Ruudukujulised kujundid.
Vormide tähendus. Sylvesteri kriteerium

Omadussõna "ruut" viitab kohe sellele, et miski on siin seotud ruuduga (teine ​​aste) ja varsti saame teada selle "miski" ja selle, mis on vorm. Selgus kohe :)

Tere tulemast minu uude õppetundi ja koheseks soojenduseks vaatame triibulist kuju lineaarne. Lineaarne vorm muutujad helistas homogeenne 1. astme polünoom:

- mõned konkreetsed numbrid * (oletame, et vähemalt üks neist erineb nullist), ja on muutujad, mis võivad võtta suvalisi väärtusi.

* Selles teemas käsitleme ainult reaalarvud .

Mõistet "homogeenne" oleme juba kohanud õppetunnis teemal homogeensed lineaarvõrrandisüsteemid, ja sel juhul tähendab see, et polünoomile ei ole lisatud konstanti.

Näiteks: – kahe muutuja lineaarne vorm

Nüüd on kuju ruudukujuline. ruutvorm muutujad helistas homogeenne 2. astme polünoom, mille iga termin sisaldab kas muutuja ruutu või kahekordne muutujate korrutis. Näiteks on kahe muutuja ruutkujul järgmine vorm:

Tähelepanu! See on standardkirje ja te ei pea selles midagi muutma! Vaatamata “kohutavale” välimusele on siin kõik lihtne – konstantide topeltallindeksid annavad märku, millised muutujad ühes või teises terminis sisalduvad:
– see termin sisaldab korrutist ja (ruut);
- siin on töö;
- ja siin on töö.

- Ma näen kohe ette jämedat viga, kui nad kaotavad koefitsiendi "miinuse", mõistmata, et see viitab terminile:

Mõnikord on kujundusest vaimus "kooli" versioon, kuid siis ainult mõnikord. Muide, pange tähele, et siin olevad konstandid ei ütle meile üldse midagi ja seetõttu on "lihtsat tähistust" raskem meeles pidada. Eriti kui muutujaid on rohkem.

Ja kolme muutuja ruutvorm sisaldab juba kuut terminit:

... miks on "sega" terminitesse pandud "kaks" kordajat? See on mugav ja peagi selgub, miks.

Paneme siiski kirja üldise valemi, seda on mugav korraldada “lehega”:

- uurige hoolikalt iga rida - selles pole midagi halba!

Ruutvorm sisaldab ruudukujuliste muutujatega termineid ja termineid nende paariskorrutistega (cm. kombinatsioonide kombinatoorne valem) . Ei midagi muud - ei "üksik x" ega lisatud konstant (siis ei saa ruutvormi, vaid heterogeenne 2. astme polünoom).

Ruutvormi maatrikstähistus

Olenevalt väärtustest võib vaadeldav vorm võtta nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtusi ning sama kehtib ka iga lineaarse vormi kohta - kui vähemalt üks selle koefitsient on nullist erinev, siis võib see osutuda kas positiivseks või negatiivseks (olenevalt väärtuste kohta).

Seda vormi nimetatakse vahelduv. Ja kui lineaarvormiga on kõik läbipaistev, siis ruutvormiga on asjad palju huvitavamad:

On üsna selge, et see vorm võib omandada mis tahes märgi väärtused, seega ruutvorm võib olla ka vahelduv.

See ei pruugi olla:

– alati, välja arvatud juhul, kui mõlemad on võrdsed nulliga.

- kellelegi vektor välja arvatud null.

Ja üldiselt, kui mõne jaoks nullist erinev vektor , , siis nimetatakse ruutkuju positiivne kindel; kui siis negatiivne kindel.

Ja kõik oleks hästi, kuid ruutvormi määratlus on nähtav ainult lihtsates näidetes ja see nähtavus kaob juba väikese komplikatsiooniga:
– ?

Võib eeldada, et vorm on positiivselt määratletud, kuid kas see on tõesti nii? Järsku on väärtused, mille juures see on väiksem kui null?

Sellel kontol, seal teoreem: Kui kõik omaväärtused ruutvormi maatriksid on positiivsed * , siis on see positiivselt määratletud. Kui kõik on negatiivsed, siis on see negatiivne.

* Teoreetiliselt on tõestatud, et reaalse sümmeetrilise maatriksi kõik omaväärtused kehtiv

Kirjutame ülaltoodud vormi maatriksi:
ja võrrandist leiame ta üles omaväärtused:

Lahendame vana hea ruutvõrrand:

, seega vorm on positiivselt defineeritud, s.t. mis tahes nullist erineva väärtuse korral on see suurem kui null.

Kaalutud meetod näib töötavat, kuid on üks suur AGA. Juba maatriksi "kolm korda kolm" jaoks on omaväärtuste otsimine pikk ja ebameeldiv ülesanne; suure tõenäosusega saad irratsionaalsete juurtega 3. astme polünoomi.

Kuidas olla? On lihtsam viis!

Sylvesteri kriteerium

Ei, mitte Sylvester Stallone :) Kõigepealt tuletan meelde, mida nurgelised alaealised maatriksid. seda määrajad mis "kasvavad" selle vasakust ülanurgast:

ja viimane on täpselt võrdne maatriksi determinandiga.

Nüüd, tegelikult kriteerium:

1) Määratletud ruutvorm positiivselt siis ja ainult siis, kui KÕIK selle nurk-mollid on suuremad kui null: .

2) Määratletud ruutvorm negatiivne siis ja ainult siis, kui selle nurgelised mollid vahelduvad märgis, samas kui 1. moll on väiksem kui null: , , kui on paaris või , kui on paaritu.

Kui vähemalt üks nurgeline moll on vastupidise märgiga, siis vorm märk-vahelduv. Kui nurgelised alaealised on “selle” märgiga, kuid nende hulgas on nullid, siis on tegemist erijuhtumiga, mida analüüsin veidi hiljem, kui klõpsame tavalisematel näidetel.

Analüüsime maatriksi nurgamoore :

Ja see ütleb meile kohe, et vorm ei ole negatiivselt määratud.

Järeldus: kõik nurga minoorid on suuremad kui null, seega kujund positiivselt määratletud.

Kas omaväärtuse meetodil on erinevusi? ;)

Kirjutame kujundimaatriksi alates Näide 1:

selle esimene nurgeline moll ja teine , millest järeldub, et vorm on märgivahelduv, s.t. sõltuvalt väärtustest võib võtta nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtusi. See on aga nii ilmne.

Võtke vorm ja selle maatriks alates Näide 2:

siin üldse ilma taipamata mitte aru saada. Kuid Sylvesteri kriteeriumi puhul me ei hooli:
, seega ei ole vorm kindlasti negatiivne.

, ja kindlasti mitte positiivne. (sest kõik nurga alaealised peavad olema positiivsed).

Järeldus: kuju on vahelduv.

Soojendusnäited ise lahendamiseks:

Näide 4

Uurige ruutvorme märgimääratluse jaoks

a)

Nendes näidetes on kõik sujuv (vt õppetunni lõppu), kuid tegelikult sellise ülesande täitmiseks Sylvesteri kriteerium ei pruugi olla piisav.

Asi on selles, et on "piirjuhtumeid", nimelt: kui üldse nullist erinev vektor , siis on kujund defineeritud mittenegatiivne, kui siis mittepositiivne. Nendel vormidel on nullist erinev vektorid, mille jaoks .

Siin saate tuua sellise "nööbiga akordioni":

Esiletõstmine täisruut, näeme kohe mittenegatiivsus kujul: , pealegi on see võrdne nulliga mis tahes võrdsete koordinaatidega vektori puhul, näiteks: .

"Peegel" näide mittepositiivne teatud vorm:

ja veel triviaalsem näide:
– siin on vorm mis tahes vektori puhul võrdne nulliga, kus on suvaline arv.

Kuidas paljastada vormi mittenegatiivsust või mittepositiivsust?

Selleks vajame kontseptsiooni suuremad alaealised maatriksid. Peamine moll on moll, mis koosneb elementidest, mis asuvad samade numbritega ridade ja veergude ristumiskohas. Seega on maatriksil kaks peamist 1. järku molli:
(element on 1. rea ja 1. veeru ristumiskohas);
(element on 2. rea ja 2. veeru ristumiskohas),

ja üks suur 2. järku moll:
- koosneb 1., 2. rea ja 1., 2. veeru elementidest.

Maatriks "kolm korda kolm" Peamisi alaealisi on seitse ja siin tuleb juba biitsepsiga vehkida:
- kolm I järgu alaealist,
kolm alaealist II järgu:
- koosneb 1., 2. rea ja 1., 2. veeru elementidest;
- koosneb 1., 3. rea ja 1., 3. veeru elementidest;
- koosneb 2., 3. rea ja 2., 3. veeru elementidest,
ja üks 3. järku alaealine:
- koosneb 1., 2., 3. rea ja 1., 2. ja 3. veeru elementidest.
Harjutus mõistmiseks: kirjuta üles kõik maatriksi põhimollid .
Kontrollime tunni lõpus ja jätkame.

Schwarzeneggeri kriteerium:

1) Määratletud nullist erinev* ruutvorm mittenegatiivne siis ja ainult siis, kui KÕIK selle peamised alaealised mittenegatiivne(suurem kui null või sellega võrdne).

* Null (degenereerunud) ruutvormi kõik koefitsiendid on nulliga võrdsed.

2) Maatriksiga nullist erinev ruutvorm mittepositiivne siis ja ainult siis, kui see:
– I järgu põhialaealised mittepositiivne(vähem kui null või sellega võrdne);
on II järgu peamised alaealised mittenegatiivne;
– III järgu põhialaealised mittepositiivne(vaheldumine on alanud);
…
– järgu duur-moll mittepositiivne, kui on paaritu või mittenegatiivne, kui on ühtlane.

Kui vähemalt üks moll on vastandmärgiga, siis on vorm märk-vahelduv.

Vaatame ülaltoodud näidetes, kuidas kriteerium töötab:

Teeme kujundimaatriksi ja Esiteks arvutame nurgelised alaealised – mis siis, kui see on positiivselt või negatiivselt defineeritud?

Saadud väärtused ei vasta Sylvesteri kriteeriumile, kuid teine ​​moll mitte negatiivne, ja see muudab vajalikuks 2. kriteeriumi kontrollimise (2. kriteeriumi puhul see automaatselt ei täitu, st tehakse kohe järeldus vormi märgivahelduse kohta).

I järgu suuremad alaealised:
- on positiivsed
2. järku suur-moll:
- mitte negatiivne.

Seega on KÕIK suuremad mollid mittenegatiivsed, seega vorm mittenegatiivne.

Kirjutame vormimaatriksi , mille puhul Sylvesteri kriteerium ilmselgelt ei ole täidetud. Aga me ei saanud ka vastupidiseid märke (sest mõlemad nurgelised alaealised on nulliga võrdsed). Seetõttu kontrollime mittenegatiivsuse/mittepositiivsuse kriteeriumi täitmist. I järgu suuremad alaealised:
- mitte positiivne
2. järku suur-moll:
- mitte negatiivne.

Seega määratakse Schwarzeneggeri kriteeriumi (punkt 2) järgi vorm mittepositiivselt.

Nüüd, täielikult relvastatud, analüüsime lõbusamat probleemi:

Näide 5

Uurige ruutvormi märgimääratlust

Seda vormi kaunistab järjestus "alfa", mis võib olla võrdne mis tahes reaalarvuga. Aga see saab olema ainult lõbusam otsustama.

Kõigepealt paneme kirja vormimaatriksi, ilmselt on paljud juba kohanenud seda suuliselt tegema: edasi põhidiagonaal paneme koefitsiendid ruutudesse ja sümmeetrilistesse kohtadesse - vastavate "segatud" toodete poolkoefitsiendid:

Arvutame nurgelised alaealised:

Laiendan kolmandat determinanti piki 3. rida:

Ruutvorm on mitme muutujaga 2. astme homogeenne polünoom.

Muutujate ruutvorm koosneb kahte tüüpi terminitest: muutujate ruudud ja nende paariskorrutised mõne koefitsiendiga. Ruutvorm on tavaks kirjutada järgmise ruuduskeemi kujul:

Sarnaste terminite paarid kirjutatakse samade koefitsientidega, nii et igaüks neist on pool muutujate vastava korrutise koefitsiendist. Seega on iga ruutvorm loomulikult seotud selle koefitsiendimaatriksiga, mis on sümmeetriline.

Ruutvormi on mugav esitada ka järgmises maatriksmärgistuses. Tähistage muutujate veergu X-ga - rida, st maatriksit, mis on transponeeritud X-ga.

Ruutvorme leidub paljudes matemaatika harudes ja selle rakendustes.

Arvuteoorias ja kristallograafias vaadeldakse ruutvorme eeldusel, et muutujatel on ainult täisarvud. Analüütilises geomeetrias on ruutvorm osa kõvera (või pinna) võrrandist. Mehaanikas ja füüsikas näib ruutvorm väljendavat süsteemi kineetilist energiat üldistatud kiiruste komponentidena jne. Kuid lisaks on ruutvormide uurimine vajalik ka analüüsimisel, kui uuritakse paljude muutujate funktsioone. küsimustes, mille lahendamiseks on oluline välja selgitada, kuidas antud funktsioon antud punkti läheduses kaldub kõrvale seda lähendavast lineaarfunktsioonist. Seda tüüpi probleemi näide on funktsiooni maksimumi ja miinimumi uurimine.

Vaatleme näiteks probleemi maksimumi ja miinimumi uurimiseks kahe muutuja funktsiooni jaoks, millel on pidevad osatuletised kuni järjekorras. Vajalik tingimus, et punkt annaks funktsiooni maksimumi või miinimumi, on järgu osatuletiste võrdsus punktis nulliga Oletame, et see tingimus on täidetud. Anname muutujatele x ja y väikesed sammud ja k ning arvestame funktsiooni vastavat juurdekasvu. Taylori valemi järgi on see juurdekasv kuni väikeste kõrgemate järkudeni võrdne ruutkujuga, kus on teise väärtused punktis arvutatud tuletised Kui see ruutvorm on positiivne kõigi ja k väärtuste korral (välja arvatud siis, kui funktsioonil on punktis miinimum; kui see on negatiivne, siis on sellel maksimum. Lõpuks, kui kuju võtab nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtusi, siis ei ole maksimumi ega miinimumi. Sarnaselt uuritakse ka suurema hulga muutujate funktsioone.

Ruutvormide uurimine seisneb peamiselt vormide samaväärsuse probleemi uurimises muutujate ühe või teise lineaarsete teisenduste kogumi suhtes. Kaht ruutvormi nimetatakse samaväärseks, kui ühte neist saab teiseks tõlkida antud hulga ühe teisenduse abil. Samaväärsuse probleemiga on tihedalt seotud vormi taandamise probleem, s.o. teisendades selle mõnele võimalikult lihtsale kujule.

Erinevates ruutvormidega seotud küsimustes käsitletakse ka erinevaid muutujate lubatud teisenduste komplekte.

Analüüsi küsimustes rakendatakse muutujate mis tahes mitteainsuse teisendusi; Analüütilise geomeetria jaoks pakuvad suurimat huvi ortogonaalsed teisendused, st need, mis vastavad üleminekule ühest muutuvate Descartes'i koordinaatide süsteemist teise. Lõpuks võetakse arvuteoorias ja kristallograafias arvesse täisarvuliste koefitsientide ja ühega võrdse determinandiga lineaarseid teisendusi.

Vaatleme kahte neist probleemidest: küsimust ruutvormi taandamisest selle lihtsaimale kujule mis tahes mitteainsuse teisenduse abil ja sama küsimust ortogonaalsete teisenduste kohta. Kõigepealt selgitame välja, kuidas ruutkujuga maatriks teiseneb muutujate lineaarsel teisendusel.

Olgu , kus A on vormikoefitsientide sümmeetriline maatriks, X on muutujate veerg.

Teeme muutujatest lineaarse teisenduse, kirjutades selle lühendatud kujul . Siin tähistab C selle teisenduse koefitsientide maatriksit, X on uute muutujate veerg. Siis ja siit, nii et teisendatud ruutvormi maatriks on

Maatriks osutub automaatselt sümmeetriliseks, mida on lihtne kontrollida. Seega on ruutvormi taandamise probleem selle lihtsaimaks vormiks samaväärne sümmeetrilise maatriksi taandamise probleemiga lihtsaimale kujule, korrutades selle vasakult ja paremalt vastastikku transponeeritud maatriksitega.

Ruutvormi mõiste. Ruutkujuline maatriks. Ruutvormi kanooniline vorm. Lagrange'i meetod. Ruutvormi normaalvorm. Ruutvormi aste, indeks ja signatuur. Positiivne kindel ruutvorm. Quadriks.

Ruutvormi mõiste: funktsioon vektorruumis, mis on antud vektori koordinaatides teise astme homogeense polünoomiga.

ruutvorm alates n teadmata nimetatakse summaks, mille iga liige on kas ühe neist tundmatutest ruut või kahe erineva tundmatu korrutis.

Ruutmaatriks: Maatriksit nimetatakse antud alusel ruutkuju maatriksiks. Kui välja tunnus ei ole võrdne 2-ga, võime eeldada, et ruutvormi maatriks on sümmeetriline, st .

Kirjutage ruutkujuline maatriks:

Järelikult

Vektormaatriksi kujul on ruutvorm järgmine:

A, kus

Ruutvormi kanooniline vorm: Ruutvormi nimetatakse kanooniliseks kui kõik st.

Iga ruutvormi saab taandada kanooniliseks vormiks, kasutades lineaarseid teisendusi. Praktikas kasutatakse tavaliselt järgmisi meetodeid.

Lagrange'i meetod : järjestikuste täisruutude valik. Näiteks kui

Seejärel tehakse sarnane protseduur ruutvormiga jne Kui ruutkujul kõik peale on siis pärast esialgset ümberkujundamist taandatakse asi käsitletavale menetlusele. Seega, kui näiteks siis seame

Ruutvormi tavavorm on: Tavaline ruutvorm on kanooniline ruutvorm, mille kõik koefitsiendid on võrdsed +1 või -1.

Ruutvormi järjestus, indeks ja signatuur: Ruutvormi aste AGA nimetatakse maatriksi auastmeks AGA. Ruutvormi aste ei muutu tundmatute mittedegeneratiivsete teisenduste korral.

Negatiivsete koefitsientide arvu nimetatakse negatiivse kujuindeksiks.

Positiivsete liikmete arvu kanoonilises vormis nimetatakse ruutvormi positiivseks inertsindeksiks, negatiivsete liikmete arvu negatiivseks indeksiks. Positiivsete ja negatiivsete indeksite erinevust nimetatakse ruutvormi signatuuriks

Positiivne kindel ruutvorm: Tõeline ruutvorm nimetatakse positiivseks-kindlaks (negatiivne-kindlaks), kui muutujate mis tahes reaalväärtuste puhul, mis ei ole samaaegselt võrdsed nulliga

. (36)

Sel juhul nimetatakse maatriksit ka positiivseks kindlaks (negatiivseks kindlaks).

Positiivsete-kindlate (negatiivsete-kindlate) vormide klass on osa mittenegatiivsete (vastavalt mittepositiivsete) vormide klassist.

Nelikrattad: ruudukujuline - n-mõõtmeline hüperpind sisse n+1-mõõtmeline ruum, defineeritud kui teise astme polünoomi nullide hulk. Kui sisestate koordinaadid ( x 1 , x 2 , x n+1 ) (eukleidilises või afiinses ruumis) on üld ruutvõrrandi kuju

Selle võrrandi saab maatriksmärgistuses kompaktsemalt ümber kirjutada:

kus x = ( x 1 , x 2 , x n+1) on reavektor, x T on transponeeritud vektor, K on suuruse maatriks ( n+1)×( n+1) (eeldatakse, et vähemalt üks selle elementidest on nullist erinev), P on reavektor ja R on konstant. Enamasti käsitletakse nelinurki reaal- või kompleksarvude kohal. Definitsiooni saab laiendada nelinurksetele projektiivses ruumis, vt allpool.

Üldisemalt nimetatakse polünoomvõrrandisüsteemi nullide hulka algebraliseks variatsiooniks. Seega on nelinurk teise astme ja 1. kodimensioniga (afiinne või projektiivne) algebraline variatsioon.

Tasapinna ja ruumi teisendused.

Tasapinnalise teisenduse määratlus. Liikumise määratlus. liikumisomadused. Kahte tüüpi liigutusi: esimest tüüpi liikumine ja teist tüüpi liikumine. Liikumise näited. Liikumise analüütiline väljendus. Tasapinnaliste liikumiste klassifikatsioon (olenevalt fikseeritud punktide ja muutumatute joonte olemasolust). Tasapinnaliste liikumiste rühm.

Tasapinnalise teisenduse definitsioon: Definitsioon. Nimetatakse tasanditeisendust, mis säilitab punktidevahelise kauguse liikumine(või nihe). Tasapinnalist teisendust nimetatakse afiinne, kui see võtab mis tahes kolm samal sirgel asuvat punkti kolme punktini, mis asuvad samal sirgel, ja säilitab samal ajal kolme punkti lihtsa seose.

Liikumise määratlus: See on kujundi teisendus, mis säilitab punktidevahelised kaugused. Kui kaks kujundit on liikumise abil täpselt omavahel ühendatud, siis on need kujundid ühesugused, võrdsed.

Liikumise omadused: tasapinna iga orientatsiooni säilitav liikumine on kas paralleelne translatsioon või pöörlemine; tasapinna iga orientatsiooni muutev liikumine on kas teljesuunaline või libisev sümmeetria. Sirgel asetsevad punktid lähevad liikumisel üle sirgjoonel asuvateks punktideks ja säilib nende omavaheline paigutus. Liikumisel säilivad pooljoonte vahelised nurgad.

Kahte tüüpi liigutusi: esimest tüüpi liikumine ja teist tüüpi liikumine: Esimest tüüpi liigutused on need liigutused, mis säilitavad teatud figuuri aluste orientatsiooni. Neid saab realiseerida pidevate liigutustega.

Teist tüüpi liigutused on liigutused, mis muudavad aluste orientatsiooni vastupidiseks. Neid ei saa realiseerida pidevate liigutustega.

Esimest tüüpi liikumiste näideteks on translatsioon ja pöörlemine ümber sirgjoone ning teist tüüpi liigutused on kesksed ja peegelsümmeetriad.

Mis tahes arvu esimest tüüpi liikumiste koosseis on esimest tüüpi liikumine.

Teist liiki paaritu arvu liigutuste koosseis on 1. tüüpi liigutus ja paaritu arvu 2. tüüpi liigutuste koosseis on 2. liigi liigutus.

Liikumise näited:Paralleelne ülekanne. Olgu a antud vektor. Paralleelülekanne vektorile a on tasandi kaardistamine iseendaga, milles iga punkt M on kaardistatud punktiga M 1, et vektor MM 1 on võrdne vektoriga a.

Paralleeltõlge on liikumine, sest see on tasapinna kaardistamine iseendaga, säilitades vahemaid. Visuaalselt saab seda liikumist kujutada kogu tasandi nihkena antud vektori a suunas selle pikkuse järgi.

Pöörake. Määrake punkt O tasapinnal ( pöördekeskus) ja seadke nurk α ( pöördenurk). Tasapinna pööramine ümber punkti O nurga α võrra on tasandi kaardistamine iseendaga, milles iga punkt M on kaardistatud punktiga M 1, et OM = OM 1 ja nurk MOM 1 võrdub α. Sel juhul jääb punkt O oma kohale, st kuvatakse see iseenesest ja kõik ülejäänud punktid pöörlevad ümber punkti O samas suunas - päri- või vastupäeva (joonis näitab vastupäeva).

Pööre on liikumine, sest see on tasapinna kaardistamine iseendaga, mis säilitab vahemaad.

Liikumise analüütiline väljendus: eelkujutise ja punkti kujutise koordinaatide vaheline analüütiline seos on kujul (1).

Tasapinnaliste liikumiste klassifikatsioon (olenevalt fikseeritud punktide ja muutumatute joonte olemasolust): Definitsioon:

Tasapinna punkt on muutumatu (fikseeritud), kui ta teiseneb antud teisenduse käigus iseendaks.

Näide: Tsentraalse sümmeetria korral on sümmeetriakeskpunkti punkt muutumatu. Pööramisel on pöörlemiskeskme punkt muutumatu. Telgsümmeetria korral on joon muutumatu – sümmeetriatelg on muutumatute punktide joon.

Teoreem: Kui liikumisel ei ole muutumatut punkti, siis on sellel vähemalt üks muutumatu suund.

Näide: paralleelne ülekanne. Tõepoolest, selle suunaga paralleelsed jooned on tervikuna muutumatud, kuigi see ei koosne muutumatutest punktidest.

Teoreem: Kui mõni kiir liigub, siis kiir muundub iseendaks, siis on see liikumine kas identne teisendus või sümmeetria antud kiirt sisaldava sirge suhtes.

Seetõttu on muutumatute punktide või kujundite olemasolu järgi võimalik liigutusi klassifitseerida.

Liikumise nimi	Invariantsed punktid	Invariantsed read
Esimest tüüpi liikumine.
1. - pööre	(keskel) – 0	Ei
2. Identiteedi transformatsioon	lennuki kõik punktid	kõik otse
3. Keskne sümmeetria	punkt 0 - keskpunkt	kõik punkti 0 läbivad sirged
4. Paralleelne ülekanne	Ei	kõik otse
Teist tüüpi liikumine.
5. Aksiaalne sümmeetria.	punktide komplekt	sümmeetriatelg (sirge) kõik sirged

Lennuki liikumise rühm: Geomeetrias mängivad olulist rolli figuuride enesekokkulangevuse rühmad. Kui - mõni kujund tasapinnal (või ruumis), siis võime vaadelda kõigi nende tasandi (või ruumi) liikumiste kogumit, milles kujund läheb iseendasse.

See komplekt on rühm. Näiteks võrdkülgse kolmnurga puhul koosneb tasapinnaliste liikumiste rühm, mis võtab kolmnurga endasse, 6 elemendist: pöörded nurkade kaupa ümber punkti ja sümmeetriad kolme sirge ümber.

Need on näidatud joonisel fig. 1 punaste joontega. Korrapärase kolmnurga enesekokkulangevusrühma elemente saab täpsustada ka muul viisil. Selle selgitamiseks nummerdame tavalise kolmnurga tipud numbritega 1, 2, 3. saab tinglikult sisestada ühe järgmistest sulgudest:

jne.

kus numbrid 1, 2, 3 tähistavad nende tippude numbreid, millesse vaadeldava liikumise tulemusena tipud 1, 2, 3 lähevad.

Projektiivsed ruumid ja nende mudelid.

Projektiivse ruumi kontseptsioon ja projektiivse ruumi mudel. Projektiivse geomeetria põhitõed. Punktis O tsentreeritud joonte hunnik on projektiivne tasapinna mudel. projektiivsed punktid. Laiendatud tasapind on projektiivse tasandi mudel. Laiendatud kolmemõõtmeline afiinne ehk eukleidiline ruum on projektiivne ruumimudel. Tasapinnaliste ja ruumiliste kujundite kujutised paralleelkujunduses.

Projektiivse ruumi kontseptsioon ja projektiivse ruumi mudel:

Projektiivne ruum välja kohal on ruum, mis koosneb mingi lineaarse ruumi joontest (ühemõõtmelistest alamruumidest) antud välja kohal. Sirgeid ruume nimetatakse punktid projektiivne ruum. See määratlus sobib üldistamiseks suvaliseks kehaks

Kui sellel on dimensioon , siis projektiivse ruumi dimensiooni nimetatakse arvuks ning projektiivset ruumi ennast tähistatakse ja seostatakse sellega (selle näitamiseks võetakse tähistus kasutusele).

Üleminekut mõõtmete vektorruumist vastavasse projektiivsesse ruumi nimetatakse projektiviseerimine ruumid.

Punkte saab kirjeldada homogeensete koordinaatide abil.

Projektiivse geomeetria põhitõed: Projektiivne geomeetria on geomeetria haru, mis uurib projektiivseid tasapindu ja ruume. Projektiivse geomeetria peamine omadus on duaalsuse põhimõte, mis lisab paljudele disainilahendustele graatsilist sümmeetriat. Projektiivset geomeetriat saab uurida nii puhtalt geomeetrilisest vaatenurgast kui ka analüütilisest (homogeensete koordinaatide abil) ja salgebralisest vaatenurgast, võttes projektiivset tasandit kui struktuuri üle välja. Sageli ja ajalooliselt käsitletakse tegelikku projektiivset tasandit Eukleidilise tasapinnana, millele on lisatud "lõpmatuse joon".

Kusjuures figuuride omadused, millega eukleidiline geomeetria tegeleb, on meetriline(nurkade, lõikude, pindalade konkreetsed väärtused) ja jooniste samaväärsus on nendega samaväärne kongruentsus(st kui kujundeid saab liikumise abil üksteiseks tõlkida, säilitades samal ajal meetrilised omadused), on geomeetrilistel kujunditel rohkem "sügavamaid" omadusi, mida säilitavad üldisemat tüüpi teisendused kui liikumine. Projektiivne geomeetria uurib klassi all muutumatute kujundite omadusi projektiivsed teisendused, aga ka need teisendused ise.

Projektiivne geomeetria täiendab eukleidilist, pakkudes ilusaid ja lihtsaid lahendusi paljudele paralleelsete joonte olemasolust tingitud probleemidele. Eriti lihtne ja elegantne on koonuslõigete projektiivne teooria.

Projektiivsel geomeetrial on kolm peamist lähenemist: sõltumatu aksiomatiseerimine, eukleidilise geomeetria lisamine ja struktuur üle välja.

Aksiomatiseerimine

Projektiivset ruumi saab määratleda erineva aksioomikomplekti abil.

Coxeter pakub järgmist:

1. Seal on joon ja sellel pole punkti.

2. Igal real on vähemalt kolm punkti.

3. Läbi kahe punkti saab tõmmata täpselt ühe sirge.

4. Kui A, B, C, ja D erinevad punktid ja AB ja CD ristuvad siis AC ja BD ristuvad.

5. Kui ABC on tasapind, siis on vähemalt üks punkt, mis ei ole tasapinnas ABC.

6. Kaks erinevat tasandit lõikuvad vähemalt kahes punktis.

7. Tervikliku nelinurga kolm diagonaalpunkti ei ole kollineaarsed.

8. Kui sirgel on kolm punkti X X

Projektiivne tasapind (ilma kolmanda mõõtmeta) on määratletud mõnevõrra erinevate aksioomidega:

1. Läbi kahe punkti saab tõmmata täpselt ühe sirge.

2. Suvalised kaks sirget lõikuvad.

3. Punkte on neli, millest kolme kollineaarset pole.

4. Tervikliku nelinurga kolm diagonaalpunkti ei ole kollineaarsed.

5. Kui sirgel on kolm punkti X on φ projektiivsuse all muutumatud, siis kõik punktid on sisse lülitatud X on φ suhtes muutumatud.

6. Desarguesi teoreem: Kui kaks kolmnurka on perspektiivsed läbi punkti, siis on nad perspektiivid läbi sirge.

Kolmanda mõõtme olemasolul saab Desarguesi teoreemi tõestada ilma ideaalset punkti ja sirget tutvustamata.

Laiendatud tasapind – projektiivse tasapinna mudel: afiinses ruumis A3 võtta joonte kimp S(O), mille keskpunkt on O ja tasapind Π, mis ei läbi kimbu keskpunkti: O 6∈ Π. Joonte kimp afiinses ruumis on projektiivse tasandi mudel. Seadistame tasapinna Π punktide hulga vastendamise kimbu S joonte hulgaga (kurat, palun vabandust, kui sul see küsimus tekkis)

Laiendatud kolmemõõtmeline afiinne või eukleidiline ruum – projektiivne ruumimudel:

Selleks, et muuta kaardistamine surjektiivseks, kordame afiinse tasandi Π formaalset pikendamist projektiivsele tasapinnale Π, täiendades tasandit Π ebaõigete punktide komplektiga (M∞), nii et: ((M∞)) = P0(O). Kuna kaardistuses on tasandite kimbu S(O) iga tasandi pöördkujutis tasapinnal d olev sirge, on ilmne, et laiendatud tasandi kõigi valede punktide hulk: Π = Π ∩ (M∞) , (M∞), on laiendatud tasandi vale joon d∞, mis on ainsuse tasandi Π0 pöördkujutis: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Leppigem kokku, et siin ja allpool mõistame viimast võrdsust P0(O) = Π0 punktihulkade võrdsuse tähenduses, kuid millel on erinevad struktuurid. Täiendades afiintasandit vale joonega, oleme taganud, et kaardistus (I.21) muutub laiendatud tasandi kõigi punktide hulgal bijektiivseks:

Paralleelkujunduses lamedate ja ruumiliste kujundite kujutised:

Stereomeetrias uuritakse ruumifiguure, joonisel aga kujutatakse neid tasapinnaliste kujunditena. Kuidas peaks siis ruumifiguuri tasapinnal kujutama? Tavaliselt kasutatakse geomeetrias selleks paralleelset disaini. Olgu p mingi lennuk, l- seda ristuv sirgjoon (joonis 1). Läbi suvalise punkti A, ei kuulu rida l tõmmake joonega paralleelne joon l. Selle sirge lõikepunkti tasapinnaga p nimetatakse punkti paralleelprojektsiooniks A tasapinnale p sirgjoone suunas l. Tähistame seda A". Kui punkt A kuulub rida l, siis paralleelprojektsioon A tasapinnale p loetakse sirge lõikepunktiks l lennukiga lk.

Seega iga punkt A ruum on kaardistatud selle projektsiooniga A" tasapinnale p. Seda vastavust nimetatakse paralleelprojektsiooniks tasapinnale p sirgjoone suunas l.

Projektiivsete teisenduste rühm. Rakendus probleemide lahendamiseks.

Tasapinna projektiivse teisenduse kontseptsioon. Projektiivse tasandi teisenduste näited. Projektiivsete teisenduste omadused. Homoloogia, homoloogia omadused. Projektiivsete teisenduste rühm.

Projektiivse tasandi teisenduse kontseptsioon: Projektiivse teisenduse mõiste üldistab keskse projektsiooni mõistet. Kui teostada tasandi α keskprojektsioon mingile tasapinnale α 1 , siis α 1 projektsioon α 2 , α 2 projektsioon α 3 , ... ja lõpuks mingile tasapinnale α n jällegi α 1 peal, siis on kõigi nende projektsioonide koosseis tasandi α projektiivne teisendus; selline ahel võib sisaldada paralleelprojektsioone.

Projektiivse tasandi teisenduste näited: Laiendatud tasandi projektiivne teisendus on selle üks-ühele kaardistamine iseendaga, mis säilitab punktide kollineaarsuse ehk teisisõnu, mis tahes sirge kujutis on sirgjoon. Iga projektiivne teisendus on tsentraalsete ja paralleelsete projektsioonide ahela kompositsioon. Afiinne teisendus on projektiivse teisenduse erijuhtum, kus lõpmatuse joon läheb iseendasse.

Projektiivsete teisenduste omadused:

Projektiivse teisenduse korral vastendatakse kolm punkti, mis ei asu joonel, kolme punktiga, mis ei asu sirgel.

Projektiivse teisenduse korral läheb kaader üle raamile.

Projektiivse teisenduse korral läheb joon sirgeks, vits läheb vitsaks.

Homoloogia, homoloogia omadused:

Tasapinna projektiivset teisendust, millel on muutumatute punktide joon ja seega ka muutumatute joonte pliiats, nimetatakse homoloogiaks.

1. Vastavaid mittekattuvad homoloogiapunkte läbiv sirge on muutumatu sirge;

2. Vastavaid mittekattuvad homoloogiapunkte läbivad sirged kuuluvad samale pliiatsile, mille keskpunkt on muutumatu punkt.

3. Punkt, selle kujutis ja homoloogia kese asuvad samal sirgel.

Projektiivsete teisenduste rühm: vaatleme projektiivse tasandi P 2 projektiivset kaardistamist iseendaga, st selle tasandi projektiivset teisendust (P 2 ’ = P 2).

Nagu varemgi, on projektiivse tasandi P 2 projektiivsete teisenduste f 1 ja f 2 kompositsioon f teisenduste f 1 ja f 2 järjestikuse täitmise tulemus: f = f 2 °f 1 .

Teoreem 1: Projektiivtasandi P 2 kõigi projektiivsete teisenduste hulk H on projektiivsete teisenduste koosseisus olev rühm.

Positiivsed kindlad ruutvormid

Definitsioon. Ruutvorm alates n tundmatu kutsutakse positiivne kindel, kui selle aste on võrdne positiivse inertsiindeksiga ja on võrdne tundmatute arvuga.

Teoreem. Ruutvorm on positiivne siis ja ainult siis, kui see võtab positiivseid väärtusi mis tahes nullist erineva muutujate väärtuste kogumi puhul.

Tõestus. Olgu ruutvorm tundmatute mittemandunud lineaarne teisendus

normaliseerunud

.

Iga nullist erineva muutujaväärtuste komplekti puhul vähemalt üks arv nullist erinev, st. . Teoreemi vajalikkus on tõestatud.

Oletame, et ruutvorm saab positiivseid väärtusi mis tahes nullist erineval muutujate hulgal, kuid selle inertsusindeks on positiivne. Tundmatute mitte-degenereerunud lineaarse teisendusega

Toome selle tagasi normaalseks. Üldisust kaotamata võime eeldada, et sellel normaalkujul viimase muutuja ruut kas puudub või siseneb sellesse miinusmärgiga, s.t. , kus või . Oletame, et see on muutujate väärtuste nullist erinev kogum, mis saadakse lineaarvõrrandisüsteemi lahendamise tulemusena

Selles süsteemis võrdub võrrandite arv muutujate arvuga ja süsteemi determinant on nullist erinev. Crameri teoreemi järgi on süsteemil ainulaadne lahendus ja see on nullist erinev. Selle komplekti jaoks. Vastuolu tingimusega. Jõuame vastuoluni eeldusega, mis tõestab teoreemi piisavust.

Seda kriteeriumi kasutades ei ole kordajate põhjal võimalik määrata, kas ruutvorm on positiivne-kindel. Sellele küsimusele annab vastuse teine ​​teoreem, mille sõnastamiseks tutvustame veel üht mõistet. Peamised diagonaalmaatriksi alaealised kas alaealised asuvad selle vasakus ülanurgas:

, , , … , .

Teoreem.Ruutvorm on positiivne siis ja ainult siis, kui kõik selle põhidiagonaali minoorid on positiivsed.

Tõestus teostame arvu täieliku matemaatilise induktsiooni meetodil n ruutvormimuutujad f.

Induktsiooni hüpotees. Oletame, et vähemate muutujatega ruutvormide puhul n väide on õige.

Vaatleme ruutvormi alates n muutujad. Koguge ühte sulgu kõik terminid, mis sisaldavad . Ülejäänud terminid moodustavad muutujates ruutvormi. Induktsiooni hüpoteesi järgi on väide selle kohta tõene.

Oletame, et ruutvorm on positiivne kindel. Siis on ka ruutvorm positiivne kindel. Kui eeldame, et see nii ei ole, siis on muutujate väärtuste hulk, mis ei ole null , milleks ja vastavalt , mis on vastuolus asjaoluga, et ruutvorm on positiivne kindel. Induktsioonihüpoteesi järgi on kõik ruutvormi peadiagonaalmollid positiivsed, s.t. kõik ruutvormi esimesed põhimoorid f on positiivsed. Ruutvormi viimane põhimoll – on selle maatriksi determinant. See determinant on positiivne, kuna selle märk langeb kokku normaalkuju maatriksi märgiga, s.o. identiteedimaatriksi determinandi märgiga.

Olgu kõik ruutvormi peadiagonaalmollid positiivsed, siis kõik ruutvormi peadiagonaalmollid on võrdsest positiivsed . Induktsioonihüpoteesi kohaselt on ruutvorm positiivne kindel, seega toimub muutujate mitte-mandunud lineaarne teisendus, mis taandab vormi uute muutujate ruutude summaks. Seda lineaarset teisendust saab laiendada kõigi muutujate mittedegeneratiivseks lineaarseks teisenduseks sätte abil. Ruutvorm väheneb selle teisendusega vormiks

Ruutvormid

ruutvorm n muutuja f(x 1, x 2,..., x n) nimetatakse summaks, mille iga liige on kas ühe muutuja ruut või kahe erineva muutuja korrutis, mis on võetud teatud koefitsiendiga: f(x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Nendest kordajatest koosnevat maatriksit A ​​nimetatakse ruutvormi maatriksiks. See on alati sümmeetriline maatriks (st põhidiagonaali suhtes sümmeetriline maatriks, a ij = a ji).

Maatriksmärgistuses on ruutkujul kuju f(X) = X T AX, kus

Tõepoolest

Näiteks kirjutame ruutkuju maatrikskujul.

Selleks leiame ruutkujulise maatriksi. Selle diagonaalelemendid on võrdsed muutujate ruutude koefitsientidega ja ülejäänud elemendid on võrdsed poolega ruutvormi vastavatest kordajatest. Sellepärast

Olgu muutujate X maatriks-veerg saadud maatriks-veeru Y mittedegenereerunud lineaarse teisendusega, s.o. X = CY, kus C on mittedegenereerunud maatriks järku n. Siis ruutvorm
f(X) \u003d X T AX \u003d (CY) T A (CY) \u003d (Y T C T) A (CY) \u003d Y T (C T AC) Y.

Seega, mittemandunud lineaarteisendusel C saab ruutkuju maatriks kuju: A * = C T AC.

Näiteks leiame ruutkuju f(y 1, y 2) ruutvormist f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 lineaarteisendusega.

Ruutvormi nimetatakse kanooniline(Sellel on kanooniline vaade), kui kõik selle koefitsiendid a ij = 0 i ≠ j korral, s.o.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn x n 2 = .

Selle maatriks on diagonaalne.

Teoreem(tõestust siin ei esitata). Mis tahes ruutvormi saab taandada kanooniliseks vormiks, kasutades mittedegenereerunud lineaarset teisendust.

Näiteks taandagem ruutkuju kanooniliseks vormiks
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Selleks valige esmalt muutuja x 1 täisruut:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2) ) 2-5x2 2-x2x3.

Nüüd valime muutuja x 2 jaoks täisruudu:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) – (5/100) x 3 2 =
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Siis toob mittedegenereerunud lineaarne teisendus y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 - (1/10) x 3 ja y 3 \u003d x 3 selle ruutvormi kanoonilisele vormile f (y 1 , y 2, y 3) = 2 a 1 2 - 5 a 2 2 - (1/20) y 3 2 .

Pange tähele, et ruutvormi kanooniline vorm on defineeritud mitmetähenduslikult (sama ruutvormi saab taandada kanooniliseks vormiks erineval viisil). Erinevate meetoditega saadud kanoonilistel vormidel on aga mitmeid ühiseid omadusi. Eelkõige ei sõltu ruutvormi positiivsete (negatiivsete) koefitsientidega liikmete arv sellest, kuidas vorm sellele vormile taandatakse (näiteks vaadeldavas näites on alati kaks negatiivset ja üks positiivne koefitsient). Seda omadust nimetatakse ruutvormide inertsi seadus.

Kontrollime seda, taandades sama ruutvormi erineval viisil kanooniliseks vormiks. Alustame teisendust muutujaga x 2:
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d - 3(x 2 2 -
- 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
\u003d -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1, y 2, y 3) = -3 a 1 2 -
-3 a 2 2 + 2 a 3 2, kus y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 \u003d (2/3) x 1 + (1/6) ) x 3 ja y 3 = x 1 . Siin on y 3 jaoks positiivne koefitsient 2 ja y 1 ja y 2 jaoks kaks negatiivset koefitsienti (-3) (ja teist meetodit kasutades saime y 1 jaoks positiivse koefitsiendi 2 ja y 2 jaoks kaks negatiivset koefitsienti - (-5) ja (-1 /20) aasta 3 jaoks).

Samuti tuleb märkida, et ruutkujulise maatriksi auaste, nn ruutvormi aste, on võrdne kanoonilise vormi nullist erineva koefitsientide arvuga ja ei muutu lineaarsete teisenduste korral.

Nimetatakse ruutkuju f(X). positiivselt (negatiivne) teatud, kui kõigi muutujate väärtuste puhul, mis ei ole samaaegselt võrdsed nulliga, on see positiivne, st. f(X) > 0 (negatiivne, st.
f(X)< 0).

Näiteks ruutvorm f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 on positiivne kindel, sest on ruutude summa ja ruutvorm f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 on negatiivne kindel, sest tähistab seda saab esitada kui f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2.

Enamikus praktilistes olukordades on ruutvormi märgimääratluse tuvastamine mõnevõrra keerulisem, seetõttu kasutatakse selleks ühte järgmistest teoreemidest (sõnastame need ilma tõestusteta).

Teoreem. Ruutvorm on positiivne (negatiivne) kindel siis ja ainult siis, kui kõik selle maatriksi omaväärtused on positiivsed (negatiivsed).

Teoreem (Sylvesteri kriteerium). Ruutvorm on positiivne siis ja ainult siis, kui kõik selle vormi maatriksi peamollid on positiivsed.

Major (nurga)moll N-ndat järku maatriksi A k-ndat järku nimetatakse maatriksi determinandiks, mis koosneb maatriksi A () esimesest k reast ja veerust.

Pange tähele, et eitus-määratud ruutvormide puhul vahelduvad põhimollide märgid ja esimest järku moll peab olema eitav.

Näiteks uurime ruutkuju f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 märgimääratlust.

= (2–l)*
*(3 - l) - 4 \u003d (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Seetõttu on ruutvorm positiivne kindel.

Meetod 2. Maatriksi esimest järku peamoll A D 1 = a 11 = 2 > 0. Teist järku peamoll D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Seega Sylvesteri kriteeriumi järgi ruutvorm on positiivne kindel.

Märgimääratluse jaoks uurime teist ruutvormi f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Meetod 1. Koostame ruutkujulise maatriksi А = . Iseloomulikul võrrandil on vorm = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 \u003d (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Seetõttu on ruutvorm negatiivne kindel.