Primjene određenog integrala primjeri su rješenja. Izračunavanje površine ravne figure

Predavanje 21 Primjene određeni integral(2h)

Geometrijske primjene

a) područje figure

Kao što je navedeno u predavanju 19, numerički jednako površini krivolinijski trapez, ograničena krivulja na = f(x) , ravne linije x = a, x = b i segment [ a, b] osi OX. U isto vrijeme, ako f(x) £ 0 na [ a, b], tada integral treba uzeti s predznakom minus.

Ako je uključeno dati segment funkcija na = f(x) mijenja predznak, a zatim za izračunavanje površine figure zatvorene između grafa ove funkcije i osi OX treba podijeliti segment na dijelove, na svakom od kojih funkcija zadržava svoj predznak, i pronaći područje ​svaki dio figure. Željeno područje u ovom slučaju je algebarski zbroj integrala nad tim segmentima, a integrali koji odgovaraju negativnim vrijednostima funkcije uzimaju se u ovom zbroju sa znakom minus.

Ako je lik omeđen dvjema krivuljama na = f 1 (x) i na = f 2 (x), f 1 (x)£ f 2 (x), tada je, kao što slijedi sa slike 9, njegova površina jednaka razlici između površina krivocrtnih trapeza a Sunce b i a OGLAS b, od kojih je svaki brojčano jednak integralu. Sredstva,

Imajte na umu da se površina slike prikazane na slici 10, a nalazi istom formulom: S = (Dokaži!). Razmislite o tome kako izračunati površinu figure prikazane na slici 10, b?

Govorili smo samo o krivocrtnim trapezima uz OX os. Ali slične formule vrijede i za figure uz y-os. Na primjer, područje slike prikazane na slici 11 nalazi se formulom

Neka linija g=f(x) ograničavanje krivuljastog trapeza može se dati parametarskim jednadžbama , t O , i j(a)= a, j(b) = b, tj. na= . Tada je površina ovog krivocrtnog trapeza

.

b) Duljina luka krivulje

Neka bude krivulja na = f(x). Razmotrite luk ove krivulje koji odgovara promjeni x na segmentu [ a, b]. Nađimo duljinu ovog luka. Da bismo to učinili, luk AB podijelimo na P dijelovi s točkama A \u003d M 0, M 1, M 2, ..., M P= B (slika 14), koji odgovaraju točkama x 1 , x 2 , ..., x n Î [ a, b].

Označite D l ja duljina luka, dakle l= . Ako su duljine luka D l ja dovoljno mali, mogu se smatrati približno jednake duljine odgovarajući segmenti koji povezuju točke M ja-1,M ja. Ove točke imaju koordinate M ja -1 (x i -1, f (x i-1)), M ja(x i, f(x i)). Tada su duljine odsječaka redom jednake

Ovdje se koristi Lagrangeova formula. Stavimo x i – x i-1=D x i, dobivamo

Zatim l = , gdje

l = .

Dakle, duljina luka krivulje na = f(x) koji odgovara promjeni x na segmentu [ a, b], nalazi se formulom

l = , (1)

Ako je krivulja dana parametarski, t O, tj. g(t) = f(x(t)), tada iz formule (1) dobivamo:

l=
.

Dakle, ako je krivulja dana parametarski, tada je duljina luka ove krivulje koja odgovara promjeni t n, nalazi se formulom

u) Volumen tijela revolucije.

sl.15

Razmotrimo krivolinijski trapez a AB b, omeđen linijom na = f(x), ravno x = a, x = b i segment [ a,b] osi OX (slika 15). Neka ovaj trapez rotira oko osi OX, rezultat će biti tijelo rotacije. Može se dokazati da će volumen ovog tijela biti jednak

Slično, možete izvesti formulu za volumen tijela dobivenog rotacijom oko y-osi krivocrtnog trapeza omeđenog grafom funkcije x= j( na), ravno g = c , g = d i segment [ c,d] y-os (Sl. 15):

Fizičke primjene određenog integrala

U 19. predavanju smo dokazali da je, s fizikalnog gledišta, integral numerički jednaka masi pravolinijski tanki nehomogeni štap duljine l= b – a, s promjenjivom linearnom gustoćom r = f(x), f(x) ³ 0, gdje je x je udaljenost od vrha štapa do njegovog lijevog kraja.

Razmotrimo druge fizičke primjene određenog integrala.

Zadatak 1. Nađite rad potreban za ispumpavanje nafte iz okomitog cilindričnog spremnika visine H i polumjera baze R. Gustoća ulja je r.

Odluka. Hajdemo graditi matematički model ovaj zadatak. Neka os OX prolazi duž osi simetrije cilindra visine H i polumjera R, početak - u središtu gornje baze cilindra (slika 17). Razdvojimo cilindar P male horizontalne dijelove. Onda gdje A i- rad na pumpanju ja th sloj. Ova podjela cilindra odgovara podjeli segmenta promjene visine sloja na P dijelovi. Razmotrite jedan od ovih slojeva koji se nalazi na udaljenosti x i od površine, širina D x(ili odmah dx). Ispumpavanje ovog sloja može se smatrati "dizanjem" sloja na visinu x i.

Tada je rad učinjen za ispumpavanje ovog sloja jednak

A i"R i x i, ,

gdje je P ja=rgV ja= rgpR 2 dx, R ja– težina, V ja je volumen sloja. Zatim A i" R i x i= rgpR 2 dx.x i, gdje

, i zbog toga .

Zadatak 2. Odredite moment inercije

a) šuplji cilindar tankih stijenki oko osi koja prolazi kroz njegovu os simetrije;

b) čvrsti cilindar oko osi koja prolazi kroz njegovu os simetrije;

c) duljina tankog štapa l oko osi koja prolazi njegovom sredinom;

d) duljina tankog štapa l oko osi koja prolazi kroz njegov lijevi kraj.

Odluka. Kao što znate, moment tromosti točke oko osi jednak je J=gosp 2, te sustavi bodova.

a) Cilindar je tankih stijenki, što znači da se debljina stijenke može zanemariti. Neka su radijus baze valjka R, njegova visina H i gustoća mase na stijenkama jednaki r.

Razdvojimo cilindar P dijelove i pronaći gdje J i- moment inercije ja-ti pregradni element.

Smatrati ja-ti pregradni element (infinitezimalni cilindar). Sve njegove točke udaljene su R od osi l. Neka masa ovog cilindra t i, onda t i= rV ja» RS strana= 2prR dx i, gdje x i O. Zatim J i» R 2 prR dx i, gdje

.

Ako je r konstanta, tada J= 2prR 3 N, a kako je masa cilindra M = 2prRN, tada je J= MR 2 .

b) Ako je cilindar čvrst (napunjen), tada ga dijelimo na P vlo tanki cilindri ugniježđeni jedan u drugom. Ako P velik, svaki od ovih cilindara može se smatrati tankim stijenkama. Ova podjela odgovara podjeli segmenta na P dijelovi po točkama R ja. Pronađimo masu ja-th cilindar tankih stijenki: t i= rV ja, gdje

V ja=pR ja 2 H - pR ja- 1 2 H \u003d pH (R ja 2-R ja -1 2) =

PH(R ja-R ja-1)(R ja+R ja -1).

Budući da su stijenke cilindra tanke, možemo pretpostaviti da je R ja+R ja-1 » 2R ja i R ja-R ja-1=DR ja, zatim V ja» pH2R ja DR ja, gdje t i» rpN×2R ja DR ja,

Onda konačno

c) Promotrimo štap duljine l, čija je gustoća mase jednaka r. Neka kroz njegovu sredinu prolazi os rotacije.

Štap modeliramo kao segment osi OX, tada je os rotacije štapa os OY. Razmotrimo elementarni segment, njegovu masu, udaljenost do osi možemo smatrati približno jednakim r i= x i. Tada je moment tromosti ovog dijela , odakle je moment tromosti cijelog štapa . Uzimajući u obzir da je masa štapa , tada

d) Sada neka os rotacije prolazi kroz lijevi kraj štapa, tj. štapni model je segment osi OX. Zatim slično, r i= x i, , gdje , a od , onda .

Zadatak 3. Odredite silu pritiska tekućine gustoće r na pravokutni trokut s kracima a i b, uronjen okomito u tekućinu tako da noga a nalazi se na površini tekućine.

Odluka.

Izgradimo model zadatka. Neka vrh pravi kut trokut je u ishodištu, krak a poklapa se sa segmentom osi OY (os OY određuje površinu tekućine), os OX je usmjerena prema dolje, noga b poklapa se s segmentom ove osi. Hipotenuza ovog trokuta ima jednadžbu , ili .

Poznato je da ako se na vodoravnom području područja S, uronjen u tekućinu gustoće r, pritisnut je stupom tekućine s vis h, tada je sila pritiska jednaka (Pascalov zakon). Iskoristimo ovaj zakon.

Predstavimo neke primjene određenog integrala.

Izračunavanje površine ravne figure

Područje krivuljastog trapeza omeđeno krivuljom (gdje
), ravno
,
i segment
sjekire
, izračunava se formulom

.

Područje figure ograničeno krivuljama
i
(gdje
) ravno
i
izračunati po formuli

.

Ako je krivulja dana parametarskim jednadžbama
, zatim područje krivuljastog trapeza omeđeno ovom krivuljom, ravnim linijama
,
i segment
sjekire
, izračunava se formulom

,

gdje i određuju se iz jednadžbi
,
, a
na
.

Područje zakrivljenog sektora omeđeno krivuljom definiranom u polarne koordinate jednadžba
i dva polarna radijusa
,
(
), nalazi se formulom

.

Primjer 1.27. Izračunaj površinu lika omeđenog parabolom
i izravni
(Slika 1.1).

	Odluka. Nađimo točke sjecišta pravca i parabole. Da bismo to učinili, rješavamo jednadžbu , . Gdje , . Tada prema formuli (1.6) imamo .

Izračunavanje duljine luka ravninske krivulje

Ako krivulja
na segmentu
- glatka (odnosno izvedenica
kontinuirana), tada se duljina odgovarajućeg luka ove krivulje nalazi formulom

.

Kod parametarskog zadavanja krivulje
(
- kontinuirano diferencijabilne funkcije) duljina luka krivulje koja odgovara monotonoj promjeni parametra iz prije , izračunava se formulom

Primjer 1.28. Izračunajte duljinu luka krivulje
,
,
.

Odluka. Nađimo derivacije u odnosu na parametar :
,
. Tada po formuli (1.7) dobivamo

.

2. Diferencijalni račun funkcija više varijabli

Neka svaki poredani par brojeva
iz nekog područja
odgovara određenom broju
. Zatim nazvao funkcija dviju varijabli i ,
-nezavisne varijable ili argumenti ,
-domena definicije funkcije, ali skup sve vrijednosti funkcije - njegov raspon i označavaju
.

Geometrijski, domena funkcije je obično neki dio ravnine
omeđeno linijama koje mogu ali ne moraju pripadati ovom području.

Primjer 2.1. Pronađite domenu
funkcije
.

	Odluka. Ova je funkcija definirana u tim točkama ravnine , u kojem , ili . Točke ravnine za koje , čine granicu regije . Jednadžba definira parabolu (sl. 2.1; budući da parabola ne pripada području , prikazano je kao isprekidana linija). Nadalje, lako je izravno provjeriti da su točke za koje , koji se nalazi iznad parabole. Regija je otvoren i može se odrediti pomoću sustava nejednakosti:

Ako je promjenjiva dati malo poticaja
, a ostavite ga konstantnim, a zatim funkciju
dobit će prirast
nazvao privatna funkcija povećanja po varijabli :

Slično, ako je varijabla dobiva prirast
, a ostaje konstantna, tada funkcija
dobit će prirast
nazvao privatna funkcija povećanja po varijabli :

Ako ograničenja postoje:

,

,

zovu se parcijalne derivacije funkcije
po varijablama i odnosno.

Napomena 2.1. Slično se definiraju parcijalne derivacije funkcija bilo kojeg broja neovisnih varijabli.

Napomena 2.2. Budući da je parcijalna derivacija u odnosu na bilo koju varijablu derivacija u odnosu na tu varijablu, pod uvjetom da su ostale varijable konstantne, tada su sva pravila za razlikovanje funkcija jedne varijable primjenjiva na pronalaženje parcijalnih derivacija funkcija bilo kojeg broja varijabli.

Primjer 2.2.
.

Odluka. Pronašli smo:

,

.

Primjer 2.3. Pronađite djelomične derivacije funkcija
.

Odluka. Pronašli smo:

,

,

.

Povećanje pune funkcije
naziva se razlika

Glavni dio ukupnog prirasta funkcije
, linearno ovisan o priraštajima nezavisnih varijabli
i
,naziva se totalni diferencijal funkcije i označeno
. Ako funkcija ima kontinuirane parcijalne derivacije, tada ukupni diferencijal postoji i jednak je

,

gdje
,
- proizvoljna povećanja nezavisnih varijabli, koja se nazivaju njihovim diferencijalima.

Slično, za funkciju od tri varijable
ukupni diferencijal je dan sa

.

Neka funkcija
ima u točki
parcijalne derivacije prvog reda u odnosu na sve varijable. Tada se vektor zove gradijent funkcije
u točki
i označeno
ili
.

Primjedba 2.3. Simbol
naziva se Hamiltonov operator i izgovara se "numbla".

Primjer 2.4. Pronađite gradijent funkcije u točki
.

Odluka. Nađimo parcijalne derivacije:

,
,

i izračunati njihove vrijednosti u točki
:

,
,
.

Posljedično,
.

izvedenica funkcije
u točki
u smjeru vektora
naziva se granica omjera
na
:

, gdje
.

Ako funkcija
je diferencijabilan, tada se derivacija u tom smjeru izračunava formulom:

,

gdje ,- kutovi, koji vektor forme sa sjekirama
i
odnosno.

U slučaju funkcije triju varijabli
derivacija smjera se definira slično. Odgovarajuća formula ima oblik

,

gdje
- smjer kosinusa vektora .

Primjer 2.5. Pronađite izvod funkcije
u točki
u smjeru vektora
, gdje
.

Odluka. Nađimo vektor
i njegovi kosinusi smjera:

,
,
,
.

Izračunajte vrijednosti parcijalnih derivacija u točki
:

,
,
;
,
,
.

Zamjenom u (2.1) dobivamo

.

Parcijalne derivacije drugog reda nazvane parcijalne derivacije preuzete iz parcijalnih derivacija prvog reda:

,

,

,

Parcijalne derivacije
,
nazvao mješoviti . Vrijednosti mješovitih izvodnica su jednake u onim točkama gdje su te izvodnice kontinuirane.

Primjer 2.6. Pronađite parcijalne derivacije drugog reda funkcije
.

Odluka. Izračunajte prve parcijalne derivacije prvog reda:

,
.

Ponovo ih razlikujući, dobivamo:

,
,

,
.

Uspoređujući posljednje izraze, vidimo da
.

Primjer 2.7. Dokažite da funkcija
zadovoljava Laplaceovu jednadžbu

.

Odluka. Pronašli smo:

,
.

,
.

.

Točka
nazvao lokalna maksimalna točka (minimum ) funkcije
, ako za sve točke
, osim
i pripadajući dovoljno malom susjedstvu toga, nejednakost

(
).

Maksimum ili minimum funkcije naziva se njen ekstremno . Točka u kojoj je dostignut ekstrem funkcije naziva se ekstremna točka funkcije .

Teorem 2.1 (Nužni uvjeti za ekstrem ). Ako točka
je ekstremna točka funkcije
, onda barem jedna od ovih derivacija ne postoji.

Točke za koje su ti uvjeti ispunjeni nazivaju se stacionarni ili kritično . Ekstremne točke su uvijek stacionarne, ali stacionarna točka ne mora biti ekstremna točka. Da bi stacionarna točka bila točka ekstrema, moraju biti zadovoljeni dovoljni uvjeti ekstrema.

Uvedimo najprije sljedeću oznaku :

,
,
,
.

Teorem 2.2 (Dovoljni uvjeti za ekstrem ). Neka funkcija
je dvaput diferencijabilan u okolini točke
i točka
je stacionaran za funkciju
. Zatim:

1.Ako
, onda točka
je ekstrem funkcije, i
bit će najveća točka na
(
)a minimalna točka na
(
).

2.Ako
, zatim u točki

nema ekstrema.

3.Ako
, onda ekstrem može i ne mora postojati.

Primjer 2.8. Istražite funkciju za ekstrem
.

Odluka. Budući da je u ovaj slučaj parcijalne derivacije prvog reda uvijek postoje, tada za pronalaženje stacionarnih (kritičnih) točaka rješavamo sustav:

,
,

gdje
,
,
,
. Tako smo dobili dvije stacionarne točke:
,
.

,
,
.

Za točku
dobivamo:, odnosno u ovoj točki nema ekstrema. Za točku
dobivamo: i
, Posljedično

u ovom trenutku dana funkcija dostiže lokalni minimum: .

Ministarstvo obrazovanja i znanosti Ruske Federacije

savezna državna autonomna obrazovna ustanova

visoko stručno obrazovanje

"Sjeverni (Arktik) federalno sveučilište nazvan po M.V. Lomonosov"

Odjel za matematiku

NASTAVNI RAD

Po disciplini Matematika

Pjatiševa Anastazija Andrejevna

Nadglednik

Umjetnost. učitelj, nastavnik, profesor

Borodkina T. A.

Arkhangelsk 2014

ZADATAK ZA NASTAVNI RAD

Primjene određenog integrala

POČETNI PODACI:

21. y=x 3 , y= ; 22.

UVOD

U ovom radu dobio sam sljedeće zadatke: izračunati površine likova omeđenih grafovima funkcija, omeđenih pravcima zadanim jednadžbama, također omeđenih pravcima zadanim jednadžbama u polarnim koordinatama, izračunati duljine lukova krivulja. dano jednadžbama u pravokutni sustav koordinate zadane parametarskim jednadžbama, zadane jednadžbama u polarnim koordinatama, kao i izračunati volumene tijela omeđenih plohama, omeđenih grafovima funkcija, a nastalih rotacijom likova omeđenih grafovima funkcija oko polarne osi. Odabrao sam seminarski rad na temu „Određeni integral. S tim u vezi odlučio sam saznati koliko jednostavno i brzo možete koristiti integralne izračune i koliko točno možete izračunati zadatke koji su mi dodijeljeni.

INTEGRAL je jedan od najvažnijih pojmova matematike koji je nastao u vezi s potrebom da se, s jedne strane, nađu funkcije po njihovim izvodnicama (npr. da se pronađe funkcija koja izražava put koji prijeđe točka u gibanju, prema brzina ove točke), a s druge strane, za mjerenje površina, volumena, duljina luka, rada sila za određeno vrijeme itd.

Otkrivanje teme seminarski rad Slijedio sam sljedeći plan: definicija određenog integrala i njegovih svojstava; duljina luka krivulje; područje krivolinijskog trapeza; površina rotacije.

Za svaku funkciju f(x) kontinuiranu na segmentu postoji antiderivacija na tom segmentu, što znači da postoji neodređeni integral.

Ako je funkcija F(x) neka antiderivacija od kontinuirana funkcija f(x), onda je ovaj izraz poznat kao Newton-Leibnizova formula:

Glavna svojstva određenog integrala:

Ako su donja i gornja granica integracije jednake (a=b), tada je integral jednak nuli:

Ako je f(x)=1, tada:

Prilikom preuređivanja granica integracije, određeni integral mijenja predznak u suprotan:

Konstantni faktor može se uzeti iz predznaka određenog integrala:

Ako su funkcije integrabilne na, onda je njihov zbroj integrabilan i integral zbroja jednak je zbroju integrali:

Postoje i osnovne metode integracije, kao što je promjena varijable:

Popravak diferencijala:

Formula integracije po dijelovima omogućuje smanjenje izračuna integrala na izračun integrala, što se može pokazati jednostavnijim:

Geometrijsko značenje određenog integrala je da je on za kontinuiranu i nenegativnu funkciju u geometrijskom smislu površina odgovarajućeg krivocrtnog trapeza.

Osim toga, pomoću određenog integrala možete pronaći područje područja omeđeno krivuljama, ravnim linijama i, gdje

Ako je krivuljasti trapez omeđen krivuljom koja je parametarski zadana ravnim linijama x = a i x = b i osi Ox, tada se njegova površina nalazi formulom, gdje se određuju iz jednakosti:

. (12)

Glavno područje, čije se područje nalazi pomoću određenog integrala, je krivuljasti sektor. Ovo je područje omeđeno dvjema zrakama i krivuljom, gdje su r i polarne koordinate:

Ako je krivulja graf funkcije gdje je, a funkcija njezine derivacije kontinuirana na ovom segmentu, tada se površina figure koja nastaje rotacijom krivulje oko osi Ox može izračunati po formuli:

. (14)

Ako su funkcija i njezina derivacija neprekidne na segmentu, tada krivulja ima duljinu jednaku:

Ako je jednadžba krivulje dana u parametarskom obliku

gdje su x(t) i y(t) neprekidne funkcije s neprekidnim derivacijama i tada se duljina krivulje nalazi po formuli:

Ako je krivulja dana jednadžbom u polarnim koordinatama, gdje su i kontinuirani na segmentu, tada se duljina luka može izračunati na sljedeći način:

Ako krivocrtni trapez rotira oko osi Ox, omeđen kontinuiranim segmentom i ravnim linijama x \u003d a i x \u003d b, tada će volumen tijela formiranog rotacijom ovog trapeza oko osi Ox biti jednak :

Ako je zakrivljeni trapez omeđen grafom kontinuirane funkcije i pravcima x = 0, y = c, y = d (c< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, будет равен:

Ako je figura omeđena krivuljama i (je "viša" nego ravnim linijama x = a, x = b, tada će volumen tijela rotacije oko osi Ox biti jednak:

i oko y-osi (:

Ako se krivuljasti sektor okreće oko polarne osi, tada se površina dobivenog tijela može pronaći formulom:

2. RJEŠAVANJE PROBLEMA

Zadatak 14: Izračunajte površine likova omeđenih grafovima funkcija:

1) Rješenje:

Slika 1 - Graf funkcija

X se mijenja od 0 do

x 1 = -1 i x 2 = 2 - granice integracije (to se može vidjeti na slici 1).

3) Izračunajte površinu figure pomoću formule (10).

Odgovor: S = .

Zadatak 15: Izračunajte površine figura omeđenih linijama zadanim jednadžbama:

1) Rješenje:

Slika 2 - Graf funkcija

Promotrimo funkciju na intervalu .

Slika 3 - Tablica varijabli za funkciju

Budući da će 1 luk stati na ovo razdoblje. Ovaj luk se sastoji od središnjeg dijela (S 1) i bočnih dijelova. Središnji dio sastoji se od željenog dijela i pravokutnika (S pr):. Izračunajmo površinu jednog središnjeg dijela luka.

2) Pronađite granice integracije.

i y = 6, dakle

Za interval, granice integracije.

3) Pronađite površinu figure pomoću formule (12).

krivocrtni integralni trapez

Zadatak 16: Izračunajte površine likova omeđenih linijama zadanih jednadžbama u polarnim koordinatama:

1) Rješenje:

Slika 4 - Grafikon funkcija,

Slika 5 - Tablica varijabilnih funkcija,

2) Pronađite granice integracije.

Posljedično -

3) Pronađite površinu figure pomoću formule (13).

Odgovor: S=.

Zadatak 17: Izračunajte duljine lukova krivulja zadanih jednadžbama u pravokutnom koordinatnom sustavu:

1) Rješenje:

Slika 6 - Grafik funkcije

Slika 7 - Tablica funkcijskih varijabli

2) Pronađite granice integracije.

varira od ln do ln, to je očito iz stanja.

3) Pronađite duljinu luka pomoću formule (15).

Odgovor: l =

Zadatak 18: Izračunajte duljine lukova krivulja zadanih parametarskim jednadžbama: 1)

1) Rješenje:

Slika 8- Grafikon funkcije

Slika 11 - Tablica funkcijskih varijabli

2) Pronađite granice integracije.

ts varira od, to je očito iz stanja.

Nađimo duljinu luka pomoću formule (17).

20. zadatak: Izračunajte volumene tijela omeđenih površinama:

1) Rješenje:

Slika 12 - Grafikon funkcija:

2) Pronađite granice integracije.

Z se mijenja od 0 do 3.

3) Pronađite obujam figure pomoću formule (18)

Zadatak 21: Izračunajte volumene tijela omeđenih grafovima funkcija, os rotacije Ox: 1)

1) Rješenje:

Slika 13 - Graf funkcija

Slika 15 - Tablica grafikona funkcija

2) Pronađite granice integracije.

Točke (0;0) i (1;1) su zajedničke za oba grafa, dakle to su granice integracije, što je vidljivo na slici.

3) Odredite volumen figure pomoću formule (20).

Zadatak 22: Izračunajte površinu tijela koja nastaju rotacijom likova omeđenih grafovima funkcija oko polarne osi:

1) Rješenje:

Slika 16 - Grafik funkcije

Slika 17 - Tablica varijabli za graf funkcije

2) Pronađite granice integracije.

c promjene od

3) Pronađite površinu figure pomoću formule (22).

Odgovor: 3,68

ZAKLJUČAK

U procesu izrade kolegija na temu “Određeni integral” naučio sam izračunavati površine različita tijela, pronaći duljine različitih lukova krivulja i izračunati volumene. Ovo predstavljanje o radu s integralima, pomoći će mi u budućnosti profesionalna djelatnost kako brzo i učinkovito izvesti razne aktivnosti. Uostalom, sam integral je jedan od najvažnijih pojmova matematike, koji je nastao u vezi s potrebom, s jedne strane, da se funkcije pronađu po njihovim izvodnicama (primjerice, da se pronađe funkcija koja izražava put koji je prešao pokretni točke, prema brzini te točke), a s druge strane, za mjerenje površina, volumena, duljina luka, rada sila za određeno vrijeme itd.

POPIS KORIŠTENIH IZVORA

1. Napisao, D.T. Bilješke s predavanja iz više matematike: 1. dio - 9. izd. - M.: Iris-press, 2008. - 288 str.

2. Bugrov, Ya.S., Nikolsky, S.M. Viša matematika. Diferencijalni i integralni račun: V.2 - M.: Drofa, 2004. - 512 str.

3. V. A. Zorich, Matematička analiza. Dio I. - ur. 4. - M.: MTSNMO, 2002. - 664 str.

4. Kuznjecov D.A. „Zbirka zadataka za viša matematika» Moskva, 1983

5. Nikolsky S. N. "Elementi matematička analiza". - M.: Nauka, 1981.

Slični dokumenti

Izračunavanje površina ravnih figura. Određivanje određenog integrala funkcije. Određivanje površine ispod krivulje, površine figure zatvorene između krivulja. Izračunavanje volumena tijela rotacije. Limit integralnog zbroja funkcije. Određivanje obujma cilindra.

prezentacija, dodano 18.09.2013


Značajke izračunavanja volumena tijela omeđenih plohama u geometrijskom smislu dvostruki integral. Određivanje površina ravnih likova omeđenih linijama metodom integracije u kolegiju matematičke analize.

prezentacija, dodano 17.09.2013


Derivacija određenog integrala s obzirom na varijablu Gornja granica. Izračunavanje određenog integrala kao limita integralnog zbroja Newton–Leibnizovom formulom, promjena varijable i integracija po dijelovima. Duljina luka u polarni sustav koordinate.

kontrolni rad, dodano 22.08.2009


Momenti i središta mase ravninskih krivulja. Guldenov teorem. Površina nastala rotacijom luka ravninske krivulje oko osi koja leži u ravnini luka i ne siječe ga jednaka je umnošku duljine luka i duljine kružnice.

predavanje, dodano 04.09.2003


Tehnika i glavne faze pronalaženja parametara: površina krivocrtnog trapeza i sektora, duljina luka krivulje, volumen tijela, površina tijela revolucije, rad varijable sila. Redoslijed i mehanizam za izračunavanje integrala pomoću MathCAD paketa.

kontrolni rad, dodano 21.11.2010


Neophodno i dovoljan uvjet postojanje određenog integrala. Jednakost određenog integrala algebarski zbroj(razlika) dviju funkcija. Teorem o srednjoj vrijednosti – korolar i dokaz. Geometrijsko značenje određenog integrala.

prezentacija, dodano 18.09.2013


Zadatak numerička integracija funkcije. Izračunavanje približne vrijednosti određenog integrala. Određivanje određenog integrala metodama pravokutnika, srednjeg pravokutnika, trapeza. Pogreška formula i usporedba metoda u pogledu točnosti.

priručnik za obuku, dodan 01.07.2009


Metode izračunavanja integrala. Formule i provjera neodređenog integrala. Površina krivocrtnog trapeza. Neodređeno, određeno i složeni integral. Osnovne primjene integrala. Geometrijsko značenje određenih i neodređenih integrala.

prezentacija, dodano 15.01.2014


Izračunavanje površine figure ograničene zadane linije, koristeći dvostruki integral. Izračunavanje dvostrukog integrala odlaskom na polarne koordinate. Metoda određivanja krivocrtni integral druge vrste duž zadane linije i toka vektorskog polja.

kontrolni rad, dodano 14.12.2012


Pojam određenog integrala, izračunavanje površine, volumena tijela i duljine luka, statičkog momenta i težišta krivulje. Izračun površine u slučaju pravokutnog zakrivljenog područja. Primjena krivocrtnih, površinskih i trostrukih integrala.

Predavanja 8. Primjene određenog integrala.

Primjena integrala na fizičke zadatke temelji se na svojstvu aditivnosti integrala nad skupom. Stoga se uz pomoć integrala mogu izračunati takve veličine koje su same aditivne u skupu. Na primjer, površina figure jednaka je zbroju površina njegovih dijelova.Isto svojstvo imaju duljina luka, površina, volumen tijela i masa tijela. Stoga se sve te veličine mogu izračunati pomoću određenog integrala.

Postoje dva načina rješavanja problema: metodu integralnih suma i metodu diferencijala.

Metoda integralnih suma ponavlja konstrukciju određenog integrala: konstruira se particija, označavaju se točke, u njima se izračunava funkcija, izračunava se integralna suma i izvodi se granični prijelaz. U ovoj metodi glavna poteškoća je dokazati da će se u limitu dobiti točno ono što je potrebno u problemu.

Diferencijalna metoda koristi neodređeni integral i Newton–Leibnizovu formulu. Izračunava se razlika vrijednosti koju treba odrediti, a zatim se integracijom te razlike dobiva tražena vrijednost koristeći Newton-Leibnizovu formulu. U ovoj metodi glavna poteškoća je dokazati da se izračunava razlika željene vrijednosti, a ne nešto drugo.

Izračunavanje površina ravnih figura.

1. Slika je ograničena na graf funkcije navedene u Kartezijanski sustav koordinate.

Do pojma određenog integrala došli smo iz problema površine krivocrtnog trapeza (u stvari, koristeći metodu integralnih suma). Ako funkcija prihvaća samo ne negativne vrijednosti, tada se površina ispod grafa funkcije na segmentu može izračunati pomoću određenog integrala. primijeti da pa ovdje možete vidjeti metodu diferencijala.

Ali funkcija također može poprimiti negativne vrijednosti na određenom segmentu, tada će integral nad tim segmentom dati negativno područje, što je u suprotnosti s definicijom područja.

Površinu možete izračunati pomoću formuleS=. To je ekvivalentno promjeni predznaka funkcije u onim područjima u kojima poprima negativne vrijednosti.

Ako trebate izračunati površinu figure ograničenu odozgo grafom funkcije, a odozdo grafom funkcije, tada možete koristiti formuluS= , kao .

Primjer. Izračunajte površinu figure omeđene pravim linijama x=0, x=2 i grafovima funkcija y=x 2 , y=x 3 .

Uočimo da je na intervalu (0,1) zadovoljena nejednakost x 2 > x 3, a za x >1 nejednakost x 3 > x 2. stoga

2. Slika je ograničena na graf funkcije dane u polarnom koordinatnom sustavu.

Neka je graf funkcije dan u polarnom koordinatnom sustavu i želimo izračunati površinu krivocrtnog sektora omeđenog dvjema zrakama i graf funkcije u polarnom koordinatnom sustavu.

Ovdje možete koristiti metodu integralnih suma, računajući površinu zakrivljenog sektora kao granicu zbroja površina elementarnih sektora u kojima je graf funkcije zamijenjen lukom kruga .

Također možete koristiti diferencijalnu metodu: .

Možete razmišljati ovako. Zamjenom elementarnog krivocrtnog sektora koji odgovara središnjem kutu s kružnim sektorom, imamo udio . Odavde . Integrirajući i koristeći Newton-Leibnizovu formulu, dobivamo .

Primjer. Izračunajte površinu kruga (provjerite formulu). Vjerujemo . Površina kruga je .

Primjer. Izračunajte površinu omeđenu kardioidom .

3 Slika je ograničena na graf funkcije specificirane parametarski.

Funkcija se može specificirati parametarski u obliku . Koristimo formulu S= , zamjenjujući u njega granice integracije s obzirom na novu varijablu. . Obično se pri izračunavanju integrala razlikuju ona područja gdje integrand ima određeni predznak i uzima se u obzir odgovarajuće područje s ovim ili onim predznakom.

Primjer. Izračunajte površinu koju zatvara elipsa.

Koristeći simetriju elipse, izračunavamo površinu četvrtine elipse, koja se nalazi u prvom kvadrantu. u ovom kvadrantu. Stoga .

Izračunavanje volumena tijela.

1. Izračunavanje volumena tijela iz površina paralelnih presjeka.

Neka se zahtijeva izračunati volumen nekog tijela V iz poznati trgovi presjeci ovog tijela ravninama okomitim na pravac OX, povučen kroz bilo koju točku x dužine OX.

Primjenjujemo metodu diferencijala. Uzimajući u obzir elementarni obujam, iznad segmenta kao obujam pravog kružnog valjka s osnovnom površinom i visinom, dobivamo . Integriranjem i primjenom Newton-Leibnizove formule dobivamo

2. Izračunavanje volumena tijela rotacije.

Neka se zahtijeva izračunati VOL.

Zatim .

Također, volumen tijela rotacije oko osiOY, ako je funkcija dana u obliku , može se izračunati pomoću formule .

Ako je funkcija dana u obliku i potrebno je odrediti obujam tijela rotacije oko osiOY, tada se formula za izračunavanje volumena može dobiti na sljedeći način.

Prelazeći na diferencijal i zanemarujući kvadratne članove, imamo . Integriranjem i primjenom Newton-Leibnizove formule imamo .

Primjer. Izračunaj obujam kugle.

Primjer. Izračunaj obujam pravilnog kružnog stošca omeđenog plohom i ravninom.

Obujam izračunajte kao obujam rotacijskog tijela nastalog rotacijom oko osi OZ pravokutni trokut u ravnini OXZ, čije noge leže na osi OZ i liniji z \u003d H, a hipotenuza leži na liniji.

Izražavajući x kroz z, dobivamo .

Izračun duljine luka.

Da bismo dobili formule za izračunavanje duljine luka, prisjetimo se formula za diferencijal duljine luka izvedenih u 1. polugodištu.

Ako je luk graf kontinuirano diferencijabilne funkcije, razlika duljine luka može se izračunati formulom

. stoga

Ako je glatki luk parametarski zadan, onda

. stoga .

Ako je luk u polarnim koordinatama, onda

. stoga .

Primjer. Izračunajte duljinu luka grafa funkcije, . .

Područje krivocrtnog trapeza omeđeno odozgo grafom funkcije y=f(x), lijevo i desno - ravno x=a i x=b odnosno odozdo - os Vol, izračunava se formulom

Površina krivocrtnog trapeza omeđena s desne strane grafom funkcije x=φ(y), vrh i dno - ravno y=d i y=c odnosno, s lijeve strane - os Joj:

Površina krivocrtni lik, odozgo omeđen grafom funkcije y 2 \u003d f 2 (x), ispod - graf funkcije y 1 \u003d f 1 (x), lijevo i desno - ravno x=a i x=b:

Područje krivocrtne figure ograničeno s lijeve i desne strane grafovima funkcija x 1 \u003d φ 1 (y) i x 2 \u003d φ 2 (y), vrh i dno - ravno y=d i y=c odnosno:

Razmotrimo slučaj kada je linija koja ograničava zakrivljeni trapez odozgo dana parametarskim jednadžbama x = φ 1 (t), y \u003d φ 2 (t), gdje α ≤ t ≤ β, φ 1 (α)=a, φ 1 (β)=b. Ove jednadžbe definiraju neku funkciju y=f(x) na segmentu [ a, b]. Površina krivocrtnog trapeza izračunava se formulom

Prijeđimo na novu varijablu x = φ 1 (t), onda dx = φ" 1 (t) dt, a y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t), stoga \begin(displaymath)

Područje u polarnim koordinatama

Razmotrimo krivolinijski sektor OAB, ograničen linijom, zadan jednadžbom ρ=ρ(φ) u polarnim koordinatama, dvije zrake OA i OB, za koji φ=α , φ=β .

Sektor dijelimo na elementarne sektore OM k-1 M k ( k=1, …, n, M 0 =A, Mn=B). Označimo sa Δφ k kut između greda OM k-1 i OM k tvore kutove s polarnom osi φk-1 i φk odnosno. Svaki od elementarnih sektora OM k-1 M k zamijenite kružnim isječkom s radijusom ρ k \u003d ρ (φ "k), gdje φ" k- vrijednost kuta φ iz intervala [ φk-1 , φk], i središnji kut Δφ k. Područje posljednjeg sektora izražava se formulom .

izražava površinu "stepenastog" sektora, koji približno zamjenjuje dati sektor OAB.

Područje sektora OAB naziva se granica područja "stepenastog" sektora na n→∞ i λ=max Δφ k → 0:

Kao , onda

Duljina luka krivulje

Neka na intervalu [ a, b] dana je diferencijabilna funkcija y=f(x), čiji je graf luk . Segment [ a,b] podijeliti na n dijelovi točkice x 1, x2, …, xn-1. Ove će točke odgovarati točkama M1, M2, …, Mn-1 lukove, spojite ih izlomljenom crtom, koja se naziva izlomljena crta upisana u luk. Opseg ove izlomljene linije označen je sa s n, to je

Definicija. Duljina luka linije je granica opsega polilinije upisane u njega, kada je broj veza M k-1 M k neograničeno raste, a duljina najvećeg od njih teži nuli:

gdje je λ duljina najveće karike.

Duljinu luka računat ćemo od neke njegove točke, npr. A. Neka u točki M(x,y) duljina luka je s, i u točki M"(x+Δx,y+Δy) duljina luka je s+Δs, gdje je, i>Δs - duljina luka. Iz trokuta MNM" nađi duljinu tetive: .

Iz geometrijska razmatranja slijedi to

to jest, beskonačno mali luk linije i tetiva koja ga spaja su ekvivalentni.

Transformirajmo formulu koja izražava duljinu akorda:

Prelaskom na granicu u ovoj jednakosti dobivamo formulu za derivaciju funkcije s=s(x):

iz kojih nalazimo

Ova formula izražava diferencijal luka ravninske krivulje i ima jednostavan geometrijsko značenje : izražava Pitagorin teorem za infinitezimalni trokut MTN (ds=MT, ).

Diferencijal luka prostorne krivulje dan je izrazom

Razmotrimo luk prostorne linije zadan parametarskim jednadžbama

gdje α ≤ t ≤ β, φ i (t) (i=1, 2, 3) su diferencijabilne funkcije argumenta t, onda

Integrirajući ovu jednakost preko intervala [ α, β ], dobivamo formulu za izračunavanje duljine ovog luka

Ako pravac leži u ravnini Oxy, onda z=0 za sve t∈[α, β], dakle

U slučaju kada ravna linija zadan jednadžbom y=f(x) (a≤x≤b), gdje f(x) je diferencijabilna funkcija, zadnja formula ima oblik

Neka je ravna linija dana jednadžbom ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) u polarnim koordinatama. U ovom slučaju imamo parametarske jednadžbe linije x=ρ(φ) cos φ, y=ρ(φ) sin φ, gdje se kao parametar uzima polarni kut φ . Jer

zatim formula koja izražava duljinu luka pravca ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) u polarnim koordinatama ima oblik

volumen tijela

Nađimo obujam tijela ako je poznata površina bilo kojeg presjeka tog tijela okomitog na određeni smjer.

Podijelimo ovo tijelo na elementarne slojeve ravninama okomitim na os Vol a definiran jednadžbama x=konst. Za bilo koji fiksni x∈ poznato područje S=S(x) presjek ovog tijela.

Elementarni sloj odsječen ravninama x=x k-1, x=x k (k=1, …, n, x 0 =a, xn=b), zamijenimo ga cilindrom s vis ∆x k =x k -x k-1 i osnovno područje S(ξk), ξk ∈.

Volumen navedenog elementarnog cilindra izražava se formulom Δvk =E(ξk)Δxk. Sažejmo sve takve proizvode

što je integralni zbroj za zadanu funkciju S=S(x) na segmentu [ a, b]. Izražava volumen stepenastog tijela koje se sastoji od elementarnih cilindara i približno zamjenjuje dano tijelo.

Volumen danog tijela je granica obujma navedenog stepenastog tijela na λ→0 , gdje λ - duljina najvećeg od elementarnih segmenata ∆x k. Označimo sa V volumen zadanog tijela, zatim po definiciji

Na drugoj strani,

Dakle, obujam tijela prema zadanom presjeci izračunati po formuli

Ako je tijelo nastalo rotacijom oko osi Vol zakrivljeni trapez odozgo omeđen lukom neprekinute linije y=f(x), gdje a≤x≤b, onda S(x)=πf 2 (x) a zadnja formula postaje:

Komentar. Volumen tijela dobiven rotacijom krivocrtnog trapeza omeđenog s desne strane grafom funkcije x=φ(y) (c ≤ x ≤ d), oko osi Joj izračunati po formuli

Površina rotacije

Promotrimo površinu dobivenu rotacijom luka linije y=f(x) (a≤x≤b) oko osi Vol(pretpostavimo da funkcija y=f(x) ima kontinuiranu derivaciju). Popravljamo vrijednost x∈, argument funkcije će se povećati dx, što odgovara "elementarnom prstenu" dobivenom rotacijom elementarnog luka Δl. Ovaj "prsten" zamijenjen je cilindričnim prstenom - bočnom površinom tijela koja nastaje rotacijom pravokutnika s bazom jednakom diferencijalu luka dl, i visina h=f(x). Rezanjem posljednjeg prstena i razvijanjem dobivamo traku širine dl i dužine 2πy, gdje y=f(x).

Stoga se razlika površine izražava formulom

Ova formula izražava površinu dobivenu rotacijom luka linije y=f(x) (a≤x≤b) oko osi Vol.