DEFINITIE

De algebraïsche vorm van een complex getal is om het complexe getal \(\ z \) te schrijven als \(\ z=x+i y \), waarbij \(\ x \) en \(\ y \) reële getallen zijn, \ (\ i \ ) is een denkbeeldige eenheid die voldoet aan de relatie \(\ i^(2)=-1 \)

Het getal \(\ x \) wordt het reële deel van het complexe getal \(\ z \) genoemd en wordt aangeduid als \(\ x=\operatornaam(Re) z \)

Het getal \(\ y \) wordt het imaginaire deel van het complexe getal \(\ z \) genoemd en wordt aangeduid als \(\ y=\operatornaam(Im) z \)

Bijvoorbeeld:

Het complexe getal \(\ z=3-2 i \) en het bijbehorende getal \(\ \overline(z)=3+2 i \) worden in algebraïsche vorm geschreven.

De denkbeeldige waarde \(\ z=5 i \) wordt in algebraïsche vorm geschreven.

Bovendien kunt u, afhankelijk van het probleem dat wordt opgelost, een complex getal omzetten in een trigonometrisch of exponentieel getal.

Een taak

Schrijf het getal \(\ z=\frac(7-i)(4)+13 \) in algebraïsche vorm, vind de reële en imaginaire delen, evenals het geconjugeerde getal.

Oplossing.

Als we de term deling van breuken en de regel voor het optellen van breuken toepassen, krijgen we:

\(\ z=\frac(7-i)(4)+13=\frac(7)(4)+13-\frac(i)(4)=\frac(59)(4)-\frac( 1)(4) ik \)

Daarom is het reële deel van het complexe getal \(\ z=\frac(5 g)(4)-\frac(1)(4) i \) het getal \(\ x=\operatornaam(Re) z= \frac(59) (4) \) , het imaginaire deel is een getal \(\ y=\operatornaam(Im) z=-\frac(1)(4) \)

Geconjugeerd getal: \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

Antwoorden

\(\ z=\frac(59)(4)-\frac(1)(4) i \), \(\ \operatornaam(Re) z=\frac(59)(4) \), \(\ \operatornaam(Im) z=-\frac(1)(4) \), \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

Acties van complexe getallen in algebraïsche vormvergelijking

Twee complexe getallen \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) zijn gelijk als \(\ x_(1)=x_(2) \), \(\ y_(1)= y_ (2) \) d.w.z. Hun reële en imaginaire delen zijn gelijk.

Een taak

Bepaal voor welke x en y twee complexe getallen \(\ z_(1)=13+y i \) en \(\ z_(2)=x+5 i \) gelijk zijn.

Oplossing

Per definitie zijn twee complexe getallen gelijk als hun reële en imaginaire delen gelijk zijn, d.w.z. \(\ x=13 \), \(\ y=5 \).

Antwoord \(\ x=13 \), \(\ y=5 \)

toevoeging

Het optellen van complexe getallen \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) gebeurt door directe sommatie van de reële en imaginaire delen:

\(\ z_(1)+z_(2)=x_(1)+i y_(1)+x_(2)+i y_(2)=\links(x_(1)+x_(2)\rechts) +i\links(y_(1)+y_(2)\rechts)\)

Een taak

Vind de som van complexe getallen \(\ z_(1)=-7+5 i \), \(\ z_(2)=13-4 i \)

Oplossing.

Het reële deel van het complexe getal \(\ z_(1)=-7+5 i \) is het getal \(\ x_(1)=\operatornaam(Re) z_(1)=-7 \) , het denkbeeldige deel is het getal \( \ y_(1)=\mathrm(Im) \), \(\ z_(1)=5 \) . De reële en imaginaire delen van het complexe getal \(\ z_(2)=13-4 i \) zijn \(\ x_(2)=\operatornaam(Re) z_(2)=13 \) en \(\ y_ (2 )=\operatornaam(Im) z_(2)=-4 \) .

Daarom is de som van complexe getallen:

\(\ z_(1)+z_(2)=\left(x_(1)+x_(2)\right)+i\left(y_(1)+y_(2)\right)=(-7+ 13)+i(5-4)=6+i\)

Antwoorden

\(\z_(1)+z_(2)=6+i \)

Lees meer over het optellen van complexe getallen in een apart artikel: Complexe getallen toevoegen.

aftrekken

Het aftrekken van complexe getallen \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) en \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) gebeurt door direct aftrekken van de reële en imaginaire delen:

\(\ z_(1)-z_(2)=x_(1)+i y_(1)-\left(x_(2)+i y_(2)\right)=x_(1)-x_(2) +\left(i y_(1)-i y_(2)\right)=\left(x_(1)-x_(2)\right)+i\left(y_(1)-y_(2)\right )\)

Een taak

zoek het verschil van complexe getallen \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \)

Oplossing.

Vind de reële en imaginaire delen van complexe getallen \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \) :

\(\ x_(1)=\operatornaam(Re) z_(1)=17, x_(2)=\operatornaam(Re) z_(2)=15 \)

\(\ y_(1)=\operatornaam(Im) z_(1)=-35, y_(2)=\operatornaam(Im) z_(2)=5 \)

Het verschil van complexe getallen is dus:

\(\ z_(1)-z_(2)=\left(x_(1)-x_(2)\right)+i\left(y_(1)-y_(2)\right)=(17-15 )+i(-35-5)=2-40 ik \)

Antwoorden

\(\ z_(1)-z_(2)=2-40 i \) vermenigvuldiging

De vermenigvuldiging van complexe getallen \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) en \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) wordt uitgevoerd door direct het genereren van getallen in algebraïsche vorm, rekening houdend met de eigenschap van de denkbeeldige eenheid \(\ i^(2)=-1 \) :

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1)+i y_(1)\right) \cdot\left(x_(2)+i y_(2)\right)=x_ (1) \cdot x_(2)+i^(2) \cdot y_(1) \cdot y_(2)+\left(x_(1) \cdot i y_(2)+x_(2) \cdot i y_(1)\rechts)= \)

\(\ =\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2 ) \cdot y_(1)\rechts) \)

Een taak

Vind het product van complexe getallen \(\ z_(1)=1-5 i \)

Oplossing.

Complex van complexe getallen:

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) \cdot y_(1)\right)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5 )=15-23 ik \)

Antwoorden

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=15-23 i \) split

De complexe getalfactor \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) en \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) wordt bepaald door de teller en noemer naar het geconjugeerde getal met een noemer:

\(\ \frac(z_(1))(z_(2))=\frac(x_(1)+i y_(1))(x_(2)+i y_(2))=\frac(\left (x_(1)+i y_(1)\right)\left(x_(2)-i y_(2)\right))(\left(x_(2)+i y_(2)\right)\left (x_(2)-i y_(2)\right))=\frac(x_(1) \cdot x_(2)+y_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2) +y_(2)^(2))+i \frac(x_(2) \cdot y_(1)-x_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2)+y_(2 )^(2)) \)

Een taak

Om het getal 1 te delen door het complexe getal \(\ z=1+2 i \).

Oplossing.

Aangezien het imaginaire deel van het reële getal 1 nul is, is de factor:

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1 \cdot 1)(1^(2)+2^(2))-i \frac(1 \cdot 2)(1^( 2)+2^(2))=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)

Antwoorden

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)

Complexe getallen zijn een uitbreiding van de verzameling reële getallen, meestal aangeduid met . Elk complex getal kan worden weergegeven als een formele som, waarbij en zijn reële getallen, een denkbeeldige eenheid zijn.

Het schrijven van een complex getal in de vorm , , wordt de algebraïsche vorm van een complex getal genoemd.

Eigenschappen van complexe getallen. Geometrische interpretatie van een complex getal.

Acties op complexe getallen gegeven in algebraïsche vorm:

Overweeg de regels waarmee rekenkundige bewerkingen worden uitgevoerd op complexe getallen.

Als twee complexe getallen α = a + bi en β = c + di gegeven zijn, dan is

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

α - β \u003d (a + bi) - (c + di) \u003d (a - c) + (b - d)i. (elf)

Dit volgt uit de definitie van de bewerkingen van optellen en aftrekken van twee geordende paren reële getallen (zie formules (1) en (3)). We hebben de regels voor optellen en aftrekken van complexe getallen verkregen: om twee complexe getallen op te tellen, moet men afzonderlijk hun reële delen optellen en dienovereenkomstig de imaginaire delen; om een ​​ander van een complex getal af te trekken, is het noodzakelijk om respectievelijk hun reële en imaginaire delen af ​​te trekken.

Het nummer - α \u003d - a - bi wordt het tegenovergestelde van het nummer α \u003d a + bi genoemd. De som van deze twee getallen is nul: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b) i = 0.

Om de vermenigvuldigingsregel voor complexe getallen te verkrijgen, gebruiken we formule (6), d.w.z. het feit dat i2 = -1. Rekening houdend met deze verhouding, vinden we (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, d.w.z.

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)

Deze formule komt overeen met formule (2), die de vermenigvuldiging van geordende paren van reële getallen definieerde.

Merk op dat de som en het product van twee complexe geconjugeerde getallen reële getallen zijn. Inderdaad, als α = a + bi, = a – bi, dan α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2 , α + = (a + bi) + (a - bi) = ( a + a) + (b - b) i= 2a, d.w.z.

α + = 2a, α = a2 + b2. (13)

Bij het delen van twee complexe getallen in algebraïsche vorm, moet men verwachten dat het quotiënt ook wordt uitgedrukt door een getal van hetzelfde type, d.w.z. α/β = u + vi, waarbij u, v R. Laten we een regel afleiden voor het delen van complexe nummers. Laat de getallen α = a + bi, β = c + di worden gegeven, en β ≠ 0, d.w.z. c2 + d2 ≠ 0. De laatste ongelijkheid betekent dat c en d niet gelijktijdig verdwijnen (het geval wanneer c = 0, d = 0). Door formule (12) en de tweede van gelijkheden (13) toe te passen, vinden we:

Daarom wordt het quotiënt van twee complexe getallen gegeven door:

de bijbehorende formule (4).

Met behulp van de verkregen formule voor het getal β = c + di, kun je het omgekeerde ervan β-1 = 1/β vinden. Uitgaande van formule (14) a = 1, b = 0, verkrijgen we

Deze formule bepaalt het omgekeerde van een gegeven niet-nul complex getal; dit nummer is ook complex.

Bijvoorbeeld: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;

(6 + 5i) - (3 + 8i) = 3 - 3i;

(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;

Acties op complexe getallen in algebraïsche vorm.

55. Argument van een complex getal. Goniometrische vorm van het schrijven van een complex getal (uitvoer).

Arg.comm.nummer. – tussen de positieve richting van de reële X-as door de vector die het gegeven getal vertegenwoordigt.

driehoek formule. Nummers: ,

Complexe getallen

denkbeeldig en complexe getallen. Abscis en ordinaat

complex getal. Vervoeg complexe getallen.

Bewerkingen met complexe getallen. Geometrisch

weergave van complexe getallen. complexe vlak.

Modulus en argument van een complex getal. trigonometrische

complexe getalvorm. Bewerkingen met complexe

getallen in trigonometrische vorm. Moivre-formule.

Basisinformatie over denkbeeldig en complexe getallen worden gegeven in de sectie "Imaginaire en complexe getallen". De behoefte aan deze getallen van een nieuw type bleek bij het oplossen van kwadratische vergelijkingen voor het gevalD< 0 (здесь Dis de discriminant van de kwadratische vergelijking). Lange tijd werden deze nummers niet fysiek gebruikt, daarom werden ze "denkbeeldige" nummers genoemd. Nu worden ze echter op grote schaal gebruikt op verschillende gebieden van de natuurkunde.

en technologie: elektrotechniek, hydro- en aerodynamica, de elasticiteitstheorie, enz.

Complexe getallen worden geschreven als:a+bi. Hier a en b – echte getallen , a i – denkbeeldige eenheid. e. i 2 = –1. Nummer a genaamd abscis, a b - ordinaatcomplex getaleen + b.Twee complexe getallena+bi en a-bi genaamd conjugeren complexe getallen.

Belangrijkste overeenkomsten:

1. Echt nummerakan ook worden geschreven in de vormcomplex getal:een + 0 i of a - 0 i. Bijvoorbeeld invoer 5 + 0i en 5 - 0 ihetzelfde nummer bedoelen 5 .

2. Complex getal 0 + bigenaamd puur denkbeeldig nummer. Opnemenbibetekent hetzelfde als 0 + bi.

3. Twee complexe getallena+bi enc + diworden als gelijk beschouwd alsa = c en b = d. Anders complexe getallen zijn niet gelijk.

Toevoeging. De som van complexe getallena+bi en c + diheet een complex getal (a+c ) + (b+d ) i .Op deze manier, wanneer toegevoegd complexe getallen, hun abscis en ordinaat worden afzonderlijk toegevoegd.

Deze definitie volgt de regels voor het omgaan met gewone veeltermen.

aftrekken. Het verschil tussen twee complexe getallena+bi(verlaagd) en c + di(afgetrokken) heet een complex getal (a-c ) + (b-d ) i .

Op deze manier, bij het aftrekken van twee complexe getallen, worden hun abscis en ordinaat afzonderlijk afgetrokken.

Vermenigvuldiging. Het product van complexe getallena+bi en c + di heet een complex getal.

(ac-bd ) + (ad+bc ) i .Deze definitie komt voort uit twee vereisten:

1) nummers a+bi en c + dizou moeten vermenigvuldigen zoals algebraïsch binomialen,

2) nummer iheeft de belangrijkste eigenschap:i 2 = – 1.

VOORBEELD ( een + bi )(a-bi) = een 2 +b 2 . Vervolgens, werk

twee geconjugeerde complexe getallen is gelijk aan de reële

positief nummer.

Divisie. Een complex getal delena+bi (deelbaar) naar een anderc + di(verdeler) - betekent om het derde getal te vindene + fi(chat), die, wanneer vermenigvuldigd met een delerc + di, wat resulteert in het dividendeen + b.

Als de deler niet nul is, is deling altijd mogelijk.

VOORBEELD Zoek (8+ .)i ) : (2 – 3 i) .

Oplossing Laten we deze verhouding herschrijven als een breuk:

De teller en noemer vermenigvuldigen met 2 + 3i

En na het uitvoeren van alle transformaties, krijgen we:

Geometrische weergave van complexe getallen. Reële getallen worden weergegeven door punten op de getallenlijn:

Hier is het punt EENbetekent nummer -3, puntB is het nummer 2, en O- nul. Daarentegen worden complexe getallen weergegeven door punten op het coördinatenvlak. Hiervoor kiezen we rechthoekige (Cartesiaanse) coördinaten met dezelfde schalen op beide assen. Dan het complexe getala+bi wordt weergegeven door een punt P met abscis a en ordinaat b (zie afb.). Dit coördinatensysteem heet complex vlak .

module complex getal wordt de lengte van de vector genoemdOP, die een complex getal op de coördinaat weergeeft ( geïntegreerd) vlak. Complexe getalmodulusa+bi aangeduid met | a+bi| of brief r

Beschouw een kwadratische vergelijking.

Laten we de wortels ervan definiëren.

Er is geen reëel getal waarvan het kwadraat -1 is. Maar als de formule de operator definieert i als een denkbeeldige eenheid, dan kan de oplossing van deze vergelijking worden geschreven in de vorm . Waarin en - complexe getallen, waarbij -1 het reële deel is, 2 of in het tweede geval -2 het imaginaire deel. Het imaginaire deel is ook een reëel (reëel) getal. Het denkbeeldige deel vermenigvuldigd met de denkbeeldige eenheid betekent al denkbeeldig getal.

Over het algemeen heeft een complex getal de vorm

z = x + iy ,

waar x, ja zijn reële getallen, is een denkbeeldige eenheid. In een aantal toegepaste wetenschappen, bijvoorbeeld in de elektrotechniek, elektronica, signaaltheorie, wordt de denkbeeldige eenheid aangeduid met j. Echte getallen x = Opnieuw(z) en y=Ik ben(z) genaamd echte en denkbeeldige delen nummers z. De uitdrukking heet algebraïsche vorm notatie van een complex getal.

Elk reëel getal is een speciaal geval van een complex getal in de vorm . Een denkbeeldig getal is ook een speciaal geval van een complex getal. .

Definitie van de verzameling complexe getallen C

Deze uitdrukking luidt als volgt: set VAN, bestaande uit elementen zodanig dat x en ja behoren tot de verzameling reële getallen R en is de denkbeeldige eenheid. Merk op dat enz.

Twee complexe getallen en zijn gelijk dan en slechts dan als hun reële en imaginaire delen gelijk zijn, d.w.z. en .

Complexe getallen en functies worden veel gebruikt in wetenschap en technologie, met name in mechanica, analyse en berekening van wisselstroomcircuits, analoge elektronica, signaaltheorie en -verwerking, automatische regeltheorie en andere toegepaste wetenschappen.

1. Rekenen van complexe getallen

De toevoeging van twee complexe getallen bestaat uit het optellen van hun reële en imaginaire delen, d.w.z.

Dienovereenkomstig is het verschil van twee complexe getallen

Complex getal genaamd complex conjugeren nummer z=x +i.y.

De complexe geconjugeerde getallen z en z * verschillen in de tekens van het imaginaire deel. Het is duidelijk dat

.

Elke gelijkheid tussen complexe uitdrukkingen blijft geldig als in deze gelijkheid overal i vervangen door - i, d.w.z. ga naar de gelijkheid van geconjugeerde getallen. Cijfers i en – i zijn algebraïsch niet van elkaar te onderscheiden omdat .

Het product (vermenigvuldiging) van twee complexe getallen kan als volgt worden berekend:

Deling van twee complexe getallen:

Voorbeeld:

1. Complex vlak

Een complex getal kan grafisch worden weergegeven in een rechthoekig coördinatenstelsel. Laten we een rechthoekig coördinatensysteem in het vlak zetten (x, y).

op as Os wij regelen de echte onderdelen! x, het heet echte (echte) as, op de as Oy– denkbeeldige delen ja complexe getallen. Ze draagt ​​de naam denkbeeldige as. Bovendien komt elk complex getal overeen met een bepaald punt van het vlak, en zo'n vlak heet complex vlak. Punt MAAR het complexe vlak komt overeen met de vector OA.

Nummer x genaamd abscis complex getal, getal ja – ordinaat.

Een paar complexe geconjugeerde getallen wordt weergegeven als stippen die symmetrisch rond de reële as zijn geplaatst.

Als in het vliegtuig set poolcoördinatenstelsel, dan elk complex getal z bepaald door poolcoördinaten. Waarin module nummers is de polaire straal van het punt, en de hoek - zijn polaire hoek of complex getalargument z.

Complexe getalmodulus altijd niet negatief. Het argument van een complex getal is niet uniek gedefinieerd. De hoofdwaarde van het argument moet voldoen aan de voorwaarde . Elk punt van het complexe vlak komt ook overeen met de totale waarde van het argument. Argumenten die een veelvoud van 2π verschillen, worden als gelijk beschouwd. Het getalargument nul is niet gedefinieerd.

De hoofdwaarde van het argument wordt bepaald door de uitdrukkingen:

Het is duidelijk dat

Waarin
, .

Representatie van complexe getallen z net zo

genaamd trigonometrische vorm complex getal.

Voorbeeld.

1. De exponentiële vorm van complexe getallen

Ontleding in Maclaurin-serie voor echte argumentfuncties lijkt op:

Voor de exponentiële functie van een complex argument z ontleding is vergelijkbaar

.

De Maclaurin-reeksuitbreiding voor de exponentiële functie van het denkbeeldige argument kan worden weergegeven als:

De resulterende identiteit heet Euler-formule:.

Voor een negatief argument lijkt het erop:

Door deze uitdrukkingen te combineren, kunnen we de volgende uitdrukkingen voor sinus en cosinus definiëren:

.

Met behulp van de Euler-formule, van de trigonometrische vorm van de weergave van complexe getallen

verkrijgbaar demonstratief(exponentiële, polaire) vorm van een complex getal, d.w.z. zijn vertegenwoordiging in de vorm

,

waar - poolcoördinaten van een punt met rechthoekige coördinaten ( x,ja).

De conjugaat van een complex getal wordt als volgt in exponentiële vorm geschreven.

Voor exponentiële vormen is het eenvoudig om de volgende formules te definiëren voor vermenigvuldigen en delen van complexe getallen:

Dat wil zeggen, in exponentiële vorm is het product en de deling van complexe getallen gemakkelijker dan in algebraïsche vorm. Bij vermenigvuldigen worden de modules van de factoren vermenigvuldigd en worden de argumenten opgeteld. Deze regel is van toepassing op een willekeurig aantal factoren. In het bijzonder bij het vermenigvuldigen van een complex getal z op de i vector z draait 90 . linksom

Bij deling wordt de modulus van de teller gedeeld door de modulus van de noemer en wordt het argument van de noemer afgetrokken van het tellerargument.

Met behulp van de exponentiële vorm van complexe getallen kan men uitdrukkingen verkrijgen voor bekende trigonometrische identiteiten. Bijvoorbeeld uit de identiteit

met behulp van de Euler-formule kunnen we schrijven

Door de reële en imaginaire delen in deze uitdrukking gelijk te stellen, verkrijgen we uitdrukkingen voor de cosinus en sinus van de som van de hoeken

1. Machten, wortels en logaritmen van complexe getallen

Een complex getal verheffen tot een natuurlijke macht n geproduceerd volgens de formule

Voorbeeld. Berekenen .

Stel je een nummer voor in trigonometrische vorm

’

Als we de formule voor machtsverheffing toepassen, krijgen we

De waarde in de uitdrukking zetten r= 1, we krijgen de zogenaamde formule van De Moivre, waarmee je de uitdrukkingen voor de sinussen en cosinus van meerdere hoeken kunt bepalen.

Wortel n de macht van een complex getal z Het heeft n verschillende waarden bepaald door de uitdrukking

Voorbeeld. Laten we vinden .

Om dit te doen, drukken we het complexe getal () uit in de trigonometrische vorm

.

Volgens de formule voor het berekenen van de wortel van een complex getal, krijgen we

Logaritme van een complex getal z is een nummer met wie, waarvoor. De natuurlijke logaritme van een complex getal heeft een oneindig aantal waarden en wordt berekend met de formule

Bestaat uit reële (cosinus) en imaginaire (sinus) delen. Een dergelijke spanning kan worden weergegeven als een vector van lengte U m, beginfase (hoek), roterend met hoeksnelheid ω .

Bovendien, als complexe functies worden toegevoegd, worden hun reële en imaginaire delen toegevoegd. Als een complexe functie wordt vermenigvuldigd met een constante of een reële functie, dan worden de reële en imaginaire delen met dezelfde factor vermenigvuldigd. Differentiatie/integratie van zo'n complexe functie wordt gereduceerd tot differentiatie/integratie van de reële en imaginaire delen.

Bijvoorbeeld de differentiatie van de complexe stress-expressie

is om het te vermenigvuldigen met iω is het reële deel van de functie f(z), en is het denkbeeldige deel van de functie. Voorbeelden: .

Betekenis z wordt weergegeven door een punt in het complexe z-vlak, en de bijbehorende waarde met wie- een punt in het complexe vlak met wie. Wanneer weergegeven w = f(z) vlakke lijnen z overgaan in de lijnen van het vliegtuig met wie, figuren van het ene vlak in figuren van een ander, maar de vormen van lijnen of figuren kunnen aanzienlijk veranderen.