Olümpiaks valmistumine. Olümpiaadiülesanded algebras (5. klass) teemal: Kooliolümpiaad matemaatikas

Matroskin ütleb Pechkinile:
- Üritasin Šarikut õpetada haukuma, kui ta süüa tahab. Viinud läbi sadu eeskujulikke treeninguid.
- Mis siis, nüüd ta haugub?
- Ei, nüüd ta ei söö enne, kui ma haugun...

Kass Matroskin istub õngega – püüab kala. Pechkin sõidab jalgrattaga mööda:
- Mis, Matroskin, kas sa püüdsid tiigist kõik maimud?
Matroskin oli solvunud ja ütles:
- Lasen väikese lahti ja suure panen majoneesipurki!

***
Matroskin naaseb koos Šarikuga külaliste seast ja noomib teda:
- Sa mitte ainult ei jäänud magama, kui Baba Shura romanssi laulis ... Aga sa ärkasid ka siis, kui ta võttis tippnoodi ja hüüdis: "Laske koer majja!"

Sharik küsib jahimehelt:
- Millise püssirohuga sa padruneid laadid, kui lähed metssea juurde?
- Ainult suitsune.
Kas ta lööb kõvemini?
- Ei, kuni suits hajub, on mul aega puu otsa ronida ...

Matroskin, ma nägin täna und, et sõin terve hunniku rohtu.
- Noh, sa ei tea kunagi, kes unistab, Sharik!
- Seleta siis, Matroskin, kuhu mu madrats kadus?

***

***
Kass Matroskinile kingiti sünnipäevaks ehtne vest. Ta pani selle selga ja kõnnib ennast imetledes. Läheneb Šarikule ja ütleb:
- Ütle mulle, Šarik, kas sa üldse tead, mitu triipu vestil on?
"Kuidas ma peaksin teadma," vastab Sharik, "kui soovite, siis ma arvestan nüüd ...
Ja kass vastas:
- Eh, Šarik, mis siin lugeda on! Vestil on alati kaks triipu - SININE ja VALGE ... Oh, leidsin fotokunstniku ...

Matroskin koos lehm Murkaga peatab takso.
- Kuhu sa lähed? küsib juht.
- Jah, lähimasse külla ...
- Aga lehm?
- Jah, te ei muretse tema pärast, vaid siduge see lihtsalt tagant kaitseraua külge.
Taksojuht sidus lehma kinni, lähme. Lehm jookseb lähedal, ei jää maha. Taksojuht lisas gaasi - ei jää maha. Ta vaatas peeglisse ja küsis Matroskinilt:
- Ja miks ta vasaku silmaga pilgutas?
- Ja ta läks mööda sõitma ...

Sharik ütleb Matroskinile:
- Matroskin, täna nägin unes, et sa andsid mulle väikese luu ...
Ja Matroskin vastab:
- Siin, Sharik, ja kui sa mind kuulad, näed unes, et andsin sulle tohutu luu !!!

"Ostsime Šarikule jalgratta, et piima linna tassida. Ometi tegin Šarikust kelgukoera! Kass Matroskin."

Ee, šarik, šarik, kas sa saad näiteks lehma lüpsta???
- Mitte.
- No aga heina niitmine??
- Mitte.
- Noh, koo vähemalt sokid ???
- Mitte.
- Mida sa teha saad?
- Mina, Matroskin, tean, kuidas vastata kõigile teie lollidele küsimustele ...

Kasutatud kirjanduse loetelu:

1. Ajakiri "Fidget".
2. Ajakiri "Classy".
3. Ajaleht "Laste ja teismeliste maailm".
4. Ajakiri "Miki Hiir".
5. "Naljakad koolijutud ja anekdoodid." Koostanud Shilova Galina Petrovna.
6. "Naljad multikategelastega". Toimetanud Aleksander Alir.

Matemaatika

Klass

Ülesanded.

1. 10 põõsast istutatakse sirgjooneliselt nii, et naaberpõõsaste vaheline kaugus oleks sama. Leidke see kaugus, kui äärmiste põõsaste vaheline kaugus on 90 dm.

2. Kirjes 1 ☼ 2 ☼ 3 ☼ 4 ☼ 5 = 100 asendage "☼" tegevusmärkidega ja asetage sulud nii, et saaksite õige võrdsuse.

3. Poiss räägib alati tõtt paarisarvudel ja valetab alati paaritutel numbritel. Kuidagi küsiti temalt kolm oktoobripäeva järjest: "Mis su nimi on?". Esimesel päeval vastas ta: "Andrey", teisel: "Boris", kolmandal: "Victor". Mis on poisi nimi? Selgitage, kuidas arutlesite.

4. Kell 9.00 lahkus Yura majast ja kõndis suurel kiirusel mööda sirget teed

6 km/h Mõne aja pärast pööras ta otsa ringi ja läks sama kiirusega koju. Kell 12.00 oli Yura kodust kahe kilomeetri kaugusel. Kui kaugel majast ta ümber pööras? Selgitage, kuidas vastus leiti.

5. Kass Matroskin arvas, et ta võiks ruudukujulise toa põranda ruudukujuliste plaatidega laotada ja tal poleks vaja ühtki neist lõigata. Esmalt pani ta plaadid ümber ruumi servade ja selle valmimiseks kulus 84 plaati. Mitu plaati peab tal kogu põranda katmiseks olema?

Vastused, juhised, lahendused.

1. Vastus . 10 dm.

Lahendus. Kuna istutatakse 10 põõsast, jääb nende vahele 9. Seetõttu on kõrvuti asetsevate põõsaste vaheline kaugus 90: 9 = 10dm.

2. Vastus . 1 (2 + 3) 4 5 = 100.

3. Vastus . Boriss.

Lahendus. Kuna poiss andis kolm erinevat vastust, valetas ta kaks korda. Seetõttu langes kaks päeva kolmest, kui poisile küsimusi esitati, paaritutele numbritele. Kuna kuu paaris ja paaritu päevad vahelduvad, pidid need olema esimene ja kolmas päev. Seega langes teine ​​päev paarisarvule. Sel päeval pani poiss oma õige nime.

4. Vastus. 10 km kaugusel.

Lahendus. 3 tunniga, kella 9.00-12.00, kõndis Yura 18 km. Kui ta kõnnib veel kaks kilomeetrit, jõuab ta koju. See on 18 + 2 = 20 km. - See on tee pöördepunktini ja tagasi. Nii ta pöördus kaugusesse

20:2 = 10 km kaugusel kodust.

5. Vastus. 484.

Lahendus. Piiril, arvestamata nurgaplaate, on 84 - 4 = 80 plaati. See tähendab, et mõlemal küljel on 20 plaati, arvestamata nurgaplaate, ja koos nurgaplaatidega on 22 plaati. Seetõttu on plaatide koguarv 22 22 = 484.

Koolinoorte ülevenemaalise olümpiaadi koolietapp

Matemaatika

Klass

Ülesanded.

1. Hüppav Dragonfly magas pool aega punase suve igast päevast, tantsis kolmandiku ajast ja laulis kuuendat aega. Ülejäänud aja otsustas ta pühendada talveks valmistumisele. Mitu tundi päevas Dragonfly talveks valmistus?

2. Tulnukad rääkisid Maa elanikele, et nende tähesüsteemis on kolm planeeti A, B, C. Nad elavad teisel planeedil. Veelgi enam, sõnumi edastamine halvenes häirete tõttu, kuid saadeti veel kaks teadet, mis, nagu teadlased tuvastasid, osutusid mõlemad valedeks:

a) A ei ole tähe kolmas planeet;

b) B on teine ​​planeet.

Millised tähe planeedid on A, B, C?

3. Hiir, hiir ja juust kaaluvad kokku 180g. Hiir kaalub 100 g rohkem kui hiir ja juust kokku. Juust kaalub kolm korda vähem kui hiir. Kui palju igaüks neist kaalub? Vastus tuleb kinnitada arvutustega.

4. Kuidas lõigata ruut seitsmeks kolmnurgaks, mille hulgas on kuus ühesugust?

5. Pulki on 24. Esimese pulga pikkus on 1 cm, teise - 2 cm, ..., kahekümne neljanda - 24 cm (iga järgmise pulga pikkus on eelmisest 1 cm pikem). Kuidas teha kõigi nende pulkade abil kolm erinevat ruutu? Pulki ei saa murda, iga tikk peaks mahtuma ainult ühte ruutu.

Vastused, juhised, lahendused.

(võib soovitada ka teist lahendust)

1. Vastus . 0 tundi. Ei jää enam aega.

Lahendus.Ööpäevas on 24 tundi, millest Dragonfly magas 24:2 = 12 tundi, tantsis 24:3 = 8 tundi, laulis 24:4 = 6 tundi. Kõik, mida ta kulutas nendele asjadele

12+ 8+6 = 24 tundi. Seetõttu ei jäänud talveks valmistumiseks aega.

2. Vastus . B on esimene planeet, C on teine ​​planeet, A on kolmas planeet.

Lahendus. Kuna teine ​​ja kolmas teade on valed, siis A on kolmas planeet ja B ei ole teine, seega on B tähelt esimene planeet. Siis saab B-st teine ​​planeet, kus elavad tulnukad.

3. Vastus. Hiir - 140 g, juust - 10 g, hiir - 30 g.

Lahendus. Tingimusest järeldub, et hiire kahekordne kaal on 180 + 100 = 280g. Seega on hiire kaal 140g. Siis kaaluvad hiir ja juust koos 180–140 \u003d 40 g. Ja juustu kaal vastavalt seisundile on võrdne veerandiga sellest kaalust.

4. Lahendus. Kaks võimalust seda teha on näidatud joonisel. On ka teisi viise.

Vastus.

Lahendus. Jagame pulgad kolme rühma: 1 kuni 8, 9 kuni 16, 17 kuni 24. Igas rühmas ühendame esimese pulga viimasega, teise eelviimasega, kolmanda pulgaga. kolmas otsast, ühendame ka ülejäänud kaks pulka. Igasse rühma saame neli ühesugust pulka, millest lisame ruudu. Saadud ruutude küljed: 9, 25, 41.

kommenteerida. Kolme ruudu lisamiseks on ka teisi võimalusi.

Matemaatikaolümpiaadi koolietapp

Lahendage võrrand (6 099 948 - 756: ((30 + x) : 336) 201) : 407 025 = 12

Kolm turisti otsustasid koos süüa. Üks neist andis kaks rulli, teine ​​​​kolm rulli ja kolmas - 10 rubla. Kui palju peaks sellest rahast võtma esimene turist ja kui palju teine ​​turist?

Kuue järjestikuse paarisarvu summa on 3018. Leia need arvud

Ristkülikukujulise rööptahuka pikkus on 250 mm, laius 120 mm ja kõrgus 40 mm. See lõigati kuupsentimeetriteks ja asetati ühte ritta üksteise lähedale. Mis on rea pikkus (meetrites)?

Avaldises 4 + 32: 8 + 4 3 järjestage sulud nii, et saate võimalikult suure arvu, väikseima arvu.

Leidke kõik kolm numbrit, mis on 12-kordsed nende numbrite summast

Vastused:

x = 12

5 * 3 \u003d 15 (r.) - rullide maksumus kolmele.

15: 5 = 3 (lk) - ühe rulli maksumus.

1 * 2 \u003d 6 (r.) - kahe rulli maksumus.

6 - 5 \u003d 1 (lk) - tuleb anda esimesele turistile.

3 - 3 \u003d 9 (r.) - kolme rulli maksumus.

9 - 5 \u003d 4 (lk) - tuleb anda teisele turistile.

Vastus: esimene turist peaks võtma 1 rubla ja teine ​​4 rubla

498 + 500 + 502 + 504 + 506 + 508

12 meetrit

Suurim arv (4 + 32: 8 + 4) * 3 = 36. Väikseim arv (4 + 32) : [(8 + 4) * 3] = 1

Kui a, b ja c on kolmekohalise arvu numbrid, saab selle kirjutada järgmiselt
100a+10b+s. Numbrite summa on a+b+c. Võrdlustage numbrite ja arvu summa:
12(a+b+c) = 100a+10b+c;
12a + 12b + 12c \u003d 100a + 10b + s;
88a-11c=2c.
88a ja 11c jaguvad 11-ga, mis tähendab, et nende erinevus (2c) jagub ka 11-ga. 2 ei jagu 11-ga, seega peab c jaguma 11-ga. Kuid c on arv, kõigist arvudest on ainult 0 jagub 11-ga, c \u003d 0. Saame
88a-11c=0,|:11
8a-c=0,
c=8a.
a ja c on arvud, seega a=1, c=8 (kui a>1, siis c>10).
Saime numbri 108.

matemaatikaolümpiaad. 5. klass

Määrake, millise numbriga vahe lõpeb 43 43 - 17 17 .

Nelja järjestikuse arvu korrutis on 7920. Leidke need arvud.

Osa raamatust kukkus välja. Väljalangenud kirjatüki esimesel leheküljel on number 387 ja viimasel leheküljel on samad numbrid, kuid kirjutatud erinevas järjekorras. Mitu lehte raamatust välja kukkus?

Kahe arvu summa on 80 ja nende vahe on 3. Leia need arvud.

Dešifreerige rebus: RAAMAT + RAAMAT + RAAMAT = TEADUS

Olemasoleva arvuga on lubatud teha kaks toimingut: korrutada see 2-ga või lisada sellele 2. Millise minimaalse toimingute arvu korral saab arvust 1 saada arvu 100?

Vastused:

Peaksite otsima mustrit 3-ga lõppeva arvu loomuliku astme viimase numbri jaoks. Nende arvude jada on 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1 ... Neljas, kaheksas, kaheteistkümnes , jne. koht on hõivatud numbriga 1. Niisiis, 43 40 lõpeb numbritega 1 ja 43 43 - number 7, siis samamoodi 17 16 lõpeb numbritega 1 ja 17 17 - number 7. Kuna mõlemad numbrid 43 ja 17 lõpevad sama numbriga 7, siis nende erinevus lõpeb nulliga.

7920 = 2*2*2*2*3*3*5*11 = 8*9*10*11

(738 - 386): 2 = 176 lehte

41,5 ja 38,5

28375 + 28375 + 28375 = 85125.

1+2*2*2*2*2+2*2. 7 toimingu jaoks.

matemaatikaolümpiaad. 5. klass

Kahekohalise arvu numbrite summa on 12. Kui korrutate kümnendiku 2-ga ja ühekohalised 3-ga ning liidate mõlemad korrutised, on tulemuseks 29. Leia see arv.

Mis on suurim arv, mida saab kirjutada neljaga?

Kaks rändurit lähenesid jõele korraga. Kalda külge oli seotud paat, millest pääses üle vaid üks inimene. Rändurid ei osanud ujuda, kuid igaühel neist õnnestus jõgi ületada. Kuidas see juhtuda sai?

Lõika ristkülik pikkusega 9 cm ja laiusega 4 cm kaheks võrdseks osaks, millest saad teha ruudu.

Poiss ja siga kaaluvad lausa 5 kasti. Siga kaalub sama palju kui 4 kassi; 2 kassi ja siga kaaluvad sama palju kui 3 kasti. Mitu kassi suudab poissi tasakaalustada?

Tõmmake neli joont läbi 6 punkti, nii et igal real oleks kolm punkti.

Vastused:

11 11

Rändurid lähenesid jõele erinevatelt kaldalt.

M + P \u003d 5I

P = 4K

2K + P \u003d 3I. 2 ja 3 ur põhjal saame: 2K + 4K = 3I. I = 2K

Asendage võrrandis 1: M + 4K = 10K, M = 6K. Vastus. 6 kassi

matemaatikaolümpiaad. 5. klass

1. Kui mitmel erineval viisil saab sellel diagrammil lugeda sõna "punkt"? (alustage tähega "t" ja minge alla "a"-ni)

   Kaheksaliitrisest piimaga täidetud ämbrist tuleb 3- ja 5-liitrise kanistriga valada 4 liitrit. Kuidas seda teha?

   Auto mõõdik näitas 12 921. Kaks tundi hiljem näitas mõõtur taas numbrit, mis näitas mõlemas suunas sama. Millise kiirusega auto sõitis?

   Tädi Grusha müüb suvikõrvitsat. Ta müüb kolm suvikõrvitsat hinnaga 5 USD, 4 suvikõrvitsat hinnaga 6 USD, 5 suvikõrvitsat hinnaga 7 USD. Muus koguses tädi Grusha suvikõrvitsat ei müü. Eile müüs ta 100 suvikõrvitsat ja sai nende eest 160 dollarit. Kui palju müüki tädi Grusha eile tegi?

   Kuidas jagada kolme sirgjoonega ring 4, 5, 6, 7 osaks?

Vastused:

Oh oh

H H H

K K K K

A A A A A Vastus. 16 viisi

3) (13 031–12 921): 2 = 55 km/h

4) Las x müük 3 kabiini hinnaga 5 c.u., y müük - 4 kabiini hinnaga 6 c.u.,zmüük - 5 kabiini hinnaga 7 c.u.

3x + 4a + 5z = 100

5x + 6a + 7z = 160

15x + 20a + 25z = 500

15x + 18a + 21z= 480. Seega 2a + 4z= 20 või y + 2z= 10 võiy = 10–2 z

9x + 12a + 15z = 300

10x + 12a + 14z= 320. Seega x -z= 20 võix = 20 + z

Seega x + y +z = 20 + z + 10 - 2 z + z= 30. Vastus. kolmkümmend

matemaatikaolümpiaad. 5. klass

1. Kolm õuna, neli pirni ja üks virsik maksid 40 rubla. Üks õun, neli pirni ja virsik maksid 32 rubla. Kui palju on väärt üks õun, üks pirn ja üks virsik, kui virsik maksab sama palju kui kaks õuna?

2. Dešifreerige mõistatus:

CI N I C A

S I N I C A

____________

P T I C K I

3. Känguruema hüppab 3 meetrit 1 sekundiga ja tema väike poeg hüppab 1 meetri kõrgust poole sekundiga. Nad alustasid korraga basseinist sirgjooneliselt eukalüpti poole. Mitu sekundit ootab ema oma poega puu all, kui basseini ja puu kaugus on 240 meetrit?

4. Numbris 3 728 954 106 kriipsutage maha kolm numbrit, et ülejäänud numbrid samas järjekorras oleksid väikseim seitsmekohaline arv.

5. Neli õpilast - Vitya, Petya, Yura ja Sergei - saavutasid matemaatikaolümpiaadil neli esikohta. Küsimusele, mis kohtades nad asusid, vastati:

a) Petya - teine, Vitya - kolmas;

b) Sergei - teine, Petja - esimene;

c) Yura - teine, Vitya - neljas.

Märkige, kes millise koha võitis, kui igast vastusest on õige ainult üks osa. Põhjenda vastust.

Vastus.

Lahendus.

40 - 32 \u003d 8 (rubla) - on kaks õuna või üks virsik;

8:2 \u003d 4 (rubla) - üks õun maksab;

4 + 8 \u003d 12 (rubla) - on üks õun ja virsik;

32 - 12 \u003d 20 (rubla) - seal on neli pirni;

20:4 \u003d 5 (hõõruda) - seal on pirn.

Vastus: 4 rubla, 8 rubla, 5 rubla.

Lahendus.

342 457 + 342 457 = 684 914.

Lahendus.

1. samm: 240:3 = 80 (s) - ema Känguru hüppas;

2. samm: 1 sekundiga hüppab poeg 2 meetrit;

3 sammu: 80 × 2 = 160 (m) – känguru hüppab 80 sekundiga:

4. samm: 240-160 = 80 (m) - jääb üle känguru hüpata, kui ema oli juba eukalüpti all;

Etapp 5: 80:2 = 40 (s).

Vastus. 40 sekundit.

Vastus: 2 854 106.

Vastus: I - Petya, II - Yura, III - Vitya, IV - Sergei.

matemaatikaolümpiaad. 5. klass

Kõik joonisel kujutatud kolmnurgad on võrdsete külgedega. Iga ringi raadius on 2 cm. Ringid puudutavad üksteist ja ruudu külgi. Mis on paksu joonega tõmmatud "tärni" ümbermõõt?

Selles näites krüpteeritakse erinevad numbrid erinevate tähtedega. Määrake, milline võrdsus on krüptitud:VASTUS + VÄGA = LIHTNE

Kuidas paigutada seitse teemanti nelja identse karpi nii, et kõigi kastide kaal oleks sama, kui teemantide kaal on 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 grammi. Põhjenda vastust.

Kehalise kasvatuse tunnis seadsid poisid rivisse. Siis seisis iga kahe poisi vahel tüdruk. Kokku oli rivis 25 last. Mitu poissi oli rivis?

Kass Matroskin arvas, et ta võib ruudukujulise toa põranda ruudukujuliste plaatidega laotada ja tal poleks vaja neid lõigata. Esmalt pani ta plaadid ümber ruumi servade ja selle valmimiseks kulus 84 plaati. Mitu plaati peab tal kogu põranda katmiseks olema?

Vastused.

Lahendus. Iga kolmnurga külg on 2+2+2+2=8 cm, siis ümbermõõt on 8*8=64 cm. Vastus: 64 cm

Krüpteeritud võrdsus: 34214 + 35170 = 69384.

Teemantide ühe aktsia kaal on 7 g Vastus: 7 + (1 + 6) + (2 + 5) + (3 + 4).

Eemaldame parempoolseima poisi. Siis on poisid ja tüdrukud võrdsed

ehk kummalegi 12. Seega oli rivis 12 + 1 = 13 poissi.

Vastus. 484.

Piiril, arvestamata nurgaplaate, on 84 - 4 = 80 plaati. See tähendab, et mõlemal küljel on 20 plaati, arvestamata nurgaplaate, ja koos nurgaplaatidega on 22 plaati. Sellepärast

plaatide koguarv on 484.

matemaatikaolümpiaad. 5. klass

1. Antud on numbrid 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Asetage need nii, et nende summa kolmnurga mõlemal küljel oleks 20.

2. Kuidas paigutada raskused kaaluga 1, 2, ..., 9 g kolme kasti nii, et esimeses on kaks, teises kolm, kolmandas neli ja kastides olevate raskuste kogukaal on sama?

3. Paarisnumbrite poiss räägib alati tõtt ja paaritute numbrite puhul valetab. Kuidagi kolm novembripäeva järjest küsisid nad temalt: "Mis su nimi on?". Esimesel päeval vastas ta: "Andrey", teisel: "Boris", kolmandal: "Victor". Mis on poisi nimi? Selgitage, kuidas arutlesite.

4. Hiir, hiir ja juust kaaluvad kokku 180g. Hiir kaalub 100 g rohkem kui hiir ja juust kokku. Juust kaalub kolm korda vähem kui hiir. Kui palju igaüks neist kaalub? Vastus tuleb kinnitada arvutustega.

5. Seal on 24 pulka. Esimese pulga pikkus on 1 cm, teise 2 cm, ..., kakskümmend

neljas - 24 cm (iga järgmise pulga pikkus on 1 cm pikem kui eelmine). Kuidas teha kõigi nende pulkade abil kolm erinevat ruutu? Pulki ei saa murda, iga tikk peaks mahtuma ainult ühte ruutu.

Vastused.

Näiteks: 9 + 6; 8 + 5 + 2; 7 + 4 + 3 + 1.

Kaalude kogukaal on 45, seega igas kastis kogukaal

girek võrdub 15 g.

Boriss.

Lahendus. Kuna poiss andis kolm erinevat vastust, valetas ta vähemalt kaks korda. Sellepärast

kaks päeva kolmest, kui poisile küsimusi esitati, langesid paaritutele numbritele. Kuna kuu paaris ja paaritu päevad vahelduvad, pidid need olema esimene ja kolmas päev. Seega langes teine ​​päev paarisarvule. Sel päeval pani poiss oma õige nime.

Hiir - 140 g, juust - 10 g, hiir - 30 g.

Lahendus. Tingimusest järeldub, et hiire kahekordne kaal on 180 + 100 = 280g.

Seega on hiire kaal 140g. Siis kaaluvad hiir ja juust koos 180–140 \u003d 40 g. Ja kaal

juust on vastavalt seisundile võrdne veerandiga sellest kaalust.

Jagame pulgad kolme rühma: 1 kuni 8, 9 kuni 16, 17 kuni 24. Igas rühmas

Rühmas ühendame esimese pulga viimasega, teise eelviimasega, kolmanda otsast kolmandaga, ühendame ka ülejäänud kaks pulka. Igasse rühma saame neli ühesugust pulka, millest lisame ruudu. Saadud ruutude küljed: 9, 25, 41.

5.1. Kehalise kasvatuse tunnis seadsid poisid rivisse. Siis seisis iga kahe poisi vahel tüdruk. Kokku oli rivis 25 last. Mitu poissi oli rivis?

Vastus. 13. Otsus. Eemaldame parempoolseima poisi. Siis jagatakse poisid ja tüdrukud võrdselt ehk kumbagi 12. Seega oli rivis 12 + 1 = 13 poissi.

5.2. Asendage tähed A, B, C, D numbritega nii, et õige võrrand oleks AAAA + BBB + CC + D = 2014.

Vastus. 1111 + 888 + 11 + 4 = 2014.

5.3. Tehke kuus ristkülikut 7x1, 6x1, 5x1, 4x1, 3x1, 2x1 ja 1x1 ruut ristkülikuks, mille kumbki külg on suurem kui 1.

Lahendus. 6x1 ristkülikust ja 1x1 ruudust lisame 7x1 ristküliku. Samamoodi lisame 7x1 ristkülikud paaridest 5x1, 2x1 ja 4x1, 3x1 ristkülikud. Saadud neli 7x1 ristkülikut moodustavad 7x4 ristküliku.

5.4. Kell 9.00 lahkus Yura majast ja kõndis mööda sirget teed kiirusega 6 km/h. Mõne aja pärast pööras ta otsa ringi ja läks sama kiirusega koju. Kell 12.00 oli Yura kodust kahe kilomeetri kaugusel. Kui kaugel majast ta ümber pööras? Selgitage, kuidas vastus leiti.

Vastus. 10 km kaugusel. Lahendus. 3 tunniga, kella 9.00-12.00, kõndis Yura 18 km. Kui ta kõnnib veel kaks kilomeetrit, jõuab ta koju. See on 18 + 2 = 20 km. See on tee pöördepunktini ja tagasi. Seega keeras ta ümber 20:2 = 10 km kaugusel kodust. 5.5. Kass Matroskin arvas, et ta võib ruudukujulise toa põranda ruudukujuliste plaatidega laotada ja tal poleks vaja neid lõigata. Esmalt pani ta plaadid ümber ruumi servade ja selle valmimiseks kulus 84 plaati. Mitu plaati peab tal kogu põranda katmiseks olema? Vastus. 484.
Lahendus. Piiril, arvestamata nurgaplaate, on 84 - 4 = 80 plaati. Niisiis, igaühel
küljel on 20 plaati, arvestamata nurgaplaate, ja koos nurgaplaatidega - 22 plaati. Sellepärast
plaatide koguarv on 484.

Kuues klass

7.1. Vasjat külastasid tema klassikaaslased. Vasja ema küsis temalt, kui palju külalisi on tulnud. Vasya vastas: "Rohkem kui kuus," ja tema kõrval seisnud õde ütles: "Rohkem kui viis."
Kui palju külalisi oli, kui on teada, et üks vastus on õige ja teine ​​mitte?
Vastus. 6.
Lahendus. Oletame, et külalisi on tõepoolest rohkem kui kuus. Siis on õigus nii Vasjal kui ka tema õel ja see on vastuolus probleemi olukorraga. See tähendab, et külalisi ja Vasya pole rohkem kui kuus
vale. Aga siis peab õel õigus olema, muidu rikutakse jälle probleemi seisukorda. Seega on külalisi rohkem kui viis. Aga kui neid on üle viie ja mitte rohkem kui kuus, siis on täpselt kuus.
7.2. Kastis on 25 kg naelu. Kuidas mõõta 19 kg naelu kasutades kaalumispanni ja üks raskus 1 kg kahe kaalumise jaoks?
Lahendus. Esmakordsel kaalumisel paneme ühele kaalule raskuse ja asetame kõik naelad tassidesse nii, et tasakaal tekiks. Saame 13 ja 12 kg naelu.
Tõstsime esimese hunniku kõrvale ja jagame ülejäänud naelad pooleks, kaaludes ilma raskuseta: 12 = 6 + 6. Saime soovitud arvu naelu: 19 = 13 + 6
7.3. Petyal on neli pähklit. Ta võttis igal võimalikul viisil kolm pähklit ja kaalus need kaalule. Tuli välja 9 g, 14 g, 16 g ja 18 g Kui palju iga pähkel kaalus?
On vaja leida probleemile kõik lahendused ja tõestada, et teisi pole.
Vastus. 1, 3, 5, 10.
Lahendus. Summa 9 + 14 + 16 + 18 = 57 arvestatakse iga pähkli kaal kolm korda, mis tähendab, et kõigi pähklite kogukaal on 19 g. Erinevus 19 - 9 = 10 on ühe pähkli kaal. pähklid.
Samamoodi leiame ülejäänud pähklite kaalud.
7.4. Ruut koosneb ühest sisemisest ruudust (must) ja neljast võrdsest valgest ristkülikust (vt joonis 2). Iga ristküliku ümbermõõt on 40 cm. Otsi
musta ruudu pindala.
Riis. 2
Vastus. 400.
Lahendus. Ristküliku lühikese ja pikema külje pikkuste summa on 20. Kuid see summa on võrdne algse ruudu küljega.
7.5. Kas on võimalik rivistada 30 palli - valget, sinist ja punast - nii, et iga kahe järjestikuse palli seas on vähemalt üks valge, mis tahes kolme palli seas
järjest – vähemalt üks sinine ja iga viie järjestikuse järgu seas – vähemalt üks punane?
Selgitage vastust.
Vastus. See on keelatud.
Esimene otsus. Oletame, et see on võimalik. Võtame punase palli, mis ei asu äärel (seal on vähemalt üks viiest pallist alates 2. kuni 6.). Sellega külgnevad pallid peavad
ole valge, vastasel juhul on kaks naaberpalli, mille hulgas pole valgeid. See aga tähendab, et oleme leidnud kolm järjestikust palli, mille hulgas pole ühtegi sinist.
Teine lahendus. Olles jaganud 30 palli 15 paariks kõrvuti asetsevateks pallideks, veendume, et väljapandud pallide hulgas oleks vähemalt 15 valget. Jagades need 10 järjestikuseks kolmeks
pallid, veendume, et väljapandud pallide hulgas oleks vähemalt 10 sinist. Lõpuks, jagades need kuueks viieks järjestikuseks palliks, näeme, et väljapandud pallide hulgas pole ühtegi
vähem kui 6 punast. Selgub, et palli peaks olema vähemalt 15 + 10 + 6 = 31 ja neid on ainult 30.

Kaheksas klass

_8_klass_2014.doc Olümpiaadi koolivooru otsus 8. klass
8.1. Vasjal oli rahakotis natuke raha. Vasja pani oma rahakotti veel 49 rubla ja rahasumma tema rahakotis kasvas 99 korda. Kui palju Vasyal rahakotis raha oli?
Vastus. 49 rubla 50 kopikat.
Lahendus. Vasjal olgu alguses x rubla. Ülesande tingimusest saame, et x + 49 = 99x. Selle võrrandi lahendamisel saame x = 0,5 rubla = 50 kopikat.
8.2. Palke on 30 pikkusega 3 ja 4 m, mille kogupikkus on 100 m Mitu lõiget saab teha, et palgid 1 m pikkusteks plokkideks lõigata? (Iga lõige
saetud on täpselt üks palk.)
Vastus. 70.
Esimene otsus. Liimige kõik palgid üheks 100-meetriseks palgiks. 100 osaks jagamiseks tuleb teha 99 lõiget, millest 29 on juba tehtud
tehtud.
Teine otsus. Kui kolmemeetrist ja n neljameetrist palki oleks m + n = 30, 3m + 4n = 100, kust m = 20, n = 10. Seetõttu peate tegema 202 + 103 = 70
kärped.
8.3. Arv a on selline, et sirged y = ax + 1, y = x + a ja y = 3 on erinevad ja ristuvad ühes punktis. Mis võib olla a?
Vastus. a = 2.
Esimene otsus. Pange tähele, et x = 1 korral on ax + 1 = x + a = a + 1 täidetud, nii et punkt M (1; a + 1) on ühine sirgete y = ax + 1 ja y = x + a jaoks. Kuna sirge
on erinevad, M on nende ainus ühine punkt. Seetõttu peab seda läbima ka sirge y = 3, kust a + 1 = 3 ja a = 2. On lihtne näha, et a = 2 korral on kõik kolm sirget tõesti
erinev.
Teine lahendus. Tingimuse järgi on lõikepunktis a x + 1 = x + a  (a - 1)(x - 1) = 0, kust a = 1 või x = 1. Kuid juhtum a = 1 on võimatu, sest siis on esimene kaks rida
sobiks. Edasi vaidleme nagu esimeses lahenduses.