Algemene definitie van een derivaat. Afgeleide van som en verschil

De afgeleide van een functie is een van de moeilijkste onderwerpen in het schoolcurriculum. Niet elke afgestudeerde zal de vraag beantwoorden wat een afgeleide is.

In dit artikel wordt eenvoudig en duidelijk uitgelegd wat een derivaat is en waarom het nodig is.. We zullen nu niet streven naar wiskundige nauwkeurigheid van presentatie. Het belangrijkste is om de betekenis te begrijpen.

Laten we de definitie onthouden:

De afgeleide is de veranderingssnelheid van de functie.

De afbeelding toont grafieken van drie functies. Welke groeit volgens jou het snelst?

Het antwoord ligt voor de hand - de derde. Het heeft de hoogste mate van verandering, dat wil zeggen, de grootste afgeleide.

Hier is nog een voorbeeld.

Kostya, Grisha en Matvey kregen tegelijkertijd een baan. Laten we eens kijken hoe hun inkomen in de loop van het jaar is veranderd:

Je kunt meteen alles op de kaart zien, toch? Kostya's inkomen is in zes maanden tijd meer dan verdubbeld. En Grisha's inkomen steeg ook, maar dan een klein beetje. En Matthew's inkomen daalde tot nul. De startvoorwaarden zijn hetzelfde, maar de veranderingssnelheid van de functie, d.w.z. derivaat, - verschillend. Wat Matvey betreft, is de afgeleide van zijn inkomen over het algemeen negatief.

Intuïtief kunnen we gemakkelijk de veranderingssnelheid van een functie schatten. Maar hoe doen we het?

Waar we echt naar kijken, is hoe steil de grafiek van de functie omhoog (of omlaag) gaat. Met andere woorden, hoe snel verandert y met x. Het is duidelijk dat dezelfde functie op verschillende punten een andere waarde van de afgeleide kan hebben - dat wil zeggen, deze kan sneller of langzamer veranderen.

De afgeleide van een functie wordt aangegeven met .

Laten we laten zien hoe u de grafiek kunt vinden.

Er wordt een grafiek van een bepaalde functie getekend. Neem er een punt op met een abscis. Teken op dit punt een raaklijn aan de grafiek van de functie. We willen evalueren hoe steil de grafiek van de functie omhoog gaat. Een handige waarde hiervoor is tangens van de helling van de tangens.

De afgeleide van een functie in een punt is gelijk aan de raaklijn van de helling van de raaklijn aan de grafiek van de functie op dat punt.

Let op - als hellingshoek van de raaklijn nemen we de hoek tussen de raaklijn en de positieve richting van de as.

Soms vragen leerlingen wat de raaklijn is aan de grafiek van een functie. Dit is een rechte lijn die bovendien het enige gemeenschappelijke punt heeft met de grafiek in deze sectie, zoals weergegeven in onze figuur. Het ziet eruit als een raaklijn aan een cirkel.

Laten we vinden . We herinneren ons dat de tangens van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek gelijk is aan de verhouding van het tegenoverliggende been tot het aangrenzende. Van driehoek:

We hebben de afgeleide gevonden met behulp van de grafiek zonder zelfs de formule van de functie te kennen. Dergelijke opdrachten vind je vaak op het examen wiskunde onder het cijfer.

Er is nog een belangrijke correlatie. Bedenk dat de rechte lijn wordt gegeven door de vergelijking

De hoeveelheid in deze vergelijking heet helling van een rechte lijn. Het is gelijk aan de tangens van de hellingshoek van de rechte lijn aan de as.

.

We snappen dat

Laten we deze formule onthouden. Het drukt de geometrische betekenis van de afgeleide uit.

De afgeleide van een functie in een punt is gelijk aan de helling van de raaklijn aan de grafiek van de functie op dat punt.

Met andere woorden, de afgeleide is gelijk aan de tangens van de helling van de tangens.

We hebben al gezegd dat dezelfde functie op verschillende punten verschillende afgeleiden kan hebben. Laten we eens kijken hoe de afgeleide verband houdt met het gedrag van de functie.

Laten we een grafiek tekenen van een functie. Laat deze functie in sommige gebieden toenemen en in andere afnemen, en met verschillende snelheden. En laat deze functie maximale en minimale punten hebben.

Op een gegeven moment neemt de functie toe. De raaklijn aan de grafiek, getekend op het punt, vormt een scherpe hoek; met positieve asrichting. Dus de afgeleide is positief op het punt.

Op dat moment neemt onze functie af. De raaklijn op dit punt vormt een stompe hoek; met positieve asrichting. Omdat de raaklijn van een stompe hoek negatief is, is de afgeleide in het punt negatief.

Dit is wat er gebeurt:

Als een functie stijgt, is de afgeleide positief.

Als het afneemt, is de afgeleide negatief.

En wat gebeurt er op de maximale en minimale punten? We zien dat bij (maximumpunt) en (minimumpunt) de raaklijn horizontaal is. Daarom is de tangens van de helling van de tangens op deze punten nul en is de afgeleide ook nul.

Het punt is het maximale punt. Op dit punt wordt de toename van de functie vervangen door een afname. Dientengevolge verandert het teken van de afgeleide op het punt van "plus" in "min".

Op het punt - het minimumpunt - is de afgeleide ook gelijk aan nul, maar het teken verandert van "min" in "plus".

Conclusie: met behulp van de afgeleide kun je alles te weten komen wat ons interesseert over het gedrag van de functie.

Als de afgeleide positief is, dan neemt de functie toe.

Als de afgeleide negatief is, dan is de functie afnemend.

Op het maximale punt is de afgeleide nul en verandert het teken van plus naar min.

Op het minimumpunt is de afgeleide ook nul en verandert het teken van min in plus.

We schrijven deze bevindingen in de vorm van een tabel:

	neemt toe	maximum punt	afnemend	minimum punt	neemt toe
+	0	-	0	+

Laten we twee kleine verduidelijkingen maken. U hebt er een nodig bij het oplossen van het probleem. Een ander - in het eerste jaar, met een meer serieuze studie van functies en derivaten.

Een geval is mogelijk wanneer de afgeleide van een functie op een bepaald punt gelijk is aan nul, maar de functie heeft op dit punt noch een maximum noch een minimum. Deze zogenaamde :

Op een bepaald punt is de raaklijn aan de grafiek horizontaal en is de afgeleide nul. Echter, vóór het punt nam de functie toe - en na het punt blijft het toenemen. Het teken van de afgeleide verandert niet - het is zoals het was positief gebleven.

Het komt ook voor dat op het punt van maximum of minimum de afgeleide niet bestaat. In de grafiek komt dit overeen met een scherpe breuk, wanneer het onmogelijk is om een ​​raaklijn op een bepaald punt te tekenen.

Maar hoe vind je de afgeleide als de functie niet wordt gegeven door een grafiek, maar door een formule? In dit geval is het van toepassing

De bewerking van het vinden van een afgeleide wordt differentiatie genoemd.

Als resultaat van het oplossen van problemen met het vinden van afgeleiden van de eenvoudigste (en niet erg eenvoudige) functies door de afgeleide te definiëren als de limiet van de verhouding van de toename tot de toename van het argument, verscheen een tabel met afgeleiden en nauwkeurig gedefinieerde differentiatieregels . Isaac Newton (1643-1727) en Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) waren de eersten die zich bezighielden met het vinden van derivaten.

Daarom is het in onze tijd, om de afgeleide van een functie te vinden, niet nodig om de bovengenoemde limiet van de verhouding van de toename van de functie tot de toename van het argument te berekenen, maar hoeft u alleen de tabel te gebruiken van derivaten en de regels van differentiatie. Het volgende algoritme is geschikt om de afgeleide te vinden.

De afgeleide vinden, je hebt een uitdrukking nodig onder het streekteken eenvoudige functies opsplitsen en bepaal welke acties (product, som, quotiënt) deze functies zijn gerelateerd. Verder vinden we de afgeleiden van elementaire functies in de tabel van afgeleiden, en de formules voor de afgeleiden van het product, som en quotiënt - in de differentiatieregels. De tabel met afgeleiden en differentiatieregels wordt gegeven na de eerste twee voorbeelden.

voorbeeld 1 Vind de afgeleide van een functie

Beslissing. Uit de differentiatieregels leren we dat de afgeleide van de som van functies de som is van de afgeleiden van functies, d.w.z.

Uit de tabel met afgeleiden ontdekken we dat de afgeleide van "X" gelijk is aan één en dat de afgeleide van de sinus cosinus is. We vervangen deze waarden in de som van afgeleiden en vinden de afgeleide die vereist is voor de toestand van het probleem:

Voorbeeld 2 Vind de afgeleide van een functie

Beslissing. Differentiëren als afgeleide van de som, waarin de tweede term met een constante factor, uit het teken van de afgeleide kan worden gehaald:

Als er nog vragen zijn over waar iets vandaan komt, worden deze in de regel duidelijk na het lezen van de tabel met afgeleiden en de eenvoudigste differentiatieregels. We gaan nu naar hen toe.

Tabel met afgeleiden van eenvoudige functies

1. Afgeleide van een constante (getal). Elk getal (1, 2, 5, 200...) dat in de functie-uitdrukking staat. Altijd nul. Dit is erg belangrijk om te onthouden, omdat het heel vaak nodig is
2. Afgeleide van de onafhankelijke variabele. Meestal "x". Altijd gelijk aan één. Dit is ook belangrijk om te onthouden
3. Afgeleide van graad. Bij het oplossen van problemen moet je niet-vierkantswortels omzetten in een macht.
4. Afgeleide van een variabele tot de macht -1
5. Afgeleide van de vierkantswortel
6. Sinusderivaat
7. Cosinusderivaat
8. Tangens afgeleide
9. Afgeleide van cotangens
10. Afgeleide van de arcsinus
11. Afgeleide van boogcosinus
12. Afgeleide van boogtangens
13. Afgeleide van de inverse tangens
14. Afgeleide van natuurlijke logaritme
15. Afgeleide van een logaritmische functie
16. Afgeleide van de exponent
17. Afgeleide van exponentiële functie

differentiatie regels

1. Afgeleide van de som of het verschil
2. Afgeleide van een product
2a. Afgeleide van een uitdrukking vermenigvuldigd met een constante factor
3. Afgeleide van het quotiënt
4. Afgeleide van een complexe functie

Regel 1Als functies

zijn op een bepaald punt differentieerbaar, dan zijn op hetzelfde punt de functies

en

die. de afgeleide van de algebraïsche som van functies is gelijk aan de algebraïsche som van de afgeleiden van deze functies.

Gevolg. Als twee differentieerbare functies een constante verschillen, dan zijn hun afgeleiden:, d.w.z.

Regel 2Als functies

op een bepaald punt differentieerbaar zijn, dan is hun product op hetzelfde punt ook differentieerbaar

en

die. de afgeleide van het product van twee functies is gelijk aan de som van de producten van elk van deze functies en de afgeleide van de andere.

Gevolg 1. De constante factor kan uit het teken van de afgeleide worden gehaald:

Gevolg 2. De afgeleide van het product van verschillende differentieerbare functies is gelijk aan de som van de producten van de afgeleide van elk van de factoren en alle andere.

Bijvoorbeeld voor drie vermenigvuldigers:

Regel 3Als functies

op een gegeven moment differentieerbaar en , dan is op dit punt hun quotiënt ook differentieerbaar.u/v , en

die. de afgeleide van een quotiënt van twee functies is gelijk aan een breuk waarvan de teller het verschil is tussen de producten van de noemer en de afgeleide van de teller en de teller en de afgeleide van de noemer, en de noemer is het kwadraat van de vorige teller .

Waar te zoeken op andere pagina's

Bij het vinden van de afgeleide van het product en het quotiënt in echte problemen, is het altijd nodig om meerdere differentiatieregels tegelijk toe te passen, dus meer voorbeelden van deze afgeleiden staan ​​in het artikel."De afgeleide van een product en een quotiënt".

Commentaar. Je moet een constante (dat wil zeggen een getal) niet verwarren als een term in de som en als een constante factor! In het geval van een term is de afgeleide gelijk aan nul en in het geval van een constante factor wordt deze uit het teken van de afgeleiden gehaald. Dit is een typische fout die optreedt in de beginfase van het bestuderen van afgeleiden, maar aangezien de gemiddelde student meerdere een-tweecomponentenvoorbeelden oplost, wordt deze fout niet meer gemaakt.

En als je bij het onderscheiden van een product of een quotiënt een term hebt? jij"v, waarin jij- een getal, bijvoorbeeld 2 of 5, dat wil zeggen een constante, dan is de afgeleide van dit getal gelijk aan nul en daarom zal de hele term gelijk zijn aan nul (een dergelijk geval wordt geanalyseerd in voorbeeld 10) .

Een andere veelgemaakte fout is de mechanische oplossing van de afgeleide van een complexe functie als de afgeleide van een eenvoudige functie. Dus afgeleide van een complexe functie aan een apart artikel gewijd. Maar eerst zullen we leren om afgeleiden van eenvoudige functies te vinden.

Onderweg kun je niet zonder transformaties van uitdrukkingen. Om dit te doen, moet u mogelijk in nieuwe Windows-handleidingen openen Acties met krachten en wortels en Acties met breuken .

Als u op zoek bent naar oplossingen voor afgeleiden met machten en wortels, dat wil zeggen, wanneer de functie eruitziet: , volg dan de les "Afgeleide van de som van breuken met machten en wortels".

Als je een taak hebt zoals , dan zit je in de les "Afgeleiden van eenvoudige trigonometrische functies".

Stap voor stap voorbeelden - hoe de afgeleide te vinden

Voorbeeld 3 Vind de afgeleide van een functie

Beslissing. We bepalen de delen van de uitdrukking van de functie: de hele uitdrukking vertegenwoordigt het product, en de factoren zijn sommen, in de tweede waarvan een van de termen een constante factor bevat. We passen de productdifferentiatieregel toe: de afgeleide van het product van twee functies is gelijk aan de som van de producten van elk van deze functies en de afgeleide van de andere:

Vervolgens passen we de differentiatieregel van de som toe: de afgeleide van de algebraïsche som van functies is gelijk aan de algebraïsche som van de afgeleiden van deze functies. In ons geval, in elke som, de tweede term met een minteken. In elke som zien we zowel een onafhankelijke variabele waarvan de afgeleide gelijk is aan één, als een constante (getal), waarvan de afgeleide gelijk is aan nul. Dus "x" verandert in één, en min 5 - in nul. In de tweede uitdrukking wordt "x" vermenigvuldigd met 2, dus vermenigvuldigen we twee met dezelfde eenheid als de afgeleide van "x". We krijgen de volgende waarden van derivaten:

We vervangen de gevonden afgeleiden door de som van producten en verkrijgen de afgeleide van de hele functie die vereist is voor de toestand van het probleem:

Voorbeeld 4 Vind de afgeleide van een functie

Beslissing. We moeten de afgeleide van het quotiënt vinden. We passen de formule toe om een ​​quotiënt te differentiëren: de afgeleide van een quotiënt van twee functies is gelijk aan een breuk waarvan de teller het verschil is tussen de producten van de noemer en de afgeleide van de teller en de teller en de afgeleide van de noemer, en de noemer is het kwadraat van de voormalige teller. We krijgen:

De afgeleide van de factoren in de teller hebben we in voorbeeld 2 al gevonden. Laten we ook niet vergeten dat het product, dat in het huidige voorbeeld de tweede factor in de teller is, met een minteken wordt genomen:

Als u op zoek bent naar oplossingen voor dergelijke problemen waarin u de afgeleide van een functie moet vinden, waarbij er een continue stapel wortels en graden is, zoals bijvoorbeeld dan welkom in de les "De afgeleide van de som van breuken met machten en wortels" .

Als u meer wilt weten over de afgeleiden van sinussen, cosinuslijnen, raaklijnen en andere trigonometrische functies, dat wil zeggen, wanneer de functie eruitziet , dan heb je een les "Afgeleiden van eenvoudige trigonometrische functies" .

Voorbeeld 5 Vind de afgeleide van een functie

Beslissing. In deze functie zien we een product waarvan een van de factoren de vierkantswortel is van de onafhankelijke variabele, met de afgeleide waarvan we ons vertrouwd hebben gemaakt in de tabel met afgeleiden. Volgens de productdifferentiatieregel en de tabelwaarde van de afgeleide van de vierkantswortel, krijgen we:

Voorbeeld 6 Vind de afgeleide van een functie

Beslissing. In deze functie zien we het quotiënt, waarvan het deeltal de vierkantswortel is van de onafhankelijke variabele. Volgens de differentiatieregel van het quotiënt, die we in voorbeeld 4 hebben herhaald en toegepast, en de tabelwaarde van de afgeleide van de vierkantswortel, krijgen we:

Om van de breuk in de teller af te komen, vermenigvuldig je de teller en de noemer met .

Het is absoluut onmogelijk om fysieke problemen of voorbeelden in de wiskunde op te lossen zonder kennis over de afgeleide en methoden om deze te berekenen. De afgeleide is een van de belangrijkste concepten van wiskundige analyse. We hebben besloten om het artikel van vandaag aan dit fundamentele onderwerp te wijden. Wat is een afgeleide, wat is de fysieke en geometrische betekenis ervan, hoe bereken je de afgeleide van een functie? Al deze vragen kunnen worden gecombineerd tot één: hoe de afgeleide te begrijpen?

Geometrische en fysieke betekenis van de afgeleide

Laat er een functie zijn f(x) , gegeven in een interval (a,b) . De punten x en x0 behoren tot dit interval. Als x verandert, verandert de functie zelf. Argumentwijziging - verschil van zijn waarden x-x0 . Dit verschil wordt geschreven als delta x en wordt argumentincrement genoemd. Een wijziging of verhoging van een functie is het verschil tussen de waarden van een functie op twee punten. Afgeleide definitie:

De afgeleide van een functie op een punt is de limiet van de verhouding van de toename van de functie op een bepaald punt tot de toename van het argument wanneer deze naar nul neigt.

Anders kan het als volgt worden geschreven:

Wat heeft het voor zin om zo'n limiet te vinden? Maar welke:

de afgeleide van een functie op een punt is gelijk aan de raaklijn van de hoek tussen de OX-as en de raaklijn aan de grafiek van de functie op een bepaald punt.

De fysieke betekenis van de afgeleide: de tijdsafgeleide van het pad is gelijk aan de snelheid van de rechtlijnige beweging.

Inderdaad, sinds schooltijd weet iedereen dat snelheid een privépad is. x=f(t) en tijd t . Gemiddelde snelheid over een bepaalde periode:

Om de snelheid van beweging tegelijk te achterhalen t0 je moet de limiet berekenen:

Regel één: haal de constante weg

De constante kan uit het teken van de afgeleide worden gehaald. Bovendien moet het gebeuren. Neem bij het oplossen van voorbeelden in de wiskunde als regel - als je de uitdrukking kunt vereenvoudigen, zorg er dan voor dat je vereenvoudigt .

Voorbeeld. Laten we de afgeleide berekenen:

Regel twee: afgeleide van de som van functies

De afgeleide van de som van twee functies is gelijk aan de som van de afgeleiden van deze functies. Hetzelfde geldt voor de afgeleide van het verschil van functies.

We zullen geen bewijs van deze stelling geven, maar eerder een praktisch voorbeeld beschouwen.

Vind de afgeleide van een functie:

Regel drie: de afgeleide van het product van functies

De afgeleide van het product van twee differentieerbare functies wordt berekend met de formule:

Voorbeeld: vind de afgeleide van een functie:

Beslissing:

Hier is het belangrijk om te zeggen over de berekening van afgeleiden van complexe functies. De afgeleide van een complexe functie is gelijk aan het product van de afgeleide van deze functie met betrekking tot het tussenargument door de afgeleide van het tussenliggende argument met betrekking tot de onafhankelijke variabele.

In het bovenstaande voorbeeld komen we de uitdrukking tegen:

In dit geval is het tussenargument 8x tot de vijfde macht. Om de afgeleide van zo'n uitdrukking te berekenen, beschouwen we eerst de afgeleide van de externe functie met betrekking tot het tussenliggende argument, en vermenigvuldigen vervolgens met de afgeleide van het tussenliggende argument zelf met betrekking tot de onafhankelijke variabele.

Regel vier: De afgeleide van het quotiënt van twee functies

Formule voor het bepalen van de afgeleide van een quotiënt van twee functies:

We hebben geprobeerd om vanaf het begin over derivaten voor dummies te praten. Dit onderwerp is niet zo eenvoudig als het klinkt, dus wees gewaarschuwd: er zijn vaak valkuilen in de voorbeelden, dus wees voorzichtig bij het berekenen van afgeleiden.

Met al je vragen over dit en andere onderwerpen kun je contact opnemen met de studentenservice. In korte tijd helpen we u de moeilijkste controle op te lossen en taken uit te voeren, zelfs als u nog nooit eerder met de berekening van derivaten te maken heeft gehad.

Stel de verhouding samen en bereken de limiet.

Waar ging tabel met derivaten en differentiatieregels? Dankzij een enkele limiet. Het lijkt magie, maar in werkelijkheid - vingervlugheid en geen fraude. op de les Wat is een derivaat? Ik begon specifieke voorbeelden te overwegen, waarbij ik, met behulp van de definitie, de afgeleiden vond van een lineaire en kwadratische functie. Met het oog op de cognitieve warming-up zullen we doorgaan met storen afgeleide tabel, het algoritme en technische oplossingen aanscherpen:

voorbeeld 1

In feite is het nodig om een ​​speciaal geval van de afgeleide van een machtsfunctie te bewijzen, die meestal in de tabel voorkomt: .

Beslissing technisch geformaliseerd op twee manieren. Laten we beginnen met de eerste, al bekende benadering: de ladder begint met een plank en de afgeleide functie begint met een afgeleide op een punt.

Overwegen sommige(specifiek) punt behorend bij domeinen een functie die een afgeleide heeft. Stel de verhoging op dit punt in (natuurlijk niet verder)o/o -L) en stel de overeenkomstige toename van de functie samen:

Laten we de limiet berekenen:

Onzekerheid 0:0 wordt geëlimineerd door een standaardtechniek die al in de eerste eeuw voor Christus wordt beschouwd. Vermenigvuldig de teller en noemer met de adjoint uitdrukking :

De techniek om zo'n limiet op te lossen wordt uitgebreid besproken in de inleidende les. over de grenzen van functies.

Aangezien ELK punt van het interval kan worden gekozen als, dan krijgen we door te vervangen:

Antwoord

Nogmaals, laten we ons verheugen over de logaritmen:

Voorbeeld 2

Vind de afgeleide van de functie met behulp van de definitie van de afgeleide

Beslissing: laten we eens kijken naar een andere benadering van de promotie van dezelfde taak. Het is precies hetzelfde, maar rationeler qua ontwerp. Het idee is om het subscript aan het begin van de oplossing te verwijderen en de letter te gebruiken in plaats van de letter.

Overwegen willekeurig punt behorend tot domeinen functie (interval ), en stel de verhoging daarin in. En hier kun je trouwens, zoals in de meeste gevallen, zonder enig voorbehoud doen, omdat de logaritmische functie op elk punt in het definitiedomein differentieerbaar is.

De bijbehorende functieverhoging is dan:

Laten we de afgeleide zoeken:

Het gemak van ontwerp wordt gecompenseerd door de verwarring die beginners (en niet alleen) kunnen ervaren. We zijn er immers aan gewend dat de letter "X" verandert in de limiet! Maar hier is alles anders: - een antiek beeld, en - een levende bezoeker, stevig wandelend door de gang van het museum. Dat wil zeggen, "x" is "als een constante".

Ik zal stap voor stap commentaar geven op het elimineren van onzekerheid:

(1) We gebruiken de eigenschap van de logaritme .

(2) Tussen haakjes delen we de teller term voor term door de noemer.

(3) In de noemer vermenigvuldigen en delen we kunstmatig door "x" om te gebruiken prachtige limiet , terwijl oneindig klein valt op.

Antwoord: per definitie van derivaat:

Of in het kort:

Ik stel voor om onafhankelijk nog twee tabelformules te construeren:

Voorbeeld 3

In dit geval is het gecompileerde increment onmiddellijk gemakkelijk te herleiden tot een gemeenschappelijke noemer. Een benaderend voorbeeld van de opdracht aan het einde van de les (de eerste methode).

Voorbeeld 3:Beslissing : overweeg een punt , behorend tot de scope van de functie . Stel de verhoging op dit punt in en stel de overeenkomstige toename van de functie samen:

Laten we de afgeleide op een punt zoeken :

sinds als u kunt elk punt kiezen functiebereik: , dan en
Antwoord : per definitie van de afgeleide

Voorbeeld 4

Zoek afgeleide per definitie

En hier moet alles worden teruggebracht tot prachtige limiet. De oplossing wordt op de tweede manier ingekaderd.

Ook een aantal andere afgeleiden in tabelvorm. Een volledige lijst is te vinden in een schoolboek, of bijvoorbeeld de 1e jaargang van Fichtenholtz. Ik zie niet veel zin in het herschrijven van boeken en bewijzen van de differentiatieregels - ze worden ook gegenereerd door de formule.

Voorbeeld 4:Beslissing , eigendom en stel er een verhoging in

Laten we de afgeleide zoeken:

Gebruik maken van de wonderbaarlijke limiet

Antwoord : een priorij

Voorbeeld 5

Vind de afgeleide van een functie met behulp van de definitie van een afgeleide

Beslissing: Gebruik de eerste visuele stijl. Laten we eens kijken naar een punt dat behoort tot , laten we de toename van het argument erin instellen. De bijbehorende functieverhoging is dan:

Misschien hebben sommige lezers het principe waarmee een verhoging moet worden gemaakt nog niet volledig begrepen. We nemen een punt (getal) en vinden de waarde van de functie erin: , dat wil zeggen, in de functie in plaats van"x" moet worden vervangen. Nu nemen we ook een heel specifiek getal en vervangen dit ook in de functie in plaats van"x": . We schrijven het verschil op, terwijl het nodig is volledig tussen haakjes zetten.

Samengestelde functieverhoging het is nuttig om onmiddellijk te vereenvoudigen. Waarvoor? Faciliteren en verkorten van de oplossing van de verdere grens.

We gebruiken formules, openen haakjes en verminderen alles wat kan worden gereduceerd:

De kalkoen is gestript, geen probleem met het gebraad:

Aangezien elk reëel getal als kwaliteit kan worden gekozen, maken we de vervanging en krijgen .

Antwoord: een priorij.

Voor verificatiedoeleinden vinden we de afgeleide met differentiatie regels en tabellen:

Het is altijd handig en prettig om van tevoren het juiste antwoord te weten, dus het is beter om mentaal of op een concept de voorgestelde functie op een "snelle" manier aan het begin van de oplossing te differentiëren.

Voorbeeld 6

Vind de afgeleide van een functie door de definitie van de afgeleide

Dit is een doe-het-zelf voorbeeld. Het resultaat ligt aan de oppervlakte:

Voorbeeld 6:Beslissing : overweeg een punt , eigendom , en stel de toename van het argument erin in . De bijbehorende functieverhoging is dan:


Laten we de afgeleide berekenen:


Dus:
Omdat als elk reëel getal kan worden gekozen en
Antwoord : een priorij.

Laten we teruggaan naar stijl #2:

Voorbeeld 7

Laten we meteen kijken wat er moet gebeuren. Door de regel van differentiatie van een complexe functie:

Beslissing: beschouw een willekeurig punt dat behoort tot , stel de toename van het argument erin in en stel de toename van de functie samen:

Laten we de afgeleide zoeken:


(1) Gebruik trigonometrische formule .

(2) Onder de sinus openen we de haakjes, onder de cosinus presenteren we soortgelijke termen.

(3) Onder de sinus verkleinen we de termen, onder de cosinus delen we de teller door de noemer term voor term.

(4) Vanwege de eigenaardigheid van de sinus verwijderen we de "min". Onder de cosinus geven we aan dat de term .

(5) We vermenigvuldigen de noemer kunstmatig om te gebruiken eerste prachtige limiet. Zo wordt de onzekerheid geëlimineerd, we kammen het resultaat.

Antwoord: a-priori

Zoals u kunt zien, ligt de grootste moeilijkheid van het betreffende probleem in de complexiteit van de limiet zelf + een lichte originaliteit van de verpakking. In de praktijk kom ik beide ontwerpmethoden tegen, daarom beschrijf ik beide benaderingen zo gedetailleerd mogelijk. Ze zijn gelijkwaardig, maar toch, in mijn subjectieve indruk, is het handiger voor dummies om vast te houden aan de eerste optie met "X nul".

Voorbeeld 8

Zoek met behulp van de definitie de afgeleide van de functie

Voorbeeld 8:Beslissing : overweeg een willekeurig punt , eigendom , laten we er een verhoging in zetten en maak een verhoging van de functie:

Laten we de afgeleide zoeken:

We gebruiken de trigonometrische formule en de eerste opmerkelijke limiet:


Antwoord : een priorij

Laten we een zeldzamere versie van het probleem analyseren:

Voorbeeld 9

Vind de afgeleide van een functie op een punt met behulp van de definitie van een afgeleide.

Ten eerste, wat moet de bottom line zijn? Nummer

Laten we het antwoord op de standaardmanier berekenen:

Beslissing: vanuit het oogpunt van duidelijkheid is deze taak veel eenvoudiger, omdat de formule in plaats daarvan rekening houdt met een specifieke waarde.

We stellen een toename in op het punt en stellen de overeenkomstige toename van de functie samen:

Bereken de afgeleide in een punt:

We gebruiken een zeer zeldzame formule voor het verschil van raaklijnen en verlaag nogmaals de oplossing tot eerste prachtige limiet:

Antwoord: per definitie van de afgeleide in een punt.

De taak is niet zo moeilijk op te lossen en "in algemene termen" - het is voldoende om te vervangen door of eenvoudig, afhankelijk van de ontwerpmethode. In dit geval krijg je natuurlijk geen getal, maar een afgeleide functie.

Voorbeeld 10

Zoek met behulp van de definitie de afgeleide van de functie op een punt (waarvan er één oneindig kan blijken te zijn), waarover ik al in algemene termen heb gesproken op theoretische les over de afgeleide.

Sommige stuksgewijs gegeven functies zijn ook differentieerbaar op de "kruispunten" van de grafiek, bijvoorbeeld de kat-hond heeft een gemeenschappelijke afgeleide en een gemeenschappelijke raaklijn (abscisas) op het punt . Curve, ja differentieerbaar door ! Degenen die dat willen, kunnen dit zelf verifiëren aan de hand van het model van het zojuist opgeloste voorbeeld.

©2015-2019 site
Alle rechten behoren toe aan hun auteurs. Deze site claimt geen auteurschap, maar biedt gratis gebruik.
Aanmaakdatum pagina: 2017-06-11

In opgave B9 wordt een grafiek van een functie of afgeleide gegeven, waaruit een van de volgende grootheden moet worden bepaald:

1. De waarde van de afgeleide op een bepaald punt x 0,
2. Hoge of lage punten (uiterste punten),
3. Intervallen van toenemende en afnemende functies (intervallen van monotoniciteit).

De functies en afgeleiden die in dit probleem worden gepresenteerd, zijn altijd continu, wat de oplossing aanzienlijk vereenvoudigt. Ondanks het feit dat de taak tot het onderdeel van de wiskundige analyse behoort, valt het zelfs binnen de macht van de zwakste studenten, aangezien hier geen diepgaande theoretische kennis vereist is.

Om de waarde van de afgeleide, extremumpunten en monotoniciteitsintervallen te vinden, zijn er eenvoudige en universele algoritmen - ze zullen hieronder allemaal worden besproken.

Lees aandachtig de toestand van opgave B9 om geen domme fouten te maken: soms komen behoorlijk volumineuze teksten over, maar er zijn weinig belangrijke voorwaarden die het verloop van de oplossing beïnvloeden.

Berekening van de waarde van het derivaat. Tweepuntsmethode:

Als het probleem een ​​grafiek van de functie f(x) krijgt, die deze grafiek op een bepaald punt x 0 raakt, en het is nodig om de waarde van de afgeleide op dit punt te vinden, wordt het volgende algoritme toegepast:

1. Zoek twee "adequate" punten op de raaklijngrafiek: hun coördinaten moeten een geheel getal zijn. Laten we deze punten aanduiden als A (x 1 ; y 1) en B (x 2 ; y 2). Schrijf de coördinaten correct op - dit is het belangrijkste punt van de oplossing, en elke fout hier leidt tot het verkeerde antwoord.
2. Als je de coördinaten kent, is het gemakkelijk om de toename van het argument Δx = x 2 − x 1 en de toename van de functie Δy = y 2 − y 1 te berekenen.
3. Tenslotte vinden we de waarde van de afgeleide D = Δy/Δx. Met andere woorden, u moet de functietoename delen door de argumenttoename - en dit zal het antwoord zijn.

We merken nogmaals op: de punten A en B moeten precies op de raaklijn worden gezocht, en niet op de grafiek van de functie f(x), zoals vaak het geval is. De raaklijn zal noodzakelijkerwijs ten minste twee van dergelijke punten bevatten, anders is het probleem onjuist geformuleerd.

Beschouw de punten A (−3; 2) en B (−1; 6) en vind de stappen:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Laten we de waarde van de afgeleide zoeken: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Taak. De afbeelding toont de grafiek van de functie y \u003d f (x) en de raaklijn eraan op het punt met de abscis x 0. Zoek de waarde van de afgeleide van de functie f(x) in het punt x 0 .

Overweeg de punten A (0; 3) en B (3; 0), zoek stappen:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Nu vinden we de waarde van de afgeleide: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Taak. De afbeelding toont de grafiek van de functie y \u003d f (x) en de raaklijn eraan op het punt met de abscis x 0. Zoek de waarde van de afgeleide van de functie f(x) in het punt x 0 .

Overweeg de punten A (0; 2) en B (5; 2) en vind stappen:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Het blijft om de waarde van de afgeleide te vinden: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Uit het laatste voorbeeld kunnen we de regel formuleren: als de raaklijn evenwijdig is aan de OX-as, is de afgeleide van de functie op het raakpunt gelijk aan nul. In dit geval hoeft u niet eens iets te berekenen - kijk maar naar de grafiek.

Hoge en lage punten berekenen

Soms wordt in plaats van een grafiek van een functie in opgave B9 een grafiek van de afgeleide gegeven en is het nodig om het maximum- of minimumpunt van de functie te vinden. In dit scenario is de tweepuntsmethode nutteloos, maar er is een ander, nog eenvoudiger algoritme. Laten we eerst de terminologie definiëren:

1. Het punt x 0 wordt het maximumpunt van de functie f(x) genoemd als in een bepaalde buurt van dit punt de volgende ongelijkheid geldt: f(x 0) ≥ f(x).
2. Het punt x 0 wordt het minimumpunt van de functie f(x) genoemd als in een bepaalde buurt van dit punt de volgende ongelijkheid geldt: f(x 0) ≤ f(x).

Om de maximale en minimale punten op de grafiek van de afgeleide te vinden, volstaat het om de volgende stappen uit te voeren:

1. Teken de grafiek van de afgeleide opnieuw en verwijder alle onnodige informatie. Zoals de praktijk laat zien, interfereren extra gegevens alleen met de beslissing. Daarom markeren we de nullen van de afgeleide op de coördinatenas - en dat is alles.
2. Ontdek de tekens van de afgeleide op de intervallen tussen nullen. Als voor een bepaald punt x 0 bekend is dat f'(x 0) ≠ 0, dan zijn er maar twee opties mogelijk: f'(x 0) ≥ 0 of f'(x 0) ≤ 0. Het teken van de afgeleide is gemakkelijk te bepalen uit de originele tekening: als de afgeleide grafiek boven de OX-as ligt, dan is f'(x) ≥ 0. Omgekeerd, als de afgeleide grafiek onder de OX-as ligt, dan is f'(x) ≤ 0.
3. We controleren opnieuw de nullen en tekens van de afgeleide. Waar het teken van min naar plus verandert, is er een minimumpunt. Omgekeerd, als het teken van de afgeleide verandert van plus naar min, is dit het maximale punt. Er wordt altijd van links naar rechts geteld.

Dit schema werkt alleen voor continue functies - er zijn geen andere in opgave B9.

Taak. De figuur toont een grafiek van de afgeleide van de functie f(x) gedefinieerd op het segment [−5; 5]. Zoek het minimumpunt van de functie f(x) op dit segment.

Laten we ons ontdoen van onnodige informatie - we laten alleen de grenzen [−5; 5] en de nullen van de afgeleide x = −3 en x = 2,5. Let ook op de borden:

Het is duidelijk dat op het punt x = −3 het teken van de afgeleide verandert van min naar plus. Dit is het minimum punt.

Taak. De figuur toont een grafiek van de afgeleide van de functie f(x) gedefinieerd op het segment [−3; 7]. Vind het maximale punt van de functie f(x) op dit segment.

Laten we de grafiek opnieuw tekenen, waarbij we alleen de grenzen overlaten [−3; 7] en de nullen van de afgeleide x = -1,7 en x = 5. Let op de tekens van de afgeleide in de resulterende grafiek. We hebben:

Het is duidelijk dat op het punt x = 5 het teken van de afgeleide verandert van plus naar min - dit is het maximale punt.

Taak. De figuur toont een grafiek van de afgeleide van de functie f(x) gedefinieerd op het segment [−6; 4]. Vind het aantal maximale punten van de functie f(x) behorend bij het segment [−4; 3].

Uit de voorwaarden van het probleem volgt dat het voldoende is om alleen het deel van de grafiek te beschouwen dat wordt begrensd door het segment [−4; 3]. Daarom bouwen we een nieuwe grafiek, waarop we alleen de grenzen markeren [−4; 3] en de nullen van de afgeleide erin. Namelijk de punten x = −3,5 en x = 2. We krijgen:

Op deze grafiek is er maar één maximumpunt x = 2. Daarin verandert het teken van de afgeleide van plus naar min.

Een kleine opmerking over punten met niet-gehele coördinaten. In het laatste probleem werd bijvoorbeeld het punt x = −3.5 beschouwd, maar met hetzelfde succes kunnen we x = −3.4 nemen. Als het probleem correct is geformuleerd, zouden dergelijke wijzigingen het antwoord niet moeten beïnvloeden, aangezien de punten "zonder vaste woonplaats" niet direct betrokken zijn bij het oplossen van het probleem. Met integere punten werkt zo'n truc natuurlijk niet.

Intervallen van toename en afname van een functie vinden

In een dergelijk probleem, zoals de punten van maximum en minimum, wordt voorgesteld om gebieden te vinden waarin de functie zelf toeneemt of afneemt uit de grafiek van de afgeleide. Laten we eerst definiëren wat oplopend en aflopend is:

1. Een functie f(x) heet toenemend op een segment als voor twee willekeurige punten x 1 en x 2 van dit segment de bewering waar is: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Met andere woorden, hoe groter de waarde van het argument, hoe groter de waarde van de functie.
2. Een functie f(x) wordt afnemend op een segment genoemd als voor elke twee punten x 1 en x 2 van dit segment de bewering waar is: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Die. een grotere waarde van het argument komt overeen met een kleinere waarde van de functie.

We formuleren voldoende voorwaarden voor het verhogen en verlagen:

1. Om een ​​continue functie f(x) op het segment te laten toenemen, is het voldoende dat de afgeleide binnen het segment positief is, d.w.z. f'(x) ≥ 0.
2. Om een ​​continue functie f(x) op het segment te laten afnemen, is het voldoende dat de afgeleide binnen het segment negatief is, d.w.z. f'(x) ≤ 0.

Wij accepteren deze beweringen zonder bewijs. We verkrijgen dus een schema voor het vinden van intervallen van toename en afname, dat in veel opzichten vergelijkbaar is met het algoritme voor het berekenen van extreme punten:

1. Verwijder alle overbodige informatie. Op de originele grafiek van de afgeleide zijn we vooral geïnteresseerd in de nullen van de functie, dus laten we ze alleen.
2. Markeer de tekens van de afgeleide op de intervallen tussen nullen. Waar f'(x) ≥ 0, neemt de functie toe, en waar f'(x) ≤ 0, neemt deze af. Als de taak beperkingen heeft op de x-variabele, markeren we deze bovendien in de nieuwe grafiek.
3. Nu we het gedrag van de functie en de beperking kennen, moeten we nog de vereiste waarde in het probleem berekenen.

Taak. De figuur toont een grafiek van de afgeleide van de functie f(x) gedefinieerd op het segment [−3; 7.5]. Vind de intervallen van afnemende functie f(x). Schrijf in je antwoord de som van de gehele getallen die in deze intervallen zijn opgenomen.

Zoals gewoonlijk tekenen we de grafiek opnieuw en markeren we de grenzen [−3; 7.5], evenals de nullen van de afgeleide x = -1,5 en x = 5,3. Daarna markeren we de tekens van de afgeleide. We hebben:

Aangezien de afgeleide negatief is op het interval (− 1,5), is dit het interval van afnemende functie. Het blijft over om alle gehele getallen binnen dit interval op te tellen:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Taak. De figuur toont een grafiek van de afgeleide van de functie f(x) gedefinieerd op het segment [−10; 4]. Zoek de intervallen van toenemende functie f(x). Noteer in je antwoord de lengte van de grootste ervan.

Laten we ons ontdoen van overbodige informatie. We laten alleen de grenzen [−10; 4] en nullen van de afgeleide, die dit keer vier bleken te zijn: x = −8, x = −6, x = −3 en x = 2. Noteer de tekens van de afgeleide en krijg het volgende plaatje:

We zijn geïnteresseerd in de intervallen van toenemende functie, d.w.z. waarbij f'(x) ≥ 0. Er zijn twee van dergelijke intervallen in de grafiek: (−8; −6) en (−3; 2). Laten we hun lengte berekenen:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Omdat het nodig is om de lengte van de grootste van de intervallen te vinden, schrijven we de waarde l 2 = 5 als antwoord.