Ratsionaalarvudega tehte reeglid. Positiivsete ratsionaalarvude liitmine

Õppetund 4
KRAD LOODUSLIKU INDIKAATORIGA

Eesmärgid: soodustada arvutusoskuste ja -oskuste kujunemist, arvutuskogemusel põhinevate kraadialaste teadmiste kogumist; Õppige, kuidas kirjutada suuri ja väikeseid numbreid, kasutades astmeid 10.

Tundide ajal

I. Põhiteadmiste aktualiseerimine.

Õpetaja analüüsib kontrolltöö tulemusi, iga õpilane saab soovitusi arvutusoskuste ja -oskuste korrigeerimise individuaalse kava koostamiseks.

Seejärel palutakse õpilastel teha arvutusi ja lugeda kuulsate matemaatikute nimesid, kes aitasid kaasa kraaditeooria koostamisele:

0,3 2 ; 5 3 ; (– 12) 2 ; ; ; –7 3 ; (–0,2) 3 ; –13 2 ; 1,7 2 ; ; 1,1 2 ; 1 3 .

Võti:

Arvuti või epiprojektori abil projitseeritakse ekraanile teadlaste Diophantuse, Rene Descartes’i, Simon Stevini portreed. Õpilasi kutsutakse üles koostama soovi korral ajaloolist teavet nende matemaatikute elu ja töö kohta.

II. Uute kontseptsioonide ja tegevusmeetodite kujundamine.

Õpilased kirjutavad vihikusse järgmised väljendid:

1. 2 + 2 + 2 + 2 + 2;

2. 2 + 2 + 2 + … + 2;

a tingimustele

3. 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5;

4. 5 ∙ 5 … ∙ 5;

n kordajad

5. a∙ a∙ … ∙ a;

n kordajad

Õpilastel palutakse vastata küsimusele: „Kuidas saab neid kirjeid kompaktsemalt esitada, et need muutuksid „nähtavaks”?

Seejärel viib õpetaja läbi vestluse uuel teemal, tutvustab õpilastele arvu esimese astme mõistet. Õpilased saavad ette valmistada iidse India legendi dramatiseeringu male leiutaja Sethi ja kuningas Sherami kohta. Vestlus tuleb lõpetada looga 10 jõudude kasutamisest suurte ja väikeste väärtuste kirjutamisel ning olles pakkunud õpilastele mitmeid füüsika, tehnoloogia, astronoomia teatmeteoseid, anda neile võimalus leida näiteid sellised kogused raamatutes.

III. Oskuste ja vilumuste kujunemine.

1. Harjutuste nr 40 lahendus d), e), f); 51.

Lahenduse käigus jõuavad õpilased järeldusele, et kasulik on meeles pidada: negatiivse alusega eksponent on positiivne, kui astendaja on paaris, ja negatiivne, kui astendaja on paaritu.

2. Harjutuste nr 41, 47 lahendus.

IV. Kokkuvõtteid tehes.

Õpetaja kommenteerib ja hindab õpilaste töid tunnis.

Kodutöö: punkt 1.3, nr 42, 43, 52; valikuline: valmistage ette sõnumeid Diophantuse, Descartes'i, Stevini kohta.

Ajaloo viide

Diophantus- Vana-Kreeka matemaatik Aleksandriast (III sajand). Säilinud on osa tema matemaatilisest traktaadist "Aritmeetika" (6 raamatut 13-st), kus on antud ülesannete lahendus, millest enamik viivad nn "Diofantiini võrranditeni", mille lahendust otsitakse ratsionaalses. positiivsed arvud (Diophantosel pole negatiivseid numbreid).

Tundmatu ja selle astmete (kuni kuuendani) tähistamiseks kasutas võrdusmärk Diophantus vastavate sõnade lühendatud tähistust. Teadlased on avastanud ka veel nelja Diophantose aritmeetika raamatu araabiakeelse teksti. Diophantuse kirjutised olid lähtepunktiks P. Fermat', L. Euleri, K. Gaussi jt uurimistööle.

Descartes René (31.03.159 6 –11. 02. 1650) - Prantsuse filosoof ja matemaatik, pärines vanast aadliperekonnast. Ta sai hariduse Anjou jesuiitide koolis La Flèche. Kolmekümneaastase sõja alguses teenis ta sõjaväes, kust lahkus 1621. aastal; pärast mitmeaastast reisi kolis ta Hollandisse (1629), kus veetis kakskümmend aastat üksildaste teadusuuringutega. 1649. aastal kolis ta Rootsi kuninganna kutsel Stockholmi, kuid suri peagi.

Descartes pani aluse analüütilisele geomeetriale ja võttis kasutusele palju kaasaegseid algebralisi tähistusi. Descartes parandas oluliselt tähistust, võttes kasutusele muutujate jaoks üldtunnustatud märgid.
(X, juures,z…) ja koefitsiendid ( a, b, Koos…), samuti kraadide märkimine ( X 4 , a 5…). Descartes'i valemite kirjutamine ei erine peaaegu üldse tänapäevasest.

Analüütilises geomeetrias oli Descartes'i peamiseks saavutuseks tema loodud koordinaatide meetod.

Stevin Simon (1548–1620) on Hollandi teadlane ja insener. Alates 1583. aastast õpetas Leideni ülikoolis, 1600. aastal organiseeris Leideni ülikoolis insenerikooli, kus pidas loenguid matemaatikast. Stevini kümnis (1585) käsitleb Simon Stevini poolt Euroopas kasutusele võetud kümnendsüsteemi ja kümnendmurde.

Siis a + b = b + a, a + (b + c) = (a + b) + c.

Nulli lisamine ei muuda arvu ja vastandarvude summa on null.

Seega on mis tahes ratsionaalarvu jaoks: a + 0 = a, a + (- a) = 0.

Ratsionaalarvude korrutamisel on ka kommutatiivsed ja assotsiatiivsed omadused. Teisisõnu, kui a, b ja c on mis tahes ratsionaalarvud, siis ab - ba, a(bc) - (ab)c.

Korrutamine 1-ga ei muuda ratsionaalarvu, kuid arvu ja selle pöördarvu korrutis on 1.

Nii et iga ratsionaalse arvu a jaoks on meil:

a) x + 8 - x - 22; c) a-m + 7-8+m;
b) -x-a + 12 + a -12; d) 6,1 -k + 2,8 + p - 8,8 + k - p.

1190. Olles valinud sobiva arvutuste järjekorra, leidke avaldise väärtus:

1191. Sõnastage sõnadega korrutamise ab = ba kommutatiivne omadus ja kontrollige seda:

1192. Sõnastage sõnadega korrutamise assotsiatiivne omadus a(bc)=(ab)c ja kontrollige seda:

1193. Valides sobiva arvutuste järjekorra, leidke avaldise väärtus:

1194. Mis on arv (positiivne või negatiivne), kui korrutate:

a) üks negatiivne arv ja kaks positiivset arvu;
b) kaks negatiivset ja üks positiivne arv;
c) 7 negatiivset ja mitu positiivset arvu;
d) 20 negatiivset ja paar positiivset? Tee järeldus.

1195. Määrake toote märk:

a) - 2 (- 3) (- 9) (-1,3) 14 (- 2,7) (- 2,9);
b) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.

a) Vitja, Kolja, Petja, Seryozha ja Maxim kogunesid jõusaali (joonis 91, a). Selgus, et kumbki poistest teadis ainult kahte teist. Kes teab keda? (Graafiku serv tähendab "me tunneme üksteist.")

b) Õues jalutavad ühe pere õed-vennad. Kes neist lastest on poisid ja millised tüdrukud (joonis 91, b)? (Graafiku punktiirjooned tähendavad "Ma olen õde" ja kindlad servad - "Ma olen vend".)

1205. Arvuta:

1206. Võrdle:

a) 2 3 ja 3 2; b) (-2) 3 ja (-3) 2; c) 1 3 ja 1 2; d) (-1) 3 ja (-1) 2.

1207. Ümar 5,2853 tuhandikuteni; enne sajandikuid; kuni kümnendikuni; kuni ühikuni.

1208. Lahendage probleem:

1) Mootorrattur jõuab jalgratturile järele. Nüüd nende vahel 23,4 km. Mootorratturi kiirus on jalgratturi omast 3,6 korda suurem. Leidke jalgratturi ja mootorratturi kiirused, kui on teada, et mootorrattur möödub jalgratturist tundide pärast.
2) Auto on bussile järele jõudmas. Nüüd nende vahel 18 km. Bussi kiirus on auto kiirus. Leia bussi ja auto kiirused, kui on teada, et auto sõidab bussist tundidega mööda.

1209. Leidke avaldise väärtus:

1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).

Kontrollige oma arvutusi kasutades kalkulaator.
1210. Olles valinud sobiva arvutuste järjekorra, leidke avaldise väärtus:

1211. Lihtsusta väljendit:

1212. Leidke avaldise väärtus:

1213. Tehke järgmist:

1214. Õpilased said ülesandeks kokku korjata 2,5 tonni vanametalli. Nad kogusid kokku 3,2 tonni vanarauda. Millise protsendi võrra täitsid õpilased ülesande ja mitme protsendi võrra ülesandega üle?

1215. Auto läbis 240 km. Neist 180 km kõndis ta mööda maateed ja ülejäänud tee mööda maanteed. Bensiinikulu maatee iga 10 km kohta oli 1,6 liitrit ja maanteel 25% vähem. Mitu liitrit bensiini kulutati keskmiselt iga 10 km sõidu kohta?

1216. Külast lahkudes märkas jalgrattur sillal samas suunas kõndivat jalakäijat, kes jõudis talle järele 12 minutiga. Leia jalakäija kiirus, kui jalgratturi kiirus on 15 km/h ja kaugus külast sillani on 1 km 800 m?

1217. Tehke järgmist:

a) - 4,8 3,7 - 2,9 8,7 - 2,6 5,3 + 6,2 1,9;
b) -14,31:5,3 - 27,81:2,7 + 2,565:3,42+4,1 0,8;
c) 3,5 0,23 - 3,5 (- 0,64) + 0,87 (- 2,5).

Nagu teate, tutvusid inimesed ratsionaalsete arvudega järk-järgult. Algul tekkisid objektide loendamisel naturaalarvud. Algul oli neid vähe. Nii et kuni viimase ajani oli Torrese väina (mis eraldab Uus-Guineat Austraaliast) saarte põliselanike keeles ainult kaks numbrit: "urapun" (üks) ja "okaza" (kaks). Saarlased arvasid nii: “okaza-urapun” (kolm), “okaza-okaza” (neli) jne. Kõik numbrid, alates seitsmest, nimetasid põliselanikud sõna, mis tähendab “palju”.

Teadlased usuvad, et sõna saja kohta ilmus rohkem kui 7000 aastat tagasi, tuhande jaoks - 6000 aastat tagasi ja 5000 aastat tagasi Vana-Egiptuses ja iidses Babülonis - nimesid tohutul hulgal - kuni miljon. Kuid pikka aega peeti arvude loomulikku jada lõplikuks: inimesed arvasid, et seal on suurim arv.

Vana-Kreeka suurim matemaatik ja füüsik Archimedes (287–212 eKr) mõtles välja viisi, kuidas kirjeldada tohutuid numbreid. Suurim arv, mida Archimedes nimetada oskas, oli nii suur, et selle digitaalseks salvestamiseks kuluks lindile kaks tuhat korda pikemat kaugust Maast Päikeseni.

Kuid nad ei osanud ikka veel nii suuri numbreid üles kirjutada. See sai võimalikuks alles pärast seda, kui India matemaatikud 6. sajandil. leiutati number null ja see hakkas tähistama ühikute puudumist arvu kümnendmärgistuse numbrites.

Saagi jagamisel ja hiljem koguste mõõtmisel ja muudel sarnastel juhtudel tekkis vajadus võtta kasutusele "katkarvud" - harilikud murrud. Tegevusi murdudega peeti keskajal matemaatika kõige keerulisemaks valdkonnaks. Seni ütlevad sakslased raskesse olukorda sattunud inimese kohta, et ta "vajus murdosadeks".

Murdudega töötamise hõlbustamiseks leiutati kümnendkohad. fraktsioonid. Euroopas tutvustas neid X585-s Hollandi matemaatik ja insener Simon Stevin.

Negatiivsed arvud ilmusid hiljem kui murrud. Pikka aega peeti selliseid numbreid "olematuteks", "valeks", peamiselt seetõttu, et positiivsete ja negatiivsete arvude "kinnisvara - võlg" aktsepteeritud tõlgendus põhjustas hämmeldust: saate "vara" lisada või lahutada. või "võlad", aga kuidas mõista töö- või eraomandit ja "võlga"?

Vaatamata sellistele kahtlustele ja segadustele pakuti aga 3. sajandil välja positiivsete ja negatiivsete arvude korrutamise ja jagamise reeglid. kreeka matemaatik Diophantus (kujul: "Lahutatu, korrutatu liitmisega, annab lahutaja; lahutatu lahutatu annab liidetud" jne), ja hiljem väljendas sama India matemaatik Bhaskara (XII sajand). reeglid mõistetes “omand”, “võlg” (“Kahe vara või kahe võla korrutis on vara; vara ja võla korrutis on võlg.” Sama reegel kehtib ka jagamisel).

Leiti, et negatiivsete arvude puhul on tegevuste omadused samad, mis positiivsetel (näiteks liitmisel ja korrutamisel on kommutatiivne omadus). Ja lõpuks, alates eelmise sajandi algusest on negatiivsed arvud võrdsustatud positiivsetega.

Hiljem ilmusid matemaatikas uued arvud – irratsionaalsed, komplekssed ja teised. Nende kohta saate teada keskkoolis.

N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburd, V.I. Zhokhov, Matemaatika 6. klassile, Õpik keskkoolile

Raamatud ja õpikud kalenderplaani järgi matemaatika 6. klassile allalaadimine, abi õpilast võrgus

Tunni sisu tunni kokkuvõte tugiraam õppetund esitlus kiirendusmeetodid interaktiivsed tehnoloogiad Harjuta ülesanded ja harjutused enesekontrolli töötoad, koolitused, juhtumid, ülesanded kodutöö arutelu küsimused retoorilised küsimused õpilastelt Illustratsioonid heli, videoklipid ja multimeedium fotod, pildid, graafika, tabelid, huumoriskeemid, anekdoodid, naljad, koomiksid, tähendamissõnad, ütlused, ristsõnad, tsitaadid Lisandmoodulid kokkuvõtteid artiklid kiibid uudishimulikele petulehtedele õpikud põhi- ja lisaterminite sõnastik muu Õpikute ja tundide täiustaminevigade parandamine õpikusõpiku killu uuendamine innovatsiooni elementide tunnis vananenud teadmiste asendamine uutega Ainult õpetajatele täiuslikud õppetunnid kalenderplaan aastaks aruteluprogrammi metoodilised soovitused Integreeritud õppetunnid
Pilt. Aritmeetilised tehted ratsionaalarvudega.

Tekst:

Ratsionaalarvudega tehte reeglid:
. samade märkidega numbrite liitmisel on vaja lisada nende moodulid ja panna nende ühine märk summa ette;
. kahe erineva märgiga arvu liitmisel lahutatakse suure mooduliga arvust väiksema mooduliga arv ja suurema mooduliga numbri märk asetatakse saadud erinevuse ette;
. ühe arvu teisest lahutamisel peate lisama lahutatavale vastupidise arvu: a - b \u003d a + (-b)
. kahe samade märkidega arvu korrutamisel korrutatakse nende moodulid ja saadud korrutise ette pannakse plussmärk;
. kahe erineva märgiga arvu korrutamisel korrutatakse nende moodulid ja saadud korrutise ette pannakse miinusmärk;
. samade märkidega arvude jagamisel jagatakse dividendimoodul jagajamooduliga ning saadud jagatise ette pannakse plussmärk;
. erinevate märkidega arvude jagamisel jagatakse dividendimoodul jagajamooduliga ning saadud jagatise ette asetatakse miinusmärk;
. Nulli jagamine ja korrutamine mis tahes nullist erineva arvuga annab tulemuseks nulli:
. nulliga jagada ei saa.

PÄRISNUMBRID II

§ 36 Hagid ratsionaalsete arvude kohta

Nagu teate, kaks murdosa m / n ja k / l on võrdsed, st esindavad sama ratsionaalarvu siis ja ainult siis ml = nk .

Näiteks 1/3 = 2/6, kuna 1 6 = 3 2; -5 / 7 = 10 / - 14, sest (-5) (- 14) = 7 10; 0 / 1 = 0 / 5, kuna 0 5 = 1 0 jne.

Ilmselgelt mis tahes täisarvu jaoks r , ei võrdu 0-ga,

: m / n = m r / n r

See tuleneb ilmsest võrdsusest t (P r ) = P (t r ). Seetõttu saab iga ratsionaalarvu esitada kahe arvu suhtena lõpmatul arvul viisil. Näiteks,

5 \u003d 5 / 1 \u003d -10 / -2 \u003d 15 / 3 jne,

1/7 = 2 / -14 = -3 / 21 = -100 / 700 jne.

0 = 0 / 1 = 0 / -2 = 0 / 3 = 0 / 100 jne.

Kõigi ratsionaalarvude hulgas on liitmise, korrutamise, lahutamise ja jagamise (välja arvatud nulliga jagamise) toimingud teostatavad. Tuletage meelde, kuidas need toimingud on määratletud.

Kahe ratsionaalarvu summa m / n ja k / l määratakse valemiga:

Kahe ratsionaalarvu korrutis m / n ja k / l määratakse valemiga:

m / n k / l = mk / nl (2)

Kuna sama ratsionaalarv lubab mitut kirjet (näiteks 1 / 3 = 2 / 6 = 3 / 9 = ...), siis oleks vaja näidata, et ratsionaalarvude summa ja korrutis ei sõltu sellest, kuidas terminid või tegurid on kirjas. Näiteks,

1 / 2 + 1 / 3 = 2 / 4 + 3 / 9 ; 1 / 2 1 / 3 = 3 / 6 2 / 6

jne. Nende küsimuste käsitlemine jääb aga meie programmi raamidest välja.

Ratsionaalarvude liitmisel ja korrutamisel järgitakse järgmisi põhiseadusi:

1) kommutatiivne(või kommutatiivne) liitmise seadus

m / n + k / l = k / l + m / n

2) assotsiatiivne(või assotsiatiivne) liitmise seadus:

( m / n + k / l ) + lk / q = m / n + ( k / l + lk / q )

3) kommutatiivne(või kommutatiivne) korrutamise seadus:

m / n k / l = k / l m / n

4) assotsiatiivne(või assotsiatiivne) korrutamise seadus:

( m / n k / l ) lk / q = m / n ( k / l lk / q )

5) jaotav Korrutamise (või jaotus) seadus liitmise suhtes:

( m / n + k / l ) lk / q = m / n lk / q + k / l lk / q

Liitmine ja korrutamine on algebralised põhitehted. Mis puutub lahutamisse ja jagamisse, siis need toimingud on defineeritud liitmise ja korrutamise pöördväärtusena.

Kahe ratsionaalse arvu erinevus m / n ja k / l seda numbrit kutsutakse X , mis koos k / l annab m / n . Teisisõnu, erinevus m / n - k / l

k / l + x = m / n

Võib tõestada, et sellisel võrrandil on alati juur ja pealegi ainult üks:

Nii et kahe numbri erinevus m / n ja k / l leitakse järgmise valemi järgi:

Kui numbrid m / n ja k / l on üksteisega võrdsed, siis nende erinevus kaob; kui need arvud ei ole üksteisega võrdsed, siis on nende erinevus kas positiivne või negatiivne. Kell m / n - k / l > 0 ütle number m / n rohkem numbrit k / l ; kui m / n - k / l < 0, то говорят, что число m / n vähem kui arv k / l .

Ratsionaalarvu jagamise jagatis m / n ratsionaalsele arvule k / l seda numbrit kutsutakse X, mis tootes koos k / l annab m / n . Teisisõnu privaatne m / n : k / l defineeritud kui võrrandi juur

k / l X = m / n .

Kui a k / l =/= 0, siis on sellel võrrandil üks juur

X = ml / nk

Kui k / l = 0, siis sellel võrrandil pole üldse juuri (for m / n =/= 0) või sellel on lõpmatult palju juuri (for m / n = 0). Soovides muuta jagamise toimimine üheselt teostatavaks, nõustume nulliga jagamist üldse mitte arvestama. Seega ratsionaalarvu jagamine m / n ratsionaalsele arvule k / l alati määratletud, välja arvatud juhul k / l =/= 0. Sel juhul

m / n : k / l = ml / nk

Harjutused

295. Arvutage kõige ratsionaalsemal viisil ja märkige, milliseid toimimisseadusi tuleb sel juhul kasutada;

a) (5 1/12 - 3 1/4) 24; c) (333 1/3 4) (3/125 1/16).

b) (1/10 – 3 1/2) + 9/10