Betekenis van de eerste afgeleide. Functie afgeleide

Hier is een samenvattende tabel voor het gemak en de duidelijkheid bij het bestuderen van het onderwerp.

Constantey=C Vermogensfunctie y = x p (x p)" = p x p - 1	Exponentiële functiey = x (a x)" = a x ln a In het bijzonder, wanneereen = ewij hebben y = e x (e x)" = e x
logaritmische functie (log a x) " = 1 x ln a In het bijzonder, wanneereen = ewij hebben y = log x (ln x)" = 1 x	Goniometrische functies (sin x) "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x
Inverse trigonometrische functies (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	hyperbolische functies (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Laten we analyseren hoe de formules van de gespecificeerde tabel zijn verkregen, of, met andere woorden, we zullen de afleiding bewijzen van formules voor afgeleiden voor elk type functie.

Afgeleide van een constante

Bewijs 1

Om deze formule af te leiden, nemen we als basis de definitie van de afgeleide van een functie in een punt. We gebruiken x 0 = x, waarbij x neemt de waarde aan van een reëel getal, of, met andere woorden, x is een willekeurig getal uit het domein van de functie f (x) = C . Laten we de limiet van de verhouding van de toename van de functie tot de toename van het argument schrijven als ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Houd er rekening mee dat de uitdrukking 0 ∆ x onder het limietteken valt. Het is niet de onzekerheid van "nul gedeeld door nul", aangezien de teller geen oneindig kleine waarde bevat, maar nul. Met andere woorden, de toename van een constante functie is altijd nul.

Dus de afgeleide van de constante functie f (x) = C is gelijk aan nul over het hele definitiedomein.

voorbeeld 1

Gegeven constante functies:

f 1 (x) = 3 , f 2 (x) = een , een R , f 3 (x) = 4 . 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Oplossing

Laten we de gegeven voorwaarden beschrijven. In de eerste functie zien we de afgeleide van het natuurlijke getal 3 . In het volgende voorbeeld moet je de afgeleide nemen van a, waar a- elk reëel getal. Het derde voorbeeld geeft ons de afgeleide van het irrationele getal 4 . 13 7 22 , de vierde - de afgeleide van nul (nul is een geheel getal). Ten slotte hebben we in het vijfde geval de afgeleide van de rationale breuk - 8 7 .

Antwoorden: de afgeleiden van de gegeven functies zijn nul voor elke real x(over het hele domein van definitie)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Machtsfunctie afgeleide

We wenden ons tot de machtsfunctie en de formule voor zijn afgeleide, die de vorm heeft: (x p) " = p x p - 1, waarbij de exponent p is een reëel getal.

Bewijs 2

Hier is het bewijs van de formule wanneer de exponent een natuurlijk getal is: p = 1 , 2 , 3 , …

Nogmaals, we vertrouwen op de definitie van een derivaat. Laten we de limiet van de verhouding van de toename van de machtsfunctie tot de toename van het argument schrijven:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Om de uitdrukking in de teller te vereenvoudigen, gebruiken we de binominale formule van Newton:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Op deze manier:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + ... + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p! 1! (p - 1)! x p - 1 = p x p - 1

We hebben dus de formule bewezen voor de afgeleide van een machtsfunctie als de exponent een natuurlijk getal is.

Bewijs 3

Om bewijs te leveren voor het geval wanneer: p- elk reëel getal anders dan nul, gebruiken we de logaritmische afgeleide (hier moeten we het verschil met de afgeleide van de logaritmische functie begrijpen). Voor een vollediger begrip is het wenselijk om de afgeleide van de logaritmische functie te bestuderen en daarnaast de afgeleide van een impliciet gegeven functie en de afgeleide van een complexe functie te behandelen.

Overweeg twee gevallen: wanneer? x positief en wanneer? x zijn negatief.

Dus x > 0 . Dan: x p > 0 . We nemen de logaritme van de gelijkheid y \u003d x p naar het grondtal e en passen de eigenschap van de logaritme toe:

y = x p ln y = ln x p ln y = p ln x

In dit stadium is een impliciet gedefinieerde functie verkregen. Laten we de afgeleide ervan definiëren:

(ln y) " = (p ln x) 1 y y " = p 1 x ⇒ y " = p y x = p x p x = p x p - 1

Nu beschouwen we het geval wanneer: x- een negatief getal.

Als de indicator p een even getal is, dan is de machtsfunctie ook gedefinieerd voor x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

dan xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Als een p is een oneven getal, dan is de machtsfunctie gedefinieerd voor x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \u003d (- (- x) p) " \u003d - ((- x) p) " \u003d - p (- x) p - 1 (- x) " = \u003d p (- x ) p - 1 = p x p - 1

De laatste overgang is mogelijk omdat als p is een oneven getal, dan p - 1 ofwel een even getal of nul (voor p = 1), dus voor negatief x de gelijkheid (- x) p - 1 = x p - 1 is waar.

We hebben dus de formule voor de afgeleide van een machtsfunctie voor elke reële p bewezen.

Voorbeeld 2

Gegeven functies:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x stam 7 12

Bepaal hun afgeleiden.

Oplossing

We transformeren een deel van de gegeven functies in een tabelvorm y = x p , gebaseerd op de eigenschappen van de graad, en gebruiken dan de formule:

f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 \u003d - 2 3 x - 5 3 f 2 "(x) \u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x stam 7 12 = x - stam 7 12 ⇒ f 3 " ( x) = - stam 7 12 x - stam 7 12 - 1 = - stam 7 12 x - stam 7 12 - stam 7 7 = - stam 7 12 x - stam 7 84

Afgeleide van exponentiële functie

Bewijs 4

We leiden de formule voor de afgeleide af, gebaseerd op de definitie:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

We hebben onzekerheid. Om het uit te breiden, schrijven we een nieuwe variabele z = a ∆ x - 1 (z → 0 als ∆ x → 0). In dit geval a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Voor de laatste overgang wordt de formule voor de overgang naar een nieuwe basis van de logaritme gebruikt.

Laten we een vervanging uitvoeren in de oorspronkelijke limiet:

(a x) " = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Denk aan de tweede prachtige limiet en dan krijgen we de formule voor de afgeleide van de exponentiële functie:

(a x) " = a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln een

Voorbeeld 3

De exponentiële functies worden gegeven:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

We moeten hun afgeleiden vinden.

Oplossing

We gebruiken de formule voor de afgeleide van de exponentiële functie en de eigenschappen van de logaritme:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Afgeleide van een logaritmische functie

Bewijs 5

We presenteren het bewijs van de formule voor de afgeleide van de logaritmische functie voor any x in het domein van definitie en eventuele geldige waarden van het grondtal a van de logaritme. Op basis van de definitie van de afgeleide krijgen we:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x = lim ∆ x → 0 1 x log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x log a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

Uit de gespecificeerde keten van gelijkheden blijkt dat de transformaties zijn gebouwd op basis van de logaritme-eigenschap. De gelijkheid lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e is waar volgens de tweede opmerkelijke limiet.

Voorbeeld 4

Logaritmische functies worden gegeven:

f 1 (x) = log log 3 x , f 2 (x) = log x

Het is noodzakelijk om hun afgeleiden te berekenen.

Oplossing

Laten we de afgeleide formule toepassen:

f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3); f 2 "(x) \u003d (ln x)" \u003d 1 x ln e \u003d 1 x

Dus de afgeleide van de natuurlijke logaritme is één gedeeld door x.

Afgeleide van goniometrische functies

Bewijs 6

We gebruiken enkele goniometrische formules en de eerste prachtige limiet om de formule af te leiden voor de afgeleide van een goniometrische functie.

Volgens de definitie van de afgeleide van de sinusfunctie krijgen we:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Met de formule voor het verschil van sinussen kunnen we de volgende acties uitvoeren:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Ten slotte gebruiken we de eerste prachtige limiet:

sin "x = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Dus de afgeleide van de functie zonde x zal zijn want x.

We zullen ook de formule voor de cosinusderivaat op dezelfde manier bewijzen:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Die. de afgeleide van de functie cos x wordt – zonde x.

We leiden de formules voor de afgeleiden van de tangens en cotangens af op basis van de differentiatieregels:

t g "x = sin x cos x" = sin "x cos x - sin x cos "x cos 2 x = = cos x cos x - sin x (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x zonde x" = cos "x sin x - cos x zonde "x zonde 2 x = = - zonde x zonde x - cos x cos x zonde 2 x = - zonde 2 x + cos 2 x zonde 2 x = - 1 zonde 2 x

Afgeleide van inverse trigonometrische functies

De sectie over de afgeleide van inverse functies geeft uitgebreide informatie over het bewijs van de formules voor de afgeleiden van de arcsinus, arccosinus, arctangens en arccotangens, dus we zullen het materiaal hier niet dupliceren.

Afgeleide van hyperbolische functies

Bewijs 7

We kunnen formules afleiden voor de afgeleiden van de hyperbolische sinus, cosinus, tangens en cotangens met behulp van de differentiatieregel en de formule voor de afgeleide van de exponentiële functie:

s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h "x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h "x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

Kan uit het bord worden gehaald derivaat:

(af(x)"=af" (x).

Bijvoorbeeld:

Afgeleide van een algebraïsche som meerdere functies (opgenomen in een constant getal) is gelijk aan de algebraïsche som van hun afgeleiden:

(f 1 (x) + f 2 (x) - f 3 (x))" = f 1 "(x) + f 2 "(x) - f 3 "(x).

Bijvoorbeeld:

(0,3 x 2 - 2 x + 0,8) "= (0,3 x 2)" - (2 x) "+ (0,8)" = 0,6 x - 2 ( derivaat laatst termijn vergelijking is nul).

Als een functie afgeleide g niet nul is, dan heeft de verhouding f/g ook uiteindelijke afgeleide. Deze eigenschap kan worden geschreven als:

.

Laten functies y = f(x) en y = g(x) hebben eindige afgeleiden op het punt x 0 . Dan functies f ± g en f g hebben ook definitieve derivaten in deze punt. Dan krijgen we:

(f ± g) ′ = f ′ ± g ′,

(f g) ′ = f g + f g ′.

Afgeleide van een complexe functie.

Laten functie y = f(x) heeft uiteindelijke afgeleide op een punt x 0 , de functie z = s(y) heeft een eindige afgeleide in het punt y 0 = f(x 0).

Dan complexe functie z = s (f(x)) heeft op dit punt ook een eindige afgeleide. Dit kan worden geschreven in de vorm:

.

Afgeleide van de inverse functie.

Laat de functie y = f(x) hebben omgekeerde functie x = g(y) op sommige interval(a, b) en er bestaat een niet-nul uiteindelijke afgeleide deze functie op het punt x 0 , dat behoort tot domeinen, d.w.z. x 0 (a, b).

Dan omgekeerde functie Het heeft derivaat op het punt y 0 = f(x 0):

.

Afgeleide van een impliciete functie.

Als een functie y = f(x) is impliciet gedefinieerd vergelijking F(x, y(x)) = 0, dan is het derivaat wordt gevonden uit de voorwaarde:

.

Zij zeggen dat functie y = f(x) impliciet instellen, Als ze identiek voldoet aan de relatie:

waarbij F(x, y) een functie is van twee argumenten.

Afgeleide van een functie die parametrisch is gegeven.

Als een functie y = f(x) wordt parametrisch gegeven met behulp van de beschouwde

De afgeleide van een functie is een van de moeilijkste onderwerpen in het schoolcurriculum. Niet elke afgestudeerde zal de vraag beantwoorden wat een afgeleide is.

In dit artikel wordt eenvoudig en duidelijk uitgelegd wat een derivaat is en waarom het nodig is.. We zullen nu niet streven naar wiskundige nauwkeurigheid van presentatie. Het belangrijkste is om de betekenis te begrijpen.

Laten we de definitie onthouden:

De afgeleide is de veranderingssnelheid van de functie.

De afbeelding toont grafieken van drie functies. Welke groeit volgens jou het snelst?

Het antwoord ligt voor de hand - de derde. Het heeft de hoogste mate van verandering, dat wil zeggen, de grootste afgeleide.

Hier is nog een voorbeeld.

Kostya, Grisha en Matvey kregen tegelijkertijd een baan. Laten we eens kijken hoe hun inkomen in de loop van het jaar is veranderd:

Je kunt meteen alles op de kaart zien, toch? Kostya's inkomen is in zes maanden tijd meer dan verdubbeld. En Grisha's inkomen steeg ook, maar dan een klein beetje. En Matthew's inkomen daalde tot nul. De startvoorwaarden zijn hetzelfde, maar de veranderingssnelheid van de functie, d.w.z. derivaat, - verschillend. Wat Matvey betreft, is de afgeleide van zijn inkomen over het algemeen negatief.

Intuïtief kunnen we gemakkelijk de veranderingssnelheid van een functie schatten. Maar hoe doen we het?

Waar we echt naar kijken, is hoe steil de grafiek van de functie omhoog (of omlaag) gaat. Met andere woorden, hoe snel verandert y met x. Het is duidelijk dat dezelfde functie op verschillende punten een andere waarde van de afgeleide kan hebben - dat wil zeggen, deze kan sneller of langzamer veranderen.

De afgeleide van een functie wordt aangegeven met .

Laten we laten zien hoe u de grafiek kunt vinden.

Er wordt een grafiek van een bepaalde functie getekend. Neem er een punt op met een abscis. Teken op dit punt een raaklijn aan de grafiek van de functie. We willen evalueren hoe steil de grafiek van de functie omhoog gaat. Een handige waarde hiervoor is tangens van de helling van de tangens.

De afgeleide van een functie in een punt is gelijk aan de raaklijn van de helling van de raaklijn aan de grafiek van de functie op dat punt.

Let op - als hellingshoek van de raaklijn nemen we de hoek tussen de raaklijn en de positieve richting van de as.

Soms vragen leerlingen wat de raaklijn is aan de grafiek van een functie. Dit is een rechte lijn die bovendien het enige gemeenschappelijke punt heeft met de grafiek in deze sectie, zoals weergegeven in onze figuur. Het ziet eruit als een raaklijn aan een cirkel.

Laten we vinden . We herinneren ons dat de tangens van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek gelijk is aan de verhouding van het tegenoverliggende been tot het aangrenzende. Van driehoek:

We hebben de afgeleide gevonden met behulp van de grafiek zonder zelfs de formule van de functie te kennen. Dergelijke opdrachten vind je vaak op het examen wiskunde onder het cijfer.

Er is nog een belangrijke correlatie. Bedenk dat de rechte lijn wordt gegeven door de vergelijking

De hoeveelheid in deze vergelijking heet helling van een rechte lijn. Het is gelijk aan de tangens van de hellingshoek van de rechte lijn aan de as.

.

We snappen dat

Laten we deze formule onthouden. Het drukt de geometrische betekenis van de afgeleide uit.

De afgeleide van een functie op een punt is gelijk aan de helling van de raaklijn aan de grafiek van de functie op dat punt.

Met andere woorden, de afgeleide is gelijk aan de tangens van de helling van de tangens.

We hebben al gezegd dat dezelfde functie op verschillende punten een andere afgeleide kan hebben. Laten we eens kijken hoe de afgeleide verband houdt met het gedrag van de functie.

Laten we een grafiek tekenen van een functie. Laat deze functie in sommige gebieden toenemen en in andere afnemen, en met verschillende snelheden. En laat deze functie maximale en minimale punten hebben.

Op een gegeven moment neemt de functie toe. De raaklijn aan de grafiek, getekend in het punt, vormt een scherpe hoek met de positieve richting van de as. Dus de afgeleide is positief op het punt.

Op dat moment neemt onze functie af. De raaklijn op dit punt vormt een stompe hoek met de positieve richting van de as. Omdat de raaklijn van een stompe hoek negatief is, is de afgeleide in het punt negatief.

Dit is wat er gebeurt:

Als een functie stijgt, is de afgeleide positief.

Als het afneemt, is de afgeleide negatief.

En wat gebeurt er op de maximale en minimale punten? We zien dat bij (maximumpunt) en (minimumpunt) de raaklijn horizontaal is. Daarom is de tangens van de helling van de tangens op deze punten nul en is de afgeleide ook nul.

Het punt is het maximale punt. Op dit punt wordt de toename van de functie vervangen door een afname. Dientengevolge verandert het teken van de afgeleide op het punt van "plus" in "min".

Op het punt - het minimumpunt - is de afgeleide ook gelijk aan nul, maar het teken verandert van "min" in "plus".

Conclusie: met behulp van de afgeleide kun je alles te weten komen wat ons interesseert over het gedrag van de functie.

Als de afgeleide positief is, dan neemt de functie toe.

Als de afgeleide negatief is, dan is de functie afnemend.

Op het maximale punt is de afgeleide nul en verandert het teken van plus naar min.

Op het minimumpunt is de afgeleide ook nul en verandert het teken van min in plus.

We schrijven deze bevindingen in de vorm van een tabel:

	neemt toe	maximum punt	neemt af	minimum punt	neemt toe
+	0	-	0	+

Laten we twee kleine verduidelijkingen maken. Je hebt er een nodig bij het oplossen van examenproblemen. Een ander - in het eerste jaar, met een meer serieuze studie van functies en derivaten.

Een geval is mogelijk wanneer de afgeleide van een functie op een bepaald punt gelijk is aan nul, maar de functie heeft op dit punt noch een maximum noch een minimum. Deze zogenaamde :

Op een bepaald punt is de raaklijn aan de grafiek horizontaal en is de afgeleide nul. Echter, vóór het punt nam de functie toe - en na het punt blijft het toenemen. Het teken van de afgeleide verandert niet - het is zoals het was positief gebleven.

Het komt ook voor dat op het punt van maximum of minimum de afgeleide niet bestaat. In de grafiek komt dit overeen met een scherpe breuk, wanneer het onmogelijk is om een ​​raaklijn op een bepaald punt te tekenen.

Maar hoe vind je de afgeleide als de functie niet wordt gegeven door een grafiek, maar door een formule? In dit geval is het van toepassing

Het is absoluut onmogelijk om fysieke problemen of voorbeelden in de wiskunde op te lossen zonder kennis over de afgeleide en methoden om deze te berekenen. De afgeleide is een van de belangrijkste concepten van wiskundige analyse. We hebben besloten om het artikel van vandaag aan dit fundamentele onderwerp te wijden. Wat is een afgeleide, wat is de fysieke en geometrische betekenis ervan, hoe bereken je de afgeleide van een functie? Al deze vragen kunnen worden gecombineerd tot één: hoe de afgeleide te begrijpen?

Geometrische en fysieke betekenis van de afgeleide

Laat er een functie zijn f(x) , gegeven in een interval (a,b) . De punten x en x0 behoren tot dit interval. Als x verandert, verandert de functie zelf. Argumentwijziging - verschil van zijn waarden x-x0 . Dit verschil wordt geschreven als delta x en wordt argumentincrement genoemd. Een wijziging of verhoging van een functie is het verschil tussen de waarden van een functie op twee punten. Afgeleide definitie:

De afgeleide van een functie op een punt is de limiet van de verhouding van de toename van de functie op een bepaald punt tot de toename van het argument wanneer deze naar nul neigt.

Anders kan het als volgt worden geschreven:

Wat heeft het voor zin om zo'n limiet te vinden? Maar welke:

de afgeleide van een functie op een punt is gelijk aan de raaklijn van de hoek tussen de OX-as en de raaklijn aan de grafiek van de functie op een bepaald punt.

De fysieke betekenis van de afgeleide: de tijdsafgeleide van het pad is gelijk aan de snelheid van de rechtlijnige beweging.

Inderdaad, sinds schooltijd weet iedereen dat snelheid een privépad is. x=f(t) en tijd t . Gemiddelde snelheid over een bepaalde periode:

Om de bewegingssnelheid per keer te achterhalen t0 je moet de limiet berekenen:

Regel één: haal de constante weg

De constante kan uit het teken van de afgeleide worden gehaald. Bovendien moet het gebeuren. Neem bij het oplossen van voorbeelden in de wiskunde als regel - als je de uitdrukking kunt vereenvoudigen, zorg er dan voor dat je vereenvoudigt .

Voorbeeld. Laten we de afgeleide berekenen:

Regel twee: afgeleide van de som van functies

De afgeleide van de som van twee functies is gelijk aan de som van de afgeleiden van deze functies. Hetzelfde geldt voor de afgeleide van het verschil van functies.

We zullen geen bewijs van deze stelling geven, maar eerder een praktisch voorbeeld beschouwen.

Vind de afgeleide van een functie:

Regel drie: de afgeleide van het product van functies

De afgeleide van het product van twee differentieerbare functies wordt berekend met de formule:

Voorbeeld: vind de afgeleide van een functie:

Oplossing:

Hier is het belangrijk om te zeggen over de berekening van afgeleiden van complexe functies. De afgeleide van een complexe functie is gelijk aan het product van de afgeleide van deze functie met betrekking tot het tussenargument door de afgeleide van het tussenliggende argument met betrekking tot de onafhankelijke variabele.

In het bovenstaande voorbeeld komen we de uitdrukking tegen:

In dit geval is het tussenargument 8x tot de vijfde macht. Om de afgeleide van zo'n uitdrukking te berekenen, beschouwen we eerst de afgeleide van de externe functie met betrekking tot het tussenliggende argument, en vermenigvuldigen vervolgens met de afgeleide van het tussenliggende argument zelf met betrekking tot de onafhankelijke variabele.

Regel vier: De afgeleide van het quotiënt van twee functies

Formule voor het bepalen van de afgeleide van een quotiënt van twee functies:

We hebben geprobeerd om vanaf het begin over derivaten voor dummies te praten. Dit onderwerp is niet zo eenvoudig als het klinkt, dus wees gewaarschuwd: er zijn vaak valkuilen in de voorbeelden, dus wees voorzichtig bij het berekenen van afgeleiden.

Met al je vragen over dit en andere onderwerpen kun je contact opnemen met de studentenservice. In korte tijd helpen we u de moeilijkste controle op te lossen en taken uit te voeren, zelfs als u nog nooit eerder met de berekening van derivaten te maken heeft gehad.