Яке з рівнянь має безліч коренів. Корінь рівняння – ознайомча інформація

Отримавши загальне уявлення про рівність , і познайомившись з одним з їх видів - числовими рівностями, можна почати розмову про ще один дуже важливий з практичної точки зору вид рівностей - про рівняння. У цій статті ми розберемо, що таке рівнянняі що називають коренем рівняння. Тут ми дамо відповідні визначення, а також наведемо різноманітні приклади рівнянь та їх коріння.

Навігація на сторінці.

Що таке рівняння?

Цілеспрямоване знайомство з рівняннями зазвичай починається під час уроків математики у 2 класі. В цей час дається таке визначення рівняння:

Визначення.

Рівняння- Це рівність, що містить невідоме число, яке треба знайти.

Невідомі числа в рівняннях прийнято позначати за допомогою маленьких латинських літер, наприклад, p, t, u і т.п., але найчастіше використовуються літери x, y та z.

Таким чином, рівняння визначається з позиції форми запису. Іншими словами, рівність є рівнянням, коли підпорядковується зазначеним правилам запису – містить літеру, значення якої необхідно знайти.

Наведемо приклади перших і найперших простих рівнянь. Почнемо з рівнянь виду x = 8, y = 3 і т.п. Трохи складніше виглядають рівняння, що містять разом з числами та літерами знаки арифметичних дій, наприклад x+2=3 , z−2=5 , 3·t=9 , 8:x=2 .

Різноманітність рівнянь зростає після знайомства з - починають з'являтися рівняння з дужками, наприклад, 2 · (x-1) = 18 і x + 3 · (x +2 · (x-2)) = 3 . Невідома літера в рівнянні може бути кілька разів, наприклад, x+3+3·x−2−x=9 , також літери можуть бути в лівій частині рівняння, в його правій частині, або в обох частинах рівняння, наприклад, x· (3+1)−4=8 , 7−3=z+1 або 3·x−4=2·(x+12) .

Далі після вивчення натуральних чиселвідбувається знайомство з цілими, раціональними, дійсними числами, вивчаються нові математичні об'єкти: ступеня, коріння, логарифми і т.д., при цьому з'являються нові і нові види рівнянь, що містять ці речі. Їхні приклади можна переглянути у статті основні види рівнянь, що вивчаються у школі.

У 7 класі поряд з літерами, під якими мають на увазі деякі конкретні числа, починають розглядати літери, які можуть приймати різні значення, їх називають змінними (дивіться статтю). При цьому визначення рівняння впроваджується слово «змінна», і воно стає таким:

Визначення.

Рівняннямназивають рівність, що містить змінну, значення якої необхідно визначити.

Наприклад, рівняння x+3=6·x+7 – рівняння зі змінною x , а 3·z−1+z=0 – рівняння зі змінною z .

На уроках алгебри в тому ж 7 класі відбувається зустріч із рівняннями, що містять у своєму записі не одну, а дві різні невідомі змінні. Їх називають рівняннями із двома змінними. Надалі допускають присутність у записі рівнянь трьох та більшої кількості змінних.

Визначення.

Рівняння з одним, двома, трьома і т.д. змінними– це рівняння, що містять у своєму записі одну, дві, три, … невідомі змінні відповідно.

Наприклад, рівняння 3,2 x 0,5 = 1 - це рівняння з однією змінною x , у свою чергу рівняння виду x-y = 3 - це рівняння з двома змінними x і y . І ще один приклад: x 2 +(y−1) 2 +(z+0,5) 2 =27 . Зрозуміло, що таке рівняння – це рівняння з трьома невідомими змінними x, y та z.

Що таке корінь рівняння?

З визначенням рівняння безпосередньо пов'язане визначення кореня цього рівняння. Проведемо деякі міркування, які допоможуть зрозуміти, що таке корінь рівняння.

Припустимо, маємо рівняння з однією літерою (змінною). Якщо замість літери, що входить до запису цього рівняння, підставити деяке число, то рівняння звернутися до числової рівності. Причому отримана рівність може бути як вірною, так і невірною. Наприклад, якщо замість букви a рівняння a+1=5 підставити число 2 , то вийде неправильне числове рівність 2+1=5 . Якщо ж ми на це рівняння підставимо замість a число 4 , то вийде правильну рівність 4+1=5 .

Насправді у переважній більшості випадків інтерес становлять такі значення змінної, підстановка яких у рівняння дає правильну рівність, ці значення називають корінням чи рішеннями даного рівняння.

Визначення.

Корінь рівняння– це значення літери (змінної), при підстановці якого рівняння звертається у правильне числове рівність.

Зазначимо, що корінь рівняння з однією змінною називають рішенням рівняння. Іншими словами, рішення рівняння та корінь рівняння – це одне й те саме.

Пояснимо це визначення з прикладу. Для цього повернемося до вищезаписаного рівняння a+1=5 . Згідно з озвученим визначенням кореня рівняння, число 4 є корінь цього рівняння, тому що при підстановці цього числа замість літери a отримуємо правильну рівність 4+1=5 , а число 2 не є його коренем, тому що йому відповідає неправильна рівність виду 2+1= 5 .

На цей момент виникає низка природних питань: «Чи будь-яке рівняння має корінь, і скільки коренів має задане рівняння»? Відповімо на них.

Існують як рівняння, що мають коріння, так і рівняння, що не мають коріння. Наприклад, рівняння x+1=5 має корінь 4 , а рівняння 0·x=5 немає коренів, оскільки яке б число ми підставили це рівняння замість змінної x , ми отримаємо неправильне рівність 0=5 .

Щодо числа коренів рівняння, то існують як рівняння, що мають деяке кінцеве числокоріння (один, два, три і т.д.), так і рівняння, що мають нескінченно багато коренів. Наприклад, рівняння x−2=4 має єдиний корінь 6 , корінням рівняння x 2 =9 є два числа −3 і 3 , рівняння x·(x−1)·(x−2)=0 має три корені 0 , 1 та 2 а рішенням рівняння x=x є будь-яке число, тобто, воно має безлічкоріння.

Кілька слів варто сказати про прийнятий запис коренів рівняння. Якщо рівняння немає коренів, зазвичай так і пишуть «рівняння немає коренів», або застосовують знак порожньої множини ∅. Якщо рівняння має коріння, їх записують через кому, або записують як елементи множиниу фігурних дужках. Наприклад, якщо корінням рівняння є числа -1, 2 і 4, то пишуть -1, 2, 4 або (-1, 2, 4). Допустимо також записувати коріння рівняння у вигляді найпростіших рівностей. Наприклад, якщо рівняння входить буква x , і корінням цього рівняння є числа 3 і 5 , можна записати x=3 , x=5 , також змінної часто додають нижні індекси x 1 =3 , x 2 =5 , як би вказуючи номери коріння рівняння. Нескінченна безліч коренів рівняння зазвичай записують у вигляді, також при можливості використовують позначення множин натуральних чисел N, цілих чисел Z, дійсних чисел R. Наприклад, якщо коренем рівняння зі змінною x є будь-яке ціле число, то пишуть , а якщо корінням рівняння зі змінною y є будь-яке дійсне числовід 1 до 9 включно, записують .

Для рівнянь з двома, трьома та великою кількістюзмінних, зазвичай, не застосовують термін «корінь рівняння», у випадках говорять «рішення рівняння». Що ж називають розв'язком рівнянь із кількома змінними? Дамо відповідне визначення.

Визначення.

Розв'язанням рівняння з двома, трьома тощо. змінниминазивають пару, трійку тощо. значень змінних, що обертає це рівняння у правильну числову рівність.

Покажемо приклади, що пояснюють. Розглянемо рівняння із двома змінними x+y=7 . Підставимо в нього замість x число 1, а замість y число 2, при цьому маємо рівність 1+2=7. Очевидно, воно неправильне, тому пара значень x=1 , y=2 не є рішенням записаного рівняння. Якщо взяти пару значень x=4 , y=3 , то після підстановки рівняння ми прийдемо до правильної рівності 4+3=7 , отже, ця пара значень змінних за визначенням є рішенням рівняння x+y=7 .

Рівняння з декількома змінними, як і рівняння з однією змінною, можуть не мати коріння, можуть мати кінцеве число коренів, а можуть мати і нескінченно багато коренів.

Пари, трійки, четвірки і т.д. значень змінних часто записують коротко, перераховуючи їх значення через кому в круглих дужках. При цьому записані числа у дужках відповідають змінним в алфавітному порядку. Пояснимо цей момент, повернувшись до попереднього рівняння x+y=7. Розв'язання цього рівняння x=4 , y=3 коротко можна записати як (4, 3).

Найбільшу увагу у шкільному курсі математики, алгебри та почав аналізу приділяється знаходженню коренів рівнянь з однією змінною. Правила цього процесу ми дуже докладно розберемо у статті вирішення рівнянь.

Список літератури.

• Математика. 2 кл. Навч. для загальноосвіт. установ із дод. на електрон. носії. О 2 год. Ч. 1/[М. І. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова та ін] - 3-тє вид. – К.: Просведение, 2012. – 96 с.: іл. - (Школа Росії). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Алгебра:навч. для 7 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 17-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 240 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра: 9 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2009. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-021134-5.

У алгебрі існує поняття двох видів рівностей - тотожності та рівняння. Тотожності - це такі рівності, які можна здійснити при будь-яких значеннях букв, що в них входять. Рівняння - це теж рівності, але здійсненні вони лише за деяких значеннях літер, що входять до них.

Літери за умовою завдання зазвичай бувають нерівноправними. Це означає, що одні з них можуть приймати будь-які допустимі значення, Звані коефіцієнтами (або параметрами), інші ж - їх називають невідомими - приймають значення, які необхідно знайти в процесі вирішення. Як правило, невідомі величини позначають у рівняннях літерами, останніми в (x.y.z і т.д.), або такими ж літерами, але з індексом (х 1, х 2 і т.д.), а відомі коефіцієнти - першими літерами того ж алфавіту.

За кількістю невідомих виділяють рівняння з одним, двома та кількома невідомими. Отже, всі значення невідомих, у яких розв'язуване рівняння перетворюється на тотожність, називаються рішеннями рівнянь. Рівняння можна вважати вирішеним у тому випадку, якщо знайдено всі його рішення або доведено, що воно не має. Завдання «вирішити рівняння» практично зустрічається нерідко і означає, що треба знайти корінь рівняння.

Визначення: корінням рівняння називаються ті значення невідомих з області допустимих, при яких розв'язування, що розв'язується, перетворюється на тотожність.

Алгоритм розв'язання абсолютно всіх рівнянь однаковий, і сенс його полягає в тому, щоб за допомогою математичних перетвореньдане вираження привести до більш простому вигляду.
Рівняння, які мають однакове коріння, в алгебрі називаються рівносильними.

Найпростіший приклад: 7х-49 = 0, корінь рівняння х = 7;
х-7=0, аналогічно, корінь х=7, отже рівняння рівносильні. (У окремих випадках рівносильні рівнянняможуть зовсім не мати коріння).

Якщо корінь рівняння одночасно є коренем іншого, простішого рівняння, отриманого з вихідного шляхом перетворень, то останнє називається наслідком попереднього рівняння.

Якщо їх двох рівнянь одне є наслідком іншого, вони вважаються рівносильними. Ще їх називають еквівалентними. Наведений вище приклад це ілюструє.

Рішення навіть найпростіших рівнянь практично нерідко викликає труднощі. В результаті рішення можна отримати один корінь рівняння, два і більше, навіть нескінченну кількість - це залежить від виду рівнянь. Є й такі, які не мають коріння, вони називаються нерозв'язними.

Приклади:
1) 15х-20 = 10; х = 2. Це єдиний корінь рівняння.
2) 7х - y = 0. Рівняння має безліч коренів, так як у кожної змінної може бути незліченну кількістьзначень.
3) х 2 = - 16. Число, зведене на другий ступінь, завжди дає позитивний результат, тому неможливо відшукати корінь рівняння. Це і є одне з нерозв'язних рівнянь, про які йшлося вище.

Правильність рішення перевіряється підстановкою знайденого коріння замість літер і рішенням прикладу, що вийшов. Якщо тотожність дотримується, рішення правильне.

Після того, як ми вивчили поняття рівностей, а саме один із їхніх видів – числові рівності, можна перейти до ще одного важливого вигляду- Рівнянням. У рамках даного матеріалуми пояснимо, що таке рівняння та його корінь, сформулюємо основні визначення та наведемо різні прикладирівнянь та знаходження їх коріння.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Поняття рівняння

Зазвичай поняття рівняння вивчається на початку шкільного курсуалгебри. Тоді воно визначається так:

Визначення 1

Рівняннямназивається рівність з невідомим числом, що потрібно знайти.

Прийнято позначати невідомі маленькими латинськими літерами, Наприклад, t, r, m ін., але найчастіше використовуються x, y, z. Іншими словами, рівняння визначає форма його запису, тобто рівність буде рівнянням лише тоді, коли буде приведено до певному виду- У ньому повинна бути буква, значення яке треба знайти.

Наведемо кілька прикладів найпростіших рівнянь. Це можуть бути рівності виду x = 5 , y = 6 і т.д., а також ті, що включають арифметичні дії, Наприклад, x + 7 = 38, z - 4 = 2, 8 · t = 4, 6: x = 3.

Після того, як вивчено поняття дужок, з'являється поняття рівнянь із дужками. До них відносяться 7 · (x - 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x - 8)) = 3 та ін. Літера, яку треба знайти, може зустрічатися не один раз, а кілька, як, наприклад, у рівнянні x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . Також невідомі можуть бути розташовані не тільки зліва, але й праворуч або в обох частинах одночасно, наприклад, x · (8 + 1) - 7 = 8, 3 - 3 = z + 3 або 8 · x - 9 = 2 · (x + 17).

Далі, після того, як учні знайомляться з поняттям цілих, дійсних, раціональних, натуральних чисел, а також логарифмами, корінням і ступенями, з'являються нові рівняння, що включають всі ці об'єкти. Прикладам таких висловлювань ми присвятили окрему статтю.

У програмі за 7 клас уперше виникає поняття змінних. Це такі літери, які можуть приймати різні значення(Докладніше див. у статті про числові, буквених виразахта висловлюваннях зі змінними). Грунтуючись на цьому понятті, ми можемо дати нове визначення рівняння:

Визначення 2

Рівняння- Це рівність, що включає змінну, значення якої потрібно обчислити.

Тобто, наприклад, вираз x + 3 = 6 · x + 7 – це рівняння зі змінною x , а 3 · y − 1 + y = 0 – рівняння зі змінною y .

В одному рівнянні може бути не одна змінна, а дві і більше. Їх називають відповідно рівняннями з двома, трьома змінними та ін. Запишемо визначення:

Визначення 3

Рівняння з двома (трьома, чотирма і більше) змінними називають рівняння, які включають відповідну кількість невідомих.

Наприклад, рівність виду 3 , 7 · x + 0 , 6 = 1 є рівнянням з однією змінною x , а x − z = 5 – рівнянням із двома змінними x і z . Прикладом рівняння із трьома змінними може бути вираз x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0 , 6) 2 = 26 .

Корінь рівняння

Коли ми говоримо про рівняння, одразу виникає потреба визначитися з поняттям його кореня. Спробуймо пояснити, що воно означає.

Приклад 1

Нам дано якесь рівняння, що включає одну змінну. Якщо ми підставимо замість невідомої літеричисло, то рівняння стане числовим рівністю – вірним чи неправильним. Так, якщо в рівнянні a + 1 = 5 ми замінимо букву числом 2, то рівність стане невірною, а якщо 4, то вийде правильна рівність 4 + 1 = 5 .

Нас більше цікавлять саме ті значення, з якими змінна обернеться у правильну рівність. Вони і називаються корінням чи рішеннями. Запишемо визначення.

Визначення 4

Коренем рівнянняназивають таке значення змінної, яке звертає дане рівняння у правильну рівність.

Корінь також можна назвати рішенням, або навпаки – обидва ці поняття означають те саме.

Приклад 2

Візьмемо приклад пояснення цього визначення. Вище ми наводили рівняння a+1=5. Згідно з визначенням, корінням у даному випадкубуде 4 , тому що при підстановці замість літери вона дає правильну числову рівність, а двійка не буде рішенням, оскільки їй відповідає неправильна рівність 2 + 1 = 5 .

Скільки коренів може мати одне рівняння? Чи будь-яке рівняння має корінь? Відповімо на ці запитання.

Рівняння, які мають жодного кореня, теж існують. Прикладом може бути 0 x = 5 . Ми можемо підставити в нього багато різних чиселале жодне з них не перетворить його на правильну рівність, оскільки множення на 0 завжди дає 0 .

Також бувають рівняння, що мають кілька коренів. Вони можуть бути як кінцеве, і нескінченно велика кількістькоріння.

Приклад 3

Так, у рівнянні x − 2 = 4 є тільки один корінь – шість, у x 2 = 9 два корені – три та мінус три, у x · (x − 1) · (x − 2) = 0 три корені – нуль, один і два, у рівнянні x = x коренів нескінченно багато.

Тепер пояснимо, як правильно записувати коріння рівняння. Якщо їх немає, ми так і пишемо: «рівняння коренів не має». Можна також у цьому випадку вказати знак порожньої множини ∅ . Якщо коріння є, то пишемо їх через кому або вказуємо як елементи множини, уклавши у фігурні дужки. Так, якщо у якогось рівняння є три корені - 2, 1 і 5, то пишемо - 2, 1, 5 або (-2, 1, 5).

Допускається запис коренів у вигляді найпростіших рівностей. Так, якщо невідома в рівнянні позначена буквою y, а корінням є 2 і 7, то ми пишемо y = 2 і y = 7. Іноді до літер додаються нижні індекси, наприклад, x 1 = 3 x 2 = 5 . Таким чином, ми вказуємо на номери коренів. Якщо рішень у рівняння нескінченно багато, ми записуємо відповідь як числовий проміжокабо використовуємо загальноприйняті позначення: безліч натуральних чисел позначається N, цілих – Z, дійсних – R. Скажімо, якщо нам треба записати, що розв'язуванням рівняння буде будь-яке ціле число, то ми пишемо, що x ∈ Z , а якщо будь-яке дійсне від одиниці до дев'яти, то y ∈ 1 , 9 .

Коли у рівняння два, три корені або більше, то, як правило, говорять не про коріння, а про рішення рівняння. Сформулюємо визначення розв'язання рівняння з кількома змінними.

Визначення 5

Рішення рівняння з двома, трьома і більше змінними – це два, три і більше значення змінних, які перетворюють дане рівняння на правильну числову рівність.

Пояснимо визначення на прикладах.

Приклад 4

Припустимо, у нас є вираз x + y = 7 , який є рівнянням з двома змінними. Підставимо замість першої одиницю, а замість другої двійку. У нас вийде неправильна рівність, отже, ця пара значень не буде розв'язанням цього рівняння. Якщо ми візьмемо пару 3 і 4 , то рівність стане вірним, отже, знайшли рішення.

Такі рівняння теж можуть не мати коріння або мати нескінченну їх кількість. Якщо нам треба записати два, три, чотири і більше значень, то ми пишемо їх через кому в круглих дужках. Тобто у прикладі вище відповідь буде виглядати як (3, 4).

Насправді найчастіше доводиться мати справу з рівняннями, що містять одну змінну. Алгоритм їх розв'язання ми докладно розглянемо у статті, присвяченій розв'язанню рівнянь.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter