klein. Sinds met font-size:14.0pt">~ (zie ), dan ~ .

Als we dit overwegen, krijgen we:

dus de reeks loopt uiteen.

D) lettergrootte:14.0pt">,

vandaar de reeks divergeert.

Voorwaarde is een vereist, maar niet genoeg reeksconvergentievoorwaarde: er is een reeks reeksen waarvoor, maar die toch uiteenlopen.

Voorbeeld 3 Ontdek de convergentie van de reeks font-size:14.0pt"> Beslissing. Let erop dat https://pandia.ru/text/79/302/images/image066_20.gif" width="119" height="59 src="> , d.w.z. aan de noodzakelijke convergentievoorwaarde is voldaan. deelsom

links">

- eenmaal

dus font-size:14.0pt"> wat betekent dat de reeks per definitie divergeert.

Voldoende voorwaarden voor de convergentie van tekenpositieve reeksen

Laat zijn. Dan de serielettergrootte:14.0pt"> Vergelijkingsteken

laten zijn en zijn teken-positieve reeksen. Als aan de ongelijkheid voor iedereen is voldaan, volgt de convergentie van de reeks uit de convergentie van de reeks en uit de divergentie van de reeks

Dit teken blijft geldig als de ongelijkheid https://pandia.ru/text/79/302/images/image072_18.gif" width="60" height="24">, maar alleen vanaf een aantal . Het kan worden geïnterpreteerd als volgt: als de grotere reeks convergeert, dan convergeert de kleinere reeks des te meer; als de kleinere reeks divergeert, divergeert de grotere ook.

Voorbeeld 4 Rijconvergentie verkennen 0 " style="margin-left:50.4pt;border-collapse:collapse">

;

Beslissing.

A) Merk op dat font-size:14.0pt"> voor iedereen . Serie met een gemeenschappelijke term

B) Vergelijk rij met rij ..gif" width="91" height="29 src=">.gif" width="87" height="59"> divergeert, dus de reeks divergeert ook.

Ondanks de eenvoud van de formulering van het vergelijkingscriterium, is in de praktijk de volgende stelling, die het gevolg is, handiger.

Beperk teken van vergelijking

laten zijn https://pandia.ru/text/79/302/images/image071_17.gif" width="53" height="60 src="> – positieve reeks. Indien aanwezig eindig en niet-nul limit , dan beide rijen en

tegelijkertijd convergeren of divergeren.

Als een reeks die wordt gebruikt voor vergelijking met gegevens, een reeks van de vorm . Zo'n reeks heet in de buurt van Dirichlet. In voorbeelden 3 en 4 werd aangetoond dat de Dirichlet-reeks met en divergeert. Kan voor nu-

zeg dat de rij font-size:14.0pt"> . is .

Als , dan is de rij genaamd harmonische. De harmonische reeks divergeert.

Voorbeeld 5 Onderzoek naar convergentiereeksenmet behulp van het limietvergelijkingscriterium, als

Beslissing. a) Aangezien voor voldoende grote https://pandia.ru/text/79/302/images/image101_9.gif" width="31" height="23 src=">, en

~, dan ~ font-size:14.0pt">vergelijking met gegeven harmonische reeksen font-size:14.0pt">, d.w.z. .

font-size:14.0pt"> Aangezien de limiet eindig en niet-nul is en de harmonische reeks divergeert, divergeert deze reeks ook.

B) Voor voldoende grote https://pandia.ru/text/79/302/images/image109_10.gif" width="111" height="31 src=">.gif" width="129" height="31 src=">.gif" width="132" height="64 src="> is het algemene lid van de serie om deze mee te vergelijken:

Font-size:14.0pt">De reeks convergeert ( Dirichlet-rij met lettergrootte: 16.0pt">), dus deze reeks convergeert ook.

BIJ) , zo oneindig klein font-size:14.0pt"> u kunt

worden vervangen door de waarde die er equivalent aan is at(https://pandia.ru/text/79/302/images/image058_20.gif" width="13" height="21 src="> met lettergrootte: 20.0pt">). ;

;

;

G )

;

.

Dergelijke bedragen worden genoemd eindeloze rijen, en hun voorwaarden zijn termen van de reeks. (Een weglatingsteken betekent dat het aantal termen oneindig is.) Oplossingen voor complexe wiskundige problemen kunnen zelden in een exacte vorm worden weergegeven met behulp van formules. In de meeste gevallen kunnen deze oplossingen echter als reeksen worden geschreven. Nadat een dergelijke oplossing is gevonden, stellen de methoden van de reekstheorie ons in staat om in te schatten hoeveel termen van de reeks moeten worden genomen voor specifieke berekeningen of hoe het antwoord in de meest geschikte vorm moet worden geschreven. Samen met numerieke reeksen kunnen we de zogenaamde beschouwen. functionele rijen, waarvan de termen functies zijn . Veel functies kunnen worden weergegeven met functiereeksen. De studie van numerieke en functionele reeksen is een belangrijk onderdeel van de calculus.

In voorbeelden (1) en (2) is het relatief eenvoudig te raden door welke wet opeenvolgende termen worden gevormd. De wet van de vorming van de leden van een reeks is misschien veel minder voor de hand liggend. Voor reeks (3) wordt bijvoorbeeld duidelijk of deze reeks in de volgende vorm wordt geschreven:

Convergerende rijen.

Aangezien de toevoeging van een oneindig aantal termen van een reeks fysiek onmogelijk is, is het noodzakelijk om te bepalen wat er precies moet worden verstaan ​​onder de som van een oneindige reeks. Het is denkbaar dat deze bewerkingen van optellen en aftrekken achter elkaar worden uitgevoerd, de een na de ander, bijvoorbeeld op een computer. Als de resulterende sommen (deelsommen) steeds dichter bij een bepaald getal komen, dan is het redelijk om dit getal de som van een oneindige reeks te noemen. Zo kan de som van een oneindige reeks worden gedefinieerd als de limiet van een reeks deelsommen. Bovendien wordt zo'n reeks convergent genoemd.

Het vinden van de som van reeksen (3) is niet moeilijk als je merkt dat de getransformeerde reeks (4) kan worden geschreven als

Opeenvolgende deelsommen van reeksen (5) zijn

enzovoort.; je kunt zien dat de partiële sommen neigen naar 1. Deze reeks convergeert dus en de som is 1.

Beschouw als voorbeeld van oneindige reeksen oneindige decimale breuken. Dus, 0.353535... is een oneindig terugkerende decimale breuk, wat een compacte manier is om de reeks te schrijven

De wet van de vorming van opeenvolgende leden is hier duidelijk. Evenzo betekent 3.14159265...:

maar de wet van de vorming van opeenvolgende leden van de reeks is hier niet duidelijk: de cijfers vormen de decimale uitbreiding van het getal p, en het is moeilijk om meteen te zeggen wat bijvoorbeeld het 100.000ste cijfer is, hoewel dit cijfer theoretisch kan worden berekend.

Uiteenlopende rijen.

Van een oneindige reeks die niet convergeert, wordt gezegd dat hij divergeert (zo'n reeks wordt genoemd) uiteenlopend). Bijvoorbeeld een rij

divergeert, aangezien zijn partiële sommen 1/2, 1, 1 1 / 2 , 2,... zijn. som, hoe groot ook. Rij

divergeert ook, maar om een ​​andere reden: de deelsommen van deze reeks worden beurtelings naar 1, dan naar 0 en neigen niet naar de limiet.

sommatie.

Het vinden van de som van een convergente reeks (met een bepaalde nauwkeurigheid) door de termen achtereenvolgens op te sommen, hoewel theoretisch mogelijk, is het praktisch moeilijk te implementeren. Bijvoorbeeld een rij

convergeert, en de som tot op tien decimalen is 1,6449340668, maar om het met deze nauwkeurigheid te berekenen, zou het nodig zijn om ca. 20 miljard leden. Dergelijke reeksen worden meestal samengevat door ze eerst te transformeren met behulp van verschillende technieken. In dit geval worden algebraïsche of computationele methoden gebruikt; men kan bijvoorbeeld aantonen dat de som van reeksen (8) gelijk is aan p 2 /6.

Notatie.

Bij het werken met oneindige reeksen is het handig om een ​​handige notatie te hebben. De uiteindelijke som van reeks (8) kan bijvoorbeeld worden geschreven als

Dit item geeft aan dat: n achtereenvolgens ingesteld op 1, 2, 3, 4 en 5, en de resultaten worden opgeteld:

Evenzo kan reeks (4) worden geschreven als

waarbij het symbool Ґ aangeeft dat we te maken hebben met een oneindige reeks, en niet met het eindige deel ervan. Het symbool S (sigma) wordt het sommatieteken genoemd.

Oneindige geometrische progressie.

We konden reeksen (4) optellen omdat er een eenvoudige formule was voor de deelsommen ervan. Evenzo kan men de som van reeksen (2) vinden, of in het algemeen,

indien r heeft waarden tussen –1 en 1. In dit geval is de som van reeks (9) gelijk aan 1/(1 – r); voor andere waarden r reeks (9) divergeert.

Je kunt periodieke decimalen zoals 0.353535 zien... als een andere manier om een ​​oneindige geometrische progressie te schrijven.

Deze uitdrukking kan ook worden geschreven als

waar reeks (9) met r= 0,01; daarom is de som van reeks (10) gelijk aan

Op dezelfde manier kan elke periodieke decimale breuk worden weergegeven als een gewone breuk.

Tekenen van convergentie.

In het algemene geval is er geen eenvoudige formule voor de partiële sommen van een oneindige reeks, dus worden speciale methoden gebruikt om de convergentie of divergentie van de reeks vast te stellen. Als bijvoorbeeld alle termen van een reeks positief zijn, kan worden aangetoond dat de reeks convergeert als elk van zijn termen niet groter is dan de overeenkomstige term van de andere reeks, waarvan bekend is dat deze convergeert. In de geaccepteerde notatie kan dit als volgt worden geschreven: als een i 0 en convergeert, convergeert dan als 0 j b n Ј een. Bijvoorbeeld, aangezien reeks (4) convergeert en

dan kunnen we concluderen dat reeks (8) ook convergeert. Vergelijking is de belangrijkste methode om de convergentie van veel reeksen vast te stellen door ze te vergelijken met de eenvoudigste convergente reeksen. Soms worden meer speciale convergentiecriteria gebruikt (deze zijn te vinden in de literatuur over reekstheorie). Hier zijn nog enkele voorbeelden van convergente reeksen met positieve termen:

Vergelijking kan ook worden gebruikt om de divergentie van een reeks vast te stellen. Als de reeks divergeert, dan divergeert de reeks ook als 0 J b n Ј een.

Voorbeelden van divergente reeksen zijn de reeks

en in het bijzonder sinds harmonische reeksen

De afwijking van deze reeks kan worden geverifieerd door de volgende deelsommen te tellen:

enzovoort. Dus de deelsommen die eindigen op de termen 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, j zijn groter dan de deelsommen van de divergente reeks (6), en daarom moet de reeks (14) divergeren.

Absolute en voorwaardelijke convergentie.

Voor lijnen zoals

de vergelijkingsmethode is niet van toepassing, aangezien de termen van deze reeks verschillende tekens hebben. Als alle termen van reeksen (15) positief waren, zouden we reeks (3) krijgen, waarvan bekend is dat ze convergeren. Aangetoond kan worden dat dit ook de convergentie van reeksen impliceert (15). Wanneer door het veranderen van de tekens van de negatieve termen van de reeks in de tegenovergestelde, het kan worden omgezet in een convergente, zeggen ze dat de originele reeks convergeert absoluut.

De alternerende harmonische reeks (1) is niet absoluut convergent, aangezien reeks (14), bestaande uit dezelfde maar alleen positieve termen, convergeert niet. Met behulp van speciale convergentiecriteria voor alternerende reeksen kan men echter aantonen dat de reeks (1) daadwerkelijk convergeert. Een convergente reeks die niet absoluut convergeert heet voorwaardelijk convergent.

Bewerkingen met rijen.

Op basis van de definitie van een convergente reeks, is het gemakkelijk om aan te tonen dat de convergentie ervan niet wordt geschonden door er een eindig aantal termen aan te verwijderen of toe te kennen, en ook door alle termen van de reeks te vermenigvuldigen of te delen door hetzelfde getal ( natuurlijk is deling door 0 uitgesloten). Voor elke herschikking van de termen van een absoluut convergente reeks, wordt de convergentie niet geschonden en verandert de som niet. Bijvoorbeeld, aangezien de som van de reeks (2) 1 is, is de som van de reeks

is ook gelijk aan 1, aangezien deze reeks wordt verkregen uit reeks (2) door aangrenzende termen uit te wisselen (de 1e term met de 2e, enz.). U kunt de volgorde van de termen van een absoluut convergente reeks willekeurig wijzigen, zolang alle leden van de oorspronkelijke reeks aanwezig zijn in de nieuwe reeks. Aan de andere kant kan het herschikken van de voorwaarden van een voorwaardelijk convergente reeks de som ervan veranderen en zelfs divergeren. Bovendien kunnen de termen van een voorwaardelijk convergente reeks altijd worden herschikt zodat deze convergeert naar een vooraf bepaalde som.

Twee convergente reeksen S een en S b n kan term voor term worden opgeteld (of afgetrokken), zodat de som van de nieuwe reeks (die ook convergeert) wordt opgeteld bij de sommen van de originele reeks, in onze notatie

Onder aanvullende voorwaarden, bijvoorbeeld, als beide reeksen absoluut convergeren, kunnen ze met elkaar worden vermenigvuldigd, zoals wordt gedaan voor eindige sommen, en de resulterende dubbele reeks ( zie onder) zal convergeren naar het product van de sommen van de originele reeks.

optelbaarheid.

Ondanks het feit dat onze definitie van de convergentie van een oneindige reeks natuurlijk lijkt, is het niet de enige mogelijke. De som van een oneindige reeks kan op andere manieren worden bepaald. Beschouw bijvoorbeeld reeks (7), die compact kan worden geschreven als

Zoals we al hebben gezegd, nemen de gedeeltelijke sommen afwisselend de waarden 1 en 0 aan, en daarom convergeert de reeks niet. Maar als we afwisselend paarsgewijze gemiddelden vormen van zijn partiële sommen (huidige gemiddelde), d.w.z. Als we eerst het gemiddelde van de eerste en tweede deelsom berekenen, dan het gemiddelde van de tweede en derde, derde en vierde enz., dan zal elk van deze gemiddelden gelijk zijn aan 1/2, en daarom zal de limiet van paarsgewijze gemiddelden ook gelijk zijn aan 1/2. In dit geval wordt gezegd dat de reeks optelbaar is volgens de gespecificeerde methode en dat de som gelijk is aan 1/2. Er zijn veel methoden van sommatie voorgesteld, die het mogelijk maken om sommen toe te kennen aan vrij grote klassen van divergente reeksen en zo enkele divergente reeksen in berekeningen te gebruiken. Voor de meeste doeleinden is de methode van sommatie echter alleen nuttig als deze, toegepast op een convergente reeks, de uiteindelijke som geeft.

Serie met complexe termen.

Tot dusver hebben we stilzwijgend aangenomen dat we alleen met reële getallen te maken hebben, maar alle definities en stellingen zijn van toepassing op reeksen met complexe getallen (behalve dat de sommen die kunnen worden verkregen door de voorwaarden van voorwaardelijk convergente reeksen te herschikken geen willekeurige waarden kunnen aannemen).

functionele rijen.

Zoals we al hebben opgemerkt, kunnen de leden van een oneindige reeks niet alleen getallen zijn, maar ook functies, bijvoorbeeld

De som van zo'n reeks is ook een functie waarvan de waarde op elk punt wordt verkregen als de limiet van de partiële sommen die op dat punt zijn berekend. Op afb. 1 toont grafieken van meerdere deelsommen en de som van een reeks (met x, variërend van 0 tot 1); zo nee(x) betekent de som van de eerste n leden. De som van de reeks is een functie gelijk aan 1 bij 0 J x x = 1. De functionele reeksen kunnen convergeren voor dezelfde waarden x en het niet eens zijn met anderen; in ons voorbeeld convergeert de reeks bij –1J x x.

De som van een functionele reeks kan op verschillende manieren worden begrepen. In sommige gevallen is het belangrijker om te weten dat deelsommen (in de een of andere zin) dicht bij een functie op het hele interval liggen ( a, b) dan om de convergentie of divergentie van de reeks op individuele punten te bewijzen. Bijvoorbeeld, het aanduiden van een gedeeltelijke som n-de bestelling door zo nee(x), zeggen we dat de reeks convergeert in het gemiddelde kwadraat naar de som s(x), indien

Een reeks kan convergeren in het gemiddelde kwadraat, zelfs als deze op geen enkel punt convergeert. Er zijn ook andere definities van de convergentie van een functionele reeks.

Sommige functionele series zijn vernoemd naar de functies die ze bevatten. Als voorbeeld kunnen we machtreeksen en hun sommen geven:

De eerste van deze reeksen convergeert voor iedereen x. De tweede rij convergeert voor | x| r x r x| Ј 1 als r> 0 (behalve wanneer r is een niet-negatief geheel getal; in het laatste geval eindigt de reeks na een eindig aantal termen). Formule (17) wordt de binominale expansie genoemd voor een willekeurige graad.

Dirichlet-serie.

Dirichlet-series zijn functionele series van de vorm S (1/ een n x), waar de nummers een oneindig toenemen; Een voorbeeld van een Dirichlet-reeks is de Riemann-zetafunctie

Dirichlet-reeksen worden vaak gebruikt in de getaltheorie.

trigonometrische reeks.

Dit is de naam van functionele reeksen die trigonometrische functies bevatten; trigonometrische reeksen van een speciaal soort die in harmonische analyse worden gebruikt, worden Fourier-reeksen genoemd. Een voorbeeld van een Fourierreeks is de reeks

F( x), die de volgende eigenschap heeft: als we een specifieke gedeeltelijke som van reeksen (18) nemen, bijvoorbeeld de som van de eerste drie termen, dan is het verschil tussen f(x) en deze gedeeltelijke som berekend voor een bepaalde waarde x, zal klein zijn voor alle waarden x in de buurt van 0. Met andere woorden, hoewel we geen goede benadering van de functie kunnen bereiken f(x) op een bepaald punt x, verre van nul, zelfs heel veel termen van de reeks, maar voor x dicht bij 0, slechts enkele van zijn termen geven een zeer goede benadering. Dergelijke rijen worden genoemd asymptotisch. In numerieke berekeningen zijn asymptotische reeksen meestal nuttiger dan convergente reeksen, omdat ze een redelijk goede benadering geven met behulp van een klein aantal termen. Asymptotische reeksen worden veel gebruikt in kansrekening en wiskundige fysica.

Dubbele rijen.

Soms moet je tweedimensionale reeksen getallen optellen

We kunnen rij voor rij optellen en vervolgens de rijsommen optellen. Over het algemeen hebben we geen specifieke reden om de voorkeur te geven aan rijen boven kolommen, maar als de optelling eerst over kolommen wordt gedaan, kan het resultaat anders zijn. Beschouw bijvoorbeeld de dubbele rij

Hier convergeert elke rij naar een som gelijk aan 0, en de som van de rijsommen is dus ook gelijk aan nul. Aan de andere kant is de som van de leden van de eerste kolom 1 en alle andere kolommen is 0, dus de som van de sommen over de kolommen is 1. De enige "handige" convergente dubbele reeksen zijn de absoluut convergente dubbele reeksen : ze kunnen worden opgeteld door rijen of kolommen, evenals op elke andere manier, en het bedrag is altijd hetzelfde. Er is geen natuurlijke definitie van de voorwaardelijke convergentie van dubbele reeksen.

Basisdefinities.

Definitie. De som van de termen van een oneindige getallenreeks heet numerieke reeks.

Tegelijkertijd zijn de cijfers
zullen de leden van de serie worden genoemd, en jij n is een veelvoorkomend lid van de serie.

Definitie. Sommen
,n = 1, 2, … genaamd privé (deel)bedragen rij.

Het is dus mogelijk om reeksen van gedeeltelijke sommen van de reeks te overwegen S 1 , S 2 , …, S n , …

Definitie. Rij
genaamd convergerend als de rij van zijn partiële sommen convergeert. De som van de convergente reeks is de limiet van de reeks van zijn partiële sommen.

Definitie. Als de opeenvolging van deelsommen van de reeks divergeert, d.w.z. geen limiet heeft, of een oneindige limiet heeft, dan heet de reeks uiteenlopend en er wordt geen bedrag aan hem toegewezen.

rij eigenschappen.

1) De convergentie of divergentie van de reeks wordt niet geschonden als u een eindig aantal termen in de reeks wijzigt, weggooit of toevoegt.

2) Overweeg twee rijen
en
, waarbij C een constant getal is.

Stelling. Als de rij
convergeert en de som isS, dan de rij
convergeert ook, en de som is CS. (C  0)

3) Overweeg twee rijen
en
.som of verschil deze rijen worden de rij genoemd
, waarbij de elementen worden verkregen als resultaat van het optellen (aftrekken) van de originele elementen met dezelfde getallen.

Stelling. Als de rijen
en
convergeren en hun sommen zijn respectievelijk gelijk.Sen , dan de rij
convergeert ook en de som is gelijk aanS +  .

Het verschil van twee convergente reeksen zal ook een convergente reeks zijn.

De som van een convergente en divergente reeks is een divergente reeks.

Het is onmogelijk om een ​​algemene uitspraak te doen over de som van twee divergente reeksen.

Bij het bestuderen van reeksen worden voornamelijk twee problemen opgelost: de studie van convergentie en het vinden van de som van de reeksen.

Cauchy-criterium.

(noodzakelijke en voldoende voorwaarden voor de convergentie van de reeks)

Om de volgorde
convergent was, is het noodzakelijk en voldoende dat voor elke
er was een nummerN, die bijn > NEn elkp> 0, waarbij p een geheel getal is, zou de volgende ongelijkheid gelden:

.

Bewijs. (behoefte)

laten zijn
, dan voor elk nummer
er is een getal N zodat de ongelijkheid

wordt uitgevoerd voor n>N. Voor n>N en elk geheel getal p>0 geldt de ongelijkheid ook
. Als we beide ongelijkheden beschouwen, krijgen we:

De noodzaak is bewezen. We zullen het bewijs van toereikendheid niet in overweging nemen.

Laten we het Cauchy-criterium voor de reeks formuleren.

Om een ​​nummer te krijgen
was convergent noodzakelijk en voldoende dat voor elke
er was een nummerNzodanig dat bijn> NEn elkp>0 zou voldoen aan de ongelijkheid

.

In de praktijk is het echter niet erg handig om het Cauchy-criterium direct te gebruiken. Daarom worden in de regel eenvoudigere convergentiecriteria gebruikt:

1) Als de rij
convergeert, is het noodzakelijk dat de gemeenschappelijke term jij n aangetrokken tot nul. Deze voorwaarde is echter niet voldoende. We kunnen alleen zeggen dat als de algemene term niet naar nul neigt, de reeks precies divergeert. Bijvoorbeeld de zogenaamde harmonische reeks divergent, hoewel de gemeenschappelijke term neigt naar nul.

Voorbeeld. Onderzoek de convergentie van een reeks

Laten we vinden
- aan het noodzakelijke convergentiecriterium is niet voldaan, zodat de reeks divergeert.

2) Als de reeks convergeert, is de rij van zijn deelsommen begrensd.

Deze functie is echter ook niet voldoende.

Bijvoorbeeld, de reeks 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… divergeert omdat de volgorde van de gedeeltelijke sommen divergeert vanwege het feit dat:

In dit geval is de opeenvolging van deelsommen echter beperkt, omdat
voor enige n.

Serie met niet-negatieve termen.

Bij het bestuderen van reeksen met constant teken, beperken we ons tot het overwegen van reeksen met niet-negatieve termen, aangezien wanneer ze eenvoudig met -1 worden vermenigvuldigd, kunnen deze reeksen worden gebruikt om reeksen met negatieve termen te verkrijgen.

Stelling. Voor de convergentie van de reeks
met niet-negatieve termen is het noodzakelijk en voldoende dat de deelsommen van de reeks worden begrensd.

Teken van vergelijking van reeksen met niet-negatieve termen.

Laat er twee rijen zijn
en
Bij jij n , v n  0 .

Stelling. Als een jij n  v n voor enige n, dan van de convergentie van de reeks
volgt de convergentie van de reeks
, en van de divergentie van de reeks
volgt de divergentie van de reeks
.

Bewijs. Aanduiden door S n en  n gedeeltelijke sommen van reeksen
en
. Omdat volgens de stelling, de reeks
convergeert, dan zijn de partiële sommen begrensd, d.w.z. voor iedereen n n  M, waarbij M een getal is. Maar sinds jij n  v n, dan S n   n dan de deelsommen van de reeks
zijn ook begrensd, en dit is voldoende voor convergentie.

Voorbeeld. Onderzoek naar convergentiereeksen

Omdat
, en de harmonische reeks divergeert, dan divergeert de reeks
.

Voorbeeld.

Omdat
, en de rij
convergeert (als een afnemende geometrische progressie), dan is de reeks
convergeert ook.

Het volgende convergentiecriterium wordt ook gebruikt:

Stelling. Als een
en er is een limiet
, waarhis een getal dat niet nul is, dan is de reeks
en
zich op dezelfde manier gedragen in termen van convergentie.

Teken van d'Alembert.

(Jean Leron d'Alembert (1717 - 1783) - Franse wiskundige)

Als voor een serie
met positieve termen is er een getalq<1, что для всех достаточно больших nde ongelijkheid

dan de serie
convergeert als voor alles voldoende grootnde conditie

dan de serie
divergeert.

Beperkingsteken van d'Alembert.

De beperkende d'Alembert-test is een gevolg van de bovenstaande d'Alembert-test.

Als er een limiet is
, dan bij < 1 ряд сходится, а при  > 1 - divergeert. Als een = 1, dan kan de vraag naar convergentie niet worden beantwoord.

Voorbeeld. Bepaal de convergentie van een reeks .

Conclusie: de reeks convergeert.

Voorbeeld. Bepaal de convergentie van een reeks

Conclusie: de reeks convergeert.

Cauchy teken. (wortelteken)

Als voor een serie
met niet-negatieve termen bestaat er een getalq<1, что для всех достаточно больших nde ongelijkheid

,

dan de serie
convergeert als voor alles voldoende grootnde ongelijkheid

dan de serie
divergeert.

Gevolg. Als er een limiet is
, dan bij<1 ряд сходится, а при >1 rij wijkt af.

Voorbeeld. Bepaal de convergentie van een reeks
.

Conclusie: de reeks convergeert.

Voorbeeld. Bepaal de convergentie van een reeks
.

Die. Cauchy's criterium geeft geen antwoord op de vraag naar de convergentie van de reeks. Laten we controleren of aan de noodzakelijke convergentievoorwaarden is voldaan. Zoals hierboven vermeld, als de reeks convergeert, neigt de algemene term van de reeks naar nul.

,

dus aan de noodzakelijke voorwaarde voor convergentie is niet voldaan, wat betekent dat de reeks divergeert.

Integrale Cauchy-test.

Als een (x) is een continue positieve functie afnemend met het interval en
dan de integralen
en
gedragen zich hetzelfde in termen van convergentie.

Variabele rijen.

Afwisselende rijen.

Een afwisselende reeks kan worden geschreven als:

waar

Leibniz-teken.

Als een afwisselende reeks absolute waardenjij i verminderen
en de algemene term neigt naar nul
, dan convergeert de reeks.

Absolute en voorwaardelijke convergentie van reeksen.

Overweeg enkele afwisselende reeksen (met termen van willekeurige tekens).

(1)

en een reeks samengesteld uit de absolute waarden van de termen van de reeks (1):

(2)

Stelling. De convergentie van reeksen (2) impliceert de convergentie van reeksen (1).

Bewijs. Reeks (2) staat naast niet-negatieve termen. Als reeks (2) convergeert, dan is er volgens het Cauchy-criterium voor elke >0 een getal N zodat voor n>N en elk geheel getal p>0 de volgende ongelijkheid waar is:

Volgens de eigenschap van absolute waarden:

Dat wil zeggen, volgens het Cauchy-criterium impliceert de convergentie van reeksen (2) de convergentie van reeksen (1).

Definitie. Rij
genaamd absoluut convergent als de reeks convergeert
.

Het is duidelijk dat voor reeksen van constant teken de concepten convergentie en absolute convergentie samenvallen.

Definitie. Rij
genaamd voorwaardelijk convergent, als het convergeert, en de reeks
divergeert.

d'Alembert's en Cauchy's tests voor alternerende reeksen.

laten zijn
- afwisselende reeksen.

Teken van d'Alembert. Als er een limiet is
, dan bij<1 ряд
absoluut convergent zal zijn, en wanneer >

Cauchy teken. Als er een limiet is
, dan bij<1 ряд
zal absoluut convergent zijn, en wanneer >1 zal de reeks divergeren. Bij =1 geeft het teken geen antwoord over de convergentie van de reeks.

Eigenschappen van absoluut convergente reeksen.

1) Stelling. Voor de absolute convergentie van de reeks
het is noodzakelijk en voldoende dat het kan worden weergegeven als het verschil van twee convergente reeksen met niet-negatieve termen.

Gevolg. Een voorwaardelijk convergente reeks is het verschil van twee divergente reeksen met niet-negatieve termen die naar nul neigen.

2) In een convergente reeks behoudt elke groepering van de termen van de reeks die hun volgorde niet verandert, de convergentie en grootte van de reeks.

3) Als een reeks absoluut convergeert, dan convergeert de reeks die daaruit wordt verkregen door een permutatie van termen ook absoluut en heeft dezelfde som.

Door de termen van een voorwaardelijk convergente reeks te herschikken, kan men een voorwaardelijk convergente reeks verkrijgen met een vooraf bepaalde som, en zelfs een divergente reeks.

4) Stelling. Bij elke groepering van leden van een absoluut convergente reeks (in dit geval kan het aantal groepen eindig of oneindig zijn, en het aantal leden in een groep kan eindig of oneindig zijn), wordt een convergente reeks verkregen, de som waarvan gelijk is aan de som van de originele reeks.

5) Als de rijen en absoluut convergeren en hun sommen zijn respectievelijk gelijk. S en , dan een reeks bestaande uit alle producten van de vorm
in willekeurige volgorde genomen, convergeert ook absoluut en de som is gelijk aan S - het product van de sommen van de vermenigvuldigde reeks.

Als echter voorwaardelijk convergente reeksen worden vermenigvuldigd, kan het resultaat een divergente reeks zijn.

Functionele sequenties.

Definitie. Als de leden van de reeks geen getallen zijn, maar functies van X, dan heet de reeks functioneel.

De studie van de convergentie van functionele reeksen is moeilijker dan de studie van numerieke reeksen. Dezelfde functionele reeks kan, voor dezelfde waarden van de variabele X convergeren, en in andere - divergeren. Daarom wordt de kwestie van de convergentie van functionele reeksen teruggebracht tot de bepaling van die waarden van de variabele X waarvoor de reeks convergeert.

De set van dergelijke waarden wordt genoemd convergentie regio.

Aangezien de limiet van elke functie in het convergentiegebied van de reeks een bepaald aantal is, zal de limiet van de functionele reeks een bepaalde functie zijn:

Definitie. vervolg ( f n (x) } convergeert functioneren f(x) op het segment , indien voor een willekeurig getal >0 en een willekeurig punt X uit het beschouwde segment bestaat een getal N = N(, x) zodat de ongelijkheid

wordt uitgevoerd voor n>N.

Met de gekozen waarde >0 komt elk punt van het segment overeen met zijn eigen nummer en daarom zal er een oneindig aantal getallen zijn dat overeenkomt met alle punten van het segment. Als u het grootste van al deze nummers kiest, dan is dit nummer geschikt voor alle punten van het segment, d.w.z. zal voor alle punten gelden.

Definitie. vervolg ( f n (x) } convergeert uniform functioneren f(x) op het interval als er voor een willekeurig getal >0 een getal N = N() is zodat de ongelijkheid

wordt uitgevoerd voor n>N voor alle punten van het segment.

Voorbeeld. Overweeg de volgorde

Deze rij convergeert op de gehele getallenas naar de functie f(x)=0 , omdat

Laten we deze reeks plotten:

sinx

Zoals te zien is, naarmate het aantal toeneemt n de reeksgrafiek nadert de as X.

functionele rijen.

Definitie. Particuliere (deel)sommen functioneel bereik
functies worden aangeroepen

Definitie. Functioneel bereik
genaamd convergerend op het punt ( x=x 0 ) als de rij van zijn partiële sommen op dit punt convergeert. Sequentielimiet
genaamd som rij
bij het punt X 0 .

Definitie. De verzameling van alle waarden X, waarvoor de reeks convergeert
genaamd convergentie regio rij.

Definitie. Rij
genaamd uniform convergent op een segment als de reeks deelsommen van deze reeks uniform convergeert op dit segment.

Stelling. (Cauchycriterium voor uniforme convergentie van een reeks)

Voor uniforme convergentie van de reeks
noodzakelijk en voldoende dat voor elk nummer >0 er was zo'n nummerN( ), die opn> Nen elk geheelp>0 ongelijkheid

zou gelden voor alle x op het segment [a, b].

Stelling. (Weierstrass uniforme convergentietest)

(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) - Duitse wiskundige)

Rij
convergeert uniform en absoluut op het segment [a, b], als de modules van zijn leden op hetzelfde segment de overeenkomstige leden van de convergente numerieke reeks met positieve leden niet overschrijden:

die. er is een ongelijkheid:

.

Ze zeggen ook dat in dit geval de functionele reeks
gemasterd numerieke reeks
.

Voorbeeld. Onderzoek naar convergentiereeksen
.

Als
altijd, het is duidelijk dat
.

Het is bekend dat de algemene harmonische reeks convergeert wanneer =3>1, dan convergeert, in overeenstemming met de Weierstrass-test, de bestudeerde reeks uniform en bovendien in elk interval.

Voorbeeld. Onderzoek naar convergentiereeksen .

Op het segment [-1,1] de ongelijkheid
die. volgens de Weierstrass-test convergeert de bestudeerde reeks op dit segment en divergeert op de intervallen (-, -1)  (1, ).

Eigenschappen van uniform convergente reeksen.

1) De stelling over de continuïteit van de som van een reeks.

Als de leden van de serie
- continu op het interval [a, b] functie en de reeks convergeert uniform, dan is de somS(x) is een continue functie op het interval [a, b].

2) De stelling over term-voor-term integratie van een reeks.

Uniform convergent op het interval [a, b] reeksen met doorlopende termen kunnen term voor term in dit segment worden geïntegreerd, d.w.z. een reeks bestaande uit integralen van zijn termen over het interval [a, b] , convergeert naar de integraal van de som van de reeks over dit segment.

3) De stelling over term-voor-term differentiatie van een reeks.

Als de leden van de serie
convergeren op het segment [a, b] zijn continue functies met continue afgeleiden, en de reeksen die uit deze afgeleiden zijn samengesteld
convergeert uniform op dit interval, dan convergeert de gegeven reeks ook uniform en kan term voor term worden gedifferentieerd.

Gebaseerd op het feit dat de som van de reeks een functie is van de variabele X, kunt u de bewerking uitvoeren om een ​​functie als een reeks weer te geven (een functie uitbreiden tot een reeks), die veel wordt gebruikt bij integratie, differentiatie en andere bewerkingen met functies.

In de praktijk wordt vaak gebruik gemaakt van de uitbreiding van functies in een machtreeks.

Kracht series.

Definitie. macht volgende heet een reeks

.

Om de convergentie van machtreeksen te bestuderen, is het handig om de d'Alembert-test te gebruiken.

Voorbeeld. Onderzoek naar convergentiereeksen

We passen het teken d'Alembert toe:

.

We vinden dat deze reeks convergeert bij
en wijkt af bij
.

Laten we nu de convergentie op de grenspunten 1 en –1 definiëren.

Voor x = 1:
De reeks convergeert volgens de Leibniz-test (zie Fig. Leibniz-teken.).

Voor x = -1:
reeks divergeert (harmonische reeks).

Abels stellingen.

(Niels Henrik Abel (1802 - 1829) - Noorse wiskundige)

Stelling. Als de machtreeks
convergeert bijx = x 1 , dan convergeert het en bovendien absoluut voor iedereen
.

Bewijs. Door de voorwaarde van de stelling, aangezien de termen van de reeks beperkt zijn, dan

waar k is een constant getal. De volgende ongelijkheid is waar:

Uit deze ongelijkheid blijkt dat x< x 1 de numerieke waarden van de leden van onze reeks zullen minder (in ieder geval niet meer) zijn dan de overeenkomstige leden van de reeks aan de rechterkant van de hierboven geschreven ongelijkheid, die een geometrische progressie vormen. De noemer van deze progressie door de voorwaarde van de stelling is minder dan één, daarom is deze progressie een convergente reeks.

Daarom concluderen we op basis van de vergelijkingstest dat de reeks
convergeert, wat betekent dat de reeks
komt absoluut samen.

Dus als de machtreeks
convergeert op een punt X 1 , dan convergeert het absoluut op elk punt van het interval met lengte 2 gecentreerd op een punt X = 0.

Gevolg. Ik dik x = x 1 reeks divergeert, dan divergeert het voor iedereen
.

Dus voor elke machtreeks bestaat er een positief getal R zodat, voor alle X zoals dat
reeks convergeert absoluut en voor iedereen
de rij loopt uiteen. In dit geval wordt het getal R genoemd convergentiestraal. Het interval (-R, R) heet convergentie-interval.

Merk op dat dit interval zowel aan één als aan twee kanten gesloten kan zijn, en niet gesloten.

De convergentiestraal kan worden gevonden met behulp van de formule:

Voorbeeld. Zoek het convergentiegebied van een reeks

De convergentiestraal vinden
.

Daarom convergeert deze reeks voor elke waarde X. De algemene term van deze reeks neigt naar nul.

Stelling. Als de machtreeks
convergeert voor een positieve waarde x=x 1 , dan convergeert het uniform in elk interval binnen
.

Acties met machtreeksen.

Rijen voor theepotten. Voorbeelden van oplossingen

Alle overlevenden welkom in het tweede jaar! In deze les, of beter gezegd, in een reeks lessen, leren we hoe we rijen kunnen beheren. Het onderwerp is niet erg moeilijk, maar om het onder de knie te krijgen, heb je kennis van de eerste cursus nodig, in het bijzonder moet je het begrijpen wat is de limiet?, en in staat zijn om de eenvoudigste limieten te vinden. Het is echter goed, in de loop van de uitleg zal ik de juiste links naar de nodige lessen geven. Voor sommige lezers lijkt het onderwerp van wiskundige reeksen, methoden voor het oplossen, tekens en stellingen misschien eigenaardig, en zelfs pretentieus, absurd. In dit geval hoeft u niet veel te "laden", we accepteren de feiten zoals ze zijn en leren gewoon hoe u typische, veelvoorkomende taken kunt oplossen.

1) Rijen voor theepotten, en voor samovars meteen content :)

Voor ultrasnelle voorbereiding op een onderwerp er is een exprescursus in pdf-formaat, met behulp waarvan het echt mogelijk is om de praktijk in slechts een dag te "verhogen".

Het concept van een getallenreeks

In het algemeen nummerreeks kan als volgt worden geschreven:
Hier:
- wiskundig icoon van de som;
– gemeenschappelijke term van de reeks(onthoud deze eenvoudige term);
- variabel - "teller". Het record betekent dat de optelling wordt uitgevoerd van 1 tot "plus oneindig", dat wil zeggen, eerst hebben we, dan, dan, enzovoort - tot oneindig. Een variabele of wordt soms gebruikt in plaats van een variabele. Sommatie begint niet per se bij één, in sommige gevallen kan het bij nul, bij twee of bij elke beginnen natuurlijk nummer.

In overeenstemming met de variabele "teller" kan elke reeks in detail worden geschilderd:
– enzovoort tot in het oneindige.

voorwaarden - Deze NUMMERS, die worden genoemd leden rij. Als ze allemaal niet-negatief zijn (groter dan of gelijk aan nul), dan heet zo'n reeks positieve getallenlijn.

voorbeeld 1

Dit is trouwens al een "gevechtstaak" - in de praktijk is het vaak nodig om meerdere leden van de serie op te nemen.

Eerst dan:
Dan dan:
Dan dan:

Het proces kan voor onbepaalde tijd worden voortgezet, maar volgens de voorwaarde was het nodig om de eerste drie termen van de reeks te schrijven, dus we schrijven het antwoord op:

Let op het fundamentele verschil van nummerreeks,
waarin de termen niet worden opgeteld, maar als zodanig worden behandeld.

Voorbeeld 2

Schrijf de eerste drie termen van de reeks op

Dit is een voorbeeld om zelf op te lossen, het antwoord staat aan het einde van de les.

Zelfs voor een schijnbaar complexe serie is het niet moeilijk om het in uitgebreide vorm te beschrijven:

Voorbeeld 3

Schrijf de eerste drie termen van de reeks op

In feite wordt de taak mondeling uitgevoerd: mentaal substituut in de gemeenschappelijke termijn van de reeks eerst, dan en. Uiteindelijk:

Laat het antwoord zo achter het is beter om de verkregen termen van de reeks niet te vereenvoudigen, d.w.z niet voldoen acties: , , . Waarom? Antwoord in het formulier veel gemakkelijker en handiger voor de leraar om te controleren.

Soms is er een omgekeerde

Voorbeeld 4

Er is hier geen duidelijk oplossingsalgoritme. je moet gewoon het patroon zien.
In dit geval:

Ter verificatie kan de resulterende reeks in uitgebreide vorm worden "teruggeschilderd".

Maar het voorbeeld is iets moeilijker voor een onafhankelijke oplossing:

Voorbeeld 5

Schrijf de som in samengevouwen vorm met een gemeenschappelijke term van de reeks

Controleer nogmaals door de reeks in uitgevouwen vorm te schrijven

Convergentie van getallenreeksen

Een van de belangrijkste doelstellingen van het onderwerp is: onderzoek van een reeks voor convergentie. In dit geval zijn er twee gevallen mogelijk:

1) Rijdivergeert. Dit betekent dat een oneindige som gelijk is aan oneindig: ofwel sommen in het algemeen bestaat niet, zoals bijvoorbeeld in de reeks
(hier is trouwens een voorbeeld van een reeks met negatieve termen). Een mooi voorbeeld van een afwijkende getallenreeks kwam aan het begin van de les tegen: . Hier is het vrij duidelijk dat elke volgende term van de reeks groter is dan de vorige, daarom en dus divergeert de reeks. Een nog trivialer voorbeeld: .

2) Rijconvergeert. Dit betekent dat een oneindige som gelijk is aan een aantal laatste nummer: . Alstublieft: Deze reeks convergeert en de som is nul. Een meer betekenisvol voorbeeld is: oneindig afnemend meetkundige progressie, bij ons bekend sinds school: . De som van de leden van een oneindig afnemende meetkundige reeks wordt berekend met de formule: , waarbij het eerste lid van de reeks is, en de basis is, die in de regel wordt geschreven als juist fracties. In dit geval: , . Dus: Er wordt een eindig getal verkregen, wat betekent dat de reeks convergeert, wat bewezen moest worden.

Echter, in de overgrote meerderheid van de gevallen vind de som van de reeks is niet zo eenvoudig, en daarom worden in de praktijk, om de convergentie van een reeks te bestuderen, speciale tekens gebruikt, die theoretisch zijn bewezen.

Er zijn verschillende tekenen van convergentie van een reeks: noodzakelijk criterium voor de convergentie van een reeks, vergelijkingscriteria, d'Alembert's criterium, Cauchy's criteria, teken van Leibniz en enkele andere tekens. Wanneer welk teken aanbrengen? Het hangt af van de algemene term van de serie, figuurlijk gesproken - van de "vulling" van de serie. En heel binnenkort zullen we alles in de schappen zetten.

! Om verder te leren, heb je nodig: goed begrijpen, wat is de limiet en het is goed om de onzekerheid van de vorm te kunnen onthullen. Voor herhaling of studie van het materiaal, zie het artikel Grenzen. Voorbeelden van oplossingen.

Een noodzakelijk criterium voor de convergentie van een reeks

Als de reeks convergeert, neigt de gemeenschappelijke term naar nul: .

Het omgekeerde is niet waar in het algemene geval, d.w.z. als , dan kan de reeks zowel convergeren als divergeren. En dus wordt dit teken gebruikt om te rechtvaardigen divergentie rij:

Als de algemene term van de reeks gaat niet naar nul, dan divergeert de reeks

Of in het kort: als , dan divergeert de reeks. In het bijzonder is een situatie mogelijk wanneer de limiet helemaal niet bestaat, zoals bijvoorbeeld begrenzing. Hier hebben ze meteen de afwijking van één reeks onderbouwd :)

Maar veel vaker is de limiet van de divergente reeks gelijk aan oneindig, terwijl deze in plaats van "x" fungeert als een "dynamische" variabele. Laten we onze kennis opfrissen: limieten met "x" worden limieten van functies genoemd, en limieten met een variabele "en" - limieten van numerieke reeksen. Het voor de hand liggende verschil is dat de variabele "en" discrete (discontinue) natuurlijke waarden aanneemt: 1, 2, 3, enz. Maar dit gegeven heeft weinig invloed op de methoden voor het oplossen van de limieten en methoden voor het blootleggen van onzekerheden.

Laten we bewijzen dat de reeks van het eerste voorbeeld divergeert.
Gemeenschappelijk lid van de serie:

Conclusie: rij divergeert

De noodzakelijke functie wordt vaak gebruikt in echte praktische taken:

Voorbeeld 6

We hebben veeltermen in de teller en noemer. Degene die zorgvuldig de methode van openbaarmaking van onzekerheid in het artikel heeft gelezen en begrepen Grenzen. Voorbeelden van oplossingen, zeker betrapt wanneer de hoogste machten van de teller en noemer Gelijk, dan is de limiet laatste nummer .

Deel de teller en de noemer door

Studie serie divergeert, aangezien niet aan het noodzakelijke criterium voor de convergentie van de reeks is voldaan.

Voorbeeld 7

Onderzoek de reeks op convergentie

Dit is een doe-het-zelf voorbeeld. Volledige oplossing en antwoord aan het einde van de les

Dus, wanneer we ELKE nummerreeks krijgen, in de eerste plaats we controleren (mentaal of op een concept): neigt de algemene term naar nul? Lukt het niet, dan stellen we een oplossing op naar voorbeeld van voorbeelden nr. 6, 7 en geven als antwoord dat de reeks divergeert.

Welke soorten schijnbaar uiteenlopende reeksen hebben we overwogen? Het is meteen duidelijk dat rijen leuk vinden of uiteenlopen. De reeksen van voorbeelden nr. 6, 7 lopen ook uiteen: wanneer de teller en noemer polynomen bevatten en de hoogste graad van de teller groter is dan of gelijk is aan de hoogste graad van de noemer. In al deze gevallen gebruiken we bij het oplossen en ontwerpen van voorbeelden het noodzakelijke criterium voor de convergentie van de reeks.

Waarom heet het teken? vereist? Begrijp op de meest natuurlijke manier: om de reeks te laten convergeren, vereist zodat de gemeenschappelijke term neigt naar nul. En alles zou goed komen, maar dit niet genoeg. Met andere woorden, als de algemene term van de reeks naar nul neigt, BETEKENT DIT NIET dat de reeks convergeert- het kan zowel convergeren als divergeren!

Ontmoeten:

Deze rij heet harmonische reeksen. Onthoud alsjeblieft! Onder de numerieke series is hij een prima ballerina. Meer precies, een ballerina =)

Dat is gemakkelijk te zien , MAAR. In de theorie van wiskundige analyse is bewezen dat: de harmonische reeks divergeert.

Je moet ook het concept van een gegeneraliseerde harmonische reeks onthouden:

1) Deze rij divergeert Bij . Bijvoorbeeld, de reeks divergeert, , .
2) Deze rij convergeert Bij . Bijvoorbeeld de serie , , . Ik benadruk nogmaals dat het ons bij bijna alle praktische taken helemaal niet uitmaakt wat de som is van bijvoorbeeld de reeks, het feit van zijn convergentie is belangrijk.

Dit zijn elementaire feiten uit de reekstheorie die al zijn bewezen, en bij het oplossen van een praktisch voorbeeld kan men veilig verwijzen naar bijvoorbeeld de divergentie van de reeks of de convergentie van de reeks.

Over het algemeen lijkt het materiaal in kwestie erg op: studie van oneigenlijke integralen, en degenen die dit onderwerp hebben bestudeerd, zullen het gemakkelijker vinden. Welnu, voor degenen die niet hebben gestudeerd, is het dubbel gemakkelijker :)

Dus, wat te doen als de algemene term van de serie naar nul GAAT? In dergelijke gevallen moet u, om voorbeelden op te lossen, andere gebruiken, voldoende tekenen van convergentie / divergentie:

Vergelijkingscriteria voor positieve getallenreeksen

ik vestig je aandacht dat we het hier alleen hebben over positieve numerieke reeksen (met niet-negatieve leden).

Er zijn twee tekenen van vergelijking, een daarvan zal ik gewoon noemen teken van vergelijking, een andere - beperkend teken van vergelijking.

Overweeg eerst: vergelijkingsteken, of liever, het eerste deel ervan:

Beschouw twee positieve numerieke reeksen en . Indien gekend, dat de rij is convergeert, en, beginnend met een getal , geldt de ongelijkheid, dan is de reeks convergeert ook.

Met andere woorden: De convergentie van een reeks met grotere termen impliceert de convergentie van een reeks met kleinere termen. In de praktijk wordt aan de ongelijkheid vaak in het algemeen voldaan voor alle waarden van:

Voorbeeld 8

Onderzoek de reeks op convergentie

Eerst controleren we(mentaal of op een concept) uitvoering:
, wat betekent dat het niet mogelijk was om "met weinig bloed weg te komen".

We kijken naar het "pakket" van de gegeneraliseerde harmonische reeksen en, ons concentrerend op de hoogste graad, vinden we een vergelijkbare reeks: uit de theorie is bekend dat deze convergeert.

Voor alle natuurlijke getallen geldt de voor de hand liggende ongelijkheid:

en grotere noemers komen overeen met kleinere breuken:
, wat betekent dat, volgens het vergelijkingscriterium, de bestudeerde reeks convergeert samen met naast .

Mocht je twijfelen, dan kan de ongelijkheid altijd tot in detail worden geschilderd! Laten we de geconstrueerde ongelijkheid opschrijven voor verschillende getallen "en":
Als dan
Als dan
Als dan
Als dan
….
en nu is het vrij duidelijk dat de ongelijkheid geldt voor alle natuurlijke getallen "en".

Laten we het vergelijkingscriterium en het opgeloste voorbeeld analyseren vanuit een informeel oogpunt. Maar waarom convergeert de reeks? Dit is waarom. Als de reeks convergeert, dan heeft hij wat laatste hoeveelheid : . En aangezien alle leden van de serie kleiner corresponderende leden van de reeks, dan is de stomp duidelijk dat de som van de reeks niet groter kan zijn dan het getal , en nog meer, niet gelijk kan zijn aan oneindig!

Evenzo kunnen we de convergentie van "vergelijkbare" reeksen bewijzen: , , enzovoort.

! Notitie dat we in alle gevallen “pluspunten” in de noemers hebben. De aanwezigheid van ten minste één minpuntje kan het gebruik van de overwogen . ernstig bemoeilijken vergelijkingsfunctie:. Als een reeks bijvoorbeeld op dezelfde manier wordt vergeleken met een convergente reeks (schrijf meerdere ongelijkheden op voor de eerste termen), dan wordt helemaal niet aan de voorwaarde voldaan! Hier kun je ontwijken en ter vergelijking een andere convergente reeks kiezen, bijvoorbeeld , maar dit brengt onnodige reserveringen en andere onnodige moeilijkheden met zich mee. Daarom, om de convergentie van een reeks te bewijzen, is het veel gemakkelijker te gebruiken marginaal vergelijkingscriterium(zie volgende alinea).

Voorbeeld 9

Onderzoek de reeks op convergentie

En in dit voorbeeld raad ik je aan om voor jezelf na te denken het tweede deel van de vergelijkingsfunctie:

Indien gekend, dat de rij is divergeert, en beginnend met een aantal (vaak vanaf het begin) ongelijkheid geldt, dan is de reeks divergeert ook.

Met andere woorden: De divergentie van de reeks met kleinere termen impliceert de divergentie van de reeks met grotere termen.

Wat moet er gedaan worden?
Het is noodzakelijk om de bestudeerde reeks te vergelijken met een divergente harmonische reeks. Voor een beter begrip, construeer enkele specifieke ongelijkheden en zorg ervoor dat de ongelijkheid waar is.

Oplossing en voorbeeldontwerp aan het einde van de les.

Zoals reeds opgemerkt, wordt de zojuist beschouwde vergelijkingsfunctie in de praktijk zelden gebruikt. Het echte "werkpaard" van de nummerreeks is marginaal vergelijkingscriterium, en in termen van gebruiksfrequentie, alleen teken van d'Alembert.

Grensteken van vergelijking van numerieke positieve reeksen

Beschouw twee positieve numerieke reeksen en . Als de limiet van de verhouding van de gemeenschappelijke leden van deze reeksen gelijk is aan eindig niet-nul getal: , dan convergeren of divergeren beide reeksen tegelijkertijd.

Wanneer wordt het limietvergelijkingscriterium gebruikt? Het limietteken van vergelijking wordt gebruikt wanneer de "vulling" van de reeks polynomen is. Ofwel één polynoom in de noemer, of polynomen in zowel de teller als de noemer. Optioneel kunnen polynomen onder wortels staan.

Laten we de serie behandelen waarvoor het vorige teken van vergelijking vastliep.

Voorbeeld 10

Onderzoek de reeks op convergentie

Vergelijk deze reeks met de convergente reeks. We gebruiken de limiettest van vergelijking. Het is bekend dat de reeks convergeert. Als we kunnen aantonen dat het zo is laatste niet-nul getal, zal worden bewezen dat de reeks ook convergeert.

Er wordt een eindig getal verkregen dat niet nul is, wat betekent dat de bestudeerde reeks convergeert samen met naast .

Waarom is de serie gekozen ter vergelijking? Als we een andere serie hadden gekozen uit de "clip" van de gegeneraliseerde harmonische serie, dan waren we niet in de limiet geslaagd laatste niet-nul getallen (u kunt experimenteren).

Opmerking: wanneer we de marginale vergelijkingsfunctie gebruiken, irrelevant, in welke volgorde de relatie van gemeenschappelijke leden moet worden samengesteld, in het beschouwde voorbeeld zou de relatie in omgekeerde volgorde kunnen worden getekend: - dit zou de essentie van de zaak niet veranderen.