Economisch-wiskundige methoden en modellering. Economische en wiskundige methoden en modellen

Economische en wiskundige methoden zijn gebaseerd op het gebruik van correlatie- en regressieanalyse, die het mogelijk maakt om de nauwheid van de relatie en het type afhankelijkheid van de gemiddelde waarde van een waarde van een andere of meerdere waarden vast te stellen. In ons geval is dat het vaststellen van de afhankelijkheid van de ontwikkeling van de vraag van de invloed van de belangrijkste factoren. in de praktijk van het voorspellen van de goederengroepstructuur van de vraag, worden trend- en regressiemodellen het vaakst gebruikt:

Trendmodellen van vraagvoorspelling zijn vergelijkingen die duurzame processen van zijn ontwikkeling formaliseren. Ze worden gebruikt om de meest stabiele patronen voor grote subsectoren van grondstoffen te voorspellen (bijvoorbeeld de verhouding tussen de vraag naar food- en non-foodproducten). De belangrijkste parameter van trendmodellen is tijd, dat wil zeggen dat we het in wezen ook hebben over extrapolatie van trends en patronen van de basisperiode naar de prognoseperiode.

Regressiemodellen (factoriële) weerspiegelen de kwantitatieve relatie van een indicator met een andere of met een groep anderen (meervoudige regressie). De variabelen zijn de factoren die de dynamiek van de vraag bepalen. De wiskundige basis voor het bouwen van modellen zijn de belangrijkste bepalingen van de kansrekening, wiskundige statistiek en hogere wiskunde. Het proces van het bouwen van dergelijke modellen bestaat uit verschillende opeenvolgende fasen.

De eerste en belangrijkste fase bij het modelleren van de ontwikkeling van de goederengroepstructuur van de vraag van de bevolking is de selectie van factoren. Ze moeten de objectieve processen van het bestudeerde fenomeen weerspiegelen, kwantitatief meetbaar zijn en onafhankelijk van elkaar.

In de tweede fase wordt de sterkte van de invloed of de nauwe relatie tussen factoren en vraag in de basisperiode berekend. Het wordt bepaald met behulp van correlatiecoëfficiënten en goodness of fit-tests.

In de derde fase wordt de wiskundige vorm van de relatie of het type afhankelijkheid van de vraag van factoren onthuld, worden functies geselecteerd en wordt het proces van vraagontwikkeling het nauwkeurigst beschreven.

Vierde fase: berekening van de parameters van de vergelijking. De parameters van de vergelijkingen drukken de mate en richting uit van het effect van elke factor op de vraag en worden berekend met behulp van de kleinste-kwadratenmethode.

Vijfde fase: beoordeling van de voorspellende waarde van het model op basis van retrospectieve berekeningen.

Economische en wiskundige methoden worden effectief gebruikt bij kortetermijnprognoses. Aangezien de objectieve realiteit van onze economie is dat het nogal moeilijk is om min of meer stabiele factoren te identificeren en te kwantificeren die het voorspelde proces beïnvloeden. Daarom lijkt het opstellen van prognoses op middellange en vooral lange termijn in moderne omstandigheden behoorlijk moeilijk. En in de regel prevaleren prognoses voor korte termijn. Economische en wiskundige modellering is de basis van economische prognoses. Het maakt het op strikt kwantitatieve basis mogelijk om de aard van de verbanden tussen de afzonderlijke elementen van de markt en de factoren die de ontwikkeling ervan beïnvloeden te onthullen. Wat vooral belangrijk is, is dat wiskundige modellen het mogelijk maken om te observeren hoe gebeurtenissen zich zullen ontwikkelen onder bepaalde initiële veronderstellingen.

Bij de economische en wiskundige modellering van de vraag kan ook een groep methoden worden gebruikt - exponentiële afvlakking en prognoses, gebaseerd op het gebruik van reeds gemaakte prognoses van trends in vraagontwikkeling en de nieuwste gegevens over de verkoop van goederen.

Wiskundige methoden helpen om kwantitatieve fenomenen en relaties te onthullen. Maar ze zijn slechts een voortzetting van de economische analyse, het uiteindelijke resultaat hangt vooral af van de keuze van de basisperiode, de selectie van factoren, of de mate van stabiliteit van het fenomeen correct is bepaald.

Grafische methoden zijn verbonden door een geometrische weergave van functionele afhankelijkheid met behulp van lijnen op een vlak. Met behulp van een coördinatenraster worden afhankelijkheidsgrafieken geconstrueerd, bijvoorbeeld het kostenniveau op het volume van vervaardigde en verkochte producten, evenals grafieken die correlaties tussen indicatoren kunnen weergeven (vergelijkingsdiagrammen, distributiecurven, tijdreeksdiagrammen, statistische cartogrammen).

Voorbeeld: het bouwen van een netwerkdiagram voor de bouw en installatie van ondernemingen. Er wordt een tabel met werken en bronnen samengesteld, waarin hun kenmerken, volume, uitvoerder, verschuiving, materiaalbehoefte worden aangegeven in de technologische volgorde. De duur van de taak en andere informatie. Stel op basis van deze indicatoren een netwerkplanning op. Grafiekoptimalisatie wordt uitgevoerd door het kritieke pad te verkorten, d.w.z. minimalisering van de voorwaarden voor de uitvoering van werken op de gegeven niveaus van middelen, minimalisering van het niveau van het verbruik van middelen tegen vaste voorwaarden voor de uitvoering van werken.

De methode van correlatie-regressieanalyse wordt gebruikt om de nauwheid van de relatie tussen indicatoren die niet in functionele afhankelijkheid zijn te bepalen. De dichtheid van de verbinding wordt gemeten door de correlatieverhouding (voor een kromlijnige afhankelijkheid). Voor een lineaire afhankelijkheid wordt de correlatiecoëfficiënt berekend. De methode wordt gebruikt bij het oplossen van problemen op de "launch-release".

Voorbeeld: om de afhankelijkheid van de output van producten gemiddeld vanaf hun lancering te bepalen, waardoor de juiste regressiecontrole wordt gevormd.

De lineaire programmeermethode is teruggebracht tot het vinden van de extreme waarden (maximum en minimum) van sommige functies van variabelen. Gebaseerd op de oplossing van een stelsel lineaire vergelijkingen, wanneer de afhankelijkheid tussen verschijnselen strikt functioneel is.

Voorbeeld: problemen van rationeel gebruik van de bedrijfstijd van productieapparatuur.

Dynamische programmeermethoden worden gebruikt bij het oplossen van optimalisatieproblemen waarbij de doelfunctie en beperkingen worden gekenmerkt door niet-lineaire afhankelijkheden.

Voorbeeld: vul een voertuig met laadvermogen X met een lading bestaande uit bepaalde items zodat de kostprijs van de gehele lading maximaal is.

Wiskundige speltheorie onderzoekt optimale strategieën in spelsituaties. De beslissing vereist zekerheid bij het formuleren van de voorwaarden: vaststellen van het aantal spelers, mogelijke uitbetalingen, bepalen van de strategie.

Voorbeeld: om de gemiddelde waarde van het inkomen uit de verkoop van vervaardigde producten te maximaliseren, rekening houdend met de grillen van het weer.

Wiskundige theorie van wachtrijen.

Voorbeeld: werknemers voorzien van de nodige tools.

De matrixmethode is gebaseerd op lineaire en vectormatrixalgebra en wordt gebruikt om complexe en hoogdimensionale structuren te bestuderen op industrieniveau, op het niveau van ondernemingen.

Voorbeeld: om de verdeling tussen de winkels van producten voor binnenlandse consumptie en het totale volume van de output te identificeren, als de parameters van directe kosten en het eindproduct worden gegeven.

Overweeg de kenmerken van de methodologie van economische analyse in relatie tot de studie van de vraag naar goederen.

Vraagvoorspelling kan met verschillende methoden worden uitgevoerd, met name drie hoofdgroepen kunnen worden onderscheiden: methoden van economische en wiskundige modellering (extrapolatiemethoden), normatieve methoden, methoden van expertbeoordelingen.

Methoden voor eenvoudige (formele) extrapolatie bestaan ​​uit het overdragen van vroegere en huidige trends in de ontwikkeling van de goederengroepstructuur van de vraag naar de toekomstige periode op basis van de analyse van de dynamische reeksen.

Voor extrapolatie wordt informatie over marktdynamiek gepresenteerd in een of andere vorm - grafisch, statistisch, wiskundig, logisch. In ieder geval wordt aangenomen dat economische processen worden gekenmerkt door "traagheid" of de verplichte voortzetting van de richting van hun stroom in de nabije toekomst. Extrapolaties vereisen uiterste discretie van de marktonderzoeker. Het is niet voldoende om markttendensen uit het verleden te bestuderen - het is noodzakelijk om rekening te houden met nieuwe omstandigheden en factoren die niet typisch waren voor het verleden, maar die in de toekomst kunnen verschijnen. Tegelijkertijd is het noodzakelijk om af te rekenen met factoren en omstandigheden die hun relevantie hebben verloren en geen impact meer hebben op de gang van zaken in deze markt.

Deze methode is vrij eenvoudig en toegankelijk, maar het is raadzaam om deze alleen te gebruiken voor een periode waarin een verandering in trends onwaarschijnlijk is, dat wil zeggen voor een korte termijn, en voor uitgebreide productgroepen.

Eenvoudige extrapolatiemethoden omvatten ook berekeningen van de elasticiteit van de vraag, afhankelijk van veranderingen in een factor.

1. Economische en wiskundige methoden die worden gebruikt bij de analyse van economische activiteit

Lijst met gebruikte bronnen

1. Economische en wiskundige methoden die worden gebruikt bij de analyse van economische activiteit

Een van de manieren om de analyse van economische activiteit te verbeteren is de introductie van economische en wiskundige methoden en moderne computers. Hun toepassing verhoogt de efficiëntie van economische analyse door de bestudeerde factoren uit te breiden, managementbeslissingen te onderbouwen, de beste optie te kiezen voor het gebruik van economische middelen, het identificeren en mobiliseren van reserves om de productie-efficiëntie te verhogen.

Wiskundige methoden zijn gebaseerd op de methodologie van economische en wiskundige modellering en wetenschappelijk onderbouwde classificatie van problemen bij de analyse van economische activiteit. Afhankelijk van de doelstellingen van economische analyse worden de volgende economische en wiskundige modellen onderscheiden: in deterministische modellen - logaritme, aandelenparticipatie, differentiatie; in stochastische modellen - correlatie-regressiemethode, lineair programmeren, wachtrijtheorie, grafentheorie, enz.

Stochastische analyse is een methode voor het oplossen van een brede reeks statistische schattingsproblemen. Het omvat de studie van massale empirische gegevens door modellen te bouwen van veranderingen in indicatoren als gevolg van factoren die niet in directe relaties staan, in directe onderlinge afhankelijkheid en onderlinge afhankelijkheid. Er bestaat een stochastische relatie tussen willekeurige variabelen en komt tot uiting in het feit dat wanneer een van hen verandert, de verdelingswet van de andere verandert.

In economische analyse worden de volgende meest typische taken van stochastische analyse onderscheiden:

Het bestuderen van de aanwezigheid en dichtheid van de relatie tussen de functie en factoren, alsook tussen factoren;

Rangschikking en classificatie van factoren van economische verschijnselen;

Het onthullen van de analytische vorm van verband tussen de bestudeerde verschijnselen;

Afvlakken van de dynamiek van veranderingen in het niveau van indicatoren;

Identificatie van de parameters van regelmatige periodieke fluctuaties in het niveau van indicatoren;

De studie van de dimensie (complexiteit, veelzijdigheid) van economische fenomenen;

Kwantitatieve verandering van informatieve indicatoren;

Kwantitatieve verandering in de invloed van factoren op de verandering in de geanalyseerde indicatoren (economische interpretatie van de verkregen vergelijkingen).

Stochastische modellering en analyse van relaties tussen de bestudeerde indicatoren beginnen met een correlatieanalyse. Correlatie bestaat uit het feit dat de gemiddelde waarde van een van de kenmerken varieert afhankelijk van de waarde van de andere. Een attribuut waarvan een ander attribuut afhankelijk is, wordt een factorattribuut genoemd. Het afhankelijke teken wordt effectief genoemd. In elk specifiek geval, om de factoriële en effectieve kenmerken in ongelijke sets vast te stellen, is het noodzakelijk om de aard van de relatie te analyseren. Dus bij het analyseren van verschillende kenmerken in één set, fungeert het loon van werknemers in verband met hun werkervaring als een productief kenmerk en in verband met indicatoren van levensstandaard of culturele behoeften - als een factor. Vaak worden afhankelijkheden niet vanuit één factorteken beschouwd, maar vanuit meerdere. Hiervoor wordt een reeks methoden en technieken gebruikt om de relaties en onderlinge afhankelijkheden tussen kenmerken te identificeren en te kwantificeren.

In de studie van massale sociaal-economische verschijnselen manifesteert zich een correlatie tussen factortekens, waarbij de waarde van het effectieve teken, naast de factor, wordt beïnvloed door vele andere tekens die gelijktijdig of opeenvolgend in verschillende richtingen werken. Vaak wordt een correlatie onvolledig statistisch of partieel genoemd, in tegenstelling tot functioneel, wat tot uitdrukking komt in het feit dat voor een bepaalde waarde van een variabele (onafhankelijke variabele - argument), een andere (afhankelijke variabele - functie) een strikte waarde aanneemt.

Correlatie kan alleen worden vastgesteld in de vorm van een algemene trend in de massale vergelijking van feiten. Elke waarde van het factorkenmerk komt niet overeen met één waarde van het effectieve kenmerk, maar met hun combinatie. In dit geval is het, om de verbinding te openen, noodzakelijk om de gemiddelde waarde van het effectieve attribuut voor elke factorwaarde te vinden.

Als de relatie lineair is:

De waarden van de coëfficiënten a en b worden gevonden uit het stelsel vergelijkingen verkregen door de kleinste-kwadratenmethode volgens de formule:

N is het aantal waarnemingen.

In het geval van een rechtlijnige relatie tussen de bestudeerde indicatoren, wordt de correlatiecoëfficiënt berekend met de formule:

Als de correlatiecoëfficiënt wordt gekwadrateerd, krijgen we de determinatiecoëfficiënt.

Discontering is het proces van het omzetten van de toekomstige waarde van kapitaal, kasstromen of netto-inkomsten in de huidige waarde. Het tarief waartegen wordt verdisconteerd, wordt de discontovoet (discontovoet) genoemd. Het uitgangspunt dat aan het concept van verdisconteerde reële geldstroom ten grondslag ligt, is dat geld een tijdswaarde heeft, dat wil zeggen, een hoeveelheid geld die vandaag beschikbaar is, is waardevoller dan hetzelfde bedrag in de toekomst. Dit verschil kan worden uitgedrukt als een rentevoet die relatieve veranderingen over een bepaalde periode (meestal gelijk aan een jaar) kenmerkt.

Veel taken die een econoom in de dagelijkse praktijk onder ogen moet zien bij het analyseren van de economische activiteiten van ondernemingen, zijn multivariabel. Omdat niet alle opties even goed zijn, moet je tussen de vele mogelijke opties de beste vinden. Een aanzienlijk deel van dergelijke problemen werd lange tijd opgelost op basis van gezond verstand en ervaring. Tegelijkertijd was er geen zekerheid dat de gevonden variant de beste was.

In moderne omstandigheden kunnen zelfs kleine fouten tot enorme verliezen leiden. In dit verband werd het noodzakelijk om optimalisatie van economische en wiskundige methoden en computers te betrekken bij de analyse en synthese van economische systemen, wat de basis vormt voor het nemen van wetenschappelijk onderbouwde beslissingen. Dergelijke methoden worden gecombineerd in één groep onder de algemene naam "optimalisatiemethoden voor besluitvorming in de economie". Om een ​​economisch probleem met wiskundige methoden op te lossen, is het allereerst noodzakelijk om een ​​wiskundig model te bouwen dat daarvoor geschikt is, dat wil zeggen, om het doel en de voorwaarden van het probleem te formaliseren in de vorm van wiskundige functies, vergelijkingen en (of) ongelijkheden .

In het algemeen heeft het wiskundige model van het optimalisatieprobleem de vorm:

max (min): Z = Z(x),

onder beperkingen

f ik (x) Rb ik , ik = ,

waarbij R gelijkheidsrelaties zijn, kleiner dan of groter dan.

Als de doelfunctie en de functies in het beperkingssysteem lineair zijn met betrekking tot de onbekenden die in het probleem zijn opgenomen, wordt zo'n probleem een ​​lineair programmeerprobleem genoemd. Als de doelfunctie of het systeem van beperkingen niet lineair is, wordt zo'n probleem een ​​niet-lineair programmeerprobleem genoemd.

Kortom, in de praktijk worden niet-lineaire programmeerproblemen door linearisatie gereduceerd tot een lineair programmeerprobleem. Van bijzonder praktisch belang bij niet-lineaire programmeerproblemen zijn dynamische programmeerproblemen, die vanwege hun meertrapskarakter niet kunnen worden gelineariseerd. Daarom zullen we alleen deze twee soorten optimalisatiemodellen beschouwen, waarvoor tegenwoordig goede wiskundige en software bestaat.

De dynamische programmeermethode is een speciale wiskundige techniek voor het optimaliseren van niet-lineaire problemen van wiskundige programmering, die speciaal is aangepast aan meerstapsprocessen. Een proces met meerdere stappen wordt meestal beschouwd als een proces dat zich in de loop van de tijd ontwikkelt en uiteenvalt in een aantal "stappen" of "stadia". Tegelijkertijd wordt de dynamische programmeermethode ook gebruikt om problemen op te lossen waarin tijd niet voorkomt. Sommige processen vallen op een natuurlijke manier in stappen (bijvoorbeeld het proces van het plannen van de economische activiteit van een onderneming voor een periode van meerdere jaren). Veel processen kunnen kunstmatig in fasen worden onderverdeeld.

De essentie van de dynamische programmeermethode is dat ze, in plaats van de optimale oplossing voor het hele complexe probleem in één keer te vinden, de voorkeur geven aan het vinden van optimale oplossingen voor verschillende eenvoudigere problemen van vergelijkbare inhoud, waarin het oorspronkelijke probleem wordt verdeeld.

De dynamische programmeermethode kenmerkt zich ook door het feit dat de keuze van de optimale oplossing bij elke stap moet worden gemaakt rekening houdend met de gevolgen in de toekomst. Dit betekent dat u bij het optimaliseren van het proces bij elke afzonderlijke stap in geen geval alle volgende stappen mag vergeten. Dynamisch programmeren is dus vooruitziende planning met een perspectief.

Het principe van beslissingskeuze in dynamisch programmeren is bepalend en wordt het Bellman-principe van optimaliteit genoemd. We formuleren het als volgt: de optimale strategie heeft de eigenschap dat, ongeacht de initiële toestand en de beslissing die op het initiële moment wordt genomen, latere beslissingen zouden moeten leiden tot een verbetering van de situatie ten opzichte van de toestand die voortvloeit uit de initiële beslissing.

Bij het oplossen van een optimalisatieprobleem met behulp van de dynamische programmeermethode is het dus noodzakelijk om bij elke stap rekening te houden met de gevolgen waartoe de huidige beslissing in de toekomst zal leiden. De uitzondering is de laatste stap, die het proces beëindigt. Hier kunt u een dergelijke beslissing nemen om het maximale effect te garanderen. Na de laatste stap optimaal te hebben gepland, kan men de voorlaatste stap eraan “bevestigen” zodat het resultaat van deze twee stappen optimaal is, enzovoort. Op deze manier - van het begin tot het einde - kan de besluitvormingsprocedure worden ingezet. De optimale oplossing die wordt gevonden onder de voorwaarde dat de vorige stap op een bepaalde manier is geëindigd, wordt een voorwaardelijk optimale oplossing genoemd.

Statistische speltheorie is een integraal onderdeel van de algemene speltheorie, een onderdeel van de moderne toegepaste wiskunde dat methoden bestudeert om optimale oplossingen in conflictsituaties te onderbouwen. In de theorie van statistische spellen worden begrippen als het oorspronkelijke strategische spel en het feitelijke statistische spel onderscheiden. In deze theorie wordt de eerste speler "natuur" genoemd, wat wordt opgevat als een reeks omstandigheden waaronder de tweede speler beslissingen moet nemen - "statistieken". In een strategisch spel handelen beide spelers actief, ervan uitgaande dat de tegenstander een "redelijke" speler is. Een strategiespel wordt gekenmerkt door volledige onzekerheid in de keuze van de strategie door elke speler, dat wil zeggen dat de spelers niets weten over elkaars strategieën. In een strategisch spel handelen beide spelers op basis van deterministische informatie gedefinieerd door de verliesmatrix.

In het eigenlijke statistische spel is de natuur geen actieve speler in de zin dat ze "niet intelligent" is en niet probeert de maximale uitbetaling van de tweede speler tegen te werken. De statisticus (de tweede speler) in het statistische spel probeert het spel te winnen van een denkbeeldige tegenstander - de natuur. Als spelers in een strategisch spel handelen in omstandigheden van volledige onzekerheid, dan is een gedeeltelijke onzekerheid kenmerkend voor een statistisch spel. Feit is dat de natuur zich ontwikkelt en 'handelt' in overeenstemming met haar objectief bestaande wetten. De statisticus heeft de mogelijkheid om deze wetten geleidelijk te bestuderen, bijvoorbeeld op basis van een statistisch experiment.

Wachtrijtheorie is een toegepast gebied van de theorie van willekeurige processen. Het onderwerp van haar onderzoek zijn probabilistische modellen van echte servicesystemen, waar op willekeurige (of niet willekeurige) tijden serviceverzoeken zijn en er apparaten (kanalen) zijn om aan verzoeken te voldoen. Wachtrijtheorie onderzoekt wiskundige methoden voor het kwantificeren van wachtrijprocessen, de kwaliteit van het functioneren van systemen, waarbij zowel het moment waarop vereisten (applicaties) verschijnen als de tijd die aan de uitvoering ervan wordt besteed, willekeurig kan zijn.

Het wachtrijsysteem vindt toepassing bij het oplossen van de volgende problemen: bijvoorbeeld wanneer verzoeken (eisen) voor service massaal worden ontvangen met hun daaropvolgende tevredenheid. In de praktijk kan dit de ontvangst zijn van grondstoffen, materialen, halffabrikaten, producten aan het magazijn en hun uitgifte vanuit het magazijn; verwerking van een breed scala aan onderdelen op dezelfde technologische apparatuur; organisatie van aanpassing en reparatie van apparatuur; vervoer operaties; planning van reserve- en verzekeringsreserves van middelen; bepaling van het optimale aantal afdelingen en diensten van de onderneming; verwerking van plannings- en rapportagedocumentatie, etc.

Het balansmodel is een stelsel van vergelijkingen dat de beschikbaarheid van hulpbronnen (producten) in fysieke of monetaire termen karakteriseert en de richting van hun gebruik. Tegelijkertijd vallen de beschikbaarheid van middelen (producten) en de behoefte daaraan kwantitatief samen. De oplossing van dergelijke modellen is gebaseerd op de methoden van lineaire vectormatrixalgebra. Daarom worden balansmethoden en -modellen matrixanalysemethoden genoemd. De helderheid van afbeeldingen van verschillende economische processen in matrixmodellen en elementaire methoden voor het oplossen van stelsels van vergelijkingen maken het mogelijk ze in verschillende productie- en economische situaties te gebruiken.

De wiskundige theorie van fuzzy sets, ontwikkeld in de jaren 60 van de twintigste eeuw, wordt nu steeds meer gebruikt in de financiële analyse van de onderneming, inclusief de analyse en voorspelling van de financiële positie van de onderneming, de analyse van veranderingen in het werkkapitaal, vrije kasstromen, economisch risico en beoordeling van de impact van kosten op de winst, berekening van de kapitaalkosten. Deze theorie is gebaseerd op de concepten "fuzzy set" en "lidmaatschapsfuncties".

In het algemeen is het oplossen van dit soort problemen nogal omslachtig, aangezien er een grote hoeveelheid informatie is. Het praktische gebruik van de theorie van fuzzy sets maakt het mogelijk om traditionele methoden van financiële en economische activiteit te ontwikkelen, aan te passen aan de nieuwe behoeften om rekening te houden met de onzekerheid in de toekomst van de belangrijkste indicatoren van ondernemingen.

Taak 1

Bereken op basis van de gegeven gegevens over het personeelsbestand van een industriële onderneming de omloopsnelheid voor de toelating en het vertrek van werknemers en de omloopsnelheid. Conclusies trekken.

Beslissing:

Laten we definiëren:

1) acceptatiegraad (K pr):

Afgelopen jaar: Kpr \u003d 610 / (2490 + 3500) \u003d 0.102

Verslagjaar: Cpr. = 650 / (2539 + 4200) = 0,096

In het verslagjaar is de coëfficiënt externe omzet bij acceptatie gedaald met 0,006 (0,096 - 0,102).

2) de coëfficiënt voor het ontslag (pensionering) van werknemers (K uv):

Vorig jaar: Kvyb. = 690 / (2490 + 3500) = 0,115

Verslagjaar: Kvyb. = 725 / (2539 + 4200) = 0,108

In het verslagjaar is ook de coëfficiënt van externe omzet bij pensionering gedaald met 0,007 (0,108 - 0,115).

3) personeelsverloop:(K-tech):

Afgelopen jaar: Ktek. = (110 + 30) / (2490 + 3500) = 0,023

Verslagjaar: Ktek. = (192 + 25) / (2539 + 4200) = 0,032

Ook het personeelsverloop nam in het verslagjaar toe met 0,009 (0,032 - 0,023), wat een negatieve ontwikkeling is in het personeelsverloop.

4) de coëfficiënt van de totale arbeidsomzet(K over):

Vorig jaar: Cob = (610 + 690) / (2490 + 3500) = 0.217

Verslagjaar: Kob. = (650 + 725) / (2539 + 4200) = 0,204

De coëfficiënt van het totale verloop van de beroepsbevolking daalde met 0,013 (0,204 - 0,217).

Taak 2

Maak een eerste productievolumemodel. Bepaal het type faculteitsmodel. Bereken met alle bekende methoden de invloed van factoren op de verandering in het productievolume.

Beslissing:

De effectieve indicator is de kapitaalproductiviteit.

Initieel wiskundig model:

FO \u003d VP / OF.

Modeltype - meerdere. Het totaal aantal prestatie-indicatoren dat voor de berekening is gebruikt is 3, aangezien de invloed van 2 factoren wordt berekend (2 + 1 = 3). Het aantal voorwaardelijke prestatie-indicatoren is 1, aangezien het gelijk is aan het aantal factoren min 1.

Voor dit model zijn de volgende technieken van toepassing: ketensubstitutie, index en integraal.

1. Bereken de mate van invloed van de veranderingsfactoren in de effectieve indicator volgens de methode van ketensubstitutie.

Oplossingsalgoritme:

FO pl \u003d VP pl / OF pl \u003d 20433 / 2593 \u003d 7,88 roebel.

FO voorwaardelijk 1 \u003d VP f / OF pl \u003d 20193 / 2593 \u003d 7.786 roebel.

FO f \u003d VP f / OF f \u003d 20193 / 2577 \u003d 7,836 roebel.

De berekening van de factoren die de verandering in kapitaalproductiviteit hebben beïnvloed, zullen we in de tabel publiceren.

aantal factoren	Naam van factoren	Berekening van de mate van invloed van factoren	De mate van invloed van veranderingsfactoren op het totale winstbedrag
	Verander het rendement op activa door het productievolume te wijzigen	7,786-7,88 =-0,094
	Verander kapitaalproductiviteit door vaste activa te veranderen	7,836-7,786 = 0,05
	TOTAAL (balanskoppeling)

2. Bereken integraal de mate van invloed van de veranderingsfactoren in de effectieve indicator.

VP \u003d VP f - VP pl \u003d 20193 - 20433 \u003d -240;

VAN \u003d VAN f - VAN pl \u003d 2577 - 2593 \u003d -16.

FO pl \u003d 20433 / 2593 \u003d 7,88 roebel.

FO f \u003d 20193 / 2577 \u003d 7.836 roebel.

FD vp = = 15 ln|0,99| = -0.09284

FD van \u003d?

3. Bereken de mate van invloed van de veranderingsfactoren in de effectieve indicator volgens de indexmethode.

I FO \u003d I VP I VAN.

I FO \u003d (VP f / OF f): (VP pl / OF pl) \u003d 7.836 / 7.88 \u003d 0.99

I VP \u003d (VP f / OF pl): (VP pl / OF pl) \u003d 7.786 / 7.88 \u003d 0.988

I OF \u003d (VP f / OF f): (VP f / OF pl) \u003d 7.836 / 7.786 \u003d 1.006

I FD \u003d I VP I VAN \u003d 0,988 1,006 \u003d 0,99.

Als we de noemer aftrekken van de teller van de bovenstaande formules, dan krijgen we in het algemeen een absolute toename van de kapitaalproductiviteit en door elke factor afzonderlijk, d.w.z. dezelfde resultaten als bij de methode van ketensubstitutie.

Taak 3

Bepaal wat de gemiddelde opbrengst zal zijn als de hoeveelheid kunstmest 20 centers is. Bepaal de mate van verband tussen de indicator "y" en de factor "x".

Gegeven: regressievergelijking

waarbij y de gemiddelde verandering in opbrengst is, c / ha

x - de hoeveelheid toegepaste meststoffen, c.

De determinatiecoëfficiënt is 0,92.

Beslissing:

Het gemiddelde productiviteitsniveau is 62 q/ha.

Regressieanalyse is gericht op de conclusie, definitie (identificatie) van de regressievergelijking, inclusief de statistische evaluatie van zijn parameters. Met de regressievergelijking kunt u de waarde van de afhankelijke variabele vinden als de waarde van de onafhankelijke of onafhankelijke variabelen bekend is.

De correlatiecoëfficiënt wordt berekend met de formule:

Het is bewezen dat de correlatiecoëfficiënt ligt in het bereik van min één tot plus één (-1< R x, ja <1). Коэффициент корреляции в квадрате () называется коэффициентом детерминации. Коэффициент корреляции R voor dit voorbeeld is 0,9592 (). Hoe dichter het bij eenheid is, hoe nauwer de relatie tussen de kenmerken. In dit geval is de relatie zeer nauw, bijna absolute correlatie. Bepalingscoëfficiënt R 2 is gelijk aan 0,92. Dit betekent dat de regressievergelijking voor 92% wordt bepaald door de variantie van het resulterende attribuut, en voor 8% door factoren van derden.

De determinatiecoëfficiënt toont het aandeel van de verstrooiing waarmee rekening wordt gehouden door de regressie in de totale verstrooiing van het resulterende attribuut. Deze indicator, gelijk aan de verhouding van de factoriële variatie tot de totale variatie van de eigenschap, maakt het mogelijk om te beoordelen hoe "succesvol" het type functie is gekozen. Hoe meer R 2 , hoe meer de verandering in het factorattribuut de verandering in het resulterende attribuut verklaart en daarom, hoe beter de regressievergelijking, hoe beter de functiekeuze.

Lijst met gebruikte bronnen

Analyse van de economische activiteit van de onderneming: Proc. toeslag / Onder het totaal. red. L.L. Ermolovich. - Minsk: Interpressservice; Ecoperspectief, 2001. - 576 p.

Savitskaya G. V. Analyse van de economische activiteit van de onderneming, 7e druk, Rev. - Minsk: Nieuwe kennis, 2002. - 704 p.

Savitskaya GV Theorie van de analyse van economische activiteiten. - M.: Infra-M, 2007.

Savitskaya GV Economische analyse: Proc. - 10e druk, gecorrigeerd. - M.: Nieuwe kennis, 2004. - 640 p.

Skamai LG, Trubochkina MI Economische analyse van de onderneming. - M.: Infra-M, 2007.

MINISTERIE VAN ONDERWIJS EN WETENSCHAP VAN DE RUSSISCHE FEDERATIE

FEDERAAL AGENTSCHAP VOOR ONDERWIJS

Rijksonderwijsinstelling voor hoger beroepsonderwijs

RUSSISCHE STAATSHANDEL EN ECONOMISCHE UNIVERSITEIT

TULA BRANCH

(TF GOU VPO RGTEU)

Essay over wiskunde over het onderwerp:

"Economische en wiskundige modellen"

Voltooid:

2e jaars studenten

"Financiën en krediet"

dagafdeling

Maksimova Kristina

Vitka Natalia

Gecontroleerd:

doctor in de technische wetenschappen,

Professor S.V. Yudin _____________

Invoering

1. Economische en wiskundige modellering

1.1 Basisconcepten en typen modellen. hun classificatie

1.2 Economische en wiskundige methoden

Ontwikkeling en toepassing van economische en wiskundige modellen

2.1 Stadia van economische en wiskundige modellering

2.2 Toepassing van stochastische modellen in de economie

Conclusie

Bibliografie

Invoering

Relevantie.Modellering in wetenschappelijk onderzoek begon in de oudheid te worden gebruikt en veroverde geleidelijk alle nieuwe gebieden van wetenschappelijke kennis: technisch ontwerp, constructie en architectuur, astronomie, natuurkunde, scheikunde, biologie en ten slotte sociale wetenschappen. Groot succes en erkenning in bijna alle takken van de moderne wetenschap brachten de modelleringsmethode van de twintigste eeuw. De modelleringsmethodologie is echter lange tijd onafhankelijk ontwikkeld door individuele wetenschappen. Er was geen uniform systeem van concepten, een uniforme terminologie. Pas geleidelijk begon de rol van modellering als een universele methode van wetenschappelijke kennis zich te realiseren.

De term "model" wordt veel gebruikt in verschillende gebieden van menselijke activiteit en heeft vele betekenissen. Laten we alleen dergelijke "modellen" beschouwen die hulpmiddelen zijn om kennis te verkrijgen.

Een model is zo'n materieel of mentaal gerepresenteerd object dat tijdens het onderzoek het oorspronkelijke object vervangt, zodat de directe studie ervan nieuwe kennis over het oorspronkelijke object oplevert.

Modelleren verwijst naar het proces van het bouwen, bestuderen en toepassen van modellen. Het is nauw verwant aan categorieën als abstractie, analogie, hypothese, enz. Het modelleringsproces omvat noodzakelijkerwijs de constructie van abstracties en gevolgtrekkingen naar analogie, en de constructie van wetenschappelijke hypothesen.

Economische en wiskundige modellering is een integraal onderdeel van elk onderzoek op het gebied van economie. De snelle ontwikkeling van wiskundige analyse, operationeel onderzoek, waarschijnlijkheidstheorie en wiskundige statistiek droeg bij tot de vorming van verschillende soorten economische modellen.

Het doel van wiskundige modellering van economische systemen is het gebruik van wiskundige methoden voor de meest effectieve oplossing van problemen die zich voordoen op het gebied van economie, waarbij in de regel moderne computertechnologie wordt gebruikt.

Waarom kunnen we praten over de effectiviteit van de toepassing van modelleringsmethoden op dit gebied? Ten eerste kunnen economische objecten van verschillende niveaus (beginnend op het niveau van een eenvoudige onderneming en eindigend op het macroniveau - de economie van een land of zelfs de wereldeconomie) worden beschouwd vanuit het standpunt van een systematische benadering. Ten tweede, kenmerken van het gedrag van economische systemen als:

-variabiliteit (dynamiek);

-inconsistentie van gedrag;

-neiging om prestaties te verminderen;

-blootstelling aan het milieu

de keuze van de methode van hun onderzoek vooraf bepalen.

De penetratie van wiskunde in de economie gaat gepaard met het overwinnen van aanzienlijke moeilijkheden. Dit was gedeeltelijk "schuldig" aan de wiskunde, die zich gedurende verschillende eeuwen heeft ontwikkeld, voornamelijk in verband met de behoeften van natuurkunde en technologie. Maar de belangrijkste redenen liggen nog steeds in de aard van economische processen, in de specifieke kenmerken van de economische wetenschap.

De complexiteit van de economie werd soms beschouwd als een rechtvaardiging voor de onmogelijkheid van haar modellering, studie door middel van wiskunde. Maar dit standpunt is fundamenteel verkeerd. U kunt een object van elke aard en elke complexiteit modelleren. En alleen complexe objecten zijn van het grootste belang voor modellering; dit is waar modellering resultaten kan opleveren die niet met andere onderzoeksmethoden kunnen worden verkregen.

Het doel van dit werk- het concept van economische en wiskundige modellen onthullen en hun classificatie en methoden waarop ze zijn gebaseerd bestuderen, en hun toepassing in de economie overwegen.

Taken van dit werk:systematisering, accumulatie en consolidering van kennis over economische en wiskundige modellen.

1. Economische en wiskundige modellering

1.1 Basisconcepten en soorten modellen. hun classificatie

Tijdens het bestuderen van een object is het vaak onpraktisch of zelfs onmogelijk om direct met dit object om te gaan. Het is handiger om het te vervangen door een ander object dat lijkt op het gegeven in die aspecten die belangrijk zijn in deze studie. In het algemeen model-kan worden gedefinieerd als een voorwaardelijk beeld van een echt object (processen), dat wordt gecreëerd voor een diepere studie van de werkelijkheid. Een onderzoeksmethode gebaseerd op het ontwikkelen en gebruiken van modellen heet modellering. De behoefte aan modellering is te wijten aan de complexiteit en soms de onmogelijkheid van directe studie van een echt object (processen). Het is veel toegankelijker om prototypes van echte objecten (processen) te maken en te bestuderen, d.w.z. modellen. We kunnen zeggen dat theoretische kennis over iets in de regel een combinatie is van verschillende modellen. Deze modellen weerspiegelen de essentiële eigenschappen van een reëel object (processen), hoewel de werkelijkheid in werkelijkheid veel betekenisvoller en rijker is.

Modelis een mentaal gerepresenteerd of materieel gerealiseerd systeem dat, door het object van studie te tonen of te reproduceren, het zodanig kan vervangen dat zijn studie nieuwe informatie over dit object oplevert.

Tot op heden is er geen algemeen aanvaarde uniforme classificatie van modellen. Verbale, grafische, fysieke, economisch-wiskundige en enkele andere typen modellen kunnen echter worden onderscheiden van een verscheidenheid aan modellen.

Economische en wiskundige modellen- dit zijn modellen van economische objecten of processen, bij de beschrijving waarvan wiskundige middelen worden gebruikt. De doelen van hun creatie zijn gevarieerd: ze zijn gebouwd om bepaalde voorwaarden en bepalingen van economische theorie te analyseren, om economische patronen te onderbouwen, om empirische gegevens te verwerken en in een systeem te brengen. In praktische termen worden economische en wiskundige modellen gebruikt als hulpmiddel voor het voorspellen, plannen, beheren en verbeteren van verschillende aspecten van de economische activiteit van de samenleving.

Economische en wiskundige modellen weerspiegelen de meest essentiële eigenschappen van een echt object of proces met behulp van een systeem van vergelijkingen. Er is geen uniforme classificatie van economische en wiskundige modellen, hoewel het mogelijk is om hun belangrijkste groepen te onderscheiden, afhankelijk van het kenmerk van de classificatie.

Voor het beoogde doelmodellen zijn onderverdeeld in:

· Theoretisch en analytisch (gebruikt bij de studie van algemene eigenschappen en patronen van economische processen);

· Toegepast (gebruikt bij het oplossen van specifieke economische problemen, zoals problemen met economische analyse, prognoses, management).

Door rekening te houden met de factor tijdmodellen zijn onderverdeeld in:

· Dynamisch (beschrijf het economische systeem in ontwikkeling);

· Statistisch (het economische systeem wordt in statistieken beschreven in relatie tot één specifiek tijdstip; het is als een momentopname, plak, fragment van een dynamisch systeem op een bepaald moment).

Volgens de duur van de beschouwde periodemodellen onderscheiden:

· Korte termijn prognoses of planning (tot een jaar);

· Prognoses of planning op middellange termijn (tot 5 jaar);

· Langetermijnprognose of planning (meer dan 5 jaar).

Volgens het doel van creatie en toepassing:modellen onderscheiden:

· Balans;

· econometrisch;

· optimalisatie;

· Netwerk;

· Wachtrijsystemen;

· Imitatie (expert).

BIJ balansModellen weerspiegelen de eis om de beschikbaarheid van middelen en hun gebruik op elkaar af te stemmen.

OptimalisatieModellen maken het mogelijk om uit de set van mogelijke (alternatieve) opties de beste variant van productie, distributie of consumptie te vinden. Beperkte middelen zullen zo goed mogelijk worden ingezet om het doel te bereiken.

Netwerkmodellen worden het meest gebruikt in projectmanagement. Het netwerkmodel toont een reeks werken (operaties) en gebeurtenissen, en hun relatie in de tijd. Doorgaans is het netwerkmodel ontworpen om werk in een zodanige volgorde uit te voeren dat de projecttijdlijn minimaal is. In dit geval is het probleem het kritieke pad te vinden. Er zijn echter ook netwerkmodellen die niet gericht zijn op het criterium tijd, maar bijvoorbeeld op het minimaliseren van de kosten van werk.

modellen wachtrijsystemenzijn gemaakt om de wachttijd in de wachtrij en de uitvaltijd van servicekanalen te minimaliseren.

Imitatiehet model bevat, samen met machinebeslissingen, blokken waarin beslissingen worden genomen door een persoon (expert). In plaats van de directe deelname van een persoon aan de besluitvorming, kan een kennisbank optreden. In dit geval vormen een personal computer, gespecialiseerde software, een database en een kennisbank een expertsysteem. Deskundigehet systeem is ontworpen om een ​​of meerdere taken op te lossen door de acties van een persoon, een expert op dit gebied, te simuleren.

Rekening houden met de onzekerheidsfactormodellen zijn onderverdeeld in:

· Deterministisch (met uniek gedefinieerde resultaten);

· Stochastisch (waarschijnlijk; met verschillende, waarschijnlijke resultaten).

Op type wiskundig apparaatmodellen onderscheiden:

· Lineaire programmering (het optimale plan wordt bereikt op het uiterste punt van het gebied van verandering van de variabelen van het beperkingssysteem);

· Niet-lineaire programmering (er kunnen verschillende optimale waarden van de doelfunctie zijn);

· Correlatie-regressie;

· Matrix;

· Netwerk;

· spel theorie;

· Theorieën over wachtrijen, enz.

Met de ontwikkeling van economisch en wiskundig onderzoek wordt het probleem van het classificeren van de toegepaste modellen gecompliceerder. Samen met de opkomst van nieuwe typen modellen en nieuwe tekens van hun classificatie, is het proces van integratie van modellen van verschillende typen in complexere modelstructuren aan de gang.

simulatie wiskundige stochastische

1.2 Economische en wiskundige methoden

Zoals elke modellering is economische en wiskundige modellering gebaseerd op het principe van analogie, d.w.z. de mogelijkheid om een ​​object te bestuderen door een ander, vergelijkbaar, maar eenvoudiger en toegankelijker object, het model ervan, te construeren en te overwegen.

De praktische taken van economische en wiskundige modellering zijn ten eerste de analyse van economische objecten, ten tweede economische prognoses, het voorzien van de ontwikkeling van economische processen en het gedrag van individuele indicatoren, en ten derde de ontwikkeling van managementbeslissingen op alle managementniveaus.

De essentie van economische en wiskundige modellering ligt in de beschrijving van sociaaleconomische systemen en processen in de vorm van economische en wiskundige modellen, die moeten worden begrepen als een product van het proces van economische en wiskundige modellering, en economische en wiskundige methoden - zoals een gereedschap.

Laten we eens kijken naar de classificatie van economische en wiskundige methoden. Deze methoden zijn een complex van economische en wiskundige disciplines, die een legering zijn van economie, wiskunde en cybernetica. Daarom wordt de classificatie van economische en wiskundige methoden teruggebracht tot de classificatie van de wetenschappelijke disciplines die in hun samenstelling zijn opgenomen.

Met een zekere mate van conventioneel kan de classificatie van deze methoden als volgt worden weergegeven.

· Economische cybernetica: systeemanalyse van economie, economische informatietheorie en regelsysteemtheorie.

· Wiskundige statistiek: economische toepassingen van deze discipline - steekproefmethode, variantieanalyse, correlatieanalyse, regressieanalyse, multivariate statistische analyse, indextheorie, enz.

· Wiskundige economie en kwantitatieve econometrie: economische groeitheorie, productiefunctietheorie, input-outputbalansen, nationale rekeningen, vraag- en consumptieanalyse, regionale en ruimtelijke analyse, globale modellering.

· Methoden voor het nemen van optimale beslissingen, inclusief de studie van operaties in de economie. Dit is het meest omvangrijke deel, dat de volgende disciplines en methoden omvat: optimaal (wiskundig) programmeren, methoden voor netwerkplanning en -beheer, theorie en methoden voor voorraadbeheer, wachtrijtheorie, speltheorie, beslistheorie en methoden.

Optimaal programmeren omvat op zijn beurt lineaire en niet-lineaire programmering, dynamische programmering, discrete (integer) programmering, stochastische programmering, enz.

· Methoden en disciplines die specifiek zijn voor zowel een centraal geleide economie als een markt (concurrerende) economie. De eerste omvatten de theorie van optimale prijsstelling van het functioneren van de economie, optimale planning, de theorie van optimale prijsstelling, logistieke modellen, enz. De laatste omvatten methoden die het mogelijk maken om modellen van vrije concurrentie te ontwikkelen, modellen van de kapitalistische cyclus, modellen van monopolie, modellen van de theorie van het bedrijf, enz. . Veel van de methoden die zijn ontwikkeld voor een centraal geleide economie kunnen ook nuttig zijn bij economische en wiskundige modellering in een markteconomie.

· Methoden voor experimentele studie van economische verschijnselen. Deze omvatten in de regel wiskundige analysemethoden en planning van economische experimenten, methoden voor machinesimulatie (simulatie), bedrijfsspellen. Dit omvat ook methoden voor expertbeoordelingen die zijn ontwikkeld om fenomenen te evalueren die niet direct kunnen worden gemeten.

Verschillende takken van wiskunde, wiskundige statistiek en wiskundige logica worden gebruikt in economische en wiskundige methoden. Een belangrijke rol bij het oplossen van economische en wiskundige problemen wordt gespeeld door computationele wiskunde, de theorie van algoritmen en andere disciplines. Het gebruik van het wiskundige apparaat heeft tastbare resultaten opgeleverd bij het oplossen van de problemen bij het analyseren van de processen van uitgebreide productie, het bepalen van de optimale groeipercentages van kapitaalinvesteringen, de optimale locatie, specialisatie en concentratie van productie, de problemen bij het kiezen van de beste productiemethoden, het bepalen van de optimale volgorde van het opstarten in productie, het probleem van het voorbereiden van de productie met behulp van netwerkplanningsmethoden en vele andere. .

Het oplossen van standaardproblemen kenmerkt zich door een duidelijk doel, het vooraf kunnen ontwikkelen van procedures en regels voor het uitvoeren van berekeningen.

Er zijn de volgende voorwaarden voor het gebruik van methoden voor economische en wiskundige modellering, waarvan de belangrijkste een hoog niveau van kennis van economische theorie, economische processen en verschijnselen, de methodologie van hun kwalitatieve analyse, evenals een hoog niveau van kennis zijn wiskundige opleiding, kennis van economische en wiskundige methoden.

Voordat u begint met het ontwikkelen van modellen, is het noodzakelijk om de situatie zorgvuldig te analyseren, doelen en relaties, problemen die moeten worden opgelost en de initiële gegevens voor hun oplossing te identificeren, een notatiesysteem bij te houden en pas dan de situatie in de vorm te beschrijven van wiskundige relaties.

2. Ontwikkeling en toepassing van economische en wiskundige modellen

2.1 Stadia van economische en wiskundige modellering

Het proces van economische en wiskundige modellering is een beschrijving van economische en sociale systemen en processen in de vorm van economische en wiskundige modellen. Dit type modellering heeft een aantal belangrijke kenmerken die verband houden met zowel het object van modellering als het apparaat en de gebruikte modelleringsmiddelen. Daarom is het raadzaam om de volgorde en inhoud van de fasen van economische en wiskundige modellering in meer detail te analyseren, waarbij de volgende zes fasen worden benadrukt:

.Verklaring van het economische probleem en de kwalitatieve analyse ervan;

2.Een wiskundig model bouwen;

.Wiskundige analyse van het model;

.Opstellen van eerste informatie;

.Numerieke oplossing;

.

Laten we elk van de fasen in meer detail bekijken.

1.Verklaring van het economische probleem en de kwalitatieve analyse ervan. Het gaat hier vooral om het helder formuleren van de kern van het probleem, de gemaakte aannames en de vragen die beantwoord moeten worden. Deze fase omvat het benadrukken van de belangrijkste kenmerken en eigenschappen van het gemodelleerde object en het abstraheren van minder belangrijke; het bestuderen van de structuur van het object en de belangrijkste afhankelijkheden die de elementen verbinden; het formuleren van hypothesen (althans voorlopig) die het gedrag en de ontwikkeling van het object verklaren.

2.Een wiskundig model bouwen. Dit is de fase waarin het economische probleem wordt geformaliseerd en uitgedrukt in de vorm van specifieke wiskundige afhankelijkheden en relaties (functies, vergelijkingen, ongelijkheden, enz.). Gewoonlijk wordt eerst de hoofdconstructie (type) van het wiskundige model bepaald en vervolgens worden de details van deze constructie gespecificeerd (een specifieke lijst met variabelen en parameters, de vorm van relaties). Zo is de constructie van het model weer onderverdeeld in verschillende fasen.

Het is onjuist om te veronderstellen dat hoe meer feiten het model in aanmerking neemt, hoe beter het "werkt" en betere resultaten geeft. Hetzelfde kan worden gezegd over dergelijke kenmerken van de complexiteit van het model als de gebruikte vormen van wiskundige afhankelijkheden (lineair en niet-lineair), rekening houdend met de factoren willekeur en onzekerheid, enz.

De buitensporige complexiteit en omslachtigheid van het model bemoeilijken het onderzoeksproces. Het is noodzakelijk om niet alleen rekening te houden met de reële mogelijkheden van informatie en wiskundige ondersteuning, maar ook om de kosten van modellering te vergelijken met het verkregen effect.

Een van de belangrijke kenmerken van wiskundige modellen is de potentiële mogelijkheid om ze te gebruiken voor het oplossen van problemen van verschillende kwaliteit. Daarom moet men, zelfs wanneer men voor een nieuwe economische uitdaging staat, er niet naar streven een model te 'uitvinden'; Ten eerste is het noodzakelijk om te proberen reeds bekende modellen toe te passen om dit probleem op te lossen.

.Wiskundige analyse van het model.Het doel van deze stap is om de algemene eigenschappen van het model te verduidelijken. Hier worden puur wiskundige onderzoeksmethoden toegepast. Het belangrijkste punt is het bewijs van het bestaan ​​van oplossingen in het geformuleerde model. Als het mogelijk is om te bewijzen dat het wiskundige probleem geen oplossing heeft, dan is er geen noodzaak om verder te werken aan de eerste versie van het model, en moeten ofwel de formulering van het economische probleem of de methoden voor de wiskundige formalisering ervan worden gecorrigeerd. Tijdens de analytische bestudering van het model worden vragen verduidelijkt zoals bijvoorbeeld is de oplossing uniek, welke variabelen (onbekend) in de oplossing kunnen worden opgenomen, wat de onderlinge relaties zullen zijn, binnen welke grenzen en afhankelijk van de initiële omstandigheden veranderen ze, wat zijn de trends van hun verandering, enz. d. De analytische studie van het model ten opzichte van de empirische (numerieke) heeft het voordeel dat de verkregen conclusies geldig blijven voor verschillende specifieke waarden van de externe en interne parameters van het model.

4.Opstellen van de eerste informatie.Modellering stelt hoge eisen aan het informatiesysteem. Tegelijkertijd beperken de reële mogelijkheden om informatie te verkrijgen de keuze van modellen die bedoeld zijn voor praktisch gebruik. Hierbij wordt niet alleen rekening gehouden met de fundamentele mogelijkheid om informatie (voor een bepaalde periode) op te stellen, maar ook met de kosten van het opstellen van de relevante informatiearrays.

Deze kosten mogen het effect van het gebruik van aanvullende informatie niet overschrijden.

Bij het voorbereiden van informatie worden methoden van waarschijnlijkheidstheorie, theoretische en wiskundige statistiek veel gebruikt. Bij systemische economische en wiskundige modellering is de initiële informatie die in sommige modellen wordt gebruikt, het resultaat van het functioneren van andere modellen.

5.Numerieke oplossing.Deze fase omvat de ontwikkeling van algoritmen voor de numerieke oplossing van het probleem, de compilatie van computerprogramma's en directe berekeningen. De moeilijkheden van deze fase worden in de eerste plaats veroorzaakt door de grote omvang van de economische problemen, de noodzaak om grote hoeveelheden informatie te verwerken.

Een onderzoek met numerieke methoden kan de resultaten van een analytisch onderzoek aanzienlijk aanvullen en is voor veel modellen de enige haalbare. De klasse van economische problemen die met numerieke methoden kunnen worden opgelost, is veel breder dan de klasse van problemen die toegankelijk zijn voor analytisch onderzoek.

6.Analyse van numerieke resultaten en hun toepassing.In deze laatste fase van de cyclus rijst de vraag naar de juistheid en volledigheid van de simulatieresultaten, naar de mate van praktische toepasbaarheid ervan.

Wiskundige verificatiemethoden kunnen onjuiste modelconstructies aan het licht brengen en daarmee de klasse van mogelijk correcte modellen verkleinen. Een informele analyse van de theoretische conclusies en numerieke resultaten verkregen door middel van het model, hun vergelijking met de beschikbare kennis en feiten van de werkelijkheid maken het ook mogelijk om de tekortkomingen van de formulering van het economische probleem, het geconstrueerde wiskundige model, de informatie ervan op te sporen en wiskundige ondersteuning.

2.2 Toepassing van stochastische modellen in de economie

De basis voor de effectiviteit van het bankmanagement is een systematische controle over de optimaliteit, het evenwicht en de stabiliteit van het functioneren in de context van alle elementen die het middelenpotentieel vormen en de vooruitzichten bepalen voor de dynamische ontwikkeling van een kredietinstelling. De methoden en instrumenten moeten worden gemoderniseerd om te kunnen voldoen aan veranderende economische omstandigheden. Tegelijkertijd bepaalt de noodzaak om het mechanisme voor de implementatie van nieuwe banktechnologieën te verbeteren de haalbaarheid van wetenschappelijk onderzoek.

De geïntegreerde financiële stabiliteitsratio's (CFS) van commerciële banken die in bestaande methoden worden gebruikt, kenmerken vaak de balans van hun toestand, maar laten geen volledige beschrijving van de ontwikkelingstrend toe. Houd er rekening mee dat het resultaat (KFU) afhankelijk is van veel willekeurige oorzaken (endogeen en exogeen) waarmee op voorhand niet volledig rekening kan worden gehouden.

In dit verband is het gerechtvaardigd om de mogelijke resultaten van het onderzoek naar de stationaire toestand van banken te beschouwen als willekeurige variabelen met dezelfde kansverdeling, aangezien de onderzoeken worden uitgevoerd volgens dezelfde methodologie en dezelfde benadering. Bovendien zijn ze onderling onafhankelijk, d.w.z. het resultaat van elke individuele coëfficiënt is niet afhankelijk van de waarden van de andere.

Rekening houdend met het feit dat in één test de willekeurige variabele één en slechts één mogelijke waarde aanneemt, concluderen we dat de gebeurtenissen x1 , x2 , …, xneen volledige groep vormen, daarom is de som van hun kansen gelijk aan 1: p1 +p2 +…+pn=1 .

Discrete willekeurige variabele X- de coëfficiënt van financiële stabiliteit van de bank "A", ja- bank "B", Z- Bank "C" voor een bepaalde periode. Om tot een resultaat te komen dat aanleiding geeft tot een conclusie over de duurzaamheid van de ontwikkeling van banken, is de beoordeling uitgevoerd op basis van een terugblikperiode van 12 jaar (tabel 1).

tafel 1

Volgnummer van het jaar Bank "A" Bank "B" Bank "C"11.3141.2011.09820.8150.9050.81131.0430.9940.83941.2111.0051.01351.1101.0901.00961.0981.1541.01771.1121.1151.02981.3111.3281.0 2451.1911.145101.5701.2041.296111.3001.1261.084121.1431.1511.028Min0.8150.9050.811Max1.5701.350.1.296

Voor elk monster voor een bepaalde bank zijn de waarden onderverdeeld in: Nintervallen worden de minimum- en maximumwaarden bepaald. De procedure voor het bepalen van het optimale aantal groepen is gebaseerd op de toepassing van de Sturgess-formule:

N\u003d 1 + 3.322 * ln N;

N=1+3,322 * ln12=9,525≈10,

Waar n- aantal groepen;

N- het aantal inwoners.

h=(KFUmax- KFUmin) / 10.

tafel 2

De grenzen van de intervallen van waarden van discrete willekeurige variabelen X, Y, Z (financiële stabiliteitscoëfficiënten) en de frequentie van voorkomen van deze waarden binnen de aangegeven grenzen

IntervalnummerIntervalgrenzenFrequentie van gebeurtenissen (n )XYZXYZ10,815-0,8910,905-0,9470,811-0,86011220,891-0,9660,947-0,9900,860-0,90800030,966-1,0420,990-1,0320,908-0,95702041,042-1,1171,032-1,0740,957-1,00540051,117-1,1931,074-1,1171,005-1,05412561,193-1,2681,117-1,1591,054-1,10223371,268-1,3441,159-1,2011,102-1,15131181,344-1,4191,201-1,2431,151-1,19902091,419-1,4951,243-1,2861,199-1,248000101,495-1,5701,286-1,3281,248-1,296111

Op basis van de gevonden intervalstap zijn de grenzen van de intervallen berekend door de gevonden stap op te tellen bij de minimumwaarde. De resulterende waarde is de grens van het eerste interval (linker grens - LG). Om de tweede waarde te vinden (de rechterrand van PG), wordt de i-stap opnieuw toegevoegd aan de gevonden eerste rand, enzovoort. De grens van het laatste interval valt samen met de maximale waarde:

LG1 =KFUmin;

PG1 =KFUmin+u;

LG2 =PG1;

PG2 =LG2 +u;

PG10 =KFUmax.

Gegevens over de frequentie van dalende financiële stabiliteitsratio's (discrete willekeurige variabelen X, Y, Z) worden gegroepeerd in intervallen en de waarschijnlijkheid dat hun waarden binnen de gespecificeerde limieten vallen, wordt bepaald. In dit geval wordt de linkerwaarde van de grens in het interval opgenomen, terwijl de rechterwaarde niet (tabel 3).

tafel 3

Verdeling van discrete willekeurige variabelen X, Y, Z

IndicatorWaarden van de indicatorBank "A"X0,8530,9291,0041,0791,1551,2311,3061,3821,4571,532P(X)0,083000,3330,0830,1670,250000,083Bank "B"Y0,9260,9691,0111,0531,0961,1381,1801,2221,2651,307P(J)0,08300,16700,1670,2500,0830,16700,083Bank "C"Z0,8350,8840,9330,9811,0301,0781,1271,1751,2241,272P(Z)0,1670000,4170,2500,083000,083

Op frequentie van voorkomen van waarden nhun kansen worden gevonden (de frequentie van voorkomen wordt gedeeld door 12, gebaseerd op het aantal populatie-eenheden), en de middelpunten van de intervallen werden gebruikt als waarden van discrete willekeurige variabelen. De wetten van hun distributie:

Pi=ni /12;

Xi= (LGi+PGi)/2.

Op basis van de verdeling kan men de kans op een niet-duurzame ontwikkeling van elke bank inschatten:

P(X<1) = P(X=0,853) = 0,083

P(Y<1) = P(Y=0,926) = 0,083

P(Z<1) = P(Z=0,835) = 0,167.

Dus, met een kans van 0,083, kan bank "A" de waarde van de financiële stabiliteitsratio van 0,853 bereiken. Met andere woorden, er is een kans van 8,3% dat zijn uitgaven hoger zijn dan zijn inkomen. Voor Bank B bedroeg de kans dat de coëfficiënt onder de één zou vallen ook 0,083, maar rekening houdend met de dynamische ontwikkeling van de organisatie, zal deze daling nog steeds onbeduidend blijken te zijn - tot 0,926. Ten slotte is er een grote kans (16,7%) dat de activiteit van Bank C bij gelijkblijvende omstandigheden wordt gekenmerkt door een financiële stabiliteitswaarde van 0,835.

Tegelijkertijd kan men volgens de verdeeltabellen de kans op duurzame ontwikkeling van banken zien, d.w.z. de som van kansen, waarbij de coëfficiëntopties een waarde groter dan 1 hebben:

P(X>1) = 1 - P(X<1) = 1 - 0,083 = 0,917

P(Y>1) = 1 - P(Y<1) = 1 - 0,083 = 0,917

P(Z>1) = 1 - P(Z<1) = 1 - 0,167 = 0,833.

Opgemerkt kan worden dat de minste duurzame ontwikkeling wordt verwacht in bank "C".

Over het algemeen specificeert de distributiewet een willekeurige variabele, maar vaker is het handiger om getallen te gebruiken die de willekeurige variabele in totaal beschrijven. Ze worden de numerieke kenmerken van een willekeurige variabele genoemd, ze omvatten de wiskundige verwachting. De wiskundige verwachting is ongeveer gelijk aan de gemiddelde waarde van een willekeurige variabele en benadert de gemiddelde waarde naarmate er meer tests zijn uitgevoerd.

De wiskundige verwachting van een discrete willekeurige variabele is de som van de producten van alle mogelijke variabelen en de waarschijnlijkheid ervan:

M(X) = x1 p1 +x2 p2 +…+xnpn

De resultaten van berekeningen van de waarden van wiskundige verwachtingen van willekeurige variabelen worden weergegeven in tabel 4.

Tabel 4

Numerieke kenmerken van discrete willekeurige variabelen X, Y, Z

BankVerwachtingVerspreidingStandaarddeviatie"A" M (X) \u003d 1.187 D (X) \u003d 0.027 σ (x) \u003d 0.164 "B" M (Y) \u003d 1.124 D (Y) \u003d 0.010 σ (y) \u003d 0,101 "C" M (Z) \u003d 1,037 D (Z) \u003d 0,012 σ (z) = 0,112

De verkregen wiskundige verwachtingen stellen ons in staat om de gemiddelde waarden van de verwachte waarschijnlijke waarden van de financiële stabiliteitsratio in de toekomst te schatten.

Volgens de berekeningen kan dus worden geoordeeld dat de wiskundige verwachting van de duurzame ontwikkeling van bank "A" 1,187 is. De wiskundige verwachting van banken "B" en "C" is respectievelijk 1,124 en 1,037, wat de verwachte winstgevendheid van hun werk weerspiegelt.

Als u echter alleen de wiskundige verwachting kent, die het "centrum" van de vermeende mogelijke waarden van de willekeurige variabele - KFU toont, is het nog steeds onmogelijk om de mogelijke niveaus of de mate van spreiding rond de verkregen wiskundige verwachting te beoordelen.

Met andere woorden, de wiskundige verwachting kenmerkt door zijn aard niet volledig de stabiliteit van de ontwikkeling van de bank. Om deze reden wordt het noodzakelijk om andere numerieke kenmerken te berekenen: spreiding en standaarddeviatie. Die het mogelijk maken om de mate van spreiding van mogelijke waarden van de coëfficiënt van financiële stabiliteit te schatten. Wiskundige verwachtingen en standaarddeviaties maken het mogelijk om in te schatten in welk interval de mogelijke waarden van de financiële stabiliteitsratio's van kredietinstellingen zullen liggen.

Met een relatief hoge karakteristieke waarde van de wiskundige stabiliteitsverwachting voor bank "A", was de standaarddeviatie 0,164, wat aangeeft dat de stabiliteit van de bank met dit bedrag kan toenemen of afnemen. Bij een negatieve verandering in stabiliteit (wat nog steeds onwaarschijnlijk is, gezien de verkregen kans op onrendabele activiteit, gelijk aan 0,083), zal de financiële stabiliteitsratio van de bank positief blijven - 1,023 (zie Tabel 3)

De activiteit van bank "B" met een wiskundige verwachting van 1,124 wordt gekenmerkt door een kleiner bereik van coëfficiëntwaarden. Dus zelfs onder ongunstige omstandigheden zal de bank stabiel blijven, aangezien de standaarddeviatie van de voorspelde waarde 0,101 was, waardoor ze in de positieve winstgevendheidszone kan blijven. We kunnen dus concluderen dat de ontwikkeling van deze bank duurzaam is.

Bank C daarentegen zal met een lage wiskundige verwachting van zijn betrouwbaarheid (1,037) geconfronteerd worden met een afwijking gelijk aan 0,112, wat voor haar onaanvaardbaar is. In een ongunstige situatie en gezien de grote kans op verliesgevende activiteiten (16,7%), zal deze kredietinstelling haar financiële stabiliteit waarschijnlijk terugbrengen tot 0,925.

Het is belangrijk op te merken dat, na conclusies te hebben getrokken over de stabiliteit van de ontwikkeling van banken, het onmogelijk is om van tevoren te voorspellen welke van de mogelijke waarden de financiële stabiliteitsratio als resultaat van de test zal aannemen; Het hangt af van vele redenen, waarmee geen rekening kan worden gehouden. Vanuit deze positie hebben we zeer bescheiden informatie over elke willekeurige variabele. In dit verband is het nauwelijks mogelijk om gedragspatronen en de som van een voldoende groot aantal willekeurige variabelen vast te stellen.

Het blijkt echter dat onder bepaalde relatief brede omstandigheden het totale gedrag van een voldoende groot aantal willekeurige variabelen bijna zijn willekeurig karakter verliest en regelmatig wordt.

Bij het beoordelen van de stabiliteit van de ontwikkeling van banken, blijft het om de waarschijnlijkheid te schatten dat de afwijking van een willekeurige variabele van zijn wiskundige verwachting de absolute waarde van een positief getal niet overschrijdt ε. De schatting waarin we geïnteresseerd zijn, kan worden gegeven door P.L. Tsjebijsjev. De kans dat de afwijking van een willekeurige variabele X van zijn wiskundige verwachting in absolute waarde kleiner is dan een positief getal ε niet minder dan :

of in het geval van inverse waarschijnlijkheid:

Rekening houdend met het risico dat gepaard gaat met het verlies van stabiliteit, schatten we de kans dat een discrete willekeurige variabele afwijkt van de wiskundige verwachting naar de kleinere kant en rekening houdend met de afwijkingen van de centrale waarde zowel naar de kleinere als de grotere kant equiprobable, herschrijven we de ongelijkheid nogmaals:

Verder is het op basis van de takenset noodzakelijk om de waarschijnlijkheid dat de toekomstige waarde van de financiële stabiliteitsratio niet lager zal zijn dan 1 te schatten op basis van de voorgestelde wiskundige verwachting (voor bank "A" de waarde ε laten we gelijk aan 0,187 nemen, voor bank "B" - 0,124, voor "C" - 0,037) en deze kans berekenen:

kan":

Bank "C"

Volgens P. L. Chebyshev, de meest stabiele in zijn ontwikkeling, is bank "B", omdat de kans op afwijking van de verwachte waarden van een willekeurige variabele van zijn wiskundige verwachting laag is (0,325), terwijl deze relatief minder is dan bij andere banken. Bank A staat op de tweede plaats wat betreft relatieve ontwikkelingsstabiliteit, waar de coëfficiënt van deze afwijking iets hoger is dan in het eerste geval (0,386). Bij de derde bank is de kans dat de waarde van de financiële stabiliteitsratio links van de wiskundige verwachting meer dan 0,037 afwijkt een vrijwel zekere gebeurtenis. Bovendien, als we er rekening mee houden dat de kans niet groter kan zijn dan 1, overschrijding van de waarden, volgens het bewijs van L.P. Chebyshev moet worden opgevat als 1. Met andere woorden, het feit dat de ontwikkeling van een bank zich kan verplaatsen naar een onstabiele zone, gekenmerkt door een financiële stabiliteitscoëfficiënt van minder dan 1, is een betrouwbare gebeurtenis.

Dus, wat de financiële ontwikkeling van commerciële banken karakteriseert, kunnen we de volgende conclusies trekken: de wiskundige verwachting van een discrete willekeurige variabele (de gemiddelde verwachte waarde van de financiële stabiliteitscoëfficiënt) van bank "A" is 1,187. De standaarddeviatie van deze discrete waarde is 0,164, wat objectief een kleine spreiding van coëfficiëntwaarden van het gemiddelde aantal kenmerkt. De mate van instabiliteit van deze reeks wordt echter bevestigd door een vrij grote kans op een negatieve afwijking van de financiële stabiliteitsratio van 1, gelijk aan 0,386.

Analyse van de activiteiten van de tweede bank toonde aan dat de wiskundige verwachting van KFU 1,124 is met een standaarddeviatie van 0,101. Zo wordt de activiteit van een kredietinstelling gekenmerkt door een kleine spreiding in de waarden van de financiële stabiliteitsratio, d.w.z. is meer geconcentreerd en stabiel, wat wordt bevestigd door de relatief lage waarschijnlijkheid (0,325) van de overgang van de bank naar de verlieszone.

De stabiliteit van bank "C" wordt gekenmerkt door een lage waarde van wiskundige verwachting (1,037) en ook een kleine spreiding van waarden (standaarddeviatie is 0,112). Ongelijkheid LP Chebyshev bewijst het feit dat de kans op het verkrijgen van een negatieve waarde van de financiële stabiliteitscoëfficiënt gelijk is aan 1, d.w.z. de verwachting van een positieve dynamiek van zijn ontwikkeling, bij gelijkblijvende omstandigheden, zal erg onredelijk lijken. Het voorgestelde model, gebaseerd op het bepalen van de bestaande verdeling van discrete willekeurige variabelen (de waarden van de financiële stabiliteitsratio's van commerciële banken) en bevestigd door het beoordelen van hun even waarschijnlijke positieve of negatieve afwijking van de verkregen wiskundige verwachting, maakt het mogelijk om het huidige en toekomstige niveau bepalen.

Conclusie

Het gebruik van wiskunde in de economie gaf een impuls aan de ontwikkeling van zowel de economie zelf als de toegepaste wiskunde, in termen van methoden van het economische en wiskundige model. Het spreekwoord zegt: "Meet zeven keer - Knip één keer." Het gebruik van modellen is tijd, moeite, materiële middelen. Bovendien zijn berekeningen op basis van modellen in tegenstelling tot vrijwillige beslissingen, omdat ze het mogelijk maken om vooraf de gevolgen van elke beslissing te beoordelen, onaanvaardbare opties te negeren en de meest succesvolle aan te bevelen. Economische en wiskundige modellering is gebaseerd op het principe van analogie, d.w.z. de mogelijkheid om een ​​object te bestuderen door een ander, vergelijkbaar, maar eenvoudiger en toegankelijker object, het model ervan, te construeren en te overwegen.

De praktische taken van economische en wiskundige modellering zijn in de eerste plaats de analyse van economische objecten; ten tweede economische prognoses, die de ontwikkeling van economische processen en het gedrag van individuele indicatoren voorzien; ten derde, de ontwikkeling van managementbeslissingen op alle managementniveaus.

In het werk bleek dat economische en wiskundige modellen kunnen worden onderverdeeld volgens de volgende kenmerken:

· beoogde doel;

· rekening houdend met de factor tijd;

· de duur van de beschouwde periode;

· doel van creatie en toepassing;

· rekening houdend met de onzekerheidsfactor;

· type wiskundig apparaat;

De beschrijving van economische processen en fenomenen in de vorm van economische en wiskundige modellen is gebaseerd op het gebruik van een van de economische en wiskundige methoden die op alle managementniveaus worden gebruikt.

· formulering van het economische probleem en de kwalitatieve analyse ervan;

· het bouwen van een wiskundig model;

· wiskundige analyse van het model;

· voorbereiding van de eerste informatie;

· numerieke oplossing;

· analyse van numerieke resultaten en hun toepassing.

De paper presenteerde een artikel van Kandidaat Economische Wetenschappen, universitair hoofddocent van het departement Financiën en Credit S.V. Boyko, die opmerkt dat binnenlandse kredietinstellingen die onderhevig zijn aan de invloed van de externe omgeving, voor de taak staan ​​om beheersinstrumenten te vinden die de implementatie van rationele anticrisismaatregelen omvatten die gericht zijn op het stabiliseren van het groeipercentage van de basisindicatoren van hun activiteiten. In dit verband is het belang van een adequate definitie van financiële stabiliteit met behulp van verschillende methoden en modellen, waaronder stochastische (probabilistische) modellen, die het niet alleen mogelijk maken om de verwachte factoren van groei of afname van stabiliteit te identificeren, maar ook om een ​​reeks preventieve maatregelen te vormen om het te behouden, neemt toe.

De potentiële mogelijkheid van wiskundige modellering van economische objecten en processen betekent natuurlijk niet de succesvolle haalbaarheid ervan op een bepaald niveau van economische en wiskundige kennis, beschikbare specifieke informatie en computertechnologie. En hoewel het onmogelijk is om de absolute grenzen van de wiskundige formaliseerbaarheid van economische problemen aan te geven, zullen er altijd ongeformaliseerde problemen zijn, evenals situaties waarin wiskundige modellering niet effectief genoeg is.

Bibliografie

1)Kras MS Wiskunde voor economische specialiteiten: leerboek. -4e druk, herz. - M.: Delo, 2003.

)Ivanilov Yu.P., Lotov AV Wiskundige modellen in de economie. - M.: Nauka, 2007.

)Ashmanov S.A. Inleiding tot de wiskundige economie. - M.: Nauka, 1984.

)Gataulin AM, Gavrilov GV, Sorokina TM en andere wiskundige modellering van economische processen. - M.: Agropromizdat, 1990.

)Ed. Fedoseeva V.V. Economisch-wiskundige methoden en toegepaste modellen: leerboek voor middelbare scholen. - M.: UNITI, 2001.

)Savitskaya G.V. Economische analyse: leerboek. - 10e druk, gecorrigeerd. - M.: Nieuwe kennis, 2004.

)Gmurman V.E. Kansrekening en wiskundige statistiek. Moskou: Hogere school, 2002

)Operationeel onderzoek. Taken, principes, methodologie: leerboek. toelage voor universiteiten / E.S. Wentzel. - 4e druk, stereotype. - M.: Drofa, 2006. - 206, p. : ziek.

)Wiskunde in economie: leerboek / S.V. Yudin. - M.: Uitgeverij RGTEU, 2009.-228 p.

)Kochetygov AA Kansrekening en wiskundige statistiek: Proc. Toelage / Tul. Staat. universiteit Tula, 1998. 200p.

)Boyko S.V., Probabilistische modellen bij het beoordelen van de financiële stabiliteit van kredietinstellingen /S.V. Boyko // Financiën en krediet. - 2011. N 39. -

Bij het construeren van economische modellen worden belangrijke factoren geïdentificeerd en worden details die niet essentieel zijn voor het oplossen van het probleem genegeerd.

Economische modellen kunnen modellen omvatten:

• economische groei
• Consumentenkeuze
• evenwicht in de financiële en goederenmarkten en vele andere.

Model is een logische of wiskundige beschrijving van de componenten en functies die de essentiële eigenschappen van het gemodelleerde object of proces weerspiegelen.

Het model wordt gebruikt als een conditioneel beeld dat is ontworpen om de studie van een object of proces te vereenvoudigen.

De aard van de modellen kan verschillen. Modellen zijn onderverdeeld in: echte, teken-, verbale en tabelbeschrijving, enz.

Economisch en wiskundig model

Bij het beheer van bedrijfsprocessen zijn de belangrijkste in de eerste plaats economische en wiskundige modellen, vaak gecombineerd tot modelsystemen.

Economisch en wiskundig model(EMM) is een wiskundige beschrijving van een economisch object of proces met het oog op hun studie en beheer. Dit is een wiskundig verslag van het economische probleem dat wordt opgelost.

Belangrijkste soorten modellen

• Extrapolatiemodellen
• Factoriële econometrische modellen
• Optimalisatiemodellen
• Balansmodellen, Interindustrieel Balansmodel (ISB)
• Expert beoordelingen
• Spel theorie
• netwerkmodellen
• Modellen van wachtrijsystemen

Economische en wiskundige modellen en methoden die worden gebruikt in economische analyse

R a \u003d PE / VA + OA,

In een algemene vorm kan het gemengde model worden weergegeven door de volgende formule:

Je moet dus eerst een economisch-wiskundig model bouwen dat de invloed van individuele factoren op de algemene economische indicatoren van de organisatie beschrijft. Wijdverbreid in de analyse van ontvangen economische activiteit multifactoriële multiplicatieve modellen, omdat ze ons in staat stellen de invloed van een aanzienlijk aantal factoren op generaliserende indicatoren te bestuderen en daardoor een grotere diepte en nauwkeurigheid van analyse te bereiken.

Daarna moet je een manier kiezen om dit model op te lossen. traditionele manieren: de methode van ketensubstituties, de methodes van absolute en relatieve verschillen, de balansmethode, de indexmethode, evenals de methodes van correlatie-regressie, cluster, dispersieanalyse, enz. Naast deze methodes en methodes, specifieke wiskundige methodes en methoden worden ook gebruikt in economische analyse.

Integrale methode van economische analyse

Een van deze methoden (methoden) is integraal. Het vindt toepassing bij het bepalen van de invloed van individuele factoren met behulp van multiplicatieve, meervoudige en gemengde (meervoudige additieve) modellen.

Onder de voorwaarden van het toepassen van de integrale methode is het mogelijk om redelijkere resultaten te verkrijgen voor het berekenen van de invloed van individuele factoren dan bij het gebruik van de ketensubstitutiemethode en zijn varianten. De ketenvervangingsmethode en zijn varianten, evenals de indexmethode, hebben aanzienlijke nadelen: 1) de resultaten van het berekenen van de invloed van factoren zijn afhankelijk van de geaccepteerde volgorde van vervanging van de basiswaarden van individuele factoren door werkelijke; 2) een extra toename van de generaliserende indicator, veroorzaakt door de interactie van factoren, in de vorm van een onontbindbare rest, wordt opgeteld bij de som van de invloed van de laatste factor. Bij gebruik van de integrale methode wordt deze toename gelijkelijk over alle factoren verdeeld.

De integrale methode stelt een algemene benadering vast voor het oplossen van modellen van verschillende typen, ongeacht het aantal elementen dat in dit model is opgenomen, en ook ongeacht de vorm van verbinding tussen deze elementen.

De integrale methode van factoriële economische analyse is gebaseerd op de som van de toenames van een functie gedefinieerd als een partiële afgeleide vermenigvuldigd met de toename van het argument over oneindig kleine intervallen.

Bij het toepassen van de integrale methode moet aan een aantal voorwaarden worden voldaan. Ten eerste moet de voorwaarde van continue differentiatie van de functie in acht worden genomen, waarbij een economische indicator als argument wordt genomen. Ten tweede moet de functie tussen het begin- en eindpunt van de elementaire periode in een rechte lijn veranderen G e. Ten derde moet er ten slotte een constantheid zijn van de verhouding van de veranderingssnelheden in de waarden van de factoren

dy / dx = const

Bij gebruik van de integrale methode wordt de berekening van een bepaalde integraal over een gegeven integrand en een bepaald integratie-interval uitgevoerd volgens het beschikbare standaardprogramma met behulp van moderne computertechnologie.

Als we een multiplicatief model oplossen, kunnen de volgende formules worden gebruikt om de invloed van individuele factoren op een algemene economische indicator te berekenen:

∆Z(x) = y 0 * Δ x + 1/2Δ x *Δ ja

Z(y)=x 0 * Δ ja +1/2 Δ x* Δ ja

Bij het oplossen van een meervoudig model om de invloed van factoren te berekenen, gebruiken we de volgende formules:

Z=x/y;

Δ Z(x)= Δ x/Δ y Lny1/y0

Δ Z(y)=Δ Z- Δ Z(x)

Er zijn twee hoofdtypen problemen die worden opgelost met behulp van de integrale methode: statisch en dynamisch. In het eerste type is er geen informatie over veranderingen in de geanalyseerde factoren in deze periode. Voorbeelden van dergelijke taken zijn de analyse van de uitvoering van bedrijfsplannen of de analyse van veranderingen in economische indicatoren ten opzichte van de voorgaande periode. Het dynamische type taken vindt plaats in aanwezigheid van informatie over de verandering in de geanalyseerde factoren gedurende een bepaalde periode. Dit soort taken omvat berekeningen met betrekking tot de studie van tijdreeksen van economische indicatoren.

Dit zijn de belangrijkste kenmerken van de integrale methode van factoriële economische analyse.

Log methode

Naast deze methode wordt ook de methode (methode) van logaritme gebruikt in de analyse. Het wordt gebruikt in factoranalyse bij het oplossen van multiplicatieve modellen. De essentie van de beschouwde methode ligt in het feit dat wanneer deze wordt gebruikt, er een logaritmisch evenredige verdeling is van de waarde van de gezamenlijke actie van factoren tussen deze laatste, dat wil zeggen dat deze waarde wordt verdeeld over de factoren in verhouding tot de aandeel van de invloed van elke individuele factor op de som van de generaliserende indicator. Bij de integrale methode wordt de genoemde waarde gelijkelijk over de factoren verdeeld. Daarom maakt de logaritmemethode berekeningen van de invloed van factoren redelijker dan de integrale methode.

Bij het nemen van logaritmen worden geen absolute waarden van de groei van economische indicatoren gebruikt, zoals het geval is bij de integrale methode, maar relatieve, dat wil zeggen indices van veranderingen in deze indicatoren. Een generaliserende economische indicator wordt bijvoorbeeld gedefinieerd als het product van drie factoren - factoren f = x y z.

Laten we de invloed van elk van deze factoren op de generaliserende economische indicator vinden. De invloed van de eerste factor kan dus worden bepaald met de volgende formule:

Δf x \u003d Δf lg (x 1 / x 0) / log (f 1 / f 0)

Wat was de impact van de volgende factor? Om de invloed ervan te vinden, gebruiken we de volgende formule:

Δf y \u003d f lg (y 1 / y 0) / log (f 1 / f 0)

Ten slotte, om de invloed van de derde factor te berekenen, passen we de formule toe:

Δf z \u003d Δf lg (z 1 / z 0) / log (f 1 / f 0)

De totale hoeveelheid verandering in de generaliserende indicator wordt dus verdeeld over individuele factoren in overeenstemming met de verhoudingen van de verhoudingen van de logaritmen van individuele factorindices tot de logaritme van de generaliserende indicator.

Bij het toepassen van de beschouwde methode kunnen alle soorten logaritmen worden gebruikt - zowel natuurlijke als decimaal.

Methode van differentiaalrekening

Bij het uitvoeren van factoranalyse wordt ook de methode van differentiaalrekening gebruikt. De laatste gaat ervan uit dat de algehele verandering in de functie, dat wil zeggen de generaliserende indicator, is verdeeld in afzonderlijke termen, waarvan de waarde wordt berekend als het product van een bepaalde partiële afgeleide en de toename van de variabele waarmee deze afgeleide wordt bepaald. Laten we de invloed van individuele factoren op de generaliserende indicator bepalen, met als voorbeeld een functie van twee variabelen.

Functie is ingesteld Z = f(x,y). Als deze functie differentieerbaar is, kan de verandering worden uitgedrukt door de volgende formule:

Laten we de afzonderlijke elementen van deze formule uitleggen:

ΔZ = (Z 1 - Z 0)- de omvang van de functieverandering;

Δx \u003d (x 1 - x 0)- de grootte van de verandering in één factor;

Δ y = (y 1 - y 0)- de mate van verandering van een andere factor;

is een oneindig kleine waarde van een hogere orde dan

In dit voorbeeld is de invloed van individuele factoren x en ja om de functie te wijzigen: Z(generaliserende indicator) wordt als volgt berekend:

ΔZx = δZ / δx Δx; ΔZy = δZ / δy Δy.

De som van de invloed van beide factoren is het belangrijkste, lineaire deel van de toename van de differentieerbare functie, dat wil zeggen de generaliserende indicator, ten opzichte van de toename van deze factor.

Equity-methode:

In de voorwaarden voor het oplossen van additieve, evenals meervoudige additieve modellen, wordt de methode van aandelenparticipatie ook gebruikt om de invloed van individuele factoren op de verandering in de algemene indicator te berekenen. De essentie ervan ligt in het feit dat eerst het aandeel van elke factor in het totale bedrag van hun veranderingen wordt bepaald. Vervolgens wordt dit aandeel vermenigvuldigd met de totale verandering in de samenvattende indicator.

Stel dat we de invloed van drie factoren bepalen − a,b en met voor een samenvatting ja. Dan kan voor de factor a het bepalen van het aandeel en het vermenigvuldigen met de totale waarde van de verandering in de generaliserende indicator worden uitgevoerd volgens de volgende formule:

Δy a = Δa/Δa + Δb + Δc*Δy

Want de factor in de beschouwde formule zal de volgende vorm hebben:

Δyb =Δb/Δa + Δb +Δc*Δy

Ten slotte hebben we voor de factor c:

∆y c =∆c/∆a +∆b +∆c*∆y

Dit is de essentie van de vermogensmutatiemethode die wordt gebruikt voor factoranalyse.

Lineaire programmeermethode:

Zie onder:

Wachtrijtheorie

Zie onder:

Spel theorie

Speltheorie vindt ook toepassing. Net als de wachtrijtheorie is de speltheorie een van de takken van de toegepaste wiskunde. Speltheorie bestudeert de optimale oplossingen die mogelijk zijn in situaties met een spelkarakter. Dit omvat situaties die verband houden met de keuze van optimale managementbeslissingen, met de keuze van de meest geschikte opties voor relaties met andere organisaties, enz.

Om dergelijke problemen in de speltheorie op te lossen, worden algebraïsche methoden gebruikt, die gebaseerd zijn op een stelsel van lineaire vergelijkingen en ongelijkheden, iteratieve methoden en methoden om dit probleem te herleiden tot een specifiek stelsel van differentiaalvergelijkingen.

Een van de economische en wiskundige methoden die worden gebruikt bij de analyse van de economische activiteit van organisaties is de zogenaamde gevoeligheidsanalyse. Deze methode wordt vaak gebruikt bij het analyseren van investeringsprojecten en om te voorspellen hoeveel winst nog ter beschikking staat van deze organisatie.

Om de activiteiten van de organisatie optimaal te plannen en te voorspellen, is het noodzakelijk om met de geanalyseerde economische indicatoren te anticiperen op de veranderingen die zich in de toekomst kunnen voordoen.

Het is bijvoorbeeld noodzakelijk om van tevoren de verandering in de waarden van die factoren die van invloed zijn op de hoeveelheid winst te voorspellen: het niveau van aankoopprijzen voor verworven materiële hulpbronnen, het niveau van verkoopprijzen voor de producten van een bepaalde organisatie, veranderingen in de vraag van klanten naar deze producten.

Gevoeligheidsanalyse bestaat uit het bepalen van de toekomstige waarde van een generaliserende economische indicator, op voorwaarde dat de waarde van een of meer factoren die van invloed zijn op deze indicator verandert.

Zo stellen ze bijvoorbeeld vast met welk bedrag de winst in de toekomst zal veranderen, onder voorbehoud van een verandering in de hoeveelheid verkochte producten per eenheid. We analyseren dus de gevoeligheid van de nettowinst voor een verandering in een van de factoren die daarop van invloed zijn, in dit geval de factor verkoopvolume. De overige factoren die van invloed zijn op de winstmarge blijven ongewijzigd. Het is mogelijk om het bedrag van de winst ook te bepalen met een gelijktijdige verandering in de toekomst van de invloed van meerdere factoren. Zo maakt gevoeligheidsanalyse het mogelijk om de sterkte vast te stellen van de reactie van een generaliserende economische indicator op veranderingen in individuele factoren die van invloed zijn op deze indicator.

Matrix-methode:

Samen met de bovengenoemde economische en wiskundige methoden worden ze ook gebruikt bij de analyse van economische activiteit. Deze methoden zijn gebaseerd op lineaire en vectormatrixalgebra.

Netwerkplanningsmethode

Zie onder:

Extrapolatieanalyse

Naast de overwogen methoden wordt ook gebruik gemaakt van extrapolatieanalyse. Het omvat het in aanmerking nemen van veranderingen in de toestand van het geanalyseerde systeem en extrapolatie, dat wil zeggen, de uitbreiding van de bestaande kenmerken van dit systeem voor toekomstige perioden. Bij het implementeren van dit type analyse kunnen de volgende hoofdfasen worden onderscheiden: primaire verwerking en transformatie van de eerste reeks beschikbare gegevens; keuze van het type empirische functies; bepaling van de belangrijkste parameters van deze functies; extrapolatie; het vaststellen van de mate van betrouwbaarheid van de analyse.

In de economische analyse wordt ook de methode van de hoofdcomponenten gebruikt. Ze worden gebruikt voor een vergelijkende analyse van afzonderlijke componenten, dat wil zeggen de parameters van de analyse van de activiteiten van de organisatie. Hoofdcomponenten zijn de belangrijkste kenmerken van lineaire combinaties van samenstellende delen, dat wil zeggen de parameters van de uitgevoerde analyse, die de belangrijkste spreidingswaarden hebben, namelijk de grootste absolute afwijkingen van de gemiddelde waarden.

Alle modellen die een persoon op verschillende gebieden van zijn activiteit gebruikt, kunnen voorwaardelijk in twee groepen worden verdeeld: materieel en abstract. De eerste zijn objectief, ze kunnen echt met de hand worden aangeraakt. Deze laatste bestaan ​​alleen in de menselijke geest. In het kader van dit artikel komen alleen wiskundige methoden en modellen in de economie aan bod. Ze worden gebruikt om de processen en fenomenen die zich op dit gebied voordoen te analyseren. Het gebruik ervan maakt het mogelijk om nieuwe economische taken te stellen. Dankzij hen neemt het management beslissingen over het management van de organisatie, het bedrijf, de onderneming.

Wiskundige bewerkingen in de economie zijn het meest effectieve hulpmiddel om problemen op dit gebied te bestuderen. In moderne wetenschappelijke en technische activiteiten worden ze een belangrijke vorm van modellering. En in de praktijk van planning en management is deze methode de belangrijkste.

Economisch-wiskundige methoden en modellen vormen de basis waarop verschillende programma's worden geïmplementeerd, oorspronkelijk ontworpen om de problemen van planning, analyse en beheer op te lossen. Samen met technische middelen, met databases, maken ze deel uit van het mens-machine systeem. Het stelt je in staat om modellen en kennis te gebruiken om verschillende soorten problemen op te lossen (zowel ongestructureerd als zwak gestructureerd).

Afhankelijk van de criteria die aan de indeling ten grondslag liggen, worden economische en wiskundige methoden en modellen als volgt geclassificeerd.

1. Doelbewust zijn ze:

Toegepast, dat wil zeggen, met hun hulp worden specifieke taken opgelost;

Theoretisch en analytisch (ze worden gebruikt wanneer het nodig is om de algemene patronen en tekenen van de ontwikkeling van processen in de economie te onderzoeken).

2. Door welke causale verbanden ze weerspiegelen:

deterministisch;

Probabilistisch (houd rekening met de factor van opkomende onzekerheid).

3. Volgens het niveau van die processen in de economie die ze bestuderen:

Productie en technologische;

Sociaal-economisch.

4. Afhankelijk van de manier waarop de tijdsfactor wordt weergegeven:

Dynamisch, ze laten de voortdurende veranderingen zien;

Statisch, alle afhankelijkheden weerspiegelen hier slechts één tijdsperiode of moment.

5. Op detailniveau:

Macromodellen (geaggregeerd);

Micromodellen (gedetailleerd).

6. Volgens de vorm waarin wiskundige afhankelijkheden worden uitgedrukt:

niet-lineair;

Lineair - ze zijn erg handig in gebruik voor berekening en analyse, wat heeft geleid tot hun bredere verspreiding.

Economische en wiskundige methoden en modellen hebben hun eigen constructieprincipes. Waaronder:

1. Het principe van eenduidige gegevens. Volgens hem mag de informatie die aan het begin van de simulatie wordt gebruikt niet afhankelijk zijn van die parameters van het toekomstige systeem die in dit stadium van het onderzoek nog niet eens bekend zijn.

2. Het principe van volledigheid van initiële informatie. Dit betekent dat de aanvankelijk gebruikte informatie zeer nauwkeurig moet zijn, aangezien de verkregen resultaten ervan afhangen.

3. Het erfopvolgingsbeginsel. Hij zegt dat de kenmerken van het object die in de eerste modellen werden weerspiegeld of vastgelegd, in elk volgend model behouden moeten blijven.

4. Het principe van effectieve implementatie. Elk model moet in de praktijk gebruikt worden. De nieuwste computerhulpmiddelen zouden moeten helpen bij de implementatie ervan.

Economische en wiskundige methoden en modellen worden altijd in verschillende fasen opgebouwd:

1) Definitie van het probleem, de analyse ervan.

2) Ontwerp Dit is de uitdrukking in de vorm van functies, schema's, vergelijkingen.

3) Analyse van het resulterende model met behulp van wiskundige technieken.

4) Voorbereiding van de eerste informatie.

5) Dit is het daadwerkelijk ontwikkelen van programma's, het samenstellen van algoritmen en het uitvoeren van berekeningen.

6) Analyse van de verkregen resultaten, hun praktische toepassing.

Elk van deze fasen kan zijn eigen specifieke kenmerken hebben, afhankelijk van het betreffende kennisgebied.