Критерії викидів у разі нормального розподілу. Табличні значення критерію Ірвіна для крайніх елементів варіаційного ряду В.В.

При відносному ковзанні деталей пар тертя відбувається пошкодження поверхонь, що контактують. Цей вид пошкодження поверхневих об'ємів деталі називають зносом.Втрата однієї тисячної маси машини внаслідок зношування призводить до повної втрати працездатності. Кожні три роки...
(Механіка. Основи розрахунку та проектування деталей машин)

КРИТЕРІЇ СТІЙКОСТІ СИСТЕМ І МЕТОДИ ВИЗНАЧЕННЯ КРИТИЧНИХ НАВАНТАЖЕНЬ

Відомі три основні критерії стійкості споруд: динамічний, статичний та енергетичний, які визначають і методику розрахунку споруд на стійкість. 1. Динамічний(за Ляпуновим) критерійзаснований на дослідженні рішень рівнянь динамічного руху, відхиленої від початкового...
(Будівельна механікаплоских стрижневих систем)

КРИТЕРІЇ ВИБОРУ КАНАЛІВ ПОШИРЕННЯ РЕКЛАМИ

Серед усіх рішень, які ухвалюються в процесі планування, найбільш важливим є вибір конкретних медіаносіїв усередині кожного медіа. Як правило, медіапланери прагнуть вибирати ті носії, які дозволяють досягти наступних цілей: 1) досягти заданої частоти пред'явлення рекламного повідомлення.
(Психологія масових комунікацій)

Кореляційно-регресійний аналіз

Кореляція та регресія належать до методів виявлення статистичної залежностіміж досліджуваними змінними. “На основі аналізу емпіричних даних, зібраних у ході проведення дослідження, описується не лише сам факт існування статистичної залежності, а й математична формула функції...
(Маркетингові дослідження)

КОРЕЛЯЦІЙНО-РЕГРЕСІЙНИЙ МЕТОД ДОСЛІДЖЕННЯ

Одним із методів моделювання економічних процесівє кореляційно-регресійний метод дослідження. Моделювання являє собою процес вираження складних взаємопов'язаних економічних явищзасобами математичних формулта символів. Поєднання якісного аналізуіз застосуванням математичних...
(Загальна та прикладна статистика)

Кореляційно-регресійний аналіз

Статистичне дослідження економічних та технологічних процесівв даний час є одним з найважливіших інструментіврозробки систем управління процесами. Знання зв'язків між параметрами дозволяє виділити ключові фактори, що впливають на якість готової продукції або досліджувані...
(Математика та економіко-математичні моделі)

Нехай - вибірка, що спостерігається, - побудований за нею варіаційний ряд. Перевірена гіпотеза полягає в тому, що всі належать одній генеральної сукупності(Викидів немає). Альтернативна гіпотеза - у вибірці є викиди.

Згідно з критерієм Шовене, елемент вибірки обсягу є викидом, якщо ймовірність його відхилення від середнього значення не більше .

Складається наступна статистика Шовене:

де середнє значення,

Вибіркова дисперсія

Визначимо, який розподіл має статистика у виконанні гіпотези. Для цього зробимо припущення, що вже при малих випадкових величинах і є незалежними, тоді щільність розподілу випадкової величинимає вигляд :

Значення цієї функції розподілу можна обчислити за допомогою математичного пакета Maple 14, підставляючи замість невідомих параметрів отримані значення.

Якщо статистика то значення () має бути визнано викидом. Критичні значення наведено у таблиці (див. додаток А). Замість формули (1.1) підставляємо для перевірки на наявність викидів крайні значення.

Критерій Ірвіна

Цей критерій використовується у разі коли дисперсія розподілу відома заздалегідь.

З нормальної генеральної сукупності витягується вибірка обсягу, і складається варіаційний ряд (упорядковується зростанням). Розглядаються самі гіпотези і, що у попередньому критерії.

При найбільше (найменше) значення визнається викидом із ймовірністю. Критичні значення занесено до таблиці.

Критерій Граббса

Нехай вилучено вибірку, і по ній побудовано варіаційний ряд. Перевірена гіпотеза у тому, що це () належать однієї генеральної сукупності. При перевірці на викид найбільшого вибіркового значення альтернативна гіпотеза у тому, що належать одному закону, а - деякому іншому, значно зсунутому вправо. Під час перевірки на викид найбільшого значеннявибірки статистика критерію Граббса має вигляд

де обчислюється за формулою (1.2), а - за (1.3)

При перевірці на викид найменшого вибіркового значення альтернативна гіпотеза припускає, що належить деякому іншому закону, значно зсунутому вліво. У даному випадкуобчислювана статистика набуває вигляду

де обчислюється за формулою (1.2), а - (1.3).

Статистики або застосовуються, коли дисперсія відома заздалегідь; статистики та - коли дисперсія оцінюється за вибіркою за допомогою співвідношення (1.3).

Максимальний або мінімальний елементвибірки вважається викидом, якщо значення відповідної статистики перевищить критичне: або, де - рівень значимості, що задається. Критичні значення та наведені у зведених таблицях (див. додаток А). Отримані у цьому критерії статистики під час виконання нульової гіпотезимають такий самий розподіл, як і статистика за критеріями Шовені.

При > 25 можна скористатися наближеннями для критичних значень

де - квантиль стандартного нормального розподілу.

А апроксимується наступним чином

Якщо у вибраній вибірці відомі дисперсія () та математичне очікування(µ - середнє значення), то використовується статистика

Критичні значення цієї статистики також занесено до таблиць. Якщо, то викид визнається значним, і приймається альтернативна гіпотеза.

Крім того, аномальні рівні в часових рядах можуть виникати через вплив факторів, що мають об'єктивний характер, але виявляються епізодично або дуже рідко. помилки другого роду , вони усунення не підлягають.

Для виявлення аномальних рівнів часових рядів використовують методи, розраховані для статистичних сукупностей.

Метод Ірвіна.

Метод Ірвіна передбачає використання наступної формули:

де середнє квадратичне відхиленнярозраховується у свою чергу з використанням формул:

. (2)

Розрахункові значення порівнюються з табличними значеннями критерію Ірвіна, і якщо виявляються більше табличних, то відповідне значення рівня низки вважається аномальним. Значення критерію Ірвіна до рівня значимості , тобто . з 5% помилкою, наведені в таблиці 4.

Таблиця 4.

	2,8	2,3	1,5	1,3	1,2	1,1	1,0

Після виявлення аномальних рівнів ряду обов'язковим є визначення причин їх виникнення!

Якщо точно встановлено, що аномалія викликана помилками першого роду, то відповідні рівні ряду «поправляються» або заміною простий середньої арифметичної сусідніх рівнів ряду, або значеннями, отриманими по кривій, що апроксимує даний тимчасовий ряд в цілому.

Метод перевірки різниць середніх рівнів.

Реалізація цього методу складається із чотирьох етапів.

1. Вихідний часовий ряд розбивається на дві приблизно рівні за кількістю рівнів частини: у першій частині перших рівнів вихідного ряду, у другій – інших рівнів .

2. для кожної з цих частин обчислюються середнє значення та дисперсії:

3. перевірка рівності (однорідності) дисперсій обох частин ряду за допомогою F-критерію Фішера, яка ґрунтується на порівнянні розрахункового значення цього критерію:

з табличним (критичним) значенням критерію Фішера із заданим рівнем значущості (рівнем помилки). Як найчастіше беруть значення 0,1 (10% помилка), 0,05 (5% помилка), 0,01 (1% помилка). Величина називається довірчою ймовірністю. Якщо розрахункове (емпіричне) значення F менше табличного, то гіпотеза про рівність дисперсій приймається та переходять до четвертого етапу. В іншому випадку гіпотеза про рівність дисперсій відкидається і робиться висновок, що даний методвизначення наявності тренду відповіді не дає.

4. перевіряється гіпотеза про відсутність тренда з використанням критерію Стьюдента. Для цього визначається розрахункове значення критерію Стьюдента за формулою:

(3)

де середнє квадратичне відхилення різниці середніх:

.

Якщо розрахункове значення менше табличного значення статистики Стьюдента із заданим рівнем значущості, гіпотеза приймається, тобто тренда немає, інакше тренд є. Зауважимо, що в даному випадку табличне значення береться для числа ступенів свободи, рівного , при цьому даний метод можна застосувати тільки для рядів з монотонною тенденцією.

Метод Фостера-Стьюарта.

Цей метод має великими можливостямиі дає більш надійні результати, порівняно з попередніми. Крім тренду самого ряду (тренду в середньому), він дозволяє встановити наявність тренду дисперсії часового ряду: якщо тренду дисперсії немає, то розкид рівнів ряду постійний; якщо дисперсія збільшується, то ряд "розгойдується" і т.д.

Реалізація методу складається з чотирьох етапів.

1. проводиться порівняння кожного рівня з усіма попередніми, при цьому визначаються дві числові послідовності:

2. обчислюються величини:

Неважко бачити, що величина, що характеризує зміну часового ряду, набуває значення від 0 (усі рівні ряду рівні між собою) до (ряд монотонний). Величина характеризує зміну дисперсії рівнів часового ряду і змінюється від (ряд монотонно зменшується) до (ряд монотонно зростає).

1. відхилення величини від величини математичного очікування величини для низки, у якому рівні розташовані випадковим чином;

2. відхилення величини від нуля.

Ця перевірка проводиться з використанням розрахункових (емпіричних) значень критерію Стьюдента для середньої та дисперсії:

де математичне очікування величини, визначеної для ряду, в якому рівні розташовані випадковим чином;

Завдання 19.1Тріщина розташована в полі дії максимальних розтягуючих напруг, викликаних вибухом одиночного циліндричного заряду. Визначити відстань від заряду до тріщини, при якому можливе її зростання.

Початкові дані: довжина тріщини 2 l=0,1м; порода - кварцити з в'язкістю руйнування До I =2,6∙10 6 Н/м 3/2; максимальний тиск заряду в свердловині P 0 = 1,2 ∙ 10 10 Па.

Рішення.Розподіл максимальної квазістатичної напруги наближено описується залежностями:

де і - радіальні та окружні напруги;

Р 0 – максимальний тиск під час вибуху заряду в свердловині;

r 0 – радіус заряду, м;

r- Відстань до розглянутої точки, м;

n- Показник ступеня, що приймає значення n=2 в пружному середовищі; у реальному середовищі з урахуванням формування множини тріщин у зонах подрібнення та дроблення показник ступеня більше двох; експериментальне значення знаходиться в межах n=2.1...2,3. У розрахунку використовуємо середню величину n=2,2.

Відповідно до критерію Ірвіна зростання тріщини відбувається у разі, коли коефіцієнт інтенсивності напруг досягає значення в'язкості руйнування:

До 1 = До c, (19.3)

де До I – коефіцієнт інтенсивності напруг, величина якого в даному випадку, з урахуванням знака напруг, що розтягують, обчислюється за формулою

. (19.4)

Підставляючи (19.4) з урахуванням (19.1) та (19.2) у (19.3) після перетворень отримаємо:

(19.5)

На малюнку 19.1 подано результат розрахунку. За заданих умов відстань від заряду до тріщини, за якої можливе її зростання, становить 3,8 м. На очуванні розрахункової залежності (19.5) можна стверджувати, що чим більший радіус заряду, тиск і напівдовжина тріщини, тим більше радіус зони дроблення.

Параметри lі K Iє технологічно некерованими та характеризують властивості породного масиву. Керованими параметрами є радіус заряду r 0та величина максимального тиску P 0. Так, наприклад, збільшення радіусу заряду вдвічі призводить до лінійного збільшення радіусу rзони дроблення також удвічі. Якщо ж максимальний тиск P 0у свердловині збільшити вдвічі, то радіус rзони дроблення збільшується приблизно 1,4 разу. Такий практичний висновок випливає із механіки руйнування з використанням критерію Ірвіна.

Завдання 19.2На контурі горизонтального підземного гірничого вироблення, пройденого в піщанику, діють горизонтальні напруги σ z , спрямовані вздовж осі виробітку і окружні напруги σ θ . У поверхневому шарі виробітку є хаотично розташовані тріщини довжиною 2 l. Встановити критичні розміри тріщин, у яких відбувається їх зростання.

Початкові дані: σ z = 10 МПа, σ θ = 20 МПа. В'язкість руйнування піщанику для тріщини в полі зсувної напруги (тріщина другого роду) становить K II=0,96∙10 6 Н/м 3/2.

Рішення.На контурі вироблення діють такі основні напруги: 1 =20 МПа; σ 2 =10 МПа; σ 3 =0. Максимальні дотичні напруги, що діють у площині під кутом 45 до поверхні виробки, становлять:

. (19.5)

Якщо тріщина розташована в площині дії максимальної дотичної напруги, то її граничний стійкий розмір можна визначити, використовуючи критерій Ірвіна.

Метод Ірвіна використовується виявлення аномальних значень рівнів часового ряду. Під аномальним рівнем розуміється окреме значення рівнів часового ряду, яке відповідає потенційним можливостям досліджуваної економічної системи і яке, залишаючись як рівень ряду, істотно впливає значення основних характеристик часового ряду.

Причинами аномальних явищ можуть бути помилки технічного порядку, або помилки першого роду, вони підлягають виявлення та усунення.

Крім того, аномальні рівні в часових рядах можуть виникати через вплив факторів, що мають об'єктивний характер, але виявляються епізодично. Їх відносять до помилок другого роду, які не підлягають усуненню.

Для виявлення аномальних спостережень можна використовувати метод Ірвіна. У цьому випадку обчислюється коефіцієнт t , рівний:

,
,
.

Розрахункові значення λ2, λ3,... порівнюються з табличними значеннями критерію Ірвіна λα. Якщо виявляється, що розрахункове значення t більше табличного λ , то відповідне значення y t рівня ряду вважається аномальним.

Після виявлення аномальних значень рівнів обов'язкове визначення причин їх виникнення. Якщо точно встановлено, що вони викликані помилками першого роду, вони усуваються зазвичай заміною середньої арифметичної двох сусідніх рівнів ряду, або заміною значенням відповідної трендової кривої.

При перевірці наявності аномальних коливань з використанням методу Ірвіна отримали наступні розрахункові значення коефіцієнта t:

Таблиця №13

Порівнюючи знайдені значення коефіцієнта λ t з табличним значенням ? ? окремі значеннярівнів ряду перевершують значення λ α, отже робимо висновок про те, що в даній моделі присутні аномальні коливання, викликані помилками другого роду, які усунення не підлягають.

Розділ 8. Визначення оптимального виду лінії тренду. Прогноз показників

Під трендом розуміється зміна, що визначає загальний напрямок розвитку, основну тенденцію часового ряду.

Для вибору лінії тренду, найкращим чиномЩо відображає загальний напрямок процесу розвитку ставки рефінансування Центрального Банку, рівня безробіття та інфляції, необхідно побудувати кілька ліній тренду і вибрати ту з них, яка краще відображає динаміку розвитку того чи іншого процесу.

Для побудови ліній тренду необхідно використовувати можливості ТР Excel, застосувавши команду "Діаграма" - "Додати лінію тренду". У діалоговому вікні "Лінія тренду" на вкладці "Тип" необхідно вибрати потрібний тип лінії тренду та вказати ступінь полінома. На вкладці "Параметри" необхідно встановити перемикач "Показувати рівняння на діаграмі", "Помістити на діаграму величину достовірності апроксимації".

Після побудови ліній тренду, слід вибрати ту, яка найкраще відображає динаміку зміни того чи іншого процесу у часі.

Потім слід зробити прогноз значень на 3 періоди наперед, використовуючи обраний тренд. Тренд, яким необхідно зробити прогноз вибирається виходячи з величини достовірності апроксимації.

Для того, щоб зробити прогноз, також необхідно скористатися можливостями ТР Excel. У цьому випадку необхідно в діалоговому вікні "Лінія тренду" на вкладці "Параметри" вказати, наскільки періодів уперед необхідно зробити прогноз.

Даний прогноз дозволяє визначити, як через певний проміжок часу зміниться показник, що вивчається при незмінності інших показників.

Після побудови лінії тренду для показника ставки рефінансування Центрального Банку, як оптимальну лінію тренда була обрана лінія тренду 2, якій відповідає рівняння:

Y = -0.0089х 3 +0ю3152х 2 -3.5642х +37.014; R2 = 0.8048

Для показника рівня безробіття як оптимальну лінію тренда була обрана лінія тренду 1, якій відповідає рівняння:

Y = -6E-06x4+0.0003x3-0.0038x2+0.0187x+0.0291; R2 = 0.8771

Для показника рівня інфляції як оптимальну лінію тренда була обрана лінія тренду 2, якій відповідає рівняння:

Y = -0.0064x3+0.2186x2-2.3701x+14.603; R 2 = 0.7703

Прогнози, зроблені за вибраними лініями тренду, дають найбільш точну характеристику наказу показників у майбутньому.

z 1 прогнозне
z 2 прогнозне
y прогнозне
t прогнозне

Підставляючи отримані прогнозні значення раніше розраховане рівняння регресії,

отримуємо у = 13,12990776.