερά(2-1 \δεξιά)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\αριστερά(3-1 \δεξιά)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(στοίχιση)\]

Απάντηση: (8; 3; −2)

Αυτό είναι όλο! Παρακαλώ σημειώστε: η πρόοδός μας μειώνεται.

Φυσικά, το $n=1$ δεν μπορούσε να αντικατασταθεί - ο πρώτος όρος είναι ήδη γνωστός σε εμάς. Ωστόσο, αντικαθιστώντας την ενότητα, πειστήκαμε ότι ακόμη και για τον πρώτο όρο η φόρμουλα μας λειτουργεί. Σε άλλες περιπτώσεις, όλα κατέληγαν σε μπανάλ αριθμητική.

Εργασία Νο. 2. Γράψτε τους τρεις πρώτους όρους μιας αριθμητικής προόδου αν ο έβδομος όρος της είναι ίσος με −40 και ο δέκατος έβδομος όρος ίσος με −50.

Λύση. Ας γράψουμε την κατάσταση του προβλήματος με γνωστούς όρους:

\[((a)_(7))=-40;\τετράγωνο ((a)_(17))=-50.\]

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=(a) _(1))+16d \\ \end(στοίχιση) \δεξιά.\]

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(στοίχιση) \σωστά.\]

Έβαλα το σύμβολο συστήματος γιατί αυτές οι απαιτήσεις πρέπει να πληρούνται ταυτόχρονα. Τώρα ας σημειώσουμε ότι αν αφαιρέσουμε την πρώτη από τη δεύτερη εξίσωση (έχουμε το δικαίωμα να το κάνουμε αυτό, αφού έχουμε σύστημα), παίρνουμε αυτό:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(στοίχιση)\]

Έτσι είναι εύκολο να βρεις τη διαφορά εξέλιξης! Το μόνο που μένει είναι να αντικαταστήσουμε τον αριθμό που βρέθηκε σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις του συστήματος. Για παράδειγμα, στο πρώτο:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((α)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(μήτρα)\]

Τώρα, γνωρίζοντας τον πρώτο όρο και τη διαφορά, μένει να βρούμε τον δεύτερο και τον τρίτο όρο:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(στοίχιση)\]

Ετοιμος! Το πρόβλημα λύθηκε.

Απάντηση: (−34; −35; −36)

δώσε προσοχή στο ενδιαφέρουσα ιδιοκτησίαπρόοδο που ανακαλύψαμε: αν πάρουμε τους όρους $n$th και $m$th και τους αφαιρέσουμε ο ένας από τον άλλο, θα έχουμε τη διαφορά της προόδου πολλαπλασιασμένη με τον αριθμό $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \αριστερά(n-m \δεξιά)\]

Απλό αλλά πολύ χρήσιμη ιδιότητα, που σίγουρα πρέπει να γνωρίζετε - με τη βοήθειά του μπορείτε να επιταχύνετε σημαντικά την επίλυση πολλών προβλημάτων εξέλιξης. Εδώ φωτεινό αυτόπαράδειγμα:

Εργασία Νο. 3. Ο πέμπτος όρος μιας αριθμητικής προόδου είναι 8,4 και ο δέκατος όρος είναι 14,4. Βρείτε τον δέκατο πέμπτο όρο αυτής της προόδου.

Λύση. Επειδή $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ και πρέπει να βρούμε $((a)_(15))$, σημειώνουμε τα εξής:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5δ. \\ \end(στοίχιση)\]

Αλλά από συνθήκη $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, άρα $5d=6$, από την οποία έχουμε:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((α)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(στοίχιση)\]

Απάντηση: 20.4

Αυτό είναι όλο! Δεν χρειάστηκε να δημιουργήσουμε κανένα σύστημα εξισώσεων και να υπολογίσουμε τον πρώτο όρο και τη διαφορά - όλα λύθηκαν σε μερικές μόνο γραμμές.

Τώρα ας δούμε έναν άλλο τύπο προβλήματος - την αναζήτηση αρνητικών και θετικών όρων μιας εξέλιξης. Δεν είναι μυστικό ότι εάν μια εξέλιξη αυξάνεται και ο πρώτος όρος είναι αρνητικός, αργά ή γρήγορα θα εμφανιστούν θετικοί όροι σε αυτήν. Και το αντίστροφο: οι όροι μιας φθίνουσας εξέλιξης αργά ή γρήγορα θα γίνουν αρνητικοί.

Ταυτόχρονα, δεν είναι πάντα δυνατό να βρεθεί αυτή η στιγμή «κατά μέτωπο» περνώντας διαδοχικά τα στοιχεία. Συχνά, τα προβλήματα γράφονται με τέτοιο τρόπο που χωρίς να γνωρίζουμε τους τύπους, οι υπολογισμοί θα χρειάζονταν πολλά φύλλα χαρτιού - απλώς θα κοιμόμασταν ενώ βρίσκαμε την απάντηση. Επομένως, ας προσπαθήσουμε να λύσουμε αυτά τα προβλήματα με πιο γρήγορο τρόπο.

Εργασία Νο. 4. Πόσοι αρνητικοί όροι υπάρχουν στην αριθμητική πρόοδο −38,5; −35,8; ...;

Λύση. Άρα, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, από όπου βρίσκουμε αμέσως τη διαφορά:

Σημειώστε ότι η διαφορά είναι θετική, άρα η εξέλιξη αυξάνεται. Ο πρώτος όρος είναι αρνητικός, οπότε όντως κάποια στιγμή θα πέσει πάνω σε θετικούς αριθμούς. Το μόνο ερώτημα είναι πότε θα συμβεί αυτό.

Ας προσπαθήσουμε να μάθουμε πόσο καιρό (δηλαδή μέχρι ποιος φυσικός αριθμός $n$) παραμένει η αρνητικότητα των όρων:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \right)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \δεξιά. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Δεξί βέλος ((n)_(\max ))=15. \\ \end(στοίχιση)\]

Η τελευταία γραμμή απαιτεί κάποια εξήγηση. Ξέρουμε λοιπόν ότι $n \lt 15\frac(7)(27)$. Από την άλλη πλευρά, ικανοποιούμαστε μόνο με ακέραιες τιμές του αριθμού (επιπλέον: $n\in \mathbb(N)$), επομένως ο μεγαλύτερος επιτρεπόμενος αριθμός είναι ακριβώς $n=15$ και σε καμία περίπτωση το 16 .

Εργασία Νο. 5. Σε αριθμητική πρόοδο $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Βρείτε τον αριθμό του πρώτου θετικού όρου αυτής της προόδου.

Αυτό θα ήταν ακριβώς το ίδιο πρόβλημα με το προηγούμενο, αλλά δεν γνωρίζουμε $((a)_(1))$. Αλλά οι γειτονικοί όροι είναι γνωστοί: $((a)_(5))$ και $((a)_(6))$, οπότε μπορούμε να βρούμε εύκολα τη διαφορά της προόδου:

Επιπλέον, ας προσπαθήσουμε να εκφράσουμε τον πέμπτο όρο μέσω του πρώτου και τη διαφορά χρησιμοποιώντας τον τυπικό τύπο:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(στοίχιση)\]

Τώρα προχωράμε κατ' αναλογία με την προηγούμενη εργασία. Ας μάθουμε σε ποιο σημείο της ακολουθίας μας θα εμφανιστούν θετικοί αριθμοί:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Δεξί βέλος ((n)_(\min ))=56. \\ \end(στοίχιση)\]

Ελάχιστο ακέραια λύσηαυτής της ανισότητας είναι ο αριθμός 56.

Σημειώστε: στην τελευταία εργασία όλα κατέληξαν σε αυστηρή ανισότητα, επομένως η επιλογή $n=55$ δεν μας ταιριάζει.

Τώρα που μάθαμε πώς να λύνουμε απλά προβλήματα, ας προχωρήσουμε σε πιο σύνθετα. Αλλά πρώτα, ας μελετήσουμε μια άλλη πολύ χρήσιμη ιδιότητα των αριθμητικών προόδων, η οποία θα μας εξοικονομήσει πολύ χρόνο και άνισα κελιά στο μέλλον. :)

Αριθμητικός μέσος όρος και ίσες εσοχές

Ας εξετάσουμε αρκετούς διαδοχικούς όρους της αυξανόμενης αριθμητικής προόδου $\left(((a)_(n)) \right)$. Ας προσπαθήσουμε να τα σημειώσουμε στην αριθμητική γραμμή:

Όροι αριθμητικής προόδου στην αριθμητική γραμμή

Επισήμανα συγκεκριμένα αυθαίρετους όρους $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, και όχι κάποιους $((a)_(1)) ,\ ((α)_(2)),\ ((α)_(3))$, κ.λπ. Επειδή ο κανόνας για τον οποίο θα σας πω τώρα λειτουργεί το ίδιο για οποιαδήποτε "τμήματα".

Και ο κανόνας είναι πολύ απλός. Ας θυμηθούμε τύπος υποτροπήςκαι γράψτε το για όλα τα επισημασμένα μέλη:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(στοίχιση)\]

Ωστόσο, αυτές οι ισότητες μπορούν να ξαναγραφτούν διαφορετικά:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(στοίχιση)\]

Λοιπόν, τι; Και το γεγονός ότι οι όροι $((a)_(n-1))$ και $((a)_(n+1))$ βρίσκονται στην ίδια απόσταση από το $((a)_(n)) $ . Και αυτή η απόσταση είναι ίση με $d$. Το ίδιο μπορεί να ειπωθεί για τους όρους $((a)_(n-2))$ και $((a)_(n+2))$ - αφαιρούνται επίσης από το $((a)_(n) )$ στην ίδια απόσταση ίση με $2d$. Μπορούμε να συνεχίσουμε επ' άπειρον, αλλά το νόημα φαίνεται καλά από την εικόνα

Οι όροι της προόδου βρίσκονται στην ίδια απόσταση από το κέντρο

Τι σημαίνει αυτό για εμάς; Αυτό σημαίνει ότι το $((a)_(n))$ μπορεί να βρεθεί εάν οι γειτονικοί αριθμοί είναι γνωστοί:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Καταλήξαμε σε μια εξαιρετική δήλωση: κάθε όρος μιας αριθμητικής προόδου είναι ίσος με τον αριθμητικό μέσο όρο των γειτονικών όρων της! Επιπλέον: μπορούμε να υποχωρήσουμε από το $((a)_(n))$ προς τα αριστερά και προς τα δεξιά όχι κατά ένα βήμα, αλλά κατά $k$ - και ο τύπος θα εξακολουθεί να είναι σωστός:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Εκείνοι. μπορούμε εύκολα να βρούμε κάποια $((a)_(150))$ αν γνωρίζουμε $((a)_(100))$ και $((a)_(200))$, επειδή $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Με την πρώτη ματιά, μπορεί να φαίνεται ότι αυτό το γεγονός δεν μας δίνει τίποτα χρήσιμο. Ωστόσο, στην πράξη, πολλά προβλήματα είναι ειδικά προσαρμοσμένα για να χρησιμοποιούν τον αριθμητικό μέσο όρο. Ρίξε μια ματιά:

Εργασία Νο. 6. Βρείτε όλες τις τιμές των $x$ για τις οποίες οι αριθμοί $-6((x)^(2))$, $x+1$ και $14+4((x)^(2))$ είναι διαδοχικοί όροι του μια αριθμητική πρόοδο (με τη σειρά που υποδεικνύεται).

Λύση. Επειδή η καθορισμένους αριθμούςείναι μέλη της προόδου, ικανοποιείται η συνθήκη του αριθμητικού μέσου όρου για αυτά: κεντρικό στοιχείοΤο $x+1$ μπορεί να εκφραστεί με όρους γειτονικών στοιχείων:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(στοίχιση)\]

Αποδείχθηκε κλασικό τετραγωνική εξίσωση. Οι ρίζες του: $x=2$ και $x=-3$ είναι οι απαντήσεις.

Απάντηση: −3; 2.

Εργασία Νο. 7. Βρείτε τις τιμές των $$ για τις οποίες οι αριθμοί $-1;4-3;(()^(2))+1$ σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο (με αυτή τη σειρά).

Λύση. Ας εκφράσουμε ξανά τον μέσο όρο μέσω του αριθμητικού μέσου όρου γειτονικών όρων:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \δεξιά.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(στοίχιση)\]

Ξανά τετραγωνική εξίσωση. Και πάλι υπάρχουν δύο ρίζες: $x=6$ και $x=1$.

Απάντηση: 1; 6.

Εάν κατά τη διαδικασία επίλυσης ενός προβλήματος καταλήξετε σε κάποιους βάναυσους αριθμούς ή δεν είστε απολύτως σίγουροι για την ορθότητα των απαντήσεων που βρέθηκαν, τότε υπάρχει μια υπέροχη τεχνική που σας επιτρέπει να ελέγξετε: λύσαμε σωστά το πρόβλημα;

Ας πούμε ότι στο πρόβλημα Νο. 6 λάβαμε τις απαντήσεις −3 και 2. Πώς μπορούμε να ελέγξουμε ότι αυτές οι απαντήσεις είναι σωστές; Ας τα συνδέσουμε στην αρχική τους κατάσταση και ας δούμε τι θα συμβεί. Να σας υπενθυμίσω ότι έχουμε τρεις αριθμούς ($-6(()^(2))$, $+1$ και $14+4(()^(2))$), οι οποίοι πρέπει να σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο. Ας αντικαταστήσουμε το $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(στοίχιση)\]

Πήραμε τους αριθμούς −54. −2; 50 που διαφέρουν κατά 52 είναι αναμφίβολα μια αριθμητική πρόοδος. Το ίδιο συμβαίνει για $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(στοίχιση)\]

Και πάλι πρόοδος, αλλά με διαφορά 27. Έτσι το πρόβλημα λύθηκε σωστά. Όσοι επιθυμούν μπορούν να ελέγξουν μόνοι τους το δεύτερο πρόβλημα, αλλά θα πω αμέσως: όλα είναι σωστά και εκεί.

Γενικά, λύνοντας τα τελευταία προβλήματα, συναντήσαμε ένα άλλο ενδιαφέρον γεγονός, το οποίο πρέπει επίσης να θυμόμαστε:

Αν τρεις αριθμοί είναι τέτοιοι που ο δεύτερος είναι ο μέσος αριθμητική πρώτακαι τελευταίο, τότε αυτοί οι αριθμοί σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο.

Στο μέλλον, η κατανόηση αυτής της δήλωσης θα μας επιτρέψει να «κατασκευάσουμε» κυριολεκτικά τις απαραίτητες προόδους με βάση τις συνθήκες του προβλήματος. Πριν όμως ασχοληθούμε με μια τέτοια «κατασκευή», θα πρέπει να δώσουμε προσοχή σε ένα ακόμη γεγονός, το οποίο προκύπτει άμεσα από όσα έχουν ήδη συζητηθεί.

Ομαδοποίηση και άθροιση στοιχείων

Ας επιστρέψουμε ξανά στον αριθμητικό άξονα. Ας σημειώσουμε εκεί αρκετά μέλη της προόδου, μεταξύ των οποίων, ίσως. αξίζει πολλά άλλα μέλη:

Υπάρχουν 6 στοιχεία σημειωμένα στην αριθμητική γραμμή

Ας προσπαθήσουμε να εκφράσουμε την "αριστερή ουρά" μέσω των $((a)_(n))$ και των $d$, και τη "δεξιά ουρά" μέσω των $((a)_(k))$ και $d$. Είναι πολύ απλό:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(στοίχιση)\]

Τώρα σημειώστε ότι τα ακόλουθα ποσά είναι ίσα:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= ΜΙΚΡΟ; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= ΜΙΚΡΟ. \end(στοίχιση)\]

Με απλά λόγια, αν θεωρήσουμε ως αρχή δύο στοιχεία της προόδου, τα οποία συνολικά είναι ίσα με κάποιον αριθμό $S$, και μετά αρχίσουμε να περνάμε από αυτά τα στοιχεία σε αντίθετες πλευρές(το ένα προς το άλλο ή το αντίστροφο για να απομακρυνθούμε), τότε τα αθροίσματα των στοιχείων που θα σκοντάψουμε θα είναι επίσης ίσα$S$. Αυτό μπορεί να αναπαρασταθεί πιο ξεκάθαρα γραφικά:

Οι ίσες εσοχές δίνουν ίσες ποσότητες

Κατανόηση αυτό το γεγονόςθα μας επιτρέψει να λύσουμε τα προβλήματα σε ένα ουσιαστικά περισσότερο υψηλό επίπεδοδυσκολίες από αυτές που εξετάσαμε παραπάνω. Για παράδειγμα, αυτά:

Εργασία Νο. 8. Προσδιορίστε τη διαφορά μιας αριθμητικής προόδου στην οποία ο πρώτος όρος είναι 66 και το γινόμενο του δεύτερου και του δωδέκατου όρου είναι το μικρότερο δυνατό.

Λύση. Ας γράψουμε όλα όσα γνωρίζουμε:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(στοίχιση)\]

Επομένως, δεν γνωρίζουμε τη διαφορά προόδου $d$. Στην πραγματικότητα, ολόκληρη η λύση θα χτιστεί γύρω από τη διαφορά, καθώς το γινόμενο $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(στοίχιση)\]

Για όσους βρίσκονται στη δεξαμενή: Πήρα τον συνολικό πολλαπλασιαστή 11 από τη δεύτερη αγκύλη. Έτσι, το επιθυμητό γινόμενο είναι μια τετραγωνική συνάρτηση σε σχέση με τη μεταβλητή $d$. Επομένως, θεωρήστε τη συνάρτηση $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - η γραφική παράσταση της θα είναι μια παραβολή με διακλαδώσεις προς τα πάνω, επειδή αν επεκτείνουμε τις αγκύλες, παίρνουμε:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( δ)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Όπως μπορείτε να δείτε, ο συντελεστής του υψηλότερου όρου είναι 11 - αυτό είναι θετικός αριθμός, οπότε έχουμε να κάνουμε πραγματικά με μια παραβολή με κλαδιά προς τα πάνω:

πρόγραμμα τετραγωνική λειτουργία- παραβολή
Σημείωση: ελάχιστη τιμήαυτή η παραβολή παίρνει $((d)_(0))$ στην κορυφή της με την τετμημένη. Φυσικά, μπορούμε να υπολογίσουμε αυτήν την τετμημένη χρησιμοποιώντας το τυπικό σχήμα (υπάρχει ο τύπος $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), αλλά θα ήταν πολύ πιο λογικό να σημειωθεί ότι η επιθυμητή κορυφή βρίσκεται στη συμμετρία του άξονα της παραβολής, επομένως το σημείο $((d)_(0))$ απέχει ίση από τις ρίζες της εξίσωσης $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\τετράγωνο ((δ)_(2))=-6. \\ \end(στοίχιση)\]

Γι' αυτό δεν βιάστηκα ιδιαίτερα να ανοίξω τις αγκύλες: στην αρχική τους μορφή, οι ρίζες ήταν πολύ, πολύ εύκολο να βρεθούν. Επομένως, η τετμημένη είναι ίση με τον αριθμητικό μέσο όρο των αριθμών −66 και −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Τι μας δίνει ο αριθμός που ανακαλύφθηκε; Με αυτό, το απαιτούμενο προϊόν παίρνει μικρότερη τιμή(παρεμπιπτόντως, ποτέ δεν υπολογίσαμε $((y)_(\min ))$ - αυτό δεν απαιτείται από εμάς). Ταυτόχρονα, αυτός ο αριθμός είναι η διαφορά της αρχικής εξέλιξης, δηλ. βρήκαμε την απάντηση. :)

Απάντηση: −36

Εργασία Νο. 9. Μεταξύ των αριθμών $-\frac(1)(2)$ και $-\frac(1)(6)$ εισάγετε τρεις αριθμούς ώστε μαζί με αυτούς τους αριθμούς να σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο.

Λύση. Ουσιαστικά, πρέπει να φτιάξουμε μια ακολουθία πέντε αριθμών, με τον πρώτο και τον τελευταίο αριθμό να είναι ήδη γνωστοί. Ας υποδηλώσουμε τους αριθμούς που λείπουν με τις μεταβλητές $x$, $y$ και $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Σημειώστε ότι ο αριθμός $y$ είναι το "μέσο" της ακολουθίας μας - απέχει ίση απόσταση από τους αριθμούς $x$ και $z$ και από τους αριθμούς $-\frac(1)(2)$ και $-\frac (1)( 6)$. Και αν δεν μπορούμε να λάβουμε $y$ από τους αριθμούς $x$ και $z$, τότε η κατάσταση είναι διαφορετική με τα άκρα της προόδου. Ας θυμηθούμε τον αριθμητικό μέσο όρο:

Τώρα, γνωρίζοντας το $y$, θα βρούμε τους υπόλοιπους αριθμούς. Σημειώστε ότι το $x$ βρίσκεται μεταξύ των αριθμών $-\frac(1)(2)$ και του $y=-\frac(1)(3)$ που μόλις βρήκαμε. Να γιατί

Χρησιμοποιώντας παρόμοια συλλογιστική, βρίσκουμε τον υπόλοιπο αριθμό:

Ετοιμος! Βρήκαμε και τους τρεις αριθμούς. Ας τα γράψουμε στην απάντηση με τη σειρά που πρέπει να μπουν ανάμεσα στους αρχικούς αριθμούς.

Απάντηση: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Εργασία Νο 10. Μεταξύ των αριθμών 2 και 42, εισαγάγετε αρκετούς αριθμούς που μαζί με αυτούς τους αριθμούς σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο, αν γνωρίζετε ότι το άθροισμα του πρώτου, του δεύτερου και του τελευταίου από τους αριθμούς που εισάγονται είναι 56.

Λύση. Ακόμα περισσότερο δύσκολη εργασία, το οποίο όμως λύνεται σύμφωνα με το ίδιο σχήμα με τα προηγούμενα - μέσω του αριθμητικού μέσου όρου. Το πρόβλημα είναι ότι δεν γνωρίζουμε ακριβώς πόσοι αριθμοί πρέπει να εισαχθούν. Επομένως, ας υποθέσουμε με βεβαιότητα ότι μετά την εισαγωγή όλων θα υπάρχουν ακριβώς αριθμοί $n$, και ο πρώτος από αυτούς είναι 2 και ο τελευταίος είναι 42. Σε αυτήν την περίπτωση, η απαιτούμενη αριθμητική πρόοδος μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( α)_(n-1));42 \δεξιά$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Σημειώστε, ωστόσο, ότι οι αριθμοί $((a)_(2))$ και $((a)_(n-1))$ λαμβάνονται από τους αριθμούς 2 και 42 στις άκρες κατά ένα βήμα ο ένας προς τον άλλο, δηλ. στο κέντρο της ακολουθίας. Και αυτό σημαίνει ότι

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Αλλά τότε η έκφραση που γράφτηκε παραπάνω μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(στοίχιση)\]

Γνωρίζοντας τα $((a)_(3))$ και τα $((a)_(1))$, μπορούμε εύκολα να βρούμε τη διαφορά της προόδου:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\αριστερά(3-1 \δεξιά)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Δεξί βέλος d=5. \\ \end(στοίχιση)\]

Το μόνο που μένει είναι να βρούμε τους υπόλοιπους όρους:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(στοίχιση)\]

Έτσι, ήδη στο 9ο βήμα θα φτάσουμε στο αριστερό άκρο της ακολουθίας - τον αριθμό 42. Συνολικά, χρειάστηκε να εισαχθούν μόνο 7 αριθμοί: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Απάντηση: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Προβλήματα λέξεων με προόδους

Εν κατακλείδι, θα ήθελα να εξετάσω μερικά σχετικά απλές εργασίες. Λοιπόν, τόσο απλό: για τους περισσότερους μαθητές που σπουδάζουν μαθηματικά στο σχολείο και δεν έχουν διαβάσει όσα γράφονται παραπάνω, αυτά τα προβλήματα μπορεί να φαίνονται δύσκολα. Ωστόσο, αυτοί είναι οι τύποι προβλημάτων που εμφανίζονται στο OGE και στην Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά, γι' αυτό σας συνιστώ να εξοικειωθείτε με αυτά.

Εργασία Νο. 11. Η ομάδα παρήγαγε 62 εξαρτήματα τον Ιανουάριο και κάθε επόμενο μήνα παρήγαγε 14 περισσότερα εξαρτήματα σε σχέση με τον προηγούμενο μήνα. Πόσα εξαρτήματα παρήγαγε η ομάδα τον Νοέμβριο;

Λύση. Προφανώς, ο αριθμός των τμημάτων που παρατίθενται ανά μήνα θα αντιπροσωπεύει μια αυξανόμενη αριθμητική πρόοδο. Εξάλλου:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\αριστερά(n-1 \δεξιά)\cdot 14. \\ \end(στοίχιση)\]

Ο Νοέμβριος είναι ο 11ος μήνας του έτους, επομένως πρέπει να βρούμε $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Επομένως, τον Νοέμβριο θα παραχθούν 202 ανταλλακτικά.

Εργασία Νο. 12. Το εργαστήριο βιβλιοδεσίας έδεσε 216 βιβλία τον Ιανουάριο και κάθε επόμενο μήνα έδεσε 4 περισσότερα βιβλία σε σχέση με τον προηγούμενο μήνα. Πόσα βιβλία δέσε το εργαστήριο τον Δεκέμβριο;

Λύση. Ολα τα ίδια:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\αριστερά(n-1 \δεξιά)\cdot 4. \\ \end(align)$

Ο Δεκέμβριος είναι ο τελευταίος, 12ος μήνας του έτους, επομένως αναζητούμε $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Αυτή είναι η απάντηση - 260 βιβλία θα είναι δεμένα τον Δεκέμβριο.

Λοιπόν, αν έχετε διαβάσει ως εδώ, βιάζομαι να σας συγχαρώ: ολοκληρώσατε επιτυχώς το "μαθήματα νεαρών μαχητών" στις αριθμητικές προόδους. Μπορείτε να προχωρήσετε με ασφάλεια στο επόμενο μάθημα, όπου θα μελετήσουμε τον τύπο για το άθροισμα της προόδου, καθώς και σημαντικές και πολύ χρήσιμες συνέπειες από αυτό.

I. V. Yakovlev | Μαθηματικά υλικά | MathUs.ru

Αριθμητική πρόοδος

Η αριθμητική πρόοδος είναι ειδικού τύπουακολουθία. Επομένως, πριν ορίσουμε την αριθμητική (και στη συνέχεια τη γεωμετρική) πρόοδο, πρέπει να συζητήσουμε εν συντομία τη σημαντική έννοια της ακολουθίας αριθμών.

Ακολουθία

Φανταστείτε μια συσκευή στην οθόνη της οποίας εμφανίζονται ορισμένοι αριθμοί ο ένας μετά τον άλλο. Ας πούμε 2? 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Αυτό το σύνολο αριθμών είναι ακριβώς ένα παράδειγμα ακολουθίας.

Ορισμός. Μια αριθμητική ακολουθία είναι ένα σύνολο αριθμών στους οποίους σε κάθε αριθμό μπορεί να εκχωρηθεί ένας μοναδικός αριθμός (δηλαδή να συσχετιστεί με έναν μοναδικό φυσικό αριθμό)1. Ο αριθμός με νούμε καλείται η θητείαακολουθίες.

Έτσι, στο παραπάνω παράδειγμα, ο πρώτος αριθμός είναι 2, αυτό είναι το πρώτο μέλος της ακολουθίας, το οποίο μπορεί να συμβολιστεί με a1. ο αριθμός πέντε έχει τον αριθμό 6 είναι ο πέμπτος όρος της ακολουθίας, ο οποίος μπορεί να συμβολιστεί με a5. Γενικά, ο ντος όρος μιας ακολουθίας συμβολίζεται με ένα (ή bn, cn, κ.λπ.).

Μια πολύ βολική κατάσταση είναι όταν ο ντος όρος της ακολουθίας μπορεί να προσδιοριστεί με κάποιον τύπο. Για παράδειγμα, ο τύπος an = 2n 3 καθορίζει την ακολουθία: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Ο τύπος an = (1)n καθορίζει την ακολουθία: 1; 1; 1; 1; : ::

Δεν είναι κάθε σύνολο αριθμών μια ακολουθία. Έτσι, ένα τμήμα δεν είναι μια ακολουθία. περιέχει "πάρα πολλούς" αριθμούς που πρέπει να επαναριθμηθούν. Το σύνολο R όλων πραγματικούς αριθμούςδεν είναι επίσης μια ακολουθία. Αυτά τα γεγονότα αποδεικνύονται κατά τη διάρκεια της μαθηματικής ανάλυσης.

Αριθμητική πρόοδος: βασικοί ορισμοί

Τώρα είμαστε έτοιμοι να ορίσουμε μια αριθμητική πρόοδο.

Ορισμός. Μια αριθμητική πρόοδος είναι μια ακολουθία στην οποία κάθε όρος (ξεκινώντας από τον δεύτερο) ίσο με το άθροισματον προηγούμενο όρο και κάποιο σταθερό αριθμό (που ονομάζεται διαφορά αριθμητικής προόδου).

Για παράδειγμα, ακολουθία 2; 5; 8; έντεκα; : : : είναι μια αριθμητική πρόοδος με πρώτο όρο 2 και διαφορά 3. Ακολουθία 7; 2; 3; 8; : : : είναι μια αριθμητική πρόοδος με πρώτο όρο 7 και διαφορά 5. Ακολουθία 3; 3; 3; : : : είναι μια αριθμητική πρόοδος με διαφορά ίση με μηδέν.

Ισοδύναμος ορισμός: η ακολουθία an ονομάζεται αριθμητική πρόοδος εάν η διαφορά an+1 an είναι σταθερή τιμή (ανεξάρτητη από n).

Μια αριθμητική πρόοδος ονομάζεται αύξουσα αν η διαφορά της είναι θετική και φθίνουσα εάν η διαφορά της είναι αρνητική.

1 Αλλά εδώ υπάρχει ένας πιο συνοπτικός ορισμός: μια ακολουθία είναι μια συνάρτηση που ορίζεται στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Για παράδειγμα, μια ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια συνάρτηση f: N ! R.

Από προεπιλογή, οι ακολουθίες θεωρούνται άπειρες, δηλαδή περιέχουν άπειρο σύνολοαριθμοί. Αλλά κανείς δεν μας ενοχλεί να εξετάσουμε πεπερασμένες ακολουθίες. Στην πραγματικότητα, οποιοδήποτε πεπερασμένο σύνολο αριθμών μπορεί να ονομαστεί πεπερασμένη ακολουθία. Για παράδειγμα, τελική ακολουθία 1; 2; 3; 4; Το 5 αποτελείται από πέντε αριθμούς.

Τύπος για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου

Είναι εύκολο να καταλάβουμε ότι μια αριθμητική πρόοδος καθορίζεται πλήρως από δύο αριθμούς: τον πρώτο όρο και τη διαφορά. Επομένως, τίθεται το ερώτημα: πώς, γνωρίζοντας τον πρώτο όρο και τη διαφορά, βρίσκουμε έναν αυθαίρετο όρο μιας αριθμητικής προόδου;

Δεν είναι δύσκολο να λάβουμε τον απαιτούμενο τύπο για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου. Αφήστε ένα

αριθμητική πρόοδος με διαφορά δ. Εχουμε:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :):
Συγκεκριμένα γράφουμε:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
και τώρα γίνεται σαφές ότι ο τύπος για ένα είναι:
an = a1 + (n 1)d:

Πρόβλημα 1. Στην αριθμητική πρόοδο 2; 5; 8; έντεκα; : : : βρείτε τον τύπο για τον νιοστό όρο και υπολογίστε τον εκατοστό όρο.

Λύση. Σύμφωνα με τον τύπο (1) έχουμε:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Ιδιότητα και σημάδι αριθμητικής προόδου

Ιδιότητα αριθμητικής προόδου. Στην αριθμητική πρόοδο an για οποιαδήποτε

Με άλλα λόγια, κάθε μέλος μιας αριθμητικής προόδου (ξεκινώντας από τη δεύτερη) είναι ο αριθμητικός μέσος όρος των γειτονικών μελών του.

	Απόδειξη. Εχουμε:
	a n 1+ a n+1		(an d) + (an + d)

που ήταν και το ζητούμενο.

Περισσότερο με γενικό τρόπο, η αριθμητική πρόοδος α ικανοποιεί την ισότητα

a n = a n k+ a n+k

για οποιοδήποτε n > 2 και οποιοδήποτε φυσικό k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Αποδεικνύεται ότι ο τύπος (2) δεν είναι μόνο απαραίτητος, αλλά και επαρκής κατάστασηότι η ακολουθία είναι μια αριθμητική πρόοδος.

Σημάδι αριθμητικής προόδου. Αν ισχύει η ισότητα (2) για όλα τα n > 2, τότε η ακολουθία an είναι μια αριθμητική πρόοδος.

Απόδειξη. Ας ξαναγράψουμε τον τύπο (2) ως εξής:

a na n 1= a n+1a n:

Από αυτό μπορούμε να δούμε ότι η διαφορά an+1 an δεν εξαρτάται από το n, και αυτό ακριβώς σημαίνει ότι η ακολουθία an είναι μια αριθμητική πρόοδος.

Η ιδιότητα και το πρόσημο μιας αριθμητικής προόδου μπορούν να διατυπωθούν με τη μορφή μιας πρότασης. Για ευκολία, θα το κάνουμε αυτό για τρεις αριθμούς (αυτή είναι η κατάσταση που εμφανίζεται συχνά σε προβλήματα).

Χαρακτηρισμός μιας αριθμητικής προόδου. Τρεις αριθμοί a, b, c σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο αν και μόνο αν 2b = a + c.

Πρόβλημα 2. (MSU, Faculty of Economics, 2007) Τρεις αριθμοί 8x, 3 x2 και 4 στην υποδεικνυόμενη σειρά σχηματίζουν μια φθίνουσα αριθμητική πρόοδο. Βρείτε το x και υποδείξτε τη διαφορά αυτής της προόδου.

Λύση. Με την ιδιότητα της αριθμητικής προόδου έχουμε:

2(3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x = 5:

Αν x = 1, τότε παίρνουμε μια φθίνουσα πρόοδο 8, 2, 4 με διαφορά 6. Αν x = 5, τότε παίρνουμε μια αύξουσα πρόοδο 40, 22, 4. αυτή η περίπτωση δεν είναι κατάλληλη.

Απάντηση: x = 1, η διαφορά είναι 6.

Άθροισμα των πρώτων n όρων μιας αριθμητικής προόδου

Ο θρύλος λέει ότι μια μέρα ο δάσκαλος είπε στα παιδιά να βρουν το άθροισμα των αριθμών από το 1 έως το 100 και κάθισε ήσυχα να διαβάσει την εφημερίδα. Ωστόσο, μέσα σε λίγα λεπτά, ένα αγόρι είπε ότι είχε λύσει το πρόβλημα. Ήταν ο 9χρονος Καρλ Φρίντριχ Γκάους, αργότερα ένας από τους μεγαλύτεροι μαθηματικοίστην ιστορία.

Η ιδέα του μικρού Γκάους ήταν η εξής. Αφήνω

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Ας το γράψουμε αυτό το ποσόμε αντίστροφη σειρά:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

και προσθέστε αυτούς τους δύο τύπους:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Κάθε όρος σε αγκύλες είναι ίσος με 101 και υπάρχουν συνολικά 100 τέτοιοι όροι. Επομένως

2S = 101 100 = 10100;

Χρησιμοποιούμε αυτήν την ιδέα για να εξαγάγουμε τον τύπο του αθροίσματος

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Μια χρήσιμη τροποποίηση του τύπου (3) προκύπτει εάν αντικαταστήσουμε τον τύπο του nου όρου an = a1 + (n 1)d σε αυτόν:

		2a1 + (n 1)d

Πρόβλημα 3. Να βρείτε το άθροισμα όλων των θετικών τριψήφιων αριθμών που διαιρούνται με το 13.

Λύση. Τριψήφιοι αριθμοί, πολλαπλάσια του 13, σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο με τον πρώτο όρο 104 και τη διαφορά 13. Ο ντος όρος αυτής της προόδου έχει τη μορφή:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Ας μάθουμε πόσους όρους περιέχει η πρόοδός μας. Για να γίνει αυτό, λύνουμε την ανισότητα:

ένα 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Έτσι, υπάρχουν 69 μέλη στην πρόοδό μας. Χρησιμοποιώντας τον τύπο (4) βρίσκουμε την απαιτούμενη ποσότητα:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Πριν αρχίσουμε να αποφασίζουμε προβλήματα αριθμητικής προόδου, ας εξετάσουμε τι είναι μια αριθμητική ακολουθία, αφού είναι μια αριθμητική πρόοδος ειδική περίπτωσησειρά αριθμών.

Η αριθμητική ακολουθία είναι σύνολο αριθμών, κάθε στοιχείο του οποίου έχει το δικό του σειριακός αριθμός . Τα στοιχεία αυτού του συνόλου ονομάζονται μέλη της ακολουθίας. Ο σειριακός αριθμός ενός στοιχείου ακολουθίας υποδεικνύεται από ένα ευρετήριο:

Το πρώτο στοιχείο της ακολουθίας.

Το πέμπτο στοιχείο της ακολουθίας.

- το "nο" στοιχείο της ακολουθίας, δηλ. στοιχείο "στέκεται στην ουρά" στον αριθμό n.

Υπάρχει μια σχέση μεταξύ της τιμής ενός στοιχείου ακολουθίας και του αριθμού ακολουθίας του. Επομένως, μπορούμε να θεωρήσουμε μια ακολουθία ως συνάρτηση της οποίας το όρισμα είναι ο τακτικός αριθμός του στοιχείου της ακολουθίας. Με άλλα λόγια, μπορούμε να το πούμε αυτό η ακολουθία είναι συνάρτηση του φυσικού ορίσματος:

Η σειρά μπορεί να οριστεί με τρεις τρόπους:

1 . Η σειρά μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας έναν πίνακα.Σε αυτήν την περίπτωση, ορίζουμε απλώς την τιμή κάθε μέλους της ακολουθίας.

Για παράδειγμα, Κάποιος αποφάσισε να αναλάβει προσωπική διαχείριση χρόνου και, για αρχή, να μετρήσει πόσο χρόνο ξοδεύει στο VKontakte κατά τη διάρκεια της εβδομάδας. Καταγράφοντας την ώρα στον πίνακα, θα λάβει μια ακολουθία που αποτελείται από επτά στοιχεία:

Η πρώτη γραμμή του πίνακα δείχνει τον αριθμό της ημέρας της εβδομάδας, η δεύτερη - την ώρα σε λεπτά. Βλέπουμε ότι, δηλαδή, τη Δευτέρα Κάποιος πέρασε 125 λεπτά στο VKontakte, δηλαδή την Πέμπτη - 248 λεπτά, και, δηλαδή, την Παρασκευή μόνο 15.

2 . Η αλληλουχία μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο nth όρου.

Σε αυτή την περίπτωση, η εξάρτηση της τιμής ενός στοιχείου ακολουθίας από τον αριθμό του εκφράζεται απευθείας με τη μορφή ενός τύπου.

Για παράδειγμα, αν , τότε

Για να βρούμε την τιμή ενός στοιχείου ακολουθίας με έναν δεδομένο αριθμό, αντικαθιστούμε τον αριθμό του στοιχείου στον τύπο του nου όρου.

Κάνουμε το ίδιο πράγμα εάν πρέπει να βρούμε την τιμή μιας συνάρτησης εάν η τιμή του ορίσματος είναι γνωστή. Αντικαθιστούμε την τιμή του ορίσματος στην εξίσωση συνάρτησης:

Αν, για παράδειγμα, , Οτι

Να σημειώσω για άλλη μια φορά ότι με τη σειρά, σε αντίθεση με το αυθαίρετο αριθμητική συνάρτηση, το όρισμα μπορεί να είναι μόνο ένας φυσικός αριθμός.

3 . Η ακολουθία μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας έναν τύπο που εκφράζει την εξάρτηση της τιμής του αριθμού μέλους ακολουθίας n από τις τιμές των προηγούμενων μελών. Σε αυτή την περίπτωση, δεν αρκεί να γνωρίζουμε μόνο τον αριθμό του μέλους της ακολουθίας για να βρούμε την τιμή του. Πρέπει να καθορίσουμε το πρώτο μέλος ή τα πρώτα μέλη της ακολουθίας.

Για παράδειγμα, εξετάστε τη σειρά ,

Μπορούμε να βρούμε τις τιμές των μελών της ακολουθίας σε ακολουθία, ξεκινώντας από το τρίτο:

Δηλαδή, κάθε φορά, για να βρούμε την τιμή του ντος όρου της ακολουθίας, επιστρέφουμε στους δύο προηγούμενους. Αυτή η μέθοδος καθορισμού μιας ακολουθίας ονομάζεται επαναλαμβανόμενος, από Λατινική λέξη επανάληψη- ελα πισω.

Τώρα μπορούμε να ορίσουμε μια αριθμητική πρόοδο. Μια αριθμητική πρόοδος είναι μια απλή ειδική περίπτωση μιας αριθμητικής ακολουθίας.

Αριθμητική πρόοδος είναι μια αριθμητική ακολουθία, κάθε μέλος της οποίας, ξεκινώντας από τη δεύτερη, ισούται με την προηγούμενη που προστέθηκε στον ίδιο αριθμό.

Ο αριθμός καλείται διαφορά αριθμητικής προόδου. Η διαφορά μιας αριθμητικής προόδου μπορεί να είναι θετική, αρνητική ή ίση με μηδέν.

Εάν title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} αυξανόμενη.

Για παράδειγμα, 2; 5; 8; έντεκα;...

Αν , τότε κάθε όρος μιας αριθμητικής προόδου είναι μικρότερος από τον προηγούμενο, και η πρόοδος είναι μειώνεται.

Για παράδειγμα, 2; -1; -4; -7;...

Αν , τότε όλοι οι όροι της προόδου είναι ίσοι με τον ίδιο αριθμό, και η πρόοδος είναι ακίνητος.

Για παράδειγμα, 2;2;2;2;...

Η κύρια ιδιότητα μιας αριθμητικής προόδου:

Ας δούμε την εικόνα.

Το βλέπουμε αυτό

, και ταυτόχρονα

Προσθέτοντας αυτές τις δύο ισότητες, παίρνουμε:

Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της ισότητας με το 2:

Άρα, κάθε μέλος της αριθμητικής προόδου, ξεκινώντας από το δεύτερο, ισούται με τον αριθμητικό μέσο όρο των δύο γειτονικών:

Επιπλέον, από τότε

, και ταυτόχρονα

, Οτι

, και ως εκ τούτου

Κάθε όρος μιας αριθμητικής προόδου, ξεκινώντας με title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Τύπος του ου όρου.

Βλέπουμε ότι οι όροι της αριθμητικής προόδου ικανοποιούν τις ακόλουθες σχέσεις:

και τελικά

Πήραμε τύπος του ν’ όρου.

ΣΠΟΥΔΑΙΟΣ!Οποιοδήποτε μέλος μιας αριθμητικής προόδου μπορεί να εκφραστεί μέσω και. Γνωρίζοντας τον πρώτο όρο και τη διαφορά μιας αριθμητικής προόδου, μπορείτε να βρείτε οποιονδήποτε από τους όρους του.

Το άθροισμα των n όρων μιας αριθμητικής προόδου.

Σε μια αυθαίρετη αριθμητική πρόοδο, τα αθροίσματα των όρων που ισαπέχουν από τους ακραίους είναι ίσα μεταξύ τους:

Θεωρήστε μια αριθμητική πρόοδο με n όρους. Έστω το άθροισμα των n όρων αυτής της προόδου ίσο με .

Ας τακτοποιήσουμε τους όρους της προόδου πρώτα σε αύξουσα σειρά αριθμών και μετά σε φθίνουσα σειρά:

Ας προσθέσουμε ανά δύο:

Το άθροισμα σε κάθε παρένθεση είναι , ο αριθμός των ζευγών είναι n.

Παίρνουμε:

Ετσι, Το άθροισμα των n όρων μιας αριθμητικής προόδου μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τους τύπους:

Ας σκεφτούμε επίλυση προβλημάτων αριθμητικής προόδου.

1 . Η ακολουθία δίνεται από τον τύπο του nου όρου: . Να αποδείξετε ότι αυτή η ακολουθία είναι μια αριθμητική πρόοδος.

Ας αποδείξουμε ότι η διαφορά μεταξύ δύο γειτονικών όρων της ακολουθίας είναι ίση με τον ίδιο αριθμό.

Βρήκαμε ότι η διαφορά μεταξύ δύο γειτονικών μελών της ακολουθίας δεν εξαρτάται από τον αριθμό τους και είναι σταθερά. Επομένως, εξ ορισμού, αυτή η ακολουθία είναι μια αριθμητική πρόοδος.

2 . Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος -31; -27;...

α) Να βρείτε 31 όρους της προόδου.

β) Προσδιορίστε εάν ο αριθμός 41 περιλαμβάνεται σε αυτήν την εξέλιξη.

ΕΝΑ)Βλέπουμε ότι ?

Ας γράψουμε τον τύπο για τον nο όρο για την πρόοδό μας.

Γενικά

Στην περίπτωσή μας , Να γιατί

Παίρνουμε:

σι)Ας υποθέσουμε ότι ο αριθμός 41 είναι μέλος της ακολουθίας. Ας βρούμε τον αριθμό του. Για να γίνει αυτό, ας λύσουμε την εξίσωση:

Πήραμε τη φυσική τιμή του n, επομένως, ναι, ο αριθμός 41 είναι μέλος της προόδου. Αν η ευρεθείσα τιμή του n δεν θα ήταν φυσικός αριθμός, τότε θα απαντούσαμε ότι ο αριθμός 41 ΔΕΝ είναι μέλος της προόδου.

3 . α) Μεταξύ των αριθμών 2 και 8, εισάγετε 4 αριθμούς ώστε μαζί με αυτούς τους αριθμούς να σχηματίσουν μια αριθμητική πρόοδο.

β) Να βρείτε το άθροισμα των όρων της προόδου που προκύπτει.

ΕΝΑ)Ας εισάγουμε τέσσερις αριθμούς μεταξύ των αριθμών 2 και 8:

Πήραμε μια αριθμητική πρόοδο με 6 όρους.

Ας βρούμε τη διαφορά αυτής της εξέλιξης. Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιούμε τον τύπο για τον nο όρο:

Τώρα είναι εύκολο να βρείτε τις έννοιες των αριθμών:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

σι)

Απάντηση: α) ναι. β) 30

4. Το φορτηγό μεταφέρει ένα φορτίο θρυμματισμένης πέτρας βάρους 240 τόνων, αυξάνοντας τον ρυθμό μεταφοράς κατά τον ίδιο αριθμό τόνων κάθε μέρα. Είναι γνωστό ότι την πρώτη μέρα μεταφέρθηκαν 2 τόνοι θρυμματισμένης πέτρας. Προσδιορίστε πόσοι τόνοι θρυμματισμένης πέτρας μεταφέρθηκαν τη δωδέκατη ημέρα, εάν όλες οι εργασίες ολοκληρώθηκαν σε 15 ημέρες.

Σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματος, η ποσότητα της θρυμματισμένης πέτρας που μεταφέρει το φορτηγό αυξάνεται κατά τον ίδιο αριθμό κάθε μέρα. Επομένως, έχουμε να κάνουμε με μια αριθμητική πρόοδο.

Ας διατυπώσουμε αυτό το πρόβλημα με όρους αριθμητικής προόδου.

Την πρώτη μέρα μεταφέρθηκαν 2 τόνοι θρυμματισμένης πέτρας: a_1=2.

Όλες οι εργασίες ολοκληρώθηκαν σε 15 ημέρες: .

Το φορτηγό μεταφέρει μια παρτίδα θρυμματισμένης πέτρας βάρους 240 τόνων:

Πρέπει να βρούμε.

Αρχικά, ας βρούμε τη διαφορά προόδου. Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για το άθροισμα των n όρων μιας προόδου.

Στην περίπτωσή μας:

Προβλήματα σχετικά με την αριθμητική πρόοδο υπήρχαν ήδη στην αρχαιότητα. Εμφανίστηκαν και ζήτησαν λύση γιατί είχαν πρακτική ανάγκη.

Έτσι, σε έναν από τους παπύρους Αρχαία Αίγυπτος", που έχει μαθηματικό περιεχόμενο - ο πάπυρος Rhind (19ος αιώνας π.Χ.) - περιέχει την ακόλουθη εργασία: μοιράστε δέκα μέτρα ψωμιού σε δέκα άτομα, με την προϋπόθεση ότι η διαφορά μεταξύ τους είναι το ένα όγδοο του μέτρου."

Και στα μαθηματικά έργα των αρχαίων Ελλήνων υπάρχουν κομψά θεωρήματα που σχετίζονται με την αριθμητική πρόοδο. Έτσι, τα Υψικά της Αλεξάνδρειας (2ος αι., που ανήλθαν σε πολλά ενδιαφέρουσες εργασίεςκαι ο οποίος πρόσθεσε το δέκατο τέταρτο βιβλίο στα Στοιχεία του Ευκλείδη, διατύπωσε τη σκέψη: «Σε μια αριθμητική πρόοδο που έχει ζυγό αριθμό όρων, το άθροισμα των όρων του 2ου μισού είναι μεγαλύτερο από το άθροισμα των όρων του 1ου κατά το τετράγωνο του 1/2 του αριθμού των όρων."

Η ακολουθία συμβολίζεται με ένα. Οι αριθμοί μιας ακολουθίας ονομάζονται μέλη της και συνήθως ορίζονται με γράμματα με δείκτες που υποδεικνύουν τον αύξοντα αριθμό αυτού του μέλους (a1, a2, a3 ... διαβάστε: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd" και ούτω καθεξής ).

Η ακολουθία μπορεί να είναι άπειρη ή πεπερασμένη.

Τι είναι μια αριθμητική πρόοδος; Με αυτό εννοούμε αυτόν που προκύπτει προσθέτοντας τον προηγούμενο όρο (n) με τον ίδιο αριθμό d, που είναι η διαφορά της προόδου.

Αν δ<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, τότε αυτή η πρόοδος θεωρείται αυξανόμενη.

Μια αριθμητική πρόοδος ονομάζεται πεπερασμένη αν ληφθούν υπόψη μόνο οι πρώτοι όροι της. Σε πολύ μεγάλες ποσότητεςμέλη είναι ήδη μια ατελείωτη εξέλιξη.

Οποιαδήποτε αριθμητική πρόοδος ορίζεται από τον ακόλουθο τύπο:

an =kn+b, ενώ τα b και k είναι κάποιοι αριθμοί.

Η αντίθετη πρόταση είναι απολύτως αληθής: αν δοθεί η ακολουθία παρόμοια φόρμουλα, τότε αυτή είναι ακριβώς μια αριθμητική πρόοδος που έχει τις ιδιότητες:

Κάθε όρος της προόδου είναι ο αριθμητικός μέσος όρος του προηγούμενου όρου και του επόμενου.
Αντίστροφη: αν, ξεκινώντας από τον 2ο, κάθε όρος είναι ο αριθμητικός μέσος όρος του προηγούμενου και του επόμενου, δηλ. εάν η συνθήκη πληρούται, τότε αυτή η ακολουθία είναι μια αριθμητική πρόοδος. Αυτή η ισότητα είναι επίσης σημάδι προόδου, γι' αυτό συνήθως ονομάζεται χαρακτηριστική ιδιότητα προόδου.
Με τον ίδιο τρόπο, το θεώρημα που αντανακλά αυτήν την ιδιότητα είναι αληθές: μια ακολουθία είναι μια αριθμητική πρόοδος μόνο εάν αυτή η ισότητα ισχύει για οποιονδήποτε από τους όρους της ακολουθίας, ξεκινώντας από τον 2ο.

Η χαρακτηριστική ιδιότητα για οποιουσδήποτε τέσσερις αριθμούς μιας αριθμητικής προόδου μπορεί να εκφραστεί με τον τύπο an + am = ak + al, εάν n + m = k + l (m, n, k είναι αριθμοί προόδου).

Σε μια αριθμητική πρόοδο, οποιοσδήποτε απαραίτητος (Νος) όρος μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

Για παράδειγμα: ο πρώτος όρος (a1) σε μια αριθμητική πρόοδο είναι ίσος με τρία και η διαφορά (d) είναι ίση με τέσσερα. Πρέπει να βρείτε τον σαράντα πέμπτο όρο αυτής της εξέλιξης. a45 = 1+4(45-1)=177

Ο τύπος an = ak + d(n - k) σας επιτρέπει να προσδιορίσετε τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου μέσω οποιουδήποτε από τους kth όρους της, υπό την προϋπόθεση ότι είναι γνωστός.

Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου (εννοεί τους 1ους ν όρους πεπερασμένη πρόοδο) υπολογίζεται ως εξής:

Sn = (a1+an) n/2.

Εάν ο 1ος όρος είναι επίσης γνωστός, τότε ένας άλλος τύπος είναι βολικός για τον υπολογισμό:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου που περιέχει n όρους υπολογίζεται ως εξής:

Η επιλογή των τύπων για τους υπολογισμούς εξαρτάται από τις συνθήκες των προβλημάτων και τα αρχικά δεδομένα.

Φυσικές σειρές οποιωνδήποτε αριθμών, όπως 1,2,3,...,n,...- απλούστερο παράδειγμααριθμητική πρόοδος.

Εκτός από την αριθμητική πρόοδο, υπάρχει και μια γεωμετρική πρόοδος, η οποία έχει τις δικές της ιδιότητες και χαρακτηριστικά.