Het oplossen van vergelijkingen door eenvoudige iteratie excel. Lijst met gebruikte literaire bronnen

Excel heeft een breed scala aan hulpmiddelen voor het oplossen van verschillende soorten vergelijkingen met behulp van verschillende methoden.

Laten we eens kijken naar enkele voorbeelden van oplossingen.

Vergelijkingen oplossen door de methode van het selecteren van Excel-parameters

De tool Parameter Seek wordt gebruikt in een situatie waarin het resultaat bekend is, maar de argumenten onbekend. Excel kiest waarden totdat de berekening het gewenste totaal oplevert.

Pad naar de opdracht: "Data" - "Werken met gegevens" - "What-if-analyse" - "Parameterselectie".

Beschouw bijvoorbeeld de oplossing van de kwadratische vergelijking x 2 + 3x + 2 = 0. De volgorde van het vinden van de wortel met Excel:

Het programma gebruikt een cyclisch proces om de parameter te selecteren. Om het aantal iteraties en de fout te wijzigen, moet u naar de Excel-opties gaan. Stel op het tabblad "Formules" het maximum aantal iteraties in, de relatieve fout. Vink het vakje "Iteratieve berekeningen inschakelen" aan.



Hoe het systeem van vergelijkingen op te lossen met de matrixmethode in Excel

Het stelsel vergelijkingen wordt gegeven:

Vergelijkingswortels worden verkregen.

Een stelsel vergelijkingen oplossen volgens de methode van Cramer in Excel

Laten we het stelsel vergelijkingen uit het vorige voorbeeld nemen:

Om ze op te lossen met de Cramer-methode, berekenen we de determinanten van de matrices die zijn verkregen door één kolom in matrix A te vervangen door een kolommatrix B.

Om de determinanten te berekenen, gebruiken we de MOPRED-functie. Het argument is een bereik met de bijbehorende matrix.

We berekenen ook de determinant van matrix A (matrix - bereik van matrix A).

De determinant van het systeem is groter dan 0 - de oplossing is te vinden met de Cramer-formule (D x / |A|).

Om X 1 te berekenen: \u003d U2 / $ U $ 1, waarbij U2 - D1. Om X 2 te berekenen: =U3/$U$1. Enzovoort. We krijgen de wortels van de vergelijkingen:

Oplossen van stelsels van vergelijkingen met de Gauss-methode in Excel

Laten we bijvoorbeeld het eenvoudigste stelsel vergelijkingen nemen:

3a + 2c - 5c = -1
2a - c - 3c = 13
a + 2b - c \u003d 9

We schrijven de coëfficiënten in matrix A. Vrije termen - in matrix B.

Voor de duidelijkheid markeren we de gratis leden door ze in te vullen. Als de eerste cel van de matrix A 0 is, moet u de rijen omwisselen zodat er een andere waarde dan 0 is.

Voorbeelden van het oplossen van vergelijkingen door iteratie in Excel

De berekeningen in het werkboek moeten als volgt worden opgezet:

Dit doet u op het tabblad "Formules" in de "Excel-opties". Laten we de wortel van de vergelijking x - x 3 + 1 = 0 (a = 1, b = 2) vinden door iteratie met behulp van cyclische verwijzingen. Formule:

X n+1 \u003d X n - F (X n) / M, n \u003d 0, 1, 2, ....

M is de maximale waarde van de modulo-afgeleide. Laten we de berekeningen doen om M te vinden:

f' (1) = -2 * f' (2) = -11.

De resulterende waarde is kleiner dan 0. Daarom heeft de functie het tegenovergestelde teken: f (x) \u003d -x + x 3 - 1. M \u003d 11.

Voer in cel A3 de waarde in: a = 1. Nauwkeurigheid - drie decimalen. Om de huidige waarde van x in de aangrenzende cel (B3) te berekenen, voert u de formule in: =IF(B3=0;A3;B3-(-B3+POWER(B3;3)-1/11)).

In cel C3 regelen we de waarde van f (x): met de formule =B3-POWER(B3;3)+1.

De wortel van de vergelijking is 1.179. Voer de waarde 2 in cel A3 in, we krijgen hetzelfde resultaat:

Er is slechts één wortel op een bepaald interval.

De wortels van vergelijkingen vinden

De grafische manier om de wortels te vinden, is door de functie f (x) op het segment te plotten. Het snijpunt van de grafiek van de functie met de abscis geeft een geschatte waarde van de wortel van de vergelijking.

De geschatte waarden van de wortels die op deze manier worden gevonden, maken het mogelijk om segmenten te onderscheiden waarop, indien nodig, de wortels kunnen worden verfijnd.

Bij het vinden van wortels door berekening voor continue functies f(x), worden de volgende overwegingen gebruikt:

- als de functie verschillende tekens heeft aan de uiteinden van het segment, dan is er een oneven aantal wortels tussen de punten a en b op de x-as;

- als de functie dezelfde tekens heeft aan de uiteinden van het interval, dan staat tussen a en b een even aantal wortels of zijn er helemaal geen wortels;

- als de functie verschillende tekens heeft aan de uiteinden van het segment en de eerste afgeleide of de tweede afgeleide verandert niet van teken op dit segment, dan heeft de vergelijking één wortel op het segment.

Vind alle reële wortels van de vergelijking x 5 –4x–2=0 op het segment [–2,2]. Laten we een spreadsheet maken.

tafel 1

Tabel 2 toont de rekenresultaten.

tafel 2

Evenzo wordt een oplossing gevonden op de intervallen [-2,-1], [-1,0].

Verfijning van de wortels van de vergelijking

De modus "Zoeken naar oplossingen" gebruiken

Voor de bovenstaande vergelijking moeten alle wortels van de vergelijking x 5 –4x–2=0 worden verduidelijkt met een fout van E = 0,001.

Om de wortels in het interval [-2,-1] te verduidelijken, zullen we een spreadsheet samenstellen.

tafel 3

We starten de modus "Zoeken naar een oplossing" in het menu "Extra". Modusopdrachten uitvoeren. De weergavemodus toont de gevonden wortels. Op dezelfde manier verfijnen we de wortels op andere intervallen.

Verfijning van vergelijkingswortels

De modus "Iteraties" gebruiken

De eenvoudige iteratiemethode heeft twee modi "Handmatig" en "Automatisch". Om de modus "Iteraties" in het menu "Extra" te starten, opent u het tabblad "Parameters". Hieronder volgen de moduscommando's. Op het tabblad Berekeningen kunt u de automatische of handmatige modus selecteren.

Oplossen van stelsels van vergelijkingen

De oplossing van stelsels van vergelijkingen in Excel wordt uitgevoerd door de methode van inverse matrices. Los het stelsel vergelijkingen op:

Laten we een spreadsheet maken.

Tabel 4

	EEN	B	C	D	E
	Oplossing van het stelsel vergelijkingen.
		ax=b
	Beginmatrix A		rechterkant b
	-8
			-3
			-2		-2
	Inverse matrix (1/A)		Oplossingsvector x=(1/A)/b
	=MOBR(A6:C8)	=MOBR(A6:C8)	=MOBR(A6:C8)		=MULTI(A11:C13,E6:E8)
	=MOBR(A6:C8)	=MOBR(A6:C8)	=MOBR(A6:C8)		=MULTI(A11:C13,E6:E8)
	=MOBR(A6:C8)	=MOBR(A6:C8)	=MOBR(A6:C8)		=MULTI(A11:C13,E6:E8)

De MIN-functie retourneert een reeks waarden die in één keer in een hele kolom met cellen wordt ingevoegd.

Tabel 5 geeft de rekenresultaten weer.

Tabel 5

	EEN	B	C	D	E
	Oplossing van het stelsel vergelijkingen.
		ax=b
	Beginmatrix A		rechterkant b
	-8
			-3
			-2		-2
	Inverse matrix (1/A)		Oplossingsvector x=(1/A)/b
	-0,149	0,054	-0,230
	0,054	0,162	-0,189
	-0,122	0,135	-0,824

Lijst met gebruikte literaire bronnen

1. Turchak LI Grondbeginselen van numerieke methoden: Proc. toelage universiteiten / red. VV Shchennikov.–M.: Nauka, 1987.–320p.

2. Bundy B. Optimalisatiemethoden. Inleidende cursus.–M.: Radio en communicatie, 1988.–128s.

3. Evseev A.M., Nikolaeva L.S. Wiskundige modellering van chemische evenwichten.-M.: Izd-vo Mosk. un-ta, 1988.-192p.

4. Bezdenezhnykh A.A. Technische methoden voor het opstellen van reactiesnelheidsvergelijkingen en het berekenen van kinetische constanten.-L.: Chemistry, 1973.-256p.

5. Stepanova NF, Erlykina M.E., Filippov G.G. Methoden van lineaire algebra in fysische chemie.-M.: Izd-vo Mosk. un-ta, 1976.-359p.

6. Bakhvalov NS ea Numerieke methoden in taken en oefeningen: Proc. handleiding voor universiteiten / Bakhvalov N.S., Lapin A.V., Chizhonkov E.V. - M.: Hoger. school., 2000.-190s. - (Hogere wiskunde / Sadovnichiy V.A.)

7. Toepassing van computationele wiskunde in chemische en fysische kinetiek, ed. LS Polak, M.: Nauka, 1969, 279 pp.

8. Algoritme van berekeningen in de chemische technologie B.A. Zhidkov, A.G. Kuiper

9. Computationele methoden voor chemische ingenieurs. H. Rosenbrock, S. Story

10. Orvis V.D. Excel voor wetenschappers, ingenieurs en studenten. - Kiev: Junior, 1999.

11. Yu.Yu. Tarasevich Numerieke methoden bij Mathcade - Astrakhan State Pedagogical University: Astrakhan, 2000.

Voorbeeld 3.1 . Vind een oplossing voor het stelsel lineaire algebraïsche vergelijkingen (3.1) met behulp van de Jacobi-methode.

Iteratieve methoden kunnen worden gebruikt voor een bepaald systeem, omdat: de conditie "overwicht van diagonale coëfficiënten", wat zorgt voor de convergentie van deze methoden.

Het ontwerpschema van de Jacobi-methode is weergegeven in figuur (3.1).

Breng het systeem (3.1). naar normale weergave:

, (3.2)

of in matrixvorm

, (3.3)

Afb.3.1.

Om het aantal iteraties te bepalen dat nodig is om een ​​bepaalde nauwkeurigheid te bereiken e, en een benaderende oplossing van het systeem is nuttig in de kolom H installeren Voorwaardelijke opmaak. Het resultaat van een dergelijke opmaak is zichtbaar in figuur 3.1. Kolomcellen H, waarvan de waarden voldoen aan voorwaarde (3.4) zijn gearceerd.

(3.4)

Als we de resultaten analyseren, nemen we de vierde iteratie als een benaderende oplossing van het oorspronkelijke systeem met een gegeven nauwkeurigheid e=0.1,

die. x 1=10216; x 2= 2,0225, x 3= 0,9912

De waarde wijzigen e in een cel H5 het is mogelijk om een ​​nieuwe benaderingsoplossing van het oorspronkelijke systeem met een nieuwe nauwkeurigheid te verkrijgen.

Analyseer de convergentie van het iteratieve proces door veranderingen in elk onderdeel van de SLAE-oplossing te plotten, afhankelijk van het iteratienummer.

Selecteer hiervoor een blok cellen A10:D20 en met behulp van Grafiektovenaar, maak grafieken die de convergentie van het iteratieve proces weerspiegelen, Fig.3.2.

Het systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen wordt op dezelfde manier opgelost door de Seidel-methode.

Laboratorium #4

Onderwerp. Numerieke methoden voor het oplossen van lineaire gewone differentiaalvergelijkingen met randvoorwaarden. Eindige verschil methode

Oefening. Los het randwaardeprobleem op met de eindige-verschilmethode door twee benaderingen (twee iteraties) te construeren met stap h en stap h/2.

Analyseer de resultaten. Taakopties worden gegeven in bijlage 4.

Werkorder

1. Bouwen handmatig eindige verschilbenadering van het randwaardeprobleem (eindig verschil SLAE) met stap h , gegeven optie.

2. Gebruik de eindige-verschilmethode om in excelleren stelsel van lineaire algebraïsche eindige-verschilvergelijkingen voor de stap h segmentuitsplitsing . Noteer deze SLAE op het werkblad van het boek. excelleren. Het ontwerpschema is weergegeven in figuur 4.1.

3. Los de resulterende SLAE op met de sweep-methode.

4. Controleer de juistheid van de SLAE-oplossing met behulp van de add-on Excel Zoek oplossing.

5. Verklein het raster stap 2 keer en los het probleem opnieuw op. Presenteer de resultaten grafisch.

6. Vergelijk uw resultaten. Maak een conclusie over de noodzaak om het account voort te zetten of te beëindigen.

Een randwaardeprobleem oplossen met behulp van Microsoft Excel-spreadsheets.

Voorbeeld 4.1. De eindige-verschilmethode gebruiken om een ​​oplossing te vinden voor het randwaardeprobleem , y(1)=1, y’(2)=0.5 op het segment xО met stap h=0,2 en met stap h=0,1. Vergelijk de resultaten en trek een conclusie over de noodzaak om het account voort te zetten of te beëindigen.

Het rekenschema voor stap h=0,2 wordt getoond in Fig.4.1.

De resulterende oplossing (rasterfunctie) ja {1.000, 1.245, 1.474, 1.673, 1.829, 1.930}, X (1; 1.2; 1.4; 1.6; 1.8; 2) in kolommen L en B kan worden genomen als de eerste iteratie (eerste benadering) van het oorspronkelijke probleem.

voor het vinden van tweede iteratie maak het raster twee keer zo dik (n=10, pas h=0.1) en herhaal het bovenstaande algoritme.

Dit kan op hetzelfde of op een ander blad van het boek. excelleren. De oplossing (tweede benadering) is weergegeven in figuur 4.2.

Vergelijk de verkregen benaderende oplossingen. Voor de duidelijkheid kunt u grafieken maken van deze twee benaderingen (twee rasterfuncties), Fig.4.3.

De procedure voor het construeren van grafieken van benaderde oplossingen voor een randwaardeprobleem

1. Bouw een grafiek voor het oplossen van het probleem voor een verschilrooster met een stap h=0,2 (n=5).

2. Activeer de reeds gemaakte kaart en selecteer de opdracht menu Kaart\Gegevens toevoegen

3. In het venster Nieuwe data gegevens invoeren x ik , y ik voor verschilrooster met stap h/2 (n=10).

4. In het venster Speciaal inzetstuk vink de vakjes in de velden aan:

Ø nieuwe rijen,

Zoals uit de gepresenteerde gegevens blijkt, verschillen twee benaderende oplossingen van het randwaardeprobleem (twee rasterfuncties) niet meer dan 5% van elkaar. Daarom nemen we de tweede iteratie als een benaderende oplossing van het oorspronkelijke probleem, d.w.z.

ja{1, 1.124, 1.246, 1.364, 1.478, 1.584, 1.683, 1.772, 1.849, 1.914, 1.964}

laboratorium #5

Ministerie van Algemeen Onderwijs

Russische Federatie

Ural State Technical University-UPI

vestiging in Krasnoturinsk

Afdeling Computertechniek

cursus werk

Door numerieke methoden

Lineaire vergelijkingen oplossen door eenvoudige iteratie

met behulp van Microsoft Excel

Hoofd Kuzmina N.V.

Student Nigmatzyanov T.R.

Groep M-177T

Onderwerp: "Met een bepaalde nauwkeurigheid de wortel van de vergelijking F(x)=0 vinden op het interval door de methode van eenvoudige iteratie."

Testgeval: 0.25-x+sinx=0

Voorwaarden van het probleem: zoek voor een gegeven functie F(x) op het interval de wortel van de vergelijking F(x)=0 door eenvoudige iteratie.

De wortel wordt twee keer berekend (met automatische en handmatige berekening).

Zorg voor de constructie van een grafiek van een functie op een bepaald interval.

Inleiding 4

1. Theoretisch deel 5

2. Beschrijving van de voortgang van het werk 7

3.Invoer- en uitvoergegevens 8

Conclusie 9

Bijlage 10

Referenties 12

Invoering.

In de loop van dit werk moet ik kennis maken met verschillende methoden voor het oplossen van de vergelijking en de wortel van de niet-lineaire vergelijking 0.25-x + sin (x) \u003d 0 vinden met een numerieke methode - de methode van eenvoudige iteratie . Om de juistheid van het vinden van de wortel te controleren, is het noodzakelijk om de vergelijking grafisch op te lossen, een geschatte waarde te vinden en deze te vergelijken met het verkregen resultaat.

1. Theoretisch gedeelte.

Eenvoudige iteratiemethode.

Het iteratieve proces bestaat uit opeenvolgende verfijning van de initiële benadering x0 (de wortel van de vergelijking). Elke dergelijke stap wordt een iteratie genoemd.

Om deze methode te gebruiken, wordt de oorspronkelijke niet-lineaire vergelijking geschreven als: x=j(x), d.w.z. x valt op; j(х) is continu en differentieerbaar op het interval (a; c). Dit kan meestal op verschillende manieren:

Bijvoorbeeld:

arcsin(2x+1)-x 2 =0 (f(x)=0)

Methode 1.

arcsin(2x+1)=x2

sin(arcsin(2x+1))=sin(x2)

x=0.5(sinx 2 -1) (x=j(x))

Methode 2.

x=x+arcsin(2x+1)-x 2 (x=j(x))

Methode 3.

x 2 = arcsin (2x+1)

x= (x=j(x)), het teken wordt genomen afhankelijk van het interval [a;b].

De transformatie moet zo zijn dat ½j(x)<1½ для всех принадлежащих интервалу .В таком случае процесс итерации сходится.

Laat de initiële benadering van de wortel x \u003d c 0 bekend zijn. Door deze waarde in de rechterkant van de vergelijking x \u003d j (x) in te vullen, verkrijgen we een nieuwe benadering van de wortel: c \u003d j (c 0) .x), krijgen we een reeks waarden

c n =j(c n-1) n=1,2,3,…

Het iteratieproces moet worden voortgezet totdat aan de volgende voorwaarde is voldaan voor twee opeenvolgende benaderingen: ½c n -c n -1 ½

U kunt vergelijkingen numeriek oplossen met programmeertalen, maar Excel maakt het mogelijk om deze taak op een eenvoudigere manier uit te voeren.

Excel implementeert de eenvoudige iteratiemethode op twee manieren, met handmatige berekening en met automatische precisiecontrole.

y y=x

j (vanaf 0)

s 0 s 2 s 4 s 6 s 8 wortel s 9 s 7 s 5 s 3 s 1

	Rijst. Iteratieve procesgrafiek

2. Beschrijving van de voortgang van de werkzaamheden.

1. Lanceerde ME.

2. Ik bouwde een grafiek van de functie y=x en y=0.25+sin(x) op een segment met een stap van 0,1 genaamd het blad "Grafiek".

3. Kies een team Onderhoud ® Opties.
Een tabblad geopend computergebruik .
De modus ingeschakeld handmatig .
Uitgeschakeld selectievakje Herberekening voor opslaan . De veldwaarde gemaakt Beperk het aantal iteraties gelijk aan 1, de relatieve fout is 0,001.

4. Voer in cel A1 de regel "Oplossing van de vergelijking x \u003d 0.25 + sin (x) door de methode van eenvoudige iteratie in."

5. Voer de tekst "Initiële waarde" in cel A3 in, de tekst "Initiële vlag" in cel A4, de waarde 0,5 in cel B3, het woord WAAR in cel B4.

6. Toegewezen aan cellen B3 en B4 de naam "start_value" en "start".
Cel B6 zal controleren of waar gelijk is aan de waarde van cel "begin". 0,25 + sinus x In cel B7 wordt de 0,25-sinus van cel B6 berekend, en zo wordt een cyclische verwijzing georganiseerd.

7. Vul in cel A6 y=x in, en in cel A7 y=0.25+sin(x) In cel B6 de formule:
=ALS(start,startwaarde,B7).
In cel B7 formule: y=0,25+sin(B6).

8. Voer in cel A9 het woord Error in.

9. In cel B9 heb ik de formule ingevoerd: \u003d B7-B6.

10. Het commando gebruiken Format-Cellen (tabblad Nummer ) zette cel B9 om in exponentieel formaat met twee decimalen.

11. Daarna organiseerde ik een tweede cyclische link om het aantal iteraties te tellen.In cel A11 vulde ik de tekst "Aantal iteraties" in.

12. In cel B11 heb ik de formule ingevoerd: \u003d IF (begin; 0; B12 + 1).

13. Voer in cel B12 =B11 in.

14. Om de berekening uit te voeren, plaatst u de tabelcursor in cel B4 en drukt u op de F9-toets (Berekenen) om het probleem op te lossen.

15. De waarde van de initiële vlag gewijzigd in FALSE en nogmaals op F9 gedrukt Elke keer dat op F9 wordt gedrukt, wordt één iteratie uitgevoerd en wordt de volgende geschatte waarde van x berekend.

16. Druk op de F9-toets totdat de x-waarde de vereiste nauwkeurigheid heeft bereikt.
Met automatische berekening:

17. Verplaatst naar een ander blad.

18. Ik herhaalde de punten 4 t/m 7, alleen in cel B4 heb ik de waarde FALSE ingevoerd.

19. Kies een team Onderhoud ® Opties (tabblad computergebruik ). Stel de waarde van het veld in Beperk het aantal iteraties gelijk aan 100, relatieve fout gelijk aan 0,00000001. automatisch .

3. Invoer- en uitvoergegevens.

De eerste vlag is FALSE.
Beginwaarde 0,5

Functie y=0,25-x+sin(x)

Intervalgrenzen

Berekeningsnauwkeurigheid voor handmatige berekening 0,001

met automaat

Weekend:

1. Handmatige berekening:
aantal iteraties 37
de wortel van de vergelijking is 1,17123

2. Automatische berekening:
aantal iteraties 100
de wortel van de vergelijking is 1,17123

3. De vergelijking grafisch oplossen:
wortel van vergelijking 1.17

Conclusie.

In de loop van deze cursus heb ik kennis gemaakt met verschillende methoden voor het oplossen van vergelijkingen:

De analytische methode

De grafische methode

· Numerieke methode

Maar aangezien de meeste numerieke methoden voor het oplossen van vergelijkingen iteratief zijn, heb ik deze methode in de praktijk gebruikt.

Met een bepaalde nauwkeurigheid de wortel van de vergelijking 0,25-x + sin (x) \u003d 0 op het interval gevonden met behulp van de eenvoudige iteratiemethode.

Bijlage.

1. Handmatige berekening.

2. Automatische berekening.

3. De vergelijking 0.25-x-sin(x)=0 grafisch oplossen.

Bibliografische lijst.

1. Volkov EA "Numerieke methodes".

2. Samarsky AA "Inleiding tot numerieke methoden".

3. Igaletkin I.I. "Numerieke methodes".