Om te beginnen zullen we de theorie analyseren, daarna zullen we een paar voorbeelden oplossen om het materiaal over de uitbreiding van een fractioneel rationale functie te consolideren tot een som van eenvoudige breuken. Laten we eens nader kijken naar methode van onzekere coëfficiënten en gedeeltelijke waarde methode:, evenals hun combinaties.

De eenvoudigste breuken worden vaak genoemd elementaire breuken.

Er zijn de volgende: soorten eenvoudige breuken:

waarbij A , M , N , a , p , q getallen zijn, en de discriminant van de noemer in breuken 3) en 4) kleiner is dan nul.

Ze worden respectievelijk breuken van het eerste, tweede, derde en vierde type genoemd.

Waarom breuken opsplitsen in eenvoudige breuken?

Laten we een wiskundige analogie geven. Vaak moet je de vorm van een uitdrukking vereenvoudigen, zodat je er enkele handelingen mee kunt uitvoeren. Dus de weergave van een fractioneel rationale functie als een som van eenvoudige breuken is ongeveer hetzelfde. Het wordt gebruikt om functies uit te breiden naar machtreeksen, Laurentreeksen en natuurlijk om integralen te vinden.

Het vereist bijvoorbeeld het nemen van integraal van een fractioneel rationale functie. Na het ontleden van de integrand in eenvoudige breuken, reduceert alles tot vrij eenvoudige integralen

Maar over integralen in een andere sectie.

Voorbeeld.

Splits een breuk op in zijn eenvoudigste.

Oplossing.

In het algemeen wordt de verhouding van veeltermen ontleed in eenvoudige breuken als de graad van de veelterm in de teller kleiner is dan de graad van de veelterm in de noemer. Anders wordt de tellerpolynoom eerst gedeeld door de noemerpolynoom, en pas daarna wordt de correcte fractioneel rationale functie ontleed.

Laten we delen door een kolom (hoek):

Daarom zal de oorspronkelijke breuk de vorm aannemen:

We zullen dus ontleden in eenvoudige breuken

Algoritme van de methode van onbepaalde coëfficiënten.

ten eerste, ontbind de noemer.

In ons voorbeeld is alles eenvoudig - we halen x uit haakjes.


ten tweede, wordt de uit te breiden breuk weergegeven als de som van eenvoudige breuken met onzekere coëfficiënten.

Hier is het de moeite waard om na te denken over de soorten uitdrukkingen die u in de noemer kunt hebben.

Genoeg theorie, de praktijk is nog duidelijker.

Het is tijd om terug te keren naar het voorbeeld. De breuk wordt ontleed in de som van de eenvoudigste breuken van het eerste en derde type met onbepaalde coëfficiënten A , B en C .


Ten derde, brengen we de resulterende som van eenvoudige breuken met onbepaalde coëfficiënten naar een gemeenschappelijke noemer en groeperen we de termen in de teller met dezelfde machten x.



Dat wil zeggen, we komen tot de vergelijking:


Voor x niet nul, reduceert deze gelijkheid tot de gelijkheid van twee polynomen


En twee veeltermen zijn gelijk dan en slechts dan als de coëfficiënten met dezelfde machten hetzelfde zijn.

Vierde, stellen we de coëfficiënten gelijk aan dezelfde machten van x.

In dit geval krijgen we een stelsel van lineaire algebraïsche vergelijkingen met onbepaalde coëfficiënten als onbekenden:


Vijfde, we lossen het resulterende systeem van vergelijkingen op elke manier op (zie indien nodig het artikel) die u wilt, we vinden onbepaalde coëfficiënten.


op de zesde, schrijf het antwoord op.

Wees alsjeblieft niet lui, controleer je antwoord door de resulterende uitbreiding terug te brengen tot een gemeenschappelijke noemer.

Methode van onbepaalde coëfficiënten is een universele methode voor het ontbinden van breuken in eenvoudige.

Het is erg handig om de partiële waardemethode te gebruiken als de noemer een product is van lineaire factoren, dat wil zeggen dat het lijkt op

Laten we een voorbeeld bekijken om de voordelen van deze methode te laten zien.

Voorbeeld.

Een breuk uitvouwen tot de eenvoudigste.

Oplossing.

Aangezien de graad van de veelterm in de teller kleiner is dan de graad van de veelterm in de noemer, hoeven we niet te delen. We gaan over tot de ontleding van de noemer in factoren.

Laten we eerst de x uit de haakjes halen.

We vinden de wortels van een vierkante trinominaal (bijvoorbeeld volgens de stelling van Vieta):

Daarom kan de vierkante trinominaal worden geschreven als

Dat wil zeggen, de noemer zal de vorm aannemen

Met een bepaalde noemer wordt de oorspronkelijke breuk ontleed in de som van drie eenvoudige breuken van het eerste type met onbepaalde coëfficiënten:

We reduceren het resulterende bedrag tot een gemeenschappelijke noemer, maar in de teller openen we de haakjes niet en geven we geen vergelijkbare voor A, B en C (in dit stadium is dit gewoon het verschil met de methode van onzekere coëfficiënten):

Zo kwamen we tot gelijkheid:

En nu, om onbepaalde coëfficiënten te vinden, beginnen we in de resulterende gelijkheid "privéwaarden" te substitueren, waarbij de noemer verdwijnt, dat wil zeggen x=0, x=2 en x=3 voor ons voorbeeld.

Bij x=0 we hebben:

Bij x=2 we hebben:

Bij x=3 we hebben:

Antwoorden:

Zoals u kunt zien, zit het verschil tussen de methode van onzekere coëfficiënten en de methode van gedeeltelijke waarden alleen in de weg om onbekenden te vinden. Deze methoden kunnen worden gecombineerd om berekeningen te vereenvoudigen.

Overweeg een voorbeeld.

Voorbeeld.

Vouw een fractioneel rationele uitdrukking uit in eenvoudige breuken.

Oplossing.

Aangezien de graad van de tellerpolynoom kleiner is dan de graad van de noemerpolynoom en de noemer al in factoren is ontbonden, wordt de oorspronkelijke uitdrukking weergegeven als een som van eenvoudige breuken van de volgende vorm:

We brengen tot een gemeenschappelijke noemer:

Laten we de tellers vergelijken.

Uiteraard zijn de nullen van de noemer de waarden x=1, x=-1 en x=3. We gebruiken de methode van deelwaarden.

Bij x=1 we hebben:

Bij x=-1 we hebben:

Bij x=3 we hebben:

Het blijft om het onbekende te vinden en

Om dit te doen, vervangen we de gevonden waarden in de gelijkheid van tellers:

Na het openen van de haakjes en het reduceren van vergelijkbare termen voor dezelfde machten van x, komen we tot de gelijkheid van twee polynomen:

We stellen de overeenkomstige coëfficiënten gelijk aan dezelfde machten, waardoor een systeem van vergelijkingen wordt samengesteld voor het vinden van de resterende onbekenden en . We krijgen een stelsel van vijf vergelijkingen met twee onbekenden:

Uit de eerste vergelijking vinden we onmiddellijk , uit de tweede vergelijking

Als resultaat krijgen we een uitbreiding in eenvoudige breuken:

Opmerking.

Als we meteen zouden besluiten om de methode van onbepaalde coëfficiënten toe te passen, dan zouden we een stelsel van vijf lineaire algebraïsche vergelijkingen met vijf onbekenden moeten oplossen. Het gebruik van de methode van deelwaarden maakte het gemakkelijk om de waarden van drie van de vijf onbekenden te vinden, wat de verdere oplossing sterk vereenvoudigde.

Groeten aan iedereen, lieve vrienden!

Nou, gefeliciteerd! We hebben veilig het belangrijkste materiaal bereikt in de integratie van rationale breuken - methode van onbepaalde coëfficiënten. Groot en machtig.) Wat is zijn majesteit en macht? En het ligt in zijn veelzijdigheid. Het is logisch om te weten, toch? Ik waarschuw je dat er verschillende lessen over dit onderwerp zullen zijn. Want het onderwerp is erg lang en het materiaal is uiterst belangrijk.)

Ik moet meteen zeggen dat we in de les van vandaag (en ook de volgende) niet zozeer over integratie zullen gaan, maar ... stelsels lineaire vergelijkingen oplossen! Ja Ja! Dus degenen die problemen hebben met systemen, herhaalmatrices, determinanten en de methode van Cramer. En voor die kameraden die moeite hebben met matrices, dring ik er in het slechtste geval op aan om hun geheugen op te frissen ten minste "school"-methoden voor het oplossen van systemen - de substitutiemethode en de term-voor-term optellen / aftrekken-methode.

Om onze kennismaking te beginnen, spoelen we de film even terug. Laten we even teruggaan naar de vorige lessen en al die breuken analyseren die we eerder hebben geïntegreerd. Direct, zonder enige methode van onbepaalde coëfficiënten! Hier zijn ze, deze breuken. Ik heb ze in drie groepen ingedeeld.

Groep 1

In de noemer - lineaire functie op zichzelf of voorzover. Kortom, de noemer is het product identiek haakjes van het formulier (Ha).

Bijvoorbeeld:

(x+4) 1 = (x+4)

(x-10) 2 = (x-10)(x-10)

(2x+5) 3 = (2x+5)(2x+5)(2x+5)

Enzovoort. Laat je trouwens niet voor de gek houden door de haakjes. (4x+5) of (2x+5) 3 met coëfficiënt k binnen. Het is in wezen hetzelfde, haakjes van het formulier (Ha). Want dit is het meest k uit dergelijke haakjes kan altijd worden verwijderd.

Soortgelijk:

Dat is alles.) En het maakt niet uit wat er precies in de teller staat - gewoon dx of een soort polynoom. We hebben de teller altijd uitgebreid met de machten van haakjes (x-a), maakte van een grote fractie een optelsom van kleine, bracht (waar nodig) een beugel onder het differentieel en integreerde.

Groep 2

Wat hebben deze breuken gemeen?

En het gemeenschappelijke is dat in alle noemers is vierkante trinominaalbijl 2 + bx+ c. Maar niet alleen, namelijk in één exemplaar. En het maakt hier niet uit of de discriminant positief of negatief is.

Dergelijke breuken zijn altijd op twee manieren geïntegreerd: ofwel door de teller uit te breiden in machten van de noemer, ofwel door een volledig vierkant in de noemer te nemen en vervolgens de variabele te veranderen. Het hangt allemaal af van de specifieke integrand.

Groep 3

Dit waren de slechtste breuken om te integreren. De noemer is een onontbindbare vierkante trinominaal, en zelfs in de graad n. Maar nogmaals, in één exemplaar. Want behalve de trinominaal zijn er geen andere factoren in de noemer. Dergelijke fracties zijn geïntegreerd over . Ofwel direct, ofwel gereduceerd na het selecteren van het volledige vierkant in de noemer en het veranderen van de variabele.

Helaas is de rijke verscheidenheid aan rationale breuken niet alleen beperkt tot deze drie weloverwogen groepen.

Maar wat als de noemer is? verscheidene haakjes? Bijvoorbeeld iets als:

(x-1)(x+1)(x+2)

Of tegelijkertijd beugel (Ha) en een vierkante trinominaal, zoiets als (x-10)(x 2 -2x+17)? En in andere soortgelijke gevallen? Hier komt het in dergelijke gevallen te hulp. methode van onbepaalde coëfficiënten!

Ik moet meteen zeggen: voorlopig werken we alleen met juist fracties. Die waarin de graad van de teller strikt kleiner is dan de graad van de noemer. Hoe om te gaan met oneigenlijke breuken wordt gedetailleerd beschreven in breuken. Het is noodzakelijk om het hele deel (polynoom) te selecteren. Door de hoek van de teller te delen door de noemer of door de teller uit te breiden - zoals je wilt. En zelfs het voorbeeld is gedemonteerd. En je integreert op de een of andere manier de polynoom. Niet klein al gaan.) Maar we zullen ook voorbeelden voor onechte breuken oplossen!

Laten we elkaar nu leren kennen. In tegenstelling tot de meeste leerboeken over hogere wiskunde, zullen we onze kennismaking niet beginnen met een droge en zware theorie over de fundamentele stelling van de algebra, de stelling van Bezout, over de uitbreiding van een rationale breuk tot de som van de eenvoudigste (later meer over deze breuken) en andere verveling, maar we zullen beginnen met een eenvoudig voorbeeld.

We moeten bijvoorbeeld de volgende onbepaalde integraal vinden:

Kijk eerst naar de integrand. De noemer is het product van drie haakjes:

(x-1)(x+3)(x+5)

En alle haakjes verscheidene. Daarom werkt onze oude technologie met de uitbreiding van de teller in machten van de noemer deze keer niet: welk haakje moet in de teller worden gemarkeerd? (x-1)? (x+3)? Het is niet duidelijk ... De selectie van het volledige vierkant in de noemer staat ook niet in de kassa: er is een polynoom derde graad (als je alle haakjes vermenigvuldigt). Wat moeten we doen?

Als we naar onze fractie kijken, ontstaat er een volkomen natuurlijk verlangen ... Ronduit onweerstaanbaar! Van onze grote fractie, die ongemakkelijk integreren, op de een of andere manier drie kleine maken. Tenminste zo:

Waarom moet dit type worden gezocht? En dat allemaal omdat in deze vorm onze eerste breuk al is comfortabel integreren! Voeg de noemer van elke kleine breuk toe en vooruit.)

Is het zelfs mogelijk om zo'n ontbinding te krijgen? Het nieuws is goed! De overeenkomstige stelling van de wiskunde zegt − ja dat kan! Een dergelijke ontbinding bestaat en is uniek.

Maar er is één probleem: de coëfficiënten MAAR, BIJ en VAN wij doei wij weten het niet. En nu zal onze hoofdtaak zijn: definieer ze. Ontdek waar onze letters gelijk aan zijn MAAR, BIJ en VAN. Vandaar de naam, de methode onzeker coëfficiënten. Laten we beginnen aan onze fantastische reis!

We hebben dus gelijkheid, van waaruit we beginnen te dansen:

Laten we alle drie de breuken naar rechts brengen tot een gemeenschappelijke noemer en optellen:

Nu kunt u de noemers veilig weggooien (omdat ze hetzelfde zijn) en de tellers eenvoudig gelijkstellen. Alles is zoals gewoonlijk

volgende stap open alle haakjes(coëfficiënten MAAR, BIJ en VAN doei beter buiten laten)

En nu (belangrijk!) bouwen we onze hele structuur aan de rechterkant volgens anciënniteit: eerst verzamelen we alle leden met x 2 op een stapel, dan - alleen met x en ten slotte verzamelen we gratis leden. In feite geven we gewoon soortgelijke en groeperen we de termen volgens de machten van x.

Soortgelijk:

En nu begrijpen we het resultaat. Aan de linkerkant is onze oorspronkelijke polynoom. Tweedegraads. De teller van onze integrand. ook goed een veelterm van de tweede graad. Neus onbekende coëfficiënten. Deze gelijkheid zou geldig moeten zijn voor: alle geldige x-waarden. De breuken links en rechts waren gelijk (volgens onze conditie)! Dit betekent dat hun teller en (d.w.z. onze polynomen) zijn ook hetzelfde. Dus de coëfficiënten met dezelfde machten van x deze polynomen moeten hebben gelijk zijn!

We beginnen met de hoogste graad. Vanaf het plein. Laten we eens kijken wat voor soort coëfficiënten we hebben bij X 2 links en rechts. Aan de rechterkant hebben we de som van de coëfficiënten A+B+C, en aan de linkerkant - een deuce. We hebben dus de eerste vergelijking.

Wij schrijven op:

A+B+C = 2

Er bestaat. De eerste vergelijking is gemaakt.)

Dan gaan we langs een afnemend traject - we kijken naar termen met x in de eerste graad. Rechts bij x hebben we 8A+4B+2C. Mooi zo. En wat hebben we met x aan de linkerkant? Hm ... Links staat helemaal geen term met X! Er zijn slechts 2x 2 - 3. Hoe te zijn? Erg makkelijk! Dit betekent dat de coëfficiënt bij x aan de linkerkant we hebben gelijk aan nul! We kunnen onze linkerkant als volgt schrijven:

En wat? We hebben alle recht.) Vanaf hier ziet de tweede vergelijking er als volgt uit:

8 EEN+4 B+2 C = 0

Nou, praktisch, dat is alles. Het blijft om de gratis voorwaarden gelijk te stellen:

15A-5B-3C = -3

Kortom, de vereffening van coëfficiënten met dezelfde machten van x vindt plaats volgens het volgende schema:

Aan alle drie onze gelijkheden moet worden voldaan tegelijkertijd. Daarom stellen we een systeem samen uit onze geschreven vergelijkingen:

Het systeem is niet het moeilijkste voor een ijverige student - drie vergelijkingen en drie onbekenden. Beslis zoals je wilt. Je kunt de Cramer-methode gebruiken via matrices met determinanten, je kunt de Gauss-methode gebruiken, je kunt zelfs de gebruikelijke schoolsubstitutie gebruiken.

Om te beginnen zal ik dit systeem oplossen op de manier waarop cultuurstudenten dergelijke systemen gewoonlijk oplossen. Namelijk de Cramer-methode.

We beginnen de oplossing met het samenstellen van de systeemmatrix. Ik herinner je eraan dat deze matrix slechts een tabel is die bestaat uit coëfficiënten voor onbekenden.

Daar is ze:

Allereerst berekenen we systeemmatrix determinant. Of, in het kort, systeem identificatie. Het wordt meestal aangeduid met de Griekse letter ∆ ( "delta"):

Geweldig, systeemdeterminant is niet nul (-48≠0) . Vanuit de theorie van stelsels van lineaire vergelijkingen betekent dit feit dat ons systeem consistent is en heeft een unieke oplossing.

De volgende stap is om te berekenen determinanten van onbekenden ∆A, ∆B, ∆C. Ik herinner u eraan dat elk van deze drie determinanten wordt verkregen uit de hoofddeterminant van het systeem door de kolommen met coëfficiënten voor de bijbehorende onbekenden te vervangen door een kolom met vrije termen.

Dus we bedenken de determinanten en beschouwen:

De techniek voor het berekenen van derde-orde determinanten zal ik hier niet in detail uitleggen. En vraag het niet. Dit is al een behoorlijke afwijking van het onderwerp zal zijn.) Wie in het onderwerp zit, begrijpt waar het over gaat. En misschien heb je al geraden hoe ik deze drie determinanten precies heb berekend.)

Dat is alles en klaar.)

Dit is hoe beschaafde studenten meestal over systemen beslissen. Maar... Niet alle studenten zijn bevriend met determinanten. Helaas. Voor sommigen blijven deze eenvoudige concepten van hogere wiskunde voor altijd een Chinese letter en een mysterieus monster in de mist...

Nou, vooral voor zulke onbeschaafde studenten, stel ik een meer bekende manier voor om op te lossen... methode van opeenvolgende eliminatie van onbekenden. In feite is dit een geavanceerde "school"-substitutiemethode. Alleen zullen er meer stappen zijn.) Maar de essentie is hetzelfde. Allereerst zal ik de variabele uitsluiten VAN. Hiervoor zal ik uitspreken VAN uit de eerste vergelijking en substitueer in de tweede en derde:

We vereenvoudigen, geven vergelijkbare en krijgen een nieuw systeem, al met twee onbekend:

In dit nieuwe systeem is het nu ook mogelijk om een ​​van de variabelen uit te drukken in termen van de andere. Maar de meest oplettende studenten zullen waarschijnlijk opmerken dat de coëfficiënten voor de variabele B – tegenovergestelde. Twee en min twee. Daarom is het erg handig om beide vergelijkingen bij elkaar op te tellen om de variabele te elimineren BIJ en laat alleen de letter MAAR.

We voegen de linker- en rechterdelen toe, mentaal verminderen 2B en -2B en los de vergelijking alleen op met betrekking tot MAAR:

Er bestaat. Eerste gevonden coëfficiënt: EEN = -1/24.

Bepaal de tweede coëfficiënt BIJ. Bijvoorbeeld uit de bovenste vergelijking:

Vanaf hier krijgen we:

Uitstekend. De tweede coëfficiënt wordt ook gevonden: B = -15/8 . Er is nog een brief over VAN. Om het te bepalen, gebruiken we de bovenste vergelijking, waar we het hebben uitgedrukt door MAAR en BIJ:

Dus:

Oké, het is nu allemaal voorbij. Onbekende kansen gevonden! Het maakt niet uit of het via Cramer is of via substitutie. Het belangrijkste, Rechtsaf gevonden.)

Dus onze uitbreiding van een grote fractie naar een som van kleine zal er als volgt uitzien:

En laat u niet verwarren door de verkregen fractionele coëfficiënten: in deze procedure (de methode van onbepaalde coëfficiënten) komt dit het meest voor. :)

En nu is het zeer wenselijk om te controleren of we onze coëfficiënten correct hebben gevonden EEN, B en VAN. Dus nu nemen we een concept en herinneren we ons de achtste klas - we tellen alle drie onze kleine breuken weer op.

Als we de oorspronkelijke grote fractie krijgen, is alles in orde. Nee, het betekent me verslaan en een fout zoeken.

De gemeenschappelijke noemer is uiteraard 24(x-1)(x+3)(x+5).

Gaan:

Ja!!! Pak de originele breuk. Wat moest er gecontroleerd worden. Alles is goed. Dus sla me alsjeblieft niet.)

En nu keren we terug naar onze oorspronkelijke integraal. Het is er in die tijd niet makkelijker op geworden, ja. Maar nu onze fractie is ontleed in een som van kleine, is het integreren ervan een waar genoegen geworden!

Kijk zelf maar! We voegen onze uitbreiding in de oorspronkelijke integraal in.

We krijgen:

We gebruiken de eigenschappen van lineariteit en breken onze grote integraal op in een som van kleine, we halen alle constanten buiten de tekens van de integraal weg.

We krijgen:

En de resulterende drie kleine integralen zijn al gemakkelijk te nemen .

We zetten de integratie voort:

Dat is alles.) En vraag me in deze les niet waar de logaritmen in het antwoord vandaan kwamen! Wie herinnert het zich, hij is in het onderwerp en zal alles begrijpen. En wie herinnert het zich niet - we lopen langs de links. Ik doe ze niet zomaar aan.

Definitieve antwoord:

Hier is zo'n mooie drie-eenheid: drie logaritmen - een lafaard, een ervaren en een domkop. :) En probeer, raad zo'n sluw antwoord meteen! Alleen de methode van onbepaalde coëfficiënten helpt, ja.) Eigenlijk doen we voor dit doel onderzoek. Wat, hoe en waar.

Als trainingsoefening stel ik voor dat je de methode oefent en de volgende breuk integreert:

Oefen, vind de integraal, neem het niet als werk! Je zou een antwoord als dit moeten krijgen:

De methode van onbepaalde coëfficiënten is een krachtig iets. Het bespaart zelfs in de meest hopeloze situatie, als je de breuk toch omrekent, enzovoort. En hier kunnen enkele oplettende en geïnteresseerde lezers een aantal vragen hebben:

- Wat als de veelterm in de noemer helemaal niet wordt meegerekend?

- HOE moet men zoeken naar de uitbreiding van een grote rationale breuk tot een som van kleine? In elke vorm? Waarom in dit en niet dat?

- Wat als er meerdere factoren zijn in de uitbreiding van de noemer? Of haakjes in machten zoals (x-1) 2 ? In welke vorm moet je naar ontbinding zoeken?

- Wat als, naast eenvoudige haakjes van de vorm (x-a), de noemer tegelijkertijd een onontbindbare vierkante trinominaal bevat? Laten we zeggen x 2 +4x+5 ? In welke vorm moet je naar ontbinding zoeken?

Het is tijd om goed te begrijpen waar de benen vandaan komen. in de volgende les.)

Integratie van een fractioneel-rationele functie.
Methode van onbepaalde coëfficiënten

We blijven werken aan het integreren van breuken. We hebben de integralen van sommige soorten breuken al in de les behandeld, en deze les kan in zekere zin als een vervolg worden beschouwd. Om het materiaal met succes te begrijpen, zijn elementaire integratievaardigheden vereist, dus als je net bent begonnen met het bestuderen van integralen, dat wil zeggen, je bent een theepot, dan moet je beginnen met het artikel Onbepaalde integraal. Voorbeelden van oplossingen.

Vreemd genoeg zullen we ons nu niet zozeer bezighouden met het vinden van integralen als wel met het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen. In deze verbinding sterk Ik raad aan om de les te bezoeken. Je moet namelijk goed thuis zijn in de vervangingsmethoden (de "school"-methode en de methode van term-voor-term optellen (aftrekken) van systeemvergelijkingen).

Wat is een fractionele rationale functie? In eenvoudige bewoordingen is een fractioneel-rationele functie een breuk in de teller en noemer waarvan polynomen of producten van polynomen zijn. Tegelijkertijd zijn breuken geavanceerder dan die in het artikel worden besproken. Integratie van sommige breuken.

Integratie van de juiste fractioneel-rationele functie

Meteen een voorbeeld en een typisch algoritme voor het oplossen van de integraal van een fractionele rationale functie.

voorbeeld 1

Stap 1. Het eerste dat we ALTIJD doen bij het oplossen van een integraal van een rationaal-fractionele functie, is de volgende vraag stellen: klopt de breuk? Deze stap wordt mondeling gedaan en nu zal ik uitleggen hoe:

Kijk eerst naar de teller en kom erachter hogere graad polynoom:

De hoogste macht van de teller is twee.

Kijk nu naar de noemer en kom erachter hogere graad noemer. De voor de hand liggende manier is om de haakjes te openen en gelijke termen te gebruiken, maar je kunt het gemakkelijker doen, in elk haakjes vinden de hoogste graad

en mentaal vermenigvuldigen: - dus de hoogste graad van de noemer is gelijk aan drie. Het is vrij duidelijk dat als we de haakjes echt openen, we geen graad hoger dan drie zullen krijgen.

Conclusie: Hoogste macht van de teller STRIKT kleiner is dan de hoogste macht van de noemer, dan is de breuk juist.

Als in dit voorbeeld de teller een polynoom 3, 4, 5, enz. graad, dan zou de breuk zijn mis.

Nu zullen we alleen de juiste fractioneel-rationele functies beschouwen. Het geval dat de graad van de teller groter is dan of gelijk is aan de graad van de noemer, zullen we aan het einde van de les analyseren.

Stap 2 Laten we de noemer ontbinden. Laten we eens kijken naar onze noemer:

Over het algemeen is hier al een product van factoren, maar toch vragen we ons af: is het mogelijk om nog iets uit te breiden? Het voorwerp van marteling zal natuurlijk de vierkante trinominaal zijn. We lossen de kwadratische vergelijking op:

De discriminant is groter dan nul, wat betekent dat de trinominaal inderdaad in factoren is ontbonden:

Algemene regel: ALLES dat in de noemer KAN worden ontbonden - ontbinden

Laten we beginnen met het nemen van een beslissing:

Stap 3 Met behulp van de methode van onbepaalde coëfficiënten breiden we de integrand uit tot een som van eenvoudige (elementaire) breuken. Nu zal het duidelijker zijn.

Laten we eens kijken naar onze integrandfunctie:

En weet je, op de een of andere manier glipt er een intuïtieve gedachte door dat het leuk zou zijn om onze grote fractie in meerdere kleine te veranderen. Bijvoorbeeld als volgt:

De vraag rijst, is het zelfs mogelijk om dit te doen? Laten we opgelucht ademhalen, de corresponderende stelling van wiskundige analyse stelt - HET IS MOGELIJK. Zo'n decompositie bestaat en is uniek.

Er is maar één addertje onder het gras, de coëfficiënten we doei we weten het niet, vandaar de naam - de methode van onbepaalde coëfficiënten.

Je raadt het al, de daaropvolgende gebaren dus, niet kakelen! zal erop gericht zijn ze gewoon te LEREN - om erachter te komen waar ze gelijk aan zijn.

Pas op, ik leg het een keer uitgebreid uit!

Dus laten we beginnen met dansen vanaf:

Aan de linkerkant brengen we de uitdrukking naar een gemeenschappelijke noemer:

Nu zijn we veilig van de noemers af (omdat ze hetzelfde zijn):

Aan de linkerkant openen we de haakjes, terwijl we de onbekende coëfficiënten nog niet aanraken:

Tegelijkertijd herhalen we de schoolregel voor het vermenigvuldigen van polynomen. Toen ik leraar was, leerde ik deze regel met een strak gezicht uit te spreken: Om een ​​polynoom met een polynoom te vermenigvuldigen, moet je elke term van de ene polynoom vermenigvuldigen met elke term van de andere polynoom.

Vanuit het oogpunt van een duidelijke uitleg is het beter om de coëfficiënten tussen haakjes te zetten (hoewel ik dit persoonlijk nooit doe om tijd te besparen):

We stellen een stelsel lineaire vergelijkingen samen.
Eerst zoeken we naar hogere graden:

En we schrijven de corresponderende coëfficiënten in de eerste vergelijking van het systeem:

Onthoud de volgende nuance:. Wat zou er gebeuren als de rechterkant helemaal niet zou bestaan? Zeg, zou het gewoon pronken zonder een vierkant? In dit geval zou het in de vergelijking van het systeem nodig zijn om nul aan de rechterkant te zetten: . Waarom nul? En omdat je aan de rechterkant dit kwadraat altijd nul kunt toeschrijven: als er geen variabelen of (en) een vrije term aan de rechterkant zijn, dan plaatsen we nullen aan de rechterkant van de overeenkomstige vergelijkingen van het systeem.

We schrijven de corresponderende coëfficiënten in de tweede vergelijking van het systeem:

En tot slot mineraalwater, we selecteren gratis leden.

Eh, ... ik maakte een grapje. Grappen terzijde - wiskunde is een serieuze wetenschap. In onze instituutsgroep lachte niemand toen de assistent-professor zei dat ze de leden langs een getallenlijn zou verspreiden en de grootste van hen zou kiezen. Laten we serieus worden. Hoewel... wie het einde van deze les meemaakt, zal nog steeds stilletjes glimlachen.

Systeem gereed:

We lossen het systeem op:

(1) Uit de eerste vergelijking drukken we deze uit en substitueren deze in de 2e en 3e vergelijking van het systeem. In feite was het mogelijk om (of een andere letter) uit een andere vergelijking uit te drukken, maar in dit geval is het voordelig om het uit te drukken uit de 1e vergelijking, omdat er de kleinste kans.

(2) We presenteren vergelijkbare termen in de 2e en 3e vergelijking.

(3) We voegen de 2e en 3e vergelijking term voor term toe, terwijl we de gelijkheid verkrijgen, waaruit volgt dat

(4) We substitueren in de tweede (of derde) vergelijking, waaruit we vinden dat

(5) We vervangen en in de eerste vergelijking, krijgen .

Als je problemen hebt met de methoden om het systeem op te lossen, werk ze dan in de klas uit. Hoe een stelsel lineaire vergelijkingen op te lossen?

Na het oplossen van het systeem is het altijd handig om een ​​controle uit te voeren - vervang de gevonden waarden in elke vergelijking van het systeem, als resultaat zou alles moeten "convergeren".

Bijna aangekomen. De coëfficiënten worden gevonden, terwijl:

Een schone taak zou er ongeveer zo uit moeten zien:

Zoals je kunt zien, was de grootste moeilijkheid van de taak het opstellen (correct!) en oplossen (correct!) van een stelsel lineaire vergelijkingen. En in de laatste fase is alles niet zo moeilijk: we gebruiken de eigenschappen van de lineariteit van de onbepaalde integraal en integreren. Ik vestig uw aandacht op het feit dat we onder elk van de drie integralen een "vrije" complexe functie hebben, ik sprak over de kenmerken van de integratie ervan in de les Variabele veranderingsmethode in onbepaalde integraal.

Controleer: Onderscheid het antwoord:

De oorspronkelijke integrand is verkregen, wat betekent dat de integraal correct is gevonden.
Tijdens de verificatie was het nodig om de uitdrukking naar een gemeenschappelijke noemer te brengen, en dit is niet toevallig. De methode van onbepaalde coëfficiënten en het brengen van de uitdrukking tot een gemeenschappelijke noemer zijn wederzijds inverse acties.

Voorbeeld 2

Zoek de onbepaalde integraal.

Laten we teruggaan naar de breuk uit het eerste voorbeeld: . Het is gemakkelijk in te zien dat in de noemer alle factoren VERSCHILLEND zijn. De vraag rijst wat te doen als bijvoorbeeld zo'n breuk wordt gegeven: ? Hier hebben we graden in de noemer, of, in wiskundige termen, meerdere factoren. Bovendien is er een indecomposable vierkante trinominaal (het is gemakkelijk te verifiëren dat de discriminant van de vergelijking negatief is, dus de trinominaal kan op geen enkele manier worden meegerekend). Wat moeten we doen? De uitbreiding naar een som van elementaire breuken ziet er als volgt uit: met onbekende coëfficiënten bovenaan of op een andere manier?

Voorbeeld 3

Dien een functie in

Stap 1. Controleren of we een juiste breuk hebben
Hoogste macht van de teller: 2
Hoogste noemer: 8
, dus de breuk is correct.

Stap 2 Kan er iets in de noemer worden meegenomen? Uiteraard niet, alles is al uitgestippeld. De vierkante trinominaal breidt zich om bovengenoemde redenen niet uit tot een product. Mooi zo. Minder werk.

Stap 3 Laten we een fractioneel-rationele functie voorstellen als een som van elementaire breuken.
In dit geval heeft de ontleding de volgende vorm:

Laten we eens kijken naar onze noemer:
Bij het ontleden van een fractioneel-rationele functie in een som van elementaire breuken, kunnen drie fundamentele punten worden onderscheiden:

1) Als de noemer een "eenzame" factor in de eerste graad bevat (in ons geval), dan plaatsen we een onbepaalde coëfficiënt bovenaan (in ons geval). Voorbeelden nr. 1,2 bestonden alleen uit dergelijke "eenzame" factoren.

2) Als de noemer bevat meerdere vermenigvuldiger, dan moet je als volgt ontbinden:
- dat wil zeggen, sorteer achtereenvolgens alle graden van "x" van de eerste tot de n-de graad. In ons voorbeeld zijn er twee meervoudige factoren: en , kijk nog eens naar de ontleding die ik heb gegeven en zorg ervoor dat ze precies volgens deze regel worden ontbonden.

3) Als de noemer een onontbindbare polynoom van de tweede graad bevat (in ons geval ), dan moet je bij het uitbreiden in de teller een lineaire functie schrijven met onbepaalde coëfficiënten (in ons geval met onbepaalde coëfficiënten en ).

In feite is er ook een 4e geval, maar ik zal erover zwijgen, omdat het in de praktijk uiterst zeldzaam is.

Voorbeeld 4

Dien een functie in als een som van elementaire breuken met onbekende coëfficiënten.

Dit is een doe-het-zelf voorbeeld. Volledige oplossing en antwoord aan het einde van de les.
Volg strikt het algoritme!

Als je de principes hebt bedacht waarmee je een fractioneel-rationele functie in een som moet ontleden, dan kun je bijna elke integraal van het betreffende type kraken.

Voorbeeld 5

Zoek de onbepaalde integraal.

Stap 1. De breuk is duidelijk correct:

Stap 2 Kan er iets in de noemer worden meegenomen? Kan. Hier is de som van kubussen . Factoring van de noemer met behulp van de verkorte vermenigvuldigingsformule

Stap 3 Met behulp van de methode van onbepaalde coëfficiënten breiden we de integrand uit tot een som van elementaire breuken:

Merk op dat de polynoom onontbindbaar is (controleer of de discriminant negatief is), dus bovenaan plaatsen we een lineaire functie met onbekende coëfficiënten, en niet slechts een enkele letter.

We brengen de breuk naar een gemeenschappelijke noemer:

Laten we het systeem maken en oplossen:

(1) Uit de eerste vergelijking drukken en substitueren we in de tweede vergelijking van het systeem (dit is de meest rationele manier).

(2) We presenteren vergelijkbare termen in de tweede vergelijking.

(3) We tellen de tweede en derde vergelijking van het systeem term voor term op.

Alle verdere berekeningen zijn in principe mondeling, aangezien het systeem eenvoudig is.

(1) We noteren de som van de breuken volgens de gevonden coëfficiënten .

(2) We gebruiken de lineariteitseigenschappen van de onbepaalde integraal. Wat gebeurde er in de tweede integraal? Je vindt deze methode in de laatste paragraaf van de les. Integratie van sommige breuken.

(3) Wederom gebruiken we de eigenschappen van lineariteit. In de derde integraal beginnen we een volledig vierkant te selecteren (de voorlaatste paragraaf van de les Integratie van sommige breuken).

(4) We nemen de tweede integraal, in de derde selecteren we het volledige vierkant.

(5) We nemen de derde integraal. Klaar.

MINISTERIE VAN WETENSCHAP EN ONDERWIJS VAN DE REPUBLIEK BASHKORTO STAN

GAOU SPO Bashkir College of Architecture and Civil Engineering

Khaliullin Askhat Adelzyanovich,

leraar wiskunde Bashkir

College voor Architectuur en Civiele Techniek

UFA

2014

Inleiding ____________________________________________________3

Hoofdstuk L. Theoretische aspecten van het gebruik van de methode van onbepaalde coëfficiënten ______________________________________________4

Hoofdstuk II. Zoek naar oplossingen voor problemen met veeltermen met de methode van onbepaalde coëfficiënten _______________________________7

2.1 Factoring van een polynoom _____________________ 7

2.2. Taken met parameters__________________________________ 10

2.3. Vergelijkingen oplossen ____________________________________14

2.4. Functionele vergelijkingen ______________________________19

Conclusie_________________________________________________23

Lijst met referenties ______________________________24

Sollicitatie ________________________________________________25

Invoering.

Dit werk is gewijd aan de theoretische en praktische aspecten van de introductie van de methode van onbepaalde coëfficiënten in de schoolwiskundecursus. De relevantie van dit onderwerp wordt bepaald door de volgende omstandigheden.

Niemand zal ruzie maken met het feit dat wiskunde als wetenschap niet op één plek staat, het zich voortdurend ontwikkelt, nieuwe taken met een verhoogde complexiteit verschijnen, wat vaak bepaalde problemen veroorzaakt, omdat deze taken meestal worden geassocieerd met onderzoek. In de afgelopen jaren zijn dergelijke problemen voorgesteld op school, district en republikeinse wiskundige Olympiades, ze zijn ook beschikbaar in de USE-versies. Daarom was er een speciale methode nodig die het mogelijk zou maken om ten minste enkele ervan het snelst, efficiëntst en betaalbaars op te lossen. In dit werk wordt de inhoud van de methode van onbepaalde coëfficiënten op een toegankelijke manier gepresenteerd, die veel wordt gebruikt in een groot aantal verschillende gebieden van de wiskunde, van vragen die zijn opgenomen in de loop van een school voor algemeen onderwijs tot de meest geavanceerde delen ervan. Vooral toepassingen van de methode van onbepaalde coëfficiënten bij het oplossen van problemen met parameters, fractionele rationale en functionele vergelijkingen zijn interessant en effectief; ze kunnen gemakkelijk iedereen interesseren die geïnteresseerd is in wiskunde. Het belangrijkste doel van het voorgestelde werk en de selectie van problemen is om voldoende mogelijkheden te bieden voor het aanscherpen en ontwikkelen van het vermogen om korte en niet-standaard oplossingen te vinden.

Dit werk bestaat uit twee hoofdstukken. De eerste behandelt de theoretische aspecten van het gebruik van

methode van onzekere coëfficiënten, in de tweede - praktische en methodologische aspecten van dergelijk gebruik.

De bijlage bij het werk bevat de voorwaarden van specifieke taken voor zelfstandige oplossing.

Hoofdstuk l . Theoretische aspecten van gebruik methode van onzekere coëfficiënten

"De mens ... is geboren om een ​​meester te zijn,

meester, koning van de natuur, maar wijsheid,

waarmee hij zou moeten regeren, is hem niet gegeven

vanaf de geboorte: het wordt verworven door te leren"

NI Lobatsjevski

Er zijn verschillende manieren en methoden om problemen op te lossen, maar een van de handigste, meest effectieve, originele, elegante en tegelijkertijd zeer eenvoudige en begrijpelijke voor iedereen is de methode van onbepaalde coëfficiënten. De methode van onbepaalde coëfficiënten is een methode die in de wiskunde wordt gebruikt om de coëfficiënten van uitdrukkingen te vinden waarvan de vorm van tevoren bekend is.

Alvorens in te gaan op de toepassing van de methode van onbepaalde coëfficiënten voor het oplossen van verschillende soorten problemen, presenteren we een aantal theoretische informatie.

Laat ze gegeven worden

EEN n (x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + ··· + a n-1 x + a n

B m (x ) = b 0 x m + b 1 x m -1 + b 2 x m -2 + ··· + b m-1 x + b m ,

veeltermen met betrekking tot X met enige verhouding.

Stelling. Twee polynomen afhankelijk van één en van hetzelfde argument zijn identiek gelijk als en slechts alsn = m en hun respectieve coëfficiënten zijna 0 = b 0 , a 1 = b 1 , a 2 = b 2 ,··· , a n -1 = b m -1 , a n = b m en t. d.

Het is duidelijk dat gelijke veeltermen gelden voor alle waarden X dezelfde waarden. Omgekeerd, als de waarden van twee polynomen gelijk zijn voor alle waarden X, dan de polynomen zijn gelijk, dat wil zeggen, hun coëfficiënten bij dezelfde machtenX wedstrijd.

Daarom is het idee om de methode van onbepaalde coëfficiënten toe te passen op het oplossen van problemen als volgt.

Laat ons weten dat als resultaat van sommige transformaties een uitdrukking van een bepaalde vorm wordt verkregen en dat alleen de coëfficiënten in deze uitdrukking onbekend zijn. Vervolgens worden deze coëfficiënten met letters aangegeven en als onbekend beschouwd. Vervolgens wordt een stelsel vergelijkingen samengesteld om deze onbekenden te bepalen.

In het geval van polynomen worden deze vergelijkingen bijvoorbeeld gevormd uit de voorwaarde van gelijkheid van de coëfficiënten met dezelfde machten X voor twee gelijke veeltermen.

We zullen het bovenstaande laten zien met de volgende concrete voorbeelden, en we zullen beginnen met de eenvoudigste.

Dus, bijvoorbeeld, op basis van theoretische overwegingen, de breuk

kan worden weergegeven als een som

, waar a , b en c - te bepalen coëfficiënten. Om ze te vinden, stellen we de tweede uitdrukking gelijk aan de eerste:

=

en het wegwerken van de noemer en het verzamelen aan de linkerkant van de termen met dezelfde bevoegdheden X, we krijgen:

(a + b + c )X 2 + ( b - c )x - een = 2X 2 – 5 X– 1

Aangezien de laatste gelijkheid voor alle waarden moet gelden X, dan de coëfficiënten met dezelfde machtenX rechts en links moeten hetzelfde zijn. Er worden dus drie vergelijkingen verkregen voor het bepalen van de drie onbekende coëfficiënten:

a+b+c = 2

b - c = - 5

a= 1 , vanwaar a = 1 , b = - 2 , c = 3

Vervolgens,

=
,

de geldigheid van deze gelijkheid is gemakkelijk direct te verifiëren.

Laten we ons ook een breuk voorstellen

net zo a + b
+ c
+ d
, waar a , b , c en d- onbekende rationale coëfficiënten. Vergelijk de tweede uitdrukking met de eerste:

a + b
+ c
+ d
=
of, door de noemer te verwijderen, waar mogelijk rationele factoren onder de tekens van de wortels weg te halen en soortgelijke termen aan de linkerkant te plaatsen, krijgen we:

(a- 2 b + 3 c ) + (- a+b +3 d )
+ (a+c - 2 d )
+

+ (b-c + d )
= 1 +
-
.

Maar zo'n gelijkheid is alleen mogelijk in het geval dat de rationale termen van beide delen en de coëfficiënten op dezelfde radicalen gelijk zijn. Er worden dus vier vergelijkingen verkregen voor het vinden van onbekende coëfficiënten a , b , c en d :

a- 2b + 3c = 1

- a+b +3 d = 1

a+c - 2 d = - 1

b - c + d= 0 , vanwaar a = 0 ; b = - ; c = 0 ; d= , dat is
= -
+
.

Hoofdstuk II. Zoek naar oplossingen voor problemen met veeltermen methode van onzekere coëfficiënten.

“Niets draagt ​​bij aan de assimilatie van het onderwerp

hoe je met hem moet omgaan in verschillende situaties"

Academicus B.V. Gnedenko

2. 1. Ontbinding van een polynoom in factoren.

Methoden voor het ontbinden van polynomen:

1) de gemeenschappelijke factor tussen haakjes weghalen 2) methode van groeperen; 3) toepassing van basisvermenigvuldigingsformules; 4) introductie van hulptermen 5) voorlopige transformatie van een gegeven polynoom met behulp van verschillende formules; 6) expansie door de wortels van een gegeven polynoom te vinden; 7) parameterintroductiemethode; 8) methode van onzekere coëfficiënten.

Probleem 1. Ontleed de polynoom in reële factoren X 4 + X 2 + 1 .

Oplossing. Er zijn geen wortels tussen de delers van de vrije term van deze veelterm. We kunnen de wortels van een polynoom niet op andere elementaire manieren vinden. Daarom is het niet mogelijk om de vereiste expansie uit te voeren door eerst de wortels van deze polynoom te vinden. Het blijft zoeken naar een oplossing voor het probleem, hetzij door hulptermen in te voeren, hetzij door de methode van onbepaalde coëfficiënten. Het is duidelijk dat X 4 + X 2 + 1 = X 4 + X 3 + X 2 - X 3 - X 2 - X + X 2 + X + 1 =

= X 2 (X 2 + X + 1) - X (X 2 + X + 1) + X 2 + X + 1 =

= (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

De resulterende vierkante trinomialen hebben geen wortels en kunnen daarom niet worden ontleed in echte lineaire factoren.

De beschreven methode is technisch eenvoudig, maar moeilijk vanwege zijn kunstmatigheid. Het is inderdaad erg moeilijk om de benodigde hulptermen te bedenken. Slechts een gissing hielp ons om deze ontbinding te vinden. Maar

Er zijn betrouwbaardere manieren om dergelijke problemen op te lossen.

Men zou als volgt te werk kunnen gaan: stel dat de gegeven polynoom uitbreidt tot een product

(X 2 + a X + b )(X 2 + c X + d )

twee vierkante trinomialen met gehele coëfficiënten.

Zo hebben we dat

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + a X + b )(X 2 + c X + d )

Het blijft om de coëfficiënten te bepalena , b , c en d .

Door de veeltermen aan de rechterkant van de laatste gelijkheid te vermenigvuldigen, krijgen we:X 4 + X 2 + 1 = X 4 +

+ (a + c ) X 3 + (b + a c + d ) X 2 + (advertentie + bc ) x + bd .

Maar aangezien we de rechterkant van deze gelijkheid nodig hebben om dezelfde polynoom te worden als aan de linkerkant, moeten we aan de volgende voorwaarden voldoen:

a + c = 0

b + a c + d = 1

advertentie + bc = 0

bd = 1 .

Het resultaat is een stelsel van vier vergelijkingen met vier onbekendena , b , c en d . Het is gemakkelijk om coëfficiënten van dit systeem te vindena = 1 , b = 1 , c = -1 en d = 1.

Nu is het probleem volledig opgelost. Wij hebben:

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

Opgave 2. Ontbind de polynoom in reële factoren X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 .

Oplossing. We stellen deze polynoom voor in de vorm

X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X + a )(X 2 + bx + c) , waar a , b en Met - nog niet vastgestelde coëfficiënten. Aangezien twee veeltermen identiek gelijk zijn dan en slechts dan als de coëfficiënten met dezelfde machtenX gelijk zijn, dan stellen we respectievelijk de coëfficiënten gelijk aan atX 2 , X en vrije termen, krijgen we een stelsel van drie vergelijkingen met drie onbekenden:

a+b= - 6

ab+c = 14

ac = - 15 .

De oplossing van dit systeem zal aanzienlijk worden vereenvoudigd als we er rekening mee houden dat het getal 3 (de deler van de vrije term) de wortel van deze vergelijking is, en daaroma = - 3 ,

b = - 3 en Met = 5 .

Dan X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X – 3)(X 2 – 3 x + 5).

De toegepaste methode van onbepaalde coëfficiënten bevat, in vergelijking met de bovenstaande methode om hulptermen in te voeren, niets kunstmatigs, maar vereist anderzijds de toepassing van veel theoretische bepalingen en gaat gepaard met vrij omvangrijke berekeningen. Voor veeltermen van hogere graad leidt deze methode van onbepaalde coëfficiënten tot omslachtige stelsels van vergelijkingen.

2.2 Taken en met parameters.

In de USE-varianten zijn de afgelopen jaren taken met parameters voorgesteld. Hun oplossing veroorzaakt vaak bepaalde moeilijkheden. Bij het oplossen van problemen met parameters, samen met andere methoden, is het mogelijk om de methode van onbepaalde coëfficiënten effectief toe te passen. Het is deze methode die het veel gemakkelijker maakt om ze op te lossen en snel een antwoord te krijgen.

Taak 3. Bepaal bij welke waarden van de parameter a vergelijking 2 X 3 – 3 X 2 – 36 X + a – 3 = 0 heeft precies twee wortels.

Oplossing. 1 manier. Met behulp van een afgeleide.

We stellen deze vergelijking voor in de vorm van twee functies

2x 3 – 3 X 2 – 36 X – 3 = – a .

f (x) = 2x 3 - 3 X 2 – 36 X– 3 en φ( X ) = – a .

De functie verkennenf (x) = 2x 3 - 3 X 2 – 36 X - 3 met behulp van een afgeleide en construeer zijn grafiek schematisch (Fig. 1.).

f( – x )f (x ) , f (– x ) – f (x ). De functie is niet even of oneven.

3. Zoek de kritieke punten van de functie, de intervallen van toename en afname, extrema. f / (x ) = 6 x 2 – 6 X – 36. D (f / ) = R , dus we vinden alle kritische punten van de functie door de vergelijking op te lossen f / (x ) = 0 .

6(X 2 – X– 6) = 0 ,

X 2 – X– 6 = 0 ,

X 1 = 3 , X 2 = – 2 door de stelling tegengesteld aan de stelling van Vieta.

f / (x ) = 6(X – 3)(X + 2).

+ max - min +

2 3 x

f / (x) > 0 voor iedereen X< – 2 en X > 3 en de functie is continu in de puntenx =– 2 en X = 3 , daarom neemt het toe op elk van de intervallen (- ; - 2] en [ 3 ; ).

f / (x ) < 0 bij - 2 < X< 3 , daarom neemt het af met het interval [- 2; 3 ].

X = - 2 maximale punten, omdat op dit punt verandert het teken van de afgeleide van"+" tot "-".

f (– 2) = 2 (– 8) – 3 4 – 36 (– 2) – 3 = – 16 – 12 + 72 – 3 == 72 – 31 = 41 ,

x = 3 is het minimumpunt, aangezien op dit punt het teken van de afgeleide verandert"-" tot "+".

f (3) = 2 27 - 3 9 - 36 3 - 3 = 54 - 27 - 108 - 3 = - 138 + +54 = - 84 .

Grafiek van de functie φ(X ) = – a is een rechte lijn evenwijdig aan de x-as en door een punt met coördinaten (0; – a ). Grafieken hebben twee gemeenschappelijke punten op −a= 41 , d.w.z. een =- 41 en - a= - 84, d.w.z. a = 84 .

Bij

41 ( X)

2 3 X

3 f ( x ) = 2x 3 – 3 X 2 – 36 X – 3

2 wegen. Methode van onzekere coëfficiënten.

Aangezien, volgens de toestand van het probleem, deze vergelijking slechts twee wortels zou moeten hebben, is de vervulling van de gelijkheid duidelijk:

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + a – 3 = (x + b ) 2 (2 x + c ) ,

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + a – 3 = 2 x 3 + (4 b + c ) x 2 + (2 b 2 + +2 bc ) x + b 2 c ,

Nu de coëfficiënten gelijkstellen aan dezelfde machten X, verkrijgen we een stelsel vergelijkingen

4 b + c = - 3

2b 2 + 2bc=- 36

b 2 c = a – 3 .

Uit de eerste twee vergelijkingen van het systeem vinden we:b 2 + b – 6 = 0, vanwaar b 1 = - 3 of b 2 = 2 . Respectieve waardenMet 1 en Met 2 het is gemakkelijk te vinden uit de eerste vergelijking van het systeem:Met 1 = 9 of Met 2 = - 11 . Ten slotte kan de gewenste waarde van de parameter worden bepaald uit de laatste vergelijking van het systeem:

a = b 2 c + 3 , a 1 = - 41 of a 2 = 84.

Antwoord: deze vergelijking heeft precies twee verschillende

wortel op a= - 41 en a= 84 .

Taak 4. Vind de grootste waarde van de parametera , waarvoor de vergelijkingX 3 + 5 X 2 + Oh + b = 0

met gehele coëfficiënten heeft drie verschillende wortels, waarvan er één - 2 is.

Oplossing. 1 manier. vervangen X= - 2 aan de linkerkant van de vergelijking, krijgen we

8 + 20 – 2 a + b= 0, wat betekent b = 2 a – 12 .

Aangezien het getal - 2 de wortel is, kun je de gemene deler eruit halen X + 2:

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = X 3 + 2 X 2 + 3 X 2 + Oh + (2 a – 12) =

= x 2 (X + 2) + 3 x (X + 2) – 6 x + Oh + (2 a – 12) =

= x 2 (X + 2) + 3 x (X + 2) + (a – 6)(x +2) - 2(a – 6)+ (2 a - 12) =

= (X + 2)(X 2 + 3 x + (a – 6) ) .

Door de voorwaarde zijn er nog twee wortels van de vergelijking. De discriminant van de tweede factor is dus positief.

D =3 2 - 4 (a – 6) = 33 – 4 a > 0 , dat wil zeggen a < 8,25 .

Het lijkt erop dat het antwoord zou zijn: een = acht . Maar als we het getal 8 in de oorspronkelijke vergelijking vervangen, krijgen we:

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = X 3 + 5 X 2 + 8 X + 4 = (X + 2)(X 2 + 3 x + 2 ) =

= (X + 1) (X + 2) 2 ,

dat wil zeggen, de vergelijking heeft slechts twee verschillende wortels. Maar bij een = 7 krijgt echt drie verschillende wortels.

2 wegen. Methode van onbepaalde coëfficiënten.

Als de vergelijking X 3 + 5 X 2 + Oh + b = 0 heeft een wortel X = - 2, dan kun je altijd nummers ophalenc en d zodat voor iedereenX gelijkheid was waar

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = (X + 2)(X 2 + Met x + d ).

Voor het vinden van nummersc en d open de haakjes aan de rechterkant, geef vergelijkbare termen en krijg

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = X 3 + (2 + Met ) X 2 +(2 met + d ) X + 2 d

De coëfficiënten gelijkstellen aan de overeenkomstige machten X we hebben een systeem

2 + Met = 5

2 Met + d = a

2 d = b , waar c = 3 .

Vervolgens, X 2 + 3 x + d = 0 , D = 9 – 4 d > 0 of

d < 2,25, dus d (- ; 2 ].

Aan de toestand van het probleem wordt voldaan door de waarde d = een . De uiteindelijke gewenste waarde van de parametera = 7.

A n e t: wanneer een = 7 deze vergelijking heeft drie verschillende wortels.

2.3. Oplossing van vergelijkingen.

“Onthoud dat wanneer je kleine problemen oplost, je

bereid je voor op het oplossen van groot en moeilijk

taken.”

Academicus S.L.Sobolev

Bij het oplossen van sommige vergelijkingen is het mogelijk en noodzakelijk om vindingrijkheid en humor te tonen, om speciale technieken toe te passen. Het bezit van verschillende transformatiemethoden en het vermogen om logisch te redeneren is van groot belang in de wiskunde. Een van deze trucs is het optellen en aftrekken van een goed gekozen uitdrukking of getal. Het genoemde feit zelf is natuurlijk iedereen bekend - de grootste moeilijkheid is om in een specifieke configuratie die transformaties van vergelijkingen te zien waarop het handig en handig is om het toe te passen.

Op een eenvoudige algebraïsche vergelijking illustreren we een niet-standaard methode voor het oplossen van vergelijkingen.

Probleem 5. Los de vergelijking op

=
.

Oplossing. Vermenigvuldig beide zijden van deze vergelijking met 5 en herschrijf als volgt

= 0 ; X 0; -
;

= 0 ,

= 0 ,

= 0 of
= 0

We lossen de resulterende vergelijkingen op met de methode van onbepaalde coëfficiënten

X 4 - X 3 –7 X – 3 = (X 2 + ah + b )(x 2 + cx + d ) = 0

X 4 - X 3 –7 X – 3 = X 4 + (a + c ) X 3 + (b + a c + d ) X 2 + (advertentie + bc ) x++ bd

Gelijkstellen van de coëfficiënten bij X 3 , X 2 , X en gratis voorwaarden, we krijgen het systeem

a + c = -1

b + a c + d = 0

advertentie + bc = -7

bd = -3 , van waaruit we vinden:a = -2 ; b = - 1 ;

Met = 1 ; d = 3 .

Dus X 4 - X 3 –7X– 3 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + X + 3) = 0 ,

X 2 – 2 X– 1 = 0 of X 2 + X + 3 = 0

X 1,2 =
geen wortels.

Evenzo hebben we

X 4 – 12X – 5 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + 2X + 5) = 0 ,

waar X 2 + 2 X + 5 = 0 , D = - 16 < 0 , нет корней.

Antwoorden: X 1,2 =

Opgave 6. Los de vergelijking op

= 10.

Oplossing. Om deze vergelijking op te lossen, is het noodzakelijk om de getallen te kiezena en b zodat de tellers van beide breuken gelijk zijn. Daarom hebben we een systeem:

= 0 , X 0; -1 ; -

= - 10

Het is dus de taak om de nummers op te halena en b , waarvoor de gelijkheid

(een + 6) X 2 + Ah- 5 = X 2 + (5 + 2 b ) x + b

Nu, volgens de stelling over de gelijkheid van polynomen, is het noodzakelijk dat de rechterkant van deze gelijkheid verandert in dezelfde polynoom die zich aan de linkerkant bevindt.

Met andere woorden, de relaties moeten stand houden

een + 6 = 1

a = 5 + 2 b

– 5 = b , waaruit we de waarden vindena = - 5 ;

b = - 5 .

Met deze waardena en b gelijkwaardigheid a + b = - 10 is ook geldig.

= 0 , X 0; -1 ; -

= 0 ,

= 0 ,

(X 2 – 5X– 5)(X 2 + 3X + 1) = 0 ,

X 2 – 5X– 5 = 0 of X 2 + 3X + 1 = 0 ,

X 1,2 =
, X 3,4 =

Antwoorden: X 1,2 =
, X 3,4 =

Probleem 7. Los de vergelijking op

= 4

Oplossing. Deze vergelijking is ingewikkelder dan de vorige en daarom groeperen we hem op zo'n manier dat: X 0;-1;3;-8;12

0 ,

= - 4.

Van de voorwaarde van gelijkheid van twee polynomen

Oh 2 + (een + 6) X + 12 = X 2 + (b + 11) x – 3 b ,

we verkrijgen en lossen het stelsel vergelijkingen voor onbekende coëfficiënten opa en b :

a = 1

een + 6 = b + 11

12 = – 3 b , waar een = 1 , b = - 4 .

Veeltermen - 3 - 6X + cx 2 + 8 cx en X 2 + 21 + 12 d – dx zijn alleen identiek aan elkaar als:

Met = 1

8 Met - 6 = - d

3 = 21 + 12 d , Met = 1 , d = - 2 .

Voor waardeneen = 1 , b = - 4 , Met = 1 , d = - 2

gelijkwaardigheid
= - 4 is redelijk.

Als resultaat heeft deze vergelijking de volgende vorm:

= 0 of
= 0 of
= 0 ,

= - 4 , = - 3 , = 1 , = -
.

Uit de beschouwde voorbeelden wordt duidelijk hoe het vakkundig gebruik van de methode van onzekere coëfficiënten,

helpt om de oplossing van een nogal complexe, ongebruikelijke vergelijking te vereenvoudigen.

2.4. Functionele vergelijkingen.

"Het hoogste doel van de wiskunde ... bestaat uit:

om de verborgen volgorde in te vinden

chaos die ons omringt

N. Wiener

Functionele vergelijkingen zijn een zeer algemene klasse van vergelijkingen waarin een bepaalde functie de gewenste is. Een functionele vergelijking in de enge zin van het woord wordt verstaan ​​als vergelijkingen waarin de gewenste functies worden geassocieerd met bekende functies van een of meer variabelen met behulp van de bewerking van het vormen van een complexe functie. Een functionele vergelijking kan ook worden beschouwd als een uitdrukking van een eigenschap die een bepaalde klasse van functies kenmerkt

[ bijvoorbeeld de functionele vergelijking f ( x ) = f (- x ) kenmerkt de klasse van even functies, de functionele vergelijkingf (x + 1) = f (x ) is de klasse van functies met periode 1, enz.].

Een van de eenvoudigste functionele vergelijkingen is de vergelijkingf (x + ja ) = f (x ) + f (ja ). De continue oplossingen van deze functionele vergelijking hebben de vorm

f (x ) = Cx . In de klasse van discontinue functies heeft deze functionele vergelijking echter ook andere oplossingen. De beschouwde functionele vergelijking is verbonden

f (x + ja ) = f (x ) · f (ja ), f (x ja ) = f (x ) + f (ja ), f (x ja ) = f (x )· f (ja ),

continue oplossingen, die respectievelijk de vorm . hebben

e cx , VANlnx , x α (x > 0).

Deze functionele vergelijkingen kunnen dus dienen om exponentiële, logaritmische en machtsfuncties te definiëren.

De meest gebruikte zijn vergelijkingen waarvan de complexe functies de gewenste externe functies zijn. Theoretische en praktische toepassingen

het waren precies zulke vergelijkingen die vooraanstaande wiskundigen ertoe brachten ze te bestuderen.

Bijvoorbeeld, Bij uitlijning

f 2 (x) = f (x - ja)· f (x + ja)

NI Lobatsjevskigebruikt bij het bepalen van de hoek van parallellisme in zijn geometrie.

De laatste jaren worden op wiskundige Olympiades nogal eens problemen aangeboden met betrekking tot het oplossen van functionele vergelijkingen. Hun oplossing vereist geen kennis die verder gaat dan het wiskundecurriculum van scholen voor algemeen vormend onderwijs. Het oplossen van functionele vergelijkingen veroorzaakt echter vaak bepaalde problemen.

Een van de manieren om oplossingen te vinden voor functionele vergelijkingen is de methode van onbepaalde coëfficiënten. Het kan worden gebruikt wanneer het uiterlijk van de vergelijking kan worden gebruikt om de algemene vorm van de gewenste functie te bepalen. Dit geldt in de eerste plaats voor die gevallen waarin oplossingen van vergelijkingen moeten worden gezocht tussen hele of fractioneel-rationele functies.

Laten we de essentie van deze techniek uitleggen door de volgende problemen op te lossen.

Taak 8. Functief (x ) is gedefinieerd voor alle reële x en voldoet aan alleX R voorwaarde

3 f(x) - 2 f(1- x) = x 2 .

Vindf (x ).

Oplossing. Aangezien aan de linkerkant van deze vergelijking over de onafhankelijke variabele x en de waarden van de functief alleen lineaire bewerkingen worden uitgevoerd en de rechterkant van de vergelijking een kwadratische functie is, is het logisch om aan te nemen dat de gewenste functie ook kwadratisch is:

f (X) = bijl 2 + bx + c , waara, b, c – te bepalen coëfficiënten, d.w.z. onbepaalde coëfficiënten.

Door de functie in de vergelijking in te vullen, komen we tot de identiteit:

3(bijl 2 + bx+c) – 2(a(1 – x) 2 + b(1 – x) + c) = x 2 .

bijl 2 + (5 b + 4 a) x + (c – 2 a – 2 b) = x 2 .

Twee polynomen zijn identiek gelijk als ze gelijk zijn

coëfficiënten bij dezelfde machten van de variabele:

a = 1

5b + 4a = 0

c– 2 a – 2 b = 0.

Uit dit systeem vinden we de coëfficiënten

a = 1 , b = - , c = , ookvoldoet aangelijkwaardigheid

3 f (x ) - 2 f (1- x ) = x 2 op de verzameling van alle reële getallen. Tegelijkertijd is erx 0 Taak 9. Functiey=f(x) voor alle x is gedefinieerd, continu en voldoet aan de voorwaardef (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x . Zoek twee van dergelijke functies.

Oplossing. Er worden twee acties uitgevoerd op de gewenste functie - de bewerking van het compileren van een complexe functie en

aftrekken. Aangezien de rechterkant van de vergelijking een lineaire functie is, is het logisch om aan te nemen dat de gewenste functie ook lineair is:f(x) = bijl +b , waara enb zijn ongedefinieerde coëfficiënten. Deze functie vervangen door:f (f ( (x ) = - X - 1 ;

f 2 (x ) = 2 X+ , welke oplossingen zijn van de functionele vergelijkingf (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x .

Conclusie.

Concluderend moet worden opgemerkt dat dit werk zeker zal bijdragen aan de verdere studie van een originele en effectieve methode voor het oplossen van verschillende wiskundige problemen, die problemen met verhoogde moeilijkheidsgraad zijn en een grondige kennis van de schoolwiskundecursus en een hoge logische cultuur vereisen Iedereen die zijn kennis van de wiskunde alleen wil verdiepen, zal in dit werk ook stof voor reflectie en interessante taken vinden, waarvan de oplossing voordeel en voldoening zal brengen.

In het werk wordt, in het kader van het bestaande schoolcurriculum en in een vorm die toegankelijk is voor effectieve waarneming, de methode van onbepaalde coëfficiënten gepresenteerd, die bijdraagt ​​aan de verdieping van de schoolwiskundecursus.

Natuurlijk kunnen niet alle mogelijkheden van de methode van onbepaalde coëfficiënten in één werk worden getoond. In feite vereist de methode nog nader onderzoek en onderzoek.

Lijst met gebruikte literatuur.

Glazer GI Geschiedenis van de wiskunde op school.-M.: Onderwijs, 1983.

Gomonov S.A. Functionele vergelijkingen in het vak wiskunde // Wiskunde op school. - 2000 . -№10 .

Dorofeev GV, Potapov MK, Rozov N.Kh.. Handboek over wiskunde.- M.: Nauka, 1972.

Kurosh AG Algebraïsche vergelijkingen van willekeurige graden.-M.: Nauka, 1983.

Likhtarnikov LM Elementaire inleiding tot functionele vergelijkingen. - St. Petersburg. : Lan, 1997 .

Manturov OV, Solntsev Yu.K., Sorokin Yu.I., Fedin NG Verklarend woordenboek van wiskundige termen.-M.: Verlichting, 1971

Modenov VP Wiskunde handleiding. Ch.1.-M.: Staatsuniversiteit van Moskou, 1977.

Modenov V.P. Problemen met parameters.-M.: Examen, 2006.

Potapov MK, Aleksandrov VV, Pasichenko PI Algebra en analyse van elementaire functies.- M.: Nauka, 1980.

Khaliullin A.A.. Het is mogelijk om gemakkelijker // Wiskunde op school op te lossen. – 2003 . - №8 .

Khaliullin.

4. Vouw polynoom 2 . uitX 4 – 5X 3 + 9X 2 – 5X+ 3 voor vermenigvuldigers met gehele coëfficiënten.

5. Tegen welke waarde? a X 3 + 6X 2 + Oh+ 12 op X+ 4 ?

6. Bij welke waarde van de parameter?a de vergelijkingX 3 +5 X 2 + + Oh + b = 0 met gehele coëfficiënten heeft twee verschillende wortels, waarvan er één gelijk is aan 1 ?

7. Onder de wortels van een polynoom X 4 + X 3 – 18X 2 + Oh + b met gehele coëfficiënten zijn er drie gelijke gehele getallen. Vind de waarde b .

8. Vind de grootste gehele waarde van de parameter a, waaronder de vergelijking X 3 – 8X 2 + ah +b = 0 met gehele coëfficiënten heeft drie verschillende wortels, waarvan er één gelijk is aan 2.

9. Op welke waarden? a en b deling zonder rest X 4 + 3X 3 – 2X 2 + Oh + b op de X 2 – 3X + 2 ?

10. Factoriseer veeltermen:

a)X 4 + 2 X 2 – X + 2 in)X 4 – 4X 3 +9X 2 –8X + 5 e)X 4 + 12X – 5

b)X 4 + 3X 2 + 2X + 3 G)X 4 – 3X –2 e)X 4 – 7X 2 + 1 .

11. Los de vergelijkingen op:

a)
= 2 = 2 f (1 – X ) = X 2 .

Vind f (X) .

13. Functie: Bij= f (X) voor iedereen X is gedefinieerd, continu en voldoet aan de voorwaarde f ( f (X)) = f (X) + X. Zoek twee van dergelijke functies.

De methode is toepasbaar voor het minimaliseren van logische algebrafuncties van een willekeurig aantal variabelen.

Beschouw het geval van drie variabelen. Een Booleaanse functie in een DNF kan worden weergegeven in de vorm van alle mogelijke conjunctieve leden die in een DNF kunnen worden opgenomen:

waarbij kн(0,1) coëfficiënten zijn. De methode bestaat erin de coëfficiënten zo te selecteren dat de resulterende DNF minimaal is.

Als we nu alle mogelijke waarden van variabelen instellen van 000 tot 111, dan krijgen we 2 n (2 3 =8) vergelijkingen voor het bepalen van de coëfficiënten k:

Rekening houdend met de verzamelingen waarop de functie een nulwaarde aanneemt, bepaalt u de coëfficiënten die gelijk zijn aan 0 en haalt u ze uit de vergelijkingen, aan de rechterkant waarvan 1. Van de resterende coëfficiënten in elke vergelijking, wordt één coëfficiënt gelijkgesteld tot eenheid, die de conjunctie van de kleinste rang bepaalt. De overige coëfficiënten worden gelijkgesteld aan 0. Dus eenheidscoëfficiënten k bepaal de bijbehorende minimumvorm.

Voorbeeld. Een bepaalde functie minimaliseren

als waarden bekend zijn:
;
;
;
;
;
;
;
.

Oplossing.

Na het verwijderen van nulcoëfficiënten, krijgen we:

=1;

=1;

=1;

=1.

Gelijk aan eenheid de coëfficiënt , overeenkomend met de conjunctie van de kleinste rang en het omzetten van de laatste vier vergelijkingen in 1, en in de eerste vergelijking is het raadzaam om de coëfficiënt gelijk te stellen aan 1 . De rest van de coëfficiënten worden op 0 gezet.

Antwoorden: soort geminimaliseerde functie.

Opgemerkt moet worden dat de methode van onzekere coëfficiënten effectief is wanneer het aantal variabelen klein is en niet groter is dan 5-6.

Multidimensionale kubus

Beschouw een grafische weergave van een functie in de vorm van een multidimensionale kubus. elk hoekpunt n-dimensionale kubus kan in overeenstemming worden gebracht met de eenheidsconstituent.

De subset van gemarkeerde hoekpunten is een afbeelding op n-dimensionale kubus van de Booleaanse functie van n variabelen in SDNF.

Om de functie weer te geven van n variabelen gepresenteerd in een DNF, is het noodzakelijk om een ​​overeenkomst vast te stellen tussen de miniterms en elementen n-dimensionale kubus.

Miniterm (n-1)-de rang
kan worden beschouwd als het resultaat van het verlijmen van twee minithermen n-de rang, d.w.z.

=

Op de n-dimensionale kubus, dit komt overeen met het vervangen van twee hoekpunten die alleen verschillen in coördinaatwaarden X i het verbinden van deze hoekpunten met een rand (de rand zou de hoekpunten die erop vallen afdekken).

Dus minitermen ( n-1)-de orde komt overeen met de randen van de n-dimensionale kubus.

Evenzo is de correspondentie van miniterms ( n-2)-de volgorde gezichten n-dimensionale kubus, die elk vier hoekpunten (en vier randen) bedekt.

elementen n-dimensionale kubus, gekenmerkt door S metingen worden genoemd S-blokjes.

Dus hoekpunten zijn 0-kubussen, randen zijn 1-kubussen, vlakken zijn 2-kubussen, enzovoort.

Samenvattend kunnen we zeggen dat de miniterm ( NS) rangschikken in DNF voor de functie n variabelen wordt weergegeven S-kubus, en elk S-kubus omvat al die lager-dimensionale kubussen die alleen zijn verbonden met zijn hoekpunten.

Voorbeeld. Op afb. gegeven mapping

hier minitermen
en
komen overeen met 1-kubussen ( S=3-2=1), en miniterm X 3 toegewezen aan 2-kubussen ( S=3-1=2).

Dus alle DNF-kaarten naar n-dimensionale kubusset S-kubussen die alle hoekpunten bedekken die overeenkomen met de bestanddelen van eenheden (0-kubus).

Bestanddelen. Voor variabelen X 1 ,X 2 ,…X n uitdrukking
wordt het bestanddeel van de eenheid genoemd, en
- het bestanddeel van nul ( betekent ofwel , of ).

Deze component van eenheid (nul) verandert in eenheid (nul) alleen met één reeks variabele waarden die ermee overeenkomt, die wordt verkregen als alle variabelen gelijk worden gesteld aan één (nul), en hun ontkenningen - tot nul (één) .

Bijvoorbeeld: samenstellende eenheid
komt overeen met de verzameling (1011), en het nulbestanddeel
- stel (1001).

Aangezien SD(K)NF een disjunctie (conjunctie) is van de bestanddelen van eenheid (nul), kan worden gesteld dat de Booleaanse functie die het vertegenwoordigt f(x 1 , x 2 ,…, x n) wordt één (nul) alleen voor sets van variabele waarden x 1 , x 2 ,…, x n overeenkomend met deze exemplaren. Op andere sets verandert deze functie in 0 (één).

De omgekeerde bewering is ook waar, waarop de manier van representeren als een formule any een booleaanse functie gedefinieerd door een tabel.

Om dit te doen, is het noodzakelijk om de disjuncties (conjuncties) van de bestanddelen van één (nul) te schrijven die overeenkomen met de reeksen variabele waarden waarop de functie de waarde aanneemt die gelijk is aan één (nul).

Bijvoorbeeld, de functie gegeven door de tabel

corresponderen

De resulterende uitdrukkingen kunnen worden omgezet in een andere vorm op basis van de eigenschappen van de algebra van de logica.

De omgekeerde verklaring is ook waar: if some set S-kubussen dekken de verzameling van alle hoekpunten die overeenkomen met de eenheidswaarden van de functie, dan de disjunctie die hiermee overeenkomt S-kubussen van miniterms is de uitdrukking van de gegeven functie in DNF.

Er wordt gezegd dat zo'n set S-kubussen (of daarmee corresponderende minitermen) vormen een omhulling van de functie. Het verlangen naar een minimale vorm wordt intuïtief opgevat als een zoektocht naar zo'n omslag, het nummer S-waarvan kubussen kleiner zouden zijn, en hun afmeting S- meer. De afdekking die overeenkomt met de minimale vorm wordt de minimale afdekking genoemd.

Bijvoorbeeld voor de functie Bij=
dekking komt overeen met de niet-minimumvorm:

rijst a) Bij=,

a coatings in fig b) Bij=
, rijst c) Bij=
minimaal.

Rijst. Functie dekking Bij=:

a) niet-minimaal; b), c) minimaal.

Functietoewijzing aan n-dimensionaal duidelijk en eenvoudig met n3. Een vierdimensionale kubus kan worden afgebeeld zoals getoond in Fig., die de functies van vier variabelen weergeeft en de minimale dekking die overeenkomt met de uitdrukking Bij=

Deze methode gebruiken voor n>4 vereist zulke complexe constructies dat het al zijn voordelen verliest.