Sirge võrrand neljal kujul. Ruumi sirgjoone võrrandid

Kaht punkti läbiva sirge võrrand. Artiklis" " Lubasin teil analüüsida teist võimalust, kuidas lahendada tuletise leidmiseks esitatud probleeme, kasutades etteantud funktsioonigraafikut ja selle graafiku puutujat. Uurime seda meetodit artiklis , ära igatse! Miks järgmiseks?

Fakt on see, et seal kasutatakse sirgjoone võrrandi valemit. Muidugi võiks seda valemit lihtsalt näidata ja soovitada seda õppida. Kuid parem on selgitada, kust see tuleb (kuidas see tuletatakse). See on vajalik! Kui unustate selle, taastage see kiirestiei saa raske olema. Kõik on üksikasjalikult kirjeldatud allpool. Niisiis, meil on koordinaattasandil kaks punkti A(x 1; y 1) ja B (x 2; y 2) tõmmatakse läbi näidatud punktide sirgjoon:

Siin on otsene valem:

*See tähendab, et punktide konkreetsete koordinaatide asendamisel saame võrrandi kujul y=kx+b.

** Kui see valem on lihtsalt "pähe jäetud", on tõenäosus, et aetakse indeksitega segi, kui X. Lisaks saab indekseid tähistada erineval viisil, näiteks:

Sellepärast on oluline mõista tähendust.

Nüüd selle valemi tuletamine. Kõik on väga lihtne!

Kolmnurgad ABE ja ACF on teravnurga poolest sarnased (täisnurksete kolmnurkade sarnasuse esimene märk). Sellest järeldub, et vastavate elementide suhted on võrdsed, see tähendab:

Nüüd väljendame neid segmente lihtsalt punktide koordinaatide erinevuse kaudu:

Loomulikult ei teki viga, kui kirjutate elementide seosed teises järjekorras (peamine on kirjavahetus):

Tulemuseks on sama sirgjoone võrrand. See on kõik!

See tähendab, et olenemata sellest, kuidas punktid ise (ja nende koordinaadid) on määratud, leiate sellest valemist aru saades alati sirgjoone võrrandi.

Valemit saab tuletada vektorite omaduste abil, kuid tuletamise põhimõte on sama, kuna me räägime nende koordinaatide proportsionaalsusest. Sel juhul töötab sama täisnurksete kolmnurkade sarnasus. Minu arvates on ülalkirjeldatud järeldus arusaadavam)).

Vaadake väljundit vektorkoordinaatide kaudu >>>

Kaht antud punkti A (x 1; y 1) ja B (x 2; y 2) läbivale koordinaattasandile konstrueerime sirge. Märgime suvalise punkti C sirgele koordinaatidega ( x; y). Samuti tähistame kahte vektorit:

On teada, et paralleelsetel joontel (või ühel sirgel) asuvate vektorite puhul on nende vastavad koordinaadid võrdelised, see tähendab:

- kirjutame vastavate koordinaatide suhete võrdsuse:

Kaaluge näidet:

Leidke kahte koordinaatidega (2;5) ja (7:3) punkti läbiva sirge võrrand.

Te ei saa isegi liini ise ehitada. Rakendame valemit:

Suhtarvu koostamisel on oluline kirjavahetust tabada. Sa ei saa eksida, kui kirjutad:

Vastus: y=-2/5x+29/5 mine y=-0,4x+5,8

Veendumaks, et saadud võrrand leitakse õigesti, kontrollige seda kindlasti - asendage andmekoordinaadid punktide seisundis. Peaksite saama õiged võrdsused.

See on kõik. Loodan, et materjal oli teile kasulik.

Lugupidamisega Aleksander.

P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.

See artikkel jätkab tasapinna sirgjoone võrrandi teemat: vaatleme sellist tüüpi võrrandit kui sirge üldvõrrandit. Defineerime teoreemi ja esitame selle tõestuse; Mõelgem välja, mis on sirge mittetäielik üldvõrrand ja kuidas teha üleminekuid üldvõrrandilt teist tüüpi sirge võrranditele. Kinnitame kogu teooria illustratsioonide ja praktiliste ülesannete lahendamisega.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Olgu tasapinnal antud ristkülikukujuline koordinaatsüsteem O x y.

1. teoreem

Iga esimese astme võrrand, mille kuju on A x + B y + C \u003d 0, kus A, B, C on mõned reaalarvud (A ja B ei ole samal ajal võrdsed nulliga), määrab sirge ristkülikukujuline koordinaatsüsteem tasapinnal. Mis tahes tasapinnalise ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi sirge määratakse omakorda võrrandiga, mille vorm on A x + B y + C = 0 teatud väärtuste komplekti A, B, C jaoks.

Tõestus

See teoreem koosneb kahest punktist, me tõestame neist igaüks.

Tõestame, et võrrand A x + B y + C = 0 määrab tasapinna sirge.

Olgu mingi punkt M 0 (x 0 , y 0), mille koordinaadid vastavad võrrandile A x + B y + C = 0 . Seega: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Lahutage võrrandite A x + B y + C \u003d 0 vasak ja parem pool võrrandi A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 vasak ja parem pool, saame uue võrrandi, mis näeb välja nagu A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. See on ekvivalentne A x + B y + C = 0 .

Saadud võrrand A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 on vajalik ja piisav tingimus vektorite n → = (A, B) ja M 0 M → = (x - x) perpendikulaarsuse jaoks 0, y - y 0) . Seega määrab punktide hulk M (x, y) ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis sirge, mis on risti vektori suunaga n → = (A, B) . Võib eeldada, et see nii ei ole, kuid siis ei oleks vektorid n → = (A, B) ja M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) risti ja võrdus A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ei vastaks tõele.

Seetõttu määrab võrrand A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 tasapinna ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis mõne sirge ja seetõttu defineerib samaväärne võrrand A x + B y + C \u003d 0 sama rida. Seega oleme tõestanud teoreemi esimese osa.

Tõestame, et iga tasapinnalise ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi sirge saab esitada esimese astme võrrandiga A x + B y + C = 0 .

Seame tasapinnale ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis sirge a; punkt M 0 (x 0 , y 0), mida see sirge läbib, samuti selle sirge normaalvektor n → = (A , B) .

Olgu olemas ka mingi punkt M (x , y) - sirge ujukoma. Sel juhul on vektorid n → = (A , B) ja M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) üksteisega risti ja nende skalaarkorrutis on null:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Kirjutame ümber võrrandi A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, defineerime C: C = - A x 0 - B y 0 ja lõpuks saame võrrandi A x + B y + C = 0 .

Niisiis, me oleme tõestanud teoreemi teise osa ja oleme tõestanud kogu teoreemi tervikuna.

Definitsioon 1

Võrrand, mis näeb välja selline A x + B y + C = 0 - see sirge üldvõrrand tasapinnal ristkülikukujulises koordinaatsüsteemisO x y .

Tõestatud teoreemile tuginedes võime järeldada, et fikseeritud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis tasapinnal antud sirge ja selle üldvõrrand on lahutamatult seotud. Teisisõnu, algne rida vastab selle üldvõrrandile; sirge üldvõrrand vastab antud sirgele.

Samuti tuleneb teoreemi tõestusest, et muutujate x ja y koefitsiendid A ja B on sirge normaalvektori koordinaadid, mis on antud sirge üldvõrrandiga A x + B y + C = 0.

Vaatleme sirgjoone üldvõrrandi konkreetset näidet.

Olgu antud võrrand 2 x + 3 y - 2 = 0, mis vastab sirgele antud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis. Selle sirge normaalvektor on vektor n → = (2 , 3) . Joonistage joonisel etteantud sirgjoon.

Võib väita ka järgmist: sirge, mida me joonisel näeme, määrab üldvõrrand 2 x + 3 y - 2 = 0, kuna antud sirge kõigi punktide koordinaadid vastavad sellele võrrandile.

Võrrandi λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 saame, kui korrutame üldise sirge võrrandi mõlemad pooled nullist erineva arvuga λ. Saadud võrrand on võrdne algse üldvõrrandiga, seetõttu kirjeldab see tasapinnal sama sirget.

2. definitsioon

Täielik sirge üldvõrrand- selline rea A x + B y + C \u003d 0 üldvõrrand, milles arvud A, B, C on nullist erinevad. Vastasel juhul on võrrand mittetäielik.

Analüüsime kõiki sirge mittetäieliku üldvõrrandi variatsioone.

Kui A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, muutub üldvõrrandiks B y + C \u003d 0. Selline mittetäielik üldvõrrand määratleb sirge ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis O x y, mis on paralleelne O x teljega, kuna iga x reaalväärtuse korral omandab muutuja y väärtuse - C B . Teisisõnu määratleb sirge A x + B y + C \u003d 0 üldvõrrand, kui A \u003d 0, B ≠ 0, punktide (x, y) asukoha, mille koordinaadid on võrdsed sama arvuga. - C B .
Kui A = 0, B ≠ 0, C = 0, saab üldvõrrandiks y = 0. Selline mittetäielik võrrand defineerib x-telje O x .
Kui A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, saame mittetäieliku üldvõrrandi A x + C \u003d 0, mis määratleb y-teljega paralleelse sirge.
Olgu A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, siis on mittetäielik üldvõrrand kujul x \u003d 0 ja see on koordinaatjoone O y võrrand.
Lõpuks, kui A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, on mittetäielik üldvõrrand kujul A x + B y \u003d 0. Ja see võrrand kirjeldab sirget, mis läbib alguspunkti. Tõepoolest, arvupaar (0, 0) vastab võrdsusele A x + B y = 0, kuna A · 0 + B · 0 = 0 .

Illustreerime graafiliselt kõiki ülaltoodud mittetäieliku sirge üldvõrrandi tüüpe.

Näide 1

Teatavasti on antud sirge paralleelne y-teljega ja läbib punkti 2 7 , - 11 . On vaja kirja panna antud sirge üldvõrrand.

Otsus

Y-teljega paralleelne sirgjoon saadakse võrrandiga kujul A x + C \u003d 0, milles A ≠ 0. Tingimus määrab ka punkti koordinaadid, mida joon läbib, ja selle punkti koordinaadid vastavad mittetäieliku üldvõrrandi A x + C = 0 tingimustele, s.t. võrdsus on õige:

A 2 7 + C = 0

Sellest on võimalik määrata C, kui anda A-le mingi nullist erinev väärtus, näiteks A = 7 . Sel juhul saame: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Teame mõlemad koefitsiendid A ja C, asendame need võrrandiga A x + C = 0 ja saame rea nõutava võrrandi: 7 x - 2 = 0

Vastus: 7 x - 2 = 0

Näide 2

Joonisel on kujutatud sirgjoont, selle võrrand on vaja üles kirjutada.

Otsus

Antud joonis võimaldab hõlpsasti võtta lähteandmed ülesande lahendamiseks. Joonisel näeme, et antud joon on paralleelne O x teljega ja läbib punkti (0 , 3) .

Abstsissiga paralleelne sirgjoon määratakse mittetäieliku üldvõrrandiga B y + С = 0. Leidke B ja C väärtused. Punkti koordinaadid (0, 3), kuna antud sirge seda läbib, rahuldavad sirge võrrandi B y + С = 0, siis kehtib võrdus: В · 3 + С = 0. Seadke B väärtuseks mõni muu väärtus kui null. Oletame, et B \u003d 1, sel juhul leiame võrrandist B · 3 + C \u003d 0 C: C \u003d - 3. Kasutades B ja C teadaolevaid väärtusi, saame vajaliku sirge võrrandi: y - 3 = 0.

Vastus: y-3 = 0.

Tasapinna antud punkti läbiva sirge üldvõrrand

Laske antud sirgel läbida punkti M 0 (x 0, y 0), siis vastavad selle koordinaadid sirge üldvõrrandile, s.t. võrdus on tõene: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Lahutage selle võrrandi vasak ja parem külg sirgjoone üldise täisvõrrandi vasakust ja paremast küljest. Saame: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, see võrrand on samaväärne algse üldisega, läbib punkti M 0 (x 0, y 0) ja sellel on normaalvektor n → \u003d (A, B) .

Saadud tulemus võimaldab kirjutada sirge üldvõrrandi sirge normaalvektori teadaolevate koordinaatide ja selle sirge teatud punkti koordinaatide jaoks.

Näide 3

Antud on punkt M 0 (- 3, 4), mida sirge läbib, ja selle sirge normaalvektor n → = (1 , - 2) . On vaja kirja panna etteantud sirge võrrand.

Otsus

Algtingimused võimaldavad meil saada võrrandi koostamiseks vajalikud andmed: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Seejärel:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - ( - 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Probleemi oleks saanud teisiti lahendada. Sirge üldvõrrand on kujul A x + B y + C = 0 . Antud normaalvektor võimaldab teil saada koefitsientide A ja B väärtused, siis:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Nüüd leiame C väärtuse, kasutades ülesande tingimusega antud punkti M 0 (- 3, 4), mida sirge läbib. Selle punkti koordinaadid vastavad võrrandile x - 2 · y + C = 0 , st. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Seega C = 11. Nõutav sirge võrrand on järgmisel kujul: x - 2 · y + 11 = 0 .

Vastus: x - 2 y + 11 = 0 .

Näide 4

Antud sirge 2 3 x - y - 1 2 = 0 ja sellel sirgel paiknev punkt M 0. Teada on ainult selle punkti abstsiss ja see võrdub -3-ga. On vaja määrata antud punkti ordinaat.

Otsus

Määrame punkti M 0 koordinaatide tähiseks x 0 ja y 0 . Algandmed näitavad, et x 0 \u003d - 3. Kuna punkt kuulub antud sirgele, siis vastavad selle koordinaadid selle sirge üldvõrrandile. Siis on tõene järgmine võrdsus:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Defineerige y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Vastus: - 5 2

Üleminek sirge üldvõrrandilt teist tüüpi sirge võrranditele ja vastupidi

Nagu me teame, on tasapinnal mitut tüüpi sama sirge võrrandit. Võrrandi tüübi valik sõltub ülesande tingimustest; on võimalik valida selle lahenduse jaoks mugavam. Siin tuleb väga kasuks oskus üht tüüpi võrrandit teist tüüpi võrrandiks teisendada.

Kõigepealt vaatleme üleminekut üldvõrrandilt kujul A x + B y + C = 0 kanoonilisele võrrandile x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Kui A ≠ 0, siis kanname liikme B y üldvõrrandi paremale poole. Vasakul küljel võtame sulgudest välja A. Selle tulemusena saame: A x + C A = - B y .

Selle võrdsuse saab kirjutada proportsioonina: x + C A - B = y A .

Kui B ≠ 0, jätame üldvõrrandi vasakule küljele ainult termini A x, ülejäänud kanname paremale poole, saame: A x \u003d - B y - C. Võtame sulgudest välja - B, seejärel: A x \u003d - B y + C B.

Kirjutame võrdsuse ümber proportsioonina: x - B = y + C B A .

Loomulikult ei ole vaja saadud valemeid pähe õppida. Piisab teada toimingute algoritmi üleminekul üldvõrrandilt kanoonilisele.

Näide 5

Antud on sirge 3 y - 4 = 0 üldvõrrand. See tuleb teisendada kanooniliseks võrrandiks.

Otsus

Kirjutame algse võrrandi 3 y - 4 = 0 . Edasi tegutseme vastavalt algoritmile: termin 0 x jääb vasakule poole; ja paremal küljel võtame välja - 3 sulgudest välja; saame: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Kirjutame saadud võrrandi proportsioonina: x - 3 = y - 4 3 0 . Seega oleme saanud kanoonilise vormi võrrandi.

Vastus: x - 3 = y - 4 3 0.

Sirge üldvõrrandi parameetrilisteks muutmiseks viiakse kõigepealt läbi üleminek kanoonilisele vormile ja seejärel üleminek sirgjoone kanoonilisest võrrandist parameetrilistele võrranditele.

Näide 6

Sirge on antud võrrandiga 2 x - 5 y - 1 = 0 . Kirjutage üles selle sirge parameetrilised võrrandid.

Otsus

Teeme ülemineku üldvõrrandilt kanoonilisele:

2 x - 5 a - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 a + 1 ⇔ 2 x = 5 a + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Nüüd võtame saadud kanoonilise võrrandi mõlemad osad võrdseks λ-ga, siis:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Vastus:x = 5 λ y = -1 5 + 2 λ, λ ∈ R

Üldvõrrandi saab teisendada sirgjooneliseks võrrandiks kaldega y = k x + b, kuid ainult siis, kui B ≠ 0. Vasakpoolseks üleminekuks jätame termini B y , ülejäänud kantakse üle paremale. Saame: B y = - A x - C . Jagame saadud võrrandi mõlemad osad B , mis erineb nullist: y = - A B x - C B .

Näide 7

Sirge üldvõrrand on antud: 2 x + 7 y = 0 . Peate selle võrrandi teisendama kaldevõrrandiks.

Otsus

Teeme vajalikud toimingud vastavalt algoritmile:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Vastus: y = - 2 7 x .

Sirge üldvõrrandist piisab, kui lihtsalt saada võrrand segmentides kujul x a + y b \u003d 1. Sellise ülemineku tegemiseks kanname arvu C võrrandi paremale poolele, jagame saadud võrdsuse mõlemad osad - С-ga ja lõpuks kanname muutujate x ja y koefitsiendid nimetajatesse:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Näide 8

On vaja teisendada sirge üldvõrrand x - 7 y + 1 2 = 0 lõikudes sirge võrrandiks.

Otsus

Liigume 1 2 paremale poole: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Jagage võrrandi mõlemad pooled -1/2-ga: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Vastus: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Üldiselt on ka vastupidine üleminek lihtne: teist tüüpi võrranditelt üldisele.

Segmentide sirgjoone võrrandi ja kaldega võrrandi saab hõlpsasti teisendada üldiseks, kogudes lihtsalt kõik võrrandi vasakul küljel olevad terminid:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Kanooniline võrrand teisendatakse üldiseks vastavalt järgmisele skeemile:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Parameetriliselt üleminekuks viiakse esmalt üle kanoonilisele ja seejärel üldisele:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Näide 9

Antud on sirge x = - 1 + 2 · λ y = 4 parameetrilised võrrandid. Selle sirge üldvõrrand on vaja üles kirjutada.

Otsus

Teeme ülemineku parameetrilistest võrranditest kanoonilistele:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Liigume kanooniliselt üldisele:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Vastus: y - 4 = 0

Näide 10

Antud on sirge võrrand lõikudes x 3 + y 1 2 = 1. On vaja läbi viia üleminek võrrandi üldkujule.

Otsus:

Kirjutame võrrandi lihtsalt nõutud kujul ümber:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Vastus: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Sirge üldvõrrandi koostamine

Eespool ütlesime, et üldvõrrandi saab kirjutada normaalvektori teadaolevate koordinaatidega ja selle punkti koordinaatidega, mida joon läbib. Selline sirgjoon on defineeritud võrrandiga A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Samas kohas analüüsisime vastavat näidet.

Vaatame nüüd keerukamaid näiteid, mille puhul on kõigepealt vaja määrata normaalvektori koordinaadid.

Näide 11

Antud sirgega paralleelne sirge 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Tuntud on ka punkt M 0 (4 , 1), mida antud sirge läbib. On vaja kirja panna etteantud sirge võrrand.

Otsus

Algtingimused ütlevad meile, et sirged on paralleelsed, samas kui sirge, mille võrrand tuleb kirjutada, normaalvektorina võtame sirge n → \u003d (2, - 3) suunavektori: 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Nüüd teame kõiki vajalikke andmeid sirgjoone üldvõrrandi koostamiseks:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Vastus: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Näide 12

Antud sirge läbib alguspunkti risti sirgega x - 2 3 = y + 4 5 . On vaja kirjutada antud sirge üldvõrrand.

Otsus

Antud sirge normaalvektor on sirge x - 2 3 = y + 4 5 suunav vektor .

Siis n → = (3 , 5) . Sirge läbib alguspunkti, s.o. läbi punkti O (0, 0) . Koostame antud sirge üldvõrrandi:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Vastus: 3 x + 5 y = 0 .

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

See artikkel paljastab tasapinnal asuva ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi kahte antud punkti läbiva sirge võrrandi tuletamise. Tuletame ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis kahte etteantud punkti läbiva sirge võrrandi. Näitame ja lahendame visuaalselt mitmeid käsitletava materjaliga seotud näiteid.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Enne kahte etteantud punkti läbiva sirge võrrandi saamist on vaja pöörata tähelepanu mõnele faktile. On olemas aksioom, mis ütleb, et tasapinna kahe mittekattuvat punkti kaudu on võimalik tõmmata sirge ja ainult üks. Teisisõnu, kaks antud tasandi punkti määratakse neid punkte läbiva sirgjoonega.

Kui tasapind on antud ristkülikukujulise koordinaatsüsteemiga Oxy, siis vastab mis tahes sellel kujutatud sirge tasapinna sirgjoone võrrandile. Samuti on seos sirge suunamisvektoriga.Nendest andmetest piisab kaht etteantud punkti läbiva sirge võrrandi koostamiseks.

Mõelge sarnase probleemi lahendamise näitele. Vaja on koostada võrrand sirgest a, mis läbib kahte mittesobivat punkti M 1 (x 1, y 1) ja M 2 (x 2, y 2), mis asuvad Descartes'i koordinaatsüsteemis.

Tasapinna sirge kanoonilises võrrandis kujuga x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y on ristkülikukujuline koordinaatsüsteem O x y määratud sirgega, mis lõikub sellega punktis koordinaatidega M 1 (x 1, y 1) juhtvektoriga a → = (a x , a y) .

On vaja koostada kanooniline võrrand sirgest a, mis läbib kahte punkti koordinaatidega M 1 (x 1, y 1) ja M 2 (x 2, y 2) .

Sirgjoonel a on suunavektor M 1 M 2 → koordinaatidega (x 2 - x 1, y 2 - y 1), kuna see lõikub punktidega M 1 ja M 2. Oleme saanud vajalikud andmed, et teisendada kanooniline võrrand suunavektori M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) koordinaatide ja nendel asuvate punktide M 1 koordinaatidega. (x 1, y 1) ja M 2 (x 2, y 2). Saame võrrandi kujul x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 või x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Mõelge allolevale joonisele.

Arvutuste järel kirjutame sirge parameetrilised võrrandid tasapinnale, mis läbib kahte punkti koordinaatidega M 1 (x 1, y 1) ja M 2 (x 2, y 2) . Saame võrrandi kujul x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ või x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Vaatame mõnda näidet lähemalt.

Näide 1

Kirjutage 2 etteantud punkti läbiva sirge võrrand koordinaatidega M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .

Otsus

Kahes punktis koordinaatidega x 1, y 1 ja x 2, y 2 lõikuva sirge kanooniline võrrand on kujul x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Vastavalt ülesande olukorrale on meil x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. Arvväärtused võrrandis x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 on vaja asendada. Siit saame, et kanooniline võrrand on kujul x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Vastus: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Kui on vaja ülesanne lahendada teist tüüpi võrrandiga, siis võite alustuseks minna kanoonilisele, kuna sellest on lihtsam jõuda mõne teise võrrandini.

Näide 2

Koostage üldvõrrand sirgest, mis läbib punkte M 1 (1, 1) ja M 2 (4, 2) koordinaatide süsteemis O x y.

Otsus

Kõigepealt peate üles kirjutama antud sirge kanoonilise võrrandi, mis läbib antud kahte punkti. Saame võrrandi kujul x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Toome kanoonilise võrrandi soovitud kujule, siis saame:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Vastus: x - 3 y + 2 = 0 .

Selliste ülesannete näiteid käsitleti kooliõpikutes algebratundides. Kooliülesanded erinesid selle poolest, et oli teada kaldekoefitsiendiga sirge võrrand, mille vorm oli y \u003d k x + b. Kui teil on vaja leida kalde k väärtus ja arv b, mille juures võrrand y \u003d k x + b määrab O x y süsteemis sirge, mis läbib punkte M 1 (x 1, y 1) ja M 2 (x 2, y 2) , kus x 1 ≠ x 2 . Kui x 1 = x 2 , siis saab kalle lõpmatuse väärtuse ja sirge M 1 M 2 defineeritakse üldise mittetäieliku võrrandiga kujul x - x 1 = 0 .

Sest täpid M 1 ja M 2 on sirgel, siis nende koordinaadid rahuldavad võrrandit y 1 = k x 1 + b ja y 2 = k x 2 + b. K ja b suhtes on vaja lahendada võrrandisüsteem y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b.

Selleks leiame k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 või k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Selliste väärtuste k ja b korral on antud kahte punkti läbiva sirge võrrand järgmisel kujul: y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 või y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Nii suure hulga valemite korraga meeldejätmine ei toimi. Selleks on vaja ülesannete lahendamisel suurendada korduste arvu.

Näide 3

Kirjutage kaldega sirge võrrand, mis läbib punkte M 2 (2, 1) ja y = k x + b.

Otsus

Ülesande lahendamiseks kasutame kaldega valemit, mille vorm on y \u003d k x + b. Koefitsiendid k ja b peavad saama sellise väärtuse, et see võrrand vastaks sirgele, mis läbib kahte punkti koordinaatidega M 1 (- 7 , - 5) ja M 2 (2 , 1) .

punktid M 1 ja M 2 paiknevad sirgel, siis peaksid nende koordinaadid pöörama võrrandi y = k x + b õigeks võrrandiks. Siit saame, et - 5 = k · (- 7) + b ja 1 = k · 2 + b. Ühendame võrrandi süsteemi - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ja lahendame.

Asendamisel saame selle

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Nüüd on väärtused k = 2 3 ja b = - 1 3 asendatud võrrandiga y = k x + b . Saame, et soovitud võrrand, mis läbib antud punkte, on võrrand, mis on kujul y = 2 3 x - 1 3 .

Selline lahendusviis määrab ette suure ajakulu. On olemas viis, kuidas ülesanne lahendatakse sõna otseses mõttes kahes etapis.

Kirjutame M 2 (2, 1) ja M 1 (- 7, - 5) läbiva sirge kanoonilise võrrandi, mille vorm on x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Liigume nüüd edasi kalde võrrandi juurde. Saame, et x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Vastus: y = 2 3 x - 1 3 .

Kui kolmemõõtmelises ruumis on ristkülikukujuline koordinaatide süsteem O x y z, millel on kaks etteantud mittekattuvat punkti koordinaatidega M 1 (x 1, y 1, z 1) ja M 2 (x 2, y 2, z 2), neid läbiv sirgjoon M 1 M 2, on vaja saada selle sirge võrrand.

Meil on kanoonilised võrrandid kujul x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ja parameetrilised võrrandid kujul x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ suudavad seada O x y z koordinaatide süsteemis sirge, mis läbib koordinaatidega (x 1, y 1, z 1) punkte suunava vektoriga a → = (a x, a y, a z) .

Sirge M 1 M 2 on suunavektor kujul M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , kus sirge läbib punkti M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ja M 2 (x 2, y 2, z 2), seega võib kanooniline võrrand olla kujul x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 või x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1 omakorda parameetriline x \u003d x 1 + (x 2) - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ või x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Vaatleme joonist, mis näitab 2 antud ruumipunkti ja sirgjoone võrrandit.

Näide 4

Kirjutage kolmemõõtmelise ruumi ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis O x y z määratletud sirge võrrand, mis läbib antud kahte punkti koordinaatidega M 1 (2, - 3, 0) ja M 2 (1, - 3, - 5 ) .

Otsus

Peame leidma kanoonilise võrrandi. Kuna me räägime kolmemõõtmelisest ruumist, tähendab see, et kui sirgjoon läbib antud punkte, on soovitud kanooniline võrrand kujul x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Tingimuse järgi on meil x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Sellest järeldub, et vajalikud võrrandid saab kirjutada järgmiselt:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Vastus: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Sirge omadused eukleidilises geomeetrias.

Seal on lõpmatult palju jooni, mida saab tõmmata läbi mis tahes punkti.

Kahe mittekattuvat punkti kaudu on ainult üks sirgjoon.

Kaks tasapinnal olevat mittekattuvat sirget kas lõikuvad ühes punktis või on

paralleelne (järgneb eelmisest).

Kolmemõõtmelises ruumis on kahe joone suhtelise asukoha jaoks kolm võimalust:

jooned ristuvad;

sirgjooned on paralleelsed;

sirgjooned ristuvad.

Otse rida- esimest järku algebraline kõver: Descartes'i koordinaatsüsteemis sirge

on antud tasapinnal esimese astme võrrandiga (lineaarvõrrand).

Sirge üldvõrrand.

Definitsioon. Mis tahes tasapinna sirge saab esitada esimest järku võrrandiga

Ah + Wu + C = 0,

ja pidev A, B ei võrdu samal ajal nulliga. Seda esimest järku võrrandit nimetatakse üldine

sirgjoone võrrand. Sõltuvalt konstantide väärtustest A, B ja Koos Võimalikud on järgmised erijuhud:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- joon läbib alguspunkti

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( + C = 0)- teljega paralleelne sirgjoon Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- teljega paralleelne sirgjoon OU

. B = C = 0, A ≠ 0- joon langeb kokku teljega OU

. A = C = 0, B ≠ 0- joon langeb kokku teljega Oh

Sirge võrrandit saab esitada erineval kujul, olenevalt antud olukorrast

esialgsed tingimused.

Punkti ja normaalvektori sirgjoone võrrand.

Definitsioon. Descartes'i ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis vektor komponentidega (A, B)

võrrandiga antud sirgega risti

Ah + Wu + C = 0.

Näide. Leidke punkti läbiva sirge võrrand A(1, 2) vektoriga risti (3, -1).

Otsus. Koostame punktides A \u003d 3 ja B \u003d -1 sirgjoone võrrandi: 3x - y + C \u003d 0. Koefitsiendi C leidmiseks

asendame saadud avaldisesse antud punkti A koordinaadid. Saame: 3 - 2 + C = 0, seega

C = -1. Kokku: soovitud võrrand: 3x - y - 1 \u003d 0.

Kaht punkti läbiva sirge võrrand.

Olgu ruumis antud kaks punkti M 1 (x 1, y 1, z 1) ja M2 (x 2, y 2, z 2), siis sirgjoone võrrand,

läbides neid punkte:

Kui mõni nimetajatest on võrdne nulliga, tuleb vastav lugeja määrata nulliga. Peal

tasapinnal on ülal kirjutatud sirgjoone võrrand lihtsustatud:

kui x 1 ≠ x 2 ja x = x 1, kui x 1 = x 2 .

Murd = k helistas kaldetegur otse.

Näide. Leidke punkte A(1, 2) ja B(3, 4) läbiva sirge võrrand.

Otsus. Ülaltoodud valemit rakendades saame:

Sirge võrrand punkti ja kaldega.

Kui sirge üldvõrrand Ah + Wu + C = 0 vii vormile:

ja määrata , siis nimetatakse saadud võrrandit

sirge võrrand kaldega k.

Punkti sirge ja suunava vektori võrrand.

Analoogiliselt punktiga, mis võtab arvesse normaalvektorit läbiva sirge võrrandit, saate ülesande sisestada

punkti läbiv sirge ja sirge suunavektor.

Definitsioon. Iga nullist erinev vektor (α 1 , α 2), mille komponendid vastavad tingimusele

Aα 1 + Bα 2 = 0 helistas sirgjoone suunavektor.

Ah + Wu + C = 0.

Näide. Leidke sirge võrrand suunavektoriga (1, -1) ja läbib punkti A(1, 2).

Otsus. Otsime soovitud sirge võrrandit kujul: Ax + By + C = 0. Definitsiooni järgi,

koefitsiendid peavad vastama järgmistele tingimustele:

1 * A + (-1) * B = 0, st. A = B.

Siis on sirgjoone võrrandil järgmine kuju: Ax + Ay + C = 0, või x + y + C / A = 0.

juures x = 1, y = 2 saame C/A = -3, st. soovitud võrrand:

x + y - 3 = 0

Segmentides sirgjoone võrrand.

Kui sirge Ah + Wu + C = 0 C≠0 üldvõrrandis, siis -C-ga jagades saame:

või, kus

Koefitsientide geomeetriline tähendus on see, et koefitsient a on lõikepunkti koordinaat

teljega sirge Oh, a b- sirge ja telje lõikepunkti koordinaat OU.

Näide. Sirge üldvõrrand on antud x - y + 1 = 0. Leidke selle sirge võrrand segmentides.

C \u003d 1, , a = -1, b \u003d 1.

Sirge normaalvõrrand.

Kui võrrandi mõlemad pooled Ah + Wu + C = 0 arvuga jagada , mida nimetatakse

normaliseeriv tegur, siis saame

xcosφ + ysinφ - p = 0 -sirge normaalvõrrand.

Normaliseeriva teguri märk ± tuleb valida nii, et μ * C< 0.

R- ristnurga pikkus, mis on langenud lähtepunktist jooneni,

a φ - nurk, mille see risti moodustab telje positiivse suunaga Oh.

Näide. Antud sirgjoone üldvõrrand 12x - 5a - 65 = 0. Nõutav erinevat tüüpi võrrandite kirjutamiseks

see sirgjoon.

Selle sirge võrrand segmentides:

Selle sirge võrrand kaldega: (jaga 5-ga)

Sirge võrrand:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Tuleb märkida, et mitte iga sirget ei saa esitada võrrandiga segmentides, näiteks sirged,

paralleelselt telgedega või läbides alguspunkti.

Tasapinna joonte vaheline nurk.

Definitsioon. Kui on antud kaks rida y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, siis nende joonte vaheline teravnurk

määratletakse kui

Kaks sirget on paralleelsed, kui k 1 = k 2. Kaks joont on risti

kui k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teoreem.

Otsene Ah + Wu + C = 0 ja A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 on paralleelsed, kui koefitsiendid on proportsionaalsed

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Kui ka С 1 \u003d λС, siis jooned langevad kokku. Kahe sirge lõikepunkti koordinaadid

on leitud nende sirgete võrrandisüsteemi lahendusena.

Antud punkti läbiva sirge võrrand on antud sirgega risti.

Definitsioon. Punkti läbiv sirge M 1 (x 1, y 1) ja joonega risti y = kx + b

mida esindab võrrand:

Kaugus punktist jooneni.

Teoreem. Kui punkt antakse M(x 0, y 0), siis kaugus joonest Ah + Wu + C = 0 defineeritud kui:

Tõestus. Olgu punkt M 1 (x 1, y 1)- perpendikulaari alus langes punktist M antud jaoks

otsene. Seejärel punktide vaheline kaugus M ja M 1:

(1)

Koordinaadid x 1 ja 1 võib leida võrrandisüsteemi lahendusena:

Süsteemi teine võrrand on antud punkti M 0 risti läbiva sirge võrrand

antud rida. Kui teisendame süsteemi esimese võrrandi vormiks:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 järgi + C = 0,

siis lahendades saame:

Asendades need avaldised võrrandisse (1), leiame:

Teoreem on tõestatud.

Punkti K(x 0; y 0) läbiv sirge y = kx + a paralleelne sirge leitakse valemiga:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Kus k on sirge kalle.

Alternatiivne valem:
Punkti M 1 (x 1 ; y 1) läbiv sirge Ax+By+C=0 paralleelne sirge esitatakse võrrandiga

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0. (2)

Näide nr 1. Koostage punkti M 0 (-2,1) läbiva sirge võrrand ja samal ajal:
a) paralleelselt sirgega 2x+3y -7 = 0;
b) risti sirgega 2x+3y -7 = 0.
Otsus . Esitame kaldevõrrandit kujul y = kx + a . Selleks kanname kõik väärtused, välja arvatud y, paremale poole: 3y = -2x + 7 . Seejärel jagame parema poole koefitsiendiga 3 . Saame: y = -2/3x + 7/3
Leidke võrrand NK, mis läbib punkti K(-2;1), mis on paralleelne sirgega y = -2 / 3 x + 7 / 3
Asendades x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1, saame:
y-1 = -2/3 (x-(-2))
või
y = -2/3 x -1/3 või 3a + 2x +1 = 0

Näide nr 2. Kirjutage sirgjoonega paralleelse sirge võrrand 2x + 5y = 0 ja moodustades koos koordinaattelgedega kolmnurga, mille pindala on 5.
Otsus . Kuna sirged on paralleelsed, on soovitud sirge võrrand 2x + 5y + C = 0. Täisnurkse kolmnurga pindala, kus a ja b on selle jalad. Leidke soovitud sirge ja koordinaattelgede lõikepunktid:
;
.
Niisiis, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Asendage ala valemis: . Saame kaks lahendit: 2x + 5y + 10 = 0 ja 2x + 5y - 10 = 0 .

Näide nr 3. Kirjutage punkti (-2; 5) läbiva sirge ja paralleelse sirge võrrand 5x-7y-4=0 .
Otsus. Seda sirget saab esitada võrrandiga y = 5/7 x – 4/7 (siin a = 5/7). Soovitud sirge võrrand on y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), s.o. 7(y-5)=5(x+2) või 5x-7y+45=0.

Näide nr 4. Lahendades näite 3 (A=5, B=-7) valemi (2) abil, leiame 5(x+2)-7(y-5)=0.

Näide number 5. Kirjutage punkti (-2;5) läbiva sirge ja paralleelse sirge võrrand 7x+10=0.
Otsus. Siin A=7, B=0. Valem (2) annab 7(x+2)=0, st. x+2=0. Valem (1) ei ole rakendatav, kuna seda võrrandit ei saa lahendada y suhtes (see sirgjoon on paralleelne y-teljega).