Vind de algemene oplossing van een normaal stelsel differentiaalvergelijkingen. Hoe een stelsel differentiaalvergelijkingen op te lossen met behulp van de operationele methode? Algemene methode voor het oplossen van soda met constante coëfficiënten

We hebben besloten deze sectie te wijden aan het oplossen van stelsels van differentiaalvergelijkingen van de eenvoudigste vorm d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 , waarin a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 zijn enkele reële getallen. Het meest effectief voor het oplossen van dergelijke stelsels van vergelijkingen is de integratiemethode. Laten we ook een voorbeeldoplossing over het onderwerp bekijken.

De oplossing voor het stelsel differentiaalvergelijkingen is een paar functies x (t) en y (t) , die beide vergelijkingen van het stelsel in een identiteit kunnen veranderen.

Beschouw de methode voor het integreren van het stelsel differentiaalvergelijkingen d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 . We drukken x uit uit de 2e vergelijking van het systeem om de onbekende functie x (t) uit de 1e vergelijking uit te sluiten:

d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 ⇒ x = 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2

Laten we de 2e vergelijking differentiëren met betrekking tot t en los de vergelijking op voor d x d t:

d 2 y d t 2 = a 2 d x d t + b 2 d y d t ⇒ d x d t = 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t

Laten we nu het resultaat van de vorige berekeningen vervangen door de eerste vergelijking van het systeem:

d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 ⇒ 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t = a 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2 + b 1 y + c 1 ⇔ d 2 y d t 2 - (a 1 + b 2) d y d t + (a 1 b 2 - a 2 b 1) y = a 2 c 1 - a 1 c 2

We hebben dus de onbekende functie x (t) geëlimineerd en een lineaire inhomogene DE van de 2e orde met constante coëfficiënten verkregen. Laten we de oplossing van deze vergelijking y (t) zoeken en deze vervangen door de 2e vergelijking van het systeem. Laten we vinden x(t). We nemen aan dat dit de oplossing van het stelsel vergelijkingen voltooit.

voorbeeld 1

Vind de oplossing van het stelsel differentiaalvergelijkingen d x d t = x - 1 d y d t = x + 2 y - 3

Beslissing

Laten we beginnen met de eerste vergelijking van het systeem. Laten we het oplossen met betrekking tot x:

x = d y d t - 2 y + 3

Nu voeren we differentiatie uit van de 2e vergelijking van het stelsel, waarna we deze oplossen met betrekking tot d x d t:

We kunnen het in de loop van de berekeningen verkregen resultaat vervangen door de eerste vergelijking van het DE-systeem:

d x d t = x - 1 d 2 y d t 2 - 2 d y d t = d y d t - 2 y + 3 - 1 d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

Als resultaat van de transformaties hebben we een lineaire niet-homogene differentiaalvergelijking van de 2e orde verkregen met constante coëfficiënten d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2 . Als we de algemene oplossing vinden, krijgen we de functie j(t).

We kunnen de algemene oplossing van de corresponderende LODE y 0 vinden door de wortels van de karakteristieke vergelijking k 2 - 3 k + 2 = 0 te berekenen:

D \u003d 3 2 - 4 2 \u003d 1 k 1 \u003d 3 - 1 2 \u003d 1 k 2 \u003d 3 + 1 2 \u003d 2

De wortels die we hebben ontvangen zijn geldig en onderscheiden. In dit opzicht zal de algemene oplossing voor de LODE de vorm hebben y 0 = C 1 · e t + C 2 · e 2 t .

Laten we nu een bepaalde oplossing vinden van de lineaire inhomogene DE y ~ :

d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

De rechterkant van de vergelijking is een polynoom van graad nul. Dit betekent dat we een bepaalde oplossing zoeken in de vorm y ~ = A , waarbij A een onbepaalde coëfficiënt is.

We kunnen de onbepaalde coëfficiënt bepalen uit de gelijkheid d 2 y ~ d t 2 - 3 d y ~ d t + 2 y ~ = 2:
d 2 (A) d t 2 - 3 d (A) d t + 2 A = 2 2 A = 2 ⇒ A = 1

Dus y ~ = 1 en y (t) = y 0 + y ~ = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 . We hebben één onbekende functie gevonden.

Nu vervangen we de gevonden functie in de 2e vergelijking van het DE-systeem en lossen we de nieuwe vergelijking op met betrekking tot x(t):
d (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) d t = x + 2 (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) - 3 C 1 e t + 2 C 2 e 2 t = x + 2 C 1 e t + 2 C 2 e 2 t - 1 x = - C 1 e t + 1

Dus berekenden we de tweede onbekende functie x (t) = - C 1 · e t + 1 .

Antwoord: x (t) = - C 1 e t + 1 y (t) = C 1 e t + C 2 e 2 t + 1

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

Veel stelsels van differentiaalvergelijkingen, zowel homogeen als inhomogeen, kunnen worden teruggebracht tot één vergelijking met betrekking tot één onbekende functie. Laten we de methode met voorbeelden laten zien.

Voorbeeld 3.1. Los het systeem op

Beslissing. 1) Differentiëren met betrekking tot t eerste vergelijking en de tweede en derde vergelijking gebruiken om te vervangen en , we vinden

De resulterende vergelijking is differentieerbaar met betrekking tot nog een keer

1) We maken een systeem

Uit de eerste twee vergelijkingen van het systeem drukken we de variabelen uit en door
:

Laten we de gevonden uitdrukkingen vervangen door en in de derde vergelijking van het systeem

Dus, om de functie te vinden
een differentiaalvergelijking van de derde orde verkregen met constante coëfficiënten

.

2) We integreren de laatste vergelijking volgens de standaardmethode: we stellen de karakteristieke vergelijking samen
, vind zijn wortels
en bouw een algemene oplossing in de vorm van een lineaire combinatie van exponenten, rekening houdend met de veelvoud van een van de wortels:.

3) Volgende om de twee resterende functies te vinden
en
, differentiëren we de tweemaal verkregen functie

Met behulp van verbindingen (3.1) tussen de systeemfuncties herstellen we de resterende onbekenden

.

Antwoord. ,
,.

Het kan blijken dat alle bekende functies, op één na, zelfs na een enkele differentiatie van het derde-ordesysteem worden uitgesloten. In dit geval zal de volgorde van de differentiaalvergelijking voor het vinden ervan kleiner zijn dan het aantal onbekende functies in het oorspronkelijke systeem.

Voorbeeld 3.2. Integreer het systeem

(3.2)

Beslissing. 1) Differentiëren met betrekking tot eerste vergelijking vinden we

Variabelen uitsluiten en uit de vergelijkingen

we zullen een tweede-orde vergelijking hebben met betrekking tot

(3.3)

2) Uit de eerste vergelijking van stelsel (3.2) hebben we

(3.4)

Substitueren in de derde vergelijking van stelsel (3.2) de gevonden uitdrukkingen (3.3) en (3.4) for en , verkrijgen we een differentiaalvergelijking van de eerste orde om de functie te bepalen

Als we deze inhomogene vergelijking integreren met constante coëfficiënten van de eerste orde, vinden we:
Met behulp van (3.4) vinden we de functie

Antwoord.
,,
.

Taak 3.1. Los homogene systemen op door te reduceren tot één differentiaalvergelijking.

3.1.1. 3.1.2.

3.1.3. 3.1.4.

3.1.5. 3.1.6.

3.1.7. 3.1.8.

3.1.9. 3.1.10.

3.1.11. 3.1.12.

3.1.13. 3.1.14.

3.1.15. 3.1.16.

3.1.17. 3.1.18.

3.1.19. 3.1.20.

3.1.21. 3.1.22.

3.1.23. 3.1.24.

3.1.25. 3.1.26.

3.1.27. 3.1.28.

3.1.29.
3.1.30.

3.2. Systemen van lineaire homogene differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten oplossen door een fundamenteel systeem van oplossingen te vinden

De algemene oplossing van een stelsel van lineaire homogene differentiaalvergelijkingen kan gevonden worden als een lineaire combinatie van de fundamentele oplossingen van het stelsel. In het geval van systemen met constante coëfficiënten kunnen lineaire algebramethoden worden gebruikt om fundamentele oplossingen te vinden.

Voorbeeld 3.3. Los het systeem op

(3.5)

Beslissing. 1) Herschrijf het systeem in matrixvorm

. (3.6)

2) We zoeken een fundamentele oplossing van het systeem in de vorm van een vector
. Functies vervangen
in (3.6) en verminderen met , we krijgen

, (3.7)

dat is het nummer moet een eigenwaarde van de matrix zijn
, en de vector bijbehorende eigenvector.

3) Uit het verloop van lineaire algebra is bekend dat het systeem (3.7) een niet-triviale oplossing heeft als de determinant gelijk is aan nul

,

d.w.z. Vanaf hier vinden we de eigenwaarden
.

4) Zoek de bijbehorende eigenvectoren. Substitueren in (3.7) de eerste waarde
, verkrijgen we een systeem voor het vinden van de eerste eigenvector

Vanaf hier krijgen we de verbinding tussen de onbekenden
. Het volstaat voor ons om één niet-triviale oplossing te kiezen. Ervan uitgaand
, dan
, dat wil zeggen, de vector is eigenwaarde voor eigenwaarde
, en de functievector
fundamentele oplossing van het gegeven stelsel differentiaalvergelijkingen (3.5). Evenzo, bij het vervangen van de tweede wortel
in (3.7) hebben we de matrixvergelijking voor de tweede eigenvector
. Waar halen we de verbinding tussen de componenten vandaan?
. We hebben dus de tweede fundamentele oplossing:

.

5) De algemene oplossing van systeem (3.5) is geconstrueerd als een lineaire combinatie van twee verkregen fundamentele oplossingen

of in coördinaatvorm

.

Antwoord.

.

Taak 3.2. Los systemen op door het fundamentele systeem van oplossingen te vinden.

Matrixnotatie voor een stelsel van gewone differentiaalvergelijkingen (SODE) met constante coëfficiënten

Lineaire homogene SODE met constante coëfficiënten $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =a_(11) \cdot y_(1) +a_(12) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(1n) \cdot y_(n) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dx) =a_(21) \cdot y_(1) +a_(22) \cdot y_(2) +\ldots +a_(2n) \cdot y_(n) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) =a_(n1) \cdot y_(1) +a_(n2) \cdot y_(2) +\ldots +a_(nn) \cdot y_(n) ) \end(array)\right.$,

waarbij $y_(1) \left(x\right),\; y_(2) \links(x\rechts),\; \ldots ,\; y_(n) \left(x\right)$ -- gewenste functies van de onafhankelijke variabele $x$, coëfficiënten $a_(jk) ,\; 1\le j,k\le n$ -- we vertegenwoordigen de gegeven reële getallen in matrixnotatie:

1. matrix van gewenste functies $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) \left(x\right)) \\ (y_(2) \left(x\right)) \\ (\ ldots ) \\ (y_(n) \left(x\right)) \end(array)\right)$;
2. afgeleide beslissingsmatrix $\frac(dY)(dx) =\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dx ) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) ) \end(array)\right)$;
3. SODE-coëfficiëntmatrix $A=\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) ) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & ( a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) ) \end(array)\right)$.

Nu, gebaseerd op de regel van matrixvermenigvuldiging, kan deze SODE worden geschreven als een matrixvergelijking $\frac(dY)(dx) =A\cdot Y$.

Algemene methode voor het oplossen van SODE's met constante coëfficiënten

Laat er een matrix zijn van enkele getallen $\alpha =\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ ( \alpha _ (n) ) \end(array)\right)$.

SODE-oplossing wordt gevonden in de volgende vorm: $y_(1) =\alpha _(1) \cdot e^(k\cdot x) $, $y_(2) =\alpha _(2) \cdot e^( k\ cdot x) $, \dots , $y_(n) =\alpha _(n) \cdot e^(k\cdot x) $. In matrixvorm: $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array )\right)=e^(k\cdot x) \cdot \left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)$.

Vanaf hier krijgen we:

Nu kan de matrixvergelijking van deze SODE de vorm krijgen:

De resulterende vergelijking kan als volgt worden weergegeven:

De laatste gelijkheid laat zien dat de vector $\alpha $ met behulp van de matrix $A$ wordt omgezet in de vector $k\cdot \alpha $ parallel daaraan. Dit betekent dat de vector $\alpha $ een eigenvector is van de matrix $A$ die overeenkomt met de eigenwaarde $k$.

Het getal $k$ kan worden bepaald met de vergelijking $\left|\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ ( a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ ( a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\right|=0$.

Deze vergelijking wordt karakteristiek genoemd.

Laat alle wortels $k_(1) ,k_(2) ,\ldots ,k_(n) $ van de karakteristieke vergelijking verschillend zijn. Voor elke $k_(i)$ waarde van $\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n)) \ \ (a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \ \ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) ( \alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)=0$ een matrix van waarden kan worden gedefinieerd $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(i\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(i\right) )) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(i\right)) ) \end(array)\right)$.

Een van de waarden in deze matrix is ​​willekeurig gekozen.

Ten slotte wordt de oplossing van dit systeem in matrixvorm als volgt geschreven:

$\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array)\right)=\ left(\begin(array)(cccc) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) & (\ ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^ (\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(k_ (1) \cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(k_(2) \cdot x) ) \\ (\ldots ) \\ (C_(n) \cdot e^(k_(n ) \cdot x) ) \end(array)\right)$,

waarbij $C_(i) $ willekeurige constanten zijn.

Taak

Los het systeem $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =5\cdot y_(1) +4y_(2) ) \\ (\frac(dy_( 2) )(dx) =4\cdot y_(1) +5\cdot y_(2) ) \end(array)\right.$.

Schrijf de systeemmatrix: $A=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)$.

In matrixvorm wordt deze SODE als volgt geschreven: $\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dt) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dt) ) \end (array)\right)=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)\cdot \left( \begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\right)$.

We krijgen de karakteristieke vergelijking:

$\left|\begin(array)(cc) (5-k) & (4) \\ (4) & (5-k) \end(array)\right|=0$ d.w.z. $k^( 2) -10\cdot k+9=0$.

De wortels van de karakteristieke vergelijking: $k_(1) =1$, $k_(2) =9$.

We stellen een systeem samen voor het berekenen van $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 1\ rechts))) \end(array)\right)$ voor $k_(1) =1$:

\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(1) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(1) ) \end(array)\right)\cdot \ left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) \end (array)\right)=0,\]

d.w.z. $\left(5-1\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right)) = 0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +\left(5-1\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right) ) =0$.

Als we $\alpha _(1)^(\left(1\right)) =1$ zetten, krijgen we $\alpha _(2)^(\left(1\right)) =-1$.

We stellen een systeem samen voor het berekenen van $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 2\ rechts))) \end(array)\right)$ voor $k_(2) =9$:

\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(2) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(2) ) \end(array)\right)\cdot \ left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) \end (array)\right)=0, \]

d.w.z. $\left(5-9\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right)) = 0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +\left(5-9\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right) ) =0$.

Als we $\alpha _(1)^(\left(2\right)) =1$ zetten, krijgen we $\alpha _(2)^(\left(2\right)) =1$.

We verkrijgen de SODE-oplossing in matrixvorm:

\[\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-1) & (1) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(1\cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \end(array)\right).\]

In de gebruikelijke vorm is de SODE-oplossing: $\left\(\begin(array)(c) (y_(1) =C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^ (9\cdot x) ) \\ (y_(2) =-C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \end (matrix )\right.$.

vergelijkingen.

Invoering.

Bij veel problemen van wiskunde, natuurkunde en technologie is het nodig om verschillende functies te definiëren die onderling zijn verbonden door verschillende differentiaalvergelijkingen.

Hiervoor is het nodig om over het algemeen hetzelfde aantal vergelijkingen te hebben. Als elk van deze vergelijkingen differentieel is, dat wil zeggen, het heeft de vorm van een relatie die onbekende functies en hun afgeleiden verbindt, dan zeggen ze over het stelsel differentiaalvergelijkingen.

1. Normaal stelsel differentiaalvergelijkingen van de eerste orde. Cauchy-probleem.

Definitie. Een stelsel van differentiaalvergelijkingen is een verzameling vergelijkingen die verschillende onbekende functies en hun afgeleiden bevat, en elk van de vergelijkingen bevat ten minste één afgeleide.

Een systeem van differentiaalvergelijkingen wordt lineair genoemd als de onbekende functies en hun afgeleiden elk van de vergelijkingen slechts tot de eerste graad binnenkomen.

Het lineaire systeem heet normaal, als het is toegestaan ​​met betrekking tot alle derivaten

In een normaal systeem bevatten de rechterkant van de vergelijkingen geen afgeleiden van de gewenste functies.

Beslissing systeem van differentiaalvergelijkingen heet een reeks functies https://pandia.ru/text/78/145/images/image003_45.gif" width="261" height="24 src="> beginvoorwaarden voor een stelsel differentiaalvergelijkingen.

Vaak zijn de beginvoorwaarden geschreven in de vorm

De algemene oplossing (integraal ) stelsel van differentiaalvergelijkingen heet de verzameling « n» functies van de onafhankelijke variabele x en « n» willekeurige constanten C1 , C2 , …, Cn:

..……………………..

die voldoen aan alle vergelijkingen van dit systeem.

Om een ​​bepaalde oplossing van het systeem te krijgen die aan de gegeven beginvoorwaarden voldoet, zou https://pandia.ru/text/78/145/images/image008_18.gif" width="44" height="24"> de gegeven waarden aannemen .

Het Cauchy-probleem voor een normaal stelsel differentiaalvergelijkingen wordt als volgt geschreven

Bestaan ​​en uniciteit stelling voor de oplossing van het Cauchy-probleem.

Voor een normaal stelsel van differentiaalvergelijkingen (1) wordt de stelling van Cauchy voor het bestaan ​​en de uniciteit van een oplossing als volgt geformuleerd:

Stelling. Laat de juiste delen van de vergelijkingen van systeem (1), d.w.z. de functies , (i=1,2,…, n) zijn continu in alle variabelen in een bepaald domein D en heeft daarin continue partiële afgeleiden https://pandia.ru/text/78/145/images/image003_45.gif" width="261 height=24" height="24"> behorend tot de regio D, er is maar één systeemoplossing (1) https://pandia.ru/text/78/145/images/image013_11.gif" width="284" height="24 src=">.

2. Oplossing van het normale systeem door de eliminatiemethode.

Om een ​​normaal stelsel differentiaalvergelijkingen op te lossen, wordt de methode van het elimineren van onbekenden of de Cauchy-methode gebruikt.

Laat een normaal systeem worden gegeven

Onderscheid met betrekking tot X de eerste vergelijking van het systeem

https://pandia.ru/text/78/145/images/image015_5.gif" width="123" height="43 src="> hun uitdrukkingen uit het systeem van vergelijkingen (1), we zullen hebben

We differentiëren de resulterende vergelijking en gaan op dezelfde manier te werk als de vorige, we vinden:

Dus we hebben het systeem

(2)

Van de eerste n-1 vergelijkingen die we definiëren ja2 , ja3 , … , yn , ze uitdrukken door middel van

En

(3)

Als we deze uitdrukkingen in de laatste van de vergelijkingen (2) substitueren, krijgen we de vergelijkingen n-de om te bepalen ja1 :

https://pandia.ru/text/78/145/images/image005_27.gif" width="167" height="24"> (5)

De laatste uitdrukking differentiëren n-1 tijd, vind de afgeleiden

als functie van . Door deze functies in vergelijkingen (4) in te vullen, definiëren we ja2 , ja3 , … , yn .

Dus we hebben de algemene oplossing van systeem (1)

(6)

Een bepaalde oplossing voor systeem (1) vinden die voldoet aan de beginvoorwaarden voor:

het is noodzakelijk om uit vergelijking (6) de overeenkomstige waarden van willekeurige constanten te vinden С1 , С2 , … ,n .

Voorbeeld.

Vind de algemene oplossing van het stelsel vergelijkingen:

https://pandia.ru/text/78/145/images/image029_2.gif" width="96" height="21">

voor nieuwe onbekende functies.

Conclusie.

Systemen van differentiaalvergelijkingen worden aangetroffen bij de studie van processen waarvoor een enkele functie niet voldoende is om te beschrijven. Het vinden van vectorveldlijnen vereist bijvoorbeeld het oplossen van een stelsel differentiaalvergelijkingen. Het oplossen van de problemen van de dynamica van kromlijnige beweging leidt tot een stelsel van drie differentiaalvergelijkingen, waarin de onbekende functies de projecties zijn van het bewegende punt op de coördinaatassen, en de onafhankelijke variabele tijd is. Later zul je leren dat het oplossen van elektrotechnische problemen voor twee elektrische circuits in elektromagnetische koppeling het oplossen van een stelsel van twee differentiaalvergelijkingen vereist. Het aantal van dergelijke voorbeelden kan eenvoudig worden vergroot.

Basisbegrippen en definities Het eenvoudigste probleem van de dynamiek van een punt leidt tot een stelsel van differentiaalvergelijkingen: de krachten die op een materieel punt werken worden gegeven; vind de bewegingswet, d.w.z. zoek de functies x = x(t), y = y(t), z = z(t), die de afhankelijkheid van de coördinaten van het bewegende punt op tijd uitdrukken. Het systeem dat in dit geval wordt verkregen, heeft in het algemene geval de vorm. Hierin zijn x, y, z de coördinaten van het bewegende punt, t is de tijd, f, g, h zijn bekende functies van hun argumenten. Een systeem van de vorm (1) wordt canoniek genoemd. Wat betreft het algemene geval van een stelsel van m differentiaalvergelijkingen met m onbekende functies van het argument t, noemen we een stelsel van de vorm opgelost met betrekking tot hogere afgeleiden canoniek. Het stelsel van eerste-orde vergelijkingen opgelost met betrekking tot de afgeleiden van de gewenste functies wordt normaal genoemd. Indien genomen als nieuwe hulpfuncties, dan kan het algemene canonieke stelsel (2) worden vervangen door een equivalent normaalstelsel bestaande uit vergelijkingen. Daarom is het voldoende om alleen naar normale systemen te kijken. Een vergelijking is bijvoorbeeld een speciaal geval van het canonieke systeem. Door ^ = y in te stellen, zullen we op grond van de oorspronkelijke vergelijking hebben. Als resultaat krijgen we een normaal stelsel van vergelijkingen SYSTEMEN VAN DIFFERENTIEELVERGELIJKINGEN Integratiemethoden Eliminatiemethoden Methode van integreerbare combinaties Stelsels van lineaire differentiaalvergelijkingen Fundamentele matrix Methode van variatie van constanten Stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten Matrixmethode equivalent aan de oorspronkelijke vergelijking. Definitie 1. De oplossing van het normale systeem (3) op het interval (a, b) van de verandering van het argument t is elk systeem van n functies "differentieerbaar op het interval dat de vergelijkingen van systeem (3) omzet in identiteiten met met betrekking tot t op het interval (a, b) Het Cauchy-probleem voor van systeem (3) is als volgt geformuleerd: vind een oplossing (4) van het systeem die voldoet aan de beginvoorwaarden voor t = tot dimensionaal domein D van veranderingen in de variabelen t, X\, x 2, ..., xn Als er een buurt bestaat ft fine waarin de functies ft continu zijn in de reeks argumenten en partiële afgeleiden hebben met betrekking tot de variabelen X1, x2, . .., xn, dan is er een interval tot - L0 van verandering in t waarop er een unieke oplossing van het normale systeem (3) is die voldoet aan de beginvoorwaarden Definitie 2. Een systeem van n functies van willekeurige constanten afhankelijk van tun wordt een algemene oplossing van de normaal genoemd systeem (3) in een bepaald domein П van het bestaan ​​en de uniciteit van de oplossing van het Cauchy-probleem, als 1) voor alle toelaatbare waarden, het systeem van functies (6) vergelijkingen (3) omzet in identiteiten, 2) in het domein П functies (6) lossen elk Cauchy-probleem op. Oplossingen verkregen uit de algemene voor specifieke waarden van de constanten worden bijzondere oplossingen genoemd. Laten we voor de duidelijkheid eens kijken naar het normale stelsel van twee vergelijkingen.We zullen het stelsel van waarden t> X\, x2 beschouwen als rechthoekige Cartesiaanse coördinaten van een punt in de driedimensionale ruimte waarnaar wordt verwezen naar het Otx\x2-coördinatenstelsel. De oplossing van systeem (7), dat waarden aanneemt op t - to, bepaalt in de ruimte een bepaalde lijn die door een punt gaat) - Deze lijn wordt de integrale kromme van het normale systeem (7) genoemd. Het Ko-shi-probleem voor systeem (7) krijgt de volgende geometrische formulering: zoek in de ruimte van variabelen t > X\, x2 de integraalkromme die door het gegeven punt Mo(to,x1,x2) gaat (Fig. 1) . Stelling 1 stelt het bestaan ​​en de uniciteit van een dergelijke curve vast. Het normale systeem (7) en zijn oplossing kunnen we ook als volgt interpreteren: we beschouwen de onafhankelijke variabele t als een parameter, en de oplossing van het systeem als parametervergelijkingen van een kromme in het x\Ox2-vlak. Dit vlak van variabelen X\X2 wordt het fasevlak genoemd. In het fasevlak wordt de oplossing (0 van systeem (7), die op t = t0 de beginwaarden x°(, x2, wordt weergegeven door de kromme AB die door het punt gaat) op t = t0 weergegeven. Deze kromme wordt het traject genoemd van het systeem (fasebaan) De baan van systeem (7) is de projectie 2. Methoden voor het integreren van stelsels van differentiaalvergelijkingen 2.1 Eliminatiemethode Een van de methoden van integratie is de eliminatiemethode opgelost met betrekking tot de hoogste afgeleide, Introductie van nieuwe functies de vergelijking door het volgende normale stelsel van n vergelijkingen: we vervangen deze ene vergelijking van de n-de orde is equivalent aan het normale stelsel (1) Dit is de basis van de eliminatiemethode voor het integreren van stelsels van differentiaalvergelijkingen . Het is zo gedaan. Laten we een normaal stelsel differentiaalvergelijkingen hebben. Laten we de eerste van vergelijkingen (2) differentiëren met betrekking tot t. We hebben Vervangen aan de rechterkant van het product of, kortom, vergelijking (3) is weer differentieerbaar met betrekking tot t. Rekening houdend met systeem (2), verkrijgen we of Voortzetting van dit proces, we vinden Stel dat de determinant (de Jacobiaan van het systeem van functies niet nul is voor de beschouwde waarden Dan is het systeem van vergelijkingen samengesteld uit de eerste vergelijking van systeem ( 2) en de vergelijkingen zullen oplosbaar zijn met betrekking tot de onbekenden zullen worden uitgedrukt door Door de gevonden uitdrukkingen in de vergelijking in te voeren, krijgen we één vergelijking van de n-de orde. Uit de methode van zijn constructie volgt dat als) er oplossingen zijn voor het systeem (2), dan is de functie X\(t) een oplossing van vergelijking (5). Laat omgekeerd de oplossing zijn van vergelijking (5). Door deze oplossing te differentiëren met betrekking tot t, berekenen en vervangen we de gevonden waarden als bekende functies. Door aanname kan dit systeem worden opgelost met betrekking tot xn als functie van t. Het kan worden aangetoond dat het op deze manier geconstrueerde stelsel van functies een oplossing vormt voor het stelsel differentiaalvergelijkingen (2). Voorbeeld. Het is vereist om het systeem te integreren. Door de eerste vergelijking van het systeem te differentiëren, krijgen we, met behulp van de tweede vergelijking, een tweede-orde lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten met één onbekende functie. De algemene oplossing heeft de vorm Op grond van de eerste vergelijking van het systeem vinden we de functie. De gevonden functies x(t), y(t), omdat het gemakkelijk te controleren is, voor alle waarden van С| en C2 voldoen aan het gegeven systeem. De functies kunnen worden weergegeven in de vorm waaruit blijkt dat de integraalkrommen van systeem (6) spiraalvormige lijnen zijn met een steek met een gemeenschappelijke as x = y = 0, die ook een integrale kromme is (Fig. 3) . Door de parameter in formule (7) te elimineren, verkrijgen we een vergelijking zodat de fasetrajecten van een bepaald systeem cirkels zijn met het middelpunt in de oorsprong - projecties van spiraalvormige lijnen op een vlak. Bij A = 0 bestaat het fasetraject uit één punt, het rustpunt van het systeem genoemd. ". Het kan zijn dat de functies niet kunnen worden uitgedrukt in termen van Dan krijgen we de vergelijkingen van de n-de orde, equivalent aan het oorspronkelijke systeem, niet. Hier is een eenvoudig voorbeeld. Het stelsel vergelijkingen kan niet worden vervangen door een equivalente vergelijking van de tweede orde voor x\ of x2. Dit systeem is samengesteld uit een paar vergelijkingen van de eerste orde, die elk onafhankelijk zijn geïntegreerd, wat de methode van integreerbare combinaties oplevert. De integratie van normale stelsels van differentiaalvergelijkingen dXi wordt soms uitgevoerd door de methode van integreerbare combinaties. Een integreerbare combinatie is een differentiaalvergelijking die een gevolg is van vergelijking (8), maar al gemakkelijk integreerbaar is. Voorbeeld. Integreer het systeem SYSTEMEN VAN DIFFERENTIEELVERGELIJKINGEN Methoden van integratie Methode van eliminatie Methode van integreerbare combinaties Stelsels van lineaire differentiaalvergelijkingen Fundamentele matrix Methode van variatie van constanten Stelsels van lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten Matrixmethode 4 Door term voor term deze vergelijkingen op te tellen, vinden we een integreerbare combinatie: tweede integreerbare combinatie: van waaruit We hebben twee eindige vergelijkingen gevonden waaruit de algemene oplossing van het systeem gemakkelijk kan worden bepaald: Een integreerbare combinatie maakt het mogelijk om één vergelijking te verkrijgen die betrekking heeft op de onafhankelijke variabele t en onbekende functies. Zo'n eindige vergelijking wordt de eerste integraal van systeem (8) genoemd. Met andere woorden: de eerste integraal van een stelsel differentiaalvergelijkingen (8) is een differentieerbare functie die niet identiek constant is, maar een constante waarde behoudt op elke integrale kromme van dit stelsel. Als n eerste integralen van systeem (8) worden gevonden en ze zijn allemaal onafhankelijk, d.w.z. de Jacobiaan van het stelsel van functies is niet nul: Een stelsel differentiaalvergelijkingen wordt lineair genoemd als het lineair is met betrekking tot de onbekende functies en hun afgeleiden inbegrepen in de vergelijking. Een stelsel van n lineaire vergelijkingen van de eerste orde, geschreven in normaalvorm, heeft de vorm of, in matrixvorm, Stelling 2. Als alle functies continu zijn op een interval, dan in een voldoende kleine nabijheid van elk punt, xn), waarbij), aan de voorwaarden van de existentiestelling is voldaan en de uniciteit van de oplossing van het Cauchii-probleem; daarom gaat een unieke integrale kromme van systeem (1) door elk van deze punten. In dit geval zijn inderdaad de rechterkant van het systeem (1) continu met betrekking tot de reeks argumenten t)x\,x2)..., xn, en hun partiële afgeleiden met betrekking tot, zijn begrensd, aangezien deze afgeleiden gelijk zijn aan coëfficiënten continu op het interval We introduceren een lineaire operator Dan wordt het systeem (2) geschreven in de vorm Als de matrix F nul is, op het interval (a, 6), dan is systeem (2) lineair homogeen genoemd en heeft de vorm. Laten we enkele stellingen presenteren die de eigenschappen van oplossingen van lineaire systemen vaststellen. Stelling 3. Als X(t) een oplossing is van een lineair homogeen systeem waarbij c een willekeurige constante is, is dat een oplossing voor hetzelfde systeem. Stelling 4. De som van twee oplossingen van een homogeen lineair stelsel vergelijkingen is een oplossing van hetzelfde stelsel. Gevolg. Een lineaire combinatie, met willekeurige constante coëfficiënten c, van oplossingen voor een lineair homogeen systeem van differentiaalvergelijkingen is een oplossing voor hetzelfde systeem. Stelling 5. Als X(t) een oplossing is voor een lineair inhomogeen systeem - een oplossing voor het overeenkomstige homogene systeem, dan is de som een ​​oplossing voor het inhomogene systeem. we verkrijgen Dit betekent dat de som een ​​oplossing is van het inhomogene stelsel vergelijkingen Definitie. Vectoren waar lineair afhankelijk van een interval worden genoemd als er constante getallen zijn zodat voor , en ten minste één van de getallen a is niet gelijk aan nul. Als identiteit (5) alleen geldig is voor dan wordt gezegd dat de vectoren lineair onafhankelijk zijn van (a, b). Merk op dat één vectoridentiteit (5) gelijk is aan n identiteiten: . De determinant wordt de Wronsky-determinant van het stelsel van vectoren genoemd. Definitie. Laten we een lineair homogeen systeem hebben waarin een matrix met elementen is.Het systeem van n oplossingen van een lineair homogeen systeem (6), lineair onafhankelijk van het interval, wordt fundamenteel genoemd. Stelling 6. De Wronsky-determinant W(t) van een systeem van oplossingen fundamenteel op het interval van een lineair homogeen systeem (6) met coëfficiënten a-ij(t) continu op het segment a b is niet nul op alle punten van het interval (a , 6). Stelling 7 (over de structuur van de algemene oplossing van een lineair homogeen systeem). Een algemene oplossing in het domein van een lineair homogeen systeem met coëfficiënten continu op het interval is een lineaire combinatie van n oplossingen van systeem (6) lineair onafhankelijk van het interval a: willekeurige constante getallen). Voorbeeld. Het systeem heeft, omdat het gemakkelijk te controleren is, de oplossingen van de Esh-oplossingen lineair onafhankelijk zijn, aangezien de Wronsky-determinant anders is dan nul: "De algemene oplossing van het systeem heeft de vorm of is willekeurige constanten). 3.1. Fundamentele matrix Een vierkante matrix waarvan de kolommen lineair onafhankelijke oplossingen van systeem (6) zijn. Het is gemakkelijk te controleren of de fundamentele matrix voldoet aan de matrixvergelijking. Als X(t) de fundamentele matrix van systeem (6) is, dan is de algemene oplossing van het systeem kan worden weergegeven als een constante kolommatrix met willekeurige elementen. , De matrix wordt de Cauchy-matrix genoemd. Met zijn hulp kan de oplossing van systeem (6) als volgt worden weergegeven: Stelling 8 (over de structuur van de algemene oplossing van een lineair inhomogeen stelsel differentiaalvergelijkingen). De algemene oplossing in het domein van een lineair inhomogeen stelsel differentiaalvergelijkingen met continue coëfficiënten op het interval en de rechterkant fi (t) is gelijk aan de som van de algemene oplossing overeenkomstig homogeen systeem en een bepaalde oplossing X(t) van het inhomogene systeem (2): 3.2. Variatie van constanten methode Als de algemene oplossing van een lineair homogeen systeem (6) bekend is, dan kan een bepaalde oplossing van een inhomogeen systeem worden gevonden door de methode van variatie van constanten (Lagrange methode). Laat er een algemene oplossing zijn van het homogene systeem (6), dan zijn dXk en de oplossingen lineair onafhankelijk. We gaan op zoek naar een bepaalde oplossing van een inhomogeen systeem met onbekende functies van t. Differentiërend, we hebben Substitueren, we krijgen Omdat we voor de definitie een systeem verkrijgen of, in uitgebreide vorm, Systeem (10) is een lineair algebraïsch systeem met betrekking tot 4(0 > waarvan de determinant de Wronsky-determinant W(t) is van het fundamentele systeem van oplossingen. Deze determinant is overal op interval verschillend van nul, zodat het systeem) een unieke oplossing heeft waarbij MO bekende continue functies zijn. Als we de laatste relaties integreren, vinden we. Als we deze waarden vervangen, vinden we een bepaalde oplossing van systeem (2): In totaal wordt zo'n systeem geïntegreerd door het te reduceren tot een enkele vergelijking van een hogere orde, en deze vergelijking zal ook lineair zijn met constante coëfficiënten. Een andere effectieve methode voor het integreren van systemen met constante coëfficiënten is de Laplace-transformatiemethode. We zullen ook de Euler-methode beschouwen voor het integreren van lineaire homogene systemen van differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten. Het bestaat uit het volgende: Euler's methode systeem (3) lineair homogeen x algebraïsche vergelijkingen met n onbekenden an een niet-triviale oplossing heeft, is het noodzakelijk en voldoende dat de determinant gelijk is aan nul: Vergelijking (4) wordt karakteristiek genoemd. Aan de linkerkant is er een polynoom in A van graad n. Uit deze vergelijking worden die waarden van A bepaald voor welk systeem (3) niet-triviale oplossingen a\ heeft. Als alle wortels van de karakteristieke vergelijking (4 ) verschillend zijn, dan vinden we, door ze beurtelings in het stelsel (3) te substitueren, de daarmee corresponderende niet-triviale oplossingen van dit stelsel en daarom vinden we n oplossingen van het oorspronkelijke stelsel van differentiaalvergelijkingen (1) in de vorm waarbij de tweede index het nummer van de oplossing aangeeft en de eerste index het nummer van de onbekende functie. De n deeloplossingen van het lineair homogene systeem (1) die op deze manier zijn geconstrueerd, vormen, zoals kan worden geverifieerd, het fundamentele systeem van oplossingen van dit systeem. Bijgevolg heeft de algemene oplossing van het homogene systeem van differentiaalvergelijkingen (1) de vorm - willekeurige constanten. Het geval waarin de karakteristieke vergelijking meerdere wortels heeft, wordt niet in overweging genomen. M We zoeken een oplossing in de vorm Karakteristiekenvergelijking Systeem (3) voor het bepalen van 01.02 ziet er als volgt uit: Substitutie krijgen we van Vandaar, Ervan uitgaande dat we daarom vinden De algemene oplossing van dit systeem: SYSTEMEN VAN DIFFERENTIEELVERGELIJKINGEN Integratiemethoden Eliminatiemethode Integreerbare combinaties methode Stelsels van lineaire differentiaalvergelijkingen Fundamentele matrix Variatiemethode constanten Stelsels van lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten Matrixmethode Laten we ook de matrixmethode beschrijven voor het integreren van een homogeen systeem (1). We schrijven systeem (1) als een matrix met constante reële elementen a,j. Laten we ons enkele concepten uit de lineaire algebra herinneren. De vector g F O wordt de eigenvector van de matrix A genoemd, als het getal A de eigenwaarde van de matrix A wordt genoemd, overeenkomend met de eigenvector g, en de wortel is van de karakteristieke vergelijking waarbij I de identiteitsmatrix is. We gaan ervan uit dat alle eigenwaarden An van de matrix A verschillend zijn. In dit geval zijn de eigenvectoren lineair onafhankelijk en is er een n x n-matrix T die de matrix A reduceert tot een diagonale vorm, d.w.z. zodanig dat de kolommen van de matrix T de coördinaten van de eigenvectoren zijn. We introduceren ook het volgende concepten. Zij B(t) een n x n-matrix, de elementen 6,;(0 daarvan zijn functies van het argument t, gedefinieerd op de verzameling. De matrix B(f) heet continu op Π als al zijn elementen 6, j(f) zijn continu op Q Een matrix B(*) heet differentieerbaar op Π als alle elementen van deze matrix differentieerbaar zijn op Q. In dit geval is de afgeleide van de ^p-matrix B(*) de matrix waarvan elementen zijn de afgeleiden van de -corresponderende elementen van de matrix B (*) kolom-vector Rekening houdend met de regels van matrixalgebra, door een directe controle verifiëren we de geldigheid van de formule heeft de vorm waar zijn de eigenvectoren-kolommen van de matrix willekeurige constante getallen Laten we een nieuwe onbekende kolomvector introduceren door de formule waarin T een matrix is ​​die de matrix A reduceert tot een diagonale vorm. dat T 1 AT \u003d A, we komen bij het systeem We hebben een systeem van n onafhankelijke vergelijkingen verkregen, die gemakkelijk kunnen worden geïntegreerd: (12) Hier zijn willekeurige constante getallen. Introductie van eenheid n-dimensionale kolomvectoren, de oplossing kan worden weergegeven als Aangezien de kolommen van de matrix T de eigenvectoren zijn van de matrix, de eigenvector van de matrix A. Daarom, door (13) te vervangen door (11), krijgen we formule ( 10): Dus, als het matrix A-systeem van differentiaalvergelijkingen (7) verschillende eigenwaarden heeft, om een ​​algemene oplossing van dit systeem te verkrijgen: 1) vinden we de eigenwaarden van de matrix als de wortels van de algebraïsche vergelijking 2) we vinden alle eigenvectoren 3) we schrijven de algemene oplossing van het stelsel differentiaalvergelijkingen (7) uit met de formule (10). Voorbeeld 2. Los het systeem op Matrixmethode 4 Matrix A van het systeem heeft de vorm 1) Stel de karakteristieke vergelijking op De wortels van de karakteristieke vergelijking. 2) We vinden de eigenvectoren Voor A = 4 krijgen we het stelsel van waar = 0|2, zodat Evenzo voor A = 1 vinden we I 3) Met formule (10) verkrijgen we de algemene oplossing van het stelsel differentiaalvergelijkingen De wortels van de karakteristieke vergelijking kunnen reëel en complex zijn. Aangezien door aanname de coëfficiënten ay van systeem (7) reëel zijn, zal de karakteristieke vergelijking reële coëfficiënten hebben. Daarom zal het, samen met de complexe wortel A, ook een wortel \* hebben, complex geconjugeerd met A. Het is gemakkelijk aan te tonen dat als g een eigenvector is die overeenkomt met de eigenwaarde A, dan A* ook een eigenwaarde is, wat overeenkomt met naar de eigenvector g*, complex geconjugeerd met g. Voor complex A zal de oplossing van systeem (7) taioKe complex zijn. Het reële en het imaginaire deel van deze oplossing zijn de oplossingen van systeem (7). De eigenwaarde A* komt overeen met een paar reële oplossingen. hetzelfde paar als voor de eigenwaarde A. Het paar A, A* van complexe geconjugeerde eigenwaarden komt dus overeen met een paar reële oplossingen van systeem (7) van differentiaalvergelijkingen. Laten reële eigenwaarden zijn, complexe eigenwaarden. Dan heeft elke reële oplossing van systeem (7) de vorm waarin c, willekeurige constanten zijn. Voorbeeld 3. Los het stelsel op -4 Matrix van het stelsel 1) Karakteristieke vergelijking van het stelsel De wortels Eigenvectoren van de matrix 3) Oplossing van het stelsel met willekeurige complexe constanten. Laten we echte oplossingen van het systeem vinden. Met behulp van de Euler-formule verkrijgen we. Daarom heeft elke reële oplossing van het systeem de vorm van willekeurige reële getallen. Oefeningen Integreer de systemen door eliminatiemethode: Integreer de systemen door de methode van integreerbare combinaties: Integreer de systemen door de matrixmethode: Antwoorden