See artikkel on vastus kahele küsimusele: "Mis on" ja "Kuidas leida tasapinna punkti projektsiooni koordinaadid"? Esiteks antakse vajalik teave projektsiooni ja selle tüüpide kohta. Järgmisena on antud punkti projektsiooni definitsioon tasapinnale ja graafiline illustratsioon. Pärast seda saadi meetod punkti projektsiooni tasapinnale koordinaatide leidmiseks. Kokkuvõttes analüüsitakse näidete lahendusi, milles arvutatakse antud punkti projektsiooni koordinaadid antud tasapinnale.

Leheküljel navigeerimine.

Projektsioon, projektsiooni liigid - vajalik teave.

Ruumifiguure uurides on mugav kasutada joonisel nende kujutisi. Ruumikujundi joonis on nn projektsioon see kujund lennukile. Ruumikujundi tasapinnal kujutise konstrueerimise protsess toimub teatud reeglite järgi. Seega nimetatakse ruumilise kujundi tasapinnal kujutise koostamise protsessi koos reeglitega, mille järgi see protsess läbi viiakse, projektsioon figuurid sellel lennukil. Tasapinda, kuhu pilt on ehitatud, nimetatakse projektsioonitasand.

Olenevalt reeglitest, mille kohaselt projektsioon läbi viiakse, on olemas keskne ja paralleelprojektsioon. Me ei lasku üksikasjadesse, kuna see ei kuulu käesoleva artikli reguleerimisalasse.

Geomeetrias kasutatakse peamiselt paralleelprojektsiooni erijuhtu - risti projektsioon, mida nimetatakse ka ortogonaalne. Seda tüüpi projektsiooni nimetuses jäetakse sageli välja omadussõna "risti". See tähendab, et kui geomeetrias räägitakse kujundi projektsioonist tasapinnale, tähendab see tavaliselt, et see projektsioon saadi risti projektsiooni abil (muidugi, kui pole teisiti määratud).

Tuleb märkida, et kujundi projektsioon tasapinnale on selle kujundi kõigi punktide projektsioonide kogum projektsioonitasandile. Ehk siis teatud kujundi projektsiooni saamiseks on vaja osata leida selle kujundi punktide projektsioonid tasapinnale. Artikli järgmine lõik näitab lihtsalt, kuidas leida punkti projektsioon tasapinnale.

Punkti projekteerimine tasapinnale - definitsioon ja illustratsioon.

Rõhutame veel kord, et räägime punkti ristprojektsioonist tasapinnale.

Teeme konstruktsioone, mis aitavad meil määratleda punkti projektsiooni tasapinnale.

Olgu kolmemõõtmelises ruumis meile antud punkt M 1 ja tasapind. Joonistame tasapinnaga risti oleva sirge a läbi punkti M 1. Kui punkt M 1 ei asu tasapinnal, siis tähistame sirge a ja tasandi lõikepunkti kui H 1. Seega on konstruktsiooni järgi punkt H 1 punktist M 1 tasapinnale langetatud risti alus.

Definitsioon.

Punkti M 1 projektsioon tasapinnale on punkt M 1 ise, kui , või punkt H 1, kui .

Järgmine definitsioon on samaväärne selle punkti projektsiooni definitsiooniga tasapinnale.

Definitsioon.

Punkti projekteerimine tasapinnale- see on kas punkt ise, kui see asub antud tasapinnal, või sellest punktist antud tasapinnale langetatud risti alus.

Alloleval joonisel on punkt H 1 punkti M 1 projektsioon tasapinnale; punkt M 2 asub tasapinnal, seega M 2 on punkti M 2 enda projektsioon tasapinnale.

Tasapinnal oleva punkti projektsiooni koordinaatide leidmine - näidete lahendamine.

Olgu Oxyz kasutusele võetud kolmemõõtmelises ruumis, punktis ja lennuk. Seadke endale ülesandeks: määrata punkti M 1 projektsiooni koordinaadid tasapinnale.

Ülesande lahendus tuleneb loogiliselt punkti projektsiooni definitsioonist tasapinnale.

Tähistame punkti M 1 projektsiooni tasapinnale kui H 1 . Definitsiooni järgi on punkti projektsioon tasapinnale H 1 antud tasandi ja tasapinnaga risti läbiva punkti M 1 läbiva sirge a lõikepunkt. Seega on punkti M 1 tasapinnale projektsiooni soovitud koordinaadid sirge a ja tasandi lõikepunkti koordinaadid.

Järelikult punkti projektsiooni koordinaatide leidmiseks lennukis vajate:

Vaatleme näiteid.

Näide.

Leidke punkti projektsiooni koordinaadid lennukile .

Lahendus.

Ülesande tingimuses on meile antud vormi tasandi üldvõrrand , seega pole seda vaja koostada.

Kirjutame üles antud tasapinnaga risti punkti M 1 läbiva sirge a kanoonilised võrrandid. Selleks saame sirge a suunavektori koordinaadid. Kuna sirge a on antud tasapinnaga risti, siis on sirge a suunavektor tasandi normaalvektor . See on, - sirge a suunav vektor . Nüüd saame kirjutada punkti läbiva ruumi sirge kanoonilised võrrandid ja sellel on suunavektor :
.

Punkti tasapinnale projektsiooni nõutavate koordinaatide saamiseks tuleb määrata sirge lõikepunkti koordinaadid ja lennuk . Selleks läheme sirge kanoonilistest võrranditest kahe lõikuva tasandi võrranditele, koostame võrrandisüsteemi ja leida sellele lahendus. Me kasutame:

Seega punkti projektsioon lennukile on koordinaadid.

Vastus:

Näide.

Ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxyz kolmemõõtmelises ruumis, punktid ja . Määrata punkti M 1 projektsiooni koordinaadid tasapinnale ABC.

Lahendus.

Kirjutame kõigepealt kolme antud punkti läbiva tasandi võrrandi:

Kuid vaatame alternatiivset lähenemisviisi.

Saame punkti läbiva sirge a parameetrilised võrrandid ja risti tasapinnaga ABC. Tasapinna normaalvektoril on koordinaadid, seega vektor on sirge a suunavektor. Nüüd saame kirjutada ruumi sirge parameetrilised võrrandid, kuna me teame sirge punkti koordinaate ( ) ja selle suunavektori koordinaadid ( ):

Jääb üle määrata sirge lõikepunkti koordinaadid ja lennukid. Selleks asendame tasandi võrrandiga:
.

Nüüd parameetriliste võrrandite järgi arvutage muutujate x , y ja z väärtused:
.

Seega on punkti M 1 projektsioonil tasapinnale ABC koordinaadid.

Vastus:

Kokkuvõtteks käsitleme mõne punkti projektsiooni koordinaatide leidmist koordinaattasanditel ja koordinaattasanditega paralleelsetel tasapindadel.

punktprojektsioonid koordinaattasanditele Oxy , Oxz ja Oyz on koordinaatidega punktid ja vastavalt. Ja punkti projektsioonid lennukis ja , mis on paralleelsed koordinaattasanditega vastavalt Oxy , Oxz ja Oyz, on koordinaatidega punktid ja .

Näitame, kuidas need tulemused saadi.

Näiteks leiame punkti projektsiooni lennukile (teised juhtumid on sarnased).

See tasand on paralleelne koordinaattasandiga Oyz ja on selle normaalvektor. Vektor on Oyzi tasapinnaga risti oleva sirge suunavektor. Siis on antud tasapinnaga risti kulgeva punkti M 1 läbiva sirge parameetrilised võrrandid kujul .

Leia sirge ja tasandi lõikepunkti koordinaadid. Selleks asendame esmalt võrdusvõrrandiga: , ja punkti projektsiooni

Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Kõrgem matemaatika. Esimene köide: Lineaaralgebra ja analüütilise geomeetria elemendid.

Iljin V.A., Poznyak E.G. Analüütiline geomeetria.

Punktil kui matemaatilisel mõistel pole mõõtmeid. Ilmselgelt, kui projektsiooniobjekt on nullmõõtmeline objekt, siis on selle projektsioonist mõttetu rääkida.

Joon.9 Joon.10

Punkti all olevas geomeetrias on soovitatav võtta füüsiline objekt, millel on lineaarsed mõõtmed. Tavapäraselt võib punktiks võtta lõpmata väikese raadiusega kuuli. Sellise punkti mõiste tõlgendusega saame rääkida selle projektsioonidest.

Punkti ortogonaalprojektsioonide koostamisel tuleks juhinduda ortogonaalprojektsiooni esimesest muutumatust omadusest: punkti ortogonaalprojektsioon on punkt.

Punkti asukoht ruumis määratakse kolme koordinaadiga: X, Y, Z, mis näitab kaugusi, mille juures punkt projektsioontasanditest eemaldatakse. Nende kauguste määramiseks piisab, kui määrata nende joonte kohtumispunktid projektsioonitasanditega ja mõõta vastavaid väärtusi, mis näitavad vastavalt abstsissi väärtusi. X, ordinaadid Y ja aplikatsioonid Z punktid (joonis 10).

Punkti projektsioon on punktist vastavale projektsioonitasapinnale langetatud risti alus. Horisontaalne projektsioon punktid a nimetada punkti ristkülikukujuliseks projektsiooniks projektsioonide horisontaaltasandil, frontaalprojektsioon a /- vastavalt projektsioonide esitasandil ja profiil a // – profiilprojektsiooni tasapinnal.

Otsene Aa, Aa / ja Aa // nimetatakse projekteerivateks joonteks. Samal ajal otsene Ah, väljaulatuv punkt AGA projektsioonide horisontaaltasandil, nn horisontaalselt väljaulatuv joon, Аa / ja Aa //- vastavalt: frontaalselt ja profiili eenduvad sirgjooned.

Kaks punkti läbivat eenduvat sirget AGA defineerida tasapind, mida nimetatakse projitseerimine.

Ruumilise paigutuse teisendamisel punkti frontaalprojektsioon A - a / jääb paigale kuuluvana tasapinnale, mis ei muuda oma asukohta vaadeldava teisenduse korral. Horisontaalne projektsioon - a koos horisontaalse projektsioonitasapinnaga pöördub päripäeva liikumise suunas ja asub teljega risti X eesmise projektsiooniga. Profiili projektsioon – a // pöörleb koos profiiltasandiga ja võtab teisenduse lõpuks joonisel 10 näidatud asendi. Samal ajal - a // on teljega risti Z punktist tõmmatud a / ja eemaldatakse teljelt Z samale kaugusele kui horisontaalprojektsioon a teljest eemal X. Seetõttu saab punkti horisontaal- ja profiilprojektsiooni vahelise ühenduse luua kahe ristsuunalise lõigu abil aa y ja a y a // ja telgede lõikepunktis tsentreeritud ringi konjugeeriv kaar ( O- päritolu). Märgitud ühendust kasutatakse puuduva projektsiooni leidmiseks (kahe etteantud puhul). Profiili (horisontaalse) projektsiooni asukoha vastavalt antud horisontaal- (profiil) ja frontaalprojektsioonidele saab leida sirge abil, mis on tõmmatud 45 0 nurga all lähtepunktist telje suunas Y(seda poolitajat nimetatakse sirgeks) k on Monge'i konstant). Eelistatav on esimene neist meetoditest, kuna see on täpsem.

Seetõttu:

1. Ruumipunkt eemaldatud:

horisontaaltasapinnast H Z,

frontaaltasandist V antud koordinaadi väärtuse järgi jah

profiiltasandist W koordinaadi väärtuse järgi. x.

2. Suvalise punkti kaks projektsiooni kuuluvad samasse risti (üks ühendusjoon):

horisontaalne ja eesmine - teljega risti x,

horisontaalne ja profiil - Y-teljega risti,

esiosa ja profiil - risti Z-teljega.

3. Punkti asukoha ruumis määrab täielikult tema kahe ristprojektsiooni asukoht. Seetõttu - mis tahes punkti kahest etteantud ortogonaalprojektsioonist on alati võimalik konstrueerida selle puuduv kolmas projektsioon.

Kui punktil on kolm kindlat koordinaati, siis sellist punkti nimetatakse punkt üldasendis. Kui punktil on üks või kaks koordinaati, mis on võrdne nulliga, siis nimetatakse sellist punkti erapositsiooni punkt.

Riis. 11 Joon. 12

Joonisel 11 on kujutatud konkreetse asukoha punktide ruumilist joonist, joonisel 12 on nende punktide kompleksjoonis (skeemid). Punkt AGA kuulub frontaalprojektsiooni tasapinnale, punkt AT– projektsioonide horisontaaltasand, punkt FROM– projektsioonide ja punkti profiiltasand D– abstsisstelg ( X).

Mitmejoonise abijoon

Joonisel fig. 4,7, a, joonistatakse projektsiooniteljed ja kujutised on omavahel sideliinidega ühendatud. Horisontaalsed ja profiilprojektsioonid on ühendatud sideliinidega, kasutades punktis tsentreeritud kaare O telgede ristumiskohad. Praktikas kasutatakse aga ka teist integreeritud joonise teostust.

Teljeta joonistel paigutatakse kujutised ka projektsioonisuhtesse. Kolmanda projektsiooni saab aga asetada lähemale või kaugemale. Näiteks võib profiilprojektsiooni paigutada paremale (joonis 4.7, b, II) või vasakule (joonis 4.7, b, I). See on oluline ruumi säästmiseks ja suuruse hõlbustamiseks.

Riis. 4.7.

Kui teljeta süsteemi järgi tehtud joonisel on vaja joonestada sideliinid pealtvaate ja vasakpoolse vaate vahele, siis kasutatakse kompleksjoonise abisirget. Selleks tõmmatakse ligikaudu pealtvaate tasemele ja sellest veidi paremale joonistusraami suhtes 45° nurga all sirgjoon (joonis 4.8, a). Seda nimetatakse kompleksjoonise abijooneks. Selle sirgjoone abil joonise koostamise protseduur on näidatud joonisel fig. 4,8, b, c.

Kui kolm vaadet on juba ehitatud (joon. 4.8, d), siis ei saa abiliini asukohta suvaliselt valida. Kõigepealt peate leidma punkti, mille kaudu see läbib. Selleks piisab, kui jätkata horisontaal- ja profiilprojektsiooni sümmeetriatelje vastastikuse ristumiskohani ja läbi saadud punkti k tõmmake sirge segment 45 ° nurga all (joonis 4.8, d). Kui sümmeetriateljed puuduvad, siis jätkake kuni ristumiskohani punktis k 1 mis tahes näo horisontaal- ja profiilprojektsioonid, mis on projekteeritud sirgjoonena (joonis 4.8, d).

Riis. 4.8.

Sideliinide ja sellest tulenevalt ka abisirge joonestamise vajadus tekib puuduvate projektsioonide konstrueerimisel ja jooniste tegemisel, millel on vaja määrata punktide projektsioonid, et selgitada detaili üksikute elementide projektsioone.

Abiliini kasutamise näited on toodud järgmises lõigus.

Objekti pinnal asuva punkti projektsioonid

Selleks, et jooniste tegemisel õigesti ehitada detaili üksikute elementide projektsioone, tuleb osata leida üksikute punktide projektsioone kõigil joonistuspiltidel. Näiteks on raske joonistada joonisel fig. 4.9 üksikute punktide projektsioone kasutamata ( A, B, C, D, E ja jne). Oskus leida kõik punktide, servade, tahkude projektsioonid on vajalik ka selleks, et kujutluses taastada objekti kuju vastavalt selle tasapinnalistele kujutistele joonisel, samuti kontrollida valminud joonise õigsust.

Riis. 4.9.

Vaatleme võimalusi objekti pinnal antud punkti teise ja kolmanda projektsiooni leidmiseks.

Kui objekti joonisel on antud punkti üks projektsioon, siis tuleb esmalt leida selle pinna projektsioonid, millel see punkt asub. Seejärel valige probleemi lahendamiseks üks kahest allpool kirjeldatud meetodist.

Esimene viis

Seda meetodit kasutatakse juhul, kui vähemalt üks projektsioon näitab antud pinda joonena.

Joonisel fig. 4.10, a on näidatud silinder, mille esiprojektsioon on seatud a" punktid AGA, lamades selle pinna nähtaval osal (antud projektsioonid on tähistatud topeltvärviliste ringidega). Punkti horisontaalse projektsiooni leidmiseks AGA, nad vaidlevad järgmiselt: punkt asub silindri pinnal, mille horisontaalprojektsioon on ring. See tähendab, et sellel pinnal asuva punkti projektsioon asub ka ringil. Joonistage sideliin ja märkige soovitud punkt selle ristumiskohas ringiga a. kolmas projektsioon a"

Riis. 4.10.

Kui punkt AT, lamades silindri ülemisel alusel, lähtudes selle horisontaalsest projektsioonist b, seejärel tõmmatakse sideliinid ristumiskohani sirgjooneliste segmentidega, mis kujutavad silindri ülemise aluse esi- ja profiilprojektsioone.

Joonisel fig. 4.10, b näitab detaili – rõhuasetus. Punkti projektsioonide konstrueerimine AGA, antud selle horisontaalprojektsiooniga a, leidke kaks muud ülemise näo projektsiooni (millel asub punkt AGA) ja tõmmates ühendusjooned ristumiskohani seda nägu kujutavate joonelõikudega, määrake soovitud projektsioonid - punktid a" ja a". Punkt AT asub vasakpoolsel vertikaalsel küljel, mis tähendab, et selle väljaulatuvad osad asuvad ka selle näo projektsioonidel. Seega antud punktist b" tõmmake sideliine (nagu on näidatud nooltega), kuni need kohtuvad seda nägu kujutavate joonelõikudega. eesmine projektsioon koos" punktid FROM, kallutatud (ruumis) näo peal lamavad isikud on seda nägu kujutaval joonel ja profiil koos"- ühendusjoone ristumiskohas, kuna selle näo profiilprojektsioon ei ole joon, vaid kujund. Punktprojektsioonide ehitamine D näidatud nooltega.

Teine viis

Seda meetodit kasutatakse juhul, kui esimest meetodit ei saa kasutada. Siis peaksite tegema järgmist:

• joonestada läbi punkti etteantud projektsiooni antud pinnal paikneva abisirge projektsioon;
• leida selle sirge teine ​​projektsioon;
• sirge leitud projektsioonile kanna antud punkti projektsioon (see määrab punkti teise projektsiooni);
• leidke kolmas projektsioon (vajadusel) sideliinide ristumiskohas.

Joonisel fig. 4.10, on antud frontaalprojektsioon a" punktid AGA, lamades koonuse pinna nähtaval osal. Punkti läbiva horisontaalprojektsiooni leidmiseks a" teostada punkti läbiva abisirge frontaalprojektsioon AGA ja koonuse ülaosa. Võta punkt V on tõmmatud joone ja koonuse põhjaga kokkupuutepunkti projektsioon. Omades sirgel asuvate punktide esiprojektsioone, saab leida nende horisontaalprojektsioonid. Horisontaalne projektsioon s koonuse tipp on teada. Punkt b asub aluse ümbermõõdul. Läbi nende punktide tõmmatakse sirglõik ja sinna kantakse üle punkt (nagu on näidatud noolega). a", punkti saamine a. Kolmas projektsioon a" punktid AGA mis asub ristteel.

Sama probleemi saab lahendada erinevalt (joon. 4.10, G).

Punkti läbiva abisirgena AGA, nad ei võta sirgjoont, nagu esimesel juhul, vaid ringi. See ring moodustub, kui punktis AGA lõikuvad koonuse alusega paralleelse tasapinnaga, nagu on näidatud visuaalsel kujutisel. Selle ringi esiprojektsioon on kujutatud sirgjoonelise segmendina, kuna ringi tasapind on frontaalprojektsiooni tasapinnaga risti. Ringi horisontaalprojektsiooni läbimõõt on võrdne selle segmendi pikkusega. Kirjeldades määratud läbimõõduga ringi, tõmmake punktist a"ühendusjoon abiringiga ristumiskohani, kuna horisontaalprojektsioon a punktid AGA asub abiliinil, st. ehitatud ringil. kolmas projektsioon nagu" punktid AGA leitud sideliinide ristumiskohas.

Samamoodi võite leida pinnal, näiteks püramiidil, asuva punkti projektsioonid. Erinevus seisneb selles, et kui seda läbib horisontaaltasapind, ei moodustu mitte ring, vaid alusega sarnane kujund.

Eesmärgid:

• Objekti pinnal asuvate punktide projektsioonide koostamise ja jooniste lugemise reeglitega tutvumine.
• Arendada ruumilist mõtlemist, oskust analüüsida objekti geomeetrilist kuju.
• Kasvatada töökust, koostöövõimet grupis töötades, huvi aine vastu.

TUNNIDE AJAL

MA LAVA. ÕPPETEGEVUSE MOTIVEERIMINE.

II ETAPP. TEADMISTE, OSKUSTE JA OSKUSTE KUJUNDAMINE.

TERVIST SÄÄSTEV PAUS. Peegeldus (TUJU)

III ETAPP. INDIVIDUAALTÖÖ.

MA LAVA. ÕPPETEGEVUSE MOTIVEERIMINE

1) Õpetaja: Kontrollige oma töökohta, kas kõik on paigas? Kas kõik on valmis minema?

HINGAS SÜGAVALT, HOIA HINGA VÄLJAVÄLJASEL, VÄLJA VÄLJA.

Määrake oma meeleolu tunni alguses vastavalt skeemile (selline skeem on laual kõigile)

MA SOOVIN SULLE EDU.

2)Õpetaja: Praktiline töö teemal “ Tipude, servade, nägude projektsioonid” näitas, et on tüüpe, kes projitseerimisel eksivad. Nad satuvad segadusse, milline kahest joonise sobituspunktist on nähtav tipp ja milline nähtamatu; kui serv on tasapinnaga paralleelne ja kui see on risti. Sama asi servadega.

Vigade kordumise vältimiseks täitke nõustamiskaardi abil vajalikud ülesanded ja parandage praktilises töös (käsitsi) vead. Ja töötades pidage meeles:

"KÕIK VÕIVAD VEDA, JÄÄGE OMA VEA JUURDE – AINULT HULLUD".

Ja need, kes on teema hästi omandanud, töötavad rühmades loovate ülesannetega (vt. Lisa 1 ).

II ETAPP. TEADMISTE, OSKUSTE JA OSKUSTE KUJUNDAMINE

1)Õpetaja: Tootmises on palju osi, mis on teatud viisil üksteise külge kinnitatud.
Näiteks:
Töölaua kate on kinnitatud vertikaalsete postide külge. Pöörake tähelepanu lauale, mille ääres olete, kuidas ja millega kaas ja nagid üksteise külge kinnitatakse?

Vastus: Polt.

Õpetaja: Mida on poldi jaoks vaja?

Vastus: Auk.

Õpetaja: Tõesti. Ja augu tegemiseks peate teadma selle asukohta tootel. Laua valmistamisel ei saa tisler iga kord kliendiga ühendust võtta. Niisiis, milleks on vaja puuseppa pakkuda?

Vastus: Joonistamine.

Õpetaja: Joonistamine!? Mida me nimetame joonistuseks?

Vastus: Joonis on objekti kujutis projektsiooniühenduses ristkülikukujuliste projektsioonidega. Joonise järgi saate kujutada toote geomeetrilist kuju ja kujundust.

Õpetaja: Oleme täitnud ristkülikukujulised projektsioonid ja siis? Kas me saame ühe projektsiooni järgi määrata aukude asukoha? Mida me veel teadma peame? Mida õppida?

Vastus: Ehitage punkte. Leidke kõigis vaadetes nende punktide projektsioonid.

Õpetaja: Hästi tehtud! See on meie tunni eesmärk ja teema: Punktide projektsioonide ehitamine objekti pinnale. Kirjuta tunni teema vihikusse.
Sina ja mina teame, et mis tahes punkt või segment objekti kujutisel on tipu, serva, näo projektsioon, st. iga vaade on pilt mitte ühest küljest (ch. vaade, pealtvaade, vasakvaade), vaid kogu objekt.
Selleks, et õigesti leida nägudel asuvate üksikute punktide projektsioonid, peate esmalt leidma selle näo projektsioonid ja seejärel kasutama punktide projektsioone ühendusjoonte abil.

(Vaatame tahvlil olevat joonist, töötame vihikus, kus tehakse kodus 3 samast detailist projektsiooni).

- Avas valmis joonisega märkmiku (Selgitus objekti pinnal olevate punktide ehitamise kohta koos juhtküsimustega tahvlil ja õpilased fikseerivad selle vihikusse.)

Õpetaja: Kaaluge punkti AT. Millise tasapinnaga on selle punktiga paralleelne tahk?

Vastus: Nägu on paralleelne frontaaltasandiga.

Õpetaja: Määrame punkti projektsiooni b' frontaalprojektsioonis. Joonista punktist allapoole b' vertikaalne sideliin horisontaalprojektsiooniga. Kuhu jääb punkti horisontaalprojektsioon? AT?

Vastus: Ristumiskohas näo horisontaalse projektsiooniga, mis oli projitseeritud serva. Ja on projektsiooni (vaate) allosas.

Õpetaja: Punkti profiilprojektsioon b'' kus see asuma hakkab? Kuidas me selle leiame?

Vastus: Alates horisontaalse sideliini ristumiskohas b' vertikaalse servaga paremal. See serv on näo projektsioon koos punktiga AT.

JUHATUSSE KUTSUTAKSE NEED, KES SOOVIVAD EHITADA PUNKTI JÄRGMISE PROJEKTSIOONI.

Õpetaja: Punktide projektsioonid AGA asuvad ka sideliine kasutades. Milline tasapind on paralleelne punktiga servaga AGA?

Vastus: Nägu on paralleelne profiili tasapinnaga. Panime punkti profiili projektsioonile a'' .

Õpetaja: Millisele projektsioonile projitseeritakse nägu serva?

Vastus: Esiküljel ja horisontaalselt. Tõmbame horisontaalse ühendusjoone ristmikuni vertikaalse servaga frontaalprojektsioonil vasakule, saame punkti a' .

Õpetaja: Kuidas leida punkti projektsioon AGA horisontaalses projektsioonis? Sideliinid ju punktide projektsioonist a' ja a'' ära lõiku näo (serva) projektsiooni vasakpoolsel horisontaalprojektsioonil. Mis saab meid aidata?

Vastus: Võite kasutada pidevat sirgjoont (see määrab vasakpoolse vaate asukoha) alates a'' tõmmake vertikaalne sidejoon, kuni see lõikub pideva sirgjoonega. Ristumispunktist tõmmatakse horisontaalne sidejoon, kuni see ristub vasakul asuva vertikaalse servaga. (See on nägu punktiga A) ja tähistab projektsiooni punktiga a .

2) Õpetaja: Kõigil on laual ülesannete kaart, millele on kinnitatud jälituspaber. Mõelge joonisele, proovige nüüd iseseisvalt, ilma projektsioone ümber joonistamata, et leida joonisel antud punktide projektsioonid.

– Leia õpikust lk 76 joon. 93. Pane ennast proovile. Kes sooritas õigesti – skoor "5" "; üks viga - "4"; kaks - "3".

(Hinde panevad õpilased ise enesekontrollilehes).

- Koguge testimiseks kaarte.

3)Rühmatöö: Piiratud aeg: 4 min. + 2 min. kontrollid. (Kaks õpilastega töölauda kombineeritakse ja rühma sees valitakse juht).

Iga rühma jaoks on ülesanded jagatud 3 tasemele. Õpilased valivad ülesandeid tasemete järgi (vastavalt soovile). Lahendage punktide ehitamise ülesandeid. Arutage ehitamist juhi järelevalve all. Seejärel kuvatakse õige vastus koodoskoobi abil tahvlile. Kõik kontrollivad, kas punktid on õigesti projitseeritud. Rühmajuhi abiga antakse hindeid ülesannetele ja enesekontrollilehtedele (vt. Lisa 2 ja Lisa 3 ).

TERVIST SÄÄSTEV PAUS. Peegeldus

"Vaarao poos"- istuge tooli servale, sirutage selg, painutage käed küünarnukist, ajage jalad risti ja pange varbad selga. Hingake sisse, pingutage hinge kinni hoides kõiki keha lihaseid, hingake välja. Tehke 2-3 korda. Sulgege silmad tihedalt, tähtede poole, avage. Märkige oma tuju.

III ETAPP. PRAKTILINE OSA. (Individuaalsed ülesanded)

Valikus on erinevate tasemetega ülesannete kaardid. Õpilased valivad oma valiku ise. Leia punktide projektsioonid objekti pinnal. Tööd antakse üle ja hinnatakse järgmiseks tunniks. (cm. 4. lisa , 5. lisa , 6. lisa ).

IV ETAPP. FINAL

1) Kodutöö ülesanne. (Juhend). Esitatakse tasemete järgi:

B - mõistmine, "3" peal. Harjutus 1 fig. 94a lk 77 - vastavalt õpiku ülesandele: täiendage nendel projektsioonidel puuduvad punktide projektsioonid.

B - taotlus, peal "4". Harjutus 1 Joonis 94 a, b. täienda puuduvad projektsioonid ja märgi tipud visuaalsele kujutisele 94a ja 94b.

A - analüüs, "5" peal. (Suurenenud raskused.) Nt. 4 joon.97 - koostage punktide puuduvad projektsioonid ja tähistage need tähtedega. Visuaalne pilt puudub.

2)Peegeldav analüüs.

1. Määrake tunni lõpus meeleolu, märkige see enesekontrollilehele mis tahes märgiga.
2. Mida uut sa täna tunnis õppisid?
3. Milline töövorm on teie jaoks kõige tõhusam: grupitöö, individuaalne ja kas soovite, et see korduks järgmises tunnis?
4. Koguge kontrollnimekirju.

3)"Vale õpetaja"

Õpetaja: Olete õppinud, kuidas ehitada objekti pinnale tippude, servade, tahkude ja punktide projektsioone, järgides kõiki ehitusreegleid. Aga siin anti sulle joonis, kus on vigu. Nüüd proovige ennast õpetajana. Leia vead ise, kui leiad kõik 8–6 viga, siis on hindeks vastavalt “5”; 5–4 viga - "4", 3 viga - "3".

Vastused:

Mõelge projektsioonide profiiltasandile. Projektsioonid kahel risti asetseval tasapinnal määravad tavaliselt kujundi asukoha ja võimaldavad välja selgitada selle tegelikud mõõtmed ja kuju. Kuid on aegu, mil kahest prognoosist ei piisa. Seejärel rakendage kolmanda projektsiooni konstruktsiooni.

Kolmas projektsioonitasand viiakse läbi nii, et see on mõlema projektsioonitasandiga korraga risti (joonis 15). Kolmandat lennukit nimetatakse profiil.

Sellistes konstruktsioonides nimetatakse horisontaal- ja frontaaltasandi ühisjoont telg X , horisontaal- ja profiiltasandi ühisjoon - telg juures , ning esi- ja profiiltasandi ühine sirgjoon - telg z . Punkt O, mis kuulub kõigile kolmele tasapinnale, nimetatakse lähtepunktiks.

Joonis 15a näitab punkti AGA ja kolm selle projektsiooni. Projektsioon profiiltasandile ( a) kutsutakse profiili projektsioon ja tähistada a.

Punkti A diagrammi saamiseks, mis koosneb kolmest projektsioonist a, a a, on vaja lõigata kolmnurk, mille moodustavad kõik y-telje tasandid (joonis 15b) ja ühendada kõik need tasapinnad frontaalprojektsiooni tasapinnaga. Horisontaaltasapinda tuleb pöörata ümber telje X, ja profiilitasand on telje lähedal z noolega näidatud suunas joonisel 15.

Joonisel 16 on näidatud väljaulatuvate osade asukoht a, a ja a punktid AGA, mis saadakse kõigi kolme tasapinna kombineerimisel joonistustasandiga.

Lõike tulemusena tekib y-telg diagrammil kahes erinevas kohas. Horisontaaltasandil (joonis 16) võtab see vertikaalse asendi (risti teljega). X) ja profiili tasapinnal - horisontaalne (risti teljega z).

Joonisel 16 on näidatud kolm projektsiooni a, a ja a punktidel A on diagrammil rangelt määratletud asukoht ja nende suhtes kehtivad ühemõttelised tingimused:

a ja a peab alati asuma ühel vertikaalsel sirgel, mis on teljega risti X;

a ja a peab alati asuma samal horisontaalsel joonel, mis on teljega risti z;

3) tõmmates läbi horisontaalprojektsiooni ja horisontaaljoone, kuid läbi profiilprojektsiooni a- vertikaalne sirgjoon, konstrueeritud jooned lõikuvad tingimata projektsioonitelgede vahelise nurga poolitaja, kuna joonis Oa juures a 0 a n on ruut.

Punkti kolme projektsiooni koostamisel on vaja kontrollida iga punkti kõigi kolme tingimuse täitmist.

Punktide koordinaadid

Punkti asukohta ruumis saab määrata kolme numbri abil, mida nimetatakse punktiks koordinaadid. Iga koordinaat vastab punkti kaugusele mingist projektsioonitasandist.

Punkti kaugus AGA profiili tasapinnale on koordinaat X, kus X = a˝A(joon. 15), kaugus frontaaltasandist - koordinaadi y järgi ja y = aa, ja kaugus horisontaaltasapinnast on koordinaat z, kus z = aA.

Joonisel 15 on punkt A ristkülikukujulise kasti laiune ja selle kasti mõõdud vastavad selle punkti koordinaatidele, st kõik koordinaadid on joonisel 15 esitatud neli korda, st:

x = a˝A = Oa x = a y a = a z á;

y = а́А = Оа y = a x a = a z a˝;

z = aA = Oa z = a x a′ = a y a˝.

Diagrammil (joonis 16) esinevad x- ja z-koordinaadid kolm korda:

x \u003d a z a ́ \u003d Oa x \u003d a y a,

z = a x á = Oa z = a y a˝.

Kõik lõigud, mis vastavad koordinaadile X(või z) on üksteisega paralleelsed. Koordineerida juures püstitatud kaks korda vertikaalteljega:

y \u003d Oa y \u003d a x a

ja kaks korda - asub horisontaalselt:

y \u003d Oa y \u003d a z a˝.

See erinevus ilmnes seetõttu, et y-telg on diagrammil kahes erinevas asendis.

Tuleb märkida, et iga projektsiooni asukoht määratakse diagrammil ainult kahe koordinaadiga, nimelt:

1) horisontaalne - koordinaadid X ja juures,

2) frontaalne - koordinaadid x ja z,

3) profiil - koordinaadid juures ja z.

Koordinaatide kasutamine x, y ja z, saate diagrammile luua punkti projektsioonid.

Kui punkt A on antud koordinaatidega, defineeritakse nende kirje järgmiselt: A ( X; y; z).

Punktprojektsioonide koostamisel AGA tuleb kontrollida järgmisi tingimusi:

1) horisontaalsed ja frontaalprojektsioonid a ja a X X;

2) frontaal- ja profiilprojektsioonid a ja a peaks asuma teljega samal risti z, kuna neil on ühine koordinaat z;

3) horisontaalprojektsioon ja ka teljelt eemaldatud X, nagu profiilprojektsioon a teljest eemal z, kuna projektsioonidel a′ ja a˝ on ühine koordinaat juures.

Kui punkt asub mõnel projektsioonitasandil, on üks selle koordinaatidest võrdne nulliga.

Kui punkt asub projektsiooniteljel, on selle kaks koordinaati null.

Kui punkt asub lähtepunktis, on kõik selle kolm koordinaati null.

Sirge projektsioon

Joone määratlemiseks on vaja kahte punkti. Punkt on määratletud kahe projektsiooniga horisontaal- ja esitasandil, st sirgjoon määratakse selle kahe punkti projektsioonide abil horisontaal- ja frontaaltasandil.

Joonis 17 näitab projektsioone ( a ja a, b ja b) kaks punkti AGA ja B. Nende abiga mõne sirgjoone asukoht AB. Nende punktide samanimeliste projektsioonide ühendamisel (st. a ja b, a ja b) saate prognoose ab ja ab otsene AB.

Joonisel 18 on kujutatud mõlema punkti projektsioonid ja joonisel 19 on kujutatud neid läbiva sirge projektsioonid.

Kui sirge projektsioonid on määratud selle kahe punkti projektsioonidega, tähistatakse neid kahe kõrvuti asetseva ladina tähega, mis vastavad sirgjoonel võetud punktide projektsioonide tähistele: tõmmetega, mis näitavad sirgjoone esiprojektsiooni. sirgjoon või ilma löökideta - horisontaalprojektsiooni jaoks.

Kui võtta arvesse mitte sirge üksikuid punkte, vaid selle projektsioone tervikuna, siis on need projektsioonid tähistatud numbritega.

Kui mingil hetkel FROM asub sirgjoonel AB, selle projektsioonid с ja с́ on sama sirge projektsioonidel ab ja ab. Joonis 19 illustreerib seda olukorda.

Sirged jäljed

jälgi otse- see on selle lõikepunkt mõne tasapinna või pinnaga (joonis 20).

Horisontaalne rada sirge mõnda punkti nimetatakse H kus joon kohtub horisontaaltasapinnaga ja eesmine- punkt V, milles see sirgjoon kohtub frontaaltasandiga (joonis 20).

Joonisel fig 21a on kujutatud sirge horisontaalne joon ja selle esikülg joonisel 21b.

Mõnikord arvestatakse ka sirgjoone profiilijälge, W- sirge ja profiiltasandi lõikepunkt.

Horisontaalne jälg on horisontaaltasandil, st selle horisontaalprojektsioonis h langeb kokku selle jäljega ja esiosa h asub x-teljel. Frontaaljälg asub frontaaltasandil, seega kattub selle frontaalprojektsioon ν́ sellega ja horisontaaljoon v asub x-teljel.

Niisiis, H = h, ja V= v. Seetõttu võib sirgjoone jälgede tähistamiseks kasutada tähti h ja v.

Liini erinevad asendid

Sirget nimetatakse otsene üldine positsioon, kui see ei ole paralleelne ega risti ühegi projektsioonitasandiga. Üldasendis oleva sirge projektsioonid ei ole samuti projektsioonitelgedega paralleelsed ega risti.

Sirged, mis on paralleelsed ühe projektsioonitasandiga (risti ühe teljega). Joonisel fig 22 on kujutatud sirgjoont, mis on paralleelne horisontaaltasapinnaga (risti z-teljega), on horisontaalne sirgjoon; joonisel 23 on kujutatud sirgjoon, mis on paralleelne otsmikutasandiga (risti teljega juures), on frontaalsirge; joonisel 24 on kujutatud sirgjoont, mis on paralleelne profiilitasandiga (risti teljega X), on profiili sirgjoon. Hoolimata asjaolust, et kõik need jooned moodustavad ühe teljega täisnurga, ei ristu nad sellega, vaid ainult lõikuvad sellega.

Kuna horisontaaljoon (joonis 22) on paralleelne horisontaaltasapinnaga, on selle esi- ja profiilprojektsioonid paralleelsed horisontaaltasandit määratlevate telgedega, st telgedega. X ja juures. Seetõttu prognoosid ab|| X ja a˝b˝|| juures z. Horisontaalne projektsioon ab võib diagrammil olla mis tahes asendis.

Frontaaljoonel (joonis 23) projektsioon ab|| x ja a˝b˝ || z, st need on teljega risti juures, ja seega antud juhul frontaalprojektsioon ab joon võib võtta mis tahes asendi.

Profiilijoonel (joonis 24) ab|| y, ab|| z, ja mõlemad on risti x-teljega. Projektsioon a˝b˝ saab diagrammile igal viisil paigutada.

Arvestades tasapinda, mis projitseerib horisontaaljoont frontaaltasandile (joonis 22), on näha, et see projitseerib selle joone ka profiiltasandile, st see on tasapind, mis projitseerib joone korraga kahele projektsioonitasandile - esiosa ja profiil. Sel põhjusel nimetatakse seda kahekordselt eenduv tasapind. Samamoodi projitseerib frontaaljoone (joonis 23) kahekordselt eenduv tasapind selle horisontaal- ja profiilprojektsiooni tasapindadele ning profiili (joonis 23) horisontaal- ja frontaalprojektsiooni tasapindadele. .

Kaks projektsiooni ei saa määratleda sirgjoont. Kaks projektsiooni 1 ja üks profiiljoon (joonis 25) ilma selle sirge kahe punkti projektsioonide määramiseta ei määra selle sirge asukohta ruumis.

Tasapinnal, mis on risti kahe etteantud sümmeetriatasandiga, võib olla lõpmatu arv sirgeid, mille kohta diagrammil olevad andmed 1 ja üks on nende prognoosid.

Kui punkt asub sirgel, asuvad selle projektsioonid kõigil juhtudel selle sirge samanimelistel projektsioonidel. Profiilijoone puhul ei kehti alati vastupidine olukord. Selle projektsioonidel saate meelevaldselt näidata teatud punkti projektsioone ja mitte olla kindel, et see punkt asub antud sirgel.

Kõigil kolmel erijuhul (joonis 22, 23 ja 24) on sirgjoone asukoht projektsioonide tasapinna suhtes selle suvaline segment AB, mis on võetud igal sirgel, projitseeritakse ühele projektsioonitasanditest ilma moonutusteta, st tasapinnale, millega see on paralleelne. Joonelõik AB horisontaalne sirgjoon (joonis 22) annab elusuuruse projektsiooni horisontaaltasandile ( ab = AB); joonelõik AB frontaalsirge (joon. 23) - täissuuruses otsmikutasandi tasapinnal V ( ab = AB) ja segment AB profiili sirgjoon (joon. 24) - täissuuruses profiiltasandil W (a˝b˝\u003d AB), st joonisel on võimalik mõõta segmendi tegelikku suurust.

Ehk siis diagrammide abil saab määrata nende nurkade loomulikud mõõtmed, mille vaadeldav joon projektsioonitasapindadega moodustab.

Nurk, mille sirgjoon moodustab horisontaaltasapinnaga H, on tavaks tähistada tähte α, frontaaltasandiga - tähte β, profiiltasandiga - tähte γ.

Ühelgi vaadeldaval sirgel ei ole sellega paralleelsel tasapinnal jälge, st horisontaalsel sirgel pole horisontaalset jälge (joonis 22), frontaalsirgel puudub otsmik (joonis 23) ja profiilil sirgjoonel puudub profiilijälg (joonis 24).