Транспонування матриць

Транспонування матриціназивається заміна рядків матриці на її стовпці із збереженням їхнього порядку (або, що те саме, заміна стовпців матриці на її рядки).

Нехай дана вихідна матриця А:

Тоді згідно з визначенням транспонована матриця А"має вигляд:

Скорочена форма запису операції транспонування матриці: Транспоновану матрицю часто позначають

Приклад 3. Нехай дані матриці А і В:

Тоді відповідні транспоновані матриці мають вигляд:

Неважко помітити дві закономірності операції транспонування матриць.

1. Двічі транспонована матриця дорівнює вихідній матриці:

2. При транспонуванні квадратних матриць елементи, що є на головній діагоналі, не змінюють своїх позицій, тобто. головна діагональ квадратної матриціне змінюється під час транспонування.

Розмноження матриць

Множення матриць - це специфічна операція, що становить основу алгебри матриць. Рядки та стовпці матриць можна розглядати як вектори-рядки та вектори-стовпці відповідних розмірностей; іншими словами, будь-яку матрицю можна інтерпретувати як сукупність векторів-рядків або векторів-стовпців.

Нехай дані дві матриці: А- розміру тх пі У- розміру п х до.Розглянемо матрицю Аяк сукупність твекторів-рядок а)розмірності пкожен, а матрицю В -як сукупність довекторів-стовпців b Jtмістять по пкоординат кожен:

Вектори-рядки матриці Ата вектори-стовпці матриці Упоказані у записі цих матриць (2.7). Довжина рядка матриці Адорівнює висоті стовпця матриці У, І тому скалярне твір цих векторів має сенс.

Визначення 3. Добутком матриць Аі Уназивається матриця С, елементи якої Сурівні скалярним творам векторів-рядків а (матриці Ана вектори-стовпці bjматриці В:

Твір матриць Аі У- матриця С – має розмір тх до, оскільки довжина л векторів-рядків та векторів-стовпців зникає при підсумовуванні творів координат цих векторів у їх скалярних творах, як показано у формулах (2.8). Таким чином, для обчислення елементів першого рядка матриці необхідно послідовно отримати скалярні твори першого рядка матриці Ана всі стовпці матриці Удругий рядок матриці С виходить як скалярні твори другий вектор-рядки матриці Ана всі вектори-стовпці матриці У, і так далі. Для зручності запам'ятовування розміру твору матриць потрібно поділити твори розмірів матриць-множників: - , Тоді ті, що залишаються відносно числа дають розмір виробила до

дснію, т.с. розмір матриці С дорівнює тх до.

В операції множення матриць є характерна особливість: добуток матриць Аі Умає сенс, якщо число стовпців у Адорівнює числу рядків у Ст.Тоді, якщо А і В - прямокутні матриці, той твір Уі Авже не матиме сенсу, тому що в скалярних творах, що формують елементи відповідної матриці, повинні брати участь вектори з однаковим числомкоординат.

Якщо матриці Аі Уквадратні, розміру л х л, має сенс як добуток матриць АВ,так і добуток матриць ВА,причому розмір цих матриць такий самий, як і у вихідних співмножників. При цьому в загальному випадкуперемноження матриць правило перестановочності (комутативності) нс дотримується, тобто. АВ*ВА.

Розглянемо приклади множення матриць.

Оскільки кількість стовпців матриці Адорівнює числу рядків матриці В,добуток матриць АВмає сенс. За формулами (2.8) отримуємо у творі матрицю розміру 3x2:

твір ВАнс має сенс, оскільки число стовпців матриці Уне збігається з числом рядків матриці А.

Тут ми знайдемо твори матриць АВі ВА:

Як видно з результатів, матриця добутку залежить від порядку матриць у добутку. В обох випадках добутки матриць мають той самий розмір, що й у вихідних співмножників: 2x2.

У даному випадкуматриця Ує вектор-стовпець, тобто. матрицю, у якої три рядки та один стовпець. Взагалі, вектори - це окремі випадки матриць: вектор-рядок довжини пє матрицею з одним рядком і пстовпцями, а вектор-стовпець висоти п- матрицю з прядками та одним стовпцем. Розміри наведених матриць відповідно 2 х 3 і 3 х I, отже добуток цих матриць визначено. Маємо

У творі отримано матрицю розміру 2 х 1 або вектор-стовпець висоти 2.

Шляхом послідовного множення матриць знаходимо:

Властивості добутку матриць. Нехай А, Ві С - матриці відповідних розмірів (щоб добутки матриць були визначені), а - дійсне число. Тоді мають місце такі властивостітвори матриць:

• 1) (АВ)С = А(ВС);
• 2) З А + В) С = АС + ВС
• 3) А (В+ С) = АВ+АС;
• 4) а (АВ) = (аА)В = А(аВ).

Поняття одиничної матриці Ебуло запроваджено у п. 2.1.1. Неважко переконатися, що у алгебрі матриць вона грає роль одиниці, тобто. можна відзначити ще дві властивості, пов'язані з множенням на цю матрицю зліва та праворуч:

• 5 )АЕ = А;
• 6) ЕА = А.

Іншими словами, добуток будь-якої матриці на одиничну матрицюякщо воно має сенс, нс змінює вихідну матрицю.

У вищої математикививчається таке поняття, як транспонована матриця. Слід зауважити: багатьом здається, що це досить складна тема, Яку неможливо освоїти. Однак, це не так. Щоб розуміти, як саме здійснюється настільки легка операція, необхідно лише трохи ознайомитися з основним поняттям - матрицею. Тему зможе зрозуміти будь-який студент, якщо виділить час на її вивчення.

Що таке матриця?

Матриці математики досить поширені. Слід зазначити, що вони також трапляються в інформатиці. Завдяки їм та з їх допомогою легко програмувати та створювати програмне забезпечення.

Що таке матриця? Це таблиця, до якої вміщені елементи. Вона обов'язково має прямокутний вигляд. Якщо говорити найпростішою мовою, то матриця є таблицею чисел. Позначається вона за допомогою якихось великих латинських букв. Вона може бути прямокутною чи квадратною. Є також окремі рядки та стовпці, які названі векторами. Такі матриці одержують лише одну лінію чисел. Щоб зрозуміти, який розмір має таблиця, необхідно звернути увагу до кількість рядків і стовпців. Перше позначаються буквою m, а друге – n.

Слід обов'язково розуміти, що таке діагональ матриці. Є побічна та головна. Другою є та смуга чисел, яка йде ліворуч праворуч від першого до останнього елементу. У такому разі побічною буде лінія справа наліво.

З матрицями можна робити практично всі найпростіші арифметичні діїтобто складати, віднімати, множити між собою і окремо на число. Також їх можна транспонувати.

Процес транспонування

Транспонована матриця - це матриця, в якій рядки та стовпці поміняні місцями. Робиться це дуже просто. Позначається як з верхнім індексом Т (AT). В принципі, слід сказати, що у вищій математиці це одна з найбільш простих операційнад матрицями. Розмір таблиці зберігається. Таку матрицю називають транспонованою.

Властивості транспонованих матриць

Щоб правильно робити процес транспонування, необхідно розуміти, які властивості цієї операції існують.

• Обов'язково існує вихідна матриця до транспонованої таблиці. Їхні визначники повинні бути рівними між собою.
• Якщо є скалярна одиниця, то під час здійснення цієї операції її можна винести.
• При подвійному транспонуванні матриці вона дорівнюватиме початкової.
• Якщо порівняти дві складені таблиці з поміняними стовпцями і рядками, із сумою елементів, з яких було зроблено дана операція, вони будуть однакові.
• Остання властивість полягає в тому, що якщо транспонувати помножені між собою таблиці, то значення має дорівнювати результатам, отриманим в ході множення між собою транспонованих матриць у зворотному порядку.

Навіщо транспонувати?

Матриця в математиці необхідна у тому, щоб вирішувати із нею певні завдання. У деяких із них потрібно обчислити зворотну таблицю. Для цього слід знайти визначник. Далі розраховуються елементи майбутньої матриці, потім транспонуються. Залишилося знайти лише безпосередньо зворотну таблицю. Можна сказати, що в таких завданнях потрібно знайти Х і зробити це досить легко за допомогою базових знаньтеорії рівнянь.

Підсумки

У цій статті було розглянуто, що є транспонована матриця. Ця тема стане в нагоді майбутнім інженерам, яким потрібно вміти правильно розраховувати складні конструкції. Іноді матрицю не так і просто вирішити, доведеться поламати голову. Однак у курсі студентської математики дана операція здійснюється максимально легко і без будь-яких зусиль.

При роботі з матрицями іноді потрібно їх транспонувати, тобто, говорячи простими словами, перевернути. Звичайно, можна перебити дані вручну, але Ексель пропонує кілька способів зробити це простіше та швидше. Давайте розберемо їх докладно.

Транспонування матриці – це процес зміни стовпців та рядків місцями. У програмі Excelє дві можливості проведення транспонування: використовуючи функцію ТРАНСПта за допомогою інструменту спеціальної вставки. Розглянемо кожен із цих варіантів докладніше.

Спосіб 1: оператор ТРАНСП

Функція ТРАНСПвідноситься до категорії операторів «Посилання та масиви». Особливістю є те, що в неї, як і в інших функцій, що працюють з масивами, результатом видачі не є вміст комірки, а цілий масив даних. Синтаксис функції досить простий і виглядає так:

ТРАНСП(масив)

Тобто, єдиним аргументом цього оператора є посилання на масив, у нашому випадку матрицю, який слід перетворити.

Подивимося, як цю функцію можна застосувати на прикладі реальної матрицею.

1. Виділяємо незаповнений осередок на аркуші, що планується зробити крайнім верхнім лівим осередком перетвореної матриці. Далі тиснемо на значок "Вставити функцію", що розташований поблизу рядка формул.



2. Запуск Майстри функцій. Відкриваємо у ньому категорію «Посилання та масиви»або «Повний алфавітний список». Після того, як знайшли назву «ТРАНСП», Виробляємо його виділення і тиснемо на кнопку "OK".



3. Відбувається запуск вікна аргументів функції ТРАНСП. Єдиному аргументу даного оператора відповідає поле «Масив». До нього потрібно внести координати матриці, яку слід перевернути. Для цього встановлюємо курсор у полі та, затиснувши ліву кнопку миші, виділяємо весь діапазон матриці на аркуші. Після того, як адреса області відобразилася у вікні аргументів, клацаємо по кнопці "OK".



4. Але, як бачимо, у комірці, яка призначена для виведення результату, відображається некоректне значення у вигляді помилки «ЗНАЧ!». Це з особливостями роботи операторів масивів. Щоб виправити цю помилку, виділяємо діапазон осередків, у якому число рядків має дорівнювати кількості стовпців початкової матриці, а число стовпців – кількості рядків. Подібна відповідність дуже важлива для того, щоб результат відобразився коректно. При цьому, осередок, в якому міститься вираз «ЗНАЧ!»повинна бути верхнім лівим осередком виділеного масиву і саме з неї слід починати процедуру виділення, затиснувши ліву кнопку миші. Після того, як ви провели виділення, встановіть курсор у рядок формул відразу після виразу оператора ТРАНСП, що має відобразитися у ній. Після цього, щоб зробити обчислення, потрібно натиснути не кнопку Enter, як заведено у звичайних формулах, а набрати комбінацію Ctrl+Shift+Enter.



5. Після цих дій матриця відобразилася так, як нам треба, тобто у транспонованому вигляді. Але є ще одна проблема. Справа в тому, що тепер нова матриця є пов'язаний формулоюмасив, який не можна змінювати. При спробі змінити вміст матриці буде вискакувати помилка. Деяких користувачів такий стан речей цілком задовольняє, тому що вони не збираються робити зміни в масиві, а іншим потрібна матриця, з якою повноцінно можна працювати.

   Для того щоб вирішити цю проблему, Виділяємо весь транспонований діапазон. Перемістившись у вкладку «Головна»клацаємо по піктограмі «Копіювати», яка розташована на стрічці у групі "Буфер обміну". Замість вказаної дії можна після виділення зробити набір стандартного сполучення клавіш для копіювання Ctrl+C.



6. Потім, не знімаючи виділення з транспонованого діапазону, клацніть по ньому правою кнопкою миші. У контекстному меню у групі "Параметри вставки"клацаємо по іконці «Значення», яка має вигляд піктограми із зображенням чисел.

   

   Після цього формула масиву ТРАНСПбуде видалена, а в осередках залишаться лише одні значення, з якими можна працювати так само, як і з вихідною матрицею.

Спосіб 2: транспонування матриці за допомогою спеціальної вставки

Крім того, матрицю можна транспонувати за допомогою одного елемента контекстного меню, що носить назву «Спеціальна вставка».

Після зазначених дій на аркуші залишиться лише перетворена матриця.

Цими двома способами, про які йшлося вище, можна транспонувати в Excel як матриці, а й повноцінні таблиці. Процедура буде практично ідентичною.

Отже, ми з'ясували, що у програмі Excel матрицюможна транспонувати, тобто, перевернути, помінявши стовпці та рядки місцями, двома способами. Перший варіант передбачає використання функції ТРАНСП, а другий - інструменти спеціальної вставки. За великим рахунком, кінцевий результат, який виходить при використанні обох цих способів, нічим не відрізняється. Обидва методи працюють практично у будь-якій ситуації. Так що при виборі варіанта перетворення на перший план виходять особисті переваги конкретного користувача. Тобто, який з цих методів вам особисто зручніше, той і використовуйте.