Що означає тотожні поняття. Значення слова тотожність

Тотожність - відношення між предметами (реальними або абстрактними), яке дозволяє говорити про них як про невідмінні один від одного, в якійсь сукупності характеристик (напр., властивостей). Насправді, всі предмети (речі) зазвичай відрізняються нами один від одного за якимись характеристиками. Це не виключає тієї обставини, що вони мають і загальні характеристики. У процесі пізнання ми ототожнюємо окремі речі в їх загальних характеристиках, об'єднуємо їх у безлічі цих характеристик, утворюємо поняття про них на основі абстракції ототожнення (див.: Абстракція). Предмети, що об'єднуються у безлічі за деякими загальним їм властивостями, перестають відрізнятися між собою, оскільки у процесі такого об'єднання ми відволікаємося від їх відмінностей. Іншими словами, вони стають невиразними, тотожними у цих властивостях. Якби всі характеристики двох об'єктів а і b виявилися тотожними, об'єкти перетворилися б на той самий предмет. Але цього не відбувається, тому що в процесі пізнання ми ототожнюємо відмінний другвід друга предмети за всіма характеристиками, лише з деяким. Без встановлення тотожностей і відмінностей між предметами неможливе ніяке пізнання навколишнього світу, ніяка орієнтування в навколишньому середовищі. Вперше у найзагальнішому та ідеалізованому формулюванні поняття Т. двох предметів дав Г. В. Лейбніц. Закон Лейбніца можна сформулювати так: «х = у, якщо і тільки якщо х має кожну властивість, якою володіє у, а у володіє кожною властивістю, якою володіє х». Іншими словами, предмет х може бути ототожнений з предметом у, коли абсолютно всі їхні властивості є одними і тими самими. Поняття Т. широко використовується у різних науках: у математиці, логіці та природознавстві. Однак у всіх випадках його застосування тотожність предметів, що вивчаються, визначають не по абсолютно всім загальним характеристикам, а лише за деякими, що пов'язано з цілями їх вивчення, з тим контекстом наукової теорії, у межах якої вивчаються ці предмети.

Визначення, значення слова в інших словниках:

Філософський словник

Відношення між предметами (реальними або абстрактними), яке дозволяє говорити про них як про невідмінні один від одного, в якійсь сукупності характеристик (напр., властивостей). Насправді всі предмети (речі) зазвичай відрізняються нами один від одного за якимись...

Розглянемо дві рівності:

1. a 12 *a 3 = a 7 *a 8

Ця рівність буде виконуватися за будь-яких значень змінної а. Областю допустимих значень для тієї рівності буде все безліч дійсних чисел.

2. a 12: a 3 = a 2 * a 7 .

Ця нерівність буде виконуватися всім значень змінної а, крім а рівного нулю. Областю допустимих значень для цієї нерівності буде вся множина дійсних чисел, крім нуля.

Про кожну з цих рівностей можна стверджувати, що воно буде вірним за будь-яких допустимих значенняхзмінних а. Такі рівності в математиці називаються тотожностями.

Поняття тотожності

Тотожність - це рівність, правильне за будь-яких допустимих значеннях змінних. Якщо ця рівність підставити замість змінних будь-які допустимі значення, має вийти правильне числове рівність.

Варто відзначити, що вірні числові рівності також є тотожностями. Тотожності, наприклад, будуть властивості дій над числами.

3. a + b = b + a;

4. a + (b + c) = (a + b) + c;

5. a * b = b * a;

6. a*(b*c) = (a*b)*c;

7. a * (b + c) = a * b + a * c;

8. a + 0 = a;

9. a * 0 = 0;

10. a * 1 = a;

11. a * (-1) = -a.

Якщо два вирази при будь-яких допустимих змінних відповідно дорівнюють, то такі вирази називають тотожно рівними. Нижче наведено кілька прикладів тотожно рівних виразів:

1. (a 2) 4 та a 8 ;

2. a*b*(-a^2*b) і -a 3 *b 2;

3. ((x 3 *x 8)/x) та x 10 .

Ми завжди можемо замінити один вираз будь-яким іншим виразом, тотожно рівним першому. Така заміна буде тотожним перетворенням.

Приклади тотожностей

Приклад 1: чи тотожності такі рівності:

1. a + 5 = 5 + a;

2. a*(-b) = -a*b;

3. 3*a*3*b = 9*a*b;

4. a-b = b-a.

Не всі представлені вище вирази будуть тотожними. З цих рівностей тотожністю є лише 1,2 і 3 рівності. Які числа ми в них не підставили, замість змінних а і b у нас все одно вийдуть вірні числові рівності.

А ось 4 рівність вже не є тотожністю. Тому що не за всіх допустимих значень ця рівність виконуватиметься. Наприклад, при значеннях a = 5 та b = 2 вийде наступний результат:

5 - 2 = 2 - 5;

3 = -3.

Ця рівність не так, оскільки число 3 не дорівнює числу -3.

Ця стаття дає початкове уявлення про тотожності. Тут ми визначимо тотожність, введемо позначення, що використовується, і, звичайно ж, наведемо різні прикладитотожностей.

Навігація на сторінці.

Що таке тотожність?

Логічно почати виклад матеріалу з визначення тотожності. У підручнику Макарічева Ю. Н. алгебра для 7 класів визначення тотожності дається так:

Визначення.

Тотожність– це рівність, правильне за будь-яких значеннях змінних; будь-яке правильне числове рівність – це теж тотожність.

При цьому автор відразу застерігається, що надалі це визначення буде уточнено. Це уточнення відбувається у 8 класі, після знайомства з визначенням допустимих значень змінних та ОДЗ. Визначення стає таким:

Визначення.

Тотожності– це вірні числові рівності, і навіть рівності, які правильні за всіх допустимих значеннях змінних, що входять до них.

То чому, визначаючи тотожність, у 7 класі ми говоримо про будь-які значення змінних, а 8 класі починаємо говорити про значення змінних їх ОДЗ? До 8 класу робота ведеться виключно з цілими виразами (зокрема, з одночленами та багаточленами), а вони мають сенс для будь-яких значень змінних, що входять до них. Тому в 7 класі ми й говоримо, що тотожність – це рівність, вірна за будь-яких значень змінних. На 8 класі з'являються висловлювання, які мають сенс задля всіх значень змінних, лише для значень їх ОДЗ. Тому тотожностями ми починаємо називати рівності, вірні за всіх допустимих значень змінних.

Отже, тотожність – це окремий випадокрівності. Тобто будь-яка тотожність є рівністю. Але не всяка рівність є тотожністю, а тільки така рівність, яка вірна для будь-яких значень змінних з їхньої області допустимих значень.

Знак тотожності

Відомо, що в записі рівностей використовується знак рівності виду =, зліва і праворуч від якого стоять деякі числа або вирази. Якщо до цього знака додати ще одну горизонтальну межу, то вийде знак тотожності«≡», або як його ще називають знак тотожної рівності.

Знак тотожності зазвичай застосовують лише тоді, коли потрібно особливо наголосити, що перед нами не просто рівність, а саме тотожність. В інших випадках записи тотожності на вигляд нічим не відрізняються від рівностей.

Приклади тотожностей

Настав час привести приклади тотожностей. У цьому нам допоможе визначення тотожності, дане у першому пункті.

Числові рівності 2=2 є прикладами тотожностей, оскільки ці рівності вірні, а будь-яке правильне числове рівність за визначенням є тотожністю. Їх можна записати як 2≡2 та .

Тотожності є і числові рівності виду 2+3=5 і 7−1=2·3 , оскільки ці рівності є вірними. Тобто, 2+3≡5 і 7−1≡2·3 .

Переходимо до прикладів тотожностей, які у своєму запису як числа, а й змінні.

Розглянемо рівність 3 · (x + 1) = 3 · x +3. При будь-якому значенні змінної x записана рівність є вірною з розподільчої властивості множення щодо додавання, тому вихідна рівність є прикладом тотожності. Ось ще один приклад тотожності: y·(x−1)≡(x−1)·x:x·y 2:y, тут область допустимих значень змінних x і y становлять усі пари (x, y) , де x і y - будь-які числа, крім нуля.

І це рівності x+1=x−1 і a+2·b=b+2·a є тотожностями, оскільки є значення змінних, у яких ці рівності будуть неправильні. Наприклад, при x=2 рівність x+1=x−1 звертається до невірної рівності 2+1=2−1 . Понад те, рівність x+1=x−1 взагалі досягається за жодних значеннях змінної x . А рівність a+2·b=b+2·a звернеться у неправильну рівність, якщо взяти будь-які різні значеннязмінних a і b. Наприклад, при a = 0 і b = 1 ми прийдемо до невірної рівності 0 +2 · 1 = 1 +2 · 0 . Рівність | x | = x, де | x | - Змінної x , також не є тотожністю, так як воно неправильно для негативних значень x.

Прикладами найбільш відомих тотожностей є види sin 2 α+cos 2 α=1 та a log a b =b .

На закінчення цієї статті хочеться зазначити, що з вивченні математики ми постійно зіштовхуємося з тотожностями. Записи властивостей дій з числами є тотожності, наприклад, a+b=b+a , 1·a=a , 0·a=0 та a+(−a)=0 . Також тотожними є

Етимологічний Словник російської мови

Тотожність

Грецька – «той самий, такий самий».

Старослов'янське – т'жде (такий, так).

Слово утворене від церковнослов'янського займенника за принципом російського словотвору і має значення «однаковий, ідентичний».

Похідне: тотожне.

Початки Сучасного Природознавства. Тезаурус

Тотожність

рівність (числова, алгебраїчна, аналітична), справедлива у всіх точках області або при всіх допустимих значеннях змінних (пор. Ідентичність).

Риторика: Словник-довідник

Тотожність

Тотожність у риториці: один з топів визначення, відношення термів якого вказує на їхню повну або часткову рівнозначність: «Гроші є гроші»; встановлена ​​топом ідентичність дозволяє розводити його різні значення: Гроші є гроші, але тут рублі, а там валюта

Словник лінгвістичних термінів

Тотожність

Відповідність звуків, морфем, слів та словосполучень, що мають загальне походження. Генетична тотожність часто не є матеріальним і семантичним збігом. Так, генетична тотожність звуків не означає їхнього акустичного та артикуляційного збігу. У сучасних мовахгенетично тотожні звуки можуть відрізнятися за своєю акустичною та артикуляційною природою. Наприклад, [г] і [ж] генетично споріднені звуки, хоча [г] – задньомовний смичний, [ж] – передньомовний щілинний. Названі звуки регулярно відповідають один одному в одних і тих же морфемах, що відрізняються тим, що після [г] йшов голосний не переднього ряду, а після [ж] - голосний переднього ряду: залізо (рус.), Gelezis (літ), gelsu (прус.);

жовтий (рус.), geltas (літ.), gelb (нім). Тотожність у риториці: один з топів визначення, відношення термів якого вказує на їхню повну або часткову рівнозначність: "Гроші є гроші";

встановлена ​​топом ідентичність дозволяє розводити його різні значення: "Гроші є гроші, але тут рублі, а там валюта".

Криміналістична енциклопедія

Тотожність

(Ідентичність)

граничний випадок рівності об'єктів, коли всі родові, а й усі індивідуальні їх властивості збігаються. В теорії криміналістичної ідентифікаціїтермін Т. означає наявність у об'єкта неповторної сукупності стійких ознакщо відрізняє його від усіх інших, у т. ч. йому подібних, об'єктів, що індивідуалізує об'єкт і дає можливість розпізнати його в різні моменти часу та в різних станах.

Філософський словник (Конт-Спонвіль)

Тотожність

Тотожність

♦ Identité

Збіг, властивість бути таким самим. Так само, як що? Так само, як таке ж, інакше це буде вже не тотожність. Таким чином, тотожність є насамперед відношення себе до себе (моя тотожність це і є я сам) або, якщо мова йдене про суб'єктів, відношення між двома об'єктами, що являють собою один і той самий об'єкт. «У строгому сенсі слова цей термін надзвичайно точний, – зазначає Кін, – річ тотожна самій собі та нічому іншому, навіть дублікату-близнюку» («Сутності», стаття «Тотожність»). Два монозиготних близнюки, навіть якщо припустити, що вони схожі, є близнюками тільки тому, що вони суть два різних індивідууми; якби вони були абсолютно тотожні (у тому сенсі, в якому автор «Пармської обителі» тотожний автору «Люсьєна Левена» (і той та інший романи належать перу Стендаля. – Прим. ред.)), вони становили б єдину істоту і не були б близнюками. Таким чином, тотожність у строгому розумінні має на увазі унікальність, властивість бути одним і тим же, а ніхто не може точно повторювати нікого, крім себе.

У ширшому і міцніше укоренившемся у традиції значенні тотожними називають два об'єкти, щоб підкреслити їхню подібність. Наприклад, друзі відзначають між собою тотожність точок зору чи смаків.

Обидва значення мають право на існування, важливо лише не плутати одне з одним. Тому, вживаючи слово «тотожність» у першому значенні, до нього часто додають визначення «кількісне» (щоб підкреслити, що йдеться про один і той самий об'єкт: «Ми живемо в тому самому будинку»). На відміну від цього специфічна або якісна тотожність вказує на повну схожість між багатьма різними об'єктами (вираз «У нас з ним одна й та сама машина» має на увазі існування двох автомобілів однієї марки, однієї моделі та одного кольору).

Тотожність останнього видуніколи не буває абсолютним (два тотожні автомобілі ніколи не бувають абсолютно однаковими). Але чи буває абсолютною кількісна тотожність? В даний час - так, буває, але тільки і виключно в теперішньому часі. Якщо розглядати його з погляду часу, то воно стає таким самим відносним, як якісне тотожність, а можливо, і ще більш ілюзорним. Стендаль почав писати «Люсьєна Левена» в 1834 році і був тоді на чотири роки молодший за автора «Пармської обителі». Яка тут тотожність? А якщо він все-таки був тотожний собі пізнішому, то чому написав іншу книгу, а не ту саму?

Оманою було б думати, що поняття тотожності, формальне за своєю суттю, здатне дати нам знання про реальну реальність. Твердження, що Стендаль, Анрі Бейль та автор «Життя Анрі Брюлара» є єдиним цілим, дозволяє нам отримати хоч якесь знання лише в тому випадку, якщо нам відомо, що означає кожне з цих слів. Точніше навіть, лише тому, що це нам відомо, ми і можемо стверджувати, що всі три згадані особи є однією і тією самою людиною. Тотожність, подібно до посвідчення особи, нічого не повідомляє про зміст того, на що вказує (бо це не сутність); воно лише каже, що цей зміст дорівнює самому собі. А=А. Тотожність не є сутністю, хоча сутність має на увазі тотожність.

Цілком імовірно, принаймні я дотримуюся саме такої думки, що в часі ніщо не здатне залишатися тотожним собі. Ніщо не залишається постійним, як кажуть буддисти, і не можна двічі увійти в ту саму річку. Що нітрохи не заважає реальній дійсності залишатися тотожною собі у теперішньому часі. У цьому пункті Парменід тріумфує перемогу над Гераклітом, хоча тріумф його марний: він перемагає і в тому випадку, якби мав рацію Геракліт. Ми можемо думати, що така річ, як тотожність; однак про те, що таке тотожність, думка може дізнатися тільки завдяки буттю, а не тотожності. Не буває онтології a priori. Тотожність є необхідне, але порожнє поняття. Це лише ім'я, яке ми присвоюємо чистій присутності себе в реальності, тоді як реальність ім'ям не є.

Тотожність – один із вимірів мовчання, завдяки якому можлива мова.

Риторика: Словник-довідник

Тотожність

Відповідність звуків, морфем, слів та словосполучень, що мають загальне походження. Генетична тотожність часто не є матеріальним і семантичним збігом. Так, генетична тотожність звуків не означає їхнього акустичного та артикуляційного збігу. У сучасних мовах генетично тотожні звуки можуть відрізнятися за своєю акустичною та артикуляційною природою. Наприклад, [г] і [ж] генетично споріднені звуки, хоча [г] – задньомовний смичний, [ж] – передньомовний щілинний. Названі звуки регулярно відповідають один одному в одних і тих же морфемах, що відрізняються тим, що після [г] йшов голосний непереднього ряду, а після [ж] - голосний переднього ряду: залізо (рус.), gelezis (літ), gelsu (прусськ) .); жовтий (рус.), geltas (літ.), gelb (нім).

Кожен школяр молодших класівзнає, що від зміни місць доданків сума не змінюється, це твердження правильне й у множників і произведения. Тобто, згідно з переміщувальним законом,
a + b = b + a і
a · b = b · a.

Сполучний закон стверджує:
(a + b) + c = a + (b + c) та
(ab)c = a(bc).

А розподільчий закон констатує:
a(b + c) = ab + ac.

Ми згадали самі елементарні прикладизастосування даних математичних законів, але вони поширюються на дуже широкі числові області.

За будь-якого значення змінної х значення виразів 10(х + 7) і 10х + 70 рівні, оскільки для будь-яких чисел виконується розподільчий закон множення. Про такі висловлювання говорять, що вони тотожно рівні на безлічі всіх чисел.

Значення виразу 5х 2 /4а і 5х/4 в силу основної властивості дробу рівні за будь-якого значення х, крім 0. Такі вирази називають тотожно рівними на безлічі всіх чисел. Окрім 0.

Два вирази з однією змінною називаються тотожно рівними на множині, якщо за будь-якого значення змінної, що належить цій множині, їх значення рівні.

Аналогічно визначають тотожну рівність виразів із двома, трьома тощо. змінними на деякій парі, трійок і т.д. чисел.

Наприклад, вираз 13аb та (13а)b тотожно рівні на множині всіх пар чисел.

Вираз 7b 2 c/b і 7bc тотожно рівні на множині всіх пар значень змінних b і c, в яких значення b не дорівнює 0.

Рівності, в яких ліва і права частини - вирази, тотожно рівні на деякій множині, називаються тотожностями на цій множині.

Очевидно, що тотожність на множині перетворюється на справжню числову рівність при всіх значеннях змінної (при всіх парах, трійках і т.д. значень змінних), що належать цій множині.

Отже, тотожність – це рівність зі змінними, правильне за будь-яких значеннях змінних, що входять до нього.

Наприклад, рівність 10(х + 7) = 10х + 70 є тотожністю на безлічі всіх чисел, вона перетворюється на справжню числову рівність за будь-якого значення х.

Справжні числові рівності також називають тотожності. Наприклад, рівність 3 2 + 4 2 = 5 2 – тотожність.

У курсі математики доводиться виконувати різноманітні перетворення. Наприклад, суму 13х + 12х ми можемо замінити виразом 25х. Добуток дробів 6а 2 /5 · 1/a замінимо дробом 6а/5. Виходить, що вирази 13х + 12х і 25х тотожно рівні на множині всіх чисел, а вирази 6а 2 /5 · 1/a і 6а/5 тотожно рівні на множині всіх чисел, крім 0. Заміну виразу іншим виразом, тотожно рівним йому на деякому множині, називають тотожним перетворенням вираження на цій множині.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.