Keskmine väärtus kahe numbri vahel. Kaalutud keskmine – mis see on ja kuidas seda arvutada? Keskmise väärtuse arvutamine tingimuse järgi

Sellel terminil on muid tähendusi, vt keskmist tähendust.

Keskmine(matemaatikas ja statistikas) arvude komplektid - kõigi arvude summa jagatud nende arvuga. See on üks levinumaid keskse tendentsi näitajaid.

Selle pakkusid välja (koos geomeetrilise keskmise ja harmoonilise keskmisega) Pythagoreanid.

Aritmeetilise keskmise erijuhud on keskmine (üldkogumi) ja valimi keskmine (valimitest).

Sissejuhatus

Tähistage andmete kogum X = (x 1 , x 2 , …, x n), siis valimi keskmist tähistatakse tavaliselt horisontaalse ribaga muutuja kohal (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) , hääldatakse " x kriipsuga").

Kreeka tähte μ kasutatakse kogu populatsiooni aritmeetilise keskmise tähistamiseks. Juhusliku muutuja puhul, mille keskmine väärtus on määratletud, on μ tõenäosuse keskmine või juhusliku suuruse matemaatiline ootus. Kui komplekt X on juhuslike arvude kogum, mille tõenäosus keskmine on μ, siis mis tahes valimi jaoks x i sellest kogumist μ = E( x i) on selle valimi ootus.

Praktikas on erinevus μ ja x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) vahel see, et μ on tüüpiline muutuja, kuna näete pigem valimit kui kogu populatsiooni. Seega, kui valimit esitatakse juhuslikult (tõenäosusteooria mõttes), siis saab x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (aga mitte μ) käsitleda juhusliku muutujana, millel on tõenäosusjaotus valimil ( keskmise tõenäosusjaotus).

Mõlemad kogused arvutatakse samal viisil:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1) (n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1) (n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).

Kui X on juhuslik muutuja, siis on matemaatiline ootus X Seda võib pidada koguse korduva mõõtmise väärtuste aritmeetiliseks keskmiseks X. See on suurte arvude seaduse ilming. Seetõttu kasutatakse tundmatu matemaatilise ootuse hindamiseks valimi keskmist.

Elementaaralgebras on tõestatud, et keskmine n+ 1 number üle keskmise n numbrid siis ja ainult siis, kui uus arv on suurem kui vana keskmine, vähem siis ja ainult siis, kui uus arv on keskmisest väiksem ning ei muutu siis ja ainult siis, kui uus arv on võrdne keskmisega. Rohkem n, seda väiksem on erinevus uue ja vana keskmise vahel.

Pange tähele, et saadaval on ka mitu muud "keskmist", sealhulgas võimsusseaduse keskmine, Kolmogorovi keskmine, harmooniline keskmine, aritmeetiline-geomeetriline keskmine ja erinevad kaalutud keskmised (nt aritmeetiliselt kaalutud keskmine, geomeetriliselt kaalutud keskmine, harmooniliselt kaalutud keskmine). .

Näited

Kolme numbri jaoks peate need liitma ja jagama 3-ga:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).

Nelja numbri jaoks peate need liitma ja jagama 4-ga:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).

Või lihtsam 5+5=10, 10:2. Kuna me lisasime 2 numbrit, mis tähendab, et mitu numbrit liidame, jagame selle arvuga.

Pidev juhuslik muutuja

Pidevalt jaotatud väärtuse f (x) (\displaystyle f(x)) aritmeetiline keskmine intervallil [ a ; b ] (\displaystyle ) defineeritakse kindla integraali kaudu:

F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Mõned keskmise kasutamise probleemid

Tugevuse puudumine

Peamine artikkel: Tugevus statistikas

Kuigi aritmeetilist keskmist kasutatakse sageli keskmiste või kesksete trendidena, ei kehti see mõiste usaldusväärse statistika puhul, mis tähendab, et aritmeetilist keskmist mõjutavad tugevalt "suured kõrvalekalded". Tähelepanuväärne on see, et suure kaldsusega jaotuste puhul ei pruugi aritmeetiline keskmine vastata mõistele "keskmine" ning tugeva statistika keskmise väärtused (näiteks mediaan) võivad keskmist trendi paremini kirjeldada.

Klassikaline näide on keskmise sissetuleku arvutamine. Aritmeetilist keskmist võib mediaanina valesti tõlgendada, millest võib järeldada, et suurema sissetulekuga inimesi on rohkem kui tegelikult. "Keskmist" sissetulekut tõlgendatakse nii, et enamiku inimeste sissetulekud on selle numbri lähedal. See "keskmine" (aritmeetilise keskmise tähenduses) sissetulek on suurem kui enamiku inimeste sissetulek, kuna kõrge sissetulek, millel on suur kõrvalekalle keskmisest, muudab aritmeetilise keskmise tugevalt viltu (seevastu mediaansissetulek "vastupanu") selline viltu). See "keskmine" sissetulek ei ütle aga midagi keskmise sissetuleku lähedal asuvate inimeste arvu kohta (ega ei ütle midagi modaalse sissetuleku lähedal asuvate inimeste arvu kohta). Kui aga mõistetesse "keskmine" ja "enamus" suhtuda kergelt, võib ekslikult järeldada, et enamiku inimeste sissetulek on tegelikust suurem. Näiteks Washingtoni osariigi Medina "keskmise" netosissetuleku aruanne, mis on arvutatud elanike kõigi aastaste netosissetulekute aritmeetilise keskmisena, annab Bill Gatesi tõttu üllatavalt suure arvu. Vaatleme näidist (1, 2, 2, 2, 3, 9). Aritmeetiline keskmine on 3,17, kuid kuuest väärtusest viis on sellest keskmisest madalamad.

Liitintress

Peamine artikkel: ROI

Kui numbrid korrutada, kuid mitte voltida, peate kasutama geomeetrilist, mitte aritmeetilist keskmist. Kõige sagedamini juhtub see juhtum finantsinvesteeringute tasuvuse arvutamisel.

Näiteks kui aktsiad langesid esimesel aastal 10% ja tõusid teisel aastal 30%, siis on vale arvutada nende kahe aasta "keskmist" kasvu aritmeetilise keskmisena (−10% + 30%) / 2 = 10%; õige keskmise annab antud juhul liitaastane kasvumäär, millest aastane juurdekasv on vaid umbes 8,16653826392% ≈ 8,2%.

Põhjus on selles, et protsentidel on iga kord uus lähtepunkt: 30% on 30%. numbrist, mis on väiksem kui esimese aasta alguses: kui aktsia algas 30 dollarist ja langes 10%, on teise aasta alguses väärt 27 dollarit. Kui aktsia on 30% plussis, on selle väärtus teise aasta lõpus 35,1 dollarit. Selle kasvu aritmeetiline keskmine on 10%, kuid kuna aktsia on kahe aastaga kasvanud vaid 5,1 dollari võrra, annab keskmine kasv 8,2% lõpptulemuseks 35,1 dollarit:

[30 $ (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 $ (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 $]. Kui kasutame samamoodi 10% aritmeetilist keskmist, ei saa me tegelikku väärtust: [30 $ (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 $].

Liitintress 2. aasta lõpus: 90% * 130% = 117% , s.o kokku kasv 17% ja keskmine aastane liitintress on 117% ≈ 108,2% (\displaystyle (\sqrt (117\%)) \umbes 108,2\%) , see tähendab, et aasta keskmine kasv 8,2%.

Juhised

Peamine artikkel: Sihtkoha statistika

Mõne tsükliliselt muutuva muutuja (näiteks faasi või nurga) aritmeetilise keskmise arvutamisel tuleb olla eriti ettevaatlik. Näiteks 1° ja 359° keskmine oleks 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. See number on vale kahel põhjusel.

Esiteks on nurkmõõtmised määratletud ainult vahemikus 0° kuni 360° (või radiaanides mõõdetuna 0 kuni 2π). Seega võiks sama numbripaari kirjutada kui (1° ja −1°) või kui (1° ja 719°). Iga paari keskmised on erinevad: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2))= 0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
Teiseks, sel juhul oleks väärtus 0° (võrdne 360°-ga) geomeetriliselt parim keskmine, kuna arvud erinevad 0°-st vähem kui mis tahes muust väärtusest (väärtusel 0° on kõige väiksem dispersioon). Võrdlema:
- arv 1° erineb 0°-st ainult 1° võrra;
- arv 1° erineb arvutatud keskmisest 180° 179° võrra.

Tsüklilise muutuja keskmine väärtus, mis arvutatakse ülaltoodud valemi järgi, nihutatakse kunstlikult tegeliku keskmise suhtes arvulise vahemiku keskele. Seetõttu arvutatakse keskmist teistmoodi, nimelt valitakse keskmiseks väärtuseks väikseima dispersiooniga arv (keskpunkt). Samuti kasutatakse lahutamise asemel mooduli kaugust (st ümbermõõdu kaugust). Näiteks mooduli vahekaugus 1° ja 359° vahel on 2°, mitte 358° (ringil vahemikus 359° kuni 360° ==0° - üks kraad, vahemikus 0° kuni 1° - ka 1°, kokku -2 °).

Keskmiste väärtuste tüübid ja nende arvutamise meetodid

Statistilise töötlemise etapis saab püstitada mitmesuguseid uurimisülesandeid, mille lahendamiseks on vaja valida sobiv keskmine. Sel juhul tuleb juhinduda järgmisest reeglist: väärtused, mis tähistavad keskmise lugejat ja nimetajat, peavad olema üksteisega loogiliselt seotud.

võimsuse keskmised;
struktuursed keskmised.

Tutvustame järgmist tähistust:

Väärtused, mille jaoks keskmine arvutatakse;

Keskmine, kus ülaltoodud rida näitab, et üksikute väärtuste keskmistamine toimub;

Sagedus (individuaalsete tunnuste väärtuste korratavus).

Üldise võimsuse keskmise valemist on tuletatud erinevad vahendid:

(5.1)

kui k = 1 - aritmeetiline keskmine; k = -1 - harmooniline keskmine; k = 0 - geomeetriline keskmine; k = -2 - ruutkeskmine.

Keskmised on kas lihtsad või kaalutud. kaalutud keskmised nimetatakse suurusteks, mis võtavad arvesse, et atribuudi väärtuste mõnel variandil võivad olla erinevad numbrid ja seetõttu tuleb iga variant selle arvuga korrutada. Teisisõnu, "kaalud" on rahvastikuüksuste arvud erinevates rühmades, s.o. iga valik on "kaalustatud" selle sagedusega. Sagedust f nimetatakse statistiline kaal või kaalu keskmine.

Aritmeetiline keskmine- levinuim kandja tüüp. Seda kasutatakse siis, kui arvutatakse rühmitamata statistiliste andmete põhjal, kus soovitakse saada keskmist liitmist. Aritmeetiline keskmine on tunnuse selline keskmine väärtus, mille saamisel jääb tunnuse kogumaht üldkogumis muutumatuks.

Aritmeetilise keskmise valem ( lihtne) omab vormi

kus n on populatsiooni suurus.

Näiteks arvutatakse ettevõtte töötajate keskmine palk aritmeetilise keskmisena:

Siin on määravad näitajad iga töötaja töötasu ja ettevõtte töötajate arv. Keskmise arvutamisel jäi töötasu kogusumma samaks, kuid jagunes justkui võrdselt kõigi töötajate vahel. Näiteks on vaja arvutada väikeettevõtte töötajate keskmine palk, kus töötab 8 inimest:

Keskmiste arvutamisel saab keskmistatud atribuudi üksikuid väärtusi korrata, seega arvutatakse keskmine rühmitatud andmete põhjal. Sel juhul räägime kasutamisest aritmeetiline keskmine kaalutud, mis näeb välja nagu

(5.3)

Seega tuleb välja arvutada aktsiaseltsi aktsia keskmine hind börsil. Teatavasti tehti tehinguid 5 päeva jooksul (5 tehingut), müügikursiga müüdud aktsiate arv jagunes järgmiselt:

1–800 ak. - 1010 rubla

2 - 650 ac. - 990 hõõruda.

3 - 700 ak. - 1015 rubla.

4–550 ak. - 900 rubla.

5 - 850 ak. - 1150 rubla.

Aktsia keskmise hinna määramise esialgne suhe on tehingute kogusumma (TCA) ja müüdud aktsiate arvu (KPA) suhe:

OSS = 1010 800 + 990 650 + 1015 700 + 900 550 + 1150 850 = 3 634 500;

CPA = 800+650+700+550+850=3550.

Sel juhul oli aktsia keskmine hind võrdne

On vaja teada aritmeetilise keskmise omadusi, mis on väga oluline nii selle kasutamisel kui ka arvutamisel. On kolm peamist omadust, mis kõige enam tõid kaasa aritmeetilise keskmise laialdase kasutamise statistilistes ja majanduslikes arvutustes.

Vara üks (null): tunnuse individuaalsete väärtuste positiivsete kõrvalekallete summa selle keskmisest väärtusest on võrdne negatiivsete kõrvalekallete summaga. See on väga oluline omadus, kuna see näitab, et kõik juhuslikest põhjustest tingitud kõrvalekalded (nii + kui ka –) tühistatakse vastastikku.

Tõestus:

Kinnistu kaks (miinimum): tunnuse üksikute väärtuste ruutude kõrvalekallete summa aritmeetilisest keskmisest on väiksem kui ühestki teisest arvust (a), s.o. on minimaalne arv.

Tõestus.

Koostage muutuja a kõrvalekallete ruudu summa:

(5.4)

Selle funktsiooni ekstreemumi leidmiseks on vaja võrdsustada selle tuletis a suhtes nulliga:

Siit saame:

(5.5)

Seetõttu saavutatakse ruudu hälvete summa ekstreemum . See ekstreemum on miinimum, kuna funktsioonil ei saa olla maksimumi.

Kolmas vara: konstandi aritmeetiline keskmine on võrdne selle konstandiga: at a = const.

Lisaks nendele kolmele kõige olulisemale aritmeetilise keskmise omadusele on nn disaini omadused, mis on elektrooniliste arvutite kasutamise tõttu järk-järgult kaotamas oma tähtsust:

kui iga ühiku atribuudi individuaalne väärtus korrutada või jagada konstantse arvuga, siis aritmeetiline keskmine suureneb või väheneb sama palju;
aritmeetiline keskmine ei muutu, kui iga tunnuse väärtuse kaal (sagedus) jagatakse konstantse arvuga;
kui iga ühiku atribuudi individuaalseid väärtusi vähendatakse või suurendatakse sama palju, siis aritmeetiline keskmine väheneb või suureneb sama palju.

Keskmine harmooniline. Seda keskmist nimetatakse vastastikuseks aritmeetiliseks keskmiseks, kuna seda väärtust kasutatakse siis, kui k = -1.

Lihtne harmooniline keskmine kasutatakse siis, kui iseloomulike väärtuste kaalud on samad. Selle valemi saab tuletada põhivalemist, asendades k = -1:

Näiteks peame arvutama kahe auto keskmise kiiruse, mis on läbinud sama tee, kuid erineva kiirusega: esimene 100 km/h, teine 90 km/h. Harmoonilise keskmise meetodi abil arvutame keskmise kiiruse:

Statistilises praktikas kasutatakse sagedamini harmoonilist kaalu, mille valemil on vorm

Seda valemit kasutatakse juhtudel, kui iga atribuudi kaalud (või nähtuste mahud) ei ole võrdsed. Algses suhtarvus arvutab lugeja teadaolevalt keskmist, kuid nimetaja on teadmata.

Näiteks keskmise hinna arvutamisel peame kasutama müüdud koguse ja müüdud ühikute arvu suhet. Me ei tea müüdud ühikute arvu (räägime erinevatest kaupadest), kuid me teame nende erinevate kaupade müügisummasid. Oletame, et soovite teada müüdud kaupade keskmist hinda:

Saame

Geomeetriline keskmine. Kõige sagedamini leiab geomeetrilist keskmist rakendust keskmise kasvukiiruse (keskmiste kasvumäärade) määramisel, kui tunnuse individuaalsed väärtused esitatakse suhteliste väärtustena. Seda kasutatakse ka siis, kui on vaja leida keskmine tunnuse minimaalse ja maksimaalse väärtuse vahel (näiteks vahemikus 100 kuni 1000000). Lihtsa ja kaalutud geomeetrilise keskmise jaoks on olemas valemid.

Lihtsa geomeetrilise keskmise jaoks

Kaalutud geomeetrilise keskmise jaoks

RMS. Selle peamiseks rakendusalaks on tunnuse varieerumise mõõtmine populatsioonis (standardhälbe arvutamine).

Lihtne ruutkeskmise valem

Kaalutud ruutjuure valem

(5.11)

Sellest tulenevalt võib öelda, et statistilise uurimistöö probleemide edukas lahendamine sõltub igal konkreetsel juhul keskmise väärtuse tüübi õigest valikust. Keskmise valimine eeldab järgmist järjestust:

a) rahvastiku üldistava näitaja kehtestamine;

b) antud üldistava näitaja väärtuste matemaatilise suhte määramine;

c) üksikute väärtuste asendamine keskmiste väärtustega;

d) keskmise arvutamine vastava võrrandi abil.

Keskmised väärtused ja variatsioon

keskmine väärtus- see on üldistav näitaja, mis iseloomustab kvalitatiivselt homogeenset populatsiooni teatud kvantitatiivse tunnuse järgi. Näiteks varguste eest karistatud isikute keskmine vanus.

Kohtustatistikas kasutatakse keskmisi iseloomustamiseks:

Selle kategooria juhtumite keskmised läbivaatamise tähtajad;

Keskmise suurusega nõue;

keskmine süüdistatavate arv kohtuasjas;

Keskmine kahju suurus;

Kohtunike keskmine töökoormus jne.

Keskmine väärtus on alati nimega ja sellel on sama mõõde kui üldkogumi eraldi üksuse atribuudil. Iga keskmine väärtus iseloomustab uuritavat populatsiooni mis tahes muutuva atribuudi järgi, seetõttu on iga keskmise taga selle populatsiooni ühikute jaotus vastavalt uuritavale atribuudile. Keskmise tüübi valiku määravad näitaja sisu ja keskmise arvutamise lähteandmed.

Kõik statistilistes uuringutes kasutatavad keskmised jagunevad kahte kategooriasse:

1) võimsuse keskmised;

2) struktuursed keskmised.

Esimene keskmiste kategooria sisaldab: aritmeetiline keskmine, harmooniline keskmine, geomeetriline keskmine ja ruutkeskmine . Teine kategooria on mood ja mediaan. Lisaks võib igal loetletud võimsuse keskmise tüübil olla kaks vormi: lihtne ja kaalutud . Keskmise lihtsat vormi kasutatakse uuritava tunnuse keskmise saamiseks, kui arvutus põhineb rühmitamata statistikal või kui iga variant esineb populatsioonis ainult üks kord. Kaalutud keskmisi nimetatakse väärtusteks, mis võtavad arvesse, et funktsiooni väärtuste valikutel võivad olla erinevad numbrid ja seetõttu tuleb iga valik korrutada vastava sagedusega. Teisisõnu, iga võimalust "kaalub" selle sagedus. Sagedust nimetatakse statistiliseks kaaluks.

lihtne aritmeetiline keskmine- levinuim kandja tüüp. See võrdub individuaalsete iseloomulike väärtuste summaga, mis on jagatud nende väärtuste koguarvuga:

kus x 1, x 2, …, x N on muutuja tunnuse (valikud) individuaalsed väärtused ja N on populatsiooni ühikute arv.

Aritmeetiline kaalutud keskmine kasutatakse siis, kui andmed esitatakse jaotusridade või rühmadena. See arvutatakse optsioonide ja neile vastavate sageduste korrutiste summana, mis on jagatud kõigi optsioonide sageduste summaga:

kus x i- tähendus i tunnuse –ndad variandid; fi- sagedus i-ndad valikud.

Seega on iga variandi väärtus kaalutud selle sagedusega, mistõttu nimetatakse sagedusi mõnikord ka statistilisteks kaaludeks.

Kommenteeri. Kui rääkida aritmeetilisest keskmisest, ilma selle tüüpi täpsustamata, peetakse silmas lihtsat aritmeetilist keskmist.

Tabel 12

Otsus. Arvutamiseks kasutame aritmeetilise kaalutud keskmise valemit:

Seega on ühe kriminaalasja kohta keskmiselt kaks süüdistatavat.

Kui keskmise väärtuse arvutamine toimub intervalljaotuse seeriate kujul rühmitatud andmete järgi, peate esmalt määrama iga intervalli x "i mediaanväärtused, seejärel arvutama kaalutud väärtuse abil keskmise väärtuse. aritmeetilise keskmise valem, milles x i asemel on x" i.

Näide. Andmed varguse eest süüdi mõistetud kurjategijate vanuse kohta on toodud tabelis:

Tabel 13

Määrake varguse eest süüdi mõistetud kurjategijate keskmine vanus.

Otsus. Intervallide variatsioonirea põhjal kurjategijate keskmise vanuse määramiseks tuleb esmalt leida intervallide mediaanväärtused. Kuna on antud intervallide seeria avatud esimese ja viimase intervalliga, võetakse nende intervallide väärtused võrdseks külgnevate suletud intervallide väärtustega. Meie puhul on esimese ja viimase intervalli väärtus 10.

Nüüd leiame kurjategijate keskmise vanuse kaalutud aritmeetilise keskmise valemi abil:

Seega on varguste eest süüdi mõistetud kurjategijate keskmine vanus ligikaudu 27 aastat.

Keskmine harmooniline lihtne on atribuudi vastastikuste väärtuste aritmeetilise keskmise pöördväärtus:

kus 1/ x i on variantide vastastikused väärtused ja N on populatsiooni ühikute arv.

Näide. Ringkonnakohtu kohtunike aasta keskmise töökoormuse väljaselgitamiseks kriminaalasjade arutamisel viidi läbi küsitlus selle kohtu 5 kohtuniku töökoormuse kohta. Keskmine ühele kriminaalasjale kulunud aeg iga küsitletud kohtuniku kohta osutus võrdseks (päevades): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Leia ühele keskmised kulud. kriminaalasja ja selle ringkonnakohtu kohtunike keskmisest aastast töökoormust kriminaalasjade arutamisel.

Otsus.Ühele kriminaalasjale kulutatud keskmise aja määramiseks kasutame harmoonilist lihtsat valemit:

Näites toodud arvutuste lihtsustamiseks võtame päevade arvuks aastas 365, sealhulgas nädalavahetused (see ei mõjuta arvutusmeetodit ja praktikas sarnase näitaja arvutamisel on vaja asendada tööpäevade arv päeva konkreetsel aastal 365 päeva asemel). Siis on selle ringkonnakohtu kohtunike keskmine aastane töökoormus kriminaalasjade arutamisel: 365 (päeva): 5,56 ≈ 65,6 (asjad).

Kui kasutaksime ühe kriminaalasja lahendamise keskmise aja määramiseks lihtsa aritmeetilise keskmise valemit, saaksime:

365 (päevad): 5,64 ≈ 64,7 (juhud), s.o. kohtunike keskmine töökoormus oli väiksem.

Kontrollime selle lähenemisviisi paikapidavust. Selleks kasutame andmeid iga kohtuniku kohta ühele kriminaalasjale kulutatud aja kohta ja arvutame igaühe poolt läbivaadatud kriminaalasjade arvu aastas.

Saame vastavalt:

365 (päevad): 6 ≈ 61 (juhtum), 365 (päevad): 5,6 ≈ 65,2 (juhtum), 365 (päevad): 6,3 ≈ 58 (juhtum),

365 (päevad): 4,9 ≈ 74,5 (juhtumid), 365 (päevad): 5,4 ≈ 68 (juhtumid).

Nüüd arvutame selle ringkonnakohtu kohtunike keskmise aastase töökoormuse kriminaalasjade arutamisel:

Need. aasta keskmine koormus on sama, mis harmoonilise keskmise kasutamisel.

Seega on aritmeetilise keskmise kasutamine antud juhul ebaseaduslik.

Kui tunnuse variandid on teada, nende mahuväärtused (variantide korrutis sagedusega), kuid sagedused ise on teadmata, kasutatakse harmoonilise kaalutud keskmise valemit:

kus x i on tunnuste variantide väärtused ja w i on variantide mahulised väärtused ( w i = x i f i).

Näide. Andmed karistussüsteemi erinevate asutuste toodetud sama liiki kauba ühiku hinna ja selle rakendamise mahu kohta on toodud tabelis 14.

Tabel 14

Leidke toote keskmine müügihind.

Otsus. Keskmise hinna arvutamisel peame kasutama müüdud koguse ja müüdud ühikute arvu suhet. Me ei tea müüdud ühikute arvu, kuid me teame kauba müügimahtu. Seetõttu kasutame müüdud kaupade keskmise hinna leidmiseks harmoonilise kaalutud keskmise valemit. Saame

Kui kasutate siin aritmeetilise keskmise valemit, saate keskmise hinna, mis on ebareaalne:

Geomeetriline keskmine arvutatakse N-astme juure eraldamisel tunnusvariantide kõigi väärtuste korrutisest:

kus x 1, x 2, …, x N on muutuja tunnuse individuaalsed väärtused (valikud) ja

N on rahvastikuühikute arv.

Seda tüüpi keskmist kasutatakse aegridade keskmiste kasvumäärade arvutamiseks.

ruutkeskmine kasutatakse standardhälbe arvutamiseks, mis on variatsiooni indikaator, ja seda käsitletakse allpool.

Rahvastiku struktuuri määramiseks kasutatakse spetsiaalseid keskmisi, mille hulka kuuluvad mediaan ja mood ehk nn struktuursed keskmised. Kui aritmeetiline keskmine arvutatakse kõigi atribuutide väärtuste variantide kasutamise põhjal, siis mediaan ja mood iseloomustavad reastatud (järjestatud) seerias teatud keskmise positsiooni hõivava variandi väärtust. Statistilise üldkogumi ühikute järjestamine võib toimuda uuritava tunnuse variantide kasvavas või kahanevas järjekorras.

Mediaan (mina) on väärtus, mis vastab reastatud seeria keskel olevale variandile. Seega on mediaan järjestatud seeria variant, mille mõlemal poolel peaks selles seerias olema võrdne arv rahvastikuühikuid.

Mediaani leidmiseks peate esmalt määrama selle järjestatud seeria seerianumbri, kasutades valemit:

kus N on rea maht (rahvastiku ühikute arv).

Kui seeria koosneb paaritust arvust liikmetest, siis on mediaan võrdne variandiga, mille arv on N Me . Kui seeria koosneb paarisarvust liikmetest, siis mediaan on defineeritud kahe keskel paikneva kõrvuti asetseva valiku aritmeetilise keskmisena.

Näide. Antud on järjestatud seeria 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. Seeria maht on N = 9, mis tähendab N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Seetõttu Me = 6, st. viies variant. Kui reale on antud 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, s.o. seeria paarisarvuga liikmetega (N = 8), siis N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. Seega on mediaan võrdne poolega neljanda ja viienda variandi summast, s.o. Mina = (9 + 11) / 2 = 10.

Diskreetsete variatsioonide seerias määratakse mediaan akumuleeritud sageduste järgi. Variantsagedused, alustades esimesest, summeeritakse, kuni mediaanarv on ületatud. Viimaste summeeritud valikute väärtus on mediaan.

Näide. Leidke süüdistatavate mediaanarv kriminaalasja kohta, kasutades tabeli 12 andmeid.

Otsus. Sel juhul on variatsioonirea maht N = 154, seega N Me = (154 + 1) / 2 = 77,5. Esimese ja teise variandi sagedused kokku võttes saame: 75 + 43 = 118, s.o. oleme ületanud mediaanarvu. Seega mina = 2.

Jaotuse intervalli variatsioonireas märkige esmalt intervall, milles mediaan asub. Teda kutsutakse mediaan . See on esimene intervall, mille kumulatiivne sagedus ületab poole intervalli variatsioonirea mahust. Seejärel määratakse mediaani arvväärtus järgmise valemiga:

kus x Mina on mediaanintervalli alumine piir; i on mediaanintervalli väärtus; S Mina-1 on mediaanile eelneva intervalli kumulatiivne sagedus; f Mina on mediaanintervalli sagedus.

Näide. Leidke tabelis 13 toodud statistika põhjal varguse eest süüdi mõistetud õigusrikkujate mediaanvanus.

Otsus. Statistilised andmed on esitatud intervalli variatsioonireana, mis tähendab, et kõigepealt määrame kindlaks mediaanintervalli. Populatsiooni maht N = 162, seega on mediaanintervall intervall 18-28, sest see on esimene intervall, mille akumuleeritud sagedus (15 + 90 = 105) ületab poole intervalli variatsioonirea mahust (162: 2 = 81). Nüüd määratakse mediaani arvväärtus ülaltoodud valemiga:

Seega on pooled varguses süüdimõistetutest alla 25-aastased.

Mood (E) nimeta atribuudi väärtus, mida leidub kõige sagedamini üldkogumi ühikutes. Moodi kasutatakse selle tunnuse väärtuse tuvastamiseks, millel on suurim levik. Diskreetsete seeriate puhul on režiimiks kõrgeima sagedusega variant. Näiteks tabelis 3 esitatud diskreetse seeria jaoks Mo= 1, kuna see valikute väärtus vastab kõrgeimale sagedusele - 75. Intervalli seeria režiimi määramiseks määrake esmalt modaalne intervall (kõrgeima sagedusega intervall). Seejärel leitakse selle intervalli sees funktsiooni väärtus, milleks võib olla režiim.

Selle väärtus leitakse järgmise valemi abil:

kus x Mo on modaalintervalli alumine piir; i on modaalintervalli väärtus; f Mo on modaalintervalli sagedus; f Mo-1 on modaalile eelneva intervalli sagedus; f Mo+1 on modaalile järgneva intervalli sagedus.

Näide. Leidke varguse eest süüdi mõistetud kurjategijate vanuserežiim, mille andmed on toodud tabelis 13.

Otsus. Kõrgeim sagedus vastab intervallile 18-28, seetõttu peab režiim olema selles intervallis. Selle väärtus määratakse ülaltoodud valemiga:

Seega on kõige rohkem varguste eest süüdi mõistetud kurjategijaid 24-aastased.

Keskmine väärtus annab uuritava nähtuse terviku üldistava tunnuse. Kaks samade keskmiste väärtustega populatsiooni võivad aga uuritava tunnuse väärtuse kõikumise (variatsiooni) astme poolest üksteisest oluliselt erineda. Näiteks ühes kohtus määrati järgmised vangistuse tähtajad: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 aastat ja teises kohtus - 5, 5, 6, 6, 7, 7. , 7, 8, 8, 8 aastat vana. Mõlemal juhul on aritmeetiline keskmine 6,7 aastat. Need koondnäitajad erinevad aga üksteisest oluliselt määratud vangistuse individuaalsete väärtuste jaotuse poolest keskmise väärtuse suhtes.

Ja esimese kohtu jaoks, kus see kõikumine on üsna suur, ei kajasta keskmine vangistus kogu elanikkonda hästi. Seega, kui atribuudi individuaalsed väärtused erinevad üksteisest vähe, on aritmeetiline keskmine selle populatsiooni omaduste üsna indikatiivne omadus. Vastasel juhul on aritmeetiline keskmine selle populatsiooni ebausaldusväärne tunnus ja selle rakendamine praktikas on ebaefektiivne. Seetõttu on vaja arvestada uuritava tunnuse väärtuste kõikumist.

Variatsioon- need on tunnuse väärtuste erinevused antud populatsiooni erinevates üksustes samal perioodil või ajahetkel. Mõiste "variatsioon" on ladina päritolu - variatio, mis tähendab erinevust, muutust, kõikumist. See tuleneb asjaolust, et atribuudi individuaalsed väärtused moodustuvad erinevate tegurite (tingimuste) koosmõjul, mis kombineeritakse igal üksikjuhul erineval viisil. Tunnuse varieerumise mõõtmiseks kasutatakse erinevaid absoluutseid ja suhtelisi näitajaid.

Peamised variatsiooninäitajad on järgmised:

1) variatsiooni ulatus;

2) keskmine lineaarhälve;

3) dispersioon;

4) standardhälve;

5) variatsioonikoefitsient.

Peatugem lühidalt igaühel neist.

Laiuse variatsioon R on arvutamise lihtsuse mõttes kõige juurdepääsetavam absoluutnäitaja, mida määratletakse kui erinevust selle üldkogumi ühikute atribuudi suurima ja väikseima väärtuse vahel:

Variatsioonivahemik (kõikumiste vahemik) on oluline tunnuse varieeruvuse näitaja, kuid see võimaldab näha ainult äärmuslikke kõrvalekaldeid, mis piirab selle ulatust. Tunnuse variatsiooni täpsemaks iseloomustamiseks selle kõikumise põhjal kasutatakse muid näitajaid.

Keskmine lineaarne hälve tähistab tunnuse üksikute väärtuste keskmisest kõrvalekallete absoluutväärtuste aritmeetilist keskmist ja määratakse valemitega:

1) jaoks rühmitamata andmed

2) jaoks variatsiooni seeria

Kõige laialdasemalt kasutatav variatsioonimõõt on aga dispersioon . See iseloomustab uuritava tunnuse väärtuste leviku mõõtmist selle keskmise väärtuse suhtes. Dispersioon on defineeritud kui hälvete keskmine ruudus.

lihtne dispersioon rühmitamata andmete jaoks:

Kaalutud dispersioon variatsiooniseeria jaoks:

Kommenteeri. Praktikas on dispersiooni arvutamiseks parem kasutada järgmisi valemeid:

Lihtsa dispersiooni jaoks

Kaalutud dispersiooni jaoks

Standardhälve on dispersiooni ruutjuur:

Standardhälve on keskmise usaldusväärsuse mõõt. Mida väiksem on standardhälve, seda homogeensem on üldkogum ja seda paremini kajastab aritmeetiline keskmine kogu üldkogumit.

Eelpool vaadeldud dispersiooninäitajad (variatsioonivahemik, dispersioon, standardhälve) on absoluutnäitajad, mille järgi ei ole alati võimalik hinnata tunnuse kõikumise astet. Mõnes probleemis on vaja kasutada suhtelisi hajumise indekseid, millest üks on variatsioonikoefitsient.

Variatsioonikoefitsient– väljendatud protsendina standardhälbe ja aritmeetilise keskmise suhtest:

Variatsioonikoefitsienti ei kasutata mitte ainult erinevate tunnuste või sama tunnuse varieeruvuse võrdlevaks hindamiseks erinevates populatsioonides, vaid ka populatsiooni homogeensuse iseloomustamiseks. Statistilist üldkogumit loetakse kvantitatiivselt homogeenseks, kui variatsioonikordaja ei ületa 33% (normaaljaotusele lähedased jaotused).

Näide. Karistussüsteemi parandusasutuses kohtu poolt mõistetud karistust kandma toimetatud 50 süüdimõistetu vangistuse tähtaegade kohta on järgmised andmed: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3, 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1, 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. Koostage jaotusseeria vangistuse mõistete järgi.

2. Leidke keskmine, dispersioon ja standardhälve.

3. Arvutage variatsioonikordaja ja tehke järeldus uuritava populatsiooni homogeensuse või heterogeensuse kohta.

Otsus. Diskreetse jaotusseeria koostamiseks on vaja määrata variandid ja sagedused. Selle probleemi valikuvõimalus on vangistuse tähtaeg ja sagedus on üksikute võimaluste arv. Pärast sageduste arvutamist saame järgmised diskreetsed jaotusread:

Leidke keskmine ja dispersioon. Kuna statistilisi andmeid esitatakse diskreetsete variatsioonireana, kasutame nende arvutamiseks aritmeetilise kaalutud keskmise ja dispersiooni valemeid. Saame:

= = 4,1;

= 5,21.

Nüüd arvutame standardhälbe:

Leiame variatsioonikoefitsiendi:

Järelikult on statistiline üldkogum kvantitatiivselt heterogeenne.

lihtne aritmeetiline keskmine

Keskmised väärtused

Statistikas kasutatakse laialdaselt keskmisi väärtusi.

keskmine väärtus- see on üldistav näitaja, milles leitakse uuritava nähtuse üldiste tingimuste, arengumustrite toime väljendus.

Statistilised keskmised arvutatakse õigesti statistiliselt korraldatud vaatluse (pideva ja valimi) massiandmete põhjal. Statistiline keskmine on aga objektiivne ja tüüpiline, kui see arvutatakse kvalitatiivselt homogeense populatsiooni (massinähtused) massiandmete põhjal. Näiteks kui arvutada aktsiaseltside ja riigiettevõtete keskmine palk ja laiendada tulemus kogu elanikkonnale, siis on keskmine fiktiivne, kuna see arvutatakse heterogeense elanikkonna kohta ja selline keskmine kaotab kõik tähenduses.

Keskmise abil toimub justkui üksikutes vaatlusühikutes ühel või teisel põhjusel tekkivate tunnuse suuruse erinevuste silumine.

Näiteks sõltub üksiku müüja keskmine toodang paljudest teguritest: kvalifikatsioon, tööstaaž, vanus, teenistuse vorm, tervis jne. Keskmine toodang peegeldab kogu elanikkonna üldisi tunnuseid.

Keskmist väärtust mõõdetakse samades ühikutes nagu tunnus ise.

Iga keskmine väärtus iseloomustab uuritavat populatsiooni mis tahes tunnuse järgi. Uuritavast elanikkonnast mitmete oluliste tunnuste osas täieliku ja tervikliku pildi saamiseks on vaja keskmiste väärtuste süsteemi, mis kirjeldaks nähtust erinevate nurkade alt.

Keskmisi on erinevat tüüpi:

aritmeetiline keskmine;

keskmine harmooniline;

geomeetriline keskmine;

ruutkeskmine;

keskmine kuup.

Kõikide eespool loetletud tüüpide keskmised jagunevad omakorda lihtsateks (kaalutamata) ja kaalutud.

Mõelge statistikas kasutatavate keskmiste tüüpide tüüpidele.

Lihtne aritmeetiline keskmine (kaalumata) võrdub tunnuse üksikute väärtuste summaga, mis on jagatud nende väärtuste arvuga.

Objekti eraldi väärtusi nimetatakse variantideks ja neid tähistatakse х i (
); rahvastiku ühikute arvu tähistatakse n-ga, tunnuse keskmist väärtust - tähega . Seetõttu on lihtne aritmeetiline keskmine:

või

Näide 1 Tabel 1

Andmed toodete A tootmise kohta töötajate kaupa vahetuse kohta

Selles näites on muutuja atribuut toodete vabastamine vahetuse kohta.

Atribuudi arvväärtusi (16, 17 jne) nimetatakse variantideks. Määrame selle rühma töötajate keskmise toodangu:

PC.

Lihtsat aritmeetilist keskmist kasutatakse juhtudel, kui on olemas tunnuse individuaalsed väärtused, st. andmed ei ole grupeeritud. Kui andmed esitatakse jaotusridade või rühmitustena, siis arvutatakse keskmine teisiti.

Aritmeetiline kaalutud keskmine

Aritmeetiline kaalutud keskmine on võrdne atribuudi (valiku) iga üksiku väärtuse korrutiste summaga vastava sagedusega, jagatud kõigi sageduste summaga.

Identsete tunnusväärtuste arvu jaotuseseerias nimetatakse sageduseks või kaaluks ja seda tähistatakse f i-ga.

Selle kohaselt näeb aritmeetiline kaalutud keskmine välja järgmine:

või

Valemist on näha, et keskmine ei sõltu ainult atribuudi väärtustest, vaid ka nende sagedustest, s.t. rahvastiku koosseisust, selle struktuurist.

Näide 2 tabel 2

Töötajate palgaandmed

Diskreetsete jaotusseeriate andmetel on näha, et atribuudi (valikute) samu väärtusi korratakse mitu korda. Niisiis, variant x 1 esineb koondkokkuvõttes 2 korda ja variant x 2 - 6 korda jne.

Arvutage keskmine palk töötaja kohta:

Iga töötajate rühma palgafond võrdub valikuvõimaluste ja sageduse korrutisega (
) ja nende toodete summa annab kõigi töötajate kogupalgafondi (
).

Kui arvutada lihtsa aritmeetilise keskmise valemiga, oleks keskmine sissetulek 3000 rubla. (). Saadud tulemust esialgsete andmetega võrreldes on ilmne, et keskmine palk peaks olema oluliselt kõrgem (üle poole töötajatest saavad palka üle 3000 rubla). Seetõttu on lihtsa aritmeetilise keskmise arvutamine sellistel juhtudel ekslik.

Töötlemise tulemusena saadud statistilist materjali saab esitada mitte ainult diskreetsete jaotusridadena, vaid ka suletud või avatud intervallidega intervallvariatsiooniridadena.

Mõelge selliste seeriate aritmeetilise keskmise arvutamisele.

Keskmine on:

Keskmine väärtus

Keskmine väärtus- arvude või funktsioonide komplekti arvomadus; - mingi arv, mis jääb nende väikseima ja suurima väärtuse vahele.

1 Põhiteave
2 Vahendite hierarhia matemaatikas
3 Tõenäosusteoorias ja statistikas
4 Vt ka
5 Märkused

Põhiandmed

Keskmiste teooria kujunemise lähtepunktiks oli Pythagorase koolkonna proportsioonide uurimine. Samas ei tehtud ranget vahet keskmise ja proportsiooni mõistete vahel. Olulise tõuke proportsiooniteooria arendamisele aritmeetilisest vaatenurgast andsid Kreeka matemaatikud - Nikomachus Gerasest (I lõpp – II sajandi algus pKr) ja Aleksandria Pappus (III sajand pKr). Keskmise mõiste kujunemise esimene etapp on etapp, mil keskmist hakati pidama pideva proportsiooni keskseks liikmeks. Kuid keskmise kui progressiooni keskse väärtuse kontseptsioon ei võimalda tuletada keskmise mõistet n-liikmelise jada suhtes, olenemata sellest, millises järjekorras need üksteisele järgnevad. Selleks on vaja kasutada keskmiste formaalset üldistamist. Järgmine etapp on üleminek pidevatelt proportsioonidelt progressioonidele – aritmeetilisele, geomeetrilisele ja harmoonilisele.

Statistika ajaloos seostatakse esimest korda keskmiste laialdast kasutamist inglise teadlase W. Petty nimega. W. Petty oli üks esimesi, kes püüdis keskmisele väärtusele anda statistilist tähendust, sidudes seda majanduskategooriatega. Kuid Petty ei kirjeldanud keskmise väärtuse mõistet, selle jaotamist. A. Quetelet peetakse keskmiste teooria rajajaks. Ta oli üks esimesi, kes arendas järjekindlalt keskmiste teooriat, püüdes tuua sellele matemaatilist alust. A. Quetelet tõi välja kahte tüüpi keskmisi – tegelikud keskmised ja aritmeetilised keskmised. Õigesti keskmised tähistavad asja, numbrit, mis on tõesti olemas. Tegelikult tuleks keskmised või statistilised keskmised tuletada sama kvaliteediga nähtustest, mis on oma sisemise olulisuse poolest identsed. Aritmeetilised keskmised on arvud, mis annavad võimalikult suure ettekujutuse paljudest erinevatest, ehkki homogeensetest arvudest.

Iga tüüpi keskmine võib olla kas lihtne keskmine või kaalutud keskmine. Keskmise vormi valiku õigsus tuleneb uurimisobjekti materiaalsest iseloomust. Kui keskmistatud tunnuse üksikud väärtused ei kordu, kasutatakse lihtsaid keskmise valemeid. Kui praktilistes uuringutes esinevad uuritava tunnuse individuaalsed väärtused uuritava populatsiooni ühikutes mitu korda, siis on üksikute tunnuste väärtuste kordumise sagedus võimsuse keskmiste arvutusvalemites olemas. Sel juhul nimetatakse neid kaalutud keskmise valemiteks.

Wikimedia sihtasutus. 2010. aasta.

Keskmine väärtus on analüütilisest seisukohast kõige väärtuslikum ja statistiliste näitajate universaalne väljendusvorm. Kõige tavalisemal keskmisel – aritmeetilisel keskmisel – on mitmeid matemaatilisi omadusi, mida saab selle arvutamisel kasutada. Samas on konkreetse keskmise arvutamisel alati soovitatav tugineda selle loogilisele valemile, milleks on tunnuse mahu ja üldkogumi mahu suhe. Iga keskmise kohta on ainult üks tõeline võrdlussuhe, mis võib olenevalt saadaolevatest andmetest vajada erinevaid vahendeid. Kõigil juhtudel, kui keskmistatud väärtuse olemus eeldab kaalude olemasolu, ei saa aga kaalutud keskmise valemi asemel kasutada nende kaalumata valemeid.

Keskmine väärtus on üldkogumile tunnuse kõige iseloomulikum väärtus ja üldkogumi tunnuse suurus, mis on jagatud võrdsetes osades üldkogumi üksuste vahel.

Nimetatakse tunnust, mille jaoks keskmine väärtus arvutatakse keskmistatud .

Keskmine väärtus on näitaja, mis arvutatakse absoluutsete või suhteliste väärtuste võrdlemisel. Keskmine väärtus on

Keskmine väärtus peegeldab kõigi uuritavat nähtust mõjutavate tegurite mõju ja on nende tulemus. Teisisõnu, individuaalsete kõrvalekallete tagasimaksmisel ja juhtumite mõju kõrvaldamisel toimib keskmine väärtus, mis peegeldab selle tegevuse tulemuste üldist mõõdet, uuritava nähtuse üldise mustrina.

Keskmiste väärtuste kasutamise tingimused:

Ø uuritava populatsiooni homogeensus. Kui mõnel juhusliku teguri mõju all oleva populatsiooni elemendil on uuritava tunnuse väärtused teistest oluliselt erinevad, mõjutavad need elemendid selle populatsiooni keskmise suurust. Sel juhul ei väljenda keskmine üldkogumi jaoks tunnuse kõige tüüpilisemat väärtust. Kui uuritav nähtus on heterogeenne, tuleb see jagada homogeenseid elemente sisaldavateks rühmadeks. Sel juhul arvutatakse rühmade keskmised - rühma keskmised, mis väljendavad nähtuse kõige iseloomulikumat väärtust igas rühmas ja seejärel arvutatakse kõigi elementide üldine keskmine väärtus, mis iseloomustab nähtust tervikuna. See arvutatakse rühma keskmiste keskmisena, mis on kaalutud igasse rühma kuuluvate populatsioonielementide arvuga;

Ø piisav arv ühikuid agregaadis;

Ø tunnuse maksimaalne ja minimaalne väärtus uuritavas populatsioonis.

Keskmine väärtus (näitaja)- see on tunnuse üldine kvantitatiivne tunnus süstemaatilises populatsioonis konkreetsetes kohas ja ajal.

Statistikas kasutatakse järgmisi keskmiste vorme (tüüpe), mida nimetatakse võimsuseks ja struktuuriks:

Ø aritmeetiline keskmine(lihtne ja kaalutud);

lihtne

Matemaatikas on arvude aritmeetiline keskmine (või lihtsalt keskmine) antud hulga kõigi arvude summa jagatud nende arvuga. See on keskmise väärtuse kõige üldistatum ja laialt levinud kontseptsioon. Nagu juba aru saite, peate keskmise väärtuse leidmiseks kokku võtma kõik teile antud numbrid ja jagama tulemuse terminite arvuga.

Mis on aritmeetiline keskmine?

Vaatame näidet.

Näide 1. Arvud on antud: 6, 7, 11. Peate leidma nende keskmise väärtuse.

Otsus.

Esiteks leiame kõigi antud arvude summa.

Nüüd jagame saadud summa liikmete arvuga. Kuna meil on vastavalt kolm terminit, jagame kolmega.

Seetõttu on arvude 6, 7 ja 11 keskmine 8. Miks 8? Jah, sest 6, 7 ja 11 summa on sama, mis kolm kaheksat. See on joonisel selgelt näha.

Keskmine väärtus meenutab mõnevõrra numbrite jada "joondamist". Nagu näha, on pliiatsihunnikutest saanud üks tasapind.

Mõelge saadud teadmiste kinnistamiseks veel üks näide.

Näide 2 Arvud on antud: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Peate leidma nende aritmeetilise keskmise.

Otsus.

Leiame summa.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Jagage terminite arvuga (antud juhul 15).

Seetõttu on selle arvude jada keskmine väärtus 22.

Nüüd kaaluge negatiivseid numbreid. Tuletagem meelde, kuidas neid kokku võtta. Näiteks on teil kaks numbrit 1 ja -4. Leiame nende summa.

1 + (-4) = 1 – 4 = -3

Seda teades kaaluge teist näidet.

Näide 3 Leidke arvude jada keskmine väärtus: 3, -7, 5, 13, -2.

Otsus.

Arvude summa leidmine.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Kuna liikmeid on 5, jagame saadud summa 5-ga.

Seetõttu on arvude 3, -7, 5, 13, -2 aritmeetiline keskmine 2,4.

Meie tehnoloogia arengu ajal on keskmise väärtuse leidmiseks palju mugavam kasutada arvutiprogramme. Microsoft Office Excel on üks neist. Keskmise leidmine Excelis on kiire ja lihtne. Lisaks on see programm Microsoft Office'i tarkvarapaketis. Kaaluge lühikest juhist selle programmi abil aritmeetilise keskmise leidmiseks.

Arvurea keskmise väärtuse arvutamiseks peate kasutama funktsiooni AVERAGE. Selle funktsiooni süntaks on:
=Keskmine(argument1, argument2, ... argument255)
kus argument1, argument2, ... argument255 on kas numbrid või lahtriviited (lahtrid tähendavad vahemikke ja massiive).

Et asi selgem oleks, paneme saadud teadmised proovile.

Sisestage numbrid 11, 12, 13, 14, 15, 16 lahtritesse C1 - C6.
Valige lahter C7, klõpsates sellel. Selles lahtris kuvame keskmise väärtuse.
Klõpsake vahekaarti "Valemid".
Rippmenüü avamiseks valige Rohkem funktsioone > Statistiline.
Valige KESKMINE. Pärast seda peaks avanema dialoogiboks.
Dialoogiboksis vahemiku määramiseks valige ja lohistage lahtrid C1-C6 sinna.
Kinnitage oma toimingud nupuga "OK".
Kui tegite kõik õigesti, peaks lahtris C7 olema vastus - 13.7. Kui klõpsate lahtril C7, kuvatakse valemiribal funktsioon (=Keskmine(C1:C6)).

Seda funktsiooni on väga kasulik kasutada raamatupidamises, arvete esitamisel või siis, kui on vaja lihtsalt leida väga pika numbrivahemiku keskmine. Seetõttu kasutatakse seda sageli kontorites ja suurtes ettevõtetes. See võimaldab hoida arvestust korras ja võimaldab kiiresti midagi välja arvutada (näiteks kuu keskmine sissetulek). Funktsiooni keskmise väärtuse leidmiseks saate kasutada ka Excelit.

Keskmine

Sellel terminil on muid tähendusi, vt keskmist tähendust.

Keskmine(matemaatikas ja statistikas) arvude komplektid - kõigi arvude summa jagatud nende arvuga. See on üks levinumaid keskse tendentsi näitajaid.

Selle pakkusid välja (koos geomeetrilise keskmise ja harmoonilise keskmisega) Pythagoreanid.

Aritmeetilise keskmise erijuhud on keskmine (üldkogumi) ja valimi keskmine (valimitest).

Sissejuhatus

Tähistage andmete kogum X = (x 1 , x 2 , …, x n), siis valimi keskmist tähistatakse tavaliselt horisontaalse ribaga muutuja kohal (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) , hääldatakse " x kriipsuga").

Mõlemad kogused arvutatakse samal viisil:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1) (n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1) (n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).

Näited

Kolme numbri jaoks peate need liitma ja jagama 3-ga:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).

Nelja numbri jaoks peate need liitma ja jagama 4-ga:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).

Või lihtsam 5+5=10, 10:2. Kuna me lisasime 2 numbrit, mis tähendab, et mitu numbrit liidame, jagame selle arvuga.

Pidev juhuslik muutuja

Pidevalt jaotatud väärtuse f (x) (\displaystyle f(x)) aritmeetiline keskmine intervallil [ a ; b ] (\displaystyle ) defineeritakse kindla integraali kaudu:

F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Mõned keskmise kasutamise probleemid

Tugevuse puudumine

Peamine artikkel: Tugevus statistikas

Liitintress

Peamine artikkel: ROI

Kui numbrid korrutada, kuid mitte voltida, peate kasutama geomeetrilist, mitte aritmeetilist keskmist. Kõige sagedamini juhtub see juhtum finantsinvesteeringute tasuvuse arvutamisel.

[30 $ (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 $ (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 $]. Kui kasutame samamoodi 10% aritmeetilist keskmist, ei saa me tegelikku väärtust: [30 $ (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 $].

Juhised

Peamine artikkel: Sihtkoha statistika

Esiteks on nurkmõõtmised määratletud ainult vahemikus 0° kuni 360° (või radiaanides mõõdetuna 0 kuni 2π). Seega võiks sama numbripaari kirjutada kui (1° ja −1°) või kui (1° ja 719°). Iga paari keskmised on erinevad: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2))= 0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
Teiseks, sel juhul oleks väärtus 0° (võrdne 360°-ga) geomeetriliselt parim keskmine, kuna arvud erinevad 0°-st vähem kui mis tahes muust väärtusest (väärtusel 0° on kõige väiksem dispersioon). Võrdlema:
- arv 1° erineb 0°-st ainult 1° võrra;
- arv 1° erineb arvutatud keskmisest 180° 179° võrra.

Kaalutud keskmine – mis see on ja kuidas seda arvutada?

Matemaatika õppimise käigus tutvutakse aritmeetilise keskmise mõistega. Tulevikus seisavad õpilased statistikas ja mõnes teises teaduses silmitsi ka muude keskmiste arvutamisega. Mis need olla võivad ja mille poolest need üksteisest erinevad?

Keskmised: tähendus ja erinevused

Mitte alati täpsed näitajad ei anna olukorrast aru. Selle või selle olukorra hindamiseks on mõnikord vaja analüüsida tohutult palju arve. Ja siis tulevad appi keskmised. Need võimaldavad teil olukorda üldiselt hinnata.

Kooliajast alates mäletavad paljud täiskasvanud aritmeetilise keskmise olemasolu. Seda on väga lihtne arvutada – n liikme jada summa jagub n-ga. See tähendab, et kui teil on vaja arvutada aritmeetiline keskmine väärtuste jadas 27, 22, 34 ja 37, siis peate lahendama avaldise (27 + 22 + 34 + 37) / 4, kuna 4 väärtust arvutustes kasutatakse. Sel juhul on soovitud väärtus 30.

Sageli õpitakse koolikursuse raames ka geomeetrilist keskmist. Selle väärtuse arvutamine põhineb n-nda astme juure eraldamisel n liikme korrutisest. Kui võtame samad arvud: 27, 22, 34 ja 37, siis on arvutuste tulemus 29,4.

Harmooniline keskmine üldhariduskoolis ei ole tavaliselt õppeaine. Siiski kasutatakse seda üsna sageli. See väärtus on aritmeetilise keskmise pöördväärtus ja arvutatakse n - väärtuste arvu ja summa 1/a 1 +1/a 2 +...+1/a n jagatis. Kui võtame arvutamiseks uuesti sama arvude jada, siis on harmooniline 29,6.

Kaalutud keskmine: omadused

Kuid kõiki ülaltoodud väärtusi ei pruugi kõikjal kasutada. Näiteks statistikas mängib mõne keskmise väärtuse arvutamisel olulist rolli iga arvutuses kasutatud arvu "kaal". Tulemused on paljastavamad ja õigemad, kuna need võtavad rohkem teavet. Seda väärtuste rühma nimetatakse ühiselt "kaalutud keskmiseks". Koolis neid ei läbita, seega tasub neil pikemalt peatuda.

Kõigepealt tasub selgitada, mida konkreetse väärtuse "kaalu" all mõeldakse. Lihtsaim viis seda selgitada konkreetse näitega. Iga patsiendi kehatemperatuuri mõõdetakse haiglas kaks korda päevas. Haigla erinevates osakondades olevast 100 patsiendist on 44-l normaalne temperatuur - 36,6 kraadi. Veel 30 väärtust suurendatakse - 37,2, 14 - 38, 7 - 38,5, 3 - 39 ja ülejäänud kahel - 40. Ja kui me võtame aritmeetilise keskmise, siis on see haigla jaoks üldiselt üle 38 kraadi. ! Kuid peaaegu pooltel patsientidest on täiesti normaalne temperatuur. Ja siin oleks õigem kasutada kaalutud keskmist ja iga väärtuse "kaaluks" saab inimeste arv. Sel juhul on arvutuse tulemuseks 37,25 kraadi. Erinevus on ilmne.

Kaalutud keskmise arvutuse puhul võib "kaaluks" võtta saadetiste arvu, antud päeval töötavate inimeste arvu, üldiselt kõike, mida on võimalik mõõta ja mõjutada lõpptulemust.

Sordid

Kaalutud keskmine vastab artikli alguses käsitletud aritmeetilisele keskmisele. Kuid esimene väärtus, nagu juba mainitud, võtab arvesse ka iga arvutustes kasutatud numbri kaalu. Lisaks on olemas ka kaalutud geomeetrilised ja harmoonilised väärtused.

On veel üks huvitav sort, mida kasutatakse numbrite seeriates. See on kaalutud liikuv keskmine. Selle põhjal arvutatakse suundumused. Lisaks väärtustele endile ja nende kaalule kasutatakse seal ka perioodilisust. Ja keskmise väärtuse arvutamisel mingil ajahetkel võetakse arvesse ka eelmiste ajaperioodide väärtusi.

Kõigi nende väärtuste arvutamine pole nii keeruline, kuid praktikas kasutatakse tavaliselt ainult tavalist kaalutud keskmist.

Arvutusmeetodid

Arvutistamise ajastul pole vaja kaalutud keskmist käsitsi arvutada. Kasulik oleks aga teada arvutusvalemit, et saaks saadud tulemusi kontrollida ja vajadusel korrigeerida.

Arvutamist on kõige lihtsam kaaluda konkreetse näite põhjal.

Tuleb välja selgitada, milline on selle ettevõtte keskmine palk, võttes arvesse konkreetset palka saavate töötajate arvu.

Seega arvutatakse kaalutud keskmine järgmise valemi abil:

x = (a 1 *w 1 +a 2 *w 2 +...+a n *w n)/(w 1 + w 2 +...+w n)

Näiteks oleks arvutus järgmine:

x = (32*20+33*35+34*14+40*6)/(20+35+14+6) = (640+1155+476+240)/75 = 33,48

Ilmselgelt pole kaalutud keskmise käsitsi arvutamisel erilist raskust. Selle väärtuse arvutamise valem ühes kõige populaarsemas valemitega rakenduses - Excelis - näeb välja nagu funktsioon SUMPRODUCT (arvude jada; kaalude jada) / SUM (kaalude seeria).

Kuidas leida Excelis keskmist väärtust?

kuidas leida excelis aritmeetilist keskmist?

Vladimir09854

Sama lihtne kui pirukas. Excelis keskmise väärtuse leidmiseks on vaja ainult 3 lahtrit. Esimeses kirjutame ühe numbri, teises - teise. Ja kolmandas lahtris hindame valemi, mis annab meile nende kahe esimese ja teise lahtri keskmise väärtuse. Kui lahtrit nr 1 nimetatakse A1, lahtrit nr 2 nimetatakse B1, siis tuleb valemiga lahtrisse kirjutada järgmiselt:

See valem arvutab kahe arvu aritmeetilise keskmise.

Arvutuste ilu huvides võime lahtrid esile tõsta joontega, plaadi kujul.

Excelis endas on ka funktsioon keskmise väärtuse määramiseks, aga kasutan vanamoodsat meetodit ja sisestan vajaliku valemi. Seega olen kindel, et Excel arvutab täpselt nii, nagu mina vajan, ega tule välja mingisuguseid ümardusi.

M3sergei

See on väga lihtne, kui andmed on juba lahtritesse sisestatud. Kui olete lihtsalt numbrist huvitatud, valige lihtsalt soovitud vahemik/vahemikud ja nende arvude summa väärtus, aritmeetiline keskmine ja arv kuvatakse all paremal oleval olekuribal.

Saate valida tühja lahtri, klõpsata kolmnurgal (rippmenüüs) "Automaatne summa" ja valida seal "Keskmine", mille järel nõustute arvutamiseks pakutud vahemikuga või valige oma.

Lõpuks saate valemeid otse kasutada – klõpsake valemiriba ja lahtri aadressi kõrval "Sisesta funktsioon". Funktsioon AVERAGE on kategoorias "Statistika" ja võtab argumentidena nii numbreid kui ka lahtriviiteid jne. Seal saab valida ka keerulisemaid valikuid, näiteks AVERAGEIF - keskmise arvutamine tingimuse järgi.

Leidke Excelis keskmine on üsna lihtne ülesanne. Siin peate aru saama, kas soovite seda keskmist väärtust mõnes valemis kasutada või mitte.

Kui teil on vaja saada ainult väärtus, siis piisab vajaliku arvuvahemiku valimisest, mille järel arvutab excel automaatselt keskmise väärtuse - see kuvatakse olekuribal pealkirjaga "Keskmine".

Kui soovite tulemust valemites kasutada, saate seda teha:

1) Summeerige lahtrid funktsiooni SUM abil ja jagage see kõik arvude arvuga.

2) Õigem variant on kasutada spetsiaalset funktsiooni AVERAGE. Selle funktsiooni argumendid võivad olla järjestikku antud numbrid või arvude vahemik.

Vladimir Tihhonov

tehke arvutusse kaasatud väärtused ringiga, klõpsake vahekaarti "Valemid", seal näete vasakul "Automaatne summa" ja selle kõrval allapoole suunatud kolmnurk. klõpsake sellel kolmnurgal ja valige "Keskmine". Voila, tehtud) veeru allosas näete keskmist väärtust :)

Jekaterina Mutalapova

Alustame algusest ja järjekorras. Mida tähendab keskmine?

Keskmine väärtus on väärtus, mis on aritmeetiline keskmine, s.t. arvutatakse, lisades arvude komplekti ja jagades seejärel arvude kogusumma nende arvuga. Näiteks arvude 2, 3, 6, 7, 2 puhul on see 4 (arvude 20 summa jagatakse nende arvuga 5)

Exceli tabelis oli minu jaoks isiklikult kõige lihtsam kasutada valemit =KESKMINE. Keskmise väärtuse arvutamiseks tuleb tabelisse sisestada andmed, andmeveeru alla kirjutada funktsioon =AVERAGE() ning sulgudes märkida lahtrites olevate numbrite vahemik, tuues esile andmetega veeru. Pärast seda vajutage sisestusklahvi (ENTER) või lihtsalt vasakklõpsake mis tahes lahtril. Tulemus kuvatakse veeru all olevasse lahtrisse. Pealtnäha on kirjeldus arusaamatu, aga tegelikult on see minutite küsimus.

Seikleja 2000

Exceli programm on mitmetahuline, seega on mitu võimalust, mis võimaldavad teil keskmise leida:

Esimene variant. Lihtsalt liidate kõik lahtrid kokku ja jagate nende arvuga;

Teine variant. Kasutage spetsiaalset käsku, kirjutage vajalikku lahtrisse valem "= AVERAGE (ja siin määrake lahtrite vahemik)";

Kolmas variant. Kui valite vajaliku vahemiku, siis pange tähele, et alloleval lehel kuvatakse ka nende lahtrite keskmine väärtus.

Seega on keskmise väärtuse leidmiseks palju võimalusi, peate lihtsalt valima endale sobivaima ja kasutama seda pidevalt.

Excelis saate funktsiooni AVERAGE abil arvutada lihtsa aritmeetilise keskmise. Selleks peate sisestama teatud arvu väärtusi. Vajutage võrdusmärki ja valige kategooriast Statistika, mille hulgast valige funktsioon AVERAGE

Samuti saate statistiliste valemite abil arvutada aritmeetilise kaalutud keskmise, mida peetakse täpsemaks. Selle arvutamiseks vajame indikaatori ja sageduse väärtusi.

Kuidas leida Excelis keskmist?

Olukord on selline. Seal on järgmine tabel:

Punasega varjutatud veerud sisaldavad ainete hinnete arvväärtusi. Veerus "Keskmine" peate arvutama nende keskmise väärtuse.
Probleem on järgmine: kokku on 60-70 objekti ja osa neist on teisel lehel.
Vaatasin teisest dokumendist, keskmine on juba arvutatud ja lahtris on selline valem nagu
="lehe nimi"!|E12
aga seda tegi mõni programmeerija, kes vallandati.
Ütle mulle, palun, kes sellest aru saab.

Hektor

Funktsioonide reale sisestate pakutud funktsioonide hulgast "KESKMINE" ja valite näiteks Ivanovi jaoks, kust need tuleb arvutada (B6: N6). Ma ei tea naaberlehtede kohta kindlalt, kuid kindlasti on see Windowsi standardspikris

Rääkige mulle, kuidas Wordis keskmist väärtust arvutada

Palun öelge mulle, kuidas Wordis keskmist väärtust arvutada. Nimelt hinnangute keskmine väärtus, mitte hinnanguid saanud inimeste arv.

Julia pavlova

Word suudab makrodega palju ära teha. Vajutage ALT+F11 ja kirjutage makroprogramm.
Lisaks võimaldab Insert-Object... kasutada muid programme, isegi Excelit, et luua Wordi dokumendi sees tabel.
Kuid sel juhul peate oma numbrid tabeli veergu üles kirjutama ja panema keskmise sama veeru alumisse lahtrisse, eks?
Selleks sisestage väli alumisse lahtrisse.
Sisesta-väli...-valem
Välja sisu
[=KESKMINE(ÜLAL)]
tagastab ülaltoodud lahtrite summa keskmise.
Kui väli on valitud ja hiire paremat nuppu vajutatud, saab seda värskendada, kui numbrid on muutunud,
vaadake koodi või välja väärtust, muutke koodi otse väljal.
Kui midagi läheb valesti, kustutage lahtris kogu väli ja looge see uuesti.
KESKMINE tähendab keskmist, ABOVE - umbes, see tähendab ülaltoodud lahtririda.
Ma ise seda kõike ei teadnud, kuid leidsin selle kergelt mõeldes muidugi HELP-ist.

Teema: Statistika

Valik number 2

Statistikas kasutatavad keskmised väärtused

Sissejuhatus……………………………………………………………………………….3

Teoreetiline ülesanne

Keskmine väärtus statistikas, selle olemus ja rakendustingimused.

1.1. Keskmise väärtuse olemus ja kasutustingimused………….4

1.2. Keskmiste väärtuste tüübid…………………………………………………8

Praktiline ülesanne

Ülesanne 1,2,3…………………………………………………………………………14

Järeldus……………………………………………………………………………….21

Kasutatud kirjanduse loetelu……………………………………………………23

Sissejuhatus

See test koosneb kahest osast – teoreetilisest ja praktilisest. Teoreetilises osas käsitletakse üksikasjalikult sellist olulist statistilist kategooriat nagu keskmine väärtus, et teha kindlaks selle olemus ja kasutustingimused, samuti teha kindlaks keskmiste tüübid ja nende arvutamise meetodid.

Statistika uurib, nagu teate, massilisi sotsiaal-majanduslikke nähtusi. Kõigil neil nähtustel võib olla sama tunnuse erinev kvantitatiivne väljendus. Näiteks sama eriala töötajate palgad või sama toote turuhinnad jne. Keskmised väärtused iseloomustavad äritegevuse kvalitatiivseid näitajaid: turustuskulud, kasum, kasumlikkus jne.

Mis tahes populatsiooni uurimiseks vastavalt erinevatele (kvantitatiivselt muutuvatele) omadustele kasutab statistika keskmisi.

Keskmine essents

Keskmine väärtus on üldistav kvantitatiivne tunnus sama tüüpi nähtuste kogumile vastavalt ühele muutuvale tunnusele. Majanduspraktikas kasutatakse laia valikut näitajaid, mis arvutatakse keskmistena.

Keskmise väärtuse kõige olulisem omadus on see, et see esindab teatud atribuudi väärtust kogu populatsioonis ühe arvuna, vaatamata selle kvantitatiivsetele erinevustele populatsiooni üksikutes üksustes, ja väljendab ühist, mis on omane kõikidele ühikutele. uuritav elanikkond. Seega iseloomustab see rahvastiku ühiku tunnuse kaudu kogu populatsiooni tervikuna.

Keskmised on seotud suurte arvude seadusega. Selle seose olemus seisneb selles, et üksikute väärtuste juhuslike kõrvalekallete keskmistamisel suurte arvude seaduse toimimise tõttu need üksteist välistavad ja keskmises ilmneb peamine arengusuund, vajalikkus, korrapärasus. Keskmised väärtused võimaldavad võrrelda erineva ühikute arvuga populatsioonidega seotud näitajaid.

Kaasaegsetes majanduse turusuhete arengu tingimustes on keskmised sotsiaalmajanduslike nähtuste objektiivsete mustrite uurimise tööriist. Majandusanalüüs ei tohiks aga piirduda ainult keskmiste näitajatega, sest üldised soodsad keskmised võivad varjata nii üksikute majandusüksuste tegevuse suuri kui tõsiseid puudujääke ning uue, progressiivse võsu. Näiteks rahvastiku jaotus sissetulekute järgi võimaldab tuvastada uute sotsiaalsete rühmade teket. Seetõttu on keskmiste statistiliste andmete kõrval vaja arvestada ka rahvastiku üksikute üksuste tunnuseid.

Keskmine väärtus on kõigi uuritavat nähtust mõjutavate tegurite tulemus. See tähendab, et keskmiste väärtuste arvutamisel tühistab juhuslike (häirivate, individuaalsete) tegurite mõju üksteist ja seega on võimalik kindlaks teha uuritavale nähtusele omane muster. Adolf Quetelet rõhutas, et keskmiste meetodi olulisus seisneb ülemineku võimaluses ainsuselt üldisele, juhuslikult regulaarsele ning keskmiste olemasolu on objektiivse reaalsuse kategooria.

Statistika uurib massinähtusi ja -protsesse. Igal neist nähtustest on nii kogu komplektile ühised kui ka erilised individuaalsed omadused. Üksikute nähtuste erinevust nimetatakse variatsiooniks. Teine massinähtuste omadus on nende olemuslik lähedus üksikute nähtuste omadustele. Seega viib komplekti elementide vastastikmõju vähemalt osa nende omaduste varieerumise piiramiseni. See suundumus eksisteerib objektiivselt. Keskmiste väärtuste praktikas ja teoreetiliselt laialdasema rakendamise põhjus on selle objektiivsus.

Statistika keskmine väärtus on üldistav näitaja, mis iseloomustab nähtuse tüüpilist taset konkreetsetes koha- ja ajatingimustes, peegeldades muutuva atribuudi suurust kvalitatiivselt homogeense populatsiooni ühiku kohta.

Majanduspraktikas kasutatakse laia valikut näitajaid, mis arvutatakse keskmistena.

Keskmiste meetodi abil lahendab statistika palju probleeme.

Keskmiste põhiväärtus on nende üldistav funktsioon, st tunnuse paljude erinevate individuaalsete väärtuste asendamine keskmise väärtusega, mis iseloomustab kogu nähtuste kogumit.

Kui keskmine väärtus üldistab tunnuse kvalitatiivselt homogeenseid väärtusi, siis on see tunnuse tüüpiline tunnus antud populatsioonis.

Siiski on vale vähendada keskmiste väärtuste rolli ainult tunnuste tüüpiliste väärtuste iseloomustamiseks populatsioonides, mis on selle tunnuse poolest homogeensed. Praktikas kasutab kaasaegne statistika palju sagedamini keskmisi, mis üldistavad selgelt homogeenseid nähtusi.

Rahvatulu keskmine väärtus elaniku kohta, teravilja keskmine saagikus kogu riigis, erinevate toiduainete keskmine tarbimine on riigi kui ühtse majandussüsteemi tunnused, need on nn süsteemi keskmised.

Süsteemi keskmised võivad iseloomustada nii üheaegselt eksisteerivaid ruumi- või objektisüsteeme (riik, tööstusharu, piirkond, planeet Maa jne) kui ka ajas (aasta, kümnend, aastaaeg jne) laiendatud dünaamilisi süsteeme.

Keskmise väärtuse kõige olulisem omadus on see, et see peegeldab ühist, mis on omane kõigile uuritava populatsiooni üksustele. Rahvastiku üksikute üksuste atribuudi väärtused kõiguvad ühes või teises suunas paljude tegurite mõjul, mille hulgas võib olla nii põhilisi kui ka juhuslikke. Näiteks ettevõtte kui terviku aktsiahinna määrab tema finantsseisund. Samas võib teatud päevadel ja teatud börsidel, tulenevalt valitsevatest oludest, neid aktsiaid müüa kõrgema või madalama kursiga. Keskmise olemus seisneb selles, et see tühistab populatsiooni üksikute ühikute atribuudi väärtuste kõrvalekalded juhuslike tegurite mõjul ja võtab arvesse muutusi, mis on põhjustatud elanikkonna tegevusest. peamised tegurid. See võimaldab keskmisel kajastada atribuudi tüüpilist taset ja võtta abstraktse üksikutele üksustele omastest individuaalsetest omadustest.

Keskmise arvutamine on üks levinud üldistustehnika; keskmine näitaja peegeldab üldist, mis on tüüpiline (tüüpiline) uuritava üldkogumi kõikidele üksustele, samas eirab üksikute üksuste erinevusi. Igas nähtuses ja selle arengus on kombinatsioon juhusest ja vajadusest.

Keskmine on kokkuvõtlik iseloomustus protsessi seaduspärasustest tingimustes, milles see kulgeb.

Iga keskmine iseloomustab uuritavat populatsiooni mis tahes ühe tunnuse järgi, kuid mis tahes populatsiooni iseloomustamiseks, selle tüüpiliste tunnuste ja kvalitatiivsete tunnuste kirjeldamiseks on vaja keskmiste näitajate süsteemi. Seetõttu arvutatakse sotsiaal-majanduslike nähtuste uurimiseks siseriikliku statistika praktikas reeglina keskmiste näitajate süsteem. Nii hinnatakse näiteks keskmise palga näitajat koos keskmise toodangu, kapitali ja kaalu suhte ning tööjõu võimsuse ja kaalu suhte, töö mehhaniseerituse ja automatiseerituse astme näitajatega jne.

Keskmine tuleks arvutada, võttes arvesse uuritava näitaja majanduslikku sisu. Seetõttu saab konkreetse sotsiaal-majanduslikus analüüsis kasutatava näitaja kohta teaduslikul arvutusmeetodil välja arvutada ainult ühe keskmise tegeliku väärtuse.

Keskmine väärtus on üks olulisemaid üldistavaid statistilisi näitajaid, mis iseloomustab sama tüüpi nähtuste kogumit mõne kvantitatiivselt muutuva tunnuse järgi. Statistikas on keskmised üldistavad näitajad, sotsiaalsete nähtuste tüüpilisi iseloomulikke dimensioone väljendavad numbrid ühe kvantitatiivselt muutuva tunnuse järgi.

Keskmiste tüübid

Keskmiste väärtuste tüübid erinevad peamiselt selle poolest, millist omadust, millist tunnuse individuaalsete väärtuste algse muutuva massi parameetrit tuleks muutmata jätta.

Aritmeetiline keskmine

Aritmeetiline keskmine on tunnuse selline keskmine väärtus, mille arvutamisel jääb tunnuse kogumaht agregaadis muutumatuks. Vastasel juhul võime öelda, et aritmeetiline keskmine on keskmine liitmine. Kui see on arvutatud, jaotatakse atribuudi kogumaht vaimselt võrdselt kõigi populatsiooni üksuste vahel.

Aritmeetilist keskmist kasutatakse juhul, kui on teada keskmistatud tunnuse väärtused (x) ja teatud tunnusväärtusega populatsiooniüksuste arv (f).

Aritmeetiline keskmine võib olla lihtne ja kaalutud.

lihtne aritmeetiline keskmine

Lihtsat kasutatakse juhul, kui iga tunnuse väärtus x esineb üks kord, s.t. iga x puhul on tunnuse väärtus f=1 või kui algandmed ei ole järjestatud ja pole teada, mitmel ühikul on teatud tunnusväärtused.

Aritmeetilise keskmise valem on lihtne.

Keskmised väärtused viitavad üldistavatele statistilistele näitajatele, mis annavad kokkuvõtliku (lõpliku) tunnuse massilistele sotsiaalsetele nähtustele, kuna need on üles ehitatud suure hulga erineva atribuudi individuaalsete väärtuste põhjal. Keskmise väärtuse olemuse selgitamiseks on vaja arvestada nende nähtuste märkide väärtuste kujunemise tunnustega, mille järgi keskmine väärtus arvutatakse.

On teada, et iga massinähtuse ühikutel on arvukalt tunnuseid. Ükskõik millise neist märkidest me võtame, on selle üksikute ühikute väärtused erinevad, need muutuvad või, nagu statistikas öeldakse, erinevad ühikuti. Nii et näiteks töötaja töötasu määrab tema kvalifikatsioon, töö iseloom, tööstaaži ja mitmed muud tegurid ning see varieerub seetõttu väga laias vahemikus. Kõigi tegurite kumulatiivne mõju määrab iga töötaja töötasu suuruse, samas võib rääkida erinevate majandusharude töötajate keskmisest kuupalgast. Siin töötame muutuja atribuudi tüüpilise iseloomuliku väärtusega, mis viitab suure populatsiooni ühikule.

Keskmine peegeldab seda üldine, mis on tüüpiline kõikidele uuritava populatsiooni üksustele. Samal ajal tasakaalustab see kõigi populatsiooni üksikute üksuste atribuudi suurusele mõjuvate tegurite mõju, justkui tühistades need vastastikku. Iga sotsiaalse nähtuse taseme (või suuruse) määrab kahe tegurite rühma toime. Mõned neist on üldised ja peamised, pidevalt toimivad, tihedalt seotud uuritava nähtuse või protsessi olemusega ja moodustavad selle tüüpiline kõigi uuritava üldkogumi üksuste kohta, mis kajastub keskmises väärtuses. Teised on individuaalne, nende tegevus on vähem väljendunud ja episoodiline, juhuslik. Need toimivad vastupidises suunas, põhjustavad erinevusi populatsiooni üksikute üksuste kvantitatiivsete omaduste vahel, püüdes muuta uuritavate tunnuste konstantset väärtust. Üksikute märkide tegevus kustub keskmises väärtuses. Tüüpiliste ja individuaalsete tegurite kumulatiivses mõjus, mis on üldistavates omadustes tasakaalustatud ja vastastikku tühistatud, on põhiline suurte arvude seadus.

Kokkuvõttes sulanduvad märkide üksikud väärtused ühiseks massiks ja justkui lahustuvad. Seega ja keskmine väärtus toimib "umbisikulisena", mis võib erineda tunnuste individuaalsetest väärtustest, mitte ühegi neist kvantitatiivselt kokku langeda. Keskmine väärtus peegeldab kogu populatsiooni üldist, iseloomulikku ja tüüpilist, mis on tingitud juhuslike, ebatüüpiliste erinevuste vastastikusest tühistamisest selle üksikute üksuste märkide vahel, kuna selle väärtuse määrab justkui kõigi kõigi ühine resultant. põhjused.

Kuid selleks, et keskmine väärtus peegeldaks tunnuse kõige tüüpilisemat väärtust, ei tohiks seda määrata ühegi populatsiooni, vaid ainult kvalitatiivselt homogeensetest üksustest koosnevate populatsioonide kohta. See nõue on keskmiste teaduslikult põhjendatud rakendamise põhitingimus ning eeldab sotsiaalmajanduslike nähtuste analüüsimisel keskmiste meetodi ja rühmitamise meetodi tihedat seost. Seetõttu on keskmine väärtus üldistav näitaja, mis iseloomustab muutuva tunnuse tüüpilist taset homogeense populatsiooni ühiku kohta kindlates koha- ja ajatingimustes.

Seega keskmiste väärtuste olemuse kindlaksmääramisel tuleb rõhutada, et mis tahes keskmise väärtuse õige arvutamine eeldab järgmiste nõuete täitmist:

populatsiooni kvalitatiivne homogeensus, mille põhjal keskmine väärtus arvutatakse. See tähendab, et keskmiste väärtuste arvutamine peaks põhinema rühmitusmeetodil, mis tagab homogeensete, sama tüüpi nähtuste valiku;
juhuslike, puhtalt individuaalsete põhjuste ja tegurite keskmise väärtuse arvutamise mõju välistamine. See saavutatakse, kui keskmise arvutamisel võetakse aluseks piisavalt massiivne materjal, milles avaldub suurte arvude seaduse toimimine ja kõik õnnetused tühistavad üksteist;
keskmise väärtuse arvutamisel on oluline paika panna selle arvutamise eesmärk ja nn defineeriv näitaja-tel(kinnisvara), millele see peaks olema orienteeritud.

Määrav näitaja võib toimida keskmistatud atribuudi väärtuste summana, selle vastastikuste väärtuste summana, väärtuste korrutisena jne. Määrava näitaja ja keskmise väärtuse suhet väljendatakse järgmiselt: kui kõik keskmistatud atribuudi väärtused asendatakse keskmise väärtusega, siis nende summa või korrutis ei muuda antud juhul määravat näitajat. Selle määrava näitaja seose alusel keskmise väärtusega koostatakse esialgne kvantitatiivne suhe keskmise väärtuse otseseks arvutamiseks. Keskmiste võimet säilitada statistiliste üldkogumite omadusi nimetatakse vara määratlemine.

Rahvastiku kui terviku kohta arvutatud keskmist väärtust nimetatakse üldine keskmine; iga rühma jaoks arvutatud keskmised väärtused - rühma keskmised.Üldkeskmine peegeldab uuritava nähtuse üldisi tunnuseid, grupi keskmine annab kirjelduse nähtusest, mis areneb selle rühma spetsiifilistes tingimustes.

Arvutusmeetodid võivad olla erinevad, seetõttu eristatakse statistikas mitut tüüpi keskmisi, millest peamised on aritmeetiline keskmine, harmooniline keskmine ja geomeetriline keskmine.

Majandusanalüüsis on keskmiste kasutamine peamiseks vahendiks teaduse ja tehnoloogia progressi tulemuste, sotsiaalsete meetmete hindamisel ning majandusarengu reservide otsimisel. Samas tuleb meeles pidada, et liigne keskendumine keskmistele võib viia majandus- ja statistilise analüüsi tegemisel kallutatud järeldusteni. See on tingitud asjaolust, et keskmised väärtused, olles üldistavad näitajad, tühistavad ja ignoreerivad rahvastiku üksikute üksuste kvantitatiivsete omaduste erinevusi, mis tegelikult eksisteerivad ja võivad pakkuda iseseisvat huvi.

Keskmiste tüübid

Statistikas kasutatakse erinevat tüüpi keskmisi, mis on jagatud kahte suurde klassi:

võimsuse keskmised (harmooniline keskmine, geomeetriline keskmine, aritmeetiline keskmine, keskmine ruut, keskmine kuup);
struktuursed keskmised (mood, mediaan).

Arvutada jõud tähendab tuleb kasutada kõiki olemasolevaid iseloomulikke väärtusi. Mood ja mediaan on määratud ainult jaotusstruktuuriga, seetõttu nimetatakse neid struktuurseteks, positsioonilisteks keskmisteks. Mediaani ja moodust kasutatakse sageli keskmise tunnusena nendes populatsioonides, kus keskmise eksponentsiaali arvutamine on võimatu või ebapraktiline.

Kõige tavalisem keskmise tüüp on aritmeetiline keskmine. Under aritmeetiline keskmine Mõiste all mõistetakse sellist tunnuse väärtust, mis oleks igal üldkogumiüksusel, kui tunnuse kõigi väärtuste summa jaotuks ühtlaselt kõigi üldkogumi üksuste vahel. Selle väärtuse arvutamine taandatakse muutuja atribuudi kõigi väärtuste liitmisele ja saadud summa jagamisele populatsiooniühikute koguarvuga. Näiteks viis töötajat täitsid osade valmistamise tellimuse, samas kui esimene valmistas 5 osa, teine - 7, kolmas - 4, neljas - 10, viies - 12. Kuna algandmetes on iga osa väärtus. valik esines ainult üks kord, tuleks ühe töötaja keskmise väljundi määramiseks kasutada lihtsat aritmeetilise keskmise valemit:

st meie näites on ühe töötaja keskmine toodang võrdne

Koos lihtsa aritmeetilise keskmisega õpivad nad kaalutud aritmeetiline keskmine. Näiteks arvutame õpilaste keskmise vanuse 20-liikmelises rühmas, mille vanus jääb vahemikku 18–22 aastat, kus xi- keskmistatud tunnuse variandid, fi- sagedus, mis näitab, mitu korda see esineb i-th väärtus kokkuvõttes (tabel 5.1).

Tabel 5.1

Õpilaste keskmine vanus

Kaalutud aritmeetilise keskmise valemi rakendamisel saame:

Kaalutud aritmeetilise keskmise valimiseks kehtib kindel reegel: kui kahe näitaja kohta on andmeseeria, millest ühe jaoks on vaja arvutada

keskmine väärtus ja samal ajal selle loogilise valemi nimetaja arvväärtused on teada ja lugeja väärtused on teadmata, kuid need on leitavad korrutisena need näitajad, siis tuleks keskmine väärtus arvutada aritmeetilise kaalutud keskmise valemi abil.

Mõnel juhul on esialgsete statistiliste andmete olemus selline, et aritmeetilise keskmise arvutamine kaotab oma tähenduse ja ainsaks üldistavaks näitajaks saab olla ainult teist tüüpi keskmine väärtus - keskmine harmooniline. Praeguseks on aritmeetilise keskmise arvutuslikud omadused üldistavate statistiliste näitajate arvutamisel kaotanud oma tähtsuse seoses elektrooniliste arvutite laialdase kasutuselevõtuga. Keskmine harmooniline väärtus, mis on samuti lihtne ja kaalutud, on omandanud suure praktilise tähtsuse. Kui loogilise valemi lugeja arvväärtused on teada ja nimetaja väärtused on teadmata, kuid neid võib leida ühe näitaja privaatjaotusena teisega, siis arvutatakse keskmine väärtus kaalutud väärtusega. harmoonilise keskmise valem.

Näiteks andke teada, et auto läbis esimesed 210 km kiirusega 70 km/h ja ülejäänud 150 km kiirusega 75 km/h. Auto keskmist kiirust kogu 360 km pikkuse teekonna jooksul on aritmeetilise keskmise valemiga võimatu määrata. Kuna valikud on üksikute lõikude kiirused xj= 70 km/h ja X2= 75 km/h ja raskused (fi) on tee vastavad lõigud, siis ei oma kaalude valikute korrutised ei füüsilist ega majanduslikku tähendust. Sel juhul on mõttekas jaotada teelõigud vastavateks kiirusteks (valikud xi), st üksikute teelõikude läbimiseks kuluv aeg (fi / xi). Kui tee lõigud on tähistatud tähega fi, siis väljendatakse kogu teekonda Σfi ja kogu teele kulunud aega väljendatakse Σ fi / xi , Siis saab keskmise kiiruse leida kogu vahemaa jagatis kogu kulutatud ajaga:

Meie näites saame:

Kui kõigi valikute (f) keskmine harmooniline kaal on võrdsed, võite kaalutud harmoonilise massi asemel kasutada lihtne (kaaluta) harmooniline keskmine:

kus xi - individuaalsed valikud; n- keskmistatud tunnuse variantide arv. Kiiruse näites saab rakendada lihtsat harmoonilist keskmist, kui erinevatel kiirustel läbitud tee lõigud oleksid võrdsed.

Iga keskmine väärtus tuleks arvutada nii, et kui see asendab iga keskmistatud tunnuse varianti, siis mõne lõpliku üldistava näitaja väärtus, mis on seotud keskmistatud näitajaga, ei muutuks. Seega, kui asendada tegelikud kiirused tee üksikutel lõikudel nende keskmise väärtusega (keskmise kiirusega), ei tohiks kogu vahemaa muutuda.

Keskmise väärtuse vormi (valemi) määrab selle lõppnäitaja ja keskmistatud näitaja suhte olemus (mehhanism), seega lõppnäitaja, mille väärtus ei tohiks muutuda, kui valikud asendatakse nende keskmise väärtusega , kutsutakse määrav näitaja. Keskmise valemi tuletamiseks peate koostama ja lahendama võrrandi, kasutades keskmistatud indikaatori suhet määrava näitajaga. See võrrand konstrueeritakse, asendades keskmistatud tunnuse (indikaatori) variandid nende keskmise väärtusega.

Lisaks aritmeetilisele keskmisele ja harmoonilisele keskmisele kasutatakse statistikas ka muid keskmise liike (vorme). Kõik need on erijuhtumid. kraadi keskmine. Kui arvutame samade andmete jaoks igat tüüpi võimsusseaduse keskmised, siis väärtused

need on samad, kehtib siin reegel majoranssi keskmine. Kui keskmise eksponent suureneb, suureneb ka keskmine ise. Erinevat tüüpi võimsuse keskmiste väärtuste arvutamiseks praktilistes uuringutes kõige sagedamini kasutatavad valemid on toodud tabelis. 5.2.

Tabel 5.2

Geomeetrilist keskmist rakendatakse võimaluse korral. n kasvufaktorid, samas kui tunnuse individuaalsed väärtused on reeglina dünaamika suhtelised väärtused, mis on üles ehitatud ahelväärtuste kujul, suhtena dünaamikaseeria iga taseme eelmise tasemega. Keskmine iseloomustab seega keskmist kasvutempot. geomeetriline keskmine lihtne arvutatakse valemiga

Valem geomeetriline keskmine kaalutud sellel on järgmine vorm:

Ülaltoodud valemid on identsed, kuid ühte rakendatakse praeguste koefitsientide või kasvumäärade korral ja teist - seeria tasemete absoluutväärtuste korral.

ruutkeskmine kasutatakse ruutfunktsioonide väärtustega arvutamisel, seda kasutatakse atribuudi individuaalsete väärtuste kõikumise astme mõõtmiseks jaotusrea aritmeetilise keskmise ümber ja arvutatakse valemiga

Kaalutud keskmine ruut arvutatakse erineva valemi abil:

Keskmine kuup kasutatakse kuupfunktsioonide väärtustega arvutamisel ja arvutatakse valemiga

kaalutud keskmine kuup:

Kõiki ülaltoodud keskmisi väärtusi saab esitada üldvalemina:

kus on keskmine väärtus; - individuaalne väärtus; n- uuritava üldkogumi ühikute arv; k- eksponent, mis määrab keskmise tüübi.

Samade lähteandmete kasutamisel seda rohkem küldises võimsuse keskmise valemis, seda suurem on keskmine väärtus. Sellest järeldub, et võimu väärtuste vahel on korrapärane seos:

Ülalkirjeldatud keskmised väärtused annavad üldise ettekujutuse uuritavast populatsioonist ning sellest vaatenurgast on nende teoreetiline, rakenduslik ja kognitiivne tähtsus vaieldamatu. Kuid juhtub, et keskmise väärtus ei kattu ühegi reaalselt eksisteeriva valikuga, mistõttu on statistilises analüüsis soovitatav lisaks vaadeldavatele keskmistele kasutada ka konkreetsete valikute väärtusi, mis hõivavad üsna suure valiku. kindel positsioon järjestatud (järjestatud) atribuudiväärtuste seerias. Nendest kogustest on kõige sagedamini kasutatavad struktuurne, või kirjeldav, keskmine- režiim (Mo) ja mediaan (Me).

Mood- selles populatsioonis kõige sagedamini esineva tunnuse väärtus. Variatsiooniridade puhul on režiim järjestatud seeria kõige sagedamini esinev väärtus, st kõrgeima sagedusega variant. Moe järgi saab määrata enimkülastatud kauplusi, mis tahes toote kõige levinumat hinda. See näitab olulisele osale elanikkonnast iseloomuliku tunnuse suurust ja määratakse valemiga

kus x0 on intervalli alumine piir; h- intervalli väärtus; fm- intervallide sagedus; fm_ 1 - eelmise intervalli sagedus; fm+ 1 - järgmise intervalli sagedus.

mediaan nimetatakse järjestatud rea keskel asuvat varianti. Mediaan jagab rea kaheks võrdseks osaks nii, et selle mõlemal küljel on sama arv rahvastikuühikuid. Samas on ühes pooltes populatsiooniüksustes muutuja atribuudi väärtus mediaanist väiksem, teises pooles sellest suurem. Mediaani kasutatakse, kui uuritakse elementi, mille väärtus on suurem või võrdne või samaaegselt väiksem või võrdne poolte jaotusrea elementidega. Mediaan annab üldise ettekujutuse, kuhu on koondunud tunnuse väärtused ehk teisisõnu, kus on nende keskpunkt.

Mediaani kirjeldav iseloom väljendub selles, et see iseloomustab varieeruva atribuudi väärtuste kvantitatiivset piiri, mis on pooltel rahvastikuüksustest. Diskreetse variatsioonirea mediaani leidmise probleem lahendatakse lihtsalt. Kui seeria kõikidele ühikutele on antud seerianumbrid, siis mediaanvariandi järjekorranumbriks on (n + 1) / 2 paaritu liikmete arvuga n. Kui seeria liikmete arv on paarisarv, siis on mediaan kahe seerianumbriga variandi keskmine n/ 2 ja n / 2 + 1.

Intervalli variatsioonirea mediaani määramisel määratakse kõigepealt kindlaks intervall, milles see asub (mediaanintervall). Seda intervalli iseloomustab asjaolu, et selle sageduste akumuleeritud summa on võrdne või ületab poole seeria kõigi sageduste summast. Intervalli variatsioonirea mediaani arvutamine toimub valemi järgi

kus X0- intervalli alumine piir; h- intervalli väärtus; fm- intervallide sagedus; f- sarja liikmete arv;

∫m-1 – sellele eelnevale jadale eelneva jada akumuleeritud liikmete summa.

Koos mediaaniga kasutatakse uuritava populatsiooni struktuuri täielikumaks iseloomustamiseks ka muid valikute väärtusi, mis on järjestatud seerias üsna kindlal kohal. Need sisaldavad kvartiilid ja detsiilid. Kvartiilid jagavad seeria sageduste summaga 4 võrdseks osaks ja detsiilid - 10 võrdseks osaks. Seal on kolm kvartiili ja üheksa detsiili.

Mediaan ja režiim, erinevalt aritmeetilisest keskmisest, ei kustuta individuaalseid erinevusi muutuja atribuudi väärtustes ja on seetõttu statistilise üldkogumi täiendavad ja väga olulised omadused. Praktikas kasutatakse neid sageli keskmise asemel või koos sellega. Mediaani ja mooduse arvutamine on eriti otstarbekas neil juhtudel, kui uuritav üldkogum sisaldab teatud arvu ühikuid, mille muutuja atribuudi väärtus on väga suur või väga väike. Need valikuvõimaluste väärtused, mis ei ole üldsusele väga iseloomulikud, mõjutavad küll aritmeetilise keskmise väärtust, kuid ei mõjuta mediaani ja režiimi väärtusi, mistõttu on viimased majandusliku ja statistilise analüüsi jaoks väga väärtuslikud näitajad. .

Variatsiooninäitajad

Statistilise uuringu eesmärk on selgitada välja uuritava statistilise üldkogumi peamised omadused ja mustrid. Statistiliste vaatlusandmete koondtöötluse käigus ehitame jaotusliinid. Jaotusseeriaid on kahte tüüpi – omistatav ja variatsiooniline, olenevalt sellest, kas rühmitamise aluseks võetud atribuut on kvalitatiivne või kvantitatiivne.

variatsiooniline nimetatakse kvantitatiivsel alusel üles ehitatud jaotussarjadeks. Rahvastiku üksikute üksuste kvantitatiivsete näitajate väärtused ei ole püsivad, erinevad üksteisest enam-vähem. Seda tunnuse väärtuse erinevust nimetatakse variatsioonid. Nimetatakse uuritavas populatsioonis esineva tunnuse eraldi arvväärtusi väärtusvalikud. Populatsiooni üksikute üksuste varieeruvus on tingitud paljude tegurite mõjust tunnuse taseme kujunemisele. Märgide olemuse ja varieerumisastme uurimine populatsiooni üksikutes üksustes on iga statistilise uuringu kõige olulisem küsimus. Tunnuste varieeruvuse mõõtmise kirjeldamiseks kasutatakse variatsiooninäitajaid.

Teiseks oluliseks statistilise uurimistöö ülesandeks on välja selgitada üksikute tegurite või nende rühmade roll populatsiooni teatud tunnuste varieerumisel. Sellise probleemi lahendamiseks statistikas kasutatakse variatsiooni uurimiseks spetsiaalseid meetodeid, mis põhinevad variatsiooni mõõtvate näitajate süsteemi kasutamisel. Praktikas seisab teadlane silmitsi piisavalt suure hulga atribuudi väärtuste valikutega, mis ei anna aimu ühikute jaotusest atribuudi väärtuse järgi agregaadis. Selleks on kõik atribuutide väärtuste variandid järjestatud kasvavas või kahanevas järjekorras. Seda protsessi nimetatakse rea paremusjärjestus. Järjestatud seeria annab kohe üldise ettekujutuse väärtustest, mida see funktsioon koondväärtusena võtab.

Keskmise väärtuse ebapiisavus populatsiooni ammendavaks iseloomustamiseks tingib vajaduse keskmisi väärtusi täiendada näitajatega, mis võimaldavad hinnata nende keskmiste tüüpilisust, mõõtes uuritava tunnuse kõikumist (variatsiooni). Nende variatsiooninäitajate kasutamine võimaldab muuta statistilise analüüsi terviklikumaks ja sisukamaks ning seeläbi paremini mõista uuritavate sotsiaalsete nähtuste olemust.

Kõige lihtsamad varieerumise märgid on miinimum ja maksimaalne - see on tunnuse väikseim ja suurim väärtus populatsioonis. Nimetatakse tunnusväärtuste üksikute variantide korduste arvu kordussagedus. Tähistagem tunnuse väärtuse kordumise sagedust fi, sageduste summa, mis võrdub uuritava populatsiooni mahuga, on:

kus k- atribuutide väärtuste variantide arv. Sagedusi on mugav asendada sagedustega - w.i. Sagedus- suhtelise sageduse indikaator - saab väljendada ühiku murdosa või protsentides ja võimaldab võrrelda variatsiooniridu erineva arvu vaatlustega. Formaalselt on meil:

Tunnuse varieerumise mõõtmiseks kasutatakse erinevaid absoluutseid ja suhtelisi näitajaid. Variatsiooni absoluutnäitajad hõlmavad keskmist lineaarhälvet, variatsiooni ulatust, dispersiooni, standardhälvet.

Laiuse variatsioon(R) on erinevuse tunnuse maksimaalse ja minimaalse väärtuse vahel uuritud populatsioonis: R= Xmax – Xmin. See indikaator annab ainult kõige üldisema ettekujutuse uuritava tunnuse kõikumisest, kuna see näitab erinevust ainult valikute piirväärtuste vahel. See ei ole täiesti seotud variatsioonirea sagedustega, st jaotuse olemusega, ja selle sõltuvus võib anda sellele ebastabiilse juhusliku iseloomu ainult atribuudi äärmuslikest väärtustest. Variatsioonivahemik ei anna mingit teavet uuritud populatsioonide tunnuste kohta ega võimalda hinnata saadud keskmiste väärtuste tüüpilisuse astet. Selle indikaatori ulatus on piiratud üsna homogeensete populatsioonidega, täpsemalt iseloomustab see tunnuse varieerumist, indikaatorit, mis põhineb tunnuse kõigi väärtuste varieeruvuse arvestamisel.

Tunnuse varieerumise iseloomustamiseks on vaja üldistada kõigi väärtuste kõrvalekalded mis tahes väärtustest, mis on tüüpilised uuritavale populatsioonile. Sellised näitajad

variatsioonid, nagu keskmine lineaarne hälve, dispersioon ja standardhälve, põhinevad populatsiooni üksikute ühikute atribuudi väärtuste kõrvalekallete arvestamisel aritmeetilisest keskmisest.

Keskmine lineaarne hälve on üksikute valikute aritmeetilisest keskmisest kõrvalekallete absoluutväärtuste aritmeetiline keskmine:

variandi aritmeetilisest keskmisest hälbe absoluutväärtus (moodul); f- sagedus.

Esimest valemit rakendatakse juhul, kui kõik valikud esinevad kokkuvõttes ainult üks kord ja teist - ebavõrdsete sagedustega järjestikku.

On veel üks võimalus keskmistada valikute kõrvalekaldeid aritmeetilisest keskmisest. See statistikas väga levinud meetod taandub optsioonide keskväärtusest kõrvalekallete ruudu arvutamisele ja seejärel nende keskmistamisele. Sel juhul saame uue variatsiooninäitaja – dispersiooni.

Dispersioon(σ 2) - tunnuste väärtuste variantide ruudus kõrvalekallete keskmine nende keskmisest väärtusest:

Teist valemit kasutatakse juhul, kui variantidel on oma kaalud (või variatsioonirea sagedused).

Majanduslikus ja statistilises analüüsis on tavaks hinnata atribuudi varieerumist kõige sagedamini standardhälbe abil. Standardhälve(σ) on dispersiooni ruutjuur:

Keskmised lineaar- ja ruuthälbed näitavad, kui palju kõigub atribuudi väärtus keskmiselt uuritava üldkogumi ühikute puhul ning seda väljendatakse variantidega samades ühikutes.

Statistilises praktikas on sageli vaja võrrelda erinevate tunnuste varieerumist. Näiteks pakub suurt huvi võrrelda personali vanuse ja kvalifikatsiooni, tööstaaži ja töötasu jm erinevusi. Sellisteks võrdlusteks ei sobi märkide absoluutse varieeruvuse näitajad – keskmine lineaar- ja standardhälve. . Aastates väljendatud töökogemuse kõikumist on tegelikult võimatu võrrelda rublades ja kopikates väljendatud töötasu kõikumisega.

Erinevate tunnuste varieeruvuse võrdlemisel agregaadis on mugav kasutada suhtelisi variatsiooninäitajaid. Need näitajad arvutatakse absoluutnäitajate ja aritmeetilise keskmise (või mediaani) suhtena. Kasutades variatsiooni absoluutnäitajana variatsioonivahemikku, keskmist lineaarhälvet, standardhälvet, saadakse kõikumise suhtelised näitajad:

Kõige sagedamini kasutatav suhtelise volatiilsuse näitaja, mis iseloomustab populatsiooni homogeensust. Hulk loetakse homogeenseks, kui variatsioonikordaja ei ületa normaallähedaste jaotuste korral 33%.