Mathcad is een softwaretool, een omgeving voor het uitvoeren van verschillende wiskundige en technische berekeningen op een computer, uitgerust met een eenvoudig te leren en gebruiksvriendelijke grafische interface die de gebruiker tools biedt voor het werken met formules, getallen, grafieken en teksten. Meer dan honderd operatoren en logische functies zijn beschikbaar in de Mathcad-omgeving, ontworpen voor het numeriek en symbolisch oplossen van wiskundige problemen van verschillende complexiteit.

Om wiskundige, technische en wetenschappelijke berekeningen te automatiseren, wordt een verscheidenheid aan computerhulpmiddelen gebruikt - van programmeerbare microrekenmachines tot supercomputers. En toch blijven dergelijke berekeningen voor velen een moeilijke zaak. Bovendien heeft het gebruik van computers voor berekeningen nieuwe moeilijkheden met zich meegebracht: voordat de gebruiker met berekeningen begint, moet hij de basis van algoritmen beheersen, een of meer programmeertalen leren, evenals numerieke berekeningsmethoden. De situatie is aanzienlijk veranderd na de introductie van gespecialiseerde softwaresystemen voor de automatisering van wiskundige en technische berekeningen.

Dergelijke complexen zijn onder meer de softwarepakketten Mathcad, MatLab, Mathematica, Maple, MuPAD, Derive, etc. Mathcad neemt in deze reeks een bijzondere plaats in.

Mathcad is een geïntegreerd systeem voor het oplossen van wiskundige, technische en wetenschappelijke problemen. Het bevat een tekst- en formule-editor, een rekenmachine, wetenschappelijke en zakelijke grafische hulpmiddelen, evenals een enorme database met referentie-informatie, zowel wiskundig als technisch, ontworpen als een naslagwerk ingebouwd in Mathcad, een set elektronische boeken en gewone "papieren" " boeken, inclusief en in het Russisch

De teksteditor wordt gebruikt om teksten in te voeren en te bewerken. De teksten zijn commentaar en de daarin opgenomen wiskundige uitdrukkingen worden niet uitgevoerd. De tekst kan bestaan ​​uit woorden, wiskundige symbolen, uitdrukkingen en formules.

De formuleprocessor biedt een natuurlijke reeks formules met meerdere verdiepingen in bekende wiskundige notatie (delen, vermenigvuldigen, vierkantswortel, integraal, som, enz.). De nieuwste versie van Mathcad ondersteunt volledig Cyrillische letters in opmerkingen, formules en grafieken.

De rekenmachine biedt berekeningen met behulp van complexe wiskundige formules, heeft een groot aantal ingebouwde wiskundige functies, stelt u in staat om series, sommen, producten, integralen, afgeleiden te berekenen, met complexe getallen te werken, lineaire en niet-lineaire vergelijkingen op te lossen, evenals differentiaalvergelijkingen en systemen, minimaliseer en maximaliseer functies, voer vector- en matrixbewerkingen uit, statistische analyse, enz. U kunt eenvoudig de bitdiepte en basis van getallen (binair, octaal, decimaal en hexadecimaal) wijzigen, evenals de fout van iteratieve methoden. Automatische controle van afmetingen en herberekening in verschillende meetsystemen (SI, GHS, Anglo-Amerikaans, maar ook op maat).

Mathcad heeft ingebouwde symbolische wiskundehulpmiddelen waarmee u problemen kunt oplossen door middel van computeranalytische transformaties.

De GPU wordt gebruikt om grafieken en diagrammen te maken. Het combineert gemakkelijke communicatie met de gebruiker met de kracht van zakelijke en wetenschappelijke graphics. Graphics is gericht op het oplossen van typische wiskundige problemen. Het is mogelijk om snel het type en de grootte van grafieken te wijzigen, tekstlabels erop te leggen en ze naar een willekeurige plaats in het document te verplaatsen.

Mathcad is een universeel systeem, d.w.z. kan op elk gebied van wetenschap en technologie worden gebruikt - overal waar wiskundige methoden worden toegepast. Het schrijven van opdrachten in het Mathcad-systeem in een taal die heel dicht bij de standaardtaal van wiskundige berekeningen ligt, vereenvoudigt het formuleren en oplossen van problemen.

Mathcad is geïntegreerd met alle andere computerscoresystemen.

Mathcad maakt het gemakkelijk om problemen op te lossen zoals:

het invoeren van verschillende wiskundige uitdrukkingen op een computer (voor verdere berekeningen of het maken van documenten, presentaties, webpagina's of elektronische en gewone "papieren" boeken);

het uitvoeren van wiskundige berekeningen (zowel analytische als numerieke methoden);

voorbereiding van grafieken (zowel tweedimensionaal als driedimensionaal) met de resultaten van berekeningen;

invoer van initiële gegevens en uitvoer van resultaten naar tekstbestanden of bestanden met databases in andere formaten;

voorbereiding van werkrapporten in de vorm van gedrukte documenten;

voorbereiding van webpagina's en publicatie van resultaten op internet;

het verkrijgen van verschillende referentie-informatie

en vele andere taken.

Sinds versie 14 is Mathcad geïntegreerd met Pro/ENGINEER (evenals met SolidWorks). De integratie van Mathcad en Pro/ENGINEER is gebaseerd op tweerichtingscommunicatie tussen deze applicaties. Hun gebruikers kunnen eenvoudig elk Mathcad-bestand koppelen aan een Pro/ENGINEER-onderdeel en -assemblage met behulp van de functie-analysefunctie van Pro/ENGINEER.

Mathcad creëert een handige computeromgeving voor een breed scala aan wiskundige berekeningen en documentatie van de resultaten van werk binnen de goedgekeurde normen. Met Mathcad kunt u bedrijfs- en branche-gecertificeerde rekentools maken op verschillende gebieden van wetenschap en technologie, waardoor een enkele methodologie wordt geboden voor alle organisaties die deel uitmaken van een bedrijf of branche

De nieuwste versie van Mathcad ondersteunt 9 talen, maakt krachtigere en duidelijkere berekeningen mogelijk.

NEEDHAM (Massachusetts). Op 12 februari 2007 kondigde PTC (Nasdaq genoteerd: PMTC), een CAD/CAM/CAE/PLM-systeemontwikkelingsbedrijf, de release aan van Mathcad 14.0, de nieuwste versie van het populaire automatiseringssysteem voor technische berekeningen. Sinds de overname van Mathsoft in april 2006, heeft PTC zijn inspanningen gericht op het verder uitbreiden van het geografische bereik van Mathcad-technologie en het aanzienlijk vergroten van het gebruikersbestand. Mathcad 14.0 breidt de mogelijkheden van de gebruiker aanzienlijk uit bij het oplossen van steeds groter wordende computerproblemen, verbetert de samenhang van berekeningsdocumenten gedurende het gehele productontwikkelingsproces.

In de huidige wereldwijde verdeling van het productontwikkelingsproces worden wetenschappelijke en technische berekeningen uiterst belangrijk. Met de release van Mathcad 14.0 biedt PTC volledige Unicode-ondersteuning en zal het product binnenkort in negen talen worden aangeboden. Nieuw onder hen zijn talen zoals Italiaans, Spaans, Koreaans en zowel Chinees - traditioneel en vereenvoudigd. Uitgebreide taalondersteuning in Mathcad 14.0 stelt geografisch verspreide teams in staat om berekeningen in hun lokale taal uit te voeren en te documenteren en als resultaat de productiviteit te verhogen door de snelheid en nauwkeurigheid te verhogen, evenals het verminderen van fouten die optreden bij het vertalen van de ene taal naar de andere.

Met Mathcad 14.0 kunt u ook complexere berekeningen uitvoeren met behoud van hun duidelijkheid met de nieuwe functies van de WorkSheet (een document geopend in de Mathcad-omgeving), aanvullende online numerieke evaluatietools en een uitgebreide tekenset. Dit zal gebruikers helpen bij het afleiden van formules, het weergeven van het rekenproces en het documenteren van de berekeningen. Uiteindelijk zullen speciale add-ons gebruikers in staat stellen om aan een breder scala aan technische taken te werken.

De integratie van Mathcad en Pro/ENGINEER is gebaseerd op tweerichtingscommunicatie tussen deze applicaties. Hun gebruikers kunnen eenvoudig elk Mathcad-bestand koppelen aan een Pro/ENGINEER-onderdeel en -assemblage met behulp van de Pro/ENGINEER-functieanalysefunctie. Basiswaarden berekend in het Mathcad-systeem kunnen worden vertaald naar parameters en afmetingen van een CAD-model om een ​​geometrisch object te besturen. Parameters uit het Pro/ENGINEER-model kunnen ook in Mathcad worden ingevoerd voor latere technische berekeningen. Bij het wijzigen van parameters stelt de onderlinge integratie van de twee systemen u in staat om de berekeningen en tekening van het object dynamisch bij te werken. Bovendien kunnen Mathcad-gestuurde Pro/ENGINEER-modellen nu worden gevalideerd met behulp van Pro/ENGINEER-simulatiemodules zoals Pro/ENGINEER Mechanica®, Structural And Thermal Simulation, Fatique Advisor Option en Mechanism Dynamics Option.

Wat is er nieuw in Mathcad 14.0?

Nieuwe tandem van interface-operators ("Two in One")

Formaat van getallen in grafieken

Zoek/vervang opdrachtwijzigingen

Vergelijk commando

Nieuw in het oplossen van ODE

Nieuwe middelen voor symbolische wiskunde

Ondersteuning voor Unicode-codetabel

Gebruikersomgeving

De gebruikersinterface betekent een set van Math CAD grafische shell-tools die gemakkelijke systeemcontrole bieden, zowel vanaf het toetsenbord als met de muis. Controle wordt opgevat als slechts een reeks noodzakelijke symbolen, formules, tekstcommentaar, enz., en de mogelijkheid om documenten (werkbladen) en elektronische boeken volledig voor te bereiden in de MathCAD-omgeving met hun daaropvolgende lancering in realtime. De gebruikersinterface van het systeem is zo ontworpen dat een gebruiker met basisvaardigheden in het werken met Windows-applicaties direct met MathCAD aan de slag kan.

Venster bewerken.

Hoofdmenu van het systeem.

De tweede regel van het systeemvenster is het hoofdmenu. Het doel van de opdrachten wordt hieronder gegeven:

Bestand (Bestand) - werken met bestanden, internet en e-mail;

PAGINA-EINDE--

Het vervolgkeuzemenu bevat opdrachten die standaard zijn voor Windows-toepassingen.

Bewerken (Bewerken) - documenten bewerken;

Het vervolgkeuzemenu bevat ook opdrachten die standaard zijn voor Windows-toepassingen.De meeste zijn alleen beschikbaar als een of meer gebieden (tekst, formule, grafiek, enz.) In het document zijn geselecteerd.

Bekijk (Overzicht) - verander de wijze van beoordeling;

Werkbalken (panelen) - hiermee kunt u de werkbalken Standaard (Standaard), Opmaak (Opmaak), Wiskunde (Wiskunde) weergeven of verbergen.

Statusbalk - Schakel de weergave van de systeemstatusbalk in of uit.

Liniaal(liniaal) - schakel de liniaal in/uit.

Regio's (Randen) - Maakt de randen van regio's zichtbaar (tekst, afbeeldingen, formules).

Zoomen (zoomen).

Vernieuwen - Vernieuwt de inhoud van het scherm.

Animeren (Animatie) - Met de opdracht kunt u een animatie maken.

Afspelen (Player) - Speel animatie af die is opgeslagen in een bestand met de AVI-extensie.

Voorkeuren (Instellingen) - Een van de tabbladen van het pop-upvenster (Algemeen) stelt u in staat enkele parameters van het programma in te stellen die geen invloed hebben op de berekeningen, het andere tabblad (Internet) wordt gebruikt om informatie in te voeren wanneer u samenwerkt met MathCAD -documenten via internet.

Invoegen (Invoegen) - Met de opdrachten in dit menu kunt u afbeeldingen, functies, hyperlinks, componenten en objecten insluiten in het MathCAD-document.

Opmaak - verander de opmaak van objecten

Vergelijking - Formules opmaken en uw eigen stijlen maken om gegevens weer te geven

Resultaat (Resultaat) - Hiermee kunt u het formaat instellen voor het presenteren van de resultaten van berekeningen (zie paragraaf 1.4 van deze lezing)

Text(Text) - Opmaak van tekstfragmenten (lettertype, grootte, stijl)

Paragraaf (Alinea) - Wijzig de opmaak van de huidige alinea (inspringingen, uitlijning).

Tabbladen (Tabulatie) - De posities van de tabulatiemarkeringen instellen.

Stijl (stijl) - Tekstparagrafen opmaken.

Eigenschappen (Eigenschappen) - Tabweergave (Weergave) stelt u in staat de achtergrondkleur in te stellen voor de belangrijkste tekst- en grafische gebieden; de afbeelding die in het document is ingevoegd (Invoegen -> Afbeelding) stelt u in staat om deze in een kader te plaatsen en terug te brengen naar de oorspronkelijke grootte. Met Vkvadka-berekening (berekening) kunt u de berekening voor de geselecteerde formule in- en uitschakelen; in het laatste geval verschijnt een kleine zwarte rechthoek in de rechterbovenhoek van het formulegebied en wordt de formule een opmerking.

Graf (Grafiek) - Hiermee kunt u de parameters voor het weergeven van grafieken wijzigen

Afzonderlijke regio's - Hiermee kunt u overlappende regio's uitbreiden.

Regio's uitlijnen - Lijnt de geselecteerde regio's horizontaal of verticaal uit.

Kop-/voetteksten (kop- en voetteksten) - het maken en bewerken van kop- en voetteksten.

Nu hernummeren (pagina's hernummeren) - Produceert een uitsplitsing van het huidige document in pagina's.

Wiskunde (Wiskunde) - beheer van het rekenproces; Er zijn twee berekeningsmodi in MathCAD: automatisch en handmatig. In de automatische modus worden de resultaten van berekeningen volledig bijgewerkt wanneer er een wijziging in de formule is.

Automatische berekening - Hiermee kunt u van berekeningsmodus wisselen.

Berekenen - In de handmatige berekeningsmodus kunt u het zichtbare deel van het scherm opnieuw berekenen.

Optimalisatie (Optimalisatie) - Met deze opdracht kunt u MathCAD dwingen symbolische berekeningen uit te voeren vóór de numerieke evaluatie van de uitdrukking en, wanneer u een compactere vorm van de uitdrukking vindt, deze gebruiken. Als de uitdrukking is geoptimaliseerd, verschijnt er rechts ervan een kleine rode asterisk. Dubbelklikken erop opent een venster met het geoptimaliseerde resultaat.

Opties - hiermee kunt u berekeningsopties instellen

Symbolik (Symbolen) - selectie van symbolische processorbewerkingen;

De posities van dit menu worden in detail besproken in college 6, gewijd aan symbolische berekeningen in het MathCAD-systeem.

Venster (Venster) - beheer van systeemvensters;

Help (?) – werken met de referentiedatabase over het systeem;

Mathcad Help (Help voor MathCAD) - bevat drie tabbladen: Inhoud - Help is geordend op onderwerp; Index - onderwerpindex; Zoeken - vindt het gewenste concept bij het invoeren in het formulier.

Resource Center - Informatiecentrum met een overzicht van de rekenmogelijkheden van MathCAD (Overview en Tutorials), snelle hulp in de vorm van voorbeelden uit verschillende gebieden van de wiskunde (Quicksheets en Reference-tabellen).

Tip van de dag - Pop-upvensters met handige tips (verschijnen wanneer het systeem opstart).

Open Boek - hiermee kunt u de MathCAD-systeemreferentie openen.

Over Mathcad (Over het programma Mathcad) - informatie over de versie van het programma, copyright en gebruiker.

Elk item van het hoofdmenu kan actief worden gemaakt. Om dit te doen, wijst u ernaar met de cursor - de muispijl en drukt u op de linkerknop. U kunt ook op de F10-toets drukken en de rechter- en linkernavigatietoetsen gebruiken. De selectie wordt dan vastgelegd door op de Enter-toets te drukken. Als een positie van het hoofdmenu actief wordt gemaakt, wordt een vervolgkeuzemenu weergegeven met een lijst met beschikbare en niet-beschikbare (maar mogelijk in de toekomst) bewerkingen. Het doorlopen van de lijst met submenu's en het selecteren van de gewenste handeling gaat op dezelfde manier als beschreven voor het hoofdmenu.

Standaard werkbalk.

De derde regel van het systeemvenster wordt ingenomen door de Toolbox. Het bevat verschillende groepen bedieningsknoppen met pictogrammen, die elk een van de belangrijkste bewerkingen van het hoofdmenu dupliceren. Zodra u de muiscursor op een van deze pictogrammen stopt, verschijnt er een tekst in het gele vak waarin de functies van de pictogrammen worden uitgelegd. Denk aan de actie van de knoppen voor snelle systeemcontrole.

Bestandsbedieningsknoppen.

Documenten van het MathCAD-systeem zijn bestanden, d.w.z. benoemde opslageenheden op magnetische schijven. Bestanden kunnen worden gemaakt, gedownload (geopend), opgenomen en afgedrukt op een printer. Mogelijke bewerkingen met bestanden worden in de werkbalk weergegeven door de eerste groep van drie knoppen:

Nieuw werkblad (maken) - een nieuw document maken door het bewerkingsvenster te wissen;

Werkblad openen (Openen) - een eerder gemaakt document laden vanuit een dialoogvenster;

Werkblad opslaan - noteer het huidige document met zijn naam.

Printen en controleren van documenten.

Werkblad afdrukken (Afdrukken) - afdruk van het document op de printer;

Afdrukvoorbeeld (Bekijken) - een voorbeeld van het document;

Spelling controleren - controleer de spelling van het document.

Knoppen voor bewerkingen.

Tijdens de voorbereiding van documenten moeten ze worden bewerkt, d.w.z. wijzigen en aanvullen.

Voortzetting
--PAGINA-EINDE--

Knippen (knippen) - het geselecteerde deel van het document overbrengen naar het klembord door dit deel van het document te wissen;

Kopiëren (kopiëren) - het geselecteerde deel van het document kopiëren naar het klembord terwijl het geselecteerde deel van het document wordt opgeslagen;

Plakken (Invoegen) - de inhoud van het klembord overbrengen naar het bewerkingsvenster op de locatie die wordt aangegeven door de muiscursor;

Ongedaan maken - annuleer de vorige bewerkingsoperatie;

De laatste drie bewerkingen hebben betrekking op het gebruik van het klembord. Het is bedoeld voor tijdelijke opslag van gegevens en hun overdracht van het ene deel van het document naar het andere, of voor het organiseren van gegevensuitwisseling tussen verschillende toepassingen.

Plaatsingsknoppen blokkeren.

Documenten bestaan ​​uit verschillende blokken: tekstueel, formeel, grafisch, enz. Blokken worden door het systeem bekeken, geïnterpreteerd en uitgevoerd. Kijken is van rechts naar links en van onder naar boven.

/>- Uitlijnen over (horizontaal uitlijnen) - blokken worden horizontaal uitgelijnd.

/>- Uitlijnen - blokken worden verticaal uitgelijnd, van boven naar beneden.

De pictogrammen van deze knoppen geven de blokken en de aangegeven opties voor hun plaatsing weer.

Expressie-bedieningsknoppen

Formuleblokken zijn vaak berekende uitdrukkingen of uitdrukkingen die deel uitmaken van door de gebruiker gedefinieerde nieuwe functies. Pictogrammen worden gebruikt om met uitdrukkingen te werken.

De volgende groepen knoppen zijn specifiek voor het MathCAD-systeem.

/> Functie invoegen - voeg een functie in uit de lijst die in het dialoogvenster verschijnt;

/>Eenheid invoegen (Eenheden invoegen) - maateenheden invoegen;

Toegang tot nieuwe functies van MathCAD.

Vanaf versie MathCAD 7.0 zijn er nieuwe knoppen verschenen die toegang geven tot nieuwe systeemfuncties:

/>Component Wizard - opent het Wizard-venster, dat gemakkelijke toegang geeft tot alle systeemcomponenten;

/>Ran Math Connex (het Math Connex-systeem gebruiken) - voert het systeem uit om blokapparaten te stimuleren.

Knoppen voor het beheer van bronnen.

/>Resource Center - geeft toegang tot het resourcecentrum;

/>Help (Help) - geeft toegang tot de bronnen van de helpdatabase van het systeem.

Opmaak paneel.

De vierde regel bovenaan het scherm bevat typische lettertype-besturingselementen:

Stijl - Stijlkeuzeschakelaar;

Lettertype - Schakelaar voor het kiezen van een tekenset;

Puntgrootte - Schakelaar voor het selecteren van tekengroottes;

Vet - Stel vetgedrukte tekens in;

Italik - Cursieve tekens instellen;

Onderstrepen - Onderstreepte tekens instellen;

Links uitlijnen - De linker uitlijning instellen;

Center Align - Stel de uitlijning in op het midden;

Rechts uitlijnen - De juiste uitlijning instellen.

Totdat de set documentelementen wordt gestart, bevinden sommige van de beschreven knoppen en andere gebruikersinterface-objecten zich in een passieve toestand. Er zijn met name geen labels in de schakelvakken van de formaatbalk. Pictogrammen en schakelaars worden actief zodra ze moeten worden gebruikt.

Onder aan het scherm is er naast de horizontale schuifbalk nog een regel - de statusbalk. Het toont service-informatie, korte opmerkingen, paginanummer, enz. Deze informatie is handig om snel de status van het systeem te beoordelen terwijl u ermee werkt.

Zetwerk wiskundige werkbalken.

Om wiskundige symbolen in MathCAD in te voeren, worden handige verplaatsbare zetpanelen met tekens gebruikt. Ze dienen om spaties uit te voeren - sjablonen van wiskundige tekens (getallen, tekens van rekenkundige bewerkingen, matrices, tekens van integralen, afgeleiden, enz.). Om het Math-paneel weer te geven, voert u de opdracht Beeld -> Werkbalk -> Math uit. Zetpanelen verschijnen in het documentbewerkingsvenster wanneer de bijbehorende pictogrammen zijn geactiveerd - de eerste regel met systeembesturingspictogrammen. Met behulp van een gemeenschappelijk zetwerkpaneel kunt u ofwel alle panelen tegelijk weergeven of alleen die panelen die nodig zijn voor het werk. Om de vereiste sjabloon met hun hulp in te stellen, volstaat het om de cursor op de gewenste locatie van het bewerkingsvenster te plaatsen (rood kruis op het kleurendisplay) en vervolgens het pictogram van de gewenste sjabloon te activeren door de muiscursor erop te plaatsen en op te drukken zijn linkerknop.

Veel van de functies en bewerkingen die in een document worden ingevoegd met behulp van schrijfblokken voor wiskunde, kunnen met behulp van sneltoetsen in een document worden geplaatst. Tegelijkertijd wordt het werken in het MathCAD-systeem productiever. We raden u aan sneltoetsen te onthouden voor ten minste enkele van de meest gebruikte opdrachten.

Meer details over het werken met extra panelen die zijn ingeschakeld door de knoppen van het paneel Math zullen worden beschreven in de relevante secties.

1. MathCAD-werkvenster

· Paneel Wiskunde(Afb. 1.4).

Rijst. 1.4. Wiskundig paneel

Als u op de knop van de wiskundewerkbalk klikt, wordt een extra werkbalk geopend:

2. Elementen van taal WiskundeCAD

De basiselementen van wiskundige uitdrukkingen van MathCAD omvatten operators, constanten, variabelen, arrays en functies.

2.1 Operators

Operators -- elementen van MathCAD waarmee je wiskundige uitdrukkingen kunt maken. Dit zijn bijvoorbeeld symbolen voor rekenkundige bewerkingen, tekens voor het berekenen van sommen, producten, afgeleiden, integralen, enz.

De operator definieert:

a) de actie die moet worden uitgevoerd in aanwezigheid van bepaalde waarden van de operanden;

b) hoeveel, waar en welke operanden moeten worden ingevoerd in de operator.

operand -- het getal of de uitdrukking waarop de operator reageert. Bijvoorbeeld, in de uitdrukking 5!+3, de getallen 5! en 3 zijn de operanden van de "+" (plus) operator, en het getal 5 is de operand van de faculteit (!).

Elke operator in MathCAD kan op twee manieren worden ingevoerd:

door op een toets (toetscombinatie) op het toetsenbord te drukken;

met behulp van het wiskundepaneel.

De volgende instructies worden gebruikt om de inhoud van de geheugenlocatie die is gekoppeld aan een variabele toe te wijzen of weer te geven:

Toewijzingsteken (ingevoerd door op de toets te drukken) : op het toetsenbord (dubbele punt in de Engelse toetsenbordindeling) of door op de overeenkomstige knop op het paneel te drukken Rekenmachine );

Deze opdracht heet lokaal. Voorafgaand aan deze toewijzing is de variabele niet gedefinieerd en kan deze niet worden gebruikt.

Globale toewijzingsoperator. Deze toewijzing kan overal in het document worden gemaakt. Als een variabele bijvoorbeeld op deze manier helemaal aan het einde van het document een waarde krijgt, heeft deze dezelfde waarde aan het begin van het document.

Geschatte gelijkheidsoperator (x1). Gebruikt bij het oplossen van stelsels van vergelijkingen. Ingevoerd door op een toets te drukken ; op het toetsenbord (puntkomma in de Engelse toetsenbordindeling) of door op de bijbehorende knop op Booleaans paneel.

Een operator (eenvoudig gelijk aan) gereserveerd voor het uitvoeren van de waarde van een constante of variabele.

De eenvoudigste berekeningen

Het berekeningsproces wordt uitgevoerd met behulp van:

Rekenpanelen, rekenpanelen en schattingspanelen.

Aandacht. Als het nodig is om de hele uitdrukking in de teller te delen, moet deze eerst worden geselecteerd door op de spatiebalk op het toetsenbord te drukken of door deze tussen haakjes te plaatsen.

2.2 Constanten

constanten -- benoemde objecten die een waarde hebben die niet kan worden gewijzigd.

Bijvoorbeeld = 3,14.

Dimensionale constanten zijn gebruikelijke meeteenheden. Bijvoorbeeld meters, seconden, etc.

Om de maatconstante op te schrijven, moet u het teken * (vermenigvuldigen) achter het getal invoeren, het menu-item selecteren Invoegen alinea Eenheid. In afmetingen de voor u meest bekende categorieën: Lengte - lengte (m, km, cm); Massa -- gewicht (g, kg, t); Tijd -- tijd (min, sec, uur).

2.3 Variabelen

Variabelen zijn benoemde objecten die een waarde hebben die kunnen veranderen terwijl het programma wordt uitgevoerd. Variabelen kunnen numeriek, tekenreeks, teken, enz. zijn. Variabelen krijgen waarden toegewezen met behulp van het toewijzingsteken (:=).

Aandacht. MathCAD behandelt hoofdletters en kleine letters als verschillende identifiers.

Systeemvariabelen

BIJ WiskundeCAD bevat een kleine groep speciale objecten die niet kunnen worden toegeschreven aan de klasse van constanten of aan de klasse van variabelen, waarvan de waarden onmiddellijk worden bepaald nadat het programma is gestart. Het is beter om ze te tellen systeem variabelen. Dit is bijvoorbeeld TOL - de fout van numerieke berekeningen, ORIGIN - de ondergrens van de waarde van de indexindex van vectoren, matrices, enz. Indien nodig kunt u andere waarden voor deze variabelen instellen.

gerangschikte variabelen

Deze variabelen hebben een reeks vaste waarden, ofwel integer of variërend in een bepaalde stap van de beginwaarde tot de uiteindelijke waarde.

Een expressie wordt gebruikt om een ​​variabel bereik te maken:

Naam=N beginnen ,(N beginnen +Stap). Nee einde ,

waarbij Naam de naam van de variabele is;

N begin -- beginwaarde;

Stap -- de gespecificeerde stap voor het wijzigen van de variabele;

N einde -- eindwaarde.

Gerangschikte variabelen worden veel gebruikt bij het plotten. Om bijvoorbeeld een grafiek van een bepaalde functie te plotten f(x) allereerst moet u een reeks variabele waarden maken x-- het moet een variabele variabele zijn om dit te laten werken.

Aandacht. Als u geen stap opgeeft in het variabele bereik, zal het programma deze automatisch gelijk aan 1 nemen.

Voorbeeld . Variabele x varieert in het bereik van -16 tot +16 in stappen van 0,1

Om een ​​ranged-variabele te schrijven, typt u:

- variabele naam ( x);

- opdrachtteken (:=)

- de eerste waarde van het bereik (-16);

- een komma;

- de tweede waarde van het bereik, die de som is van de eerste waarde en de stap (-16 + 0,1);

- weglatingsteken ( . ) -- de variabele wijzigen binnen de gegeven limieten (de ellips wordt ingevoerd door op een puntkomma te drukken in de Engelse toetsenbordindeling);

— de laatste waarde van het bereik (16).

Als resultaat krijg je: x := -16,-16+0.1.16.

Uitvoertabellen

Elke expressie met gerangschikte variabelen na het gelijkteken initieert de uitvoertabel.

U kunt numerieke waarden in de uitvoertabellen invoegen en corrigeren.

Variabele met index

Variabele met index-- is een variabele waaraan een reeks niet-gerelateerde getallen is toegewezen, die elk hun eigen nummer (index) hebben.

De index wordt ingevoerd door op het linker vierkante haakje op het toetsenbord te drukken of door de knop x n op het paneel Rekenmachine.

U kunt een constante of een uitdrukking als index gebruiken. Om een ​​variabele met een index te initialiseren, moet u de elementen van de array invoeren, gescheiden door komma's.

Voorbeeld. Indexvariabelen invoeren.

Numerieke waarden worden in de tabel ingevoerd, gescheiden door komma's;

Uitvoer van de waarde van het eerste element van de vector S;

De waarde van het nulelement van de vector S uitvoeren.

2.4 Arrays

reeks -- een uniek benoemde verzameling van een eindig aantal numerieke of tekenelementen, op de een of andere manier geordend en met specifieke adressen.

In het pakket WiskundeCAD arrays van de twee meest voorkomende typen worden gebruikt:

eendimensionaal (vectoren);

tweedimensionaal (matrices).

U kunt een matrix- of vectorsjabloon op een van de volgende manieren uitvoeren:

selecteer menu-item Invoegen - Matrix;

druk op de toetsencombinatie ctrl + M;

druk op de knop op paneel en vectoren en matrices.

Als resultaat verschijnt er een dialoogvenster waarin het vereiste aantal rijen en kolommen wordt ingesteld:

rijen-- aantal regels

kolommen-- aantal kolommen Als een matrix (vector) een naam moet krijgen, dan wordt eerst de naam van de matrix (vector) ingevoerd, daarna de toewijzingsoperator en daarna het matrixsjabloon.

bijvoorbeeld:

Matrix -- een tweedimensionale matrix genaamd M n , m , bestaande uit n rijen en m kolommen.

U kunt verschillende wiskundige bewerkingen op matrices uitvoeren.

2.5 Functies

Functie -- een uitdrukking volgens welke sommige berekeningen worden uitgevoerd met argumenten en de numerieke waarde wordt bepaald. Functie voorbeelden: zonde(x), bruinen(x) en etc.

Functies in het MathCAD-pakket kunnen ingebouwd of door de gebruiker gedefinieerd zijn. Manieren om een ​​inline-functie in te voegen:

Selecteer menu-item Invoegen — Functie.

Druk op toetscombinatie ctrl + E.

Klik op de knop op de werkbalk.

Typ de naam van de functie op het toetsenbord.

Gebruikersfuncties worden meestal gebruikt wanneer dezelfde uitdrukking meerdere keren wordt geëvalueerd. Om een ​​gebruikersfunctie in te stellen:

Voer de naam van de functie in met de verplichte vermelding van het argument tussen haakjes, bijvoorbeeld f (x);

Voer de toewijzingsoperator in (:=);

Voer een berekende uitdrukking in.

Voorbeeld. f (z) := zonde (2 z 2)

3. Nummeropmaak

In MathCAD kunt u het uitvoerformaat van getallen wijzigen. Meestal worden berekeningen gemaakt met een nauwkeurigheid van 20 cijfers, maar niet alle significante cijfers worden weergegeven. Om het getalformaat te wijzigen, dubbelklikt u op het gewenste numerieke resultaat. Het nummeropmaakvenster verschijnt, open op het tabblad nummer Formaat (Getalnotatie) met de volgende notaties:

O Algemeen (Hoofd) -- is de standaardinstelling. Nummers worden in volgorde weergegeven (bijvoorbeeld 1.2210 5). Het aantal tekens van de mantisse wordt bepaald in het veld exponentieel Drempel(Exponentiële notatiedrempel). Wanneer de drempel wordt overschreden, wordt het nummer op volgorde weergegeven. Het aantal cijfers achter de komma verandert in het veld nummer van decimale plaatsen.

O Decimale (Decimaal) -- De decimale weergave van getallen met drijvende komma (bijvoorbeeld 12.2316).

O Wetenschappelijk (wetenschappelijk) -- Cijfers worden alleen in volgorde weergegeven.

O Engineering (Engineering) -- getallen worden alleen weergegeven in veelvouden van drie (bijvoorbeeld 1.2210 6).

Aandacht. Als u, na het instellen van het gewenste formaat in het getalnotatievenster, de knop Oké, het formaat wordt alleen voor het geselecteerde nummer ingesteld. En als u de knop Instellen als standaard selecteert, wordt het formaat toegepast op alle getallen in dit document.

Getallen worden automatisch naar beneden afgerond op nul als ze lager zijn dan de ingestelde drempel. De drempel wordt ingesteld voor het hele document, niet voor een specifiek resultaat. Om de afrondingsdrempel naar nul te wijzigen, selecteert u het menu-item Opmaak - Resultaat en in tabblad tolerantie , in het veld Nul drempel voer de gewenste drempelwaarde in.

4. Werken met tekst

Tekstfragmenten zijn stukjes tekst die de gebruiker in zijn document zou willen zien. Dit kunnen uitleg, links, opmerkingen, enz. zijn. Ze worden ingevoegd met behulp van het menu-item Invoegen — Tekstgebied.

U kunt de tekst opmaken: verander het lettertype, de grootte, stijl, uitlijning, enz. Om dit te doen, moet u het selecteren en de juiste opties selecteren in het lettertypepaneel of in het menu opmaak — Tekst.

5. Werken met afbeeldingen

Bij het oplossen van veel problemen waarbij een functie wordt bestudeerd, wordt het vaak nodig om de grafiek ervan te plotten, die duidelijk het gedrag van de functie op een bepaald interval weergeeft.

In het MathCAD-systeem is het mogelijk om verschillende soorten grafieken te bouwen: in cartesiaanse en polaire coördinatensystemen, driedimensionale grafieken, oppervlakken van omwentelingslichamen, veelvlakken, ruimtelijke krommen, vectorveldgrafieken. We zullen bekijken hoe we sommige ervan kunnen bouwen.

5.1 2D-plots plotten

Om een ​​tweedimensionale grafiek van een functie te bouwen, moet u:

een functie instellen

· plaats de cursor op de plaats waar de grafiek moet worden gebouwd, selecteer in het wiskundige paneel de knop Graph (grafiek) en in het paneel dat wordt geopend, de X-Y Plot-knop (tweedimensionale grafiek);

Voer in het verschenen sjabloon van een tweedimensionale grafiek, een lege rechthoek met gegevenslabels, de naam van de variabele in het centrale gegevenslabel langs de abscis (X-as) in en voer de naam van de functie in in plaats van het centrale gegevenslabel langs de ordinaat-as (Y-as) (Fig. 2.1 );

Rijst. 2.1. 2D-plotsjabloon

klik buiten de grafieksjabloon -- de grafiek van de functie wordt geplot.

Het argumentbereik bestaat uit 3 waarden: initiaal, tweede en laatste.

Laat het nodig zijn om een ​​functiegrafiek te plotten op het interval [-2,2] met een stap van 0.2. Variabele waarden t worden als volgt gespecificeerd als een bereik:

t:= —2, - 1.8 . 2 ,

waarbij: -2 -- de beginwaarde van het bereik;

1,8 (-2 + 0,2) -- tweede bereikwaarde (beginwaarde plus stap);

2 is de eindwaarde van het bereik.

Aandacht. Een weglatingsteken wordt ingevoerd door op een puntkomma te drukken in de Engelse toetsenbordindeling.

Voorbeeld. Een functie plotten ja = x 2 op het interval [-5,5] met een stap van 0,5 (Fig. 2.2).

Rijst. 2.2. Een functie plotten ja = x 2

Houd bij het plotten van grafieken rekening met het volgende:

° Als het bereik van de argumentwaarden niet is opgegeven, wordt de grafiek standaard gebouwd in het bereik [-10,10].

° Als het nodig is om meerdere grafieken in één sjabloon te plaatsen, dan worden de namen van de functies aangegeven, gescheiden door komma's.

° Als twee functies verschillende argumenten hebben, bijvoorbeeld f1(x) en f2(y), dan worden de namen van de functies aangegeven op de ordinaat (Y)-as, gescheiden door komma's, en op de abscis (X)-as, de namen van beide variabelen worden ook gescheiden door komma's.

° De extreme gegevensmarkeringen op het kaartsjabloon dienen om de grenswaarden van de abscis en ordinaat aan te geven, d.w.z. ze bepalen de schaal van de kaart. Als u deze labels blanco laat, wordt de schaal automatisch ingesteld. De automatische schaal geeft de grafiek niet altijd in de gewenste vorm weer, dus de grenswaarden van de abscis en ordinaat moeten worden bewerkt door ze handmatig te wijzigen.

Opmerking. Als de grafiek na het plotten niet de gewenste vorm aanneemt, kunt u:

Stap verkleinen.

· verander het plotten interval.

Verlaag de grenswaarden van abscis en ordinaat op de kaart.

Voorbeeld. Constructie van een cirkel met een middelpunt in een punt (2,3) en een straal R = 6.

De vergelijking van een cirkel met het middelpunt op een punt met coördinaten ( x 0 ,ja 0) en straal R wordt geschreven als:

Druk uit van deze vergelijking ja:

Om een ​​cirkel te construeren, is het dus nodig om twee functies in te stellen: de bovenste en onderste halve cirkels. Het argumentbereik wordt als volgt berekend:

- beginwaarde van het bereik = x 0 — R;

- eindwaarde van het bereik = x 0 + R;

- het is beter om de stap gelijk aan 0,1 te nemen (Fig. 2.3.).

Rijst. 2.3. Constructie van een cirkel

Parametrische grafiek van een functie

Soms is het handiger in plaats van een lijnvergelijking met betrekking tot rechthoekige coördinaten x en ja, overweeg de zogenaamde parametrische lijnvergelijkingen, die uitdrukkingen geven voor de huidige x- en y-coördinaten als functies van een variabele t(parameter): x(t) en ja(t). Bij het construeren van een parametrische grafiek worden de namen van functies van één argument aangegeven op de ordinaat- en abscis-assen.

Voorbeeld. Constructie van een cirkel gecentreerd op een punt met coördinaten (2,3) en straal R= 6. Voor de constructie wordt de parametervergelijking van de cirkel gebruikt

x = x 0 + R want ( t) ja = ja 0 + R zonde( t) (Afb. 2.4.).

Rijst. 2.4. Constructie van een cirkel

Grafiekopmaak

Dubbelklik op het grafiekgebied om een ​​grafiek op te maken. Het dialoogvenster Grafiekopmaak wordt geopend. De tabbladen in het diagramopmaakvenster worden hieronder weergegeven:

§ X- ja assen-- opmaak van de coördinaatassen. Door de juiste vakjes aan te vinken, kunt u:

· Logboek Schaal-- vertegenwoordigen numerieke waarden op de assen op een logaritmische schaal (standaard worden numerieke waarden op een lineaire schaal uitgezet)

· Rooster lijnen-- teken een raster van lijnen;

· genummerd-- Schik de nummers langs de coördinaatassen;

· Auto Schaal-- automatische selectie van numerieke grenswaarden op de assen (als dit vakje niet is aangevinkt, zijn de maximaal berekende waarden een limiet);

· tonen markeerstift-- de grafiek markeren in de vorm van horizontale of verticale stippellijnen die overeenkomen met de opgegeven waarde op de as, en de waarden zelf worden weergegeven aan het einde van de lijnen (2 invoerplaatsen verschijnen op elke as, waarin u kunt voer numerieke waarden in, voer niets in, voer één cijfer of letter in aanduidingen van constanten);

· Auto Gontdoen-- automatische selectie van het aantal rasterlijnen (als dit vakje niet is aangevinkt, moet u het aantal lijnen specificeren in het veld Aantal rasters);

· gekruist-- de as van de abscis gaat door nul van de ordinaat;

· Verpakt-- de x-as loopt langs de onderrand van de grafiek.

§ Spoor-- lijnopmaak van functiegrafieken. Voor elke grafiek afzonderlijk kunt u het volgende wijzigen:

symbool (symbool) op de kaart voor knooppunten (cirkel, kruis, rechthoek, ruit);

lijntype (Effen - ononderbroken, Punt - stippellijn, Streepje - streken, Dadot - streep-stippellijn);

lijnkleur (kleur);

Type (Tuur) van de grafiek (Lijnen - lijn, Punten - punten, Var of Solidbar - staven, Stappen - stappengrafiek, enz.);

lijndikte (gewicht).

§ Label -- titel in het grafiekgebied. In veld Titel (Titel) u kunt de tekst van de titel schrijven, de positie selecteren - aan de boven- of onderkant van de grafiek ( Boven -- bovenkant, Onderstaand -- beneden). U kunt, indien nodig, de namen van het argument en de functie invoeren ( Aslabels ).

§ Standaardinstellingen -- met dit tabblad kunt u terugkeren naar de standaardkaartweergave (Wijzigen naar standaard), of de wijzigingen die u standaard in de kaart hebt aangebracht voor alle grafieken in dit document gebruiken (Gebruiken voor standaardinstellingen).

5.2 Poolpercelen bouwen

Om een ​​polaire grafiek van een functie te bouwen, moet u:

· stel het bereik van argumentwaarden in;

een functie instellen

· plaats de cursor op de plaats waar de grafiek moet worden gebouwd, selecteer in het wiskundige paneel de knop Graph (grafiek) en in het paneel dat wordt geopend, de knop Polar Plot (polaire grafiek);

· In de invoervelden van het sjabloon dat verschijnt, moet u het hoekargument van de functie (hieronder) en de naam van de functie (links) invoeren.

Voorbeeld. Constructie van Bernoulli's lemniscaat: (Fig. 2.6.)

Rijst. 2.6. Een voorbeeld van het bouwen van een poolplot

5.3 Oppervlakken plotten (3D- of 3D-plots)

Bij het maken van driedimensionale grafieken wordt het paneel gebruikt grafiek(Grafiek) wiskundepaneel. U kunt een driedimensionale grafiek maken met behulp van de wizard, opgeroepen vanuit het hoofdmenu; je kunt een grafiek maken door een matrix met waarden van een functie van twee variabelen te maken; u kunt de versnelde bouwmethode gebruiken; je kunt de speciale functies CreateMech en CreateSpase aanroepen, ontworpen om een ​​reeks functiewaarden en plot te maken. We zullen een versnelde methode overwegen voor het construeren van een driedimensionale grafiek.

Snel grafieken maken

Om snel een driedimensionale grafiek van een functie te maken, moet u:

een functie instellen

plaats de cursor op de plaats waar de grafiek moet worden gebouwd, selecteer de knop op het wiskundige paneel grafiek(Grafiek) en in het geopende paneel de knop ( oppervlakte grafiek);

· op de enige plaats van de sjabloon, voer de naam van de functie in (zonder variabelen op te geven);

· klik buiten de grafieksjabloon -- de functiegrafiek zal worden gebouwd.

Voorbeeld. Een functie plotten z(x,ja) = x 2 + ja 2 - 30 (Afb. 2.7).

Rijst. 2.7. Een voorbeeld van een snelle oppervlakteplot

De ingebouwde kaart kan worden bestuurd:

° rotatie van de grafiek wordt uitgevoerd nadat de muisaanwijzer erover is gehouden met de linkermuisknop ingedrukt;

° schaalvergroting van de kaart wordt uitgevoerd nadat de muisaanwijzer erover is geschoven door gelijktijdig op de linkermuisknop en de Ctrl-toets te drukken (als u de muis beweegt, zoomt de kaart in of uit);

° grafiekanimatie wordt op dezelfde manier uitgevoerd, maar met de Shift-toets extra ingedrukt. Het is alleen nodig om de grafiek met de muis te draaien, daarna wordt de animatie automatisch uitgevoerd. Om de rotatie te stoppen, klikt u met de linkermuisknop in het grafiekgebied.

Het is mogelijk om meerdere vlakken tegelijk in één tekening te bouwen. Om dit te doen, moet u beide functies instellen en de namen van de functies op de kaartsjabloon specificeren, gescheiden door komma's.

Bij snel plotten liggen de standaardwaarden voor beide argumenten tussen -5 en +5 en is het aantal contourlijnen 20. Om deze waarden te wijzigen, moet u:

· dubbelklik op de grafiek;

· selecteer het tabblad Quick Plot Data in het geopende venster;

· voer nieuwe waarden in het venstergebied in Range1 -- voor het eerste argument en Range2 -- voor het tweede argument (start -- beginwaarde, eind -- eindwaarde);

· verander in het veld # van rasters het aantal rasterlijnen dat het oppervlak bedekt;

· Klik op de OK-knop.

Voorbeeld. Een functie plotten z(x,ja) = -zonde ( x 2 + ja 2) (Afb. 2.9).

Bij het samenstellen van deze grafiek is het beter om de limieten van verandering in de waarden van beide argumenten te kiezen van -2 tot +2.

Rijst. 2.9. Een voorbeeld van het plotten van een functiegrafiek z(x,ja) = -zonde ( x 2 + ja 2)

voor3D-grafieken matteren

Om de grafiek op te maken, dubbelklikt u op het plotgebied - er verschijnt een opmaakvenster met verschillende tabbladen: Verschijning, Algemeen, assen, verlichting, Titel, Backplanes, Speciaal, Geavanceerd, Snel Verhaal Gegevens.

Doel van het tabblad Snel Verhaal Gegevens werd hierboven besproken (23, "https://site").

Tab Verschijning kunt u het uiterlijk van de grafiek wijzigen. Veld Vullen Opties stelt u in staat om de vulparameters te wijzigen, veld lijn Optie-- lijnparameters, punt Opties-- punt parameters.

Op het tabblad Algemeen ( algemeen) in de groep weergave je kunt de rotatiehoeken van het afgebeelde oppervlak rond alle drie de assen kiezen; in een groep Scherm als U kunt het diagramtype wijzigen.

Op het tabblad verlichting(verlichting) je kunt de verlichting bedienen door het vakje aan te vinken inschakelen verlichting(zet de lichten aan) en schakelaar Op(aanzetten). Een van de 6 mogelijke verlichtingsschema's is geselecteerd uit de lijst verlichting schema(verlichtingsschema).

6. Manieren om vergelijkingen op te lossen in WiskundeCAD

In deze sectie zullen we leren hoe de eenvoudigste vergelijkingen van de vorm F ( x) = 0. Een vergelijking analytisch oplossen betekent dat we alle wortels ervan vinden, dat wil zeggen zulke getallen, als we ze in de oorspronkelijke vergelijking substitueren, krijgen we de juiste gelijkheid. De vergelijking grafisch oplossen betekent het vinden van de snijpunten van de grafiek van de functie met de x-as.

6. 1 Vergelijkingen oplossen met de functie wortel(f(x), x)

Voor oplossingen van een vergelijking met één onbekende van de vorm F ( x) = 0 er is een speciale functie

wortel(f(x), x) ,

waar f(x) is een uitdrukking gelijk aan nul;

X-- argument.

Deze functie retourneert, met een gegeven precisie, de waarde van een variabele waarvoor de uitdrukking f(x) is gelijk aan 0.

Aandachte. Als de rechterkant van de vergelijking 0 is, moet deze in de normale vorm worden gebracht (alles naar de linkerkant overbrengen).

Voordat u de functie gebruikt: wortel moet worden gegeven aan het argument X aanvankelijke benadering. Als er meerdere wortels zijn, moet u, om elke wortel te vinden, uw initiële benadering specificeren.

Aandacht. Alvorens op te lossen, is het wenselijk om een ​​functiegrafiek te plotten om te controleren of er wortels zijn (snijdt de grafiek de Ox-as), en zo ja, hoeveel. De initiële benadering kan worden gekozen volgens de grafiek die dichter bij het snijpunt ligt.

Voorbeeld. Een vergelijking oplossen met een functie wortel weergegeven in figuur 3.1. Voordat we verder gaan met de oplossing in het MathCAD-systeem, zullen we in de vergelijking alles naar de linkerkant overbrengen. De vergelijking zal de vorm aannemen: .

Rijst. 3.1. Een vergelijking oplossen met behulp van de wortelfunctie

6. 2 Vergelijkingen oplossen met de functie Polyroots (v)

Gebruik de functie . om alle wortels van een polynoom tegelijkertijd te vinden polyroots(v), waarbij v de vector is van de coëfficiënten van de polynoom, beginnend bij de vrije term . Nulcoëfficiënten kunnen niet worden weggelaten. In tegenstelling tot de functie wortel functie Polyroots vereist geen initiële benadering.

Voorbeeld. Een vergelijking oplossen met een functie polyroots weergegeven in figuur 3.2.

Rijst. 3.2. Een vergelijking oplossen met de functie Polyroots

6.3 Vergelijkingen oplossen met de functie Zoek (x)

De functie Zoeken werkt in combinatie met het trefwoord Given. Ontwerp Gegeven — Vind

Als de vergelijking wordt gegeven f(x) = 0, dan kan het als volgt worden opgelost met behulp van het blok Gegeven - Vind:

— stel de initiële benadering in

— voer een servicewoord in

- schrijf de vergelijking met het teken vet is gelijk aan

- schrijf een zoekfunctie met een onbekende variabele als parameter

Als gevolg hiervan wordt na het gelijkteken de gevonden wortel weergegeven.

Als er meerdere wortels zijn, kunnen deze worden gevonden door de initiële benadering x0 te veranderen in één dicht bij de gewenste wortel.

Voorbeeld. De oplossing van de vergelijking met behulp van de functie find wordt weergegeven in figuur 3.3.

Rijst. 3.3. Een vergelijking oplossen met de zoekfunctie

Soms is het nodig om enkele punten op de grafiek te markeren (bijvoorbeeld de snijpunten van een functie met de Ox-as). Hiervoor heb je nodig:

Specificeer de x-waarde van een bepaald punt (langs de Ox-as) en de waarde van de functie op dit punt (langs de Oy-as);

dubbelklik op de grafiek en in het opmaakvenster in het tabblad sporen selecteer voor de corresponderende lijn het grafiektype - punten, lijndikte - 2 of 3.

Voorbeeld. De grafiek toont het snijpunt van de functie met de x-as. Coördineren X dit punt werd gevonden in het vorige voorbeeld: X= 2,742 (wortel van de vergelijking ) (Afb. 3.4).

Rijst. 3.4. Grafiek van een functie met een gemarkeerd snijpunt In het grafiekopmaakvenster, in het tabblad sporen voor spoor2 gewijzigd: kaarttype - punten, lijndikte - 3, kleur - zwart.

7. Oplossen van stelsels van vergelijkingen

7.1 Systemen van lineaire vergelijkingen oplossen

Het stelsel lineaire vergelijkingen kan worden opgelost m matrix methode: (hetzij via de inverse matrix of met behulp van de functie oplossen(A, B)) en twee functies gebruiken Vind en functies Miner.

Matrix-methode:

Voorbeeld. Het stelsel vergelijkingen wordt gegeven:

De oplossing van dit stelsel vergelijkingen met de matrixmethode is weergegeven in figuur 4.1.

Rijst. 4.1. Een stelsel lineaire vergelijkingen oplossen met een matrixmethode

Functie gebruik oplossen(EEN, B)

Loplossen(A, B) is een ingebouwde functie die een vector X retourneert voor een stelsel lineaire vergelijkingen gegeven een matrix van coëfficiënten, A, en een vector van vrije termen, B .

Voorbeeld. Het stelsel vergelijkingen wordt gegeven:

De manier om dit systeem op te lossen met behulp van de functie Isolve (A, B) wordt getoond in figuur 4.2.

Rijst. 4.2. Een stelsel lineaire vergelijkingen oplossen met de functie Isolve

Een stelsel lineaire vergelijkingen oplossen via functiesen Vind

Met deze methode worden vergelijkingen ingevoerd zonder het gebruik van matrices, d.w.z. in "natuurlijke vorm". Ten eerste is het noodzakelijk om de initiële benaderingen van de onbekende variabelen aan te geven. Het kan elk nummer zijn binnen de reikwijdte van de definitie. Vaak worden ze aangezien voor een kolom met gratis leden.

Om een ​​stelsel lineaire vergelijkingen op te lossen met behulp van een rekeneenheid Gegeven - Vind, vereist:

2) voer een servicewoord in Gegeven;

vet is gelijk aan();

4) schrijf een functie Vind,

Voorbeeld. Het stelsel vergelijkingen wordt gegeven:

De oplossing van dit systeem met behulp van een rekeneenheid Gegeven - Vind weergegeven in figuur 4.3.

Rijst. 4.3. Een stelsel lineaire vergelijkingen oplossen met de functie Zoeken

geschatte poplossing van een stelsel lineaire vergelijkingen

Een stelsel lineaire vergelijkingen oplossen met een functie Miner vergelijkbaar met de oplossing met behulp van de functie Vind(met hetzelfde algoritme), alleen functie Vind geeft de exacte oplossing, en Miner-- bij benadering. Als als resultaat van het zoeken geen verdere verfijning van de huidige benadering van de oplossing kan worden verkregen, Mijnwerkerr geeft deze benadering terug. Functie Vind geeft in dit geval een foutmelding.

U kunt een andere initiële benadering kiezen.

· U kunt de nauwkeurigheid van de berekening vergroten of verkleinen. Selecteer hiervoor in het menu Wiskunde > Opties(Wiskunde - Opties), tabblad gebouwd- In Variabelen(Ingebouwde variabelen). In het tabblad dat wordt geopend, moet u de toegestane rekenfout verminderen (Convergence Tolerance (TOL)). Standaard TOL = 0,001.

BIJaandacht. Met de matrixoplossingsmethode is het noodzakelijk om de coëfficiënten te herschikken volgens de toename in onbekenden X 1, X 2, X 3, X 4.

7.2 Systemen van niet-lineaire vergelijkingen oplossen

Stelsels van niet-lineaire vergelijkingen in MathCAD worden opgelost met behulp van een rekeneenheid Gegeven - Vind.

Ontwerp Gegeven - Vind gebruikt een rekentechniek die is gebaseerd op het zoeken naar een wortel in de buurt van het initiële benaderingspunt dat door de gebruiker is opgegeven.

Een stelsel vergelijkingen oplossen met behulp van het blok Gegeven - Vind vereist:

1) initiële benaderingen instellen voor alle variabelen;

2) voer een servicewoord in Gegeven;

3) schrijf het stelsel vergelijkingen op met het teken vet is gelijk aan();

4) schrijf een functie Vind, door onbekende variabelen op te nemen als functieparameters.

Als resultaat van berekeningen wordt de oplossingsvector van het systeem weergegeven.

Als het systeem meerdere oplossingen heeft, moet het algoritme worden herhaald met andere initiële gissingen.

Opmerking. Als een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden wordt opgelost, is het wenselijk om, voordat het wordt opgelost, functiegrafieken te plotten om te controleren of het stelsel wortels heeft (of de grafieken van bepaalde functies elkaar snijden), en zo ja, hoeveel. De initiële benadering kan worden gekozen volgens de grafiek die dichter bij het snijpunt ligt.

Voorbeeld. Gegeven een stelsel vergelijkingen

Voordat we het systeem oplossen, maken we grafieken van functies: parabolen (de eerste vergelijking) en een rechte lijn (de tweede vergelijking). De constructie van een grafiek van een rechte lijn en een parabool in één coördinatenstelsel wordt weergegeven in figuur 4.5:

Rijst. 4.5. Twee functies uitzetten in hetzelfde coördinatenstelsel Een lijn en een parabool snijden elkaar op twee punten, wat betekent dat het systeem twee oplossingen heeft. Volgens de grafiek kiezen we de initiële benaderingen van de onbekenden x en ja voor elke oplossing. Het vinden van de wortels van het stelsel vergelijkingen wordt weergegeven in figuur 4.6.

Rijst. 4.6. De wortels van een stelsel van niet-lineaire vergelijkingen vinden X ) en langs de Oy-as (waarden Bij ) gescheiden door comma's. In het grafiekopmaakvenster, op het tabblad sporen voor spoor3 en spoor4 wijzigen: kaarttype - punten, lijndikte - 3, kleur - zwart (Fig. 4.7).

Rijst. 4.7. Functieplots met gemarkeerde snijpunten

8 . Belangrijkste kenmerken Gebruiksvoorbeelden WiskundeCAD om een ​​aantal wiskundige problemen op te lossen

Dit gedeelte geeft voorbeelden van het oplossen van problemen waarvoor een vergelijking of een stelsel vergelijkingen nodig is.

8. 1 Lokale extrema van functies vinden

De noodzakelijke voorwaarde voor een extremum (maximum en/of minimum) van een continue functie is als volgt geformuleerd: extrema kan alleen plaatsvinden op die punten waar de afgeleide ofwel gelijk is aan nul of niet bestaat (in het bijzonder wordt het oneindig) . Om de extrema van een continue functie te vinden, zoekt u eerst de punten die aan de noodzakelijke voorwaarde voldoen, dat wil zeggen, zoek alle reële wortels van de vergelijking.

Als er een functiegrafiek is gebouwd, kun je meteen zien - het maximum of minimum is bereikt op een bepaald punt X. Als er geen grafiek is, wordt elk van de gevonden wortels op een van de manieren onderzocht.

1e met toelage . Met gelijk maken e tekens van de afgeleide . Het teken van de afgeleide wordt bepaald in de buurt van het punt (op punten die op kleine afstanden aan weerszijden van het uiteinde van de functie zijn gescheiden). Als het teken van de afgeleide verandert van "+" in "-", dan heeft de functie op dit punt een maximum. Als het teken verandert van "-" in "+", dan heeft de functie op dit punt een minimum. Als het teken van de afgeleide niet verandert, zijn er geen extremen.

2e zo toelage . BIJ berekeningen e tweede derivaat . In dit geval wordt de tweede afgeleide berekend op het uiterste punt. Als het kleiner is dan nul, dan heeft de functie op dit punt een maximum, als het groter is dan nul, dan een minimum.

Voorbeeld. Het vinden van extremen (minimum/maxima) van een functie.

Laten we eerst een grafiek van de functie maken (Fig. 6.1).

Rijst. 6.1. Een functie plotten

Laten we uit de grafiek de initiële benaderingen van de waarden bepalen X overeenkomend met lokale extrema van de functie f(x). Laten we deze extremen vinden door de vergelijking op te lossen. Voor de oplossing gebruiken we het blok Gegeven - Vinden (Fig. 6.2.).

Rijst. 6.2. Lokale extremen vinden

Laten we het type extremums definiëren perversmanier, het onderzoeken van de verandering in het teken van de afgeleide in de buurt van de gevonden waarden (Fig. 6.3).

Rijst. 6.3. Bepaling van het type extremum

Uit de tabel met waarden van de afgeleide en uit de grafiek blijkt dat het teken van de afgeleide in de buurt van het punt x 1 verandert van plus naar min, dus de functie bereikt op dit punt zijn maximum. En in de buurt van het punt x 2 is het teken van de afgeleide veranderd van min naar plus, dus op dit punt bereikt de functie een minimum.

Laten we het type extremums definiëren tweedemanier, het teken van de tweede afgeleide berekenen (Fig. 6.4).

Rijst. 6.4. Het type extremum bepalen met behulp van de tweede afgeleide

Het is te zien dat op het punt x 1 de tweede afgeleide is kleiner dan nul, dus het punt X 1 komt overeen met het maximum van de functie. En op het punt x 2 de tweede afgeleide is groter dan nul, dus het punt X 2 komt overeen met het minimum van de functie.

8.2 De gebieden van figuren bepalen die worden begrensd door ononderbroken lijnen

Oppervlakte van een kromlijnig trapezium begrensd door een grafiek van een functie f(x) , een segment op de Ox-as en twee verticalen X = a en X = b, a < b, wordt bepaald door de formule: .

Voorbeeld. Het gebied van een figuur vinden dat wordt begrensd door lijnen f(x) = 1 — x 2 en ja = 0.

Rijst. 6.5. Het gebied van een figuur vinden dat wordt begrensd door lijnen f(x) = 1 — x 2 en ja = 0

Het gebied van de figuur tussen de grafieken van functies f1(x) en f2(x) en direct X = a en X = b, wordt berekend met de formule:

Aandacht. Om fouten bij het berekenen van de oppervlakte te voorkomen, moet het verschil in functies modulo worden genomen. Het gebied zal dus altijd positief zijn.

Voorbeeld. Het gebied van een figuur vinden dat wordt begrensd door lijnen en. De oplossing is weergegeven in figuur 6.6.

1. We bouwen een grafiek van functies.

2. We vinden de snijpunten van functies met behulp van de wortelfunctie. We zullen de initiële benaderingen uit de grafiek bepalen.

3. Gevonden waarden x worden in de formule gesubstitueerd als de integratiegrenzen.

8. 3 Constructie van krommen door gegeven punten

Constructie van een rechte lijn die door twee gegeven punten gaat

Om de vergelijking op te stellen van een rechte lijn die door twee punten A gaat ( x 0,ja 0) en B ( x 1,ja 1), wordt het volgende algoritme voorgesteld:

waar a en b zijn de coëfficiënten van de lijn die we moeten vinden.

2. Dit systeem is lineair. Het heeft twee onbekende variabelen: a en b

Voorbeeld. Constructie van een rechte lijn die door de punten A (-2, -4) en B (5.7) gaat.

We vervangen de directe coördinaten van deze punten in de vergelijking en krijgen het systeem:

De oplossing van dit systeem in MathCAD is weergegeven in figuur 6.7.

Rijst. 6.7 Systeemoplossing

Als resultaat van het oplossen van het systeem krijgen we: a = 1.57, b= -0,857. Dus de vergelijking van een rechte lijn ziet er als volgt uit: ja = 1.57x- 0,857. Laten we deze rechte lijn construeren (Fig. 6.8).

Rijst. 6.8. Een rechte lijn bouwen

Constructie van een parabool, door drie gegeven punten gaan

Een parabool construeren die door drie punten A gaat ( x 0,ja 0), B ( x 1,ja 1) en C ( x 2,ja 2), is het algoritme als volgt:

1. De parabool wordt gegeven door de vergelijking

ja = bijl 2 + bX + met, waar

a, b en met zijn de coëfficiënten van de parabool die we moeten vinden.

We vervangen de gegeven coördinaten van de punten in deze vergelijking en krijgen het systeem:

2. Dit systeem is lineair. Het heeft drie onbekende variabelen: a, b en met. Het systeem kan in een matrix worden opgelost.

3. We vervangen de verkregen coëfficiënten in de vergelijking en bouwen een parabool.

Voorbeeld. Constructie van een parabool die door de punten A (-1,-4), B (1,-2) en C (3,16) gaat.

We vervangen de gegeven coördinaten van de punten in de paraboolvergelijking en krijgen het systeem:

De oplossing van dit stelsel vergelijkingen in MathCAD wordt weergegeven in figuur 6.9.

Rijst. 6.9. Een stelsel vergelijkingen oplossen

Als resultaat worden de coëfficiënten verkregen: a = 2, b = 1, c= -5. We krijgen de paraboolvergelijking: 2 x 2 +x -5 = ja. Laten we deze parabool bouwen (Fig. 6.10).

Rijst. 6.10. Constructie van een parabool

Constructie van een cirkel die door drie gegeven punten gaat

Een cirkel construeren die door drie punten A gaat ( x 1,ja 1), B ( x 2,ja 2) en C ( x 3,ja 3), kunt u het volgende algoritme gebruiken:

1. De cirkel wordt gegeven door de vergelijking

waarbij x0, y0 de coördinaten van het middelpunt van de cirkel zijn;

R is de straal van de cirkel.

2. Vervang de gegeven coördinaten van de punten in de vergelijking van de cirkel en krijg het systeem:

Dit systeem is niet-lineair. Het heeft drie onbekende variabelen: x 0, ja 0 en R. Het systeem wordt opgelost met behulp van de rekeneenheid Gegeven - Vind.

Voorbeeld. Constructie van een cirkel die door drie punten A (-2,0), B (6,0) en C (2,4) gaat.

We vervangen de gegeven coördinaten van de punten in de vergelijking van de cirkel en krijgen het systeem:

De oplossing van het systeem in MathCAD wordt getoond in figuur 6.11.

Rijst. 6.11. Systeemoplossing

Als resultaat van het oplossen van het systeem werd het volgende verkregen: x 0 = 2, ja 0 = 0, R = 4. Vervang de verkregen coördinaten van het middelpunt van de cirkel en de straal in de vergelijking van de cirkel. We krijgen:. Express vanaf hier ja en construeer een cirkel (Fig. 6.12).

MINISTERIE VAN ONDERWIJS EN WETENSCHAP VAN DE RUSSISCHE FEDERATIE

Rijksonderwijsinstelling voor hoger beroepsonderwijs

"KAZAN STAAT ENERGIE UNIVERSITEIT"

LR BELYAEVA, R.S. ZARIPOVA, RA ISHMURATOV

BASIS VAN WERKEN IN MATHCAD

Methodische instructies voor praktische oefeningen

Kazan 2012

UDC 621.37 LBC 32.811.3

Beoordelaars:

Doctor in de fysische en wiskundige wetenschappen, professor aan de Kazan State Power Engineering University E.A. Popov;

Kandidaat Technische Wetenschappen, universitair hoofddocent van Kazan National Research Technological University M.Yu. Vasiliev

		Belyaeva LR
		Grondbeginselen van het werk in MathCAD. Methodische instructies voor praktische oefeningen
		/ LR Belyaeva, R.S. Zaripova, RA Ishmuratov - Kazan: Kazan. staat energie un-t, 2012.
		Het eerste deel van de handleiding geeft basisinformatie over:
		Mathcad 13 en hoe te werken met de tekst, formule en afbeeldingen
		Editors. De invoer van verschillende soorten gegevens, de basis van numerieke en
		symbolische berekeningen, wiskundige functies plotten, trucs
		integratie en differentiatie met behulp van MathCAD.
		Het tweede deel geeft een voorbeeld van het praktische gebruik van software
		MathCAD-pakket bij het oplossen van een ontwerptaak ​​tegen het tarief "Transformatie
		meetsignalen". De nodige theoretische informatie voor:
		oplossing van de rekentaak, een rekenvoorbeeld en individuele taken voor
		studenten.
		De methodologische handleiding bevat ook controlevragen over:
		bestudeerde materiële en onafhankelijke taken om de basis van het werk te consolideren in
		De workshop is bedoeld voor studenten van de specialiteit "Informatie en
		meetapparatuur en -technologieën" richting 200100 - Instrumentatie, en
		evenals studenten van andere specialiteiten en gebieden van KSUE, studeren
		disciplines "Informatica" en "Informatietechnologieën".

© Kazan State Power Engineering University, 2012

Invoering

MathCAD is een computerwiskundig systeem waarmee u een verscheidenheid aan wetenschappelijke en technische berekeningen kunt uitvoeren, variërend van elementaire rekenkunde tot complexe implementaties van numerieke methoden. MathCAD-gebruikers zijn studenten, wetenschappers, ingenieurs, technici.

MathCAD is, in tegenstelling tot de meeste andere moderne wiskundige toepassingen, gebouwd volgens het principe:

WYSIWYG ("Wat u ziet, is wat u krijgt"). Daarom is het heel gemakkelijk te gebruiken, vooral omdat het niet nodig is om eerst een programma te schrijven dat bepaalde wiskundige berekeningen uitvoert en het vervolgens uit te voeren voor uitvoering. Voer in plaats daarvan eenvoudig wiskundige uitdrukkingen in met behulp van de ingebouwde formule-editor en krijg onmiddellijk het resultaat.

MathCAD 13 bevat verschillende componenten die met elkaar zijn geïntegreerd, waarvan de combinatie een handige computeromgeving creëert voor een verscheidenheid aan wiskundige berekeningen en tegelijkertijd de resultaten van het werk documenteert:

− krachtige teksteditor waarmee u kunt invoeren, bewerken

en formatteer zowel tekst als wiskundige uitdrukkingen;

− een computerprocessor die berekeningen kan uitvoeren volgens de ingevoerde formules met behulp van ingebouwde numerieke methoden;

− een symbolische processor, een systeem voor kunstmatige intelligentie;

− een enorme opslagplaats van referentie-informatie, zowel wiskundig als technisch, ontworpen als een bibliotheek met interactieve e-books.

Om effectief met de MathCAD-editor te werken, is het voldoende om over basisgebruikersvaardigheden te beschikken. Volgens echte problemen moeten ingenieurs een of meer van de volgende taken oplossen:

− het invoeren van verschillende wiskundige uitdrukkingen op een computer (voor verdere berekeningen of het maken van documenten, presentaties, webpagina's of e-books);

− het uitvoeren van wiskundige berekeningen;

− voorbereiding van grafieken met de resultaten van berekeningen;

− invoer van initiële gegevens en uitvoer van resultaten naar tekstbestanden of bestanden met databases in andere formaten;

− voorbereiding van werkrapporten in de vorm van gedrukte documenten;

− voorbereiding van webpagina's en publicatie van resultaten op internet;

− het verkrijgen van verschillende referentie-informatie op het gebied van wiskunde.

MathCAD 13 kan al deze taken met succes aan:

− wiskundige uitdrukkingen en tekst worden ingevoerd met behulp van de MathCAD-formule-editor, die qua mogelijkheden en gebruiksgemak niet onderdoet voor bijvoorbeeld de formule-editor die is ingebouwd in

− wiskundige berekeningen worden onmiddellijk gemaakt, in overeenstemming met de ingevoerde formules;

− grafieken van verschillende soorten gebruikerskeuzes met uitgebreide opmaakopties worden rechtstreeks in documenten ingevoegd;

− het is mogelijk om gegevens in en uit te voeren naar bestanden van verschillende formaten;

− documenten kunnen direct in MathCAD worden afgedrukt in de vorm die de gebruiker op het computerscherm ziet, of opgeslagen

in RTF-formaat voor latere bewerking in teksteditors;

− het is mogelijk om MathCAD-documenten volledig op te slaan in het formaat RTF-documenten, evenals webpagina's in HTML- en XML-indeling;

− er is een optie om door de gebruiker ontwikkelde documenten te combineren tot elektronische boeken;

− symbolische berekeningen stellen u in staat analytische transformaties uit te voeren en onmiddellijk een verscheidenheid aan wiskundige referentiegegevens te verkrijgen.

Het echte juweeltje van MathCAD, dat al in de eerste versies beschikbaar was, was de ondersteuning van discrete variabelen, waardoor gelijktijdige berekening van functies voor een aantal argumentwaarden mogelijk werd, waardoor tabellen en grafieken konden worden gebouwd zonder programmeeroperatoren. De gereedschappen voor het plotten van oppervlakken zijn bijna tot in de perfectie gebracht, zodat u kunstwerken kunt maken van grafieken. Complexe engineering en technologische berekeningen in de MathCAD-omgeving zijn veel eenvoudiger, duidelijker en meerdere keren sneller dan in andere programma's.

Deel 1. THEORETISCHE INFORMATIE

Hoofdstuk 1. MATHCAD-INTERFACE

De interface van MathCAD is vergelijkbaar met die van andere Windows-applicaties. Na het opstarten verschijnt het MathCAD-werkvenster op het scherm met het hoofdmenu en drie werkbalken: Standaard (standaard), opmaak (opmaak) en Wiskunde (wiskundig).

De menubalk bevindt zich helemaal bovenaan het MathCAD-venster. Het bevat negen koppen, als u op elk ervan klikt, verschijnen

tot het uiterlijk van het bijbehorende menu met een lijst met opdrachten:

- Bestand (Bestand) - opdrachten met betrekking tot het maken, openen, opslaan, verzenden per e-mail en afdrukken op de printer van bestanden met documenten;

− Bewerken (Bewerken) – opdrachten met betrekking tot tekstbewerking (kopiëren, plakken, fragmenten verwijderen, enz.);

- View (View) - commando's die het uiterlijk van het document in het MathCAD-editorvenster bepalen, evenals commando's die animatiebestanden maken;

− Invoegen (Invoegen) - opdrachten voor het invoegen van verschillende objecten in documenten;

− Opmaak (Formaat) - opdrachten voor het opmaken van tekst, formules, grafieken;

− Tools (Service) – opdrachten voor het beheer van het rekenproces en extra functies;

− Symboliek (Symbolen) – commando's voor symbolische berekeningen;

− Venster (Venster) – opdrachten voor het beheren van de indeling van vensters met verschillende documenten op het scherm;

− Help – opdrachten voor toegang tot contextgevoelige helpinformatie, informatie over programmaversies en toegang tot bronnen en e-books.

Om een ​​commando te selecteren, moet u op het menu klikken dat het bevat en nogmaals op het overeenkomstige menu-item. Sommige commando's staan ​​niet in de menu's zelf, maar in submenu's, zoals weergegeven in Fig. 1.1. Om een ​​dergelijke opdracht uit te voeren, bijvoorbeeld de opdracht om de Symbolische werkbalk op het scherm op te roepen, moet u de muisaanwijzer over het item Werkbalken van het vervolgkeuzemenu Beeld gaan en Symbolisch selecteren in het submenu dat verschijnt.

Rijst. 1.1. Menubediening

Naast het hoofdmenu hebben pop-upmenu's vergelijkbare functies (Fig. 1.2). Ze verschijnen wanneer u ergens in het document met de rechtermuisknop klikt. Tegelijkertijd hangt de samenstelling van deze menu's af van de plaats van hun oproep, daarom worden ze ook wel contextmenu's genoemd. MathCAD 'raadt' zelf, afhankelijk van de context, welke bewerkingen op dat moment nodig kunnen zijn, en plaatst de bijbehorende commando's in het menu. Daarom is het gebruik van het contextmenu eenvoudiger dan het bovenste.

Rijst. 1.2. Contextmenu

1.2. Werkbalken

Werkbalken worden gebruikt voor het snel (met één klik) uitvoeren van de meest gebruikte opdrachten. Alle acties die kunnen worden uitgevoerd met behulp van de werkbalken zijn ook beschikbaar via

Topmenu. Op afb. 1.3 toont het MathCAD-venster met vijf hoofdwerkbalken die zich direct onder de menubalk bevinden. De knoppen in de panelen zijn gegroepeerd volgens de vergelijkbare actie van de opdrachten:

- Standaard (Standaard) - dient om de meeste bewerkingen uit te voeren, zoals acties met bestanden, redactionele bewerking, het invoegen van objecten, toegang tot helpsystemen;

− Opmaak (Opmaak) - dient voor het opmaken (wijzigen van het type en de grootte van het lettertype, uitlijning, enz.) van tekst en formules;

− Wiskunde (wiskunde) - wordt gebruikt om wiskundige symbolen in te voegen

en operators in documenten;

- Resources (Resources) - dient om de resources van MathCAD aan te roepen;

− Controles (controles) - dient om standaard gebruikersinterfacecontroles in documenten in te voegen;

− Debug - wordt gebruikt om het debuggen van MathCAD-programma's te beheren.

Rijst. 1.3. Basis werkbalken

Groepen knoppen op werkbalken worden in betekenis afgebakend door verticale lijnen - scheidingstekens. Wanneer u de muisaanwijzer over een van de knoppen beweegt, verschijnt er een tooltip naast de knop (Fig. 1.4). Naast een tooltip is een meer gedetailleerde uitleg van de aanstaande operatie te vinden in de statusbalk.

Rijst. 1.4. De werkbalken Wiskunde en Rekenmachine gebruiken

Het paneel Wiskunde (Wiskunde) is bedoeld voor een oproep op het scherm van nog negen panelen (fig. 1.5) waarmee wiskundige bewerkingen in documenten worden ingevoegd. Om ze te tonen, moet u op de corresponderende knop op het Math-paneel klikken (Fig. 1.4).

Rijst. 1.5. Wiskundige werkbalken

We vermelden het doel van wiskundige panelen:

- Calculator (Calculator) - gebruikt om elementaire wiskundige bewerkingen in te voegen, dankt zijn naam aan de gelijkenis van de reeks knoppen met de knoppen van een typische rekenmachine;

− Grafiek (Grafiek) - voor het invoegen van grafieken;

− Matrix (Matrix) - voor het invoegen van matrices en matrixoperatoren;

− Evaluatie - voor het invoegen van evaluatiecontroleverklaringen;

− Calculus (wiskundige analyse) – voor het invoegen van operatoren voor integratie, differentiatie, sommatie, enz.;

− Booleaanse (booleaanse) operatoren - om logische (booleaanse) operatoren in te voegen;

− Programmeren (Programmeren) - voor programmeren door middel van MathCAD;

− Grieks (Griekse tekens) - om Griekse tekens in te voegen;

− Symbolisch - om symbolische operatoren in te voegen. Het is belangrijk op te merken dat wanneer u de muisaanwijzer over veel van de

knoppen van wiskundige panelen, verschijnt er een tooltip, die ook een combinatie van "sneltoetsen" bevat, die tot een gelijkwaardige actie leiden.

1.3. Statusbalk

BIJ onderaan het MathCAD-venster, onder de horizontale schuifbalk, bevindt zich de statusbalk. Het toont basisinformatie over de bewerkingsmodus (Fig. 1.6), gescheiden door scheidingstekens (van links naar rechts):

− contextgevoelige hint over de aanstaande actie;

− rekenmodus: automatisch (AUTO) of handmatig ingesteld (Calc F9);

− huidige modus van de CAP-toetsenbordindeling; − huidige toetsenbordindelingsmodus NUM; − nummer van de pagina waarop de cursor staat.

Rijst. 1.6. Statusbalk

Hoofdstuk 2. BASIS VAN WERKEN IN MATHCAD

2.1. Documentnavigatie

Het is handig om het document van boven naar beneden en rechts-links te bekijken met behulp van de verticale en horizontale schuifbalken, de schuifregelaars te verplaatsen (in dit geval is een soepele beweging langs het document gegarandeerd) of door op een van de twee zijden van de schuifregelaar te klikken (in dit geval zal het bewegen door het document springerig zijn). U kunt ook de toetsen voor het omslaan van pagina's gebruiken om de cursor door het document te verplaatsen. En In al deze gevallen verandert de positie van de cursor niet, maar wordt de inhoud van het document bekeken. Als het document groot is, is het bovendien handig om de inhoud te bekijken met behulp van het menu

Bewerken | Ga naar pagina (Bewerken | Ga naar pagina). Wanneer u dit item selecteert, wordt een dialoogvenster geopend waarmee u naar de pagina met het opgegeven nummer kunt gaan.

Om omhoog en omlaag en naar rechts en links door het document te gaan door de cursor te verplaatsen, moet u op de overeenkomstige cursortoetsen drukken. Als u in het gebied van regio's komt met formules en tekst, verandert de cursor in twee invoerlijnen - verticaal en horizontaal blauw. Naarmate de cursor verder binnen het gebied beweegt, verplaatsen de invoerregels één teken in de corresponderende richting. Wanneer u het gebied verlaat, wordt de cursor weer de invoercursor in de vorm van een rood kruis. U kunt de cursor ook verplaatsen door op de juiste locatie te klikken. Als u op een lege ruimte klikt, verschijnt er een invoercursor in, en als u zich binnen het gebied bevindt, invoerregels.

2.2. Formules invoeren en bewerken

Met de formule-editor van MathCAD kunt u snel en efficiënt wiskundige uitdrukkingen invoeren en wijzigen.

Laten we nogmaals de elementen van de interface van de MathCAD-editor opsommen:

− muisaanwijzer - speelt de gebruikelijke rol voor Windows-toepassingen en volgt de bewegingen van de muis;

− cursor moet van een van de volgende drie typen zijn:

– de invoercursor is een rood kruis dat een lege plaats in het document markeert waar u tekst of een formule kunt invoeren;

– invoerregels - horizontale en verticale blauwe lijnen die een bepaald deel in de tekst of formule markeren;

– tekstinvoerregel - een verticale lijn, analoog aan invoerregels voor tekstgebieden;

− tijdelijke aanduidingen - verschijnen in onvolledige formules op plaatsen die moeten worden gevuld met een symbool of operator:

− de tijdelijke aanduiding voor tekens is een zwarte rechthoek;

− de tijdelijke aanduiding voor de operator is een zwarte rechthoekige doos. U kunt een wiskundige uitdrukking in elke lege ruimte invoeren

MathCAD-document. Om dit te doen, moet u de invoercursor op de gewenste plaats in het document plaatsen door erop te klikken met de muis, en de formule invoeren door op de toetsen te drukken. Dit creëert een wiskundig gebied in het document, dat is ontworpen om formules op te slaan die worden geïnterpreteerd door de MathCAD-processor. Laten we de volgorde van acties demonstreren met behulp van het voorbeeld van het invoeren van de uitdrukking x 5 + x (Fig. 2.1):

1. Klik met de muis om het beginpunt te markeren.

1. MathCAD-werkvenster

· Paneel Wiskunde(Afb. 1.4).

Rijst. 1.4. Wiskundig paneel

Als u op de knop van de wiskundewerkbalk klikt, wordt een extra werkbalk geopend:

2. Elementen van taal WiskundeCAD

De basiselementen van wiskundige uitdrukkingen van MathCAD omvatten operators, constanten, variabelen, arrays en functies.

2.1 Operators

Operators -- elementen van MathCAD waarmee je wiskundige uitdrukkingen kunt maken. Dit zijn bijvoorbeeld symbolen voor rekenkundige bewerkingen, tekens voor het berekenen van sommen, producten, afgeleiden, integralen, enz.

De operator definieert:

a) de actie die moet worden uitgevoerd in aanwezigheid van bepaalde waarden van de operanden;

b) hoeveel, waar en welke operanden moeten worden ingevoerd in de operator.

operand -- het getal of de uitdrukking waarop de operator reageert. Bijvoorbeeld, in de uitdrukking 5!+3, de getallen 5! en 3 zijn de operanden van de "+" (plus) operator, en het getal 5 is de operand van de faculteit (!).

Elke operator in MathCAD kan op twee manieren worden ingevoerd:

door op een toets (toetscombinatie) op het toetsenbord te drukken;

met behulp van het wiskundepaneel.

De volgende instructies worden gebruikt om de inhoud van de geheugenlocatie die is gekoppeld aan een variabele toe te wijzen of weer te geven:

Toewijzingsteken (ingevoerd door op de toets te drukken) : op het toetsenbord (dubbele punt in de Engelse toetsenbordindeling) of door op de overeenkomstige knop op het paneel te drukken Rekenmachine );

Deze opdracht heet lokaal. Voorafgaand aan deze toewijzing is de variabele niet gedefinieerd en kan deze niet worden gebruikt.

Globale toewijzingsoperator. Deze toewijzing kan overal in het document worden gemaakt. Als een variabele bijvoorbeeld op deze manier helemaal aan het einde van het document een waarde krijgt, heeft deze dezelfde waarde aan het begin van het document.

Geschatte gelijkheidsoperator (x1). Gebruikt bij het oplossen van stelsels van vergelijkingen. Ingevoerd door op een toets te drukken ; op het toetsenbord (puntkomma in de Engelse toetsenbordindeling) of door op de bijbehorende knop op Booleaans paneel.

Een operator (eenvoudig gelijk aan) gereserveerd voor het uitvoeren van de waarde van een constante of variabele.

De eenvoudigste berekeningen

Het berekeningsproces wordt uitgevoerd met behulp van:

Rekenpanelen, rekenpanelen en schattingspanelen.

Aandacht. Als het nodig is om de hele uitdrukking in de teller te delen, moet deze eerst worden geselecteerd door op de spatiebalk op het toetsenbord te drukken of door deze tussen haakjes te plaatsen.

2.2 Constanten

constanten -- benoemde objecten die een waarde hebben die niet kan worden gewijzigd.

Bijvoorbeeld = 3,14.

Dimensionale constanten zijn gebruikelijke meeteenheden. Bijvoorbeeld meters, seconden, etc.

Om de maatconstante op te schrijven, moet u het teken * (vermenigvuldigen) achter het getal invoeren, het menu-item selecteren Invoegen alinea Eenheid. In afmetingen de voor u meest bekende categorieën: Lengte - lengte (m, km, cm); Massa -- gewicht (g, kg, t); Tijd -- tijd (min, sec, uur).

2.3 Variabelen

Variabelen zijn benoemde objecten die een waarde hebben die kunnen veranderen terwijl het programma wordt uitgevoerd. Variabelen kunnen numeriek, tekenreeks, teken, enz. zijn. Variabelen krijgen waarden toegewezen met behulp van het toewijzingsteken (:=).

Aandacht. MathCAD behandelt hoofdletters en kleine letters als verschillende identifiers.

Systeemvariabelen

BIJ WiskundeCAD bevat een kleine groep speciale objecten die niet kunnen worden toegeschreven aan de klasse van constanten of aan de klasse van variabelen, waarvan de waarden onmiddellijk worden bepaald nadat het programma is gestart. Het is beter om ze te tellen systeem variabelen. Dit is bijvoorbeeld TOL - de fout van numerieke berekeningen, ORIGIN - de ondergrens van de waarde van de indexindex van vectoren, matrices, enz. Indien nodig kunt u andere waarden voor deze variabelen instellen.

gerangschikte variabelen

Deze variabelen hebben een reeks vaste waarden, ofwel integer of variërend in een bepaalde stap van de beginwaarde tot de uiteindelijke waarde.

Een expressie wordt gebruikt om een ​​variabel bereik te maken:

Naam=N beginnen ,(N beginnen +Stap)..N einde ,

waarbij Naam de naam van de variabele is;

N begin -- beginwaarde;

Stap -- de gespecificeerde stap voor het wijzigen van de variabele;

N einde -- eindwaarde.

Gerangschikte variabelen worden veel gebruikt bij het plotten. Om bijvoorbeeld een grafiek van een bepaalde functie te plotten f(x) allereerst moet u een reeks variabele waarden maken x-- het moet een variabele variabele zijn om dit te laten werken.

Aandacht. Als u geen stap opgeeft in het variabele bereik, zal het programma deze automatisch gelijk aan 1 nemen.

Voorbeeld . Variabele x varieert in het bereik van -16 tot +16 in stappen van 0,1

Om een ​​ranged-variabele te schrijven, typt u:

variabele naam ( x);

Opdrachtteken (:=)

De eerste waarde van het bereik (-16);

komma;

De tweede waarde van het bereik, wat de som is van de eerste waarde en de stap (-16+0,1);

weglatingsteken ( .. ) -- de variabele wijzigen binnen de gegeven limieten (de ellips wordt ingevoerd door op een puntkomma te drukken in de Engelse toetsenbordindeling);

Laatste bereikwaarde (16).

Als resultaat krijg je: x := -16,-16+0.1..16.

Uitvoertabellen

Elke expressie met gerangschikte variabelen na het gelijkteken initieert de uitvoertabel.

U kunt numerieke waarden in de uitvoertabellen invoegen en corrigeren.

Variabele met index

Variabele met index-- is een variabele waaraan een reeks niet-gerelateerde getallen is toegewezen, die elk hun eigen nummer (index) hebben.

De index wordt ingevoerd door op het linker vierkante haakje op het toetsenbord te drukken of door de knop x n op het paneel Rekenmachine.

U kunt een constante of een uitdrukking als index gebruiken. Om een ​​variabele met een index te initialiseren, moet u de elementen van de array invoeren, gescheiden door komma's.

Voorbeeld. Indexvariabelen invoeren.

Numerieke waarden worden in de tabel ingevoerd, gescheiden door komma's;

Uitvoer van de waarde van het eerste element van de vector S;

De waarde van het nulelement van de vector S uitvoeren.

2.4 Arrays

reeks -- een uniek benoemde verzameling van een eindig aantal numerieke of tekenelementen, op de een of andere manier geordend en met specifieke adressen.

In het pakket WiskundeCAD arrays van de twee meest voorkomende typen worden gebruikt:

eendimensionaal (vectoren);

tweedimensionaal (matrices).

U kunt een matrix- of vectorsjabloon op een van de volgende manieren uitvoeren:

selecteer menu-item Invoegen - Matrix;

druk op de toetsencombinatie ctrl + M;

druk op de knop op paneel en vectoren en matrices.

Als resultaat verschijnt er een dialoogvenster waarin het vereiste aantal rijen en kolommen wordt ingesteld:

rijen-- aantal regels

kolommen-- aantal columns

Als een matrix (vector) een naam moet krijgen, dan wordt eerst de naam van de matrix (vector) ingevoerd, daarna de toewijzingsoperator en daarna het matrixsjabloon.

bijvoorbeeld:

Matrix -- een tweedimensionale matrix genaamd M n , m , bestaande uit n rijen en m kolommen.

U kunt verschillende wiskundige bewerkingen op matrices uitvoeren.

2.5 Functies

Functie -- een uitdrukking volgens welke sommige berekeningen worden uitgevoerd met argumenten en de numerieke waarde wordt bepaald. Functie voorbeelden: zonde(x), bruinen(x) en etc.

Functies in het MathCAD-pakket kunnen ingebouwd of door de gebruiker gedefinieerd zijn. Manieren om een ​​inline-functie in te voegen:

Selecteer menu-item Invoegen - Functie.

Druk op toetscombinatie ctrl + E.

Klik op de knop op de werkbalk.

Typ de naam van de functie op het toetsenbord.

Gebruikersfuncties worden meestal gebruikt wanneer dezelfde uitdrukking meerdere keren wordt geëvalueerd. Om een ​​gebruikersfunctie in te stellen:

· voer de naam van de functie in met de verplichte vermelding van het argument tussen haakjes, bijvoorbeeld f(x);

Voer de toewijzingsoperator in (:=);

Voer een berekende uitdrukking in.

Voorbeeld. f (z) := zonde (2 z 2)

3. Nummeropmaak

In MathCAD kunt u het uitvoerformaat van getallen wijzigen. Meestal worden berekeningen gemaakt met een nauwkeurigheid van 20 cijfers, maar niet alle significante cijfers worden weergegeven. Om het getalformaat te wijzigen, dubbelklikt u op het gewenste numerieke resultaat. Het nummeropmaakvenster verschijnt, open op het tabblad nummer Formaat (Getalnotatie) met de volgende notaties:

O Algemeen (Hoofd) -- is de standaardinstelling. Nummers worden in volgorde weergegeven (bijvoorbeeld 1.2210 5). Het aantal tekens van de mantisse wordt bepaald in het veld exponentieel Drempel(Exponentiële notatiedrempel). Wanneer de drempel wordt overschreden, wordt het nummer op volgorde weergegeven. Het aantal cijfers achter de komma verandert in het veld nummer van decimale plaatsen.

O Decimale (Decimaal) -- De decimale weergave van getallen met drijvende komma (bijvoorbeeld 12.2316).

O Wetenschappelijk (wetenschappelijk) -- Cijfers worden alleen in volgorde weergegeven.

O Engineering (Engineering) -- getallen worden alleen weergegeven in veelvouden van drie (bijvoorbeeld 1.2210 6).

Aandacht. Als u, na het instellen van het gewenste formaat in het getalnotatievenster, de knop Oké, het formaat wordt alleen voor het geselecteerde nummer ingesteld. En als u de knop Instellen als standaard selecteert, wordt het formaat toegepast op alle getallen in dit document.

Getallen worden automatisch naar beneden afgerond op nul als ze lager zijn dan de ingestelde drempel. De drempel wordt ingesteld voor het hele document, niet voor een specifiek resultaat. Om de afrondingsdrempel naar nul te wijzigen, selecteert u het menu-item Opmaak - Resultaat en in tabblad tolerantie , in het veld Nul drempel voer de gewenste drempelwaarde in.

4. Werken met tekst

Tekstfragmenten zijn stukjes tekst die de gebruiker in zijn document zou willen zien. Dit kunnen toelichtingen, links, opmerkingen, etc. zijn. Ze worden ingevoegd met behulp van het menu-item Invoegen - Tekstgebied.

U kunt de tekst opmaken: verander het lettertype, de grootte, stijl, uitlijning, enz. Om dit te doen, selecteert u het en selecteert u de juiste opties in het lettertypepaneel of in het menu opmaak - Tekst.

5. Werken met afbeeldingen

Bij het oplossen van veel problemen waarbij een functie wordt bestudeerd, wordt het vaak nodig om de grafiek ervan te plotten, die duidelijk het gedrag van de functie op een bepaald interval weergeeft.

In het MathCAD-systeem is het mogelijk om verschillende soorten grafieken te bouwen: in cartesiaanse en polaire coördinatensystemen, driedimensionale grafieken, oppervlakken van omwentelingslichamen, veelvlakken, ruimtelijke krommen, vectorveldgrafieken. We zullen bekijken hoe we sommige ervan kunnen bouwen.

5.1 2D-plots plotten

Om een ​​tweedimensionale grafiek van een functie te bouwen, moet u:

een functie instellen

· plaats de cursor op de plaats waar de grafiek moet worden gebouwd, selecteer in het wiskundige paneel de knop Graph (grafiek) en in het paneel dat wordt geopend, de X-Y Plot-knop (tweedimensionale grafiek);

Voer in het verschenen sjabloon van een tweedimensionale grafiek, een lege rechthoek met gegevenslabels, de naam van de variabele in het centrale gegevenslabel langs de abscis (X-as) in en voer de naam van de functie in in plaats van het centrale gegevenslabel langs de ordinaat-as (Y-as) (Fig. 2.1 );

Rijst. 2.1. 2D-plotsjabloon

klik buiten de grafieksjabloon -- de grafiek van de functie wordt geplot.

Het argumentbereik bestaat uit 3 waarden: initiaal, tweede en laatste.

Laat het nodig zijn om een ​​functiegrafiek te plotten op het interval [-2,2] met een stap van 0.2. Variabele waarden t worden als volgt gespecificeerd als een bereik:

t:= -2, - 1.8 .. 2 ,

waarbij: -2 -- de beginwaarde van het bereik;

1,8 (-2 + 0,2) -- tweede bereikwaarde (beginwaarde plus stap);

2 is de eindwaarde van het bereik.

Aandacht. Een weglatingsteken wordt ingevoerd door op een puntkomma te drukken in de Engelse toetsenbordindeling.

Voorbeeld. Een functie plotten ja = x 2 op het interval [-5,5] met een stap van 0,5 (Fig. 2.2).

Rijst. 2.2. Een functie plotten ja = x 2

Houd bij het plotten van grafieken rekening met het volgende:

° Als het bereik van de argumentwaarden niet is opgegeven, wordt de grafiek standaard gebouwd in het bereik [-10,10].

° Als het nodig is om meerdere grafieken in één sjabloon te plaatsen, dan worden de namen van de functies aangegeven, gescheiden door komma's.

° Als twee functies verschillende argumenten hebben, bijvoorbeeld f1(x) en f2(y), dan worden de namen van de functies aangegeven op de ordinaat (Y)-as, gescheiden door komma's, en op de abscis (X)-as, de namen van beide variabelen worden ook gescheiden door komma's.

° De eindlabels van de gegevens op het kaartsjabloon worden gebruikt om de grenswaarden van de abscis en ordinaat aan te geven, d.w.z. zij bepalen de schaal van de grafiek. Als u deze labels blanco laat, wordt de schaal automatisch ingesteld. De automatische schaal geeft de grafiek niet altijd in de gewenste vorm weer, dus de grenswaarden van de abscis en ordinaat moeten worden bewerkt door ze handmatig te wijzigen.

Opmerking. Als de grafiek na het plotten niet de gewenste vorm aanneemt, kunt u:

Stap verkleinen.

· verander het plotten interval.

Verlaag de grenswaarden van abscis en ordinaat op de kaart.

Voorbeeld. Constructie van een cirkel met een middelpunt in een punt (2,3) en een straal R = 6.

De vergelijking van een cirkel met het middelpunt op een punt met coördinaten ( x 0 ,ja 0) en straal R wordt geschreven als:

Druk uit van deze vergelijking ja:

Om een ​​cirkel te construeren, is het dus nodig om twee functies in te stellen: de bovenste en onderste halve cirkels. Het argumentbereik wordt als volgt berekend:

Bereik startwaarde = x 0 - R;

Eindwaarde bereik = x 0 + R;

Het is beter om de stap gelijk aan 0,1 te nemen (Fig. 2.3.).

Rijst. 2.3. Constructie van een cirkel

Parametrische grafiek van een functie

Soms is het handiger in plaats van een lijnvergelijking met betrekking tot rechthoekige coördinaten x en ja, overweeg de zogenaamde parametrische lijnvergelijkingen, die uitdrukkingen geven voor de huidige x- en y-coördinaten als functies van een variabele t(parameter): x(t) en ja(t). Bij het construeren van een parametrische grafiek worden de namen van functies van één argument aangegeven op de ordinaat- en abscis-assen.

Voorbeeld. Constructie van een cirkel gecentreerd op een punt met coördinaten (2,3) en straal R= 6. Voor de constructie wordt de parametervergelijking van de cirkel gebruikt

x = x 0 + R omdat ( t) ja = ja 0 + R zonde( t) (Afb. 2.4.).

Afb.2.4. Constructie van een cirkel

Grafiekopmaak

Dubbelklik op het grafiekgebied om een ​​grafiek op te maken. Het dialoogvenster Grafiekopmaak wordt geopend. De tabbladen in het diagramopmaakvenster worden hieronder weergegeven:

§ X- ja assen-- opmaak van de coördinaatassen. Door de juiste vakjes aan te vinken, kunt u:

· Logboek Schaal-- vertegenwoordigen numerieke waarden op de assen op een logaritmische schaal (standaard worden numerieke waarden op een lineaire schaal uitgezet)

· Rooster lijnen-- teken een raster van lijnen;

· genummerd-- Schik de nummers langs de coördinaatassen;

· Auto Schaal-- automatische selectie van numerieke grenswaarden op de assen (als dit vakje niet is aangevinkt, zijn de maximaal berekende waarden een limiet);

· tonen markeerstift-- de grafiek markeren in de vorm van horizontale of verticale stippellijnen die overeenkomen met de opgegeven waarde op de as, en de waarden zelf worden weergegeven aan het einde van de lijnen (2 invoerplaatsen verschijnen op elke as, waarin u kunt voer numerieke waarden in, voer niets in, voer één cijfer of letter in aanduidingen van constanten);

· Auto Gontdoen-- automatische selectie van het aantal rasterlijnen (als dit vakje niet is aangevinkt, moet u het aantal lijnen specificeren in het veld Aantal rasters);

· gekruist-- de as van de abscis gaat door nul van de ordinaat;

· Verpakt-- de x-as loopt langs de onderrand van de grafiek.

§ Spoor-- lijnopmaak van functiegrafieken. Voor elke grafiek afzonderlijk kunt u het volgende wijzigen:

symbool (symbool) op de kaart voor knooppunten (cirkel, kruis, rechthoek, ruit);

lijntype (Effen - ononderbroken, Punt - stippellijn, Streepje - streken, Dadot - streep-stippellijn);

lijnkleur (kleur);

Type (Tuur) van de grafiek (Lijnen - lijn, Punten - punten, Var of Solidbar - staven, Stappen - stappengrafiek, enz.);

lijndikte (gewicht).

§ Label -- titel in het grafiekgebied. In veld Titel (Titel) u kunt de tekst van de titel schrijven, de positie selecteren - aan de boven- of onderkant van de grafiek ( Boven -- bovenkant, Onderstaand -- beneden). U kunt, indien nodig, de namen van het argument en de functie invoeren ( Aslabels ).

§ Standaardinstellingen -- met dit tabblad kunt u terugkeren naar de standaardkaartweergave (Wijzigen naar standaard), of de wijzigingen die u standaard in de kaart hebt aangebracht voor alle grafieken in dit document gebruiken (Gebruiken voor standaardinstellingen).

5.2 Poolpercelen bouwen

Om een ​​polaire grafiek van een functie te bouwen, moet u:

· stel het bereik van argumentwaarden in;

een functie instellen

· plaats de cursor op de plaats waar de grafiek moet worden gebouwd, selecteer in het wiskundige paneel de knop Graph (grafiek) en in het paneel dat wordt geopend, de knop Polar Plot (polaire grafiek);

· In de invoervelden van het sjabloon dat verschijnt, moet u het hoekargument van de functie (hieronder) en de naam van de functie (links) invoeren.

Voorbeeld. Constructie van Bernoulli's lemniscaat: (Fig. 2.6.)

Afb.2.6. Een voorbeeld van het bouwen van een poolplot

5.3 Oppervlakken plotten (3D- of 3D-plots)

Bij het maken van driedimensionale grafieken wordt het paneel gebruikt grafiek(Grafiek) wiskundepaneel. U kunt een driedimensionale grafiek maken met behulp van de wizard, opgeroepen vanuit het hoofdmenu; je kunt een grafiek maken door een matrix met waarden van een functie van twee variabelen te maken; u kunt de versnelde bouwmethode gebruiken; je kunt de speciale functies CreateMech en CreateSpase aanroepen, ontworpen om een ​​reeks functiewaarden en plot te maken. We zullen een versnelde methode overwegen voor het construeren van een driedimensionale grafiek.

Snel grafieken maken

Om snel een driedimensionale grafiek van een functie te maken, moet u:

een functie instellen

plaats de cursor op de plaats waar de grafiek moet worden gebouwd, selecteer de knop op het wiskundige paneel grafiek(Grafiek) en in het geopende paneel de knop ( oppervlakte grafiek);

· op de enige plaats van de sjabloon, voer de naam van de functie in (zonder variabelen op te geven);

· klik buiten de grafieksjabloon -- de functiegrafiek zal worden gebouwd.

Voorbeeld. Een functie plotten z(x,ja) = x 2 + ja 2 - 30 (Afb. 2.7).

Rijst. 2.7. Een voorbeeld van een snelle oppervlakteplot

De ingebouwde kaart kan worden bestuurd:

° rotatie van de grafiek wordt uitgevoerd nadat de muisaanwijzer erover is gehouden met de linkermuisknop ingedrukt;

° schaalvergroting van de kaart wordt uitgevoerd nadat de muisaanwijzer erover is geschoven door gelijktijdig op de linkermuisknop en de Ctrl-toets te drukken (als u de muis beweegt, zoomt de kaart in of uit);

° grafiekanimatie wordt op dezelfde manier uitgevoerd, maar met de Shift-toets extra ingedrukt. Het is alleen nodig om de grafiek met de muis te draaien, daarna wordt de animatie automatisch uitgevoerd. Om de rotatie te stoppen, klikt u met de linkermuisknop in het grafiekgebied.

Het is mogelijk om meerdere vlakken tegelijk in één tekening te bouwen. Om dit te doen, moet u beide functies instellen en de namen van de functies op de kaartsjabloon specificeren, gescheiden door komma's.

Bij snel plotten liggen de standaardwaarden voor beide argumenten tussen -5 en +5 en is het aantal contourlijnen 20. Om deze waarden te wijzigen, moet u:

· dubbelklik op de grafiek;

· selecteer het tabblad Quick Plot Data in het geopende venster;

· voer nieuwe waarden in het venstergebied in Range1 -- voor het eerste argument en Range2 -- voor het tweede argument (start -- beginwaarde, eind -- eindwaarde);

· verander in het veld # van rasters het aantal rasterlijnen dat het oppervlak bedekt;

· Klik op de OK-knop.

Voorbeeld. Een functie plotten z(x,ja) = -sin( x 2 + ja 2) (Afb. 2.9).

Bij het samenstellen van deze grafiek is het beter om de limieten van verandering in de waarden van beide argumenten te kiezen van -2 tot +2.

Rijst. 2.9. Een voorbeeld van het plotten van een functiegrafiek z(x,ja) = -sin( x 2 + ja 2)

voor3D-grafieken matteren

Om de grafiek op te maken, dubbelklikt u op het plotgebied - er verschijnt een opmaakvenster met verschillende tabbladen: Verschijning, Algemeen, assen, verlichting, Titel, Backplanes, Speciaal, Geavanceerd, Snel Verhaal Gegevens.

Doel van het tabblad Snel Verhaal Gegevens hierboven is besproken.

Tab Verschijning kunt u het uiterlijk van de grafiek wijzigen. Veld Vullen Opties stelt u in staat om de vulparameters te wijzigen, veld lijn Optie-- lijnparameters, punt Opties-- punt parameters.

Op het tabblad Algemeen ( algemeen) in de groep weergave je kunt de rotatiehoeken van het afgebeelde oppervlak rond alle drie de assen kiezen; in een groep Scherm als U kunt het diagramtype wijzigen.

Op het tabblad verlichting(verlichting) je kunt de verlichting bedienen door het vakje aan te vinken inschakelen verlichting(zet de lichten aan) en schakelaar Op(aanzetten). Een van de 6 mogelijke verlichtingsschema's is geselecteerd uit de lijst verlichting schema(verlichtingsschema).

6. Manieren om vergelijkingen op te lossen in WiskundeCAD

In deze sectie zullen we leren hoe de eenvoudigste vergelijkingen van de vorm F( x) = 0. Een vergelijking analytisch oplossen betekent alle wortels vinden, d.w.z. dergelijke getallen, wanneer we ze in de oorspronkelijke vergelijking substitueren, verkrijgen we de juiste gelijkheid. De vergelijking grafisch oplossen betekent het vinden van de snijpunten van de grafiek van de functie met de x-as.

6. 1 Vergelijkingen oplossen met de functie root(f(x),x)

Voor oplossingen van een vergelijking met één onbekende van de vorm F( x) = 0 er is een speciale functie

wortel(f(x), x) ,

waar f(x) is een uitdrukking gelijk aan nul;

X-- argument.

Deze functie retourneert, met een gegeven precisie, de waarde van een variabele waarvoor de uitdrukking f(x) is gelijk aan 0.

Aandachte. Als de rechterkant van de vergelijking 0 is, moet deze in de normale vorm worden gebracht (alles naar de linkerkant overbrengen).

Voordat u de functie gebruikt: wortel moet worden gegeven aan het argument X aanvankelijke benadering. Als er meerdere wortels zijn, moet u, om elke wortel te vinden, uw initiële benadering specificeren.

Aandacht. Alvorens op te lossen, is het wenselijk om een ​​functiegrafiek te plotten om te controleren of er wortels zijn (snijdt de grafiek de Ox-as), en zo ja, hoeveel. De initiële benadering kan worden gekozen volgens de grafiek die dichter bij het snijpunt ligt.

Voorbeeld. Een vergelijking oplossen met een functie wortel weergegeven in figuur 3.1. Voordat we verder gaan met de oplossing in het MathCAD-systeem, zullen we in de vergelijking alles naar de linkerkant overbrengen. De vergelijking zal de vorm aannemen: .

Rijst. 3.1. Een vergelijking oplossen met behulp van de wortelfunctie

6. 2 Vergelijkingen oplossen met de functie Polyroots(v)

Gebruik de functie . om alle wortels van een polynoom tegelijkertijd te vinden polyroots(v), waarbij v de vector is van de coëfficiënten van de polynoom, beginnend bij de vrije term . Nulcoëfficiënten kunnen niet worden weggelaten. In tegenstelling tot de functie wortel functie Polyroots vereist geen initiële benadering.

Voorbeeld. Een vergelijking oplossen met een functie polyroots weergegeven in figuur 3.2.

Rijst. 3.2. Een vergelijking oplossen met de functie Polyroots

6.3 Vergelijkingen oplossen met Find(x)

De functie Zoeken werkt in combinatie met het trefwoord Given. Ontwerp Gegeven - Vind gebruikt een rekentechniek die is gebaseerd op het zoeken naar een wortel in de buurt van het initiële benaderingspunt dat door de gebruiker is opgegeven.

Als de vergelijking wordt gegeven f(x) = 0, dan kan het als volgt worden opgelost met behulp van het blok Gegeven - Vind:

Initiële benadering instellen

Voer een servicewoord in

Schrijf de vergelijking met het teken vet is gelijk aan

Schrijf een zoekfunctie met een onbekende variabele als parameter

Als gevolg hiervan wordt na het gelijkteken de gevonden wortel weergegeven.

Als er meerdere wortels zijn, kunnen deze worden gevonden door de initiële benadering x0 te veranderen in één dicht bij de gewenste wortel.

Voorbeeld. De oplossing van de vergelijking met behulp van de functie find wordt weergegeven in figuur 3.3.

Rijst. 3.3. Een vergelijking oplossen met de zoekfunctie

Soms is het nodig om enkele punten op de grafiek te markeren (bijvoorbeeld de snijpunten van een functie met de Ox-as). Hiervoor heb je nodig:

Specificeer de x-waarde van een bepaald punt (langs de Ox-as) en de waarde van de functie op dit punt (langs de Oy-as);

dubbelklik op de grafiek en in het opmaakvenster in het tabblad sporen selecteer voor de corresponderende lijn het grafiektype - punten, lijndikte - 2 of 3.

Voorbeeld. De grafiek toont het snijpunt van de functie met de x-as. Coördineren X dit punt werd gevonden in het vorige voorbeeld: X= 2,742 (wortel van de vergelijking ) (Afb. 3.4).

Rijst. 3.4. Grafiek van een functie met een gemarkeerd snijpunt

In het grafiekopmaakvenster, op het tabblad sporen voor spoor2 gewijzigd: kaarttype - punten, lijndikte - 3, kleur - zwart.

7. Oplossen van stelsels van vergelijkingen

7.1 Systemen van lineaire vergelijkingen oplossen

Het stelsel lineaire vergelijkingen kan worden opgelost m matrix methode: (hetzij via de inverse matrix of met behulp van de functie oplossen(A,B)) en twee functies gebruiken Vind en functies Miner.

Matrix-methode:

Voorbeeld. Het stelsel vergelijkingen wordt gegeven:

De oplossing van dit stelsel vergelijkingen met de matrixmethode is weergegeven in figuur 4.1.

Rijst. 4.1. Een stelsel lineaire vergelijkingen oplossen met een matrixmethode

Functie gebruik oplossen(EEN, B)

Loplossen(A,B) is een ingebouwde functie die een vector X retourneert voor een stelsel lineaire vergelijkingen gegeven een matrix van coëfficiënten A en een vector van vrije termen B .

Voorbeeld. Het stelsel vergelijkingen wordt gegeven:

De manier om dit systeem op te lossen met de functie lsolve(A,B) wordt getoond in figuur 4.2.

Rijst. 4.2. Een stelsel lineaire vergelijkingen oplossen met de functie Isolve

Een stelsel lineaire vergelijkingen oplossen via functiesen Vind

Met deze methode worden vergelijkingen ingevoerd zonder het gebruik van matrices, d.w.z. in "natuurlijke vorm". Ten eerste is het noodzakelijk om de initiële benaderingen van de onbekende variabelen aan te geven. Het kan elk nummer zijn binnen de reikwijdte van de definitie. Vaak worden ze aangezien voor een kolom met gratis leden.

Om een ​​stelsel lineaire vergelijkingen op te lossen met behulp van een rekeneenheid Gegeven - Vind, vereist:

2) voer een servicewoord in Gegeven;

vet is gelijk aan();

4) schrijf een functie Vind,

Voorbeeld. Het stelsel vergelijkingen wordt gegeven:

De oplossing van dit systeem met behulp van een rekeneenheid Gegeven - Vind weergegeven in figuur 4.3.

Rijst. 4.3. Een stelsel lineaire vergelijkingen oplossen met de functie Zoeken

geschatte poplossing van een stelsel lineaire vergelijkingen

Een stelsel lineaire vergelijkingen oplossen met een functie Miner vergelijkbaar met de oplossing met behulp van de functie Vind(met hetzelfde algoritme), alleen functie Vind geeft de exacte oplossing, en Miner-- bij benadering. Als als resultaat van het zoeken geen verdere verfijning van de huidige benadering van de oplossing kan worden verkregen, Mijnwerkerr geeft deze benadering terug. Functie Vind geeft in dit geval een foutmelding.

U kunt een andere initiële benadering kiezen.

· U kunt de nauwkeurigheid van de berekening vergroten of verkleinen. Selecteer hiervoor in het menu Wiskunde > Opties(Wiskunde - Opties), tabblad gebouwd- In Variabelen(Ingebouwde variabelen). In het tabblad dat wordt geopend, moet u de toegestane rekenfout verminderen (Convergence Tolerance (TOL)). Standaard TOL = 0,001.

BIJaandacht. Met de matrixoplossingsmethode is het noodzakelijk om de coëfficiënten te herschikken volgens de toename in onbekenden X 1, X 2, X 3, X 4.

7.2 Systemen van niet-lineaire vergelijkingen oplossen

Stelsels van niet-lineaire vergelijkingen in MathCAD worden opgelost met behulp van een rekeneenheid Gegeven - Vind.

Ontwerp Gegeven - Vind gebruikt een rekentechniek die is gebaseerd op het zoeken naar een wortel in de buurt van het initiële benaderingspunt dat door de gebruiker is opgegeven.

Een stelsel vergelijkingen oplossen met behulp van het blok Gegeven - Vind vereist:

1) initiële benaderingen instellen voor alle variabelen;

2) voer een servicewoord in Gegeven;

3) schrijf het stelsel vergelijkingen op met het teken vet is gelijk aan();

4) schrijf een functie Vind, door onbekende variabelen op te nemen als functieparameters.

Als resultaat van berekeningen wordt de oplossingsvector van het systeem weergegeven.

Als het systeem meerdere oplossingen heeft, moet het algoritme worden herhaald met andere initiële gissingen.

Opmerking. Als een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden wordt opgelost, is het wenselijk om, voordat het wordt opgelost, functiegrafieken te plotten om te controleren of het stelsel wortels heeft (of de grafieken van bepaalde functies elkaar snijden), en zo ja, hoeveel. De initiële benadering kan worden gekozen volgens de grafiek die dichter bij het snijpunt ligt.

Voorbeeld. Gegeven een stelsel vergelijkingen

Voordat we het systeem oplossen, maken we grafieken van functies: parabolen (de eerste vergelijking) en een rechte lijn (de tweede vergelijking). De constructie van een grafiek van een rechte lijn en een parabool in één coördinatenstelsel wordt weergegeven in figuur 4.5:

Rijst. 4.5. Twee functies in hetzelfde coördinatensysteem plotten

De lijn en de parabool snijden elkaar op twee punten, wat betekent dat het systeem twee oplossingen heeft. Volgens de grafiek kiezen we de initiële benaderingen van de onbekenden x en ja voor elke oplossing. Het vinden van de wortels van het stelsel vergelijkingen wordt weergegeven in figuur 4.6.

Rijst. 4.6. De wortels van een stelsel van niet-lineaire vergelijkingen vinden

Om op de grafiek de snijpunten van de parabool en de rechte lijn te markeren, introduceren we de coördinaten van de gevonden punten bij het oplossen van het systeem langs de Ox-as (waarden X ) en langs de Oy-as (waarden Bij ) gescheiden door comma's. In het grafiekopmaakvenster, op het tabblad sporen voor spoor3 en spoor4 wijzigen: kaarttype - punten, lijndikte - 3, kleur - zwart (Fig. 4.7).

Rijst. 4.7. Functieplots met gemarkeerde snijpunten

8 . Belangrijkste kenmerken Gebruiksvoorbeelden WiskundeCAD om een ​​aantal wiskundige problemen op te lossen

Dit gedeelte geeft voorbeelden van het oplossen van problemen waarvoor een vergelijking of een stelsel vergelijkingen nodig is.

8. 1 Lokale extrema van functies vinden

De noodzakelijke voorwaarde voor een extremum (maximum en/of minimum) van een continue functie is als volgt geformuleerd: extrema kan alleen plaatsvinden op die punten waar de afgeleide ofwel gelijk is aan nul of niet bestaat (in het bijzonder wordt het oneindig) . Om de extrema van een continue functie te vinden, zoekt u eerst de punten die aan de noodzakelijke voorwaarde voldoen, dat wil zeggen, zoek alle reële wortels van de vergelijking.

Als er een functiegrafiek is gebouwd, kun je meteen zien - het maximum of minimum is bereikt op een bepaald punt X. Als er geen grafiek is, wordt elk van de gevonden wortels op een van de manieren onderzocht.

1e met toelage . Met gelijk maken e tekens van de afgeleide . Het teken van de afgeleide wordt bepaald in de buurt van het punt (op punten die op kleine afstanden aan weerszijden van het uiteinde van de functie zijn gescheiden). Als het teken van de afgeleide verandert van "+" in "-", dan heeft de functie op dit punt een maximum. Als het teken verandert van "-" in "+", dan heeft de functie op dit punt een minimum. Als het teken van de afgeleide niet verandert, zijn er geen extremen.

2e zo toelage . BIJ berekeningen e tweede derivaat . In dit geval wordt de tweede afgeleide berekend op het uiterste punt. Als het kleiner is dan nul, dan heeft de functie op dit punt een maximum, als het groter is dan nul, dan een minimum.

Voorbeeld. Het vinden van extremen (minimum/maxima) van een functie.

Laten we eerst een grafiek van de functie maken (Fig. 6.1).

Rijst. 6.1. Een functie plotten

Laten we uit de grafiek de initiële benaderingen van de waarden bepalen X overeenkomend met lokale extrema van de functie f(x). Laten we deze extremen vinden door de vergelijking op te lossen. Om op te lossen gebruiken we het blok Gegeven - Vinden (Fig. 6.2.).

Rijst. 6.2. Lokale extremen vinden

Laten we het type extremums definiëren perversmanier, het onderzoeken van de verandering in het teken van de afgeleide in de buurt van de gevonden waarden (Fig. 6.3).

Rijst. 6.3. Bepaling van het type extremum

Uit de tabel met waarden van de afgeleide en uit de grafiek blijkt dat het teken van de afgeleide in de buurt van het punt x 1 verandert van plus naar min, dus de functie bereikt op dit punt zijn maximum. En in de buurt van het punt x 2 is het teken van de afgeleide veranderd van min naar plus, dus op dit punt bereikt de functie een minimum.

Laten we het type extremums definiëren tweedemanier, het teken van de tweede afgeleide berekenen (Fig. 6.4).

Rijst. 6.4. Het type extremum bepalen met behulp van de tweede afgeleide

Het is te zien dat op het punt x 1 de tweede afgeleide is kleiner dan nul, dus het punt X 1 komt overeen met het maximum van de functie. En op het punt x 2 de tweede afgeleide is groter dan nul, dus het punt X 2 komt overeen met het minimum van de functie.

8.2 De gebieden van figuren bepalen die worden begrensd door ononderbroken lijnen

Oppervlakte van een kromlijnig trapezium begrensd door een grafiek van een functie f(x) , een segment op de Ox-as en twee verticalen X = a en X = b, a < b, wordt bepaald door de formule: .

Voorbeeld. Het gebied van een figuur vinden dat wordt begrensd door lijnen f(x) = 1 - x 2 en ja = 0.

Rijst. 6.5. Het gebied van een figuur vinden dat wordt begrensd door lijnen f(x) = 1 - x 2 en ja = 0

Het gebied van de figuur tussen de grafieken van functies f1(x) en f2(x) en direct X = a en X = b, wordt berekend met de formule:

Aandacht. Om fouten bij het berekenen van de oppervlakte te voorkomen, moet het verschil in functies modulo worden genomen. Het gebied zal dus altijd positief zijn.

Voorbeeld. Het gebied van een figuur vinden dat wordt begrensd door lijnen en. De oplossing is weergegeven in figuur 6.6.

1. We bouwen een grafiek van functies.

2. We vinden de snijpunten van functies met behulp van de wortelfunctie. We zullen de initiële benaderingen uit de grafiek bepalen.

3. Gevonden waarden x worden in de formule gesubstitueerd als de integratiegrenzen.

8. 3 Constructie van krommen door gegeven punten

Constructie van een rechte lijn die door twee gegeven punten gaat

Om de vergelijking te schrijven van een rechte lijn die door twee punten A( x 0,ja 0) en B( x 1,ja 1), wordt het volgende algoritme voorgesteld:

waar a en b zijn de coëfficiënten van de lijn die we moeten vinden.

2. Dit systeem is lineair. Het heeft twee onbekende variabelen: a en b

Voorbeeld. Constructie van een rechte lijn die door de punten A(-2,-4) en B(5,7) gaat.

We vervangen de directe coördinaten van deze punten in de vergelijking en krijgen het systeem:

De oplossing van dit systeem in MathCAD is weergegeven in figuur 6.7.

Rijst. 6.7 Systeemoplossing

Als resultaat van het oplossen van het systeem krijgen we: a = 1.57, b= -0,857. Dus de vergelijking van een rechte lijn ziet er als volgt uit: ja = 1.57x- 0,857. Laten we deze rechte lijn construeren (Fig. 6.8).

Rijst. 6.8. Een rechte lijn bouwen

Constructie van een parabool, door drie gegeven punten gaan

Een parabool construeren die door drie punten A( x 0,ja 0), B( x 1,ja 1) en C( x 2,ja 2), is het algoritme als volgt:

1. De parabool wordt gegeven door de vergelijking

ja = bijl 2 + bX + met, waar

a, b en met zijn de coëfficiënten van de parabool die we moeten vinden.

We vervangen de gegeven coördinaten van de punten in deze vergelijking en krijgen het systeem:

2. Dit systeem is lineair. Het heeft drie onbekende variabelen: a, b en met. Het systeem kan in een matrix worden opgelost.

3. We vervangen de verkregen coëfficiënten in de vergelijking en bouwen een parabool.

Voorbeeld. Constructie van een parabool die door de punten A(-1,-4), B(1,-2) en C(3,16) gaat.

We vervangen de gegeven coördinaten van de punten in de paraboolvergelijking en krijgen het systeem:

De oplossing van dit stelsel vergelijkingen in MathCAD wordt weergegeven in figuur 6.9.

Rijst. 6.9. Een stelsel vergelijkingen oplossen

Als resultaat worden de coëfficiënten verkregen: a = 2, b = 1, c= -5. We krijgen de paraboolvergelijking: 2 x 2 +x -5 = ja. Laten we deze parabool bouwen (Fig. 6.10).

Rijst. 6.10. Constructie van een parabool

Constructie van een cirkel die door drie gegeven punten gaat

Een cirkel construeren die door drie punten A( x 1,ja 1), B( x 2,ja 2) en C( x 3,ja 3), kunt u het volgende algoritme gebruiken:

1. De cirkel wordt gegeven door de vergelijking

waarbij x0,y0 de coördinaten van het middelpunt van de cirkel zijn;

R is de straal van de cirkel.

2. Vervang de gegeven coördinaten in de vergelijking van de cirkel..........

Stuur uw goede werk in de kennisbank is eenvoudig. Gebruik het onderstaande formulier

Studenten, afstudeerders, jonge wetenschappers die de kennisbasis gebruiken in hun studie en werk zullen je zeer dankbaar zijn.

1. Werkvenster WiskundeCAD

· Paneel Wiskunde(Afb. 1.4).

Rijst. 1.4. Wiskundig paneel

Als u op de knop van de wiskundewerkbalk klikt, wordt een extra werkbalk geopend:

2. Elementen van taal WiskundeCAD

De basiselementen van wiskundige uitdrukkingen van MathCAD omvatten operators, constanten, variabelen, arrays en functies.

2.1 Operators

Operators -- elementen van MathCAD waarmee je wiskundige uitdrukkingen kunt maken. Dit zijn bijvoorbeeld symbolen voor rekenkundige bewerkingen, tekens voor het berekenen van sommen, producten, afgeleiden, integralen, enz.

De operator definieert:

a) de actie die moet worden uitgevoerd in aanwezigheid van bepaalde waarden van de operanden;

b) hoeveel, waar en welke operanden moeten worden ingevoerd in de operator.

operand -- het getal of de uitdrukking waarop de operator reageert. Bijvoorbeeld, in de uitdrukking 5!+3, de getallen 5! en 3 zijn de operanden van de "+" (plus) operator, en het getal 5 is de operand van de faculteit (!).

Elke operator in MathCAD kan op twee manieren worden ingevoerd:

door op een toets (toetscombinatie) op het toetsenbord te drukken;

met behulp van het wiskundepaneel.

De volgende instructies worden gebruikt om de inhoud van de geheugenlocatie die is gekoppeld aan een variabele toe te wijzen of weer te geven:

-- toewijzingsteken (ingevoerd door op de toets te drukken) : op het toetsenbord (dubbele punt in de Engelse toetsenbordindeling) of door op de overeenkomstige knop op het paneel te drukken Rekenmachine );

Deze opdracht heet lokaal. Voorafgaand aan deze toewijzing is de variabele niet gedefinieerd en kan deze niet worden gebruikt.

-- globale toewijzingsoperator. Deze toewijzing kan overal in het document worden gemaakt. Als een variabele bijvoorbeeld op deze manier helemaal aan het einde van het document een waarde krijgt, heeft deze dezelfde waarde aan het begin van het document.

-- geschatte gelijkheidsoperator (x1). Gebruikt bij het oplossen van stelsels van vergelijkingen. Ingevoerd door op een toets te drukken ; op het toetsenbord (puntkomma in de Engelse toetsenbordindeling) of door op de bijbehorende knop op Booleaans paneel.

= -- operator (eenvoudig gelijk aan) gereserveerd voor het uitvoeren van de waarde van een constante of variabele.

De eenvoudigste berekeningen

Het berekeningsproces wordt uitgevoerd met behulp van:

Rekenpanelen, rekenpanelen en schattingspanelen.

Aandacht. Als het nodig is om de hele uitdrukking in de teller te delen, moet deze eerst worden geselecteerd door op de spatiebalk op het toetsenbord te drukken of door deze tussen haakjes te plaatsen.

2.2 Constanten

constanten -- benoemde objecten die een waarde hebben die niet kan worden gewijzigd.

Bijvoorbeeld = 3,14.

Dimensionale constanten zijn gebruikelijke meeteenheden. Bijvoorbeeld meters, seconden, etc.

Om de maatconstante op te schrijven, moet u het teken * (vermenigvuldigen) achter het getal invoeren, het menu-item selecteren Invoegen alinea Eenheid. In afmetingen de voor u meest bekende categorieën: Lengte - lengte (m, km, cm); Massa -- gewicht (g, kg, t); Tijd -- tijd (min, sec, uur).

2.3 Variabelen

Variabelen zijn benoemde objecten die een waarde hebben die kunnen veranderen terwijl het programma wordt uitgevoerd. Variabelen kunnen numeriek, tekenreeks, teken, enz. zijn. Variabelen krijgen waarden toegewezen met behulp van het toewijzingsteken (:=).

Aandacht. MathCAD behandelt hoofdletters en kleine letters als verschillende identifiers.

Systeemvariabelen

BIJ WiskundeCAD bevat een kleine groep speciale objecten die niet kunnen worden toegeschreven aan de klasse van constanten of aan de klasse van variabelen, waarvan de waarden onmiddellijk worden bepaald nadat het programma is gestart. Het is beter om ze te tellen systeem variabelen. Dit is bijvoorbeeld TOL - de fout van numerieke berekeningen, ORIGIN - de ondergrens van de waarde van de indexindex van vectoren, matrices, enz. Indien nodig kunt u andere waarden voor deze variabelen instellen.

gerangschikte variabelen

Deze variabelen hebben een reeks vaste waarden, ofwel integer of variërend in een bepaalde stap van de beginwaarde tot de uiteindelijke waarde.

Een expressie wordt gebruikt om een ​​variabel bereik te maken:

Naam=N beginnen,(N beginnen+Stap)..N einde,

waarbij Naam de naam van de variabele is;

N begin -- beginwaarde;

Stap -- de gespecificeerde stap voor het wijzigen van de variabele;

N einde -- eindwaarde.

Gerangschikte variabelen worden veel gebruikt bij het plotten. Om bijvoorbeeld een grafiek van een bepaalde functie te plotten f(x) allereerst moet u een reeks variabele waarden maken x-- het moet een variabele variabele zijn om dit te laten werken.

Aandacht. Als de stap niet is gespecificeerd in het bereik van de variabele, dan: gram neemt het automatisch aan gelijk aan 1.

Voorbeeld . Variabele x varieert in het bereik van -16 tot +16 in stappen van 0,1

Om een ​​ranged-variabele te schrijven, typt u:

variabele naam ( x);

Opdrachtteken (:=)

De eerste waarde van het bereik (-16);

komma;

De tweede waarde van het bereik, wat de som is van de eerste waarde en de stap (-16+0,1);

weglatingsteken ( .. ) -- de variabele wijzigen binnen de gegeven limieten (de ellips wordt ingevoerd door op een puntkomma te drukken in de Engelse toetsenbordindeling);

Laatste bereikwaarde (16).

Als resultaat krijg je: x := -16,-16+0.1..16.

Uitvoertabellen

Elke expressie met gerangschikte variabelen na het gelijkteken initieert de uitvoertabel.

U kunt numerieke waarden in de uitvoertabellen invoegen en corrigeren.

Variabele met index

Variabele met index-- is een variabele waaraan een reeks niet-gerelateerde getallen is toegewezen, die elk hun eigen nummer (index) hebben.

De index wordt ingevoerd door op het linker vierkante haakje op het toetsenbord te drukken of door de knop x n op het paneel Rekenmachine.

U kunt een constante of een uitdrukking als index gebruiken. Om een ​​variabele met een index te initialiseren, moet u de elementen van de array invoeren, gescheiden door komma's.

Voorbeeld. Indexvariabelen invoeren.

Numerieke waarden worden in de tabel ingevoerd, gescheiden door komma's;

Uitvoer van de waarde van het eerste element van de vector S;

De waarde van het nulelement van de vector S uitvoeren.

2.4 Arrays

reeks -- een uniek benoemde verzameling van een eindig aantal numerieke of tekenelementen, op de een of andere manier geordend en met specifieke adressen.

In het pakket WiskundeCAD arrays van de twee meest voorkomende typen worden gebruikt:

eendimensionaal (vectoren);

tweedimensionaal (matrices).

U kunt een matrix- of vectorsjabloon op een van de volgende manieren uitvoeren:

selecteer menu-item Invoegen - Matrix;

druk op de toetsencombinatie ctrl+ M;

druk op de knop op paneel en vectoren en matrices.

Als resultaat verschijnt er een dialoogvenster waarin het vereiste aantal rijen en kolommen wordt ingesteld:

rijen-- aantal regels

kolommen-- aantal columns

Als een matrix (vector) een naam moet krijgen, dan wordt eerst de naam van de matrix (vector) ingevoerd, daarna de toewijzingsoperator en daarna het matrixsjabloon.

bijvoorbeeld:

Matrix -- een tweedimensionale matrix genaamd M n , m , bestaande uit n rijen en m kolommen.

U kunt verschillende wiskundige bewerkingen op matrices uitvoeren.

2.5 Functies

Functie -- een uitdrukking volgens welke sommige berekeningen worden uitgevoerd met argumenten en de numerieke waarde wordt bepaald. Functie voorbeelden: zonde(x), bruinen(x) en etc.

Functies in het MathCAD-pakket kunnen ingebouwd of door de gebruiker gedefinieerd zijn. Manieren om een ​​inline-functie in te voegen:

Selecteer menu-item Invoegen- Functie.

Druk op toetscombinatie ctrl+ E.

Klik op de knop op de werkbalk.

Typ de naam van de functie op het toetsenbord.

Gebruikersfuncties worden meestal gebruikt wanneer dezelfde uitdrukking meerdere keren wordt geëvalueerd. Om een ​​gebruikersfunctie in te stellen:

· voer de naam van de functie in met de verplichte vermelding van het argument tussen haakjes, bijvoorbeeld f(x);

Voer de toewijzingsoperator in (:=);

Voer een berekende uitdrukking in.

Voorbeeld. f (z) := zonde (2 z 2)

3. Nummeropmaak

In MathCAD kunt u het uitvoerformaat van getallen wijzigen. Meestal worden berekeningen gemaakt met een nauwkeurigheid van 20 cijfers, maar niet alle significante cijfers worden weergegeven. Om het getalformaat te wijzigen, dubbelklikt u op het gewenste numerieke resultaat. Het nummeropmaakvenster verschijnt, open op het tabblad nummer Formaat (Getalnotatie) met de volgende notaties:

O Algemeen (Hoofd) -- is de standaardinstelling. Nummers worden in volgorde weergegeven (bijvoorbeeld 1.2210 5). Het aantal tekens van de mantisse wordt bepaald in het veld exponentieel Drempel(Exponentiële notatiedrempel). Wanneer de drempel wordt overschreden, wordt het nummer op volgorde weergegeven. Het aantal cijfers achter de komma verandert in het veld nummer van decimale plaatsen.

O Decimale (Decimaal) -- De decimale weergave van getallen met drijvende komma (bijvoorbeeld 12.2316).

O Wetenschappelijk (wetenschappelijk) -- Cijfers worden alleen in volgorde weergegeven.

O Engineering (Engineering) -- getallen worden alleen weergegeven in veelvouden van drie (bijvoorbeeld 1.2210 6).

Aandacht. Als u, na het instellen van het gewenste formaat in het getalnotatievenster, de knop Oké, het formaat wordt alleen voor het geselecteerde nummer ingesteld. En als u de knop Instellen als standaard selecteert, wordt het formaat toegepast op alle getallen in dit document.

Getallen worden automatisch naar beneden afgerond op nul als ze lager zijn dan de ingestelde drempel. De drempel wordt ingesteld voor het hele document, niet voor een specifiek resultaat. Om de afrondingsdrempel naar nul te wijzigen, selecteert u het menu-item Opmaak - Resultaat en in tabblad tolerantie , in het veld Nul drempel voer de gewenste drempelwaarde in.

4 . Werken met tekst

Tekstfragmenten zijn stukjes tekst die de gebruiker in zijn document zou willen zien. Dit kunnen toelichtingen, links, opmerkingen, etc. zijn. Ze worden ingevoegd met behulp van het menu-item Invoegen - Tekstgebied.

U kunt de tekst opmaken: verander het lettertype, de grootte, stijl, uitlijning, enz. Om dit te doen, selecteert u het en selecteert u de juiste opties in het lettertypepaneel of in het menu opmaak - Tekst.

5. Werken met afbeeldingen

Bij het oplossen van veel problemen waarbij een functie wordt bestudeerd, wordt het vaak nodig om de grafiek ervan te plotten, die duidelijk het gedrag van de functie op een bepaald interval weergeeft.

In het MathCAD-systeem is het mogelijk om verschillende soorten grafieken te bouwen: in cartesiaanse en polaire coördinatensystemen, driedimensionale grafieken, oppervlakken van omwentelingslichamen, veelvlakken, ruimtelijke krommen, vectorveldgrafieken. We zullen bekijken hoe we sommige ervan kunnen bouwen.

5.1 Constructie van tweedimensionale grafieken

Om een ​​tweedimensionale grafiek van een functie te bouwen, moet u:

een functie instellen

· plaats de cursor op de plaats waar de grafiek moet worden gebouwd, selecteer in het wiskundige paneel de knop Graph (grafiek) en in het paneel dat wordt geopend, de X-Y Plot-knop (tweedimensionale grafiek);

Voer in het verschenen sjabloon van een tweedimensionale grafiek, een lege rechthoek met gegevenslabels, de naam van de variabele in het centrale gegevenslabel langs de abscis (X-as) in en voer de naam van de functie in in plaats van het centrale gegevenslabel langs de ordinaat-as (Y-as) (Fig. 2.1 );\

Rijst. 2.1. 2D-plotsjabloon

klik buiten de grafieksjabloon -- de grafiek van de functie wordt geplot.

Het argumentbereik bestaat uit 3 waarden: initiaal, tweede en laatste.

Laat het nodig zijn om een ​​functiegrafiek te plotten op het interval [-2,2] met een stap van 0.2. Variabele waarden t worden als volgt gespecificeerd als een bereik:

t:= -2, - 1.8 .. 2 ,

waarbij: -2 -- de beginwaarde van het bereik;

-1,8 (-2 + 0,2) -- tweede bereikwaarde (beginwaarde plus toename);

2 -- eindwaarde van het bereik.

Aandacht. Een weglatingsteken wordt ingevoerd door op een puntkomma te drukken in de Engelse toetsenbordindeling.

Voorbeeld. Een functie plotten ja = x 2 op het interval [-5,5] met een stap van 0,5 (Fig. 2.2).

Rijst. 2.2. Een functie plotten ja = x 2

Houd bij het plotten van grafieken rekening met het volgende:

° Als het bereik van de argumentwaarden niet is opgegeven, wordt de grafiek standaard gebouwd in het bereik [-10,10].

° Als het nodig is om meerdere grafieken in één sjabloon te plaatsen, dan worden de namen van de functies aangegeven, gescheiden door komma's.

° Als twee functies verschillende argumenten hebben, bijvoorbeeld f1(x) en f2(y), dan worden de namen van de functies aangegeven op de ordinaat (Y)-as, gescheiden door komma's, en op de abscis (X)-as, de namen van beide variabelen worden ook gescheiden door komma's.

° De eindlabels van de gegevens op het kaartsjabloon worden gebruikt om de grenswaarden van de abscis en ordinaat aan te geven, d.w.z. zij bepalen de schaal van de grafiek. Als u deze labels blanco laat, wordt de schaal automatisch ingesteld. De automatische schaal geeft de grafiek niet altijd in de gewenste vorm weer, dus de grenswaarden van de abscis en ordinaat moeten worden bewerkt door ze handmatig te wijzigen.

Opmerking. Als de grafiek na het plotten niet de gewenste vorm aanneemt, kunt u:

Stap verkleinen.

· verander het plotten interval.

Verlaag de grenswaarden van abscis en ordinaat op de kaart.

Voorbeeld. Constructie van een cirkel met een middelpunt in een punt (2,3) en een straal R = 6.

De vergelijking van een cirkel met het middelpunt op een punt met coördinaten ( x 0 ,ja 0) en straal R wordt geschreven als:

Druk uit van deze vergelijking ja:

Om een ​​cirkel te construeren, is het dus nodig om twee functies in te stellen: de bovenste en onderste halve cirkels. Het argumentbereik wordt als volgt berekend:

Bereik startwaarde = x 0 - R;

Eindwaarde bereik = x 0 + R;

Het is beter om de stap gelijk aan 0,1 te nemen (Fig. 2.3.).

Rijst. 2.3. Constructie van een cirkel

Parametrische grafiek van een functie

Soms is het handiger in plaats van een lijnvergelijking met betrekking tot rechthoekige coördinaten x en ja, overweeg de zogenaamde parametrische lijnvergelijkingen, die uitdrukkingen geven voor de huidige x- en y-coördinaten als functies van een variabele t(parameter): x(t) en ja(t). Bij het construeren van een parametrische grafiek worden de namen van functies van één argument aangegeven op de ordinaat- en abscis-assen.

Voorbeeld. Constructie van een cirkel gecentreerd op een punt met coördinaten (2,3) en straal R= 6. Voor de constructie wordt de parametervergelijking van de cirkel gebruikt

x = x 0 + R omdat ( t) ja = ja 0 + R zonde( t) (Afb. 2.4.).

Afb.2.4. Constructie van een cirkel

Grafiekopmaak

Dubbelklik op het grafiekgebied om een ​​grafiek op te maken. Het dialoogvenster Grafiekopmaak wordt geopend. De tabbladen in het diagramopmaakvenster worden hieronder weergegeven:

§ X- jaassen--opmaak van coördinaatassen. Door de juiste vakjes aan te vinken, kunt u:

· LogboekSchaal--representeer numerieke waarden op de assen op een logaritmische schaal (standaard worden numerieke waarden uitgezet op een lineaire schaal)

· Roosterlijnen--pas een raster van lijnen toe;

· genummerd--schik de getallen langs de coördinaatassen;

· AutoSchaal--automatische selectie van numerieke grenswaarden op de assen (als dit vakje niet is aangevinkt, zijn de maximale berekende waarden een limiet);

· tonenmarkeerstift-- de grafiek markeren in de vorm van horizontale of verticale stippellijnen die overeenkomen met de opgegeven waarde op de as, en de waarden zelf worden weergegeven aan het einde van de lijnen (2 invoerplaatsen verschijnen op elke as, waarin u kunt voer numerieke waarden in, voer niets in, voer één cijfer of letter in aanduidingen van constanten);

· AutoGontdoen-- automatische selectie van het aantal rasterlijnen (als dit vakje niet is aangevinkt, moet u het aantal lijnen specificeren in het veld Aantal rasters);

· gekruist- de as van de abscis gaat door nul van de ordinaat;

· Verpakt-- de x-as loopt langs de onderrand van de grafiek.

§ Spoor-- lijnopmaak van functiegrafieken. Voor elke grafiek afzonderlijk kunt u het volgende wijzigen:

symbool (symbool) op de kaart voor knooppunten (cirkel, kruis, rechthoek, ruit);

lijntype (Effen - ononderbroken, Punt - stippellijn, Streepje - streken, Dadot - streep-stippellijn);

lijnkleur (kleur);

Type (Tuur) van de grafiek (Lijnen - lijn, Punten - punten, Var of Solidbar - staven, Stappen - stappengrafiek, enz.);

lijndikte (gewicht).

§ Label -- titel in het grafiekgebied. In veld Titel (Titel) u kunt de tekst van de titel schrijven, de positie selecteren - aan de boven- of onderkant van de grafiek ( Boven -- bovenkant, Onderstaand -- beneden). U kunt, indien nodig, de namen van het argument en de functie invoeren ( Aslabels ).

§ Standaardinstellingen -- met dit tabblad kunt u terugkeren naar de standaardkaartweergave (Wijzigen naar standaard), of de wijzigingen die u standaard in de kaart hebt aangebracht voor alle grafieken in dit document gebruiken (Gebruiken voor standaardinstellingen).

5. 2 Poolpercelen bouwen

Om een ​​polaire grafiek van een functie te bouwen, moet u:

· stel het bereik van argumentwaarden in;

een functie instellen

· plaats de cursor op de plaats waar de grafiek moet worden gebouwd, selecteer in het wiskundige paneel de knop Graph (grafiek) en in het paneel dat wordt geopend, de knop Polar Plot (polaire grafiek);

· In de invoervelden van het sjabloon dat verschijnt, moet u het hoekargument van de functie (hieronder) en de naam van de functie (links) invoeren.

Voorbeeld. Constructie van Bernoulli's lemniscaat: (Fig. 2.6.)

Afb.2.6. Een voorbeeld van het bouwen van een poolplot

5. 3 Oppervlak plotten (3D of 3 D - grafieken)

Bij het maken van driedimensionale grafieken wordt het paneel gebruikt grafiek(Grafiek) wiskundepaneel. U kunt een driedimensionale grafiek maken met behulp van de wizard, opgeroepen vanuit het hoofdmenu; je kunt een grafiek maken door een matrix met waarden van een functie van twee variabelen te maken; u kunt de versnelde bouwmethode gebruiken; je kunt de speciale functies CreateMech en CreateSpase aanroepen, ontworpen om een ​​reeks functiewaarden en plot te maken. We zullen een versnelde methode overwegen voor het construeren van een driedimensionale grafiek.

Snel grafieken maken

Om snel een driedimensionale grafiek van een functie te maken, moet u:

een functie instellen

plaats de cursor op de plaats waar de grafiek moet worden gebouwd, selecteer de knop op het wiskundige paneel grafiek(Grafiek) en in het geopende paneel de knop ( oppervlakte grafiek);

· op de enige plaats van de sjabloon, voer de naam van de functie in (zonder variabelen op te geven);

· klik buiten de grafieksjabloon -- de functiegrafiek zal worden gebouwd.

Voorbeeld. Een functie plotten z(x,ja) = x 2 + ja 2 - 30 (Afb. 2.7).

Rijst. 2.7. Een voorbeeld van een snelle oppervlakteplot

De ingebouwde kaart kan worden bestuurd:

° rotatie van de grafiek wordt uitgevoerd nadat de muisaanwijzer erover is gehouden met de linkermuisknop ingedrukt;

° schaalvergroting van de kaart wordt uitgevoerd nadat de muisaanwijzer erover is geschoven door gelijktijdig op de linkermuisknop en de Ctrl-toets te drukken (als u de muis beweegt, zoomt de kaart in of uit);

° grafiekanimatie wordt op dezelfde manier uitgevoerd, maar met de Shift-toets extra ingedrukt. Het is alleen nodig om de grafiek met de muis te draaien, daarna wordt de animatie automatisch uitgevoerd. Om de rotatie te stoppen, klikt u met de linkermuisknop in het grafiekgebied.

Het is mogelijk om meerdere vlakken tegelijk in één tekening te bouwen. Om dit te doen, moet u beide functies instellen en de namen van de functies op de kaartsjabloon specificeren, gescheiden door komma's.

Bij snel plotten liggen de standaardwaarden voor beide argumenten tussen -5 en +5 en is het aantal contourlijnen 20. Om deze waarden te wijzigen, moet u:

· dubbelklik op de grafiek;

· selecteer het tabblad Quick Plot Data in het geopende venster;

· voer nieuwe waarden in het venstergebied in Range1 -- voor het eerste argument en Range2 -- voor het tweede argument (start -- beginwaarde, eind -- eindwaarde);

· verander in het veld # van rasters het aantal rasterlijnen dat het oppervlak bedekt;

· Klik op de OK-knop.

Voorbeeld. Een functie plotten z(x,ja) = -sin( x 2 + ja 2) (Afb. 2.9).

Bij het samenstellen van deze grafiek is het beter om de limieten van verandering in de waarden van beide argumenten te kiezen van -2 tot +2.

Rijst. 2.9. Een voorbeeld van het plotten van een functiegrafiek z(x,ja) = -sin( x 2 + ja 2)

voor3D-grafieken matteren

Om de grafiek op te maken, dubbelklikt u op het plotgebied - er verschijnt een opmaakvenster met verschillende tabbladen: Verschijning,Algemeen,assen,verlichting,Titel,Backplanes,Speciaal, Geavanceerd, SnelVerhaalGegevens.

Doel van het tabblad SnelVerhaalGegevens hierboven is besproken.

Tab Verschijning kunt u het uiterlijk van de grafiek wijzigen. Veld Vullen Opties stelt u in staat om de vulparameters te wijzigen, veld lijn Optie-- lijnparameters, punt Opties-- punt parameters.

Op het tabblad Algemeen ( algemeen) in de groep weergave je kunt de rotatiehoeken van het afgebeelde oppervlak rond alle drie de assen kiezen; in een groep Schermals U kunt het diagramtype wijzigen.

Op het tabblad verlichting(verlichting) je kunt de verlichting bedienen door het vakje aan te vinken inschakelenverlichting(zet de lichten aan) en schakelaar Op(aanzetten). Een van de 6 mogelijke verlichtingsschema's is geselecteerd uit de lijst verlichtingschema(verlichtingsschema).

6. Manieren om vergelijkingen op te lossen in WiskundeCAD

In deze sectie zullen we leren hoe de eenvoudigste vergelijkingen van de vorm F( x) = 0. Een vergelijking analytisch oplossen betekent alle wortels vinden, d.w.z. dergelijke getallen, wanneer we ze in de oorspronkelijke vergelijking substitueren, verkrijgen we de juiste gelijkheid. De vergelijking grafisch oplossen betekent het vinden van de snijpunten van de grafiek van de functie met de x-as.

6. 1 Vergelijkingen oplossen met f functies en wortel ( f ( x ), x )

Voor oplossingen van een vergelijking met één onbekende van de vorm F( x) = 0 er is een speciale functie

wortel(f(x), x) ,

waar f(x) is een uitdrukking gelijk aan nul;

X-- argument.

Deze functie retourneert, met een gegeven precisie, de waarde van een variabele waarvoor de uitdrukking f(x) is gelijk aan 0.

Aandachte. Als de rechterkant van de vergelijking 0 is, moet deze in de normale vorm worden gebracht (alles naar de linkerkant overbrengen).

Voordat u de functie gebruikt: wortel moet worden gegeven aan het argument X aanvankelijke benadering. Als er meerdere wortels zijn, moet u, om elke wortel te vinden, uw initiële benadering specificeren.

Aandacht. Alvorens op te lossen, is het wenselijk om een ​​functiegrafiek te plotten om te controleren of er wortels zijn (snijdt de grafiek de Ox-as), en zo ja, hoeveel. De initiële benadering kan worden gekozen volgens de grafiek die dichter bij het snijpunt ligt.

Voorbeeld. Een vergelijking oplossen met een functie wortel weergegeven in figuur 3.1. Voordat we verder gaan met de oplossing in het MathCAD-systeem, zullen we in de vergelijking alles naar de linkerkant overbrengen. De vergelijking zal de vorm aannemen: .

Rijst. 3.1. Een vergelijking oplossen met behulp van de wortelfunctie

6. 2 Vergelijkingen oplossen met f functies en polyroots ( v )

Gebruik de functie . om alle wortels van een polynoom tegelijkertijd te vinden polyroots(v), waarbij v de vector is van de coëfficiënten van de polynoom, beginnend bij de vrije term . Nulcoëfficiënten kunnen niet worden weggelaten. In tegenstelling tot de functie wortel functie Polyroots vereist geen initiële benadering.

Voorbeeld. Een vergelijking oplossen met een functie polyroots weergegeven in figuur 3.2.

Rijst. 3.2. Een vergelijking oplossen met de functie Polyroots

6. 3 Vergelijkingen oplossen met ffunctiesenVind(x)

De functie Zoeken werkt in combinatie met het trefwoord Given. Ontwerp Gegeven-Vind

Als de vergelijking wordt gegeven f(x) = 0, dan kan het als volgt worden opgelost met behulp van het blok Gegeven - Vind:

Initiële benadering instellen

Voer een servicewoord in

Schrijf de vergelijking met het teken vet is gelijk aan

Schrijf een zoekfunctie met een onbekende variabele als parameter

Als gevolg hiervan wordt na het gelijkteken de gevonden wortel weergegeven.

Als er meerdere wortels zijn, kunnen deze worden gevonden door de initiële benadering x0 te veranderen in één dicht bij de gewenste wortel.

Voorbeeld. De oplossing van de vergelijking met behulp van de functie find wordt weergegeven in figuur 3.3.

Rijst. 3.3. Een vergelijking oplossen met de zoekfunctie

Soms is het nodig om enkele punten op de grafiek te markeren (bijvoorbeeld de snijpunten van een functie met de Ox-as). Hiervoor heb je nodig:

Specificeer de x-waarde van een bepaald punt (langs de Ox-as) en de waarde van de functie op dit punt (langs de Oy-as);

dubbelklik op de grafiek en in het opmaakvenster in het tabblad sporen selecteer voor de corresponderende lijn het grafiektype - punten, lijndikte - 2 of 3.

Voorbeeld. De grafiek toont het snijpunt van de functie met de x-as. Coördineren X dit punt werd gevonden in het vorige voorbeeld: X= 2,742 (wortel van de vergelijking ) (Afb. 3.4).

Rijst. 3.4. Grafiek van een functie met een gemarkeerd snijpunt

In het grafiekopmaakvenster, op het tabblad sporen voor spoor2 gewijzigd: kaarttype - punten, lijndikte - 3, kleur - zwart.

7. Oplossen van stelsels van vergelijkingen

7. 1 Systemen van lineaire vergelijkingen oplossen

Het stelsel lineaire vergelijkingen kan worden opgelost m matrix methode: (hetzij via de inverse matrix of met behulp van de functie oplossen(A,B)) en twee functies gebruiken Vind en functies Miner.

Matrix-methode:

Voorbeeld. Het stelsel vergelijkingen wordt gegeven:

De oplossing van dit stelsel vergelijkingen met de matrixmethode is weergegeven in figuur 4.1.

Rijst. 4.1. Een stelsel lineaire vergelijkingen oplossen met een matrixmethode

Functie gebruikoplossen(EEN, B)

Loplossen(A,B) is een ingebouwde functie die een vector X retourneert voor een stelsel lineaire vergelijkingen gegeven een matrix van coëfficiënten A en een vector van vrije termen B .

Voorbeeld. Het stelsel vergelijkingen wordt gegeven:

De manier om dit systeem op te lossen met de functie lsolve(A,B) wordt getoond in figuur 4.2.

Rijst. 4.2. Een stelsel lineaire vergelijkingen oplossen met de functie Isolve

Een stelsel lineaire vergelijkingen oplossenviafunctiesenVind

Met deze methode worden vergelijkingen ingevoerd zonder het gebruik van matrices, d.w.z. in "natuurlijke vorm". Ten eerste is het noodzakelijk om de initiële benaderingen van de onbekende variabelen aan te geven. Het kan elk nummer zijn binnen de reikwijdte van de definitie. Vaak worden ze aangezien voor een kolom met gratis leden.

Om een ​​stelsel lineaire vergelijkingen op te lossen met behulp van een rekeneenheid Gegeven - Vind, vereist:

2) voer een servicewoord in Gegeven;

vet is gelijk aan();

4) schrijf een functie Vind,

Voorbeeld. Het stelsel vergelijkingen wordt gegeven:

De oplossing van dit systeem met behulp van een rekeneenheid Gegeven - Vind weergegeven in figuur 4.3.

Rijst. 4.3. Een stelsel lineaire vergelijkingen oplossen met de functie Zoeken

geschatte poplossing van een stelsel lineaire vergelijkingen

Een stelsel lineaire vergelijkingen oplossen met een functie Miner vergelijkbaar met de oplossing met behulp van de functie Vind(met hetzelfde algoritme), alleen functie Vind geeft de exacte oplossing, en Miner-- bij benadering. Als als resultaat van het zoeken geen verdere verfijning van de huidige benadering van de oplossing kan worden verkregen, Mijnwerkerr geeft deze benadering terug. Functie Vind geeft in dit geval een foutmelding.

U kunt een andere initiële benadering kiezen.

· U kunt de nauwkeurigheid van de berekening vergroten of verkleinen. Selecteer hiervoor in het menu Wiskunde > Opties(Wiskunde - Opties), tabblad gebouwd- InVariabelen(Ingebouwde variabelen). In het tabblad dat wordt geopend, moet u de toegestane rekenfout verminderen (Convergence Tolerance (TOL)). Standaard TOL = 0,001.

BIJaandacht. Met de matrixoplossingsmethode is het noodzakelijk om de coëfficiënten te herschikken volgens de toename in onbekenden X 1, X 2, X 3, X 4.

7. 2 Systemen van niet-lineaire vergelijkingen oplossen

Stelsels van niet-lineaire vergelijkingen in MathCAD worden opgelost met behulp van een rekeneenheid Gegeven - Vind.

Ontwerp Gegeven - Vind gebruikt een rekentechniek die is gebaseerd op het zoeken naar een wortel in de buurt van het initiële benaderingspunt dat door de gebruiker is opgegeven.

Een stelsel vergelijkingen oplossen met behulp van het blok Gegeven - Vind vereist:

1) initiële benaderingen instellen voor alle variabelen;

2) voer een servicewoord in Gegeven;

3) schrijf het stelsel vergelijkingen op met het teken vet is gelijk aan();

4) schrijf een functie Vind, door onbekende variabelen op te nemen als functieparameters.

Als resultaat van berekeningen wordt de oplossingsvector van het systeem weergegeven.

Als het systeem meerdere oplossingen heeft, moet het algoritme worden herhaald met andere initiële gissingen.

Opmerking. Als een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden wordt opgelost, is het wenselijk om, voordat het wordt opgelost, functiegrafieken te plotten om te controleren of het stelsel wortels heeft (of de grafieken van bepaalde functies elkaar snijden), en zo ja, hoeveel. De initiële benadering kan worden gekozen volgens de grafiek die dichter bij het snijpunt ligt.

Voorbeeld. Gegeven een stelsel vergelijkingen

Voordat we het systeem oplossen, maken we grafieken van functies: parabolen (de eerste vergelijking) en een rechte lijn (de tweede vergelijking). De constructie van een grafiek van een rechte lijn en een parabool in één coördinatenstelsel wordt weergegeven in figuur 4.5:

Rijst. 4.5. Twee functies in hetzelfde coördinatensysteem plotten

De lijn en de parabool snijden elkaar op twee punten, wat betekent dat het systeem twee oplossingen heeft. Volgens de grafiek kiezen we de initiële benaderingen van de onbekenden x en ja voor elke oplossing. Het vinden van de wortels van het stelsel vergelijkingen wordt weergegeven in figuur 4.6.

Rijst. 4.6. De wortels van een stelsel van niet-lineaire vergelijkingen vinden

Om op de grafiek de snijpunten van de parabool en de rechte lijn te markeren, introduceren we de coördinaten van de gevonden punten bij het oplossen van het systeem langs de Ox-as (waarden X ) en langs de Oy-as (waarden Bij ) gescheiden door comma's. In het grafiekopmaakvenster, op het tabblad sporen voor spoor3 en spoor4 wijzigen: kaarttype - punten, lijndikte - 3, kleur - zwart (Fig. 4.7).

Rijst. 4.7. Functieplots met gemarkeerde snijpunten

8 . Belangrijkste kenmerken Gebruiksvoorbeelden WiskundeCAD om een ​​aantal wiskundige problemen op te lossen

Dit gedeelte geeft voorbeelden van het oplossen van problemen waarvoor een vergelijking of een stelsel vergelijkingen nodig is.

8. 1 Lokale extrema van functies vinden

De noodzakelijke voorwaarde voor een extremum (maximum en/of minimum) van een continue functie is als volgt geformuleerd: extrema kan alleen plaatsvinden op die punten waar de afgeleide ofwel gelijk is aan nul of niet bestaat (in het bijzonder wordt het oneindig) . Om de extrema van een continue functie te vinden, zoekt u eerst de punten die aan de noodzakelijke voorwaarde voldoen, dat wil zeggen, zoek alle reële wortels van de vergelijking.

Als er een functiegrafiek is gebouwd, kun je meteen zien - het maximum of minimum is bereikt op een bepaald punt X. Als er geen grafiek is, wordt elk van de gevonden wortels op een van de manieren onderzocht.

1e met toelage . Met gelijk maken e tekens van de afgeleide . Het teken van de afgeleide van de buurt van het punt wordt bepaald (op punten die op kleine afstanden aan verschillende kanten van het uiteinde van de functie zijn gescheiden). Als het teken van de afgeleide verandert van "+" in "-", dan heeft de functie op dit punt een maximum. Als het teken verandert van "-" in "+", dan heeft de functie op dit punt een minimum. Als het teken van de afgeleide niet verandert, zijn er geen extremen.

2e zo toelage . BIJ berekeningen e tweede derivaat . In dit geval wordt de tweede afgeleide berekend op het uiterste punt. Als het kleiner is dan nul, dan heeft de functie op dit punt een maximum, als het groter is dan nul, dan een minimum.

Voorbeeld. Het vinden van extremen (minimum/maxima) van een functie.

Laten we eerst een grafiek van de functie maken (Fig. 6.1).

Rijst. 6.1. Een functie plotten

Laten we uit de grafiek de initiële benaderingen van de waarden bepalen X overeenkomend met lokale extrema van de functie f(x). Laten we deze extremen vinden door de vergelijking op te lossen. Om op te lossen gebruiken we het blok Gegeven - Vinden (Fig. 6.2.).

Rijst. 6.2. Lokale extremen vinden

Laten we het type extremums definiëren perversmanier, het onderzoeken van de verandering in het teken van de afgeleide in de buurt van de gevonden waarden (Fig. 6.3).

Rijst. 6.3. Bepaling van het type extremum

Uit de tabel met waarden van de afgeleide en uit de grafiek blijkt dat het teken van de afgeleide in de buurt van het punt x 1 verandert van plus naar min, dus de functie bereikt op dit punt zijn maximum. En in de buurt van het punt x 2 is het teken van de afgeleide veranderd van min naar plus, dus op dit punt bereikt de functie een minimum.

Laten we het type extremums definiëren tweedemanier, het teken van de tweede afgeleide berekenen (Fig. 6.4).

Rijst. 6.4. Het type extremum bepalen met behulp van de tweede afgeleide

Het is te zien dat op het punt x 1 de tweede afgeleide is kleiner dan nul, dus het punt X 1 komt overeen met het maximum van de functie. En op het punt x 2 de tweede afgeleide is groter dan nul, dus het punt X 2 komt overeen met het minimum van de functie.

8.2 De gebieden van figuren bepalen die worden begrensd door ononderbroken lijnen

Oppervlakte van een kromlijnig trapezium begrensd door een grafiek van een functie f(x) , een segment op de Ox-as en twee verticalen X = a en X = b, a < b, wordt bepaald door de formule: .

Voorbeeld. Het gebied van een figuur vinden dat wordt begrensd door lijnen f(x) = 1 - x 2 en ja = 0.

Rijst. 6.5. Het gebied van een figuur vinden dat wordt begrensd door lijnen f(x) = 1 - x 2 en ja = 0

Het gebied van de figuur tussen de grafieken van functies f1(x) en f2(x) en direct X = a en X = b, wordt berekend met de formule:

Aandacht. Om fouten bij het berekenen van de oppervlakte te voorkomen, moet het verschil in functies modulo worden genomen. Het gebied zal dus altijd positief zijn.

Voorbeeld. Het gebied van een figuur vinden dat wordt begrensd door lijnen en. De oplossing is weergegeven in figuur 6.6.

1. We bouwen een grafiek van functies.

2. We vinden de snijpunten van functies met behulp van de wortelfunctie. We zullen de initiële benaderingen uit de grafiek bepalen.

3. Gevonden waarden x worden in de formule gesubstitueerd als de integratiegrenzen.

8. 3 Constructie van krommen door gegeven punten

Constructie van een rechte lijn die door twee gegeven punten gaat

Om de vergelijking te schrijven van een rechte lijn die door twee punten A( x 0,ja 0) en B( x 1,ja 1), wordt het volgende algoritme voorgesteld:

1. De rechte lijn wordt gegeven door de vergelijking ja = bijl + b,

waar a en b zijn de coëfficiënten van de lijn die we moeten vinden.

2. Dit systeem is lineair. Het heeft twee onbekende variabelen: a en b

Voorbeeld. Constructie van een rechte lijn die door de punten A(-2,-4) en B(5,7) gaat.

We vervangen de directe coördinaten van deze punten in de vergelijking en krijgen het systeem:

De oplossing van dit systeem in MathCAD is weergegeven in figuur 6.7.

Rijst. 6.7 Systeemoplossing

Als resultaat van het oplossen van het systeem krijgen we: a = 1.57, b= -0,857. Dus de vergelijking van een rechte lijn ziet er als volgt uit: ja = 1.57x- 0,857. Laten we deze rechte lijn construeren (Fig. 6.8).

Rijst. 6.8. Een rechte lijn bouwen

Constructie van een parabool, door drie gegeven punten gaan

Een parabool construeren die door drie punten A( x 0,ja 0), B( x 1,ja 1) en C( x 2,ja 2), is het algoritme als volgt:

1. De parabool wordt gegeven door de vergelijking

ja = bijl 2 + bX + met, waar

a, b en met zijn de coëfficiënten van de parabool die we moeten vinden.

We vervangen de gegeven coördinaten van de punten in deze vergelijking en krijgen het systeem:

.

2. Dit systeem is lineair. Het heeft drie onbekende variabelen: a, b en met. Het systeem kan in een matrix worden opgelost.

3. We vervangen de verkregen coëfficiënten in de vergelijking en bouwen een parabool.

Voorbeeld. Constructie van een parabool die door de punten A(-1,-4), B(1,-2) en C(3,16) gaat.

We vervangen de gegeven coördinaten van de punten in de paraboolvergelijking en krijgen het systeem:

De oplossing van dit stelsel vergelijkingen in MathCAD wordt weergegeven in figuur 6.9.

Rijst. 6.9. Een stelsel vergelijkingen oplossen

Als resultaat worden de coëfficiënten verkregen: a = 2, b = 1, c= -5. We krijgen de paraboolvergelijking: 2 x 2 +x -5 = ja. Laten we deze parabool bouwen (Fig. 6.10).

Rijst. 6.10. Constructie van een parabool

Constructie van een cirkel die door drie gegeven punten gaat

Een cirkel construeren die door drie punten A( x 1,ja 1), B( x 2,ja 2) en C( x 3,ja 3), kunt u het volgende algoritme gebruiken:

1. De cirkel wordt gegeven door de vergelijking

,

waarbij x0,y0 de coördinaten van het middelpunt van de cirkel zijn;

R is de straal van de cirkel.

2. Vervang de gegeven coördinaten van de punten in de vergelijking van de cirkel en krijg het systeem:

.

Dit systeem is niet-lineair. Het heeft drie onbekende variabelen: x 0, ja 0 en R. Het systeem wordt opgelost met behulp van de rekeneenheid Gegeven - Vind.

Voorbeeld. Constructie van een cirkel die door drie punten A(-2.0), B(6.0) en C(2.4) gaat.

We vervangen de gegeven coördinaten van de punten in de vergelijking van de cirkel en krijgen het systeem:

De oplossing van het systeem in MathCAD wordt getoond in figuur 6.11.

Rijst. 6.11. Systeemoplossing

Als resultaat van het oplossen van het systeem werd het volgende verkregen: x 0 = 2, ja 0 = 0, R = 4. Vervang de verkregen coördinaten van het middelpunt van de cirkel en de straal in de vergelijking van de cirkel. We krijgen: . Express vanaf hier ja en construeer een cirkel (Fig. 6.12).

Rijst. 6.12. Constructie van een cirkel

Vergelijkbare documenten

Met behulp van gerangschikte variabelen in het softwarepakket Mathcad. Maken van matrices zonder gebruik te maken van matrixsjablonen, beschrijving van operators voor het werken met vectoren en matrices. Systemen van lineaire en niet-lineaire vergelijkingen oplossen met behulp van Mathcad-functies.

controle werk, toegevoegd 03/06/2011


Algemeen overzicht van het MathCad-venster, het werkbalkmenu van het te bestuderen programma. MathCad-document, de algemene kenmerken en bewerkingsmethoden. Scheiding van gebieden en contextmenu, uitdrukkingen. Definitie van discrete argumenten, variabelen en constanten.

presentatie, toegevoegd 09/29/2013


Het concept van wiskundig model en modellering. Algemene informatie over het MathCad-systeem. Structurele analyse van het probleem in MathCAD. Wijze van continue symbolische transformaties. Optimalisatie van numerieke tabbladen door symbolische conversies. Berekening van de steunreactie.

scriptie, toegevoegd 03/06/2014


Doel en samenstelling van het MathCAD-systeem. De belangrijkste objecten van de invoertaal en de implementatietaal. Kenmerken van gebruikersinterface-elementen, het opzetten van de samenstelling van werkbalken. Problemen van lineaire algebra en oplossing van differentiaalvergelijkingen in MathCAD.

cursus colleges, toegevoegd 13-11-2010


Algemene informatie over het Mathcad-systeem. Mathcad-programmavenster en werkbalken. Berekening van algebraïsche functies. Interpolatie van functies door kubische splines. Berekening van de vierkantswortel. Analyse van numerieke differentiatie en integratie.

scriptie, toegevoegd 25-12-2014


Bestudering van de structuur van het werkdocument MathCad - een programma dat is ontworpen om wiskundige berekeningen te automatiseren. Werken met variabelen, functies en matrices. Toepassing van MathCad voor het plotten, oplossen van vergelijkingen en symbolische berekeningen.

presentatie, toegevoegd 03/07/2013


Het concept van een wiskundig model, eigenschappen en classificatie. Kenmerken van de elementen van het Mathcad-systeem. Algoritmische analyse van het probleem: beschrijving van het wiskundige model, grafisch schema van het algoritme. Implementatie van het basismodel en beschrijving van MathCAD studies.

samenvatting, toegevoegd 20-03-2014


Mathcad en zijn basisconcepten. Mogelijkheden en functies van het systeem in matrixberekening. De eenvoudigste bewerkingen met matrices. Systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen oplossen. Eigenvectoren. Cholesky ontbinding. Elementaire theorie van lineaire operatoren.

scriptie, toegevoegd 25-11-2014


De belangrijkste elementen van het MathCAD-systeem, een overzicht van de mogelijkheden. Systeeminterface, documentconstructieconcept. Gegevenstypen, systeeminvoertaal. Classificatie van standaardfuncties. Grafische mogelijkheden van het MathCAD-systeem. Oplossing van systeemvergelijkingen.

collegereeks, toegevoegd 03/01/2015


Inleiding tot Windows-teksteditors. De Microsoft Word-editor instellen. Ontwikkeling van MS Excel-document. Creatie van webpagina's in de omgeving van MS Word. Kozijnen bouwen. Lettertypeopties beheren. Plotten in het wiskundige pakket MathCad.