Arvutage vektorite geomeetrilise summa moodul. Vektorid

Palju füüsikalised kogused on täielikult kindlaks määratud teatud arvu määramisega. Need on näiteks maht, mass, tihedus, kehatemperatuur jne. Selliseid suurusi nimetatakse skalaarideks. Seetõttu nimetatakse numbreid mõnikord skalaarideks. Kuid on ka koguseid, mis määratakse kindlaks mitte ainult arvu, vaid ka teatud suuna määramisega. Näiteks kui keha liigub, peaksite märkima mitte ainult keha liikumiskiiruse, vaid ka liikumise suuna. Samamoodi on mis tahes jõu mõju uurimisel vaja näidata mitte ainult selle jõu väärtust, vaid ka selle mõju suunda. Selliseid koguseid nimetatakse vektor. Nende kirjeldamiseks võeti kasutusele vektori mõiste, mis osutus matemaatika jaoks kasulikuks.

Vektori määratlus

Iga ruumi punktide A kuni B järjestatud paar määratleb suunatud segment, st. segment koos sellel määratud suunaga. Kui punkt A on esimene, nimetatakse seda suunatud lõigu alguseks ja punktiks B selle lõpp. Lõigu suunaks loetakse suund algusest lõpuni.

Definitsioon
Suunatud segmenti nimetatakse vektoriks.

Tähistame vektorit sümboliga \(\overrightarrow(AB) \), kusjuures esimene täht tähistab vektori algust ja teine ​​selle lõppu.

Vektorit, mille algus ja lõpp langevad kokku, nimetatakse null ja seda tähistatakse \(\vec(0)\) või lihtsalt 0-ga.

Vektori alguse ja lõpu vahelist kaugust nimetatakse vektoriks pikkus ja seda tähistatakse \(|\overrightarrow(AB)| \) või \(|\vec(a)| \).

Vektoreid \(\vec(a) \) ja \(\vec(b) \) nimetatakse kollineaarne, kui need asuvad samal joonel või paralleelsetel joontel. Kollineaarsetel vektoritel võib olla sama või vastupidine suund.

Nüüd saame sõnastada kahe vektori võrdsuse olulise mõiste.

Definitsioon
Vektorid \(\vec(a) \) ja \(\vec(b) \) on võrdsed (\(\vec(a) = \vec(b) \)), kui nad on kollineaarsed, neil on sama suund ja nende pikkused on võrdsed .

Joonisel fig. 1 näitab vasakul ebavõrdseid vektoreid ja paremal võrdseid vektoreid \(\vec(a) \) ja \(\vec(b) \). Vektorite võrdsuse definitsioonist järeldub, et kui antud vektor endaga paralleelselt liikudes saad antud vektoriga võrdse vektori. Sellega seoses nimetatakse analüütilise geomeetria vektoreid tasuta.

Vektori projektsioon teljele

Olgu ruumis antud telg \(u\) ja mõni vektor \(\overrightarrow(AB)\). Joonistame punktide A ja B kaudu teljega \(u\) risti olevad tasapinnad. Tähistagem A" ja B" nende tasandite lõikepunktid teljega (vt joonis 2).

Vektori \(\overrightarrow(AB) \) projektsioon teljele \(u\) on telje \(u\) suunatud segmendi A"B" väärtus A"B". Tuletame teile seda meelde
\(A"B" = |\üleparemnool(A"B")| \) , kui suund \(\üleparemnool(A"B") \) langeb kokku telje suunaga \(u\),
\(A"B" = -|\overright nool(A"B")| \) , kui suund \(\overright nool(A"B") \) on vastupidine telje suunale \(u\),
Vektori \(\overrightarrow(AB)\) projektsioon teljele \(u\) on tähistatud järgmiselt: \(Pr_u \overrightarrow(AB)\).

Teoreem
Vektori \(\overrightarrow(AB) \) projektsioon teljele \(u\) võrdub vektori \(\overrightarrow(AB) \) pikkusega, mis on korrutatud vektori vahelise nurga koosinusega (\overrightarrow(AB) \) ja telg \( u\) , st.

\(Pr_u \overrightarrow(AB) = |\overrightarrow(AB)|\cos \varphi \) kus \(\varphi \) on nurk vektori \(\overrightarrow(AB) \) ja telje \(u) vahel \).

Kommenteeri
Olgu määratud \(\overrightarrow(A_1B_1)=\overrightarrow(A_2B_2) \) ja mõni telg \(u\). Rakendades teoreemi valemit kõigile nendele vektoritele, saame

\(Pr_u \overrightarrow(A_1B_1) = Pr_u \overrightarrow(A_2B_2) \) st. võrdsetel vektoritel on võrdsed projektsioonid samale teljele.

Vektorprojektsioonid koordinaatide telgedel

Olgu ruumis antud ristkülikukujuline koordinaatsüsteem Oxyz ja suvaline vektor \(\overrightarrow(AB)\). Olgu veel \(X = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Y = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Z = Pr_u \overrightarrow(AB) \). X, Y, Z vektori \(\overrightarrow(AB)\) projektsioone koordinaattelgedel nimetatakse koordinaadid. Samal ajal nad kirjutavad
\(\overright nool(AB) = (X;Y;Z) \)

Teoreem
Olenemata kahest punktist A(x 1 ; y 1 ; z 1) ja B(x 2 ; y 2 ​​; z 2), määratakse vektori \(\overrightarrow(AB) \) koordinaadid järgmiste valemitega :

X = x2-x1, Y = y2-y1, Z = z2-z1

Kommenteeri
Kui vektor \(\overrightarrow(AB) \) väljub algpunktist, st. x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z, siis on vektori \(\overrightarrow(AB) \) koordinaadid X, Y, Z võrdsed selle lõpu koordinaatidega:
X = x, Y = y, Z = z.

Vektori suunakoosinused

Olgu suvaline vektor \(\vec(a) = (X;Y;Z) \); eeldame, et \(\vec(a) \) väljub lähtepunktist ega asu ühelgi koordinaattasandil. Joonistame punkti A kaudu telgedega risti olevad tasapinnad. Koos koordinaattasandid need moodustavad ristkülikukujulise rööptahuka, mille diagonaaliks on segment OA (vt joonis).

Elementaargeomeetriast on teada, et diagonaali pikkuse ruut ristkülikukujuline rööptahukas võrdne summaga selle kolme mõõtme pikkuste ruudud. Seega
\(|OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 \)
Aga \(|OA| = |\vec(a)|, \;\; |OA_x| = |X|, \;\; |OA_y| = |Y|, \;\;|OA_z| = |Z| \); nii saame
\(|\vec(a)|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 \)
või
\(|\vec(a)| = \sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2) \)
See valem väljendab pikkust suvaline vektor selle koordinaatide kaudu.

Tähistagem \(\alpha, \; \beta, \; \gamma \) nurki vektori \(\vec(a) \) ja koordinaattelgede vahel. Vektori teljele projektsiooni valemitest ja vektori pikkusest saame
\(\cos \alpha = \frac(X)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \beta = \frac(Y)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \gamma = \frac(Z)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \alpha, \;\; \cos \beta, \;\; \cos \gamma \) nimetatakse vektori \(\vec(a) \) suunakoosinused.

Iga eelmise võrrandi vasaku ja parema külje ruudustamisel ja saadud tulemuste summeerimisel saame
\(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \)
need. mis tahes vektori suunakoosinuste ruutude summa on võrdne ühega.

Lineaartehted vektoritega ja nende põhiomadused

Lineaartehted vektoritega on vektorite liitmise ja lahutamise ning vektorite arvudega korrutamise operatsioonid.

Kahe vektori liitmine

Olgu antud kaks vektorit \(\vec(a) \) ja \(\vec(b) \). Summa \(\vec(a) + \vec(b) \) on vektor, mis läheb vektori \(\vec(a) \) algusest vektori \(\vec(b) lõpuni \) eeldusel, et vektor \(\vec(b) \) on kinnitatud vektori \(\vec(a) \) lõppu (vt joonist).

Kommenteeri
Lahutamisvektorite tegevus on pöördvõrdeline liitmise tegevusega, s.t. erinevus \(\vec(b) - \vec(a) \) vektorid \(\vec(b) \) ja \(\vec(a) \) on vektor, mis summas vektoriga \(\ vec(a ) \) annab vektori \(\vec(b) \) (vt joonist).

Kommenteeri
Määrates kahe vektori summa, saate leida suvalise arvu antud vektorite summa. Olgu näiteks antud kolm vektorit \(\vec(a),\;\; \vec(b), \;\; \vec(c) \). Lisades \(\vec(a) \) ja \(\vec(b) \, saame vektori \(\vec(a) + \vec(b) \). Nüüd lisades sellele vektori \(\vec(c) \, saame vektori \(\vec(a) + \vec(b) + \vec(c) \)

Vektori ja arvu korrutis

Olgu antud vektor \(\vec(a) \neq \vec(0) \) ja arv \(\lambda \neq 0 \). Korrutis \(\lambda \vec(a) \) on vektor, mis on vektoriga \(\vec(a) \) kollineaarne ja mille pikkus võrdub \(|\lambda| |\vec(a)| \ ) ja suund on sama mis vektoril \(\vec(a) \), kui \(\lambda > 0 \), ja vastupidine, kui \(\lambda Geomeetriline tähendus vektori \(\vec(a) \neq \vec(0) \) arvuga \(\lambda \neq 0 \) korrutamise tehteid saab väljendada järgmiselt: if \(|\lambda| >1 \ ), siis vektori \(\vec(a) \) korrutamisel arvuga \(\lambda \) on vektor \(\vec(a) \) “venitatud” \(\lambda \) korda ja kui \ (|\lambda| 1 \ ).

Kui \(\lambda =0 \) või \(\vec(a) = \vec(0) \), loetakse korrutis \(\lambda \vec(a) \) võrdseks nullvektoriga.

Kommenteeri
Kasutades vektori arvuga korrutamise definitsiooni, on lihtne tõestada, et kui vektorid \(\vec(a) \) ja \(\vec(b) \) on kollineaarsed ja \(\vec(a) \ neq \vec(0) \), siis on olemas (ja ainult üks) arv \(\lambda \), nii et \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \)

Lineaartehte põhiomadused

1. Liitmise kommutatiivne omadus
\(\vec(a) + \vec(b) = \vec(b) + \vec(a) \)

2. Liitmise ühendomadus
\((\vec(a) + \vec(b))+ \vec(c) = \vec(a) + (\vec(b)+ \vec(c)) \)

3. Korrutamise kombineeriv omadus
\(\lambda (\mu \vec(a)) = (\lambda \mu) \vec(a) \)

4. Jaotusomadus arvude summa osas
\((\lambda +\mu) \vec(a) = \lambda \vec(a) + \mu \vec(a) \)

5. Jaotusomadus vektorite summa suhtes
\(\lambda (\vec(a)+\vec(b)) = \lambda \vec(a) + \lambda \vec(b) \)

Kommenteeri
Need omadused lineaarsed operatsioonid on fundamentaalse tähtsusega, kuna need võimaldavad sooritada tavalisi algebralisi toiminguid vektoritega. Näiteks omaduste 4 ja 5 tõttu saate korrutada skalaarse polünoomi vektori polünoomiga "termini kaupa".

Vektorprojektsiooni teoreemid

Teoreem
Kahe vektori summa projektsioon teljele on võrdne nende projektsioonide summaga sellele teljele, s.o.
\(Pr_u (\vec(a) + \vec(b)) = Pr_u \vec(a) + Pr_u \vec(b) \)

Teoreemi saab üldistada suvalise arvu terminite puhul.

Teoreem
Kui vektor \(\vec(a) \) korrutada arvuga \(\lambda \), korrutatakse selle arvuga ka selle projektsioon teljele, s.t. \(Pr_u \lambda \vec(a) = \lambda Pr_u \vec(a) \)

Tagajärg
Kui \(\vec(a) = (x_1;y_1;z_1) \) ja \(\vec(b) = (x_2;y_2;z_2) \), siis
\(\vec(a) + \vec(b) = (x_1+x_2; \; y_1+y_2; \; z_1+z_2) \)

Tagajärg
Kui \(\vec(a) = (x;y;z) \), siis \(\lambda \vec(a) = (\lambda x; \; \lambda y; \; \lambda z) \) mis tahes number \(\lambda \)

Siit on lihtne järeldada kahe vektori kollineaarsuse tingimus koordinaatides.
Tõepoolest, võrdsus \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \) on samaväärne võrdustega \(x_2 = \lambda x_1, \; y_2 = \lambda y_1, \; z_2 = \lambda z_1 \ ) või
\(\frac(x_2)(x_1) = \frac(y_2)(y_1) = \frac(z_2)(z_1) \) st. vektorid \(\vec(a) \) ja \(\vec(b) \) on kollineaarsed siis ja ainult siis, kui nende koordinaadid on võrdelised.

Vektori dekomponeerimine baasiks

Olgu vektorid \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) ühikvektorid koordinaatteljed, st. \(|\vec(i)| = |\vec(j)| = |\vec(k)| = 1\), ja igaüks neist on võrdselt suunatud vastava koordinaatteljega (vt joonist). Vektorite kolmik \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) nimetatakse alus.
Kehtib järgmine teoreem.

Teoreem
Iga vektorit \(\vec(a) \) saab üheselt laiendada üle aluse \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k)\; \, st. esitatakse kui
\(\vec(a) = \lambda \vec(i) + \mu \vec(j) + \nu \vec(k) \)
kus \(\lambda, \;\; \mu, \;\; \nu \) on mõned arvud.

Vektorite summa. Vektori pikkus. kallid sõbrad, seljaeksamitüüpide osana on vektoritega seotud probleemide rühm. Ülesanded on üsna laiaulatuslikud (oluline on teada teoreetiline alus). Enamik lahendatakse suuliselt. Küsimused on seotud vektori pikkuse, vektorite summa (vahe) ja skalaarkorrutise leidmisega. Samuti on palju ülesandeid, mille puhul on vaja sooritada toiminguid vektorkoordinaatidega.

Vektorite teemat ümbritsev teooria ei ole keeruline ja seda tuleb hästi mõista. Selles artiklis analüüsime probleeme, mis on seotud vektori pikkuse ja vektorite summa (erinevuse) leidmisega. Mõned teoreetilised punktid:

Vektori kontseptsioon

Vektor on suunatud segment.

Kõik vektorid, millel on sama suund ja pikkusega võrdsed, on võrdsed.

*Kõik neli ülaltoodud vektorit on võrdsed!

See tähendab, et kui nihutada meile antud vektorit paralleeltõlke abil, saame alati algse vektori. Seega võib võrdseid vektoreid olla lõpmatu arv.

Vektortähistus

Vektorit saab tähistada ladina keeles suurte tähtedega, Näiteks:

Selle tähistusvormiga kirjutatakse kõigepealt vektori algust tähistav täht, seejärel vektori lõppu tähistav täht.

Teist vektorit tähistatakse ühe tähega Ladina tähestik(kapital):

Tähistus on võimalik ka ilma noolteta:

Kahe vektori AB ja BC summa on vektor AC.

See on kirjutatud kujul AB + BC = AC.

Seda reeglit nimetatakse - kolmnurga reegel.

See tähendab, et kui meil on kaks vektorit – nimetame neid kokkuleppeliselt (1) ja (2) ning vektori (1) lõpp langeb kokku vektori (2) algusega, siis on nende vektorite summaks vektor, mille algus langeb kokku vektori (1) algusega ja lõpp langeb kokku vektori (2) lõpuga.

Järeldus: kui meil on tasapinnal kaks vektorit, leiame alati nende summa. Paralleeltõlke abil saate liigutada ükskõik millist neist vektoritest ja ühendada selle alguse teise lõpuga. Näiteks:

Liigutame vektorit b ehk teisisõnu konstrueerime võrdse:

Kuidas leitakse mitme vektori summa? Samal põhimõttel:

* * *

Paralleelogrammi reegel

See reegel on ülaltoodu tagajärg.

Vektoritele koos ühine algus nende summat kujutab nendele vektoritele konstrueeritud rööpküliku diagonaal.

Ehitame vektori võrdne vektoriga b nii et selle algus langeb kokku vektori lõpuga a, ja saame luua vektori, mis on nende summa:

Natuke rohkem oluline teave probleemide lahendamiseks vajalik.

Märgitakse ka algse pikkusega, kuid vastupidise suunaga vektorit, kuid sellel on vastupidine märk:

See teave on äärmiselt kasulik selliste probleemide lahendamiseks, mis hõlmavad vektorite erinevuse leidmist. Nagu näete, on vektorite erinevus modifitseeritud kujul sama summa.

Olgu antud kaks vektorit, leidke nende erinevus:

Konstrueerisime vektorile b vastupidise vektori ja leidsime erinevuse.

Vektori koordinaadid

Vektori koordinaatide leidmiseks peate lõppkoordinaatidest lahutama vastavad alguse koordinaadid:

See tähendab, et vektori koordinaadid on arvude paar.

Kui

Ja vektorite koordinaadid näevad välja järgmised:

Siis c 1 = a 1 + b 1 c 2 = a 2 + b 2

Kui

Siis c 1 = a 1 – b 1 c 2 = a 2 – b 2

Vektormoodul

Vektori moodul on selle pikkus, mis määratakse järgmise valemiga:

Valem vektori pikkuse määramiseks, kui selle alguse ja lõpu koordinaadid on teada:

Vaatleme ülesandeid:

Ristküliku ABCD kaks külge on võrdsed 6 ja 8. Diagonaalid lõikuvad punktis O. Leia vektorite AO ja BO vahe pikkus.

Leiame vektori, mis on AO-VO tulemus:

AO –VO =AO +(–VO )=AB

See tähendab, et vektorite AO ja erinevus VO on vektor AB. Ja selle pikkus on kaheksa.

Rombi diagonaalid ABCD on võrdsed 12 ja 16. Leidke vektori AB + AD pikkus.

Leiame vektori, mis on vektorite AD ja AB BC summa võrdne vektoriga A.D. Seega AB +AD =AB +BC =AC

AC on rombi diagonaali pikkus AC, on see võrdne 16-ga.

Rombi ABCD diagonaalid lõikuvad punktis O ja on võrdsed 12 ja 16. Leidke vektori AO + BO pikkus.

Leiame vektor, mis on vektorite AO ja VO summa VO on võrdne vektoriga OD, mis tähendab

AD on rombi külje pikkus. Probleem taandub hüpotenuusi leidmisele täisnurkne kolmnurk AOD. Arvutame jalad:

Pythagorase teoreemi järgi:

Rombi ABCD diagonaalid lõikuvad punktis O ja on võrdsed 12 ja 16. Leidke vektori AO – BO pikkus.

Leiame vektori, mis on AO-VO tulemus:

AB on rombi külje pikkus. Probleem taandub hüpotenuusi AB leidmisele täisnurkses kolmnurgas AOB. Arvutame jalad:

Pythagorase teoreemi järgi:

Peod korrapärane kolmnurk ABC on võrdne 3-ga.

Leia vektori AB –AC pikkus.

Leiame vektori erinevuse tulemuse:

CB on võrdne kolmega, kuna tingimus ütleb, et kolmnurk on võrdkülgne ja selle küljed on võrdsed 3-ga.

27663. Leia vektori a pikkus (6;8).

27664. Leia vektori AB pikkuse ruut.

Matemaatikas ja füüsikas puutuvad õpilased ja kooliõpilased sageli kokku probleemidega, mis on seotud vektorsuuruste ja nendega erinevate toimingute tegemisega. Mille poolest erinevad vektorsuurused ja meile harjumuspärased skalaarsuurused, mille ainsaks tunnuseks on nende arvväärtus? Fakt on see, et neil on suund.

Vektorsuuruste kasutamine on kõige selgemini seletatud füüsikas. Kõige lihtsaid näiteid on jõud (hõõrdejõud, elastsusjõud, kaal), kiirus ja kiirendus, kuna lisaks arvväärtustele on neil ka toimesuund. Võrdluseks anname skalaarsuuruste näide: see võib olla kahe punkti vaheline kaugus või keha mass. Miks on vaja teha vektorsuurustega tehteid nagu liitmine või lahutamine? See on vajalik, et oleks võimalik määrata 2 või enamast elemendist koosneva vektorsüsteemi toime tulemus.

Vektormatemaatika mõisted

Tutvustame peamisi lineaarsete operatsioonide sooritamisel kasutatavaid definitsioone.

1. Vektor on suunatud segment (millel on algus- ja lõpp-punkt).
2. Pikkus (moodul) on suunatud segmendi pikkus.
3. Kollineaarsed on kaks vektorit, mis on kas paralleelsed sama sirgega või asuvad sellel samaaegselt.
4. Vastupidiselt suunatud vektoreid nimetatakse kollineaarseteks ja samal ajal sisse suunatud erinevad küljed. Kui nende suund langeb kokku, siis on nad kaassuunalised.
5. Vektorid on võrdsed, kui nad on samasuunalised ja suuruselt identsed.
6. Kahe vektori summa a Ja b on selline vektor c, mille algus langeb kokku esimese algusega ja lõpp teise lõpuga, eeldusel, et b algab samast punktist, kus see lõpeb a.
7. Vektori erinevus a Ja b nimeta summa a Ja ( - b ), Kus ( - b ) - vektorile vastupidiselt suunatud b. Samuti saab kahe vektori erinevuse definitsiooni anda järgmiselt: erinevus c vektorite paarid a Ja b nad kutsuvad seda c, mis alamosale lisamisel b moodustab minuendi a.

Analüütiline meetod

Analüütiline meetod hõlmab erinevuse koordinaatide saamist valemi abil ilma joonistamata. Arvutusi on võimalik teha tasapinnalise (kahemõõtmelise), mahulise (kolmemõõtmelise) või n-mõõtmeline ruum.

Kahemõõtmelise ruumi jaoks ja vektorkogused a {a1;a₂) Ja b {b1;b₂} arvutused saavad olema järgmine vaade: c {c1; c₂} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂}.

Kolmanda koordinaadi lisamise korral tehakse arvutus sarnaselt ja jaoks a {a1;a₂; a₃) Ja b {b1;b₂; b₃) erinevuse koordinaadid saadakse ka paarilise lahutamise teel: c {c1; c₂; c₃} = {a₁ – b₁; a₂ – b2; a₃ – b₃}.

Vahe arvutamine graafiliselt

Et konstrueerida erinevust graafiliselt, peaksite kasutama kolmnurga reeglit. Selleks peate tegema järgmise toimingute jada:

1. Kõrval antud koordinaadid konstrueerige vektorid, mille erinevuse peate leidma.
2. Ühendage nende otsad (st konstrueerige kaks etteantud segmentidega võrdset suunatud segmenti, mis lõpevad samas punktis).
3. Ühendage mõlema suunatud segmendi algused ja märkige suund; resultant algab samast punktist, kus algas minuendiks olev vektor, ja lõpeb punktis, kus algas alaosa.

Lahutustehte tulemus on näidatud alloleval joonisel.

Erinevuse konstrueerimiseks on olemas ka meetod, mis erineb veidi eelmisest. Selle olemus seisneb vektorite erinevuse teoreemi rakendamises, mis on sõnastatud järgmiselt: selleks, et leida paari suunatud segmentide erinevust, piisab, kui leida neist esimese summa lõiguga, mis on vastupidiselt suunatud lõigule. teiseks. Ehitusalgoritm näeb välja selline:

1. Ehitage esialgsed suunatud segmendid.
2. See, mis lahutatakse, peab kajastuma, st konstrueerima vastassuunas ja sellega võrdse lõigu; seejärel ühendage selle algus minutilõpuga.
3. Koostage summa: ühendage esimese lõigu algus teise lõpuga.

Selle otsuse tulemus on näidatud joonisel:

Probleemi lahendamine

Oskuste kinnistamiseks analüüsime mitmeid ülesandeid, mille puhul tuleb erinevus analüütiliselt või graafiliselt välja arvutada.

Probleem 1. Tasapinnal on antud 4 punkti: A (1; -3), B (0; 4), C (5; 8), D (-3; 2). Määrake vektori q = AB - CD koordinaadid ja arvutage ka selle pikkus.

Lahendus. Kõigepealt peate leidma koordinaadid AB Ja CD. Selleks tuleb lõpp-punktide koordinaatidest lahutada algpunktide koordinaadid. Sest AB algus on A(1; -3) ja lõpp – B(0; 4). Arvutame suunatud segmendi koordinaadid:

AB {0 - 1; 4 - (- 3)} = {- 1; 7}

Sarnane arvutus tehakse CD:

CD {- 3 - 5; 2 - 8} = {- 8; - 6}

Nüüd, teades koordinaate, saate leida vektorite erinevuse. Analüütilise lahenduse valem lennuki probleemid arutati varem: eest c = a- b koordinaadid on kujul ( c1; c₂} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂). Konkreetse juhtumi puhul võite kirjutada:

q = {- 1 - 8; 7 - (- 6)} = { - 9; - 1}

Pikkuse leidmiseks q, kasutame valemit | q| = √(q₁² + q₂²) = √((-9)² + (-1)²) = √(81 + 1) = √82 ≈ 9,06.

Probleem 2. Joonisel on vektorid m, n ja p.

Nende jaoks on vaja konstrueerida erinevused: lk- n; m- n; m-n- lk. Uurige, milline neist on väikseima mooduliga.

Lahendus. Probleem nõuab kolme konstruktsiooni. Vaatame iga ülesande osa üksikasjalikumalt.

1. osa. Selleks, et kujutada lk- n, Kasutame kolmnurga reeglit. Selleks ühendame paralleeltõlke abil segmendid nii, et nende lõpp-punkt langeb kokku. Nüüd ühendame lähtepunktid ja määrame suuna. Meie puhul algab erinevusvektor samast kohast, kus alamosa n.

2. osa. Kujutame m - n. Nüüd kasutame lahendamiseks vektorite erinevuse teoreemi. Selleks konstrueerige vastandvektor n, ja seejärel leidke selle summa koos m. Saadud tulemus näeb välja selline:

3. osa. Et leida erinevus m - n - p, peaksite jagama väljendi kaheks tegevuseks. Alates aastast vektoralgebra kehtivad aritmeetikaseadustega sarnased seadused, siis on võimalikud järgmised valikud:

• m – (n + p): sel juhul joonistatakse esmalt summa n+p, millest siis lahutatakse m;
• (m - n) - lk: siit peate esmalt leidma m - n ja lahutage sellest erinevusest lk;
• (m - p) - n: esimene toiming on määratud m - lk, mille järel peate saadud tulemusest lahutama n.

Kuna probleemi eelmises osas leidsime juba erinevuse m - n, peame sellest lihtsalt lahutama lk. Konstrueerime erinevuse teoreemi abil kahe antud vektori erinevuse. Vastus on näidatud alloleval pildil (tähistatud punasega vahetulemus ja roheline – lõplik).

Jääb veel kindlaks teha, millisel segmendil on väikseim moodul. Pidagem meeles, et pikkuse ja mooduli mõisted vektormatemaatikas on identsed. Hindame visuaalselt pikkuseid lk- n, m-n Ja m-n-lk. Ilmselgelt on lühim ja väikseima mooduliga vastus ülesande viimases osas, nimelt m-n-lk.

Matemaatilisi või füüsikalisi suurusi saab esitada kui skalaarsuurused(arvväärtus) ja vektorsuurused (suurus ja suund ruumis).

Vektor on suunatud sirglõik, mille jaoks on näidatud, milline selle piiripunkt on algus ja milline lõpp. Seega on vektoril kaks komponenti – selle pikkus ja suund.

Vektorpilt joonisel.

Vektoritega töötamisel võetakse sageli kasutusele teatud Descartes'i koordinaatide süsteem, milles vektori koordinaadid määratakse selle lagundamisel alusvektoriteks:

Vektorile, mis asub koordinaatruumis (x,y,z) ja pärineb algpunktist

Vektori alguse ja lõpu vahelist kaugust nimetatakse selle pikkuseks ja vektori pikkuse tähistamiseks (selle absoluutväärtus) kasutage mooduli sümbolit.

Vektoreid, mis asuvad kas samal sirgel või paralleelsel sirgel, nimetatakse kollineaarseteks. Nullvektorit peetakse mis tahes vektori suhtes kollineaarseks. hulgas kollineaarsed vektorid eristada võrdselt suunatud (kaassuunalisi) ja vastassuunalisi vektoreid. Vektoreid nimetatakse koplanaarseteks, kui need asuvad kas samal tasapinnal või sama tasapinnaga paralleelsel sirgel.

1. Vektori pikkus (vektori moodul)

Vektori pikkus määrab selle skalaarväärtus ja sõltub selle koordinaatidest, kuid ei sõltu selle suunast. Vektori pikkus (või vektori moodul) arvutatakse aritmeetika abil Ruutjuur vektori koordinaatide (komponentide) ruutude summast (kasutatakse täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi arvutamise reeglit, kus vektorist endast saab hüpotenuus).

Koordinaatide abil arvutatakse vektori moodul järgmiselt:

Vektorile, mis asub koordinaatruumis (x,y) ja pärineb algpunktist

Koordinaatruumis (x, y, z) asuva ja lähtepunktist lähtuva vektori puhul on valem sarnane risttahuka diagonaali valemiga, kuna ruumis olev vektor võtab koordinaattelgede suhtes sama positsiooni.

2. Vektoritevaheline nurk

Ühest punktist joonistatud kahe vektori vaheline nurk on lühim nurk, mille kaudu tuleb ühte vektorit pöörata ümber selle alguspunkti teise vektori asukohta. Vektorite vaheline nurk määratakse vektorite punktkorrutise määramise avaldise abil

Seega on vektoritevahelise nurga koosinus võrdne skalaarkorrutise ja vektorite pikkuste või moodulite korrutise suhtega. Seda valemit saab kasutada, kui vektorite pikkused ja nende skalaarkorrutis või vektorid on määratud koordinaatidega ristkülikukujuline süsteem koordinaadid tasapinnal või ruumis kujul: ja .

Kui vektorid A ja B on antud kolmemõõtmelises ruumis ja igaühe koordinaadid on antud kujul: ja , siis määratakse vektorite vaheline nurk järgmise avaldise abil:

Tuleb märkida, et vektorite ja vektorite vahelise nurga saab määrata ka kolmnurga koosinusteoreemi rakendamisega: kolmnurga mis tahes külje ruut võrdub kahe ülejäänud külje ruutude summaga, millest on lahutatud kahekordne toode need küljed nendevahelise nurga koosinuse järgi.

kus AB, OA, OB on kolmnurga vastavad küljed.

Kolmnurga koosinusteoreem

Rakendatud vektorarvutuses see valem kirjutatakse ümber järgmiselt:

Seega määratakse vektorite ja vaheline nurk järgmise avaldise abil:

kus ja on vektori moodul (pikkus) ja on vektori moodul (pikkus), mis määratakse kahe vektori erinevusest. Võrrandis sisalduvad tundmatud on määratud vektorite koordinaatide ja .

3. Vektori lisamine

Kahe vektori liitmine ja (kahe vektori summa) on operatsioon vektori arvutamiseks, mille kõik elemendid on võrdsed vektorite ja vastavate elementide paarikaupa summaga. Kui vektorid on määratud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis vektori summa

IN graafiline vorm, Koos kahe vaba vektori asukoht saab läbi viia nii kolmnurga reegli kui rööpküliku reegli järgi.

Kahe vektori liitmine

Kahe liikuva vektori liitmine on määratletud ainult juhul, kui sirged, millel need asuvad, lõikuvad. Kahe fikseeritud vektori liitmine on määratletud ainult siis, kui neil on ühine algus.

Kolmnurga reegel.

Kahe vektori liitmiseks ja kolmnurga reegli järgi kantakse mõlemad need vektorid üksteisega paralleelselt üle nii, et ühe algus langeb kokku teise lõpuga. Siis on summavektor antud saadud kolmnurga kolmanda küljega ja selle algus langeb kokku esimese vektori algusega ja lõpp teise vektori lõpuga.

kus on nurk vektorite vahel, kui ühe algus langeb kokku teise lõpuga.

Paralleelogrammi reegel.

Kahe vektori liitmiseks ja rööpkülikureegli kohaselt kantakse mõlemad need vektorid üksteisega paralleelselt nii, et nende alguspunkt langeb kokku. Seejärel antakse summavektor neile konstrueeritud rööpküliku diagonaaliga, alustades nende ühisest algpunktist.

Summavektori moodul (pikkus) määratakse koosinusteoreemi abil:

kus on nurk ühest punktist väljuvate vektorite vahel.

Märge:

Nagu näete, muutub olenevalt sellest, milline nurk on valitud, summa vektori mooduli (pikkuse) määramise valemis nurga koosinuse ees olev märk.

4.Vektorite erinevus

Vektorite erinevus ja (vektorite lahutamine) on vektori arvutamise tehe, mille kõik elemendid on võrdsed vektorite vastavate elementide paarilise erinevusega ja. Kui vektorid on määratud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis vektori erinevus ja selle saab leida järgmise valemi abil:

Graafilisel kujul on vektorite erinevuseks vektori ja vektorile vastupidise vektori summa, s.o.

Kahe vaba vektori erinevus

Kahe vaba vektori erinevust graafilisel kujul saab määrata nii kolmnurga reegli kui rööpküliku reegliga. Erinevusvektori moodul (pikkus) määratakse koosinusteoreemiga. Olenevalt valemis kasutatud nurgast muutub koosinuse ees olev märk (räägiti varem).

5. Vektorite punktkorrutis

Kahe vektori skalaarkorrutist nimetatakse tegelik arv, võrdne tootega vektorite pikkused korrutatakse nendevahelise nurga koosinusega. Vektorite ja punktkorrutis on tähistatud ühega järgmistest tähistest või või ja on määratletud valemiga:

kus on vektorite pikkused ja vastavalt ning on vektoritevahelise nurga koosinus.

Kahe vektori punktkorrutis

Punktkorrutist saab arvutada ka vektorite koordinaatide kaudu ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis tasapinnal või ruumis.

Kahe tasapinnal või ruumilises ruumis asuva vektori skalaarkorrutis ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on vektorite ja vastavate koordinaatide korrutised.

Seega vektorite jaoks ja ristkülikukujulisel tasapinnal Descartes'i süsteem koordinaadid, on skalaarkorrutise arvutamise valem järgmine:

Sest kolmemõõtmeline ruum Vektorite skalaarkorrutise arvutamise valem on järgmine:

Skalaarkorrutise omadused.

1.Skalaarkorrutise kommutatiivne omadus

2. Skalaarkorrutise jaotusomadus

3. Skalaarkorrutise kombineeriv omadus (assotsiatiivsus)

kus on suvaline reaalarv.

Tuleb märkida, et järgmistel juhtudel:

Kui skalaarkorrutis on positiivne, on vektorite vaheline nurk terav (alla 90 kraadi);

Kui skalaarkorrutis on negatiivne, on vektorite vaheline nurk nüri (üle 90 kraadi);

Kui punktkorrutis on 0, siis on vektorid ortogonaalsed (mis asuvad üksteisega risti);

Kui skalaarkorrutis on võrdne vektorite pikkuste korrutisega, on need vektorid üksteisega kollineaarsed (paralleelsed).

6. Vektorite vektorkorrutis

Kahe vektori ristkorrutis on vektor, mille puhul on täidetud järgmised tingimused:

1. vektor on ortogonaalne (risti) vektorite ja tasandiga;