Projectie van een punt op drie vlakken van projecties van de coördinaathoek begint met het verkrijgen van zijn beeld op het vlak H - het horizontale vlak van projecties. Om dit te doen, wordt door punt A (Fig. 4.12, a) een uitstekende bundel loodrecht op het vlak H getrokken.

In de figuur is de loodlijn op het H-vlak evenwijdig aan de Oz-as. Het snijpunt van de bundel met het vlak H (punt a) wordt willekeurig gekozen. Het segment Aa bepaalt hoe ver punt A zich van het vlak H bevindt en geeft zo ondubbelzinnig de positie van punt A in de figuur aan ten opzichte van de projectievlakken. Punt a is een rechthoekige projectie van punt A op het vlak H en wordt de horizontale projectie van punt A genoemd (Fig. 4.12, a).

Om een ​​beeld te krijgen van punt A op het vlak V (Fig. 4.12, b), wordt een projectiebundel getrokken door punt A loodrecht op het frontale projectievlak V. In de figuur is de loodlijn op het vlak V evenwijdig aan de Oy as. Op het H-vlak wordt de afstand van punt A tot vlak V weergegeven door een segment aa x, evenwijdig aan de Oy-as en loodrecht op de Ox-as. Als we ons voorstellen dat de projecterende bundel en zijn afbeelding gelijktijdig worden uitgevoerd in de richting van het vlak V, dan zal wanneer het beeld van de bundel de Ox-as snijdt in het punt a x, de bundel het vlak V snijdt in het punt a. Tekening vanaf het punt a x in het V-vlak loodrecht op de Ox-as, dat het beeld is van de projecterende bundel Aa op het vlak V, wordt het punt a verkregen op het snijpunt met de uitstekende bundel. Punt a "is de frontale projectie van punt A, d.w.z. zijn beeld op het vlak V.

Het beeld van punt A op het profielvlak van projecties (Fig. 4.12, c) is opgebouwd met behulp van een projectiebundel loodrecht op het W-vlak. In de figuur is de loodlijn op het W-vlak evenwijdig aan de Ox-as. De uitstekende bundel van punt A naar vlak W op het vlak H wordt weergegeven door een segment aa y, evenwijdig aan de Ox-as en loodrecht op de Oy-as. Vanaf het punt Oy evenwijdig aan de Oz-as en loodrecht op de Oy-as wordt een beeld van de projectiebundel aA gevormd en, op het snijpunt met de uitstekende bundel, wordt het punt a verkregen. Punt a is de profielprojectie van het punt A, d.w.z. het beeld van het punt A op het vlak W.

Het punt a "kan worden geconstrueerd door vanaf het punt a" het segment a "a z (het beeld van de uitstekende bundel Aa" op het vlak V) evenwijdig aan de Ox-as te trekken, en vanaf het punt a z - het segment a "a z evenwijdig aan de Oy-as totdat deze de uitstekende bundel kruist.

Na drie projecties van punt A op de projectievlakken te hebben ontvangen, wordt de coördinaathoek in één vlak ontplooid, zoals weergegeven in Fig. 4.11, b, samen met de projecties van het punt A en de uitstekende stralen, en het punt A en de uitstekende stralen Aa, Aa "en Aa" worden verwijderd. De randen van de gecombineerde projectievlakken worden niet uitgevoerd, maar alleen de projectie-assen Oz, Oy en Ox, Oy 1 (Fig. 4.13) worden uitgevoerd.

Een analyse van de orthogonale tekening van een punt laat zien dat drie afstanden - Aa", Aa en Aa" (Fig. 4.12, c), die de positie van punt A in de ruimte karakteriseren, kunnen worden bepaald door het projectie-object zelf weg te gooien - punt A , op een coördinaathoek ingezet in één vlak (Fig. 4.13). De segmenten a "a z, aa y en Oa x zijn gelijk aan Aa" als tegenoverliggende zijden van de corresponderende rechthoeken (Fig. 4.12, c en 4.13). Ze bepalen de afstand waarop punt A zich van het profielvlak van projecties bevindt. Segmenten a "a x, a" a y1 en Oa y zijn gelijk aan segment Aa, bepalen de afstand van punt A tot het horizontale vlak van projecties, segmenten aa x, a "a z en Oa y 1 zijn gelijk aan segment Aa", die bepaalt de afstand van punt A tot het frontale projectievlak.

De segmenten Oa x, Oa y en Oa z op de projectie-assen zijn een grafische weergave van de afmetingen van de X-, Y- en Z-coördinaten van punt A. De puntcoördinaten worden aangegeven met de index van de corresponderende letter. Door de grootte van deze segmenten te meten, kunt u de positie van het punt in de ruimte bepalen, d.w.z. de coördinaten van het punt instellen.

Op het diagram zijn de segmenten a "a x en aa x gerangschikt als één lijn loodrecht op de Ox-as, en de segmenten a" a z en a "a z - op de Oz-as. Deze lijnen worden projectieverbindingslijnen genoemd. Ze snijden de projectie-assen in respectievelijk de punten a x en z. De lijn van de projectieverbinding die de horizontale projectie van punt A verbindt met het profiel één bleek te zijn "gesneden" op het punt a y.

Twee projecties van hetzelfde punt bevinden zich altijd op dezelfde projectieverbindingslijn loodrecht op de projectie-as.

Om de positie van een punt in de ruimte weer te geven, zijn twee van zijn projecties en een gegeven oorsprong (punt O) voldoende. 4.14, b, twee projecties van een punt bepalen volledig zijn positie in de ruimte. Met behulp van deze twee projecties kunt u een profielprojectie van punt A bouwen. Daarom zullen in de toekomst, als er geen profielprojectie nodig is, diagrammen worden gebouwd op twee projectievlakken: V en H.

Rijst. 4.14. Rijst. 4.15.

Laten we eens kijken naar verschillende voorbeelden van het bouwen en lezen van een tekening van een punt.

voorbeeld 1 Bepaling van de coördinaten van het punt J gegeven op het diagram door twee projecties (Fig. 4.14). Er worden drie segmenten gemeten: segment Ov X (X-coördinaat), segment b X b (Y-coördinaat) en segment b X b "(Z-coördinaat). De coördinaten worden in de volgende volgorde geschreven: X, Y en Z, na de letteraanduiding van het punt, bijvoorbeeld , B20; 30; 15.

Voorbeeld 2. Constructie van een punt volgens de gegeven coördinaten. Punt C wordt gegeven door coördinaten C30; tien; 40. Zoek op de Ox-as (Fig. 4.15) een punt met x, waarop de lijn van de projectieverbinding de projectie-as snijdt. Om dit te doen, wordt de X-coördinaat (maat 30) uitgezet langs de Ox-as vanaf de oorsprong (punt O) en wordt een punt met x verkregen. Door dit punt, loodrecht op de Ox-as, wordt een projectieverbindingslijn getrokken en wordt de Y-coördinaat vastgelegd vanaf het punt (maat 10), het punt c wordt verkregen - de horizontale projectie van het punt C. De coördinaat Z (maat 40) wordt naar boven uitgezet vanaf het punt c x langs de projectieverbindingslijn (maat 40), het punt wordt verkregen c" - frontale projectie van punt C.

Voorbeeld 3. Constructie van een profielprojectie van een punt volgens de gegeven projecties. De projecties van het punt D - d en d zijn ingesteld. Door het punt O worden de projectie-assen Oz, Oy en Oy 1 getekend (Fig. 4.16, a), deze rechts achter de Oz-as. Op deze lijn komt de profielprojectie van het punt D. Deze bevindt zich op dezelfde afstand van de Oz-as als de horizontale projectie van het punt d: vanaf de Ox-as, dus op een afstand dd x. De segmenten d z d "en dd x zijn hetzelfde, omdat ze dezelfde afstand bepalen - de afstand van punt D tot het frontale projectievlak. Deze afstand is de Y-coördinaat van punt D.

Grafisch wordt het segment d z d " gebouwd door het segment dd x over te brengen van het horizontale vlak van projecties naar het profiel één. Om dit te doen, tekent u een lijn van projectieverbinding evenwijdig aan de Ox-as, krijgt u een punt d y op de Oy-as ( 4.16, b) Breng vervolgens de grootte van het segment Od y over naar de Oy 1-as, waarbij u vanuit het punt O een boog trekt met een straal gelijk aan het segment Od y, totdat deze de as Oy 1 snijdt (afb. 4.16, b), verkrijg het punt dy 1. Dit punt kan ook worden geconstrueerd, zoals weergegeven in Fig. 4.16, c, door een rechte lijn te trekken onder een hoek van 45° met de Oy-as vanaf het punt d y. Vanaf het punt d y1 teken een projectieverbindingslijn evenwijdig aan de Oz-as en leg er een segment op gelijk aan het segment d "d x, pak het punt d".

Het overbrengen van de waarde van het segment d x d naar het profielvlak van de projecties kan worden gedaan met behulp van een constante rechte lijntekening (Fig. 4.16, d). In dit geval wordt de projectieverbindingslijn dd y getrokken door de horizontale projectie van het punt evenwijdig aan de Oy 1-as totdat het een constante rechte lijn snijdt, en dan evenwijdig aan de Oy-as totdat het de voortzetting van de projectie snijdt verbindingslijn d "d z.

Bijzondere gevallen van de locatie van punten ten opzichte van projectievlakken

De positie van een punt ten opzichte van het projectievlak wordt bepaald door de overeenkomstige coördinaat, d.w.z. de waarde van het segment van de projectieverbindingslijn van de Ox-as naar de overeenkomstige projectie. Op afb. 4.17 de Y-coördinaat van punt A wordt bepaald door het segment aa x - de afstand van punt A tot vlak V. De Z-coördinaat van punt A wordt bepaald door het segment a "a x - de afstand van punt A tot vlak H. Als er één van de coördinaten nul is, dan ligt het punt op het projectievlak. Fig. 4.17 toont voorbeelden van verschillende locaties van punten ten opzichte van de projectievlakken. De Z-coördinaat van punt B is nul, het punt ligt in vlak H. De frontale projectie bevindt zich op de Ox-as en valt samen met punt b x. De Y-coördinaat van punt C is nul, het punt ligt op het vlak V, de horizontale projectie c ligt op de x-as en valt samen met het punt c x.

Daarom, als een punt op het projectievlak ligt, dan ligt een van de projecties van dit punt op de projectie-as.

Op afb. 4.17, de Z- en Y-coördinaten van punt D zijn nul, dus punt D ligt op de projectie-as Ox en zijn twee projecties vallen samen.

Een punt in de ruimte wordt gedefinieerd door twee van zijn projecties. Als het nodig is om een ​​derde projectie te bouwen volgens twee gegeven, is het noodzakelijk om de overeenstemming van de segmenten van de verkregen projectieverbindingslijnen te gebruiken bij het bepalen van de afstanden van een punt tot het projectievlak (zie Fig. 2.27 en Fig. 2.28).

Voorbeelden van probleemoplossing in het I-octant

Gegeven A1; een 2	Bouw een 3
Gegeven A2; een 3	Bouw een 1
Gegeven A1; een 3	Bouw een 2

Overweeg het algoritme voor het construeren van punt A (tabel 2.5)

Tabel 2.5

Algoritme voor het construeren van punt A
volgens de gegeven coördinaten A ( x = 5, ja = 20, z = -9)

In de volgende hoofdstukken zullen we afbeeldingen beschouwen: rechte lijnen en vlakken alleen in het eerste kwartaal. Hoewel alle beschouwde methoden in elk kwartaal kunnen worden toegepast.

bevindingen

Op basis van de theorie van G. Monge is het dus mogelijk om het ruimtelijke beeld van het beeld (punt) om te zetten in een vlak beeld.

Deze theorie is gebaseerd op de volgende punten:

1. De hele ruimte wordt in 4 kwarten verdeeld met behulp van twee onderling loodrechte vlakken p 1 en p 2, of in 8 octanten door een derde onderling loodrecht vlak p 3 toe te voegen.

2. Het beeld van een ruimtelijk beeld op deze vlakken wordt verkregen met behulp van een rechthoekige (orthogonale) projectie.

3. Om een ​​ruimtelijk beeld om te zetten in een vlak beeld, wordt aangenomen dat het p 2-vlak stationair is en dat het p 1-vlak rond de as roteert x zodat het positieve halve vlak p 1 samenvalt met het negatieve halve vlak p 2 , het negatieve deel van p 1 valt samen met het positieve deel p 2 .

4. Het p 3-vlak draait om de as z(snijlijnen van de vlakken) totdat ze uitgelijnd zijn met het vlak p 2 (zie Fig. 2.31).

Beelden verkregen op de vlakken p 1 , p 2 en p 3 met een rechthoekige projectie van beelden worden projecties genoemd.

De vlakken p 1 , p 2 en p 3 vormen samen met de daarop afgebeelde projecties een vlakke complexe tekening of diagrammen.

Lijnen die de projecties van het beeld ^ verbinden met de assen x, ja, z, worden projectielijnen genoemd.

Voor een meer nauwkeurige definitie van beelden in de ruimte kan een systeem van drie onderling loodrechte vlakken p 1 , p 2 , p 3 worden toegepast.

Afhankelijk van de toestand van het probleem, kunt u voor de afbeelding kiezen voor het systeem p 1 , p 2 of p 1 , p 2 , p 3 .

Het stelsel van vlakken p 1 , p 2 , p 3 kan worden aangesloten op het systeem van cartesiaanse coördinaten, waardoor het mogelijk is om objecten niet alleen grafisch of (verbaal) maar ook analytisch (met getallen) te specificeren.

Deze manier van afbeeldingen weergeven, in het bijzonder punten, maakt het mogelijk om positionele problemen op te lossen zoals:

• de locatie van het punt ten opzichte van de projectievlakken (algemene positie, behorend bij het vlak, as);
• positie van het punt in kwartieren (in welk kwartier het punt ligt);
• de positie van de punten ten opzichte van elkaar (hoger, lager, dichterbij, verder ten opzichte van de projectievlakken en de kijker);
• de positie van de puntprojecties ten opzichte van de projectievlakken (gelijke afstand, dichterbij, verder).

Metrische taken:

• gelijke afstand van de projectie tot de projectievlakken;
• de verhouding van projectieverwijdering uit de projectievlakken (2-3 keer, meer, minder);
• bepaling van de afstand van een punt tot de projectievlakken (bij invoering van een coördinatensysteem).

Vragen voor introspectie

1. De snijlijn van welke vlakken de as is z?

2. De snijlijn van welke vlakken de as is ja?

3. Hoe is de projectielijnverbinding van de frontale en profielprojectie van het punt gelokaliseerd? Tonen.

4. Welke coördinaten bepalen de positie van de puntprojectie: horizontaal, frontaal, profiel?

5. In welk kwartaal is punt F (10; -40; -20)? Van welk projectievlak is punt F het verst verwijderd?

6. De afstand van welke projectie tot welke as de afstand bepaalt van het punt tot het vlak p 1 ? Wat is de coördinaat van het punt is deze afstand?

Beschouw de projecties van punten op twee vlakken, waarvoor we twee loodrechte vlakken nemen (Fig. 4), die we de horizontale frontale en vlakken zullen noemen. De snijlijn van deze vlakken wordt de projectie-as genoemd. We projecteren één punt A op de beschouwde vlakken met behulp van een platte projectie. Om dit te doen, is het noodzakelijk om de loodlijnen Aa en A vanaf het gegeven punt op de beschouwde vlakken te verlagen.

Projectie op een horizontaal vlak heet bovenaanzicht punten MAAR, en de projectie a? op het frontale vlak heet frontprojectie.

Punten die in beschrijvende geometrie moeten worden geprojecteerd, worden meestal aangeduid met Latijnse hoofdletters. A, B, C. Kleine letters worden gebruikt om horizontale projecties van punten aan te duiden. a, b, c... Frontale projecties worden in kleine letters aangegeven met een streep bovenaan a?, b?, c?…

De aanduiding van punten met Romeinse cijfers I, II, ... wordt ook gebruikt, en voor hun projecties - met Arabische cijfers 1, 2 ... en 1?, 2? ...

Wanneer het horizontale vlak 90° wordt gedraaid, kan een tekening worden verkregen waarin beide vlakken in hetzelfde vlak liggen (Fig. 5). Deze foto heet punt plot.

Door loodrechte lijnen Ah en Ah? teken een vlak (Fig. 4). Het resulterende vlak staat loodrecht op de frontale en horizontale vlakken omdat het loodlijnen op deze vlakken bevat. Daarom staat dit vlak loodrecht op de snijlijn van de vlakken. De resulterende rechte lijn snijdt het horizontale vlak in een rechte lijn aa x, en het frontale vlak - in een rechte lijn toch? X. Rechte aah en toch? x staan ​​loodrecht op de snijas van de vlakken. D.w.z Aaah? is een rechthoek.

Bij het combineren van de horizontale en frontale projectievlakken a en a? zal op één loodrecht op de snijas van de vlakken liggen, aangezien wanneer het horizontale vlak roteert, de loodrechtheid van de segmenten aa x en toch? x is niet gebroken.

We krijgen dat op het projectiediagram a en a? een punt MAAR altijd op dezelfde loodlijn op de snijas van de vlakken liggen.

Twee projecties a en a? van een bepaald punt A kan op unieke wijze zijn positie in de ruimte bepalen (Fig. 4). Dit wordt bevestigd door het feit dat bij het construeren van een loodlijn van de projectie a naar het horizontale vlak, deze door punt A zal gaan. Evenzo zal de loodlijn van de projectie a? naar het frontale vlak gaat door het punt MAAR, d.w.z. punt MAAR ligt tegelijkertijd op twee duidelijke lijnen. Punt A is hun snijpunt, d.w.z. het is definitief.

Overweeg een rechthoek aaa X a?(Fig. 5), waarvoor de volgende beweringen waar zijn:

1) Puntafstand MAAR van het frontale vlak is gelijk aan de afstand van zijn horizontale projectie a vanaf de snijas van de vlakken, d.w.z.

Ah? = aa X;

2) puntafstand MAAR van het horizontale vlak van projecties is gelijk aan de afstand van zijn frontale projectie a? vanaf de snijas van de vlakken, d.w.z.

Ah = toch? X.

Met andere woorden, zelfs zonder het punt zelf op de plot, met alleen zijn twee projecties, kun je erachter komen op welke afstand van elk van de projectievlakken dit punt zich bevindt.

Het snijpunt van twee projectievlakken verdeelt de ruimte in vier delen, die worden genoemd kwartalen(Afb. 6).

De snijas van de vlakken verdeelt het horizontale vlak in twee kwarten - de voor- en achterkant, en het frontale vlak in de bovenste en onderste delen. Het bovenste deel van het frontale vlak en het voorste deel van het horizontale vlak worden beschouwd als de grenzen van het eerste kwartaal.

Na ontvangst van het diagram roteert het horizontale vlak en valt het samen met het frontale vlak (Fig. 7). In dit geval valt de voorkant van het horizontale vlak samen met de onderkant van het frontale vlak en de achterkant van het horizontale vlak met de bovenkant van het frontale vlak.

Figuren 8-11 tonen de punten A, B, C, D, die zich in verschillende delen van de ruimte bevinden. Punt A bevindt zich in het eerste kwartaal, punt B bevindt zich in het tweede, punt C bevindt zich in het derde en punt D bevindt zich in het vierde.

Wanneer de punten zich in het eerste of vierde kwartaal van hun horizontale projecties zich aan de voorkant van het horizontale vlak en op het diagram zullen ze onder de snijas van de vlakken liggen. Wanneer een punt zich in het tweede of derde kwartaal bevindt, zal zijn horizontale projectie op de achterkant van het horizontale vlak liggen en op het diagram boven de snijas van de vlakken.

Voorprojecties punten die zich in het eerste of tweede kwartaal bevinden, liggen op het bovenste deel van het frontale vlak en op het diagram bevinden ze zich boven de snijas van de vlakken. Wanneer een punt zich in het derde of vierde kwartaal bevindt, bevindt zijn frontale projectie zich onder de snijas van de vlakken.

Meestal wordt de figuur in echte constructies in het eerste kwart van de ruimte geplaatst.

In sommige specifieke gevallen kan het punt ( E) kan op een horizontaal vlak liggen (Fig. 12). In dit geval zullen de horizontale projectie e en het punt zelf samenvallen. De frontale projectie van zo'n punt bevindt zich op de as van het snijpunt van de vlakken.

In het geval dat het punt Tot ligt op het frontale vlak (Fig. 13), zijn horizontale projectie k ligt op de snijas van de vlakken, en de frontale k? toont de werkelijke locatie van dat punt.

Voor dergelijke punten is het teken dat het op een van de projectievlakken ligt, dat een van zijn projecties zich op de snijas van de vlakken bevindt.

Als een punt op de snijas van de projectievlakken ligt, vallen het en zijn beide projecties samen.

Als een punt niet op de projectievlakken ligt, heet het punt van algemene positie. In wat volgt, als er geen speciale markeringen zijn, is het punt in overweging een punt in algemene positie.

2. Gebrek aan projectie-as

Om uit te leggen hoe je op het model projecties kunt krijgen van een punt op loodrechte projectievlakken (Fig. 4), is het nodig om een ​​stuk dik papier te nemen in de vorm van een langwerpige rechthoek. Het moet tussen uitsteeksels worden gebogen. De vouwlijn geeft de as van het snijpunt van de vlakken weer. Als daarna het gebogen stuk papier weer wordt rechtgetrokken, krijgen we een diagram dat lijkt op het diagram in de afbeelding.

Door twee projectievlakken te combineren met het tekenvlak, kunt u de vouwlijn niet weergeven, d.w.z. teken niet de snijas van de vlakken op het diagram.

Wanneer u op een diagram construeert, moet u altijd projecties plaatsen a en a? punt A op één verticale lijn (Fig. 14), die loodrecht staat op de snijas van de vlakken. Daarom, zelfs als de positie van de as van het snijpunt van de vlakken ongedefinieerd blijft, maar de richting ervan is bepaald, kan de as van het snijpunt van de vlakken alleen loodrecht staan ​​op de rechte lijn in het diagram Ah?.

Als er geen projectie-as op het puntendiagram staat, zoals in de eerste figuur 14a, kun je je de positie van dit punt in de ruimte voorstellen. Teken hiervoor op een willekeurige plaats loodrecht op de lijn Ah? projectie-as, zoals in de tweede figuur (Fig. 14) en buig de tekening langs deze as. Als we de loodlijnen op de punten herstellen a en a? voordat ze elkaar kruisen, kun je een punt krijgen MAAR. Bij het veranderen van de positie van de projectie-as worden verschillende posities van het punt ten opzichte van de projectievlakken verkregen, maar de onzekerheid van de positie van de projectie-as heeft geen invloed op de relatieve positie van meerdere punten of figuren in de ruimte.

3. Projecties van een punt op drie projectievlakken

Beschouw het profielvlak van projecties. Projecties op twee loodrechte vlakken bepalen meestal de positie van de figuur en maken het mogelijk om de werkelijke afmetingen en vorm te achterhalen. Maar er zijn momenten waarop twee projecties niet genoeg zijn. Pas vervolgens de constructie van de derde projectie toe.

Het derde projectievlak is zo uitgevoerd dat het loodrecht op beide projectievlakken tegelijk staat (afb. 15). Het derde vlak heet profiel.

In dergelijke constructies wordt de gemeenschappelijke lijn van de horizontale en frontale vlakken genoemd as X , de gemeenschappelijke lijn van de horizontale en profielvlakken - as Bij , en de gemeenschappelijke rechte lijn van de frontale en profielvlakken - as z . Punt O, die tot alle drie de vlakken behoort, wordt het punt van oorsprong genoemd.

Afbeelding 15a toont het punt MAAR en drie van zijn projecties. Projectie op het profielvlak ( a??) worden genoemd profiel projectie en duiden op a??.

Om een ​​diagram van punt A te verkrijgen, dat uit drie projecties bestaat een, een a, het is noodzakelijk om de trihedron gevormd door alle vlakken langs de y-as (Fig. 15b) te snijden en al deze vlakken te combineren met het vlak van de frontale projectie. Het horizontale vlak moet om de as worden gedraaid X, en het profielvlak bevindt zich in de buurt van de as z in de richting aangegeven door de pijl in afbeelding 15.

Afbeelding 16 toont de positie van de uitsteeksels eh, hoezo? en a?? punten MAAR, verkregen als resultaat van het combineren van alle drie de vlakken met het tekenvlak.

Als gevolg van de snede komt de y-as op twee verschillende plaatsen in het diagram voor. Op een horizontaal vlak (Fig. 16) neemt het een verticale positie in (loodrecht op de as X), en op het profielvlak - horizontaal (loodrecht op de as z).

Afbeelding 16 toont drie projecties eh, hoezo? en a?? punten A hebben een strikt gedefinieerde positie op het diagram en zijn onderworpen aan ondubbelzinnige voorwaarden:

a en a? moet zich altijd op één verticale rechte lijn loodrecht op de as bevinden X;

a? en a?? moet zich altijd op dezelfde horizontale lijn loodrecht op de as bevinden z;

3) wanneer getekend door een horizontale projectie en een horizontale lijn, maar door een profielprojectie a??- een verticale rechte lijn, de geconstrueerde lijnen zullen elkaar noodzakelijkerwijs snijden op de bissectrice van de hoek tussen de projectie-assen, aangezien de figuur Oa Bij a 0 a n is een vierkant.

Bij het construeren van drie projecties van een punt is het noodzakelijk om voor elk punt te controleren of aan alle drie de voorwaarden is voldaan.

4. Puntcoördinaten

De positie van een punt in de ruimte kan worden bepaald met behulp van drie getallen die zijn . worden genoemd coördinaten. Elke coördinaat komt overeen met de afstand van een punt tot een projectievlak.

Punt afstand MAAR naar het profielvlak is de coördinaat X, waarin X = toch?(Fig. 15), de afstand tot het frontale vlak - door de coördinaat y, en y = toch?, en de afstand tot het horizontale vlak is de coördinaat z, waarin z = aA.

In figuur 15 beslaat punt A de breedte van een rechthoekige doos, en de afmetingen van deze doos komen overeen met de coördinaten van dit punt, d.w.z. elk van de coördinaten wordt vier keer weergegeven in figuur 15, d.w.z.:

x \u003d a? A \u003d Oa x \u003d a y a \u003d a z a?;

y \u003d a? A \u003d Oa y \u003d a x a \u003d a z a?;

z = aA = Oa z = a x een? = een ja?.

In het diagram (Fig. 16) komen de x- en z-coördinaten drie keer voor:

x \u003d a z a? \u003d Oa x \u003d a y a,

z = een x een? = Oa z = een y a?.

Alle segmenten die overeenkomen met de coördinaat X(of z) zijn evenwijdig aan elkaar. Coördineren Bij twee keer weergegeven door de verticale as:

y \u003d Oa y \u003d a x a

en tweemaal - horizontaal geplaatst:

y \u003d Oa y \u003d a z a?.

Dit verschil is ontstaan ​​doordat de y-as in twee verschillende posities op het diagram staat.

Opgemerkt moet worden dat de positie van elke projectie op het diagram wordt bepaald door slechts twee coördinaten, namelijk:

1) horizontaal - coördinaten X en Bij,

2) frontaal - coördinaten x en z,

3) profiel - coördinaten Bij en z.

Coördinaten gebruiken x, ja en z, kunt u projecties van een punt op het diagram maken.

Als punt A wordt gegeven door coördinaten, wordt hun record als volgt gedefinieerd: A ( X; j; z).

Bij het construeren van puntprojecties MAAR de volgende voorwaarden moeten worden gecontroleerd:

1) horizontale en frontale projecties a en a? X X;

2) frontale en profielprojecties a? en a? moet zich op dezelfde loodrecht op de as bevinden z, omdat ze een gemeenschappelijke coördinaat hebben z;

3) horizontale projectie en ook verwijderd van de as X, zoals de profielprojectie a weg van de as z, sinds de projectie ah? en toch? een gemeenschappelijke coördinaat hebben Bij.

Als het punt in een van de projectievlakken ligt, dan is een van zijn coördinaten gelijk aan nul.

Wanneer een punt op de projectie-as ligt, zijn de twee coördinaten nul.

Als een punt in de oorsprong ligt, zijn alle drie de coördinaten nul.

Het is bekend dat de oppervlakken van veelvlakken beperkt zijn tot platte figuren. Daarom zijn punten die op het oppervlak van een veelvlak door ten minste één projectie worden gegeven, in het algemeen bepaalde punten. Hetzelfde geldt voor de oppervlakken van andere geometrische lichamen: cilinder, kegel, bal en torus, begrensd door gebogen oppervlakken.

Laten we overeenkomen om zichtbare punten die op het oppervlak van het lichaam liggen af ​​te beelden als cirkels, onzichtbare punten als zwarte cirkels (stippen); Zichtbare lijnen worden weergegeven als ononderbroken lijnen en onzichtbare lijnen als stippellijnen.

Laat de horizontale projectie A 1 van punt A liggend op het oppervlak van een recht driehoekig prisma worden gegeven (Fig. 162, a).

TBegin-->TEnd-->

Zoals uit de tekening blijkt, zijn de voorste en achterste bases van het prisma evenwijdig aan het frontale projectievlak P 2 en worden ze erop geprojecteerd zonder vervorming, het onderste zijvlak van het prisma is evenwijdig aan het horizontale projectievlak P 1 en wordt ook zonder vervorming geprojecteerd. De zijranden van het prisma zijn frontaal uitstekende rechte lijnen, daarom worden ze geprojecteerd op het frontale projectievlak P2 in de vorm van punten.

Sinds de projectie A 1 . wordt weergegeven door een lichtcirkel, dan is punt A zichtbaar en bevindt zich daarom aan de rechterkant van het prisma. Dit vlak is een frontaal projectievlak en de frontale projectie A2 van het punt moet samenvallen met de frontale projectie van het door een rechte lijn weergegeven vlak.

Nadat we een constante rechte lijn k 123 hebben getrokken, vinden we de derde projectie A 3 van punt A. Wanneer geprojecteerd op het profielvlak van projecties, zal punt A onzichtbaar zijn, daarom wordt punt A 3 weergegeven als een zwarte cirkel. Het specificeren van een punt door frontale projectie B2 is niet gedefinieerd, aangezien het niet de afstand van punt B vanaf de voorste basis van het prisma bepaalt.

Laten we een isometrische projectie maken van het prisma en punt A (Fig. 162, b). Het is handig om vanaf de voorkant van het prisma met de constructie te beginnen. We bouwen een driehoek van de basis volgens de afmetingen uit de complexe tekening; langs de y-as "zetten we de grootte van de prismarand opzij. We bouwen het axonometrische beeld A" van punt A met behulp van de coördinaatpolylijn die in beide tekeningen is omcirkeld met een dubbele dunne lijn.

Laat de frontale projectie C 2 van punt C worden gegeven, liggend op het oppervlak van een regelmatige vierhoekige piramide, gegeven door twee hoofdprojecties (Fig. 163, a). Het is nodig om drie projecties van punt C te bouwen.

Uit de frontale projectie is te zien dat de top van de piramide hoger is dan de vierkante basis van de piramide. Onder deze voorwaarde zullen alle vier zijvlakken zichtbaar zijn wanneer ze worden geprojecteerd op het horizontale projectievlak П 1 . Bij projectie op het frontale projectievlak P 2 is alleen de voorkant van de piramide zichtbaar. Aangezien de projectie C2 in de tekening is weergegeven als een lichtcirkel, is het punt C zichtbaar en behoort het tot het voorvlak van de piramide. Om een ​​horizontale projectie C 1 te bouwen, trekken we een hulplijn D 2 E 2 door het punt C 2, evenwijdig aan de lijn van de basis van de piramide. We vinden zijn horizontale projectie D 1 E 1 en punt C 1. Als er een derde projectie van de piramide is, vinden we de horizontale projectie van punt C 1 eenvoudiger: nadat we de profielprojectie C 3 hebben gevonden, bouwen we de derde één met twee projecties met horizontale en horizontaal-verticale communicatielijnen. De voortgang van de bouw is in de tekening weergegeven met pijlen.

TBegin-->
Neiging-->

Laten we een dimetrische projectie van de piramide en punt C bouwen (Fig. 163, b). We bouwen de basis van de piramide; hiervoor tekenen we door het punt O "genomen op de r-as", de x"- en y"-assen; op de x-as "zetten we de werkelijke afmetingen van de basis opzij, en op de y-as" - gehalveerd. Door de verkregen punten trekken we rechte lijnen evenwijdig aan de assen x "en y". Op de z-as plotten we de hoogte van de piramide; we verbinden het resulterende punt met de punten van de basis, rekening houdend met de zichtbaarheid van de randen. Om punt C te construeren, gebruiken we de coördinaat polylijn omcirkeld in de tekeningen door een dubbele dunne lijn. Om de nauwkeurigheid van de oplossing te controleren, trekken we een rechte lijn D "E" door het gevonden punt C, parallelle x-as". De lengte moet gelijk zijn aan de lengte van de rechte lijn D 2 E 2 (of D 1 E 1).

De positie van een punt in de ruimte kan worden gespecificeerd door zijn twee orthogonale projecties, bijvoorbeeld horizontaal en frontaal, frontaal en profiel. De combinatie van twee willekeurige orthogonale projecties stelt u in staat om de waarde van alle coördinaten van een punt te achterhalen, een derde projectie te bouwen en het octant te bepalen waarin het zich bevindt. Laten we eens kijken naar enkele typische taken uit het verloop van de beschrijvende meetkunde.

Volgens de gegeven complexe tekening van de punten A en B is het noodzakelijk:

Laten we eerst de coördinaten van punt A bepalen, dat kan worden geschreven in de vorm A (x, y, z). De horizontale projectie van punt A is punt A ", met coördinaten x, y. Trek vanuit punt A" de loodlijnen op de x, y-assen en vind respectievelijk A x, A y. De x-coördinaat voor punt A is gelijk aan de lengte van het segment A x O met een plusteken, aangezien A x in het gebied van positieve x-aswaarden ligt. Rekening houdend met de schaal van de tekening, vinden we x \u003d 10. De y-coördinaat is gelijk aan de lengte van het segment A y O met een minteken, aangezien t. A y ligt in het gebied van negatieve y-aswaarden . Gezien de schaal van de tekening, y = -30. De frontale projectie van punt A - punt A"" heeft x- en z-coördinaten. Laten we de loodlijn van A"" naar de z-as laten vallen en A z vinden. De z-coördinaat van punt A is gelijk aan de lengte van het segment A z O met een minteken, aangezien A z in het gebied van negatieve waarden van de z-as ligt. Gezien de schaal van de tekening, z = -10. De coördinaten van punt A zijn dus (10, -30, -10).

De coördinaten van punt B kunnen worden geschreven als B (x, y, z). Overweeg de horizontale projectie van punt B - punt B. "Omdat het op de x-as ligt, dan B x \u003d B" en de coördinaat B y \u003d 0. De abscis x van punt B is gelijk aan de lengte van het segment B x O met een plusteken. Rekening houdend met de schaal van de tekening, x = 30. De frontale projectie van het punt B - punt B˝ heeft de coördinaten x, z. Trek een loodlijn van B"" naar de z-as, en vind zo B z . De applicate z van punt B is gelijk aan de lengte van het segment B z O met een minteken, aangezien B z in het gebied van negatieve waarden van de z-as ligt. Rekening houdend met de schaal van de tekening, bepalen we de waarde z = -20. Dus de B-coördinaten zijn (30, 0, -20). Alle benodigde constructies zijn weergegeven in de onderstaande afbeelding.

Constructie van projecties van punten

De punten A en B in het P3-vlak hebben de volgende coördinaten: A""" (y, z); B""" (y, z). In dit geval liggen A"" en A""" op dezelfde loodlijn op de z-as, aangezien ze een gemeenschappelijke z-coördinaat hebben. Op dezelfde manier liggen B"" en B""" op een gemeenschappelijke loodlijn naar de z-as. Om de profielprojectie van t. A te vinden, leggen we langs de y-as de waarde van de corresponderende coördinaat die eerder is gevonden opzij. In de figuur wordt dit gedaan met behulp van een cirkelboog met straal A y O. Daarna tekenen we een loodlijn van A y naar het snijpunt met de loodlijn hersteld van het punt A "" naar de z-as. Het snijpunt van deze twee loodlijnen bepaalt de positie van A""".

Punt B""" ligt op de z-as, aangezien de y-ordinaat van dit punt nul is. Om de profielprojectie van punt B in dit probleem te vinden, is het alleen nodig om een ​​loodlijn te tekenen van B"" naar de z -as Het snijpunt van deze loodlijn met de z-as is B """.

De positie van punten in de ruimte bepalen

Als u zich visueel een ruimtelijke lay-out voorstelt die bestaat uit projectievlakken P 1, P 2 en P 3, de locatie van octanten, evenals de volgorde van transformatie van de lay-out in diagrammen, kunt u direct bepalen dat t. A zich in octant III bevindt, en t. B ligt in het vlak P 2 .

Een andere optie om dit probleem op te lossen is de methode van uitzonderingen. De coördinaten van punt A zijn bijvoorbeeld (10, -30, -10). De positieve abscis x maakt het mogelijk te beoordelen dat het punt in de eerste vier octanten ligt. Een negatieve y-ordinaat geeft aan dat het punt in het tweede of derde octant ligt. Ten slotte geeft de negatieve toepassing van z aan dat punt A zich in het derde octant bevindt. De gegeven redenering wordt duidelijk geïllustreerd door de volgende tabel.

Octanten	Coördinatentekens
	x	ja	z
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

Punt B-coördinaten (30, 0, -20). Aangezien de ordinaat van t. B gelijk is aan nul, ligt dit punt in het projectievlak П 2 . De positieve abscis en de negatieve applicate van punt B geven aan dat het zich op de grens van het derde en vierde octant bevindt.

Constructie van een visueel beeld van punten in het stelsel van vlakken P 1, P 2, P 3

Met behulp van de frontale isometrische projectie hebben we een ruimtelijke lay-out van het derde octant gebouwd. Het is een rechthoekige trihedron, waarvan de vlakken de vlakken P 1, P 2, P 3 zijn, en de hoek (-y0x) is 45 . In dit systeem worden segmenten langs de x-, y-, z-assen op volledige grootte uitgezet zonder vervorming.

De constructie van een visueel beeld van punt A (10, -30, -10) begint met zijn horizontale projectie A ". Nadat we de corresponderende coördinaten langs de abscis en ordinaat opzij hebben gezet, vinden we de punten A x en A y. snijpunt van loodlijnen hersteld van respectievelijk A x en A y naar de x- en y-assen bepaalt de positie van punt A". Door van A" evenwijdig aan de z-as naar zijn negatieve waarden het segment AA" te plaatsen, waarvan de lengte gelijk is aan 10, vinden we de positie van punt A.

Een visueel beeld van punt B (30, 0, -20) wordt op een vergelijkbare manier geconstrueerd - in het P 2-vlak moeten de overeenkomstige coördinaten langs de x- en z-assen worden uitgezet. Het snijpunt van de loodlijnen gereconstrueerd uit B x en B z zal de positie van punt B bepalen.