1 ознака рівності трикутників називається. Третя ознака рівності трикутників

Серед величезної кількостібагатокутників, які по суті є замкнутою ламаною лінією, що не перетинається, трикутник - це фігура з найменшою кількістю кутів. Іншими словами, це найпростіший багатокутник. Але, незважаючи на всю свою простоту, ця постать таїть у собі багато загадок і цікавих відкриттів, які висвітлюються особливим розділомматематики – геометрією. Цю дисципліну в школах починають викладати із сьомого класу, і темі «Трикутник» тут приділяється особливу увагу. Діти не тільки дізнаються правила про саму фігуру, а й порівнюють їх, вивчаючи 1, 2 та 3 ознаки рівності трикутників.

Перше знайомство

Один із перших правил, з яким знайомляться школярі, звучить приблизно так: сума величин усіх кутів трикутника дорівнює 180 градусам. Щоб це підтвердити, достатньо за допомогою транспортира виміряти кожну з вершин і скласти всі значення, що вийшли. Виходячи з цього, за двох відомих величин легко визначити третю. Наприклад: У трикутнику один з кутів дорівнює 70 °, а інший - 85 °, яка величина третього кута?

180 - 85 - 70 = 25.

Відповідь: 25 °.

Завдання можуть бути і більш складними, якщо вказано лише одне значення кута, а про другу величину сказано лише, на скільки або скільки разів вона більша або менша.

У трикутнику для визначення тих чи інших його особливостей можуть бути проведені спеціальні лінії, кожна з яких має свою назву:

• висота – перпендикулярна пряма, проведена з вершини до протилежної сторони;
• всі три висоти, проведені одночасно, у центрі фігури перетинаються, утворюючи ортоцентр, який залежно від виду трикутника може бути як усередині, так і зовні;
• медіана - лінія, що з'єднує вершину із серединою протилежної сторони;
• перетин медіан є точкою його тяжкості, що знаходиться всередині фігури;
• бісектриса - лінія, що проходить від вершини до точки перетину з протилежною стороною, точка перетину трьох бісектрис є центром вписаного кола.

Прості істини про трикутники

Трикутники, як, власне, і всі фігури, мають свої особливості та властивості. Як уже говорилося, ця фігура є найпростішим багатокутником, але зі своїми характерними ознаками:

• проти найдовшої сторони завжди лежить кут із більшою величиною, і навпаки;
• проти рівних сторін лежать рівні кути, приклад тому - рівнобедрений трикутник;
• сума внутрішніх кутів завжди дорівнює 180 °, що вже було продемонстровано на прикладі;
• при продовженні однієї сторони трикутника за межі утворюється зовнішній кут, який завжди буде дорівнює сумікутів, з ним не суміжних;
• будь-яка зі сторін завжди менше суми двох інших сторін, але більше їх різниці.

Види трикутників

Наступний етап знайомства полягає у визначенні групи, до якої належить представлений трикутник. Приналежність того чи іншого виду залежить від величин кутів трикутника.

• Рівнобедрений - з двома рівними сторонами, які називають бічними, третя у цьому випадку виступає основою фігури. Кути біля основи такого трикутника однакові, а медіана, проведена з вершини, є бісектрисою та висотою.
• Правильний, або рівносторонній трикутник, - Це той, у якого всі його сторони рівні.
• Прямокутний: один із його кутів дорівнює 90°. У цьому випадку сторона, що протилежить цьому кутку, називається гіпотенузою, а дві інші - катетами.
• Гострокутний трикутник - всі кути менше 90 °.
• Тупокутний - один із кутів більше 90°.

Рівність та подоба трикутників

У процесі навчання не лише розглядають окремо взяту фігуру, а й порівнюють два трикутники. І ця, начебто, проста темамає масу правил і теорем, якими можна довести що розглянуті постаті - рівні трикутники. Ознаки рівності трикутників мають таке визначення: трикутники рівні, якщо відповідні сторони і кути однакові. За такої рівності, якщо накласти ці дві фігури одна на одну, всі їхні лінії зійдуться. Також фігури можуть бути подібними, зокрема це стосується практично однакових фігур, Що відрізняються лише величиною. Для того, щоб зробити такий висновок про представлені трикутники, необхідно дотримання однієї з наступних умов:

• два кути однієї фігури дорівнюють двом кутам іншої;
• дві сторони одного пропорційні двом сторонам другого трикутника, а величини кутів, утворених сторонами, дорівнюють;
• три сторони другої фігури такі самі, як і в першої.

Звичайно, для безперечної рівності, яка не викликає жодного сумніву, необхідно мати однакові значення всіх елементів обох фігур, проте з використанням теорем завдання значно спрощується, і для доказу рівності трикутників допускається наявність лише декількох умов.

Перша ознака рівності трикутників

Завдання на цю тему вирішуються з урахуванням докази теореми, яка звучить так: "Якщо дві сторони трикутника і кут, який вони утворюють, дорівнюють двом сторонам і кутку іншого трикутника, то й фігури теж рівні між собою".

Як же звучить підтвердження теореми про першу ознаку рівності трикутників? Всім відомо, що два відрізки рівні, якщо вони однієї довжини, або кола рівні, якщо мають однаковий радіус. А у випадку з трикутниками є кілька ознак, маючи які, можна припустити, що фігури ідентичні, що дуже зручно використовувати під час вирішення різних геометричних завдань.

Як звучить теорема «Перша ознака рівності трикутників», описано вище, а ось її доказ:

• Припустимо, трикутники АВС і А 1 В 1 З 1 мають однакові сторони АВ і А 1 В 1 і, відповідно, ВС і В 1 З 1 , а кути, які утворюються цими сторонами, мають одну й ту саму величину, тобто рівні. Тоді, наклавши ABC на A А 1 В 1 С 1, отримаємо збіг всіх ліній і вершин. Звідси випливає, що це трикутники абсолютно ідентичні, отже, рівні між собою.

Теорему "Перша ознака рівності трикутників" називають ще "По двох сторонах і кутку". Власне, в цьому і полягає її суть.

Теорема про другу ознаку

Друга ознака рівності доводиться аналогічно, доказ ґрунтується на тому, що при накладенні фігур одна на одну вони повністю збігаються по всіх вершинах і сторонах. А звучить теорема так: "Якщо одна сторона і два кути, в освіті яких вона бере участь, відповідають стороні і двом кутам другого трикутника, то ці фігури ідентичні, тобто рівні".

Третя ознака та доказ

Якщо як 2, і 1 ознака рівності трикутників стосувався як сторін, і кутів фігури, то третій належить лише до сторон. Отже, теорема має таке формулювання: "Якщо всі сторони одного трикутника дорівнюють трьом сторонам другого трикутника, то фігури ідентичні".

Щоб довести цю теорему, потрібно детальніше заглибитися в саме визначення рівності. Власне, що означає вираз «трикутники рівні»? Ідентичність говорить про те, що якщо накласти одну фігуру на іншу, всі їх елементи збігатимуться, це може бути тільки в тому випадку, коли їхні сторони та кути будуть рівними. У той же час кут, що протилежить одній зі сторін, яка така сама, як у іншого трикутника, дорівнюватиме відповідній вершині другої фігури. Слід зазначити, що тут доказ легко перевести на 1 ознака рівності трикутників. Якщо така послідовність не спостерігається, рівність трикутників просто неможлива, за винятком тих випадків, коли фігура є дзеркальним відображеннямпершою.

Прямокутні трикутники

У будові таких трикутників є вершини з величиною кута 90°. Тому справедливі такі твердження:

• трикутники з прямим кутом рівні, якщо катети одного ідентичні катет другого;
• фігури рівні, якщо рівні їх гіпотенузи та один із катетів;
• такі трикутники рівні, якщо їх катети і гострий кутідентичні.

Ця ознака відноситься до Докази теореми застосовують додаток фігур один до одного, в результаті якого трикутники складають катетами так, щоб з двох прямих вийшов зі сторонами СА і СА 1 .

Практичне застосування

Найчастіше практично застосовується перша ознака рівності трикутників. Насправді така, здавалося б, проста тема 7 класу з геометрії та планіметрії використовується і для обчислення довжини, наприклад, телефонного кабелю без вимірів місцевості, якою він проходитиме. З допомогою цієї теореми легко зробити необхідні розрахунки визначення довжини острова, що є посеред річки, не перепливаючи нею. Або зміцнити паркан, розташувавши планку в прольоті так, щоб вона ділила його на два рівні трикутники, або ж розрахувати складні елементироботи у столярній справі, або при розрахунку кроквяної системи даху під час будівництва.

Перша ознака рівності трикутників має широке застосування у реальному «дорослому» житті. Хоча в шкільні рокисаме ця тема для багатьох здається нудною та зовсім непотрібною.

Третя ознака рівності трикутників з трьох сторін формулюється як теореми.

Теорема : Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Доведення.розглянемо ΔABC та ΔA 1 B 1 C 1 у яких AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , ВС=В 1 С 1 . Доведемо, що ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

Нехай ABC та A 1 B 1 C 1 – трикутники, у яких AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 . Накладемо ∆ABC на ∆A 1 B 1 C 1 так, щоб вершина A сумісна A 1 , а вершини B і B 1 , а вершини С і С 1 виявилися різні сторонивід прямої A 1 1 . Можливі три випадки: 1) промінь С1С проходить усередині кута А1С1В1 (рис. а)); 2) промінь С1С збігається з однією зі сторін цього кута (рис. б)); промінь С1С проходить поза кутом А1С1В1 (рис. в)). Розглянемо перший випадок. Так як за умовою теореми сторони АС і A 1 C 1 ВС і В 1 С 1 рівні, то трикутники А 1 С 1 С і В 1 С 1 С - рівнобедрені. По теоремі про властивість кутів рівнобедреного трикутника Ðl = Ð2, Ð3 = Ð4, тому ÐA 1 CB 1 = =ÐA 1 С 1 B 1 . Отже, AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , ÐС = ÐС 1 . Отже, трикутники ABC і А1В1С1 рівні за першою ознакою рівності трикутників.

Запис на дошці:

Дано:ΔABC, ΔA 1 B 1 C 1 , AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , ВС=В 1 С 1

Довести:ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

Доведення.Накладемо ∆ABC на ∆A 1 B 1 C 1 так, щоб A →A 1 , а B → B 1 , а С та С 1 виявилися по різні боки від прямої A 1 В 1 . Розглянемо нагоду. промінь С 1 С проходить всередині ÐА 1 С 1 В 1 (рис. а)).

АС=A 1 C 1 , ВС=В 1 С 1 ═> ΔА 1 С 1 С і ΔВ 1 С 1 С - рівноб. ═> Ðl = Ð2, Ð3 = Ð4 (по св-ву кутів рівноб. Δ), ═> ÐA 1 CB 1 =ÐA 1 С 1 B 1 ═> AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , ÐС = ÐС 1 ═>

ΔABC=ΔА 1 В 1 С 1 за першою ознакою рівності трикутників.

2.Ромб. Визначення, властивості, ознаки.

Ромб є різновидом чотирикутника.

Визначення: Ромб називається паралелограм, у якого всі сторони рівні.

На малюнку зображено паралелограм ABCD у якого AB=BC=CD=DA. За визначенням цей паралелограм – ромб. АС та ВD – діагоналі ромба. Оскільки ромб – паралелограм, йому справедливі всі властивості та ознаки паралелограма.

Властивості:

1) У ромбі протилежні кути рівні (A = C, B = D)

2) Діагоналі ромба точкою перетину діляться навпіл. (BО = ОD, AО = ОC)

3) Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні та діляться його кути навпіл. (АС DВ, ‌‌ÐАBО=ÐОВС, ÐADО=ÐОDC, ‌‌ÐBСО=ÐDСО, ÐDАО=ÐВАО) ( особлива властивість)

4) Сума кутів, прилеглих до однієї сторони дорівнює 180 0

ознаками ромба:

1) Якщо діагоналі паралелограма взаємно перпендикулярні, цей паралелограм – ромб

2) Якщо діагональ паралелограма ділить його кути навпіл, цей паралелограм ромб.

3) якщо в паралелограмі всі сторони рівні, він є ромбом.

Запис на дошці.

Властивості:

1) ÐA=ÐC, ÐB=ÐD 2) BО=ОD, AО=ОC

3) АС DВ, ‌‌ÐАBО=ÐОВС, ÐADО=ÐОDC, ‌‌ÐBСО=ÐDСО, ÐDАО=ÐВАО

4) ÐA+ÐВ= ÐС+ÐD=ÐВ+ÐC=ÐА+ÐD=180 0

Зворотні твердження є ознаками ромба:

1 ) Якщо ABСD - парал-м, і АС DВ, то - ABСD - ромб.

2) Якщо ABCD - парал-м, і АС і DВ - бісектриси, то - ABCD - ромб.

3) Якщо ABCD - парал-м, і АС = DВ і BC = AD, то - ABCD - ромб.

Завдання.

Два трикутники називаються рівними, якщо їх можна поєднати накладенням. На малюнку 1 зображені рівні трикутники ABC і А1В1С1. Кожен із цих трикутників можна накласти на інший так, що вони повністю суміщаться, тобто попарно поєднаються їхні вершини та сторони. Ясно, що при цьому попарно поєднаються і кути цих трикутників.

Таким чином, якщо два трикутники рівні, то елементи (тобто сторони та кути) одного трикутника відповідно дорівнюють елементам іншого трикутника. Відмітимо, що в рівних трикутникахпроти відповідно рівних сторін(тобто поєднуються при накладенні) лежать рівні кути,і назад: проти відповідно рівних кутів лежать рівні сторони.

Так, наприклад, у рівних трикутниках ABC і A 1 B 1 C 1 , зображених на малюнку 1, проти відповідно рівних сторін АВ і А 1 В 1 лежать рівні кути З і С 1 . Рівність трикутників ABC і А1В1С1 позначатимемо так: ΔABC = ΔА1В1С1. Виявляється, що рівність двох трикутників можна встановити, порівнюючи деякі їх елементи.

Теорема 1. Перша ознака рівності трикутників.Якщо дві сторони та кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні (рис.2).

Доведення. Розглянемо трикутники ABC і A 1 B 1 C 1 , які мають АВ = A 1 B 1 , АС = A 1 C 1 ∠ А = ∠ А 1 (див. рис.2). Доведемо, що ABC = A 1 B 1 C 1 .

Так як ∠ А = ∠ А 1 , то трикутник ABC можна накласти на трикутник А 1 В 1 С 1 так, що вершина А суміситься з вершиною А 1 , а сторони АВ та АС накладуться відповідно на промені А 1 В 1 та A 1 C 1 . Оскільки АВ = A 1 B 1 , АС = А 1 С 1 , то сторона АВ поєднається зі стороною А 1 В 1 а сторона АС - зі стороною А 1 C 1 ; зокрема, суміщаться точки і В 1 , З і C 1 . Отже, суміщаються сторони ЗС і В1С1. Отже, трикутники ABC і А 1 В 1 З 1 повністю суміщаються, отже, вони рівні.

Аналогічно шляхом накладання доводиться теорема 2.

Теорема 2. Друга ознака рівності трикутників.Якщо сторона і два кути одного трикутника, що прилягають до неї, відповідно рівні стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні (рис. 34).

Зауваження. На основі теореми 2 встановлюється теорема 3.

Теорема 3. Сума будь-яких двох внутрішніх кутів трикутника менша за 180°.

З останньої теореми випливає теорема 4.

Теорема 4. Зовнішній кут трикутника більший за будь-який внутрішнього кута, не суміжний з ним.

Теорема 5. Третя ознака рівності трикутників.Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні ().

приклад 1.У трикутниках ABC та DEF (рис. 4)

∠ А = ∠ Е, АВ = 20 см, АС = 18 см, DE = 18 см, EF = 20 см. Порівняти трикутники ABC та DEF. Який кут у трикутнику DEF дорівнює кутуУ?

Рішення. Дані трикутники дорівнюють за першою ознакою. Кут F трикутника DEF дорівнює куту трикутника ABCтак як ці кути лежать проти відповідно рівних сторін DE і АС.

приклад 2.Відрізки АВ та CD (рис. 5) перетинаються у точці О, яка є серединою кожного з них. Чому дорівнює відрізок BD, якщо відрізок АС дорівнює 6 м?

Рішення. Трикутники АОС та BOD рівні (за першою ознакою): ∠ АОС = ∠ BOD (вертикальні), АВ = ОВ, СО = OD (за умовою).
З рівності цих трикутників випливає рівність їх сторін, тобто АС = BD. Але оскільки за умовою АС = 6 м, то BD = 6 м.

Друга ознака рівності трикутників

Якщо сторона і два прилеглих до неї кута одного трикутника відповідно дорівнюють стороні та двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

MN = PR N = R M = P

Як і в доказі першої ознаки, потрібно переконатися, чи цього достатньо для рівності трикутників, чи можна їх повністю поєднати?

1. Оскільки MN = PR , ці відрізки поєднуються, якщо поєднати їх кінцеві точки.

2. Оскільки N = R і M = P , то промені (MK) і (NK) накладуться відповідно на промені (PT) і (RT).

3. Якщо збігаються промені, то збігаються точки їх перетину \(K\) і \(T\).

4. Поєднані всі вершини трикутників, тобто Δ MNK і Δ PRT повністю сумісні, отже вони рівні.

Третя ознака рівності трикутників

Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

MN = PR KN = TR MK = PT

Знову спробуємо поєднати трикутники MNK і PRT накладенням і переконається, що відповідно рівні сторони гарантує і рівність відповідних кутів цих трикутників і вони повністю збігатимуться.

Сумісний, наприклад, однакові відрізки (MK) і (PT). Припустимо, що точки \(N\) і \(R\) при цьому не поєднуються.

Нехай (O) - середина відрізка (NR). Відповідно до цієї інформації MN = PR , KN = TR . Трикутники \(MNR\) і \(KNR\) рівнобедрені з загальною основою\(NR\).

Тому їх медіани \(MO\) і \(KO\) є висотами, отже перпендикулярні \(NR\). Прямі \(MO\) і \(KO\) не збігаються, оскільки точки \(M\), \(K\), \(O\) не лежать на одній прямій. Але через точку \(O\) прямий \(NR\) можна провести тільки одну перпендикулярну їй пряму. Ми дійшли суперечності.

Доведено, що мають поєднатися і вершини (N) і (R).

Третя ознака дозволяє назвати трикутник дуже сильною, стійкою фігурою, іноді кажуть, що трикутник - жорстка фігура . Якщо довжини сторін не змінюються, то кути також не змінюються. Наприклад, чотирикутник такого властивості немає. Тому різні підтримки та зміцнення роблять трикутними.

Але своєрідну стійкість, стабільність і досконалість числа (3) люди оцінювали і виділяли давно.

Про це свідчать казки.

Там ми зустрічаємо «Три ведмеді», «Три вітри», «Три порося», «Три товариші», «Три брати», «Три щасливці», «Троє умільців», «Три царевичи», «Три друзі», «Три друзі». богатиря» та ін.

Там даються "три спроби", "три поради", "три вказівки", "три зустрічі", виконуються "три бажання", потрібно потерпіти "три дні", "три ночі", "три роки", пройти через "три держави". », «три підземні царства», витримати «три випробування», пропливти через «три моря».