Hoe de coördinaten van een vector te berekenen. Vectoren voor dummies

Eindelijk heb ik een uitgebreid en langverwacht onderwerp in handen gekregen analytische geometrie. Eerst iets over dit deel van de hogere wiskunde…. Je herinnert je nu vast de cursus meetkunde van de school met talloze stellingen, hun bewijzen, tekeningen, enz. Wat te verbergen, een onbemind en vaak obscuur onderwerp voor een aanzienlijk deel van de studenten. Analytische meetkunde lijkt vreemd genoeg misschien interessanter en toegankelijker. Wat betekent het adjectief "analytisch"? Twee gestempelde wiskundige wendingen komen onmiddellijk voor de geest: "grafische oplossingsmethode" en "analytische oplossingsmethode". grafische methode, wordt natuurlijk geassocieerd met de constructie van grafieken, tekeningen. Analytisch dezelfde methode gaat om het oplossen van problemen overwegend door middel van algebraïsche bewerkingen. In dit opzicht is het algoritme voor het oplossen van bijna alle problemen van analytische geometrie eenvoudig en transparant, vaak volstaat het om de nodige formules nauwkeurig toe te passen - en het antwoord is klaar! Nee, natuurlijk kan het helemaal niet zonder tekeningen, bovendien zal ik voor een beter begrip van het materiaal proberen ze boven de behoefte te brengen.

De open cursus meetkunde pretendeert niet theoretische volledigheid te zijn, maar is gericht op het oplossen van praktische problemen. Ik zal in mijn colleges alleen opnemen wat, vanuit mijn oogpunt, belangrijk is in praktische termen. Als je een meer complete referentie over een subsectie nodig hebt, raad ik de volgende vrij toegankelijke literatuur aan:

1) Een ding dat, geen grap, bij meerdere generaties bekend is: Schoolboek over geometrie, De auteurs - LS Atanasyan en Bedrijf. Deze schoolkleedkamerhanger heeft al 20 (!) heruitgaven doorstaan, wat natuurlijk niet de limiet is.

2) Geometrie in 2 delen. De auteurs LS Atanasyan, Bazylev V.T.. Dit is literatuur voor het hoger onderwijs, je hebt nodig eerste deel. Niet vaak voorkomende taken kunnen buiten mijn gezichtsveld vallen en de tutorial zal van onschatbare waarde zijn.

Beide boeken zijn gratis online te downloaden. Daarnaast kunt u gebruik maken van mijn archief met kant-en-klare oplossingen, deze vindt u op de pagina Voorbeelden van hogere wiskunde downloaden.

Van de tools bied ik opnieuw mijn eigen ontwikkeling aan - software pakket op analytische geometrie, wat het leven enorm zal vereenvoudigen en veel tijd zal besparen.

Er wordt aangenomen dat de lezer bekend is met geometrische basisconcepten en figuren: punt, lijn, vlak, driehoek, parallellogram, parallellepipedum, kubus, enz. Het is raadzaam om enkele stellingen te onthouden, in ieder geval de stelling van Pythagoras, hallo repeaters)

En nu gaan we achtereenvolgens nadenken over: het concept van een vector, acties met vectoren, vectorcoördinaten. Verder raad ik aan om te lezen het belangrijkste artikel Puntproduct van vectoren, net zoals Vector en gemengd product van vectoren. De lokale taak zal niet overbodig zijn - Verdeling van het segment in dit opzicht. Op basis van bovenstaande informatie kunt u: vergelijking van een rechte lijn in een vlak Met de eenvoudigste voorbeelden van oplossingen, die zal toestaan leer hoe je problemen in de meetkunde oplost. De volgende artikelen zijn ook nuttig: Vergelijking van een vliegtuig in de ruimte, Vergelijkingen van een rechte lijn in de ruimte, Basisproblemen op de lijn en het vlak , andere secties van analytische meetkunde. Uiteraard wordt er gaandeweg nagedacht over standaardtaken.

Het concept van een vector. gratis vector

Laten we eerst de schooldefinitie van een vector herhalen. Vector genaamd geregisseerd een segment waarvan het begin en einde zijn aangegeven:

In dit geval is het begin van het segment het punt , het einde van het segment is het punt . De vector zelf wordt aangegeven met . Richting is essentieel, als je de pijl naar het andere uiteinde van het segment herschikt, krijg je een vector, en dit is al compleet andere vector. Het is handig om het concept van een vector te identificeren met de beweging van een fysiek lichaam: je moet toegeven dat het betreden van de deuren van een instituut of het verlaten van de deuren van een instituut totaal verschillende dingen zijn.

Het is handig om afzonderlijke punten van een vlak, ruimte, te beschouwen als de zogenaamde nul vector. Zo'n vector heeft hetzelfde einde en begin.

!!! Opmerking: Hier en beneden kun je aannemen dat de vectoren in hetzelfde vlak liggen of je kunt aannemen dat ze zich in de ruimte bevinden - de essentie van het gepresenteerde materiaal geldt zowel voor het vlak als voor de ruimte.

Benamingen: Velen vestigden meteen de aandacht op een stok zonder pijl in de aanduiding en zeiden dat ze ook een pijl bovenaan zetten! Dat klopt, je kunt met een pijl schrijven: , maar toelaatbaar en record dat ik later zal gebruiken. Waarom? Blijkbaar is zo'n gewoonte ontstaan ​​uit praktische overwegingen, mijn shooters op school en universiteit bleken te divers en ruig. In de educatieve literatuur houden ze zich soms helemaal niet bezig met spijkerschrift, maar markeren ze de vetgedrukte letters: , waarmee ze impliceren dat dit een vector is.

Dat was de stijl, en nu over de manieren om vectoren te schrijven:

1) Vectoren kunnen in twee Latijnse hoofdletters worden geschreven:
enzovoort. Terwijl de eerste letter nodig geeft het startpunt van de vector aan en de tweede letter geeft het eindpunt van de vector aan.

2) Vectoren worden ook in kleine Latijnse letters geschreven:
In het bijzonder kan onze vector voor de beknoptheid opnieuw worden aangeduid met een kleine Latijnse letter .

Lengte of module vector die niet nul is, wordt de lengte van het segment genoemd. De lengte van de nulvector is nul. Logisch.

De lengte van een vector wordt aangegeven met het modulo-teken: ,

Hoe we de lengte van een vector kunnen vinden, zullen we iets later leren (of herhalen, voor wie hoe).

Dat was elementaire informatie over de vector, bekend bij alle schoolkinderen. In de analytische meetkunde, de zogenaamde gratis vector.

Als het heel simpel is - vector kan vanaf elk punt worden getekend:

Vroeger noemden we zulke vectoren gelijk (de definitie van gelijke vectoren wordt hieronder gegeven), maar puur wiskundig gezien is dit DEZELFDE VECTOR of gratis vector. Waarom gratis? Omdat je tijdens het oplossen van problemen een of andere "school" -vector kunt "bevestigen" aan ELK punt van het vlak of de ruimte die je nodig hebt. Dit is een heel cool pand! Stel je een gericht segment voor van willekeurige lengte en richting - het kan een oneindig aantal keren worden "gekloneerd" en op elk punt in de ruimte, in feite bestaat het OVERAL. Er is zo'n student spreekwoord: Elke docent in f ** u in de vector. Het is tenslotte niet alleen een geestig rijm, alles klopt bijna - daar kan ook een gericht segment worden bevestigd. Maar haast je niet om je te verheugen, studenten lijden zelf vaker =)

Dus, gratis vector- dit is veel identieke directionele segmenten. De schooldefinitie van een vector, gegeven aan het begin van de paragraaf: "Een gericht segment wordt een vector genoemd ...", impliceert specifiek een gericht segment uit een bepaalde set, dat is bevestigd aan een bepaald punt in het vlak of de ruimte.

Opgemerkt moet worden dat vanuit het oogpunt van de natuurkunde het concept van een vrije vector over het algemeen onjuist is, en het punt van toepassing is van belang. Inderdaad, een directe slag van dezelfde kracht op de neus of op het voorhoofd is voldoende om te ontwikkelen dat mijn stomme voorbeeld verschillende gevolgen met zich meebrengt. Echter, niet gratis vectoren worden ook gevonden in de loop van vyshmat (ga daar niet heen :)).

Acties met vectoren. Collineariteit van vectoren

In de cursus schoolmeetkunde komen een aantal acties en regels met vectoren aan bod: optellen volgens de driehoeksregel, optellen volgens de parallellogramregel, de regel van het verschil van vectoren, vermenigvuldiging van een vector met een getal, het scalaire product van vectoren, enz. Als kiem herhalen we twee regels die vooral relevant zijn voor het oplossen van problemen van analytische meetkunde.

Regel van optelling van vectoren volgens de regel van driehoeken

Beschouw twee willekeurige niet-nul vectoren en:

Het is nodig om de som van deze vectoren te vinden. Omdat alle vectoren als vrij worden beschouwd, stellen we de vector uit van einde vector:

De som van vectoren is de vector . Voor een beter begrip van de regel is het raadzaam om er een fysieke betekenis aan te geven: laat een lichaam een ​​pad maken langs de vector , en dan langs de vector . Dan is de som van de vectoren de vector van het resulterende pad, beginnend bij het vertrekpunt en eindigend op het aankomstpunt. Een soortgelijke regel is geformuleerd voor de som van een willekeurig aantal vectoren. Zoals ze zeggen, kan het lichaam sterk zigzaggend zijn weg gaan, of misschien op de automatische piloot - langs de resulterende somvector.

Trouwens, als de vector wordt uitgesteld van begin vector , dan krijgen we het equivalent parallellogram regel toevoeging van vectoren.

Ten eerste over de collineariteit van vectoren. De twee vectoren worden genoemd collineair als ze op dezelfde lijn of op evenwijdige lijnen liggen. Grofweg hebben we het over parallelle vectoren. Maar in relatie tot hen wordt altijd het adjectief "collineair" gebruikt.

Stel je twee collineaire vectoren voor. Als de pijlen van deze vectoren in dezelfde richting zijn gericht, dan worden zulke vectoren genoemd co-directioneel. Als de pijlen in verschillende richtingen kijken, dan zijn de vectoren tegengesteld gericht.

Benamingen: collineariteit van vectoren wordt geschreven met het gebruikelijke parallellismepictogram: , terwijl detaillering mogelijk is: (vectoren zijn co-gericht) of (vectoren zijn tegengesteld gericht).

werk van een vector die niet nul is door een getal is een vector waarvan de lengte gelijk is aan , en de vectoren en zijn samen gericht op en tegengesteld gericht op .

De regel voor het vermenigvuldigen van een vector met een getal is gemakkelijker te begrijpen met een afbeelding:

We begrijpen in meer detail:

1) Richting. Als de vermenigvuldiger negatief is, dan is de vector verandert van richting naar het tegenovergestelde.

2) Lengte. Als de factor binnen of ligt, dan is de lengte van de vector neemt af. Dus de lengte van de vector is twee keer kleiner dan de lengte van de vector . Als de modulo-vermenigvuldiger groter is dan één, dan is de lengte van de vector neemt toe op tijd.

3) Houd er rekening mee dat: alle vectoren zijn collineair, terwijl de ene vector wordt uitgedrukt door een andere, bijvoorbeeld . Het omgekeerde is ook waar: als de ene vector kan worden uitgedrukt in termen van een andere, dan zijn dergelijke vectoren noodzakelijkerwijs collineair. Op deze manier: als we een vector vermenigvuldigen met een getal, krijgen we collineair(ten opzichte van origineel) vector.

4) De vectoren zijn codirectioneel. De vectoren en zijn ook codirectioneel. Elke vector van de eerste groep is tegengesteld aan elke vector van de tweede groep.

Welke vectoren zijn gelijk?

Twee vectoren zijn gelijk als ze codirectioneel zijn en even lang zijn. Merk op dat co-richting impliceert dat de vectoren collineair zijn. De definitie zal onnauwkeurig (redundant) zijn als je zegt: "Twee vectoren zijn gelijk als ze collineair zijn, samen gericht en dezelfde lengte hebben."

Vanuit het oogpunt van het concept van een vrije vector zijn gelijke vectoren dezelfde vector, die in de vorige paragraaf al is besproken.

Vectorcoördinaten in het vliegtuig en in de ruimte

Het eerste punt is om vectoren op een vlak te beschouwen. Teken een Cartesiaans rechthoekig coördinatensysteem en leg apart van de oorsprong enkel vectoren en:

Vectoren en orthogonaal. Orthogonaal = Loodrecht. Ik raad aan om langzaam aan de termen te wennen: in plaats van parallellisme en loodrechtheid gebruiken we respectievelijk de woorden collineariteit en orthogonaliteit.

Aanduiding: orthogonaliteit van vectoren wordt geschreven met het gebruikelijke loodrechte teken, bijvoorbeeld: .

De beschouwde vectoren worden genoemd coördinaat vectoren of orts. Deze vectoren vormen basis op oppervlak. Wat de basis is, denk ik, is voor velen intuïtief duidelijk, meer gedetailleerde informatie is te vinden in het artikel Lineaire (on)afhankelijkheid van vectoren. vector basis In eenvoudige bewoordingen definiëren de basis en de oorsprong van coördinaten het hele systeem - dit is een soort fundament waarop een volledig en rijk geometrisch leven kookt.

Soms wordt de geconstrueerde basis genoemd orthonormaal basis van het vlak: "ortho" - omdat de coördinaatvectoren orthogonaal zijn, betekent het adjectief "genormaliseerd" eenheid, d.w.z. de lengtes van de basisvectoren zijn gelijk aan één.

Aanduiding: de basis wordt meestal tussen haakjes geschreven, waarbinnen in strikte volgorde basisvectoren worden vermeld, bijvoorbeeld: . Coördinaten vectoren het is verboden van plaats wisselen.

Elk vliegtuig vector de enige manier uitgedrukt als:
, waar - nummers, die worden genoemd vector coördinaten op deze grondslag. Maar de uitdrukking zelf genaamd vector ontledingbasis .

Diner geserveerd:

Laten we beginnen met de eerste letter van het alfabet: . De tekening laat duidelijk zien dat bij het ontleden van de vector in termen van de basis, de zojuist beschouwde worden gebruikt:
1) de regel van vermenigvuldiging van een vector met een getal: en ;
2) optelling van vectoren volgens de driehoeksregel: .

Zet nu mentaal de vector opzij van elk ander punt in het vliegtuig. Het is vrij duidelijk dat zijn corruptie hem "meedogenloos zal volgen". Hier is het, de vrijheid van de vector - de vector "draagt ​​alles met je mee." Deze eigenschap is natuurlijk waar voor elke vector. Het grappige is dat de basis (vrije) vectoren zelf niet apart van de oorsprong hoeven te worden gezet, de ene kan bijvoorbeeld linksonder worden getekend en de andere rechtsboven, en hier verandert niets aan! Toegegeven, je hoeft dit niet te doen, omdat de leraar ook originaliteit zal tonen en je op een onverwachte plek een "pas" zal trekken.

Vectoren illustreren precies de regel voor het vermenigvuldigen van een vector met een getal, de vector is co-gericht met de basisvector, de vector is gericht tegengesteld aan de basisvector. Voor deze vectoren is een van de coördinaten gelijk aan nul, het kan nauwkeurig als volgt worden geschreven:


En de basisvectoren zijn trouwens als volgt: (in feite worden ze door zichzelf uitgedrukt).

En tenslotte: , . Trouwens, wat is vectoraftrekken, en waarom heb ik je niet verteld over de aftrekregel? Ergens in lineaire algebra, ik weet niet meer waar, merkte ik op dat aftrekken een speciaal geval van optellen is. Dus de uitbreidingen van de vectoren "de" en "e" worden rustig geschreven als een som: . Volg de tekening om te zien hoe goed de goede oude optelling van vectoren volgens de driehoeksregel in deze situaties werkt.

Beschouwd als ontleding van de vorm soms een vectordecompositie genoemd in het systeem ort(d.w.z. in het systeem van eenheidsvectoren). Maar dit is niet de enige manier om een ​​vector te schrijven, de volgende optie is gebruikelijk:

Of met een gelijkteken:

De basisvectoren zelf worden als volgt geschreven: and

Dat wil zeggen, de coördinaten van de vector zijn tussen haakjes aangegeven. Bij praktische taken worden alle drie de opnamemogelijkheden gebruikt.

Ik twijfelde of ik moest spreken, maar toch zeg ik: vectorcoördinaten kunnen niet worden herschikt. Strikt op de eerste plaats noteer de coördinaat die overeenkomt met de eenheidsvector , strikt op de tweede plaats noteer de coördinaat die overeenkomt met de eenheidsvector. Inderdaad, en zijn twee verschillende vectoren.

We hebben de coördinaten in het vliegtuig gevonden. Overweeg nu vectoren in de driedimensionale ruimte, alles is hier bijna hetzelfde! Er wordt nog maar één coördinaat toegevoegd. Het is moeilijk om driedimensionale tekeningen uit te voeren, dus ik zal me beperken tot één vector, die ik voor de eenvoud zal uitstellen vanaf de oorsprong:

Elk 3D-ruimte vector de enige manier uitbreiden in een orthonormale basis:
, waar zijn de coördinaten van de vector (getal) in de gegeven basis.

Voorbeeld uit de afbeelding: . Laten we eens kijken hoe de vectoractieregels hier werken. Eerst vermenigvuldig je een vector met een getal: (rode pijl), (groene pijl) en (magenta pijl). Ten tweede is hier een voorbeeld van het optellen van meerdere, in dit geval drie, vectoren: . De somvector begint bij het startpunt van vertrek (het begin van de vector ) en eindigt bij het eindpunt van aankomst (het einde van de vector ).

Alle vectoren van de driedimensionale ruimte zijn natuurlijk ook gratis, probeer de vector mentaal vanaf elk ander punt uit te stellen, en je zult begrijpen dat de uitbreiding "bij hem blijft".

Net als bij de vliegtuigbehuizing, naast schrijven versies met haakjes worden veel gebruikt: ofwel .

Als er één (of twee) coördinaatvectoren ontbreken in de uitbreiding, worden er nullen geplaatst. Voorbeelden:
vector (nauwgezet ) - Schrijf op ;
vector (nauwgezet ) - Schrijf op ;
vector (nauwgezet ) - Schrijf op .

Basisvectoren worden als volgt geschreven:

Hier is misschien alle minimale theoretische kennis die nodig is voor het oplossen van problemen van analytische meetkunde. Misschien zijn er te veel termen en definities, dus ik raad dummies aan om deze informatie opnieuw te lezen en te begrijpen. En het zal voor elke lezer nuttig zijn om van tijd tot tijd naar de basisles te verwijzen voor een betere assimilatie van de stof. Collineariteit, orthogonaliteit, orthonormale basis, vectordecompositie - deze en andere concepten zullen vaak worden gebruikt in wat volgt. Ik merk op dat de materialen van de site niet voldoende zijn om een ​​theoretische test te doorstaan, een colloquium over geometrie, aangezien ik zorgvuldig alle stellingen versleutel (behalve zonder bewijzen) - ten koste van de wetenschappelijke stijl van presenteren, maar een pluspunt voor uw begrip van het onderwerp. Voor gedetailleerde theoretische informatie vraag ik u te buigen voor professor Atanasyan.

Laten we nu verder gaan met het praktische gedeelte:

De eenvoudigste problemen van analytische meetkunde.
Acties met vectoren in coördinaten

De taken die zullen worden overwogen, het is zeer wenselijk om te leren hoe ze volledig automatisch kunnen worden opgelost, en de formules memoriseren, onthoud het niet eens expres, ze zullen het zelf onthouden =) Dit is erg belangrijk, aangezien andere problemen van analytische meetkunde gebaseerd zijn op de eenvoudigste elementaire voorbeelden, en het zal vervelend zijn om extra tijd te besteden aan het eten van pionnen. Je hoeft de bovenste knoopjes van je shirt niet vast te maken, veel dingen zijn je bekend van school.

De presentatie van het materiaal zal een parallel verloop volgen - zowel voor het vliegtuig als voor de ruimte. Om de reden dat alle formules ... je zult zien voor jezelf.

Hoe vind je een vector met twee punten?

Als twee punten van het vlak en gegeven zijn, dan heeft de vector de volgende coördinaten:

Als twee punten in de ruimte en gegeven zijn, dan heeft de vector de volgende coördinaten:

Dat is, van de coördinaten van het einde van de vector je moet de corresponderende coördinaten aftrekken vector start.

Oefening: Noteer voor dezelfde punten de formules voor het vinden van de coördinaten van de vector. Formules aan het einde van de les.

voorbeeld 1

Gegeven twee punten in het vlak en . Vind vectorcoördinaten

Oplossing: volgens de bijbehorende formule:

Als alternatief kan de volgende notatie worden gebruikt:

De estheten zullen als volgt beslissen:

Persoonlijk ben ik gewend aan de eerste versie van de plaat.

Antwoorden:

Volgens de voorwaarde was het niet nodig om een ​​tekening te maken (wat typisch is voor problemen met analytische meetkunde), maar om enkele punten aan dummies uit te leggen, zal ik niet te lui zijn:

Moet worden begrepen verschil tussen puntcoördinaten en vectorcoördinaten:

Punt coördinaten zijn de gebruikelijke coördinaten in een rechthoekig coördinatenstelsel. Ik denk dat iedereen weet hoe je punten op het coördinatenvlak moet plotten sinds graad 5-6. Elk punt heeft een strikte plaats in het vliegtuig en kan nergens worden verplaatst.

De coördinaten van dezelfde vector is de uitbreiding ervan ten opzichte van de basis, in dit geval. Elke vector is gratis, daarom kunnen we, indien gewenst of nodig, deze gemakkelijk uitstellen vanaf een ander punt in het vlak. Interessant is dat je voor vectoren helemaal geen assen kunt bouwen, een rechthoekig coördinatensysteem, je hebt alleen een basis nodig, in dit geval een orthonormale basis van het vlak.

De records van puntcoördinaten en vectorcoördinaten lijken vergelijkbaar: , en gevoel voor coördinaten Absoluut verschillend, en u moet zich goed bewust zijn van dit verschil. Dit verschil geldt natuurlijk ook voor de ruimte.

Dames en heren, we vullen onze handen:

Voorbeeld 2

a) Gegeven punten en . Vind vectoren en .
b) Punten worden gegeven en . Vind vectoren en .
c) Gegeven punten en . Vind vectoren en .
d) Punten worden gegeven. Vind vectoren .

Misschien genoeg. Dit zijn voorbeelden voor een onafhankelijke beslissing, probeer ze niet te verwaarlozen, het zal zijn vruchten afwerpen ;-). Tekeningen zijn niet nodig. Oplossingen en antwoorden aan het einde van de les.

Wat is belangrijk bij het oplossen van problemen van analytische meetkunde? Het is belangrijk om UITERST VOORZICHTIG te zijn om de meesterlijke "twee plus twee is gelijk aan nul" -fout te voorkomen. Bij voorbaat mijn excuses als ik een fout heb gemaakt =)

Hoe vind je de lengte van een segment?

De lengte wordt, zoals reeds opgemerkt, aangegeven door het modulusteken.

Als twee punten van het vlak en gegeven zijn, dan kan de lengte van het segment worden berekend met de formule

Als twee punten in de ruimte en zijn gegeven, dan kan de lengte van het segment worden berekend met de formule

Opmerking: De formules blijven correct als de corresponderende coördinaten worden verwisseld: en , maar de eerste optie is meer standaard

Voorbeeld 3

Oplossing: volgens de bijbehorende formule:

Antwoorden:

Voor de duidelijkheid zal ik een tekening maken

Lijnstuk - het is geen vector, en je kunt het natuurlijk niet overal naartoe verplaatsen. Bovendien, als je de tekening op schaal invult: 1 eenheid. \u003d 1 cm (twee tetrad-cellen), dan kan het antwoord worden gecontroleerd met een gewone liniaal door de lengte van het segment direct te meten.

Ja, de oplossing is kort, maar er zijn een paar belangrijke punten die ik graag wil verduidelijken:

Eerst stellen we in het antwoord de dimensie: "eenheden". De voorwaarde zegt niet WAT het is, millimeters, centimeters, meters of kilometers. Daarom zal de algemene formulering een wiskundig competente oplossing zijn: "eenheden" - afgekort als "eenheden".

Laten we ten tweede het schoolmateriaal herhalen, dat niet alleen nuttig is voor het overwogen probleem:

Let op belangrijke technische truc – de vermenigvuldiger van onder de wortel halen. Als resultaat van de berekeningen hebben we het resultaat gekregen en een goede wiskundige stijl houdt in dat de vermenigvuldiger van onder de wortel wordt verwijderd (indien mogelijk). Het proces ziet er in meer detail als volgt uit: . Natuurlijk is het geen vergissing om het antwoord in het formulier achter te laten - maar het is zeker een fout en een zwaarwegend argument voor muggenzifterij van de kant van de leraar.

Hier zijn andere veelvoorkomende gevallen:

Vaak wordt een voldoende groot aantal bijvoorbeeld onder de wortel verkregen. Hoe te zijn in dergelijke gevallen? Op de rekenmachine controleren we of het getal deelbaar is door 4:. Ja, volledig splitsen, dus: . Of kan het getal weer door 4 gedeeld worden? . Op deze manier: . Het laatste cijfer van het getal is oneven, dus voor de derde keer delen door 4 is duidelijk niet mogelijk. Proberen te delen door negen: . Als resultaat:
Klaar.

Conclusie: als we onder de wortel een volledig niet-extraheerbaar getal krijgen, proberen we de factor onder de wortel weg te nemen - op de rekenmachine controleren we of het getal deelbaar is door: 4, 9, 16, 25, 36, 49, enz.

Bij het oplossen van verschillende problemen worden vaak wortels gevonden, probeer altijd factoren van onder de wortel te halen om een ​​lagere score en onnodige problemen met het finaliseren van je oplossingen volgens de opmerking van de leraar te voorkomen.

Laten we het kwadrateren van de wortels en andere krachten tegelijkertijd herhalen:

De regels voor acties met graden in algemene vorm zijn te vinden in een schoolboek over algebra, maar ik denk dat alles of bijna alles al duidelijk is uit de gegeven voorbeelden.

Opdracht voor een zelfstandige oplossing met een segment in de ruimte:

Voorbeeld 4

Gegeven punten en . Zoek de lengte van het segment.

Oplossing en antwoord aan het einde van de les.

Hoe vind je de lengte van een vector?

Als een vlakke vector wordt gegeven, wordt de lengte berekend met de formule.

Als een ruimtevector wordt gegeven, dan wordt de lengte berekend met de formule .

Op de abscis en ordinaat worden assen genoemd coördinaten vector. De vectorcoördinaten worden meestal aangegeven in de vorm (x, y), en de vector zelf als: = (x, y).

De formule voor het bepalen van de coördinaten van een vector voor tweedimensionale problemen.

In het geval van een tweedimensionaal probleem, een vector met bekende punt coördinaten A(x 1; y 1) en B(x 2 ; ja 2 ) kan worden berekend:

\u003d (x 2 - x 1; y 2 - j1).

De formule voor het bepalen van de coördinaten van een vector voor ruimtelijke problemen.

In het geval van een ruimtelijk probleem, een vector met bekende punt coördinaten EEN (x 1; y 1;z 1 ) en B (x 2 ; ja 2 ; z 2 ) kan worden berekend met de formule:

= (x 2 - x 1 ; ja 2 - ja 1 ; z 2 - z 1 ).

De coördinaten geven een uitgebreide beschrijving van de vector, aangezien het mogelijk is om de vector zelf te construeren uit de coördinaten. Als u de coördinaten kent, is het gemakkelijk te berekenen en vector lengte. (Eigenschap 3 hieronder).

Eigenschappen vectorcoördinaat.

1. Elke gelijke vectoren in een enkel coördinatensysteem hebben gelijke coördinaten.

2. Coördinaten collineaire vectoren proportioneel. Op voorwaarde dat geen van de vectoren gelijk is aan nul.

3. Het kwadraat van de lengte van een vector is gelijk aan de som van zijn kwadraten coördinaten.

4.Wanneer de operatie: vector vermenigvuldigingen op de echt nummer elk van zijn coördinaten wordt vermenigvuldigd met dit getal.

5. Tijdens de bewerking van vectoroptelling berekenen we de som van de corresponderende vector coördinaten.

6. Scalair product van twee vectoren is gelijk aan de som van de producten van hun respectieve coördinaten.

Het vinden van de coördinaten van een vector is een vrij veel voorkomende voorwaarde voor veel problemen in de wiskunde. De mogelijkheid om de coördinaten van een vector te vinden, zal u helpen bij andere, meer complexe problemen met vergelijkbare onderwerpen. In dit artikel zullen we de formule voor het vinden van de coördinaten van een vector en verschillende taken bekijken.

De coördinaten van een vector in een vlak vinden

Wat is een vliegtuig? Een vlak is een tweedimensionale ruimte, een ruimte met twee dimensies (dimensie x en afmeting y). Papier is bijvoorbeeld plat. Het oppervlak van de tafel is vlak. Elke niet-volumetrische figuur (vierkant, driehoek, trapezium) is ook een vlak. Dus als het in de toestand van het probleem nodig is om de coördinaten te vinden van een vector die op een vlak ligt, herinneren we ons onmiddellijk x en y. De coördinaten van zo'n vector vind je als volgt: AB coördinaten van de vector = (xB - xA; yB - xA). Uit de formule blijkt dat de coördinaten van het startpunt moeten worden afgetrokken van de coördinaten van het eindpunt.

Voorbeeld:

• De CD-vector heeft begin (5; 6) en eind (7; 8) coördinaten.
• Zoek de coördinaten van de vector zelf.
• Met behulp van de bovenstaande formule krijgen we de volgende uitdrukking: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
• Dus de coördinaten van de CD-vector = (2; 2).
• Dienovereenkomstig is de x-coördinaat gelijk aan twee, de y-coördinaat is ook twee.

De coördinaten van een vector in de ruimte vinden

Wat is ruimte? Ruimte is al een driedimensionale dimensie, waarbij 3 coördinaten worden gegeven: x, y, z. Als u een vector moet vinden die in de ruimte ligt, verandert de formule praktisch niet. Er wordt slechts één coördinaat toegevoegd. Om de vector te vinden, moet u de begincoördinaten van de eindcoördinaten aftrekken. AB = (xB - xA; yB - yA; zB - zA)

Voorbeeld:

• Vector DF heeft initiaal (2; 3; 1) en laatste (1; 5; 2).
• Als we de bovenstaande formule toepassen, krijgen we: Vectorcoördinaten DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
• Onthoud dat de waarde van de coördinaten negatief kan zijn, daar is geen probleem mee.

Hoe vectorcoördinaten online te vinden?

Als je om wat voor reden dan ook de coördinaten niet zelf wilt vinden, kun je de online calculator gebruiken. Kies eerst de afmeting van de vector. De dimensie van een vector is verantwoordelijk voor zijn afmetingen. Dimensie 3 betekent dat de vector zich in de ruimte bevindt, dimensie 2 betekent dat deze zich in het vlak bevindt. Voer vervolgens de coördinaten van de punten in de juiste velden in en het programma bepaalt zelf de coördinaten van de vector. Alles is heel eenvoudig.

Door op de knop te klikken, zal de pagina automatisch naar beneden scrollen en u het juiste antwoord geven samen met de oplossingsstappen.

Het wordt aanbevolen om dit onderwerp goed te bestuderen, omdat het concept van een vector niet alleen in de wiskunde, maar ook in de natuurkunde voorkomt. Studenten van de Faculteit Informatietechnologie bestuderen ook het onderwerp vectoren, maar op een complexer niveau.

Analytische meetkunde

		Week	Cijfer voor de module in punten
		module controle
			maximaal		Minimum
Semester 1
DZ №1, deel 1
DZ №1, deel 2
Modulo-besturing nr. 1
Beloningspunten
Modulo regeling nr. 2
Beloningspunten

Beheersactiviteiten en timing van hun implementatie Module 1

1. DZ nr. 1 deel 1 "Vector Algebra" Uitgiftetermijn 2 weken, deadline - 7 weken

2. DZ nr. 1 deel 2 "Lijnen en vlakken"

Levertijd 1 week, levertijd - 9 weken

3. Modulo-besturing nr. 1 (RK nr. 1) "Vectoralgebra, lijnen en vlakken." Deadline - 10 weken

1. DZ nr. 2 "Curven en oppervlakken 2e bestelling "Uitgiftetermijn 6 weken, levertijd - 13 weken

5. Test "Bochten en oppervlakken 2e bestelling. Deadline - 14 weken

6. Modulo-besturing nr. 2 (RK nr. 2) "Matrices en stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen"

Deadline - 16 weken

Typische taken die worden gebruikt bij de vorming van huidige besturingsopties

1. Huiswerk nummer 1. "Vectoralgebra en analytische meetkunde"

Gegeven: punten A (0;3;2) , B (1;4;2) , D (0;1;2) ,			A(1;2;0) ; nummers een 30,				b1; hoek
1. Bepaal de lengte van de vector |		n | , als			ja,	n bp q	en p, q zijn eenheid

vectoren waarvan de hoek gelijk is.

2. Zoek de coördinaten van het punt M dat de vector AB deelt ten opzichte van a :1 .

3. Controleer of het mogelijk is op vectoren AB en AD construeren een parallellogram. Zo ja, zoek dan de lengtes van de zijden van het parallellogram.

4. Zoek de hoeken tussen de diagonalen van het parallellogram ABCD.

5. Zoek het gebied van parallellogram ABCD.

6. Zorg ervoor dat de vectoren AB , AD , AA 1 kun je een parallellepipedum bouwen. Vind het volume van dit parallellepipedum en de lengte van zijn hoogte.

7. Vind vectorcoördinaten AH , gericht langs de hoogte van het parallellepipedum ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , getrokken van punt A naar het basisvlak A 1 B 1 C 1 D 1 ,

de coördinaten van het punt H en de coördinaten van de eenheidsvector die samenvallen in de richting met de vector AH .

8. Vind de ontleding van de vector AH door vectoren AB , AD , AA 1 .

9. Vind de projectie van een vector AH naar vector AA 1 .

10. Schrijf de vergelijkingen van de vlakken: a) P die door de punten A, B, D gaat;

b) P1 gaat door punt A en lijn A1 B1;

c) P2 gaat door het punt A1 evenwijdig aan het vlak P; d) P3 met lijnen AD en AA1;

e) P4 gaat door de punten A en C1 loodrecht op het vlak P.

11. Vind de afstand tussen de lijnen waarop de randen AB en CC liggen een ; schrijf de canonieke en parametrische vergelijkingen van de gemeenschappelijke loodlijn erop.

12. Vind punt A 2, symmetrisch met punt A1 ten opzichte van het vlak van de basis

13. Zoek de hoek tussen de lijn waarop de diagonaal A ligt 1 C, en basisvlak ABCD.

14. Zoek scherpe hoek tussen vlakken ABC 1 D (vlak P) en ABB1 A1 (vlak P1).

2. Huiswerk #2. "Bochten en oppervlakken van de tweede orde"

In opgaven 1–2 wordt de gegeven vergelijking van de tweede-orde lijn gereduceerd tot canonieke vorm en wordt de curve geconstrueerd in het OXY-coördinatensysteem.

BIJ taak 3, gebruik de gegeven gegevens, zoek de vergelijking van de curve in het OXY-coördinatensysteem. Voor taken 1-3 geven aan:

1) canonieke vorm van de lijnvergelijking;

2) parallelle overdrachtstransformatie die leidt tot canonieke vorm;

3) in het geval van een ellips: halve assen, excentriciteit, middelpunt, hoekpunten, brandpunten, afstanden van punt C tot brandpunten; in het geval van een hyperbool: halve assen, excentriciteit, middelpunt, hoekpunten, brandpunten, afstanden van punt C tot brandpunten, asymptootvergelijkingen; in het geval van een parabool: parameter, hoekpunt, focus, richtlijnvergelijking, afstanden van punt C tot focus en richtlijn;

4) controleer voor punt C de eigenschap die het gegeven type krommen kenmerkt als de meetkundige plaats van punten.

BIJ Geef in opgave 4 de parallelle translatietransformatie aan die de gegeven oppervlaktevergelijking reduceert tot de canonieke vorm, de canonieke vorm van de oppervlaktevergelijking en het type van het oppervlak. Construeer een oppervlak in het canonieke coördinatenstelsel OXYZ.

	5x 2 y 2 20x 2y 4 , C (0;1				2) 5x 2 4y 2 20x 8y 64 , C (12;14) .
		5) ;
	De parabool is symmetrisch ten opzichte van de rechte lijn y 1 0 , heeft een brandpunt							; 1 ,
	kruist de OX-as in punt C				; 0 , en zijn takken liggen in het halve vlak	x 0 .
	4y 2 z 2 8y 4z 1 0 .

Modulo-besturing nr. 1 "Vectoralgebra. Analytische meetkunde"

1. Rechts en links triples van vectoren. Definitie van het uitwendig product van vectoren. Formuleer eigenschappen van het vectorproduct van vectoren. Leid een formule af voor het berekenen van het uitwendige product van twee vectoren gegeven door hun coördinaten in een orthonormale basis.

vectoren

een mn,

mn,

1, m, n

Kan zijn,

vector ontleding

c 3 i

12j6k

vectoren

3 j 2 k en b 2 i 3 j 4 k .

Schrijf een vergelijking voor het vlak

door de punten M 1 5, 1, 4 ,

M 2 2, 3.1 en

loodrecht op het vlak

6x 5y 4z 1 0. Stel canonieke vergelijkingen in

een rechte lijn door het punt M 0 0, 2,1 en loodrecht op het gevonden vlak.

Test "Bochten en oppervlakken van de tweede orde"

1. Definitie van een ellips als een verzameling punten. Afleiding van de canonieke vergelijking van een ellips in een rechthoekig Cartesisch coördinatenstelsel. De belangrijkste parameters van de curve.

2. oppervlakte vergelijking x 2 4y 2 z 2 8x 4y 6z 17 0 leiden naar de canonieke

verstand. Maak een tekening in het canonieke coördinatensysteem. Geef de naam van dit oppervlak op.

3. Schrijf een vergelijking voor een gelijkassige hyperbool als het middelpunt O 1 1, 1 en een van de brandpunten F 1 3, 1 bekend zijn. Maak een tekening.

Modulo controle nr. 2 “Bochten en vlakken van de tweede orde. Matrices en stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen»

1. Homogene systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen (SLAE). Vormen van het schrijven van een homogene SLAE. Bewijs van een criterium voor het bestaan ​​van niet-nuloplossingen van een homogene SLAE.

2. Los de matrixvergelijking AX B op,

Doe een controle.

3. a) Los de SLAE op. b) Zoek een normaal fundamenteel systeem van oplossingen van het overeenkomstige homogene systeem, een bepaalde oplossing van het inhomogene systeem; schrijf via hen de algemene oplossing van dit inhomogene systeem:

x 1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 4 x 2 x 3 x 4 3

x1 3x2 3x4 1

7 x 2 3 x 3 x 4 3

Vragen ter voorbereiding op modulecontroles, tests, tests en examens

1. Geometrische vectoren. Gratis vectoren. Definitie van collineaire en coplanaire vectoren. Lineaire bewerkingen op vectoren en hun eigenschappen.

2. Definitie van lineaire afhankelijkheid en lineaire onafhankelijkheid van vectoren. Bewijs voor de voorwaarden van lineaire afhankelijkheid 2 en 3 vectoren.

3. Definitie van een basis in ruimten van vectoren V1, V2, V3. Bewijs van de stelling over het bestaan ​​en de uniciteit van de uitbreiding van een vector in termen van een basis. Lineaire bewerkingen op vectoren gegeven door hun coördinaten in de basis.

4. Definitie van het scalaire product van vectoren, het verband met de orthogonale projectie van een vector op een as. Eigenschappen van het scalaire product, hun bewijs. Afleiding van de formule voor het berekenen van het scalaire product van vectoren in een orthonormale basis.

5. Definitie van een orthonormale basis. Relatie tussen de coördinaten van een vector in een orthonormale basis en zijn orthogonale projecties op de vectoren van deze basis. Afleiding van formules voor het berekenen van de lengte van een vector, de richtingscosinus, de hoek tussen twee vectoren in een orthonormale basis.

6. Rechts en links triples van vectoren. Definitie van het uitwendig product van vectoren, de mechanische en geometrische betekenis ervan. Productoverschrijdende eigenschappen (zonder docva). Afleiding van de formule voor het berekenen van het uitwendige product in een orthonormale basis.

7. Definitie van het gemengde product van vectoren. Het volume van het parallellepipedum en het volume van de piramide, gebouwd op niet-coplanaire vectoren. Compplanariteitsvoorwaarde voor drie vectoren. Eigenschappen van een gemengd product. Afleiding van de formule voor het berekenen van het gemengde product in een orthonormale basis.

8. Definitie van een rechthoekig Cartesisch coördinatenstelsel. Oplossing van de eenvoudigste problemen van analytische meetkunde.

9. Verschillende soorten vergelijkingen van een rechte lijn op een vlak: vector, parametrisch, canoniek. De richtingsvector is recht.

10. Afleiding van de vergelijking van een rechte die door twee gegeven punten gaat.

11. Bewijs van de stelling dat in een rechthoekig Cartesiaans coördinatensysteem op een vlak een vergelijking van de eerste graad een rechte lijn definieert. Definitie van de normaalvector van een rechte lijn.

12. Vergelijking met hellingscoëfficiënt, vergelijking van een rechte lijn “in segmenten”. De geometrische betekenis van de parameters die in de vergelijkingen zijn opgenomen. Hoek tussen twee lijnen. Voorwaarden van parallellisme en loodrechtheid van twee lijnen gegeven door hun algemene of canonieke vergelijkingen.

13. Afleiding van de formule voor de afstand van een punt tot een lijn op een vlak.

14. Bewijs van de stelling dat in een rechthoekig Cartesisch coördinatenstelsel in de ruimte een vergelijking van de eerste graad een vlak definieert. Algemene vergelijking van het vlak. Definitie van de normaalvector van het vlak. Afleiding van de vergelijking van een vlak dat door drie gegeven punten gaat. Vergelijking van het vlak "in segmenten".

15. Hoek tussen vlakken. Voorwaarden van parallellisme en loodrechtheid van twee vlakken.

16. Afleiding van de formule voor de afstand van een punt tot een vlak.

17. Algemene vergelijkingen van een rechte lijn in de ruimte. Afleiding van vector-, canonieke en parametrische vergelijkingen van een rechte lijn in de ruimte.

18. Hoek tussen twee rechte lijnen in de ruimte, voorwaarden van parallellisme en loodrechtheid van twee rechte lijnen. Voorwaarden voor twee lijnen om tot hetzelfde vlak te behoren.

19. Hoek tussen een rechte lijn en een vlak, voorwaarden van parallellisme en loodrechtheid van een rechte lijn en een vlak. De voorwaarde om tot een rechte lijn van een bepaald vlak te behoren.

20. Het probleem van het vinden van de afstand tussen snijdende of evenwijdige lijnen.

21. Definitie van een ellips als een verzameling punten. Afleiding van de canonieke vergelijking van de ellips.

22. Definitie van een hyperbool als een plaats van punten. Afleiding van de canonieke vergelijking van een hyperbool.

23. Definitie van een parabool als een plaats van punten. Afleiding van de canonieke paraboolvergelijking.

24. Definitie van een cilindrisch oppervlak. Canonieke vergelijkingen van cilindrische oppervlakken 2e bestelling.

25. Het concept van een oppervlak van revolutie. Canonieke vergelijkingen van oppervlakken gevormd door de rotatie van een ellips, hyperbool en parabool.

26. Canonieke vergelijkingen van een ellipsoïde en een kegel. Onderzoek naar de vorm van deze vlakken door middel van de doorsnedemethode.

27. Canonieke vergelijkingen van hyperboloïden. Onderzoek naar de vorm van hyperboloïden door middel van secties.

28. Canonieke vergelijkingen van paraboloïden. Onderzoek naar de vorm van paraboloïden door middel van secties.

29. Het concept van een matrix. Soorten matrices. Matrix-gelijkheid. Lineaire bewerkingen op matrices en hun eigenschappen. Matrix-transpositie.

30. Matrix vermenigvuldiging. Eigenschappen van de werking van matrixvermenigvuldiging.

31. Definitie van een inverse matrix. Bewijs van de uniciteit van de inverse matrix. Bewijs van de inverse matrixstelling voor het product van twee inverteerbare matrices.

32. Criterium voor het bestaan ​​van een inverse matrix. Het concept van de bijbehorende matrix, de verbinding met de inverse matrix.

33. Afleiding van de formules van Cramer voor het oplossen van een stelsel lineaire vergelijkingen met een niet-ontaarde vierkante matrix.

34. Lineaire afhankelijkheid en lineaire onafhankelijkheid van rijen (kolommen) van een matrix. Bewijs van het criterium voor lineaire afhankelijkheid van rijen (kolommen).

35. Definitie van een matrix minor. Basis minor. Basis minor stelling (zonder doqua). Bewijs van zijn uitvloeisel voor vierkante matrices.

36. Fringing minors methode voor het vinden van de rangorde van een matrix.

37. Elementaire transformaties van rijen (kolommen) van een matrix. De inverse matrix vinden met de methode van elementaire transformaties.

38. Matrix ronder elementaire transformaties. De rangorde van een matrix vinden met de methode van elementaire transformaties.

39. Systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen (SLAE). Diverse schrijfvormen SLAE. Gezamenlijke en niet-gezamenlijke SLAE. Bewijs van het Kronecker-Kapeli-criterium van SLAE-compatibiliteit.

40. Homogene systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen (SLAE). Eigenschappen van hun oplossingen.

41. Definitie van een fundamenteel systeem van oplossingen (FSR) van een homogeen systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen (SLAE). Stelling over de structuur van de algemene oplossing van een homogene SLAE. De bouw van de FSR.

42. Inhomogene systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen (SLAE). Bewijs van de stelling over de structuur van de algemene oplossing van een inhomogene SLAE.

Controlegebeurtenis	Aantal taken	Punten voor de taak
DZ №1, deel 1
Gescoorde punten
Controlegebeurtenis	Aantal taken	Punten voor de taak
DZ №1, deel 2
Gescoorde punten

Controlegebeurtenis				Aantal taken			Punten voor de taak
Modulo-besturing nr. 1				1 theorie en 3 opdrachten			theorie - 0; 3; 6
							taken - 0; een; 2
			Gescoorde punten
Controlegebeurtenis				Aantal taken			Punten voor de taak
	Gescoorde punten
Controlegebeurtenis				Aantal taken			Punten voor de taak
				1 theorie en 3 opdrachten			theorie - 0; 3; 6
							taken - 0; een; 2
			Gescoorde punten
						01 theorie en 3 opdrachten			theorie - 0; 3; 6
		taken - 0; een; 2
			Gescoorde punten

Scoreregels voor journaal

1. Punten voor DZ. Punten voor DZ worden de week na de uitgerekende datum vastgelegd, volgens de bijbehorende tabel. De student heeft het recht om vóór de deadline individuele opdrachten ter verificatie in te dienen en de door de docent geconstateerde fouten te corrigeren, met het nodige advies. Als de student tegen de deadline voor het indienen van de DZ de oplossing voor het probleem naar de juiste optie brengt, krijgt hij de maximale score voor deze taak. Na de deadline voor het inleveren van de DZ kan een student die niet de minimale score voor de DZ heeft behaald, verder werken aan de opdracht. Tegelijkertijd krijgt de student bij succesvol werken de minimumscore voor de DZ.

2. Punten voor CR. Als een student de minimumscore voor de CR niet op tijd haalt, kan hij dit werk tijdens het semester twee keer herschrijven. Bij een positief resultaat (een set van punten niet minder dan het vastgestelde minimum), krijgt de student de minimumscore voor de KR.

3. Punten voor "modulo control". Als “modulo control” wordt een schriftelijk werk voorgesteld, bestaande uit theoretische en praktische delen. Elk onderdeel van de regelmodule wordt afzonderlijk geëvalueerd. Een student die op een van de onderdelen van de controle een cijfer heeft behaald dat niet lager is dan het minimum, wordt geacht voor dit onderdeel te zijn geslaagd en is in de toekomst ontheven van de uitvoering ervan. Naar goeddunken van de docent kan een interview worden afgenomen over het theoretische gedeelte van de opdracht. Als een student niet voor elk onderdeel van het werk het minimum behaalt, heeft hij gedurende het semester twee pogingen voor elk onderdeel om de situatie te corrigeren. Met een positieve

Als resultaat (een set van punten niet minder dan het vastgestelde minimum) krijgt de student de minimumscore voor "modulecontrole".

4. Cijfer per module. Als de student alle huidige controleactiviteiten van de module heeft voltooid (minimaal de vastgestelde minimumscore),

dan is de beoordeling voor de module de som van punten voor alle controleactiviteiten van de module (in dit geval scoort de student automatisch minimaal de minimumdrempel). De laatste punten voor de module worden in het journaal ingevoerd na voltooiing van alle controleactiviteiten.

5. Totaalscore. Som van punten voor twee modules.

6. Evaluatie. De eindcertificering (examen, gedifferentieerde toets, toets) wordt uitgevoerd op basis van de resultaten van het werk in het semester nadat de student de geplande hoeveelheid studiewerk heeft voltooid en voor elke module een beoordeling heeft ontvangen die niet lager is dan het vastgestelde minimum. De maximale score voor alle modules, inclusief scores voor zorgvuldigheid, is 100, het minimum is 60. De som van de scores voor alle modules vormt een beoordelingsscore voor de discipline voor het semester. Een student die alle beheersmaatregelen met goed gevolg heeft doorlopen, krijgt een eindcijfer in de discipline voor het semester volgens de schaal:

		examencijfer,	Beoordeling op offset
		gedifferentieerd klassement
		bevredigend
		onbevredigend

Je kunt je beoordeling verhogen en daarmee het examencijfer op het eindexamen (schriftelijk werken aan de stof van de discipline als geheel wordt uitgevoerd tijdens de examenzitting), de maximale score is 30, het minimum is 16. Deze punten worden opgeteld bij de behaalde punten voor alle modules in het vakgebied. Tegelijkertijd moet de student, om het cijfer "goed" voor het examen te verhogen, minimaal 21 punten scoren, tot "uitstekend" - minimaal 26 punten. Voor specialismen waar krediet per discipline wordt verstrekt, wordt de rating niet verhoogd. Studenten die aan het begin van de examensessie een score tussen 0-59 hebben behaald, behalen het minimum dat vereist is om een ​​positief cijfer in de discipline te behalen door controle-evenementen die niet eerder werden toegekend voor individuele modules opnieuw te doen. Tegelijkertijd kunnen studenten die geen goede reden hebben uiteindelijk (tegen het einde van de examenzittijd) een cijfer krijgen dat niet hoger is dan 'voldoende'.