Як знаходити найменший позитивний корінь тригонометричного рівняння. Тригонометричні рівняння

Тригонометричні рівняння. У складі іспиту з математики в першій частині є завдання, пов'язане з рішенням рівняння — це прості рівняння, які вирішуються за хвилини, багато типів можна вирішити усно. Включають у себе: лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показові, логарифмічні та тригонометричні рівняння.

У цій статті ми розглянемо тригонометричні рівняння. Їхнє рішення відрізняється і за обсягом обчислення і за складністю від інших завдань цієї частини. Не лякайтеся, під словом «складність», мають на увазі їхню відносну складність порівняно з іншими завданнями.

Крім знаходження самого коріння рівняння, необхідно визначити найбільший негативний, або найменший позитивний корінь. Імовірність того, що вам на іспиті потрапить тригонометричне рівняння, звичайно, мала.

Їх у цій частині ЄДІ менше 7%. Але це не означає, що їх треба залишити без уваги. У частині С теж необхідно вирішити тригонометричне рівняння, тому добре розібратися з методикою рішення і розуміти теорію просто необхідно.

Розуміння розділу "Тригонометрія" в математиці багато в чому визначає ваш успіх при вирішенні багатьох завдань. Нагадую, що відповіддю є ціле число чи кінцева десятковий дріб. Після того, як отримаєте коріння рівняння, обов'язково зробіть перевірку. Багато часу це не займе, а вас позбавить помилки.

У майбутньому ми також розглянемо інші рівняння, не пропустіть! Згадаймо формули коренів тригонометричних рівнянь, їх необхідно знати:

Знання цих значень необхідне, це «азбука», без якої неможливо буде впоратися з багатьма завданнями. Добре, якщо пам'ять хороша, ви легко вивчили і запам'ятали ці значення. Що робити, якщо цього зробити не виходить, у голові плутанина, та просто ви саме при складанні іспиту збилися. Прикро втратити бал через те, що ви запишите при розрахунках неправильне значення.

Цих значень простий, він також наведений теоретично, отриманої вами у другому листі після підписки на розсилку. Якщо не підписалися, зробіть це! У майбутньому також розглянемо, як ці значення можна визначити за тригонометричного кола. Недаремно її називають «Золоте серце тригонометрії».

Відразу поясню, щоб уникнути плутанини, що в аналізованих нижче рівняннях дано визначення арксинусу, арккосинусу, арктангенсу з використанням кута хдля відповідних рівнянь: cosx=a, sinx=a, tgx=a, де хможливо і виразом. У прикладах нижче, у нас аргумент заданий саме виразом.

Отже, розглянемо такі завдання:

Знайдіть корінь рівняння:

У відповіді запишіть найбільший негативний корінь.

Рішенням рівняння cos x = a є два корені:

Визначення: Нехай число a за модулем не перевищує одиниці. Арккосинусом числа a називається кут x, що лежить у межах від 0 до Пі, косинус якого дорівнює a.

Значить

Висловимо x:

Знайдемо найбільший негативний корінь. Як це зробити? Підставимо різні значення n отримані коріння, обчислимо і виберемо найбільший негативний.

Обчислюємо:

При n = - 2 х 1 = 3 (-2) - 4,5 = - 10,5 х 2 = 3 (-2) - 5,5 = - 11,5

При n = - 1 х 1 = 3 (-1) - 4,5 = - 7,5 х 2 = 3 (-1) - 5,5 = - 8,5

При n = 0 х 1 = 3∙0 – 4,5 = – 4,5 х 2 = 3∙0 – 5,5 = – 5,5

При n = 1 х 1 = 3∙1 – 4,5 = – 1,5 х 2 = 3∙1 – 5,5 = – 2,5

При n = 2 х 1 = 3∙2 – 4,5 = 1,5 х 2 = 3∙2 – 5,5 = 0,5

Отримали, що найбільший негативний корінь дорівнює -1,5

Відповідь: -1,5

Вирішіть самостійно:

Розв'яжіть рівняння:

Рішенням рівняння sin x = a є два корені:

Або (він об'єднує обидва вказані вище):

Визначення: Нехай число a за модулем не перевищує одиниці. Арксинусом числа a називається кут x, що лежить у межах від – 90 до 90 про синус якого дорівнює a.

Значить

Виразимо x (помножимо обидві частини рівняння на 4 і розділимо на Пі):

Знайдемо найменший позитивний корінь. Тут одразу видно, що при підстановці негативних значень n ми отримаємо негативне коріння. Тому підставлятимемо n = 0,1,2 …

При n = 0 х = (-1) 0 + 4∙0 + 3 = 4

При n = 1 х = (-1) 1 + 4∙1 + 3 = 6

При n = 2 х = (-1) 2 + 4∙2 + 3 = 12

Перевіримо за n = –1 х = (–1) –1 + 4∙(–1) + 3 = –2

Значить найменший позитивний корінь дорівнює 4.

Відповідь: 4

Вирішіть самостійно:

Розв'яжіть рівняння:

У відповіді напишіть найменший позитивний корінь.

Досить часто у завданнях підвищеної складностізустрічаються тригонометричні рівняння, що містять модуль. Більшість із них вимагають евристичного підходу до рішення, який зовсім не знайомий більшості школярів.

Завдання, що пропонуються нижче, покликані познайомити вас з найбільш характерними прийомами розв'язання тригонометричних рівнянь, що містять модуль.

Завдання 1. Знайти різницю (у градусах) найменшого позитивного та найбільшого негативного коріння рівняння 1 + 2sin x · |cos x| = 0.

Рішення.

Розкриємо модуль:

1) Якщо cos x ≥ 0, то вихідне рівняння набуде вигляду 1 + 2sin x · cos x = 0.

Скористайтеся формулою синуса подвійного кута, Отримаємо:

1 + sin 2x = 0; sin 2x = -1;

2x = -π/2 + 2πn, n€ Z;

x = -π/4 + πn, n € Z. Оскільки cos x ≥ 0, то x = -π/4 + 2πk, k € Z.

2) Якщо cos x< 0, то задане рівняннямає вигляд 1 - 2sin x · cos x = 0. За формулою синуса подвійного кута, маємо:

1 – sin 2x = 0; sin 2x = 1;

2x = π/2 + 2πn, n € Z;

x = π/4 + πn, n € Z. Оскільки cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.

3) Найбільший негативний корінь рівняння: -π/4; найменший позитивний корінь рівняння: 5/4.

Різниця, що шукається: 5π/4 – (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 · 180°/2 = 270°.

Відповідь: 270 °.

Завдання 2. Знайти (у градусах) найменший позитивний корінь рівняння | tg x | + 1/cos x = tg x.

Рішення.

Розкриємо модуль:

1) Якщо tg x ≥ 0, тоді

tg x + 1/cos x = tg x;

В отриманому рівнянні коріння немає.

2) Якщо tg x< 0, тогда

Tg x + 1/cos x = tg x;

1/cos x - 2tg x = 0;

1/cos x - 2sin x / cos x = 0;

(1 - 2sin x) / cos x = 0;

1 – 2sin x = 0 та cos x ≠ 0.

За допомогою малюнка 1 та умови tg x< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.

3) Найменший позитивний корінь рівняння 5?/6. Перекладемо це значення в градуси:

5π/6 = 5 · 180 ° / 6 = 5 · 30 ° = 150 °.

Відповідь: 150 °.

Завдання 3. Знайти кількість різних кореніврівняння sin |2x| = cos 2x на проміжку [-π/2; π/2].

Рішення.

Запишемо рівняння у вигляді sin|2x| - cos 2x = 0 і розглянемо функцію y = sin | 2x | - cos 2x. Оскільки функція є парною, то знайдемо її нулі за x ≥ 0.

sin 2x - cos 2x = 0; розділимо обидві частини рівняння на cos 2x ≠ 0, отримаємо:

tg 2x - 1 = 0;

2x = π/4 + πn, n€ Z;

x = π/8 + πn/2, n€ Z.

Скориставшись парністю функції, отримаємо, що корінням вихідного рівняння є числа виду

± (π/8 + πn/2), де n€ Z.

Проміжку [-π/2; π/2] належать числа: -π/8; π/8.

Отже, два корені рівняння належать заданому проміжку.

Відповідь: 2.

Дане рівняння можна було б розв'язати і розкриттям модуля.

Завдання 4. Знайти кількість коренів рівняння sin x – (|2cos x – 1|)/(2cos x – 1) · sin 2 x = sin 2 x на проміжку [-π; 2π].

Рішення.

1) Розглянемо випадок, коли 2cos x – 1 > 0, тобто. cos x > 1/2, тоді рівняння набуває вигляду:

sin x - sin 2 x = sin 2 x;

sin x - 2sin 2 x = 0;

sin x(1 – 2sin x) = 0;

sin x = 0 або 1 - 2 sin x = 0;

sin x = 0 або sin x = 1/2.

Використовуючи малюнок 2 та умову cos x > 1/2, знайдемо коріння рівняння:

x = π/6 + 2πn або x = 2πn, n€ Z.

2) Розглянемо випадок, коли 2cos x – 1< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:

sin x + sin 2 x = sin 2 x;

x = 2πn, n€ Z.

Використовуючи малюнок 2 та умова cos x< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.

Об'єднаємо два випадки, отримаємо:

x = π/6 + 2πn або x = πn.

3) Проміжок [-π; 2π] належить коріння: π/6; -π; 0; π; 2π.

Таким чином, заданому проміжку належать п'ять коренів рівняння.

Відповідь: 5.

Завдання 5. Знайти кількість коренів рівняння (x - 0,7) 2 | Sin x | + sin x = 0 на проміжку [-π; 2π].

Рішення.

1) Якщо sin x ≥ 0, то вихідне рівняння набуває вигляду (x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0. Після винесення загального множника sin x за дужки, отримаємо:

sin x((x – 0,7) 2 + 1) = 0; оскільки (x – 0,7) 2 + 1 > 0 за всіх дійсних x, то sinx = 0, тобто. x = πn, n€ Z.

2) Якщо sin x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;

sin x((x – 0,7) 2 – 1) = 0;

sinx = 0 або (x - 0,7) 2 + 1 = 0. Так як sin x< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем квадратний коріньз лівої та правої частиностаннього рівняння, отримаємо:

x – 0,7 = 1 чи x – 0,7 = -1, отже x = 1,7 чи x = -0,3.

З урахуванням умови sinx< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0, отже, лише число -0,3 є коренем вихідного рівняння.

3) Проміжок [-π; 2π] належать числа: -π; 0; π; 2π; -0,3.

Таким чином, рівняння має п'ять коренів на заданому проміжку.

Відповідь: 5.

Зайнятися підготовкою до уроків або іспитів можна за допомогою різних освітніх ресурсів, які є у мережі. В даний час будь-кому людині просто необхідно використовувати нові інформаційні технологіїадже правильне, а головне доречне їх застосування сприятиме підвищенню мотивації у вивченні предмета, підвищить інтерес і допоможе краще засвоїти необхідний матеріал. Але не варто забувати, що комп'ютер не вчить думати, отриману інформацію обов'язково необхідно обробляти, розуміти і запам'ятовувати. Тому ви можете звернутися за допомогою до наших онлайн репетиторам, які допоможуть вам розібратися з вирішенням завдань, що вас цікавлять.

Залишились питання? Не знаєте, як розв'язувати тригонометричні рівняння?
Щоб отримати допомогу репетитора – .
Перший урок – безкоштовно!

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.