Формули швидкого множення. Калькулятор онлайн.Спрощення багаточлена.Умноження багаточленів

Математичні вирази (формули) скороченого множення(квадрат суми та різниці, куб суми та різниці, різниця квадратів, сума та різниця кубів) вкрай не замінні у багатьох областях точних наук. Ці 7 символьних записів не замінні при спрощенні виразів, рішенні рівнянь, при множенні багаточленів, скороченні дробів, рішенні інтегралів та багато іншого. А значить буде дуже корисно розібратися, як вони виходять, для чого вони потрібні, і найголовніше, як їх запам'ятати і потім застосовувати. Потім застосовуючи формули скороченого множенняна практиці найскладнішим буде побачити, що є хі що є у. Очевидно, що жодних обмежень для aі bні, а значить це можуть бути будь-які числові або буквені вирази.

І так ось вони:

Перша х 2 - у 2 = (х - у) (х + у). Щоб розрахувати різницю квадратівдвох виразів треба перемножити різниці цих виразів з їхньої суми.

Друга (х + у) 2 = х 2 + 2ху + у 2. Щоб знайти квадрат сумидвох виразів потрібно до квадрата першого виразу додати подвоєний добуток першого виразу на другий плюс квадрат другого виразу.

Третя (х - у) 2 = х 2 - 2ху + у 2. Щоб обчислити квадрат різницідвох виразів потрібно від квадрата першого виразу відібрати подвоєний твірпершого виразу на другий плюс квадрат другого виразу.

Четверта (х + у) 3 = х 3 + 3х 2 у + 3ху 2 + у 3.Щоб обчислити куб сумидвох виразів потрібно до куба першого виразу додати потрійний добуток квадрата першого виразу на другий плюс потрійний добуток першого виразу на квадрат другого плюс куб другого виразу.

П'ята (х - у) 3 = х 3 - 3х 2 у + 3ху 2 - у 3. Щоб розрахувати куб різницідвох виразів необхідно від куба першого виразу відібрати потрійний добуток квадрата першого виразу на другий плюс потрійний добуток першого виразу на квадрат другого мінус куб другого виразу.

Шоста х 3 + у 3 = (х + у) (х 2 - ху + у 2)Щоб вирахувати суму кубівдвох виразів потрібно помножити суми першого та другого виразу на неповний квадрат різниці цих виразів.

Сьома х 3 - у 3 = (х - у) (х 2 + ху + у 2)Щоб зробити обчислення різниці кубівдвох виразів треба помножити різницю першого та другого виразу на неповний квадрат суми цих виразів.

Не складно запам'ятати, що це формули застосовуються до проведення розрахунків й у протилежному напрямі (праворуч ліворуч).

Про існування цих закономірностей знали ще близько 4 тисяч років тому. Їх широко застосовували мешканці стародавнього Вавилонута Єгипту. Але у ті епохи вони висловлювалися словесно чи геометрично і за розрахунках не використовували букви.

Розберемо доказ квадрата суми(а + b) 2 = a 2 +2ab + b2.

Першим цю математичну закономірністьдовів давньогрецький вчений Евклід, який працював в Олександрії в III столітті до н. стародавньої Еллади. Ними повсюдно вживалися не "а 2", а "квадрат на відрізку а", не "ab", а "прямокутник, укладений між відрізками a і b".

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформаціїу будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Формули ступеніввикористовують у процесі скорочення та спрощення складних виразів, у розв'язанні рівнянь та нерівностей.

Число cє n-ний ступенем числа aколи:

Операції зі ступенями.

1. Помножуючи ступеня з однаковою основоюїх показники складаються:

a m· a n = a m + n.

2. У розподілі ступенів з однаковою основою їх показники віднімаються:

3. Ступінь праці 2-х чи більшого числамножників дорівнює добутку ступенів цих співмножників:

(abc ...) n = a n · b n · c n ...

4. Ступінь дробу дорівнює відношенню ступенів діленого та дільника:

(a/b) n = n / b n .

5. Зводячи ступінь у ступінь, показники ступенів перемножують:

(a m) n = a m n .

Кожна вищенаведена формула вірна у напрямах зліва направо та навпаки.

Наприклад. (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4.

Операції з корінням.

1. Корінь із твору кількох співмножників дорівнює добутку коренів із цих співмножників:

2. Корінь із відношення дорівнює відношенню ділимого та дільника коренів:

3. При зведенні кореня на рівень досить звести на цей рівень підкорене число:

4. Якщо збільшити ступінь кореня в nраз і в той же час звести в n-у ступінь підкорене число, то значення кореня не зміниться:

5. Якщо зменшити ступінь кореня в nраз і в той же час витягти корінь n-ой ступеня з підкореного числа, то значення кореня не зміниться:

Ступінь із негативним показником.Ступінь деякого числа з непозитивним (цілим) показником визначають як одиницю, поділену на ступінь того ж числа з показником, рівним абсолютної величининепозитивного показника:

Формулу a m:a n =a m - nможна використовувати не тільки при m> n, але і при m< n.

Наприклад. a4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Щоб формула a m:a n =a m - nстала справедливою за m=n, потрібна присутність нульового ступеня.

Ступінь із нульовим показником.Ступінь будь-якого числа, що не дорівнює нулю, з нульовим показником дорівнює одиниці.

Наприклад. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Ступінь із дробовим показником.Щоб звести дійсне число ау ступінь m/nнеобхідно вийняти корінь n-ого ступеня з m-ой ступеня цього числа а.

Формули або правила скороченого множення використовуються в арифметиці, а точніше - в алгебрі, для швидшого процесу обчислення великих алгебраїчних виразів. Самі формули отримані з існуючих в алгебрі правил для множення кількох многочленов.

Використання даних формул забезпечує досить оперативне рішення різних математичних завдань, а також допомагає здійснювати спрощення виразів. Правила алгебраїчних перетвореньдозволяють виконувати деякі маніпуляції з виразами, слідуючи яким можна отримати в лівій частині рівності вираз, що стоїть у правій частині, або перетворити праву частинурівності (щоб отримати вираз, що стоїть у лівій частині після знаку рівності).

Зручно знати формули, які застосовуються для скороченого множення, на згадку, оскільки вони нерідко використовуються під час вирішення завдань та рівнянь. Нижче перераховані основні формули, що входять до даний список, та його найменування.

Квадрат суми

Щоб обчислити квадрат суми, необхідно знайти суму, що складається з квадрата першого доданку, подвоєного добутку першого доданку на друге та квадрата другого. У вигляді виразу це правило записується так: (а + с)² = a² + 2ас + с².

Квадрат різниці

Щоб обчислити квадрат різниці, необхідно обчислити суму, що складається з квадрата першого числа, подвоєного добутку першого числа на друге (взяте з протилежним знаком) та квадрата другого числа. У вигляді виразу дане правило виглядає так: (а - с) ² = а ² - 2ас + с ².

Різниця квадратів

Формула різниці двох чисел, зведених у квадрат, дорівнює добутку суми цих чисел на їх різницю. У вигляді виразу це правило виглядає наступним чином: a² - с² = (a + с) · (a - с).

Куб суми

Щоб обчислити куб суми двох доданків, необхідно обчислити суму, що складається з куба першого доданку, потрійного твору квадрата першого доданку та другого, потрійного добутку першого доданку та другого у квадраті, а також куба другого доданку. У вигляді виразу дане правило виглядає наступним чином: (а + с) ³ = ? + 3а?с + 3ас? + с?.

Сума кубів

Відповідно до формули, дорівнює добутку суми даних доданків з їхньої неповний квадрат різниці. У вигляді виразу дане правило виглядає наступним чином: а + с = (а + с) · (а - ас + с?).

приклад.Необхідно обчислити обсяг фігури, яка утворена додаванням двох кубів. Відомі лише величини їхніх сторін.

Якщо значення сторін невеликі, виконати обчислення просто.

Якщо ж довжини сторін виражаються у громіздких числах, то цьому випадку простіше застосувати формулу "Сума кубів", яка значно спростить обчислення.

Куб різниці

Вираз для кубічної різниці звучить так: як сума третього ступеня першого члена, потрійного негативного добутку квадрата першого члена на другий, потрійного добутку першого члена на квадрат другого та від'ємного куба другого члена. У вигляді математичного вираження куб різниці виглядає наступним чином: (а - с) ³ = а - 3а + + 3ас - с.

Різниця кубів

Формула різниці кубів відрізняється від суми кубів лише одним знаком. Таким чином, різниця кубів - формула, рівна добуткурізниці даних чисел з їхньої неповний квадрат суми. У вигляді математичного вираження різниця кубів виглядає так: а 3 - з 3 = (а - с) (а 2 + ас + с 2).

приклад.Необхідно обчислити об'єм фігури, яка залишиться після віднімання з об'єму синього куба об'ємної фігури жовтого кольоруяка також є кубом. Відома лише величина сторони маленького та великого куба.

Якщо значення сторін невеликі, обчислення досить прості. А якщо довжини сторін виражаються у значних числах, то варто застосувати формулу, під назвою "Різниця кубів" (або "Куб різниці"), яка значно спростить обчислення.

Ключові слова:

квадрат суми, квадрат різниці, куб суми, куб різниці, різниця квадратів, сума кубів, різниця кубів

Квадрат сумидвох величин дорівнює квадрату першої плюс подвоєний добуток першої на другу плюс квадрат другої величини. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

Квадрат різницідвох величин дорівнює квадрату першої мінус подвоєний добуток першої на другу плюс квадрат другий.величини (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2
Добуток суми двох величин на їх різницю дорівнює різниці їх квадратів. (a+b)(a-b)=a 2 -b 2
Доуб сумидвох величин дорівнює кубупершої величини плюс потрійний добуток квадрата першої на другу плюс потрійний добуток першої на квадрат другий плюс куб другий.
(a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3
Доуб різницідвох величин дорівнює кубу першої мінус потрійний добуток квадрата першої на другу плюс потрійний добуток першої на квадрат другий мінус куб другий.
(a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3
Добуток суми двох величин на неповний квадрат різниці дорівнює сумі їх кубів. (a+b)(a 2 -ab+b 2)=a 3 +b 3
Добуток різниці двох величин на неповний квадрат суми дорівнює різниці їх кубів.
(a - b)(a 2 +ab+b 2)=a 3 - b 3

Дуже часто приведення багаточлена до стандартного виглядуможна здійснити шляхом застосування формул скороченого множення. Усі вони доводяться безпосереднім розкриттям дужок та приведенням подібних доданків. Формули скороченого множення потрібно знати напам'ять:

Приклад. Доведемо формулу a 3 +b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2).

Маємо: (a + b)(a 2 – ab + b 2) = a 3 – a 2 b + ab 2 + ba 2 – ab 2 – b 3

Наводячи подібні доданки, бачимо, що

(a + b)(a 2 – ab + b 2) = a 3 +b 3що доводить потрібну формулу.

Аналогічно доводиться, що (a - b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 – b 3

Мало просто знати напам'ять формули скороченого множення. Треба ще навчитися бачити у конкретному алгебраїчному вираженніцю формулу.

Наприклад:

49m 2 - 42mn + 9n 2 = (7m - 3n) 2

Або інший приклад, складніше:

Тут 3x 2 можна уявити як ( √ 3x) 2

Корисно ще й знати, як зводити двочлен у ступінь більший, ніж 3. Формула, що дозволяє виписувати розкладання алгебраїчної суми двох доданків довільного ступеня, вперше була запропонована Ньютоном в 1664-1665 р. і отримала назву бінома Ньютона. Коефіцієнти формули називаються біноміальними коефіцієнтами. Якщо n – позитивне ціле число, то коефіцієнти звертаються в нуль за будь-якого k > n, тому розкладання містить лише кінцеве числочленів. В інших випадках розкладання є нескінченний (біноміальний) ряд. (Умови збіжності біномного ряду вперше були встановлені на початку 19 ст Н.Абелем.) Такі окремі випадки, як

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2і (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

були відомі задовго до Ньютона. Якщо n – ціле позитивне число, то біноміальний коефіцієнтпри a n-kb kу формулі біном є число комбінацій з n по k , що позначається C k n . При невеликих значеннях n коефіцієнти можна знайти з трикутника Паскаля:

в якому кожне з чисел за винятком одиниць дорівнює сумі двох сусідніх чисел, що стоять рядком вище. Для даного n відповідний (n-й) рядок трикутника Паскаля дає по порядку коефіцієнти біномного розкладання n-го ступеня, У чому неважко переконатися при n = 2 і n = 3.