Hogere-orde vergelijkingen die het mogelijk maken om de volgorde te verlagen. Methoden voor het verlagen van de volgorde van een vergelijking

Daarom is er een natuurlijke wens om een ​​vergelijking van een hogere orde dan de eerste te reduceren tot een vergelijking van een lagere orde. In sommige gevallen kan dit worden gedaan. Laten we ze eens bekijken.

1. Vergelijkingen van de vorm y (n) =f(x) worden opgelost door opeenvolgende integratie n keer
, ,… .
Voorbeeld. Los de vergelijking xy""=1 op. We kunnen daarom schrijven y"=ln|x| + C 1 en, opnieuw integrerend, krijgen we uiteindelijk y=∫ln|x| + C 1 x + C 2

2. In vergelijkingen van de vorm F(x,y (k) ,y (k +1) ,..,y (n))=0 (d.w.z. niet expliciet met een onbekende functie en enkele van zijn afgeleiden), volgorde wordt verminderd door verandering van variabele y (k) = z (x) te gebruiken. Dan y (k +1) =z"(x),…,y (n) = z (n - k) (x) en we krijgen de vergelijking F(x,z,z",..,z (n - k)) van orde n-k. De oplossing is de functie z = φ(x,C 1 ,C 2 ,…,C n) of, als we bedenken wat z is, krijgen we de vergelijking y (n- k) = φ(x,C 1 ,C 2 , …, C n - k) van het type beschouwd in geval 1.
Voorbeeld 1 . Los de vergelijking x 2 y "" = (y") 2 op. We maken de vervanging y "=z (x) . Dan y""=z"(x) . Substitueren in de oorspronkelijke vergelijking, krijgen we x 2 z"=z 2. Als we de variabelen scheiden, krijgen we . Integreren, we hebben , of, wat hetzelfde is, . De laatste relatie wordt geschreven als , waar vandaan . Integreren, we krijgen eindelijk
Voorbeeld 2 . Los de vergelijking x 3 y"" +x 2 y"=1 op. We veranderen de variabelen: y"=z; y""=z"
x 3 z "+x 2 z=1. We veranderen variabelen: z=u/x; z"=(u"x-u)/x 2
x 3 (u "x-u) / x 2 + x 2 u / x = 1 of u" x 2 -xu + xu = 1 of u "x ^ 2 = 1. Van: u" = 1 / x 2 of du / dx=1/x 2 of u = int(dx/x 2) = -1/x+c 1
Aangezien z=u/x, dan is z = -1/x 2 +c 1 /x. Aangezien y "=z, dan dy / dx \u003d -1 / x 2 + c 1 / x
y = int(c 1 dx/x-dx/x 2) =c 1 ln(x) + 1/x + c 2 . Antwoord: y = c 1 ln(x) + 1/x + c 2

3. De volgende vergelijking die in volgorde kan worden gereduceerd, is een vergelijking van de vorm F(y,y",y"",…,y (n))=0 , die niet expliciet een onafhankelijke variabele bevat. de vergelijking wordt gereduceerd door de variabele y" =p(y) te wijzigen, waarbij p de nieuwe gewenste functie is, afhankelijk van y. Dan
= enzovoort. Door inductie hebben we y (n) =φ(p,p",..,p (n-1)). Door in de oorspronkelijke vergelijking te substitueren, verlagen we de volgorde met één.

Voorbeeld. Los de vergelijking (y") 2 +2yy""=0 op. We maken de standaardvervanging y"=p(y) , dan y″=p′·p . Substitueren in de vergelijking, krijgen we Als we de variabelen scheiden, hebben we bij p≠0 Integrating, we krijgen of, wat hetzelfde is, . Dan of . Door de laatste gelijkheid te integreren, verkrijgen we uiteindelijk Bij het scheiden van variabelen kunnen we de oplossing y=C verliezen, die wordt verkregen bij p=0, of, wat hetzelfde is, bij y"=0, maar deze zit in de hierboven verkregen oplossing.

4. Soms is het mogelijk om een ​​kenmerk op te merken dat het mogelijk maakt om de volgorde van de vergelijking op een andere manier te verlagen dan hierboven is overwogen. Laten we dit met voorbeelden laten zien.

Voorbeelden.
1. Als beide delen van de vergelijking yy"""=y′y″ worden gedeeld door yy″, krijgen we de vergelijking , die kan worden herschreven als (lny″)′=(lny)′. volgt dat lny″=lny +lnC , of, wat hetzelfde is, y″=Cy... Het resultaat is een vergelijking die een orde van grootte lager is en van het type dat eerder is overwogen.
2. Evenzo geldt voor de vergelijking yy″=y′(y′+1) , of (ln(y"+1))" = (lny)" . Uit de laatste relatie volgt dat ln(y"+ 1) = lny + lnC 1 , of y"=C 1 y-1. Als we de variabelen scheiden en integreren, krijgen we ln(C 1 y-1) = C 1 x+C 2
Beslissen lagere orde vergelijkingen mogelijk met behulp van een speciale service

een van de methoden voor het integreren van differentiaalvergelijkingen van hogere orde is de methode voor het verminderen van de orde. De essentie van de methode is dat met behulp van een verandering van variabele (substitutie), deze DE wordt gereduceerd tot een vergelijking waarvan de volgorde lager is.

Laten we eens kijken naar drie soorten vergelijkingen die in volgorde kunnen worden gereduceerd.

I. Laat de vergelijking

De volgorde kan worden verlaagd door een nieuwe functie p(x) in te voeren, door y"=p(x) in te stellen. Dan y""=p"(x) en we krijgen de eerste-orde DE: p"=ƒ(x) Door het op te lossen, d.w.z. als we de functie p \u003d p (x) hebben gevonden, lossen we de vergelijking y "\u003d p (x) op. Laten we de algemene oplossing van de gegeven vergelijking (3.6) verkrijgen.

In de praktijk werken ze anders: de volgorde wordt direct verlaagd door opeenvolgende integratie van de vergelijking.

Als vergelijking (3.6) kan worden geschreven als dy "=ƒ(х) dx. Als we dan de vergelijking y""=ƒ(х) integreren, krijgen we: y"= of y"=j1(x)+с 1. Verder , als we de resulterende vergelijking voor x integreren, vinden we: - de algemene oplossing van deze vergelijking. Als de vergelijking wordt gegeven dan, door het achtereenvolgens n keer te integreren, vinden we de algemene oplossing van de vergelijking:

Voorbeeld 3.1. los De vergelijking op

Oplossing: Door deze vergelijking achtereenvolgens vier keer te integreren, verkrijgen we:

Laat de vergelijking

Laten we y "=p aanduiden, waarbij p=p(x) een nieuwe onbekende functie is. Dan hebben y" "=p" en vergelijking (3.7) de vorm p "=ƒ(x; p). Laat p=j (x; c 1) - de algemene oplossing van de verkregen eerste-orde DE. Als we de functie p vervangen door y ", verkrijgen we de DE: y" \u003d j (x; c 1). Het heeft de vorm (3.6) Om y te vinden, volstaat het om de laatste vergelijking te integreren. De algemene oplossing van de vergelijking ( 3.7) ziet er als volgt uit

Een speciaal geval van vergelijking (3.7) is de vergelijking

die ook niet de expliciet gewenste functie bevat, dan kan de volgorde ervan met k eenheden worden verminderd door y (k) = p(x) in te stellen. Dan y (k + 1) = p "; ...; y (n) = p (n-k) en vergelijking (3.9) heeft de vorm F(x; p; p ";...; p (n-κ ) )=0. Een speciaal geval van vergelijking (3.9) is de vergelijking

Door y (n-1) =p(x), y (n) =p " te vervangen, wordt deze vergelijking gereduceerd tot een eerste-orde DE.

Voorbeeld 3.2. los De vergelijking op

Oplossing: We zetten y "=p, waar Dan Dit is een scheidbare vergelijking: Als we integreren, krijgen we Terugkerend naar de oorspronkelijke variabele, krijgen we y "=c 1 x,

is de algemene oplossing van de vergelijking.

III. Overweeg de vergelijking

die geen expliciet onafhankelijke variabele x bevat.

Om de volgorde van de vergelijking te verlagen, introduceren we een nieuwe functie p = p (y), afhankelijk van de variabele y, door y "= p in te stellen. We differentiëren deze gelijkheid met betrekking tot x, rekening houdend met het feit dat p \u003d p ( y (x)):

d.w.z. Nu kan vergelijking (3.10) worden geschreven in de vorm

Zij р=j(y;с 1) de algemene oplossing van deze eerste-orde DE. Als we de functie p(y) vervangen door y", krijgen we y"=j(y;c 1) - een DE met scheidbare variabelen. Als we het integreren, vinden we de algemene integraal van vergelijking (3.10):

Een speciaal geval van vergelijking (3.10) is de DE

Een dergelijke vergelijking wordt opgelost met een vergelijkbare vervanging: y " \u003d p (y),

We doen hetzelfde bij het oplossen van de vergelijking F (y; y "; y" "; ...; y (n)) \u003d 0. De volgorde kan met één worden verminderd door y "= p in te stellen, waarbij p \u003d p (j). Door de regel van differentiatie van een complexe functie, vinden we Dan vinden we

p \u003d uv \u003d ((-1 + y) e -y + e -y + c 1) e + y, of p \u003d c 1 ey + y. Als we p vervangen door y ", krijgen we: y" \u003d c 1 -e y + y. Als we y"=2 en y=2 in deze gelijkheid substitueren, vinden we met 1:

2=c 1 e 2 +2, c 1 =0.

We hebben y"=y. Vandaar y=c 2 e x. We vinden c 2 uit de beginvoorwaarden: 2=c 2 e°, c 2 =2. Dus y=2e x is een bepaalde oplossing van de gegeven

De differentiaalvergelijking van de 2e orde heeft de vorm:

De algemene oplossing van de vergelijking is een familie van functies die afhankelijk is van twee willekeurige constanten en: (of - de algemene integraal van een differentiaalvergelijking van de 2e orde). Het Cauchy-probleem voor de differentiaalvergelijking van de 2e orde (1.1) is het vinden van een bepaalde oplossing van de vergelijking die aan de beginvoorwaarden voldoet: voor: , . Opgemerkt moet worden dat de grafieken van oplossingen van de vergelijking van de 2e orde elkaar kunnen snijden, in tegenstelling tot de grafieken van oplossingen van de vergelijking van de 1e orde. De oplossing van het Cauchy-probleem voor de vergelijkingen van de tweede orde (1.1) onder vrij brede aannames voor de functies die de vergelijking binnenkomen, is echter uniek, d.w.z. twee oplossingen met een gemeenschappelijke beginvoorwaarde vallen samen op het snijpunt van de definitie-intervallen.

Het verkrijgen van een algemene oplossing of het oplossen van het Cauchy-probleem voor een differentiaalvergelijking van de 2e orde is analytisch niet altijd mogelijk. In sommige gevallen is het echter mogelijk om de volgorde van de vergelijking te verlagen door verschillende substituties in te voeren. Laten we deze gevallen analyseren.

1. Vergelijkingen die geen expliciet onafhankelijke variabele bevatten.

Laat de differentiaalvergelijking van de 2e orde de vorm hebben: , d.w.z. Vergelijking (1.1) bevat niet expliciet de onafhankelijke variabele. Dit stelt ons in staat om het als een nieuw argument te nemen en de afgeleide van de 1e orde als een nieuwe functie te nemen. Dan.

Dus een vergelijking van de 2e orde voor een functie die niet expliciet bevat, is teruggebracht tot een vergelijking van de 1e orde voor een functie. Als we deze vergelijking integreren, krijgen we een algemene integraal of, en dit is een differentiaalvergelijking van de eerste orde voor de functie. Als we dit oplossen, verkrijgen we de algemene integraal van de oorspronkelijke differentiaalvergelijking, die afhangt van twee willekeurige constanten: .

Voorbeeld 1. Los een differentiaalvergelijking op voor gegeven beginvoorwaarden: , .

Aangezien er geen expliciet argument in de oorspronkelijke vergelijking is, nemen we voor een nieuwe onafhankelijke variabele, en - voor. Dan heeft de vergelijking de volgende vorm voor de functie: .

Dit is een differentiaalvergelijking met scheidbare variabelen: . Vanwaar volgt, d.w.z. .

Omdat voor en vervolgens de beginvoorwaarden in de laatste gelijkheid substitueren, krijgen we dat en, wat equivalent is. Als resultaat hebben we voor de functie een vergelijking met scheidbare variabelen, die we oplossen. Als we de beginvoorwaarden gebruiken, krijgen we dat. Daarom heeft de partiële integraal van de vergelijking die aan de beginvoorwaarden voldoet de vorm: .

2. Vergelijkingen die de expliciet gewenste functie niet bevatten.

Laat de differentiaalvergelijking van de 2e orde de vorm hebben: , d.w.z. de gewenste functie is duidelijk niet opgenomen in de vergelijking. In dit geval wordt de instelling ingevoerd. Dan gaat de vergelijking van de 2e orde voor de functie over in de vergelijking van de 1e orde voor de functie. Na integratie krijgen we een differentiaalvergelijking van de 1e orde voor de functie: . Als we de laatste vergelijking oplossen, verkrijgen we de algemene integraal van de gegeven differentiaalvergelijking, die afhangt van twee willekeurige constanten: .