Transformatie van algebraïsche uitdrukkingen. Identiteitstransformaties van uitdrukkingen, hun typen

Ministerie van Onderwijs van de Republiek Wit-Rusland

onderwijsinstelling

Homel State University vernoemd naar F. Skaryna"

Faculteit Wiskunde

Afdeling MPM

Identieke transformaties van uitdrukkingen en methoden om studenten te leren hoe ze uit te voeren

Uitvoerder:

Student Starodubova A.Yu.

Leidinggevende:

kan. natuurkunde en wiskunde Wetenschappen, universitair hoofddocent Lebedeva M.T.

Homel 2007

Invoering

1 De belangrijkste soorten transformaties en stadia van hun studie. Stadia van het beheersen van de toepassing van transformaties

Conclusie

Literatuur

Invoering

De eenvoudigste transformaties van uitdrukkingen en formules, gebaseerd op de eigenschappen van rekenkundige bewerkingen, worden uitgevoerd op de basisschool en in de klassen 5 en 6. De vorming van vaardigheden en capaciteiten om transformaties uit te voeren vindt plaats in de loop van de algebra. Dit houdt zowel verband met een sterke toename van het aantal en de verscheidenheid aan uitgevoerde transformaties, als met de complicatie van activiteiten om ze te onderbouwen en de toepasselijkheidsvoorwaarden te verduidelijken, met de identificatie en studie van algemene concepten van identiteit, identieke transformatie, equivalente transformatie.

1. Belangrijkste soorten transformaties en stadia van hun studie. Stadia van het beheersen van de toepassing van transformaties

1. begin van algebra

Er wordt een niet-gepartitioneerd systeem van transformaties gebruikt, weergegeven door de regels voor het uitvoeren van acties op een of beide delen van de formule. Het doel is om vloeiend te worden in het uitvoeren van taken voor het oplossen van de eenvoudigste vergelijkingen, het vereenvoudigen van de formules die functies definiëren, bij het rationeel uitvoeren van berekeningen op basis van de eigenschappen van acties.

Typische voorbeelden:

Los vergelijkingen op:

a) ; b) ; in) .

identiteitstransformatie (a); gelijkwaardig en identiek (b).

2. Vorming van vaardigheden voor het toepassen van specifieke soorten transformaties

Conclusies: verkorte vermenigvuldigingsformules; transformaties geassocieerd met machtsverheffing; transformaties geassocieerd met verschillende klassen van elementaire functies.

Organisatie van een holistisch systeem van transformaties (synthese)

Het doel is de vorming van een flexibel en krachtig apparaat dat geschikt is voor gebruik bij het oplossen van verschillende educatieve taken.. De overgang naar deze fase wordt uitgevoerd tijdens de laatste herhaling van de cursus tijdens het begrijpen van het reeds bekende materiaal dat in delen is geleerd, voor bepaalde soorten transformaties worden transformaties van trigonometrische uitdrukkingen toegevoegd aan de eerder bestudeerde typen. Al deze transformaties kunnen "algebraïsche" en "analytische" transformaties worden genoemd, waaronder transformaties die zijn gebaseerd op de regels van differentiatie en integratie en transformatie van uitdrukkingen die limietovergangen bevatten. Het verschil van dit type zit in de aard van de verzameling die de variabelen doorlopen in identiteiten (bepaalde verzamelingen van functies).

De identiteiten die worden bestudeerd, zijn verdeeld in twee klassen:

Ik ben afgekorte vermenigvuldigingsidentiteiten geldig in een commutatieve ring en identiteiten

eerlijk in het veld.

II - identiteiten die rekenkundige bewerkingen en elementaire elementaire functies verbinden.

2 Kenmerken van de organisatie van het taaksysteem in de studie van identieke transformaties

Het basisprincipe van het organiseren van een systeem van taken is om ze van eenvoudig naar complex te presenteren.

Oefencyclus- de combinatie in de volgorde van oefeningen van verschillende aspecten van de studie en methoden voor het ordenen van de stof. Bij het bestuderen van identieke transformaties is de cyclus van oefeningen verbonden met de studie van één identiteit, waaromheen andere identiteiten zijn gegroepeerd, die er in een natuurlijke verbinding mee staan. De samenstelling van de cyclus, samen met uitvoerende taken, omvat taken, waarbij erkenning van de toepasselijkheid van de beschouwde identiteit vereist is. De identiteit die wordt bestudeerd, wordt gebruikt om berekeningen uit te voeren op verschillende numerieke domeinen. Taken in elke cyclus zijn verdeeld in twee groepen. Tot eerst omvatten taken uitgevoerd tijdens de eerste kennismaking met de identiteit. Ze dienen als lesmateriaal voor meerdere opeenvolgende lessen, verenigd door één onderwerp.

tweede groep oefening verbindt de onderzochte identiteit met verschillende toepassingen. Deze groep vormt geen compositorische eenheid - de oefeningen hier zijn verspreid over verschillende onderwerpen.

De beschreven structuren van de cyclus verwijzen naar het stadium van vorming van vaardigheden voor het toepassen van specifieke transformaties.

In het stadium van synthese veranderen de cycli, worden de groepen taken gecombineerd tot complicatie en worden de cycli met betrekking tot verschillende identiteiten samengevoegd, waardoor de rol van acties om de toepasbaarheid van een of andere identiteit te herkennen toeneemt.

Voorbeeld.

Identiteitstaakcyclus:

Ik groep van taken:

a) aanwezig in de vorm van een product:

b) Controleer de juistheid van de gelijkheid:

c) Vouw de haakjes in de uitdrukking uit:

d) Bereken:

e) Factoriseren:

e) vereenvoudig de uitdrukking:

De studenten hebben zojuist kennis gemaakt met de formulering van de identiteit, de vastlegging ervan in de vorm van een identiteit en het bewijs.

Taak a) houdt verband met het vaststellen van de structuur van de identiteit die wordt bestudeerd, met het tot stand brengen van een verbinding met numerieke sets (vergelijking van de tekenstructuren van de identiteit en de uitdrukking die wordt getransformeerd; het vervangen van een letter door een cijfer in de identiteit). In het laatste voorbeeld moet het nog worden teruggebracht tot de vorm die wordt bestudeerd. In de volgende voorbeelden (e en g) is sprake van een complicatie door de toegepaste rol van identiteit en de complicatie van de tekenstructuur.

Taken van type b) zijn gericht op het ontwikkelen van substitutievaardigheden op de . De rol van taak c) is vergelijkbaar.

Voorbeelden van het type d), waarbij een van de transformatierichtingen moet worden gekozen, completeren de ontwikkeling van dit idee.

De taken van groep I zijn gericht op het beheersen van de structuur van de identiteit, de werking van substitutie in de eenvoudigste, fundamenteel belangrijkste gevallen en het idee van de omkeerbaarheid van de transformaties die door de identiteit worden uitgevoerd. Taalverrijking betekent ook dat het tonen van verschillende aspecten van identiteit erg belangrijk is. Een idee over deze aspecten wordt gegeven door de teksten van taken.

II groep taken.

g) Gebruik de identiteit voor , ontbind de polynoom in factoren.

h) Elimineer irrationaliteit in de noemer van de breuk.

i) Bewijs dat als een oneven getal is, het deelbaar is door 4.

j) De functie wordt gegeven door de analytische uitdrukking

Ontdoe u van het modulo-teken door twee gevallen te overwegen: , .

l) Los de vergelijking op .

Deze taken zijn gericht op een zo volledig mogelijk gebruik en rekening houden met de bijzonderheden van deze specifieke identiteit, en suggereren de vorming van vaardigheden in het gebruik van de identiteit die wordt bestudeerd voor het verschil in vierkanten. Het doel is om het begrip van identiteit te verdiepen door de verschillende toepassingen ervan in verschillende situaties te overwegen, in combinatie met het gebruik van materiaal dat verband houdt met andere onderwerpen van de wiskundecursus.

of .

Kenmerken van functiecycli met betrekking tot identiteiten voor elementaire functies:

1) ze worden bestudeerd op basis van functioneel materiaal;

2) de identiteiten van de eerste groep verschijnen later en worden bestudeerd met behulp van de reeds gevormde vaardigheden voor het uitvoeren van identieke transformaties.

De eerste groep taken van de cyclus moet taken bevatten om een verband tot stand te brengen tussen deze nieuwe numerieke gebieden en het oorspronkelijke gebied van rationale getallen.

Voorbeeld.

Berekenen:

;

Het doel van dergelijke taken is om de kenmerken van records onder de knie te krijgen, inclusief symbolen van nieuwe bewerkingen en functies, en om wiskundige spraakvaardigheden te ontwikkelen.

Een aanzienlijk deel van het gebruik van identiteitstransformaties geassocieerd met elementaire functies valt op de oplossing van irrationele en transcendente vergelijkingen. Volgorde van stappen:

a) zoek een functie φ waarvoor de gegeven vergelijking f(x)=0 kan worden weergegeven als:

b) maak een substitutie y=φ(x) en los de vergelijking op

c) los elk van de vergelijkingen φ(x)=y k op, waarbij y k de verzameling wortels is van de vergelijking F(y)=0.

Bij gebruik van de beschreven methode wordt stap b) vaak impliciet uitgevoerd, zonder een notatie voor φ(x) te introduceren. Bovendien kiezen studenten vaak uit de verschillende paden die leiden naar het vinden van een antwoord om het antwoord te kiezen dat sneller en gemakkelijker naar de algebraïsche vergelijking leidt.

Voorbeeld. Los de vergelijking 4 x -3*2=0 op.

2)(2 2) x -3*2 x =0 (stap a)

(2x) 2 -3*2x =0; 2x(2x-3)=0; 2x -3=0. (stap b)

Voorbeeld. Los De vergelijking op:

a) 2 2x -3*2x +2=0;

b) 2 2x -3*2x -4=0;

c) 2 2x -3*2x +1=0.

(Stel voor om zelf te beslissen.)

Classificatie van taken in cycli gerelateerd aan de oplossing van transcendentale vergelijkingen, inclusief een exponentiële functie:

1) vergelijkingen die reduceren tot vergelijkingen van de vorm a x \u003d y 0 en een eenvoudig, algemeen antwoord in vorm hebben:

2) vergelijkingen die herleiden tot vergelijkingen van de vorm a x = a k , waarbij k een geheel getal is, of a x = b, waarbij b≤0.

3) vergelijkingen die reduceren tot vergelijkingen van de vorm a x =y 0 en een expliciete analyse vereisen van de vorm waarin het getal y 0 expliciet wordt geschreven.

Van groot voordeel zijn taken waarbij identieke transformaties worden gebruikt om grafieken te plotten, terwijl formules worden vereenvoudigd die functies definiëren.

a) Teken de functie y=;

b) Los de vergelijking lgx+lg(x-3)=1 . op

c) op welke verzameling is de formule lg(x-5)+ lg(x+5)= lg(x 2 -25) een identiteit?

Het gebruik van identieke transformaties in berekeningen (J. Mathematics at School, No. 4, 1983, p. 45)

Taak nummer 1. De functie wordt gegeven door de formule y=0,3x 2 +4,64x-6. Zoek de functiewaarden bij x=1.2

y(1.2)=0,3*1,2 2 +4,64*1,2-6=1,2(0,3*1,2+4,64)-6=1,2(0 ,36+4,64)-6=1,2*5-6=0.

Opdracht nummer 2. Bereken de lengte van het been van een rechthoekige driehoek als de lengte van de hypotenusa 3,6 cm is en het andere been 2,16 cm.

Opdracht nummer 3. Wat is de oppervlakte van een rechthoekig perceel met afmetingen a) 0,64 m en 6,25 m; b) 99,8 m en 2,6 m?

a) 0,64 * 6,25 \u003d 0,8 2 * 2,5 2 \u003d (0,8 * 2,5) 2;

b) 99,8*2,6=(100-0,2)2,6=100*2,6-0,2*2,6=260-0,52.

Deze voorbeelden maken het mogelijk om de praktische toepassing van identieke transformaties te onthullen. De student dient vertrouwd te zijn met de voorwaarden voor de haalbaarheid van de transformatie (zie schema's).

afbeelding van een polynoom, waarbij elke polynoom in ronde contouren past (schema 1)

de voorwaarde voor de haalbaarheid van het omzetten van het product van een monomiaal en een uitdrukking wordt gegeven die conversie naar het verschil van kwadraten mogelijk maakt. (schema 2)

arcering betekent hier gelijke monomials en er wordt een uitdrukking gegeven die kan worden omgezet in een verschil van vierkanten (schema 3)

een uitdrukking waarmee een gemeenschappelijke factor kan worden verwijderd.

Om de vaardigheden van studenten bij het identificeren van aandoeningen te ontwikkelen, kun je de volgende voorbeelden gebruiken:

Welke van de volgende uitdrukkingen kan worden getransformeerd door de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te zetten:

3) 0,7a 2 +0,2b 2;

5) 6,3*0,4+3,4*6,3;

6) 2x2 +3x2 +5y2;

7) 0,21+0,22+0,23.

De meeste berekeningen in de praktijk voldoen niet aan de haalbaarheidsvoorwaarden, dus studenten moeten de vaardigheden hebben om ze in een vorm te brengen die het berekenen van transformaties mogelijk maakt. In dit geval zijn de volgende taken geschikt:

bij het bestuderen van het verwijderen van een gemeenschappelijke factor tussen haakjes:

deze uitdrukking, indien mogelijk, transformeren in een uitdrukking, die wordt weergegeven door schema 4:

4) 2a * een 2 * een 2;

5) 2n 4 +3n 6 +n 9 ;

8) 15ab 2 +5a 2b;

10) 12,4*-1,24*0,7;

11) 4,9*3,5+1,7*10,5;

12) 10,8 2 -108;

13)

14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;

15) 2*3 4 -3*2 4 +6;

18) 3,2/0,7-1,8*

Bij het vormen van het concept van "identieke transformatie", moet eraan worden herinnerd dat dit niet alleen betekent dat de gegeven en de resulterende uitdrukking als resultaat van de transformatie gelijke waarden aannemen voor alle waarden van de letters die erin zijn opgenomen, maar ook dat we tijdens de identieke transformatie overgaan van de uitdrukking die één manier van evalueren bepaalt, naar een uitdrukking die een andere manier definieert om dezelfde waarde te evalueren.

Het is mogelijk om schema 5 (de regel voor het transformeren van het product van een monomiaal en een polynoom) te illustreren met voorbeelden

0,5a(b+c) of 3,8(0,7+).

Oefeningen om te leren de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te plaatsen:

Bereken de waarde van de uitdrukking:

a) 4,59*0,25+1,27*0,25+2,3-0,25;

b) a+bc bij a=0,96; b=4,8; c=9,8.

c) a(a+c)-c(a+b) met a=1,4; b=2,8; c=5.2.

Laten we met voorbeelden de vorming van vaardigheden en capaciteiten in berekeningen en identieke transformaties illustreren (J. Mathematics at School, nr. 5, 1984, p. 30).

1) vaardigheden en capaciteiten worden sneller verworven en blijven langer behouden als hun vorming op een bewuste basis plaatsvindt (het didactische principe van bewustzijn).

1) Het is mogelijk om een regel te formuleren voor het optellen van breuken met dezelfde noemers, of eerst, met behulp van specifieke voorbeelden, de essentie van het optellen van gelijke delen te beschouwen.

2) Bij factoring door de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te halen, is het belangrijk om deze gemeenschappelijke factor te zien en vervolgens de distributiewet toe te passen. Bij het uitvoeren van de eerste oefeningen is het handig om elke term van de polynoom als een product te schrijven, waarvan een van de factoren gemeenschappelijk is voor alle termen:

3a 3 -15a 2 b+5ab 2 = a3a 2 -a15ab+a5b 2 .

Het is vooral handig om dit te doen wanneer een van de monomialen van de polynoom uit de haakjes wordt gehaald:

II. eerste fase vaardigheidsvorming - het beheersen van de vaardigheid (oefeningen worden uitgevoerd met gedetailleerde uitleg en aantekeningen)

(de kwestie van het teken wordt eerst opgelost)

Tweede fase- het stadium van het automatiseren van de vaardigheid door enkele tussenliggende bewerkingen te elimineren

III. De kracht van vaardigheden wordt bereikt door voorbeelden op te lossen die zowel inhoudelijk als qua vorm divers zijn.

Onderwerp: "Bracketing the common factor".

1. Noteer de ontbrekende vermenigvuldiger in plaats van de polynoom:

2. Factoriseer zodat er vóór de haakjes een monomiaal staat met een negatieve coëfficiënt:

3. Factoriseer zodat de polynoom tussen haakjes gehele coëfficiënten heeft:

4. Los de vergelijking op:

IV. De vorming van vaardigheden is het meest effectief in het geval van mondelinge uitvoering van enkele tussentijdse berekeningen of transformaties.

(mondeling);

V. De gevormde vaardigheden en capaciteiten moeten worden opgenomen in het eerder gevormde systeem van kennis, vaardigheden en capaciteiten van studenten.

Als u bijvoorbeeld polynomen leert ontbinden met behulp van verkorte vermenigvuldigingsformules, worden de volgende oefeningen aangeboden:

Vermenigvuldigen:

VI. De behoefte aan rationele uitvoering van berekeningen en transformaties.

in) vereenvoudig de uitdrukking:

Rationaliteit ligt in het openen van haakjes, omdat

VII. Uitdrukkingen die een graad bevatten converteren.

№1011 (Alg.9) Vereenvoudig de uitdrukking:

№1012 (Alg.9) Haal de factor onder het grondteken weg:

№1013 (Alg.9) Voer een factor in onder het grondteken:

№1014 (Alg.9) Vereenvoudig de uitdrukking:

Voer in alle voorbeelden voorlopig ofwel factorisatie uit, of verwijder een gemeenschappelijke factor, of "zie" de bijbehorende reductieformule.

№1015 (Alg.9) Verklein de breuk:

Veel leerlingen hebben moeite met het transformeren van uitdrukkingen die wortels bevatten, met name bij het onderzoeken van gelijkheid:

Beschrijf daarom in detail uitdrukkingen van de vorm of of ga naar een graad met een rationale exponent.

№1018 (Alg.9) Zoek de waarde van de uitdrukking:

№1019 (Alg.9) Vereenvoudig de uitdrukking:

2.285 (Scanavi) Uitdrukking vereenvoudigen

en teken vervolgens de functie ja voor

Nr. 2.299 (Skanavi) Controleer de geldigheid van gelijkheid:

De transformatie van uitdrukkingen die een graad bevatten, is een veralgemening van de verworven vaardigheden en capaciteiten in de studie van identieke transformaties van veeltermen.

Nr. 2.320 (Skanavi) Vereenvoudig de uitdrukking:

In de cursus Algebra 7 worden de volgende definities gegeven.

zeker Twee uitdrukkingen waarvan de overeenkomstige waarden gelijk zijn voor de waarden van de variabelen, zouden identiek gelijk zijn.

zeker Gelijkheid, waar voor alle waarden van de variabelen die worden genoemd. identiteit.

№94(Alg.7) Is de identiteit de gelijkheid:

Beschrijvingdefinitie: De vervanging van de ene uitdrukking door een andere, identiek daaraan, wordt een identieke transformatie genoemd of gewoon een transformatie van een uitdrukking. Identieke transformaties van uitdrukkingen met variabelen worden uitgevoerd op basis van de eigenschappen van bewerkingen op getallen.

№ (Alg.7) Onder uitdrukkingen

vinden die identiek gelijk zijn aan .

Onderwerp: "Identieke transformaties van uitdrukkingen" (vraagtechniek)

Het eerste onderwerp van "Algebra-7" - "Uitdrukkingen en hun transformaties" helpt om de computationele vaardigheden verworven in de klassen 5-6 te consolideren, om informatie over de transformaties van uitdrukkingen en oplossingen voor vergelijkingen te systematiseren en te generaliseren.

Het vinden van de waarden van numerieke en alfabetische uitdrukkingen maakt het mogelijk om met studenten de actieregels met rationale getallen te herhalen. Het kunnen uitvoeren van rekenkundige bewerkingen met rationale getallen vormt de basis voor de gehele cursus algebra.

Bij het formeel beschouwen van transformaties van uitdrukkingen blijven de operationele vaardigheden op hetzelfde niveau dat werd bereikt in de klassen 5-6.

Hier stijgen studenten echter naar een nieuw niveau in het beheersen van de theorie. De concepten van "identiek gelijke uitdrukkingen", "identiteit", "identieke transformaties van uitdrukkingen" worden geïntroduceerd, waarvan de inhoud voortdurend zal worden onthuld en verdiept bij het bestuderen van de transformaties van verschillende algebraïsche uitdrukkingen. Benadrukt wordt dat de basis van identieke transformaties de eigenschappen van acties op getallen zijn.

Bij het bestuderen van het onderwerp "Polynomen" worden formeel-operationele vaardigheden van identieke transformaties van algebraïsche uitdrukkingen gevormd. Verkorte vermenigvuldigingsformules dragen bij aan het verdere proces van het vormen van vaardigheden om identieke transformaties van gehele uitdrukkingen uit te voeren. machten met een rationale exponent.

In groep 8 worden de verworven vaardigheden van identieke transformaties geoefend op acties met algebraïsche breuken, vierkantswortels en uitdrukkingen met graden met een integer exponent.

In de toekomst worden de methoden van identieke transformaties weerspiegeld in uitdrukkingen die een graad bevatten met een rationale exponent.

Een speciale groep identieke transformaties zijn trigonometrische uitdrukkingen en logaritmische uitdrukkingen.

De verplichte leerresultaten voor de cursus algebra in de klassen 7-9 omvatten:

1) identieke transformaties van gehele uitdrukkingen

a) beugelopening en beugels;

b) vermindering van gelijkaardige leden;

c) optellen, aftrekken en vermenigvuldigen van veeltermen;

d) ontbinden in veeltermen door de gemene deler uit haakjes en verkorte vermenigvuldigingsformules te halen;

e) ontbinden in factoren van een vierkante trinominaal.

"Wiskunde op school" (B.U.M.) p.110

2) identieke transformaties van rationale uitdrukkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen van breuken, evenals de genoemde vaardigheden toepassen bij het uitvoeren van eenvoudige gecombineerde transformaties [p. 111]

3) studenten moeten in staat zijn om transformaties uit te voeren van eenvoudige uitdrukkingen die graden en wortels bevatten. (blz. 111-112)

De belangrijkste soorten taken werden overwogen, het oplossend vermogen waardoor de student een positieve beoordeling kan krijgen.

Een van de belangrijkste aspecten van de methodologie voor het bestuderen van identieke transformaties is de ontwikkeling door studenten van de doelen van het uitvoeren van identieke transformaties.

1) - vereenvoudiging van de numerieke waarde van de uitdrukking

2) welke van de transformaties moet worden uitgevoerd: (1) of (2) Analyse van deze opties is een drijfveer (bij voorkeur (1), omdat in (2) het definitiegebied vernauwd is)

3) Los de vergelijking op:

Factorisatie bij het oplossen van vergelijkingen.

4) Bereken:

Laten we de verkorte vermenigvuldigingsformule toepassen:

(101-1) (101+1)=100102=102000

5) Zoek de waarde van de uitdrukking:

Om de waarde te vinden, vermenigvuldigt u elke breuk met de geconjugeerde:

6) Teken de functiegrafiek:

Laten we het hele deel selecteren: .

Foutpreventie bij het uitvoeren van identieke transformaties kan worden verkregen door verschillende voorbeelden van hun uitvoering te geven. In dit geval worden “kleine” technieken uitgewerkt, die als componenten worden opgenomen in een omvangrijker transformatieproces.

Bijvoorbeeld:

Afhankelijk van de richtingen van de vergelijking kunnen verschillende problemen worden overwogen: van rechts naar links vermenigvuldiging van polynomen; van links naar rechts - factorisatie. De linkerkant is een veelvoud van een van de factoren aan de rechterkant, enzovoort.

Naast het variëren van de voorbeelden, kunt u de verontschuldiging tussen identiteiten en numerieke gelijkheden.

De volgende truc is om de identiteiten uit te leggen.

Om de interesse van studenten te vergroten, kan men het zoeken naar verschillende manieren om problemen op te lossen toeschrijven.

Lessen over de studie van identieke transformaties zullen interessanter worden als ze worden gewijd aan: een oplossing voor een probleem vinden .

Bijvoorbeeld: 1) verklein de breuk:

3) bewijs de formule "complexe radicaal"

Overwegen:

Laten we de rechterkant van de gelijkheid transformeren:

som van geconjugeerde uitdrukkingen. Ze zouden kunnen worden vermenigvuldigd en gedeeld door de geconjugeerde, maar zo'n bewerking zal ons naar een breuk leiden waarvan de noemer het verschil van de radicalen is.

Merk op dat de eerste term in het eerste deel van de identiteit een getal is dat groter is dan de tweede, dus je kunt beide delen kwadrateren:

Praktijkles nummer 3.

Onderwerp: Identieke transformaties van uitdrukkingen (vraagtechniek).

Literatuur: “Workshop over MPM”, pp. 87-93.

Een teken van een hoge cultuur van berekeningen en identieke transformaties onder studenten is een gedegen kennis van de eigenschappen en algoritmen van bewerkingen op exacte en geschatte waarden en hun bekwame toepassing; rationele methoden van berekeningen en transformaties en hun verificatie; het kunnen onderbouwen van de toepassing van methoden en regels van berekeningen en transformaties, het automatisme van de vaardigheden van het foutloos uitvoeren van computationele bewerkingen.

Vanaf welke klas moeten leerlingen gaan werken aan het ontwikkelen van deze vaardigheden?

De lijn van identieke transformaties van uitdrukkingen begint met het gebruik van methoden voor rationele berekening en begint met het gebruik van methoden voor rationele berekening van de waarden van numerieke uitdrukkingen. (niveau 5)

Bij het bestuderen van dergelijke onderwerpen in een wiskundecursus op school, moet er speciale aandacht aan worden besteed!

De bewuste uitvoering van identieke transformaties door studenten wordt vergemakkelijkt door het begrip van het feit dat algebraïsche uitdrukkingen niet op zichzelf bestaan, maar onlosmakelijk verbonden zijn met een numerieke set, het zijn gegeneraliseerde records van numerieke uitdrukkingen. Analogieën tussen algebraïsche en numerieke uitdrukkingen (en hun transformaties) zijn logisch legitiem, het gebruik ervan in het onderwijs helpt voorkomen dat studenten fouten maken.

Identiteitstransformaties zijn geen apart onderwerp van de wiskundecursus op school, ze worden bestudeerd in de loop van de algebra en het begin van wiskundige analyse.

Het wiskundeprogramma voor de groepen 1-5 is een propedeutisch materiaal voor het bestuderen van identieke transformaties van uitdrukkingen met een variabele.

In de loop van algebra 7 cellen. definities van identiteit en identiteitstransformaties worden geïntroduceerd.

zeker Twee uitdrukkingen waarvan de bijbehorende waarden gelijk zijn voor alle waarden van de variabelen, worden genoemd. identiek gelijk.

ODA. Een gelijkheid die geldt voor alle waarden van de variabelen wordt een identiteit genoemd.

De waarde van identiteit ligt in het feit dat het toelaat dat een bepaalde uitdrukking wordt vervangen door een andere die er identiek aan is.

zeker De vervanging van de ene uitdrukking door een andere, identiek daaraan, heet identiteit transformatie of gewoon transformatie uitdrukkingen.

Identieke transformaties van uitdrukkingen met variabelen worden uitgevoerd op basis van de eigenschappen van bewerkingen op getallen.

Gelijkwaardige transformaties kunnen worden beschouwd als de basis van identieke transformaties.

ODA. Twee zinnen, die elk een logisch gevolg zijn van de andere, worden genoemd. gelijkwaardig.

ODA. Zin met variabelen A aangeroepen. gevolg van de zin met variabelen B als het waarheidsgebied B een deelverzameling is van het waarheidsgebied A.

Een andere definitie van equivalente zinnen kan worden gegeven: twee zinnen met variabelen zijn equivalent als hun waarheidsgebieden hetzelfde zijn.

a) B: x-1=0 boven R; A: (x-1) 2 over R => A~B omdat waarheidsgebieden (oplossingen) vallen samen (x=1)

b) A: x=2 boven R; B: x 2 \u003d 4 over R => waarheidsgebied A: x \u003d 2; waarheidsgebied B: x=-2, x=2; omdat het waarheidsgebied A ligt in B, dan is: x 2 =4 een gevolg van de zin x=2.

De basis van identieke transformaties is de mogelijkheid om hetzelfde getal in verschillende vormen weer te geven. Bijvoorbeeld,

een dergelijke weergave zal helpen bij het bestuderen van het onderwerp "basiseigenschappen van een breuk".

Vaardigheden in het uitvoeren van identieke transformaties beginnen zich te vormen bij het oplossen van voorbeelden die vergelijkbaar zijn met de volgende: "Vind de numerieke waarde van de uitdrukking 2a 3 + 3ab + b 2 met a = 0,5, b = 2/3", die worden aangeboden aan studenten in de klas 5 en laat propedeuse functieconcept toe.

Bij het bestuderen van de formules van verkorte vermenigvuldiging moet aandacht worden besteed aan hun diep begrip en sterke assimilatie. Om dit te doen, kunt u de volgende grafische illustratie gebruiken:

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)

Vraag: Hoe kunnen de leerlingen de essentie van de bovenstaande formules volgens deze tekeningen uitleggen?

Een veelgemaakte fout is om de uitdrukkingen "kwadraatsom" en "kwadratensom" te verwarren. De aanwijzing van de leraar dat deze uitdrukkingen verschillen in de volgorde van actie lijkt niet significant, aangezien studenten denken dat deze acties op dezelfde getallen worden uitgevoerd en dat het resultaat daarom niet verandert door het veranderen van de volgorde van acties.

Taak: Stel mondelinge oefeningen op om de vaardigheden van de studenten te ontwikkelen om de bovenstaande formules nauwkeurig te gebruiken. Hoe kun je uitleggen hoe deze twee uitdrukkingen op elkaar lijken en hoe ze van elkaar verschillen?

Een grote verscheidenheid aan identieke transformaties maakt het moeilijk voor studenten om zich te oriënteren op het doel waarvoor ze worden uitgevoerd. Vage kennis van het doel van het uitvoeren van transformaties (in elk specifiek geval) heeft een negatieve invloed op hun bewustzijn en vormt een bron van enorme studentenfouten. Dit suggereert dat het uitleggen aan studenten van de doelen van het uitvoeren van verschillende identieke transformaties een belangrijk onderdeel is van de methodologie om ze te bestuderen.

Voorbeelden van motivaties voor identieke transformaties:

1. vereenvoudiging van het vinden van de numerieke waarde van de uitdrukking;

2. het kiezen van een transformatie van de vergelijking die niet leidt tot het verlies van de wortel;

3. bij het uitvoeren van een transformatie kunt u het rekengebied markeren;

4. het gebruik van transformaties in de berekening, bijvoorbeeld 99 2 -1=(99-1)(99+1);

Om het besluitvormingsproces te beheersen, is het belangrijk dat de leraar in staat is om een nauwkeurige beschrijving te geven van de essentie van de fout die door de student is gemaakt. Nauwkeurige karakterisering van de fout is de sleutel tot de juiste keuze van vervolgacties die door de leraar worden ondernomen.

Voorbeelden van studentenfouten:

1. vermenigvuldigen: de student kreeg -54abx 6 (7 cellen);

2. exponentiatie uitvoeren (3x 2) 3, de student kreeg 3x 6 (7 cellen);

3. het transformeren van (m + n) 2 in een polynoom, de student ontving m 2 + n 2 (7 cellen);

4. het verminderen van de fractie die de student kreeg (8 cellen);

5. uitvoeren van aftrekken: , schrijft de leerling (8 cellen)

6. Vertegenwoordigend een breuk in de vorm van breuken, ontving de student: (8 cellen);

7. door de rekenkundige wortel te extraheren, ontving de student x-1 (9 cellen);

8. oplossen van de vergelijking (9 cellen);

9. transformatie van de uitdrukking, de student ontvangt: (9 cellen).

Conclusie

De studie van identieke transformaties wordt uitgevoerd in nauw verband met de numerieke verzamelingen die in een of andere klasse zijn bestudeerd.

In eerste instantie moet de student worden gevraagd om elke stap van de transformatie uit te leggen, om de regels en wetten te formuleren die van toepassing zijn.

Bij identieke transformaties van algebraïsche uitdrukkingen worden twee regels gebruikt: substitutie en vervanging door gelijken. De meest gebruikte vervanging, omdat: formuletelling is erop gebaseerd, d.w.z. zoek de waarde van de uitdrukking a*b met a=5 en b=-3. Heel vaak negeren studenten haakjes bij het uitvoeren van vermenigvuldiging, in de veronderstelling dat het vermenigvuldigingsteken wordt geïmpliceerd. Zo'n record is bijvoorbeeld mogelijk: 5*-3.

Literatuur

1. AI Azarov, SA Barvenov "Functionele en grafische methoden voor het oplossen van onderzoeksproblemen", Mn.. Aversev, 2004

2. OP Piryutko "Typische fouten bij gecentraliseerd testen", Mn.. Aversev, 2006

3. AI Azarov, SA Barvenov "Tasks-traps on centralized testing", Mn.. Aversev, 2006

4. AI Azarov, SA Barvenov "Methoden voor het oplossen van trigonometrische problemen", Mn.. Aversev, 2005

Numerieke en algebraïsche uitdrukkingen. Expressie conversie.

Wat is een uitdrukking in de wiskunde? Waarom zijn expressieconversies nodig?

De vraag is, zoals ze zeggen, interessant... Feit is dat deze concepten de basis vormen van alle wiskunde. Alle wiskunde bestaat uit uitdrukkingen en hun transformaties. Niet erg duidelijk? Laat het me uitleggen.

Laten we zeggen dat je een slecht voorbeeld hebt. Zeer groot en zeer complex. Laten we zeggen dat je goed bent in wiskunde en dat je nergens bang voor bent! Kun je meteen antwoorden?

Je zal moeten beslissen dit voorbeeld. Achtereenvolgens, stap voor stap, dit voorbeeld makkelijker maken. Volgens bepaalde regels natuurlijk. Die. maken uitdrukking conversie. Hoe succesvol je deze transformaties uitvoert, zodat je sterk bent in wiskunde. Als je niet weet hoe je de juiste transformaties moet doen, kun je dat in de wiskunde niet doen niets...

Om zo'n ongemakkelijke toekomst (of heden ...) te voorkomen, kan het geen kwaad om dit onderwerp te begrijpen.)

Laten we om te beginnen eens kijken wat is een uitdrukking in wiskunde?. Wat numerieke uitdrukking en wat is algebraïsche uitdrukking.

Wat is een uitdrukking in de wiskunde?

Uitdrukking in de wiskunde is een heel breed begrip. Bijna alles waar we in de wiskunde mee te maken hebben, is een reeks wiskundige uitdrukkingen. Alle voorbeelden, formules, breuken, vergelijkingen, enzovoort - het bestaat allemaal uit: wiskundige uitdrukkingen.

3+2 is een wiskundige uitdrukking. c 2 - d 2 is ook een wiskundige uitdrukking. En een gezonde breuk, en zelfs één getal - dit zijn allemaal wiskundige uitdrukkingen. De vergelijking is bijvoorbeeld:

5x + 2 = 12

bestaat uit twee wiskundige uitdrukkingen verbonden door een gelijkteken. De ene uitdrukking staat aan de linkerkant, de andere aan de rechterkant.

In algemene termen, de term wiskundige uitdrukking" wordt meestal gebruikt om niet te mompelen. Ze zullen je bijvoorbeeld vragen wat een gewone breuk is? En hoe te antwoorden ?!

Antwoord 1: "Het is... m-m-m-m... zoiets ... waarin ... Kan ik een fractie beter schrijven? Welke wilt u?"

De tweede antwoordoptie: "Een gewone breuk is (vrolijk en blij!) wiskundige uitdrukking , die bestaat uit een teller en een noemer!"

De tweede optie is op de een of andere manier indrukwekkender, toch?)

Hiervoor is de zin " wiskundige uitdrukking "zeer goed. Zowel correct als solide. Maar voor praktische toepassing moet je goed thuis zijn in specifieke soorten uitdrukkingen in de wiskunde .

Het specifieke type is een andere zaak. Dit is heel iets anders! Elk type wiskundige uitdrukking heeft de mijne een reeks regels en technieken die bij de beslissing moeten worden gebruikt. Om met breuken te werken - één set. Voor het werken met trigonometrische uitdrukkingen - de tweede. Voor het werken met logaritmen - de derde. Enzovoort. Ergens vallen deze regels samen, ergens verschillen ze sterk. Maar wees niet bang voor deze vreselijke woorden. Logaritmen, trigonometrie en andere mysterieuze dingen die we in de relevante secties zullen beheersen.

Hier zullen we twee hoofdtypen wiskundige uitdrukkingen beheersen (of - herhalen, zoals je wilt ...). Numerieke uitdrukkingen en algebraïsche uitdrukkingen.

Numerieke uitdrukkingen.

Wat numerieke uitdrukking? Dit is een heel eenvoudig concept. De naam zelf geeft aan dat dit een uitdrukking met cijfers is. Zo is het. Een wiskundige uitdrukking die bestaat uit getallen, haakjes en tekens van rekenkundige bewerkingen wordt een numerieke uitdrukking genoemd.

7-3 is een numerieke uitdrukking.

(8+3.2) 5.4 is ook een numerieke uitdrukking.

En dit monster:

ook een numerieke uitdrukking, ja...

Een gewoon getal, een breuk, elk rekenvoorbeeld zonder x'en en andere letters - dit zijn allemaal numerieke uitdrukkingen.

belangrijkste kenmerk numeriek uitdrukkingen erin geen letters. Geen. Alleen cijfers en wiskundige pictogrammen (indien nodig). Het is eenvoudig, toch?

En wat kan er met numerieke uitdrukkingen? Numerieke uitdrukkingen kunnen meestal worden geteld. Om dit te doen, moet je soms haakjes openen, tekens veranderen, inkorten, termen omwisselen - d.w.z. maken uitdrukking conversies. Maar daarover hieronder meer.

Hier zullen we zo'n grappig geval behandelen met een numerieke uitdrukking je hoeft niets te doen. Nou, helemaal niets! Deze mooie operatie Niets doen)- wordt uitgevoerd wanneer de expressie heeft geen zin.

Wanneer heeft een numerieke uitdrukking geen zin?

Natuurlijk, als we een soort abracadabra voor ons zien, zoals...

dan doen we niks. Omdat het niet duidelijk is wat ermee te doen. Wat onzin. Tenzij, om het aantal plussen te tellen...

Maar er zijn uiterlijk behoorlijk fatsoenlijke uitdrukkingen. Bijvoorbeeld dit:

(2+3) : (16 - 2 8)

Deze uitdrukking is echter ook: heeft geen zin! Om de simpele reden dat je in de tweede haakjes - als je meetelt - nul krijgt. Je kunt niet delen door nul! Dit is een verboden bewerking in de wiskunde. Met deze uitdrukking hoef je dus ook niets te doen. Voor elke taak met een dergelijke uitdrukking zal het antwoord altijd hetzelfde zijn: "De uitdrukking slaat nergens op!"

Om zo'n antwoord te geven, moest ik natuurlijk berekenen wat er tussen haakjes zou staan. En soms tussen haakjes zo'n draai... Nou, daar is niets aan te doen.

Er zijn niet zo veel verboden bewerkingen in de wiskunde. Er is er maar één in dit draadje. Deling door nul. Aanvullende verbodsbepalingen in wortels en logaritmen worden besproken in de relevante onderwerpen.

Dus, een idee van wat is numerieke uitdrukking- gekregen. concept numerieke uitdrukking heeft geen zin- realiseerde. Laten we verder gaan.

Algebraïsche uitdrukkingen.

Als er letters in een numerieke uitdrukking voorkomen, wordt deze uitdrukking... De uitdrukking wordt... Ja! Het wordt algebraïsche uitdrukking. Bijvoorbeeld:

5a 2 ; 3x-2j; 3(z-2); 3,4 m/n; x2 +4x-4; (a + b) 2; ...

Dergelijke uitdrukkingen worden ook wel letterlijke uitdrukkingen. Of uitdrukkingen met variabelen. Het is praktisch hetzelfde. Uitdrukking 5a +c, bijvoorbeeld - zowel letterlijk als algebraïsch, en expressie met variabelen.

concept algebraïsche uitdrukking - breder dan numeriek. Het omvat en alle numerieke uitdrukkingen. Die. een numerieke uitdrukking is ook een algebraïsche uitdrukking, alleen zonder de letters. Elke haring is een vis, maar niet elke vis is een haring...)

Waarom letterlijk- Het is duidelijk. Nou, aangezien er letters zijn ... Zin uitdrukking met variabelen ook niet erg verwarrend. Als je begrijpt dat cijfers onder de letters verstopt zitten. Onder de letters kunnen allerlei cijfers worden verborgen... En 5, en -18, en wat je maar wilt. Dat wil zeggen, een brief kan vervangen voor verschillende nummers. Daarom heten de letters variabelen.

In de uitdrukking y+5, Bijvoorbeeld, Bij- variabel. Of zeg gewoon " variabel", zonder het woord "waarde". In tegenstelling tot de vijf, die een constante waarde is. Of gewoon - constante.

Termijn algebraïsche uitdrukking betekent dat om met deze uitdrukking te werken, je de wetten en regels moet gebruiken algebra. Als een rekenkundig werkt met specifieke nummers, dan algebra- met alle nummers tegelijk. Een eenvoudig voorbeeld ter verduidelijking.

In rekenen kan men dat schrijven

Maar als we een soortgelijke gelijkheid schrijven door middel van algebraïsche uitdrukkingen:

a + b = b + a

we zullen onmiddellijk beslissen alle vragen. Voor alle nummers hartinfarct. Voor oneindig veel dingen. Want onder de letters a en b impliciet alle nummers. En niet alleen getallen, maar zelfs andere wiskundige uitdrukkingen. Dit is hoe algebra werkt.

Wanneer heeft een algebraïsche uitdrukking geen zin?

Alles is duidelijk over de numerieke uitdrukking. Je kunt niet delen door nul. En met letters, is het mogelijk om erachter te komen waar we door delen?!

Laten we de volgende variabele-expressie als voorbeeld nemen:

2: (a - 5)

Is het logisch? Maar wie kent hem? a- elk nummer...

Elke, elke... Maar er is één betekenis a, waarvoor deze uitdrukking precies heeft geen zin! En wat is dat nummer? Ja! Het is 5! Als de variabele a vervang (ze zeggen - "vervangen") door het cijfer 5, tussen haakjes zal nul uitkomen. die niet kan worden verdeeld. Dus het blijkt dat onze uitdrukking heeft geen zin, indien een = 5. Maar voor andere waarden a is het logisch? Kun je andere nummers vervangen?

Zeker. In dergelijke gevallen wordt eenvoudig gezegd dat de uitdrukking

2: (a - 5)

zinvol voor elke waarde a, behalve a = 5 .

De hele reeks cijfers kan substitueren in de gegeven uitdrukking heet Geldig bereik deze uitdrukking.

Zoals je kunt zien, is er niets lastigs. We kijken naar de uitdrukking met variabelen, en denken: bij welke waarde van de variabele wordt de verboden bewerking verkregen (delen door nul)?

En kijk dan zeker eens naar de vraagstelling van de opdracht. Wat vragen ze?

heeft geen zin, zal onze verboden waarde het antwoord zijn.

Als ze vragen bij welke waarde van de variabele de uitdrukking heeft de betekenis(voel het verschil!), het antwoord zal zijn: alle andere nummers behalve het verbodene.

Waarom hebben we de betekenis van de uitdrukking nodig? Hij is er, hij is niet... Wat is het verschil?! Feit is dat dit concept erg belangrijk wordt op de middelbare school. Extreem belangrijk! Dit is de basis voor solide concepten als het bereik van geldige waarden of de reikwijdte van een functie. Zonder dit zul je helemaal geen serieuze vergelijkingen of ongelijkheden kunnen oplossen. Zoals dit.

Expressie conversie. Identiteit transformaties.

We maakten kennis met numerieke en algebraïsche uitdrukkingen. Begrijp wat de uitdrukking "de uitdrukking klopt niet" betekent. Nu moeten we uitzoeken wat uitdrukking conversie. Het antwoord is eenvoudig, schandalig.) Dit is elke actie met een uitdrukking. En dat is het. Je doet deze transformaties al sinds de eerste les.

Neem de coole numerieke uitdrukking 3+5. Hoe kan het worden omgezet? Ja, heel gemakkelijk! Berekenen:

Deze berekening zal de transformatie van de uitdrukking zijn. U kunt dezelfde uitdrukking op een andere manier schrijven:

We hebben hier niets geteld. Schrijf gewoon de uitdrukking op in een andere vorm. Dit zal ook een transformatie van de uitdrukking zijn. Het kan als volgt worden geschreven:

En ook dit is de transformatie van een uitdrukking. U kunt zoveel van deze transformaties maken als u wilt.

Ieder actie op een uitdrukking ieder het in een andere vorm schrijven wordt een expressietransformatie genoemd. En alle dingen. Alles is heel eenvoudig. Maar er is hier één ding: zeer belangrijke regel. Zo belangrijk dat het veilig genoemd kan worden hoofdregel: alle wiskunde. Deze regel overtreden onvermijdelijk leidt tot fouten. Begrijpen we?)

Laten we zeggen dat we onze uitdrukking willekeurig hebben getransformeerd, zoals deze:

Transformatie? Zeker. We hebben de uitdrukking in een andere vorm geschreven, wat is hier mis mee?

Zo is het niet.) Feit is dat de transformaties "wat dan ook" wiskunde is helemaal niet geïnteresseerd.) Alle wiskunde is gebouwd op transformaties waarbij het uiterlijk verandert, maar de essentie van de uitdrukking verandert niet. Drie plus vijf kan in elke vorm worden geschreven, maar het moet acht zijn.

transformaties, uitdrukkingen die de essentie niet veranderen genaamd identiek.

Precies identieke transformaties en sta ons toe, stap voor stap, een complex voorbeeld om te zetten in een eenvoudige uitdrukking, met behoud van essentie van het voorbeeld. Als we een fout maken in de keten van transformaties, zullen we een NIET identieke transformatie maken, dan zullen we beslissen een andere voorbeeld. Met andere antwoorden die niet gerelateerd zijn aan de juiste.)

Hier is het de hoofdregel voor het oplossen van eventuele taken: naleving van de identiteit van transformaties.

Ik gaf een voorbeeld met een numerieke uitdrukking 3 + 5 voor de duidelijkheid. In algebraïsche uitdrukkingen worden identieke transformaties gegeven door formules en regels. Laten we zeggen dat er een formule is in de algebra:

a(b+c) = ab + ac

Dus in elk voorbeeld kunnen we in plaats van de uitdrukking a(b+c) schrijf gerust een uitdrukking ab+ac. En vice versa. Dit is identieke transformatie. Wiskunde geeft ons een keuze uit deze twee uitdrukkingen. En welke te schrijven hangt af van het specifieke voorbeeld.

Een ander voorbeeld. Een van de belangrijkste en meest noodzakelijke transformaties is de basiseigenschap van een breuk. U kunt meer details zien op de link, maar hier herinner ik u alleen de regel: als de teller en noemer van een breuk worden vermenigvuldigd (gedeeld) door hetzelfde getal, of een uitdrukking die niet gelijk is aan nul, verandert de breuk niet. Hier is een voorbeeld van identieke transformaties voor deze eigenschap:

Zoals je waarschijnlijk al geraden had, kan deze keten voor onbepaalde tijd worden voortgezet...) Een zeer belangrijke eigenschap. Hiermee kun je allerlei voorbeeldmonsters in wit en pluizig veranderen.)

Er zijn veel formules die identieke transformaties definiëren. Maar het belangrijkste - een redelijk bedrag. Een van de fundamentele transformaties is factorisatie. Het wordt gebruikt in alle wiskunde - van elementair tot gevorderd. Laten we met hem beginnen. in de volgende les.)

Als je deze site leuk vindt...

Ik heb trouwens nog een paar interessante sites voor je.)

U kunt oefenen met het oplossen van voorbeelden en uw niveau te weten komen. Testen met directe verificatie. Leren - met interesse!)

je kunt kennis maken met functies en afgeleiden.

Belangrijke aantekeningen!
1. Als je in plaats van formules abracadabra ziet, wis dan je cache. Hoe u dit in uw browser doet, staat hier:
2. Voordat u begint met het lezen van het artikel, let op onze navigator voor de meest bruikbare bron voor:

Vaak horen we deze onaangename zin: "vereenvoudig de uitdrukking." Meestal hebben we in dit geval een soort monster zoals dit:

“Ja, veel makkelijker”, zeggen we, maar zo’n antwoord werkt meestal niet.

Nu zal ik je leren niet bang te zijn voor dergelijke taken.

Bovendien vereenvoudig je aan het einde van de les zelf dit voorbeeld tot een (gewoon!) gewoon getal (ja, naar de hel met deze letters).

Maar voordat je aan deze les begint, moet je in staat zijn om: omgaan met breuken en veeltermen ontbinden.

Daarom, als je dit nog niet eerder hebt gedaan, zorg er dan voor dat je de onderwerpen "" en "" onder de knie hebt.

Lezen? Zo ja, dan ben je klaar.

Laten we gaan laten we gaan!)

Basisbewerkingen voor het vereenvoudigen van expressies

Nu zullen we de belangrijkste technieken analyseren die worden gebruikt om uitdrukkingen te vereenvoudigen.

De eenvoudigste is:

1. Gelijkaardig meebrengen

Wat zijn vergelijkbaar? Je hebt dit meegemaakt in de 7e klas, toen letters voor het eerst in wiskunde verschenen in plaats van cijfers.

Vergelijkbaar zijn termen (mononomen) met hetzelfde lettergedeelte.

Bijvoorbeeld, in de som zijn gelijke termen en.

Herinnerd?

Breng soortgelijke- middelen om meerdere vergelijkbare termen bij elkaar te voegen en één term te krijgen.

Maar hoe kunnen we letters samenvoegen? - je vraagt.

Dit is heel gemakkelijk te begrijpen als je je voorstelt dat de letters een soort objecten zijn.

De brief is bijvoorbeeld een stoel. Wat is dan de uitdrukking?

Twee stoelen plus drie stoelen, hoeveel kost het? Dat klopt, stoelen: .

Probeer nu deze uitdrukking:

Laat verschillende letters verschillende objecten aanduiden om niet in de war te raken.

Bijvoorbeeld, - dit is (zoals gewoonlijk) een stoel, en - dit is een tafel.

stoelen tafels stoel tafels stoelen stoelen tafels

De cijfers waarmee de letters in dergelijke termen worden vermenigvuldigd, worden genoemd coëfficiënten.

In de monomiaal is de coëfficiënt bijvoorbeeld gelijk. En hij is gelijk.

Dus de regel voor het brengen van soortgelijke:

Voorbeelden:

Breng vergelijkbaar mee:

antwoorden:

2. (en zijn vergelijkbaar, omdat deze termen daarom hetzelfde lettergedeelte hebben).

2. Factorisatie

Dit is meestal het belangrijkste onderdeel bij het vereenvoudigen van uitdrukkingen.

Nadat u soortgelijke hebt gegeven, is meestal de resulterende uitdrukking nodig ontbinden in factoren, d.w.z. vertegenwoordigen als een product.

Vooral dit belangrijk in breuken: want om de fractie te verminderen, de teller en noemer moeten worden uitgedrukt als een product.

Je hebt de gedetailleerde methoden voor het ontbinden van uitdrukkingen in het onderwerp "" doorgenomen, dus hier hoef je alleen maar te onthouden wat je hebt geleerd.

Om dit te doen, los je een paar voorbeelden op (je moet factoriseren)

Voorbeelden:

Oplossingen:

3. Fractiereductie.

Nou, wat is er mooier dan een deel van de teller en noemer door te strepen en ze uit je leven te gooien?

Dat is het mooie van afkortingen.

Het is makkelijk:

Als de teller en noemer dezelfde factoren bevatten, kunnen ze worden verminderd, dat wil zeggen, verwijderd uit de breuk.

Deze regel volgt uit de basiseigenschap van een breuk:

Dat wil zeggen, de essentie van de reductieoperatie is dat: We delen de teller en noemer van een breuk door hetzelfde getal (of door dezelfde uitdrukking).

Om een breuk te verkleinen, heb je nodig:

1) teller en noemer ontbinden in factoren

2) als de teller en noemer bevatten veel voorkomende factoren, kunnen ze worden verwijderd.

Voorbeelden:

Het principe is volgens mij duidelijk?

Ik zou uw aandacht willen vestigen op een typische fout in de afkorting. Hoewel dit onderwerp eenvoudig is, doen veel mensen alles verkeerd, zonder dat te beseffen snee- het betekent verdeling teller en noemer door hetzelfde getal.

Geen afkortingen als de teller of noemer de som is.

Bijvoorbeeld: je moet vereenvoudigen.

Sommigen doen dit: wat absoluut verkeerd is.

Een ander voorbeeld: verminderen.

De "slimste" zal dit doen:

Vertel me wat hier mis is? Het lijkt erop: - dit is een vermenigvuldiger, dus je kunt verminderen.

Maar nee: - dit is een factor van slechts één term in de teller, maar de teller zelf als geheel is niet ontleed in factoren.

Hier is nog een voorbeeld: .

Deze uitdrukking wordt ontleed in factoren, wat betekent dat u de teller en noemer kunt verkleinen, dat wil zeggen, delen door, en vervolgens door:

Je kunt direct delen door:

Om dergelijke fouten te voorkomen, moet u een eenvoudige manier onthouden om te bepalen of een uitdrukking is meegewogen:

De rekenkundige bewerking die het laatst wordt uitgevoerd bij het berekenen van de waarde van de uitdrukking is de "hoofd".

Dat wil zeggen, als je enkele (willekeurige) cijfers vervangt in plaats van letters, en probeert de waarde van de uitdrukking te berekenen, en als de laatste actie vermenigvuldiging is, dan hebben we een product (de uitdrukking wordt ontleed in factoren).

Als de laatste actie optellen of aftrekken is, betekent dit dat de uitdrukking niet in factoren is ontbonden (en dus niet kan worden verminderd).

Om het zelf op te lossen, een paar voorbeelden:

Voorbeelden:

Oplossingen:

4. Optellen en aftrekken van breuken. Breuken naar een gemeenschappelijke noemer brengen.

Optellen en aftrekken van gewone breuken is een bekende bewerking: we zoeken naar een gemeenschappelijke noemer, vermenigvuldigen elke breuk met de ontbrekende factor en tellen/aftrekken de tellers.

Laat ons herdenken:

antwoorden:

1. De noemers en zijn coprime, dat wil zeggen dat ze geen gemeenschappelijke factoren hebben. Daarom is de LCM van deze getallen gelijk aan hun product. Dit zal de gemene deler zijn:

2. Hier is de gemene deler:

3. Hier veranderen we allereerst gemengde breuken in onechte, en dan - volgens het gebruikelijke schema:

Het is iets heel anders als de breuken letters bevatten, bijvoorbeeld:

Laten we simpel beginnen:

a) Noemers bevatten geen letters

Hier is alles hetzelfde als bij gewone numerieke breuken: we vinden een gemeenschappelijke noemer, vermenigvuldigen elke breuk met de ontbrekende factor en tellen/trekken de tellers af:

nu kun je in de teller soortgelijke, indien aanwezig, meenemen en ze ontbinden:

Probeer het zelf:

antwoorden:

b) Noemers bevatten letters

Laten we het principe onthouden van het vinden van een gemeenschappelijke noemer zonder letters:

Allereerst bepalen we de gemeenschappelijke factoren;

Dan schrijven we alle gemeenschappelijke factoren een keer uit;

en vermenigvuldig ze met alle andere factoren, niet met gewone.

Om de gemeenschappelijke factoren van de noemers te bepalen, ontleden we ze eerst in eenvoudige factoren:

We benadrukken de gemeenschappelijke factoren:

Nu schrijven we de gemeenschappelijke factoren één keer uit en voegen daar alle niet-gewone (niet onderstreepte) factoren aan toe:

Dit is de gemene deler.

Laten we teruggaan naar de letters. De noemers worden op precies dezelfde manier gegeven:

We ontleden de noemers in factoren;

gemeenschappelijke (identieke) vermenigvuldigers bepalen;

schrijf alle gemeenschappelijke factoren een keer op;

We vermenigvuldigen ze met alle andere factoren, niet met gewone.

Dus, in volgorde:

1) ontbind de noemers in factoren:

2) bepaal de gemeenschappelijke (identieke) factoren:

3) schrijf alle gemeenschappelijke factoren één keer op en vermenigvuldig ze met alle andere (niet onderstreepte) factoren:

Dus de gemene deler is hier. De eerste breuk moet worden vermenigvuldigd met, de tweede - met:

Er is trouwens één truc:

Bijvoorbeeld: .

We zien dezelfde factoren in de noemers, alleen allemaal met verschillende indicatoren. De gemeenschappelijke noemer zal zijn:

voorzover

in graad.

Laten we de taak ingewikkelder maken:

Hoe zorg je ervoor dat breuken dezelfde noemer hebben?

Laten we de basiseigenschap van een breuk onthouden:

Nergens wordt gezegd dat hetzelfde getal kan worden afgetrokken (of opgeteld) van de teller en noemer van een breuk. Omdat het niet waar is!

Kijk zelf maar: neem bijvoorbeeld een willekeurige breuk en voeg bijvoorbeeld een getal toe aan de teller en noemer. Wat is er geleerd?

Dus nog een onwrikbare regel:

Wanneer u breuken naar een gemeenschappelijke noemer brengt, gebruik dan alleen de vermenigvuldigingsbewerking!

Maar wat moet je vermenigvuldigen om te krijgen?

Hier op en vermenigvuldigen. En vermenigvuldig met:

Uitdrukkingen die niet kunnen worden ontbonden, worden "elementaire factoren" genoemd.

Is bijvoorbeeld een elementaire factor. - te. Maar - nee: het is ontleed in factoren.

Hoe zit het met expressie? Is het elementair?

Nee, omdat het kan worden ontbonden:

(je hebt al gelezen over factorisatie in het onderwerp "").

Dus de elementaire factoren waarin je een uitdrukking met letters ontbindt, zijn analoog aan de eenvoudige factoren waarin je getallen ontbindt. En we zullen hetzelfde met hen doen.

We zien dat beide noemers een factor hebben. Het gaat naar de gemene deler in de macht (weet je nog waarom?).

De vermenigvuldiger is elementair en ze hebben deze niet gemeen, wat betekent dat de eerste breuk er gewoon mee moet worden vermenigvuldigd:

Een ander voorbeeld:

Beslissing:

Voordat u deze noemers in paniek vermenigvuldigt, moet u nadenken over hoe u ze kunt ontbinden? Beide vertegenwoordigen:

Prima! Dan:

Een ander voorbeeld:

Beslissing:

Zoals gebruikelijk ontbinden we de noemers. In de eerste noemer zetten we het gewoon tussen haakjes; in de tweede - het verschil van vierkanten:

Het lijkt erop dat er geen gemeenschappelijke factoren zijn. Maar als je goed kijkt, lijken ze al zo op elkaar ... En de waarheid is:

Dus laten we schrijven:

Dat wil zeggen, het bleek als volgt: binnen de haakjes hebben we de termen verwisseld en tegelijkertijd veranderde het teken voor de breuk in het tegenovergestelde. Let op, dit zul je vaak moeten doen.

Nu komen we bij een gemeenschappelijke noemer:

Ik snap het? Laten we nu eens kijken.

Taken voor zelfstandige oplossing:

antwoorden:

5. Vermenigvuldigen en delen van breuken.

Nou, het moeilijkste is nu voorbij. En voor ons ligt de eenvoudigste, maar tegelijkertijd de belangrijkste:

Procedure

Wat is de procedure voor het berekenen van een numerieke uitdrukking? Denk eraan, gezien de waarde van een dergelijke uitdrukking:

Heb je geteld?

Het zou moeten werken.

Dus, ik herinner je eraan.

De eerste stap is het berekenen van de graad.

De tweede is vermenigvuldigen en delen. Als er meerdere vermenigvuldigingen en delingen tegelijk zijn, kun je ze in willekeurige volgorde doen.

En tot slot voeren we optellen en aftrekken uit. Nogmaals, in willekeurige volgorde.

Maar: de uitdrukking tussen haakjes wordt in de verkeerde volgorde geëvalueerd!

Als meerdere haakjes met elkaar worden vermenigvuldigd of gedeeld, evalueren we eerst de uitdrukking in elk van de haakjes en vermenigvuldigen of delen we deze vervolgens.

Wat als er andere haakjes tussen de haakjes staan? Laten we eens nadenken: er staat een uitdrukking tussen haakjes. Wat is het eerste dat u moet doen bij het evalueren van een uitdrukking? Dat klopt, haakjes berekenen. Nou, we hebben het uitgezocht: eerst berekenen we de binnenste haakjes, dan al het andere.

De volgorde van acties voor de bovenstaande uitdrukking is dus als volgt (de huidige actie is rood gemarkeerd, dat wil zeggen de actie die ik nu aan het uitvoeren ben):

Oké, het is allemaal simpel.

Maar dat is toch niet hetzelfde als een uitdrukking met letters?

Nee, het is hetzelfde! Alleen in plaats van rekenkundige bewerkingen is het nodig om algebraïsche bewerkingen uit te voeren, dat wil zeggen de bewerkingen die in de vorige sectie zijn beschreven: soortgelijke brengen, breuken optellen, breuken verkleinen, enzovoort. Het enige verschil is de werking van het ontbinden van veeltermen (we gebruiken het vaak bij het werken met breuken). Meestal moet je voor factorisatie i gebruiken of gewoon de gemeenschappelijke factor tussen haakjes halen.

Meestal is ons doel om een uitdrukking weer te geven als een product of quotiënt.

Bijvoorbeeld:

Laten we de uitdrukking vereenvoudigen.

1) Eerst vereenvoudigen we de uitdrukking tussen haakjes. Daar hebben we het verschil van breuken, en ons doel is om het weer te geven als een product of quotiënt. Dus brengen we de breuken naar een gemeenschappelijke noemer en voegen toe:

Het is onmogelijk om deze uitdrukking verder te vereenvoudigen, alle factoren zijn hier elementair (weet je nog wat dit betekent?).

2) We krijgen:

Vermenigvuldigen van breuken: wat is er makkelijker.

3) Nu kunt u inkorten:

Dat is het. Niets ingewikkelds, toch?

Een ander voorbeeld:

Vereenvoudig de uitdrukking.

Probeer het eerst zelf op te lossen en kijk dan pas naar de oplossing.

Beslissing:

Laten we eerst de procedure definiëren.

Laten we eerst de breuken tussen haakjes optellen, in plaats van twee breuken, zal er één uitkomen.

Daarna gaan we de breuken delen. Welnu, we voegen het resultaat toe met de laatste breuk.

Ik zal de stappen schematisch nummeren:

Tot slot geef ik je nog twee handige tips:

1. Als er soortgelijke zijn, moeten deze onmiddellijk worden gebracht. Op welk moment we ook soortgelijke hebben, het is aan te raden deze meteen mee te nemen.

2. Hetzelfde geldt voor het verkleinen van fracties: zodra de mogelijkheid zich voordoet om te verkleinen, moet deze worden benut. De uitzondering zijn breuken die je optelt of aftrekt: als ze nu dezelfde noemers hebben, laat je de reductie voor later.

Hier zijn enkele taken die u zelf kunt oplossen:

En beloofd aan het begin:

antwoorden:

Oplossingen (kort):

Als je tenminste de eerste drie voorbeelden hebt behandeld, dan heb je het onderwerp onder de knie.

Nu aan het leren!

UITDRUKKING CONVERSIE. SAMENVATTING EN BASISFORMULE

Basis vereenvoudigingsoperaties:

Gelijkaardig meenemen: om soortgelijke termen toe te voegen (te verminderen), moet u hun coëfficiënten toevoegen en het lettergedeelte toewijzen.
Factorisatie: de gemene deler uit de haakjes halen, toepassen, etc.
breuk reductie: de teller en noemer van een breuk kunnen worden vermenigvuldigd of gedeeld door hetzelfde getal dat niet nul is, waarbij de waarde van de breuk niet verandert.
1) teller en noemer ontbinden in factoren
2) als er gemeenschappelijke factoren zijn in de teller en noemer, kunnen deze worden doorgestreept.
BELANGRIJK: alleen vermenigvuldigers kunnen worden verlaagd!
Optellen en aftrekken van breuken:
;
Vermenigvuldigen en delen van breuken:
;

Nou, het onderwerp is voorbij. Als je deze regels leest, ben je erg cool.

Omdat slechts 5% van de mensen in staat is iets alleen onder de knie te krijgen. En als je tot het einde hebt gelezen, dan zit je in de 5%!

Nu het belangrijkste.

Je hebt de theorie over dit onderwerp ontdekt. En, ik herhaal, het is... het is gewoon super! Je bent al beter dan de overgrote meerderheid van je leeftijdsgenoten.

Het probleem is dat dit misschien niet genoeg is...

Waarvoor?

Voor het succesvol afleggen van het examen, voor toelating tot het instituut met een beperkt budget en, BELANGRIJK, voor het leven.

Ik zal je van niets overtuigen, ik zal maar één ding zeggen...

Mensen die een goede opleiding hebben genoten, verdienen veel meer dan degenen die deze niet hebben genoten. Dit zijn statistieken.

Maar dit is niet het belangrijkste.

Het belangrijkste is dat ze MEER GELUKKIG zijn (er zijn dergelijke onderzoeken). Misschien omdat er veel meer kansen voor hen opengaan en het leven helderder wordt? Weet niet...

Maar denk zelf na...

Wat is er nodig om er zeker van te zijn dat u op het examen beter bent dan anderen en uiteindelijk ... gelukkiger bent?

VUL JE HAND, PROBLEMEN OPLOSSEN OVER DIT ONDERWERP.

Op het examen wordt er geen theorie aan je gevraagd.

Je zal nodig hebben problemen op tijd oplossen.

En als je ze niet (VEEL!) hebt opgelost, maak je zeker ergens een domme fout of kom je gewoon niet op tijd.

Het is net als in sport - je moet het vaak herhalen om zeker te winnen.

Vind een collectie waar je maar wilt noodzakelijkerwijs met oplossingen, gedetailleerde analyse en beslis, beslis, beslis!

Je kunt onze taken gebruiken (niet per se) en we raden ze zeker aan.

Om een handje te helpen met onze taken, moet je helpen de levensduur van het YouClever-leerboek dat je momenteel aan het lezen bent te verlengen.

Hoe? Er zijn twee opties:

Ontgrendel de toegang tot alle verborgen taken in dit artikel -
Ontgrendel de toegang tot alle verborgen taken in alle 99 artikelen van de tutorial - Koop een leerboek - 499 roebel

Ja, we hebben 99 van dergelijke artikelen in het leerboek en toegang tot alle taken en alle verborgen teksten erin kunnen onmiddellijk worden geopend.

Toegang tot alle verborgen taken wordt geboden gedurende de hele levensduur van de site.

Tot slot...

Als je onze taken niet leuk vindt, zoek dan anderen. Stop niet met theorie.

"Begrepen" en "Ik weet hoe ik het moet oplossen" zijn totaal verschillende vaardigheden. Je hebt beide nodig.

Zoek problemen en los ze op!

De getallen en uitdrukkingen waaruit de oorspronkelijke uitdrukking bestaat, kunnen worden vervangen door uitdrukkingen die er identiek aan gelijk zijn. Een dergelijke transformatie van de oorspronkelijke uitdrukking leidt tot een uitdrukking die daaraan identiek gelijk is.

In de uitdrukking 3+x kan bijvoorbeeld het getal 3 worden vervangen door de som 1+2 , wat resulteert in de uitdrukking (1+2)+x , die identiek gelijk is aan de oorspronkelijke uitdrukking. Nog een voorbeeld: in de uitdrukking 1+a 5 kan de graad van een 5 worden vervangen door een product dat er identiek aan is, bijvoorbeeld van de vorm a·a 4 . Dit geeft ons de uitdrukking 1+a·a 4 .

Deze transformatie is ongetwijfeld kunstmatig en is meestal een voorbereiding op een verdere transformatie. Bijvoorbeeld, in de som 4·x 3 +2·x 2 , rekening houdend met de eigenschappen van de graad, kan de term 4·x 3 worden weergegeven als een product 2·x 2 ·2·x . Na zo'n transformatie zal de oorspronkelijke uitdrukking de vorm 2·x 2 ·2·x+2·x 2 aannemen. Het is duidelijk dat de termen in de resulterende som een gemeenschappelijke factor 2 x 2 hebben, dus we kunnen de volgende transformatie uitvoeren - haakjes. Daarna komen we bij de uitdrukking: 2 x 2 (2 x+1) .

Hetzelfde getal optellen en aftrekken

Een andere kunstmatige transformatie van een uitdrukking is het tegelijkertijd optellen en aftrekken van hetzelfde getal of dezelfde uitdrukking. Zo'n transformatie is identiek, aangezien het in feite gelijk is aan het optellen van nul, en het optellen van nul verandert de waarde niet.

Overweeg een voorbeeld. Laten we de uitdrukking x 2 +2 x nemen. Als je er één bij optelt en er één aftrekt, dan kun je in de toekomst nog een identieke transformatie uitvoeren - selecteer het kwadraat van de binomiaal: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

Bibliografie.

Algebra: leerboek voor 7 cellen. algemene educatie instellingen / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; red. S.A. Teljakovski. - 17e druk. - M. : Onderwijs, 2008. - 240 p. : ziek. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Algebra: leerboek voor 8 cellen. algemene educatie instellingen / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; red. S.A. Teljakovski. - 16e druk. - M. : Onderwijs, 2008. - 271 p. : ziek. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovitsj A.G. Algebra. Groep 7. Om 14.00 uur Deel 1. Een leerboek voor studenten van onderwijsinstellingen / A. G. Mordkovich. - 17e druk, toegevoegd. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 p.: afb. ISBN 978-5-346-02432-3.

Basiseigenschappen van optellen en vermenigvuldigen van getallen.

Commutatieve eigenschap van optellen: wanneer de termen worden herschikt, verandert de waarde van de som niet. Voor alle getallen a en b is de gelijkheid waar

De associatieve eigenschap van optellen: om een derde getal op te tellen bij de som van twee getallen, kun je de som van het tweede en derde getal optellen bij het eerste getal. Voor alle getallen a, b en c is de gelijkheid waar

Commutatieve eigenschap van vermenigvuldiging: permutatie van factoren verandert de waarde van het product niet. Voor alle getallen a, b en c is de gelijkheid waar

De associatieve eigenschap van vermenigvuldigen: om het product van twee getallen met een derde getal te vermenigvuldigen, kun je het eerste getal vermenigvuldigen met het product van het tweede en derde getal.

Voor alle getallen a, b en c is de gelijkheid waar

Distributieve eigenschap: om een getal met een som te vermenigvuldigen, kun je dat getal vermenigvuldigen met elke term en de resultaten optellen. Voor alle getallen a, b en c is de gelijkheid waar

Uit de commutatieve en associatieve eigenschappen van optellen volgt dat je in elke som de termen kunt herschikken zoals je wilt en ze op een willekeurige manier in groepen kunt combineren.

Voorbeeld 1 Laten we de som 1,23+13,5+4,27 berekenen.

Om dit te doen, is het handig om de eerste term te combineren met de derde. We krijgen:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Het volgt uit de commutatieve en associatieve eigenschappen van vermenigvuldiging: in elk product kun je de factoren op elke manier herschikken en willekeurig in groepen combineren.

Voorbeeld 2 Laten we de waarde van het product zoeken 1,8 0,25 64 0,5.

Als we de eerste factor combineren met de vierde, en de tweede met de derde, krijgen we:

1,8 0,25 64 0,5 \u003d (1,8 0,5) (0,25 64) \u003d 0,9 16 \u003d 14,4.

De distributie-eigenschap is ook geldig wanneer het aantal wordt vermenigvuldigd met de som van drie of meer termen.

Voor alle getallen a, b, c en d is de gelijkheid bijvoorbeeld waar

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

We weten dat aftrekken kan worden vervangen door optellen door aan de minuend het tegenovergestelde getal van de aftrekking toe te voegen:

Hierdoor kan een numerieke uitdrukking van de vorm a-b worden beschouwd als de som van de getallen a en -b, en een numerieke uitdrukking van de vorm a + b-c-d worden beschouwd als de som van de getallen a, b, -c, -d, enz. weloverwogen eigenschappen van acties zijn ook geldig voor dergelijke bedragen.

Voorbeeld 3 Laten we de waarde van de uitdrukking 3.27-6.5-2.5+1.73 zoeken.

Deze uitdrukking is de som van de getallen 3.27, -6.5, -2.5 en 1.73. Als we de optellingseigenschappen toepassen, krijgen we: 3.27-6.5-2.5+1.73=(3.27+1.73)+(-6.5-2.5)=5+(-9) = -4.

Voorbeeld 4 Laten we het product 36·() berekenen.

De vermenigvuldiger kan worden gezien als de som van de getallen en -. Met behulp van de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging krijgen we:

36()=36-36=9-10=-1.

identiteiten

Definitie. Twee uitdrukkingen waarvan de overeenkomstige waarden gelijk zijn voor alle waarden van de variabelen, zouden identiek gelijk zijn.

Definitie. Een gelijkheid die geldt voor alle waarden van de variabelen wordt een identiteit genoemd.

Laten we de waarden vinden van de uitdrukkingen 3(x+y) en 3x+3y voor x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3j=3 5+3 4=15+12=27.

We kregen hetzelfde resultaat. Uit de distributieve eigenschap volgt dat in het algemeen voor alle waarden van de variabelen de overeenkomstige waarden van de uitdrukkingen 3(x+y) en 3x+3y gelijk zijn.

Beschouw nu de uitdrukkingen 2x+y en 2xy. Voor x=1, y=2 hebben ze gelijke waarden:

U kunt echter x- en y-waarden zo specificeren dat de waarden van deze uitdrukkingen niet gelijk zijn. Bijvoorbeeld, als x=3, y=4, dan

De uitdrukkingen 3(x+y) en 3x+3y zijn identiek gelijk, maar de uitdrukkingen 2x+y en 2xy zijn niet identiek gelijk.

De gelijkheid 3(x+y)=x+3y, geldt voor alle waarden van x en y, is een identiteit.

Echte numerieke gelijkheden worden ook als identiteiten beschouwd.

Identiteiten zijn dus gelijkheden die de belangrijkste eigenschappen van acties op getallen uitdrukken:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Andere voorbeelden van identiteiten kunnen worden gegeven:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, een (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Identiteitstransformaties van uitdrukkingen

De vervanging van de ene uitdrukking door een andere, identiek daaraan, wordt een identieke transformatie of eenvoudigweg een transformatie van een uitdrukking genoemd.

Identieke transformaties van uitdrukkingen met variabelen worden uitgevoerd op basis van de eigenschappen van bewerkingen op getallen.

Om de waarde van de uitdrukking xy-xz te vinden met de waarden x, y, z, moet u drie stappen uitvoeren. Met x=2,3, y=0,8, z=0,2 krijgen we bijvoorbeeld:

xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.

Dit resultaat kan in slechts twee stappen worden verkregen, met behulp van de uitdrukking x(y-z), die identiek is aan de uitdrukking xy-xz:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3 0,6=1,38.

We hebben de berekeningen vereenvoudigd door de uitdrukking xy-xz te vervangen door de identiek gelijke uitdrukking x(y-z).

Identiteitstransformaties van uitdrukkingen worden veel gebruikt bij het berekenen van de waarden van uitdrukkingen en het oplossen van andere problemen. Er zijn al enkele identieke transformaties uitgevoerd, bijvoorbeeld de reductie van vergelijkbare termen, het openen van haakjes. Denk aan de regels voor het uitvoeren van deze transformaties:

om gelijke termen te gebruiken, moet je hun coëfficiënten optellen en het resultaat vermenigvuldigen met het gewone lettergedeelte;

als er een plusteken voor de haakjes staat, kunnen de haakjes worden weggelaten, waarbij het teken van elke term tussen haakjes behouden blijft;

als er een minteken voor de haakjes staat, dan kunnen de haakjes worden weggelaten door het teken van elke term tussen haakjes te veranderen.

Voorbeeld 1 Laten we gelijke termen optellen in de som 5x+2x-3x.

We gebruiken de regel voor het verminderen van soortgelijke termen:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Deze transformatie is gebaseerd op de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging.

Voorbeeld 2 Laten we de haakjes in de uitdrukking 2a+(b-3c) uitbreiden.

De regel toepassen voor het openen van haakjes voorafgegaan door een plusteken:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

De uitgevoerde transformatie is gebaseerd op de associatieve eigenschap van optellen.

Voorbeeld 3 Laten we de haakjes in de uitdrukking a-(4b-c) uitbreiden.

Laten we de regel gebruiken voor het uitbreiden van haakjes, voorafgegaan door een minteken:

a-(4b-c)=a-4b+c.

De uitgevoerde transformatie is gebaseerd op de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging en de associatieve eigenschap van optellen. Laten we het laten zien. Laten we de tweede term -(4b-c) in deze uitdrukking voorstellen als een product (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Als we deze eigenschappen van acties toepassen, krijgen we:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.