Метод лагранжа приклад із двома обмеженнями. Умовні екстремуми та метод множників лагранжу

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = f(t)

полягає у заміні довільних постійних ck у загальному рішенні

z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ...

Cnzn(t)

відповідного однорідного рівняння

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0

на допоміжні функції ck(t), похідні яких задовольняють лінійній системі алгебри

Визначником системи (1) служить вронскіан функцій z1,z2,...,zn, що забезпечує її однозначну роздільну здатність щодо .

Якщо - первісні для , взяті при фіксованих постійних значеннях інтегрування, то функція

є рішенням вихідного неоднорідного лінійного диференціального рівняння. Інтегрування неоднорідного рівнянняза наявності загального розв'язання відповідного однорідного рівняння зводиться таким чином до квадратур.

Метод Лагранжа (метод варіації довільних постійних)

Метод отримання загального рішення неоднорідного рівняння, знаючи загальне рішення однорідного рівняння без перебування приватного решения.

Для лінійного однорідного диференціального рівняння n-го порядку

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1(x) y" + an(x) y = 0,

де y = y(x) – невідома функція, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) – відомі, безперервні, справедливо: 1) існують n лінійно незалежних рішень рівняння y1(x), y2(x), ..., yn(x); 2) за будь-яких значень констант c1, c2, ..., cn функція y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) є рішенням рівняння; 3) для будь-яких початкових значень x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 існують такі значення c*1, c*n, ..., c*n, що рішення y*(x)=c*1 y1(x ) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn(x) задовольняє при x = x0 початковим умовам y*(x0)=y0, (y*)"(x0)=y0,1, ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

Вираз y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) називається загальним рішеннямлінійного однорідного диференціального рівняння n-го порядку

Сукупність n лінійно незалежних рішень лінійного однорідного диференціального рівняння n-го порядку y1(x), y2(x), ..., yn(x) називається фундаментальною системою рішень рівняння.

Для лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтамиІснує простий алгоритм побудови фундаментальної системи рішень. Шукатимемо рішення рівняння у вигляді y(x) = exp(lx): exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx)" + anexp(lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0, тобто число l є коренем характеристичного рівняння ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0. Ліва частина характеристичного рівняння називається характеристичним багаточленом лінійного диференціального рівняння: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an. Таким чином, завдання про рішення лінійного однорідного рівняння n-го порядку з постійними коефіцієнтами зводиться до розв'язання рівня алгебри.

Якщо характеристичне рівняння має n різних дійсних коренів l1№ l2 № ... № ln, то фундаментальна система рішень складається з функцій y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), ..., yn (x) = exp (lnx), і загальне рішення однорідного рівняння має вигляд: y (x) = c1 exp (l1x) + c2 exp (l2x) + ... + cn exp (lnx).

ундаментальна система рішень та загальне рішення для випадку простих дійсних коренів.

Якщо якесь із дійсних коренів характеристичного рівняння повторюється r разів (r-кратний корінь), то в фундаментальній системі рішень йому відповідають r функцій; якщо lk=lk+1 = ... = lk+r-1, то фундаментальну системурішень рівняння входять r функцій: yk(x) = exp(lkx), yk+1(x) = xexp(lkx), yk+2(x) = x2exp(lkx), ..., yk+r-1( x) = xr-1 exp (lnx).

ПРИКЛАД 2. Фундаментальна система рішень та загальне рішення для випадку кратного дійсного коріння.

Якщо характеристичне рівняння має комплексне коріння, то кожній парі простих (мають кратність 1) комплексного коріння lk,k+1=ak ± ibk у фундаментальній системі рішень відповідає пара функцій yk(x) = exp(akx)cos(bkx), yk+ 1(x) = exp(akx)sin(bkx).

ПРИКЛАД 4. Фундаментальна система рішень та загальне рішення для випадку простих комплексних коренів. Уявне коріння.

Якщо ж комплексна пара коренів має кратність r, то такий парі lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk, у фундаментальній системі рішень відповідають функції exp(akx)cos(bkx), exp(akx )sin(bkx), xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)sin(bkx), x2exp(akx)cos(bkx), x2exp(akx)sin(bkx), ........ ........ xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)sin(bkx).

ПРИКЛАД 5. Фундаментальна система рішень та загальне рішення для випадку кратного комплексного коріння.

Таким чином, для віднайдення загального рішення лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами слід записати характеристичне рівняння; знайти всі коріння характеристичного рівняння l1, l2, ..., ln; записати фундаментальну систему розв'язків y1(x), y2(x), ..., yn(x); записати вираз для загального рішення y(x) = c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x). Для вирішення задачі Коші потрібно підставити вираз для загального рішення в початкові умови та визначити значення постійних c1,..., cn, які є рішеннями системи лінійних алгебраїчних рівнянь c1 y1(x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn(x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0 ) =y0,1, ......... , c1 y1(n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)( x0) = y0,n-1

Для лінійного неоднорідного диференціального рівняння n-го порядку

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1(x) y" + an(x) y = f(x),

де y = y(x) - невідома функція, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) - відомі, безперервні, справедливо: 1) якщо y1(x) та y2(x) - два розв'язки неоднорідного рівняння, то функція y(x) = y1(x) - y2(x) - розв'язання відповідного однорідного рівняння; 2) якщо y1(x) розв'язання неоднорідного рівняння, а y2(x) - розв'язання відповідного однорідного рівняння, то функція y(x) = y1(x) + y2(x) - розв'язання неоднорідного рівняння; 3) якщо y1(x), y2(x), ..., yn(x) - n лінійно незалежних рішень однорідного рівняння, а yч(x) - довільне рішеннянеоднорідного рівняння, то будь-яких початкових значень x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 існують такі значення c*1, c*n, ..., c*n, що рішення y*(x )=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn(x) + yч(x) задовольняє при x = x0 початковим умовам y*(x0)=y0, ( y*)"(x0)=y0,1, ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

Вираз y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + yч(x) називається загальним рішенням лінійного неоднорідного диференціального рівняння n-го порядку.

Для пошуку приватних рішень неоднорідних диференціальних рівняньз постійними коефіцієнтами з правими частинами виду: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx), де Pk(x), Qm(x) - багаточлени ступеня k і m відповідно, простий алгоритм побудови приватного рішення, званий методом підбору.

Метод підбору, чи метод невизначених коефіцієнтів, ось у чому. Розв'язання, що шукається, записується у вигляді: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs, де Pr(x), Qr(x) - багаточлени ступеня r = max(k, m) з невідомими коефіцієнтами pr, pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0. Співмножник xs називають резонансним помножувачем. Резонанс має місце у випадках, коли серед коренів характеристичного рівняння є корінь l=a±ib кратності s. Тобто. якщо серед коренів характеристичного рівняння відповідного однорідного рівняння є така, що його дійсна частина збігається з коефіцієнтом у показнику ступеня експоненти, а уявна - з коефіцієнтом в аргументі тригонометричної функціїу правій частині рівняння, і кратність цього кореня s, то в приватному вирішенні, що шукається, присутній резонансний сомножитель xs. Якщо такого збігу немає (s=0), то резонансний співмножник відсутній.

Підставивши вираз для приватного рішення в ліву частину рівняння, отримаємо узагальнений багаточлен того ж виду, що багаточлен у правій частині рівняння, коефіцієнти якого невідомі.

Два узагальнених многочлена рівні тоді і лише тоді, коли рівні коефіцієнти при співмножниках виду xtexp(ax)sin(bx), xtexp(ax)cos(bx) з однаковими ступенями t. Прирівнявши коефіцієнти при таких співмножниках, отримаємо систему 2(r+1) лінійних рівнянь алгебри щодо 2(r+1) невідомих. Можна показати, що така система є спільною і має єдине рішення.

Спочатку розглянемо випадок функції двох змінних. Умовним екстремумом функції $z=f(x,y)$ у точці $M_0(x_0;y_0)$ називається екстремум цієї функції, досягнутий за умови, що змінні $x$ і $y$ в околиці цієї точки задовольняють рівняння зв'язку $\ varphi (x, y) = 0 $.

Назва «умовний» екстремум пов'язана з тим, що на змінні накладено додаткову умову $ Varphi (x, y) = 0 $. Якщо з рівняння зв'язку можна виразити одну змінну через іншу, то завдання визначення умовного екстремуму зводиться до завдання на звичайний екстремум функції однієї змінної. Наприклад, якщо з рівняння зв'язку випливає $y=\psi(x)$, то підставивши $y=\psi(x)$ $z=f(x,y)$, отримаємо функцію однієї змінної $z=f\left (x, \ psi (x) \ right) $. У загальному випадкуПроте такий метод малопридатний, тому потрібно введення нового алгоритму.

Метод множників Лагранжа для функцій двох змінних.

Метод множників Лагранжа полягає в тому, що для відшукання умовного екстремуму складають функцію Лагранжа: $F(x,y)=f(x,y)+lambda\varphi(x,y)$ (параметр $lambda$ називають множником Лагранжа ). Необхідні умови екстремуму задаються системою рівнянь, з якої визначаються стаціонарні точки:

$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x, y) = 0. \end(aligned) \right.$$

Достатньою умовою, з якої можна з'ясувати характер екстремуму, є знак $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. Якщо стаціонарної точці $d^2F > 0$, то функція $z=f(x,y)$ має у цій точці умовний мінімум, якщо $d^2F< 0$, то условный максимум.

Є й інший спосіб визначення характеру екстремуму. З рівняння зв'язку отримуємо: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_ (y)^("))dx$, тому в будь-якій стаціонарній точці маємо:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \right)$$

Другий помножувач (розташований у дужці) можна представити у такій формі:

Червоним кольором виділено елементи визначника $ \ left | \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (array) \right|$, який є гесіаном функції Лагранжа. Якщо $H > 0$, то $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0 $, тобто. маємо умовний мінімум функції $ z = f (x, y) $.

Примітка щодо форми запису визначника $H$. показати\сховати

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(array) \right| $$

У цій ситуації сформульоване вище правило зміниться так: якщо $H > 0$, то функція має умовний мінімум, а при $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Алгоритм дослідження функції двох змінних на умовний екстремум

Скласти функцію Лагранжа $F(x,y)=f(x,y)+lambda\varphi(x,y)$
Вирішити систему $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x, y) = 0. \end(aligned) \right.$
Визначити характер екстремуму у кожній із знайдених у попередньому пункті стаціонарних точок. Для цього застосувати будь-який із зазначених способів:
- Скласти визначник $H$ та з'ясувати його знак
- З урахуванням рівняння зв'язку обчислити знак $d^2F$

Метод множників Лагранжа для функцій n змінних

Допустимо, ми маємо функцію $n$ змінних $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ і $m$ рівнянь зв'язку ($n > m$):

$ $ \ Varphi_1 (x_1, x_2, \ ldots, x_n) = 0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Позначивши множники Лагранжа як $lambda_1, lambda_2, ldots, lambda_m $, складемо функцію Лагранжа:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Необхідні умови наявності умовного екстремуму задаються системою рівнянь, з якої знаходяться координати стаціонарних точок та значення множників Лагранжа:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$

З'ясувати, умовний мінімум чи умовний максимум має функція у знайденій точці, можна, як і раніше, за допомогою символу $d^2F$. Якщо знайденої точці $d^2F > 0$, то функція має умовний мінімум, якщо $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Визначник матриці $ \ left | \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$, виділеної в матриці $L$ червоним, є гессиан функції Лагранжа. Використовуємо таке правило:

Якщо символи кутових мінорів $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ матриці $L$ збігаються зі знаком $(-1)^m$, то досліджувана стаціонарна точка є точкою умовного мінімуму функції $z=f(x_1,x_2 , x_3, \ ldots, x_n) $.
Якщо символи кутових мінорів $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ чергуються, причому знак мінору $H_(2m+1)$ збігається зі знаком числа $(-1)^(m+1)$, то досліджувана стаціонарна точка є точкою умовного максимуму функції $ z = f (x_1, x_2, x_3, \ ldots, x_n) $.

Приклад №1

Знайти умовний екстремум функції $z(x,y)=x+3y$ за умови $x^2+y^2=10$.

Геометрична інтерпретація цього завдання така: потрібно знайти найбільше і найменше значенняаплікати площини $z=x+3y$ для точок її перетину з циліндром $x^2+y^2=10$.

Виразити одну змінну через іншу з рівняння зв'язку і підставити її у функцію $z(x,y)=x+3y$ дещо важко, тому будемо використовувати метод Лагранжа.

Позначивши $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, складемо функцію Лагранжа:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Запишемо систему рівнянь визначення стаціонарних точок функції Лагранжа:

$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (aligned) \right.$$

Якщо припустити $\lambda=0$, перше рівняння стане таким: $1=0$. Отримане протиріччя свідчить, що $lambdaneq 0$. За умови $\lambda\neq 0$ з першого та другого рівнянь маємо: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda)$. Підставляючи отримані значення третє рівняння, отримаємо:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1) (4 lambda ^ 2) + frac (9) (4 lambda ^ 2) = 10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(aligned) $$

Отже, система має два рішення: $ x_1 = 1; \; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ і $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. З'ясуємо характер екстремуму у кожній стаціонарній точці: $M_1(1;3)$ і $M_2(-1;-3)$. І тому обчислимо визначник $H$ у кожному з точок.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda. \ H = \ left | \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$

У точці $ M_1 (1; 3) $ отримаємо: $ H = 8 \ cdot \ left | \begin(array) (ccc) 0 & x & y\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, тому в точці $M_1(1;3)$ функція $z(x,y)=x+3y$ має умовний максимум, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Аналогічно, у точці $M_2(-1;-3)$ знайдемо: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. Оскільки $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Зазначу, що замість обчислення значення визначника $H$ у кожній точці набагато зручніше розкрити його в загальному вигляді. Щоб не захаращувати текст подробицями, цей спосіб приховую під примітку.

Запис визначника $H$ у загальному вигляді. показати\сховати

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\x&\lambda&0\y&0&lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

У принципі, очевидно, який знак має $H$. Оскільки жодна з точок $M_1$ або $M_2$ не збігається з початком координат, $y^2+x^2>0$. Отже, знак $H$ протилежний символу $\lambda$. Можна і довести обчислення до кінця:

$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(aligned) $$

Питання характер екстремуму в стаціонарних точках $M_1(1;3)$ і $M_2(-1;-3)$ можна вирішити без використання визначника $H$. Знайдемо знак $d^2F$ у кожній стаціонарній точці:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$

Зазначу, що запис $dx^2$ означає саме $dx$, зведений на другий ступінь, тобто. $ \ left (dx \ right) ^ 2 $. Звідси маємо: $dx^2+dy^2>0$, тому при $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ отримаємо $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Відповідь: у точці $(-1;-3)$ функція має умовний мінімум, $z_(\min)=-10$. У точці $(1;3)$ функція має умовний максимум, $z_(\max)=10$

Приклад №2

Знайти умовний екстремум функції $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ за умови $x+y=0$.

Перший спосіб (метод множників Лагранжа)

Позначивши $\varphi(x,y)=x+y$ складемо функцію Лагранжа: $F(x,y)=z(x,y)+lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y) = 9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda = 0; \ \ & x + y = 0. \end (aligned) \right.

Вирішивши систему, отримаємо: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ і $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9)$ , $ \ lambda_2 = -10 $. Маємо дві стаціонарні точки: $M_1(0;0)$ і $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. З'ясуємо характер екстремуму у кожній стаціонарній точці з використанням визначника $H$.

$ $ H = \ left | \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

У точці $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, тому у цій точці функція має умовний максимум, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Досліджуємо характер екстремуму в кожній з точок іншим способом, виходячи з знаку $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy^2 $$

З рівняння зв'язку $x+y=0$ маємо: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Оскільки $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, то $M_1(0;0)$ є точкою умовного мінімуму функції $z(x,y)=3y^3+4x^ 2-xy $. Аналогічно $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Другий спосіб

З рівняння зв'язку $x+y=0$ отримаємо $y=-x$. Підставивши $y=-x$ у функцію $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, отримаємо деяку функцію змінної $x$. Позначимо цю функцію як $u(x)$:

$$u(x)=z(x,-x)=3cdot(-x)^3+4x^2-xcdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Таким чином, задачу про знаходження умовного екстремуму функції двох змінних ми звели до завдання визначення екстремуму функції однієї змінної.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\ -9x^2+10x=0; \;x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \\ y_1=-x_1=0;\\x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).

Отримали точки $M_1(0;0)$ і $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Подальше дослідженнявідомо з курсу диференціального обчисленняфункцій однією зміною. Досліджуючи знак $u_(xx)^("")$ у кожній стаціонарній точці або перевіряючи зміну знака $u_(x)^(")$ у знайдених точках, отримаємо ті самі висновки, що і при вирішенні першим способом. Наприклад, перевіримо знак $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Оскільки $u_(xx)^("")(M_1)>0$, то $M_1$ - точка мінімуму функції $u(x)$, у своїй $u_(\min)=u(0)=0$ . Оскільки $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Значення функції $u(x)$ за заданої умови зв'язку збігаються зі значеннями функції $z(x,y)$, тобто. знайдені екстремуми функції $u(x)$ і є умовні екстремуми функції $z(x,y)$, що шукаються.

Відповідь: у точці $(0;0)$ функція має умовний мінімум, $z_(\min)=0$. У точці $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ функція має умовний максимум, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Розглянемо ще один приклад, у якому характер екстремуму з'ясуємо у вигляді визначення знака $d^2F$.

Приклад №3

Знайти найбільше та найменше значення функції $z=5xy-4$, якщо змінні $x$ і $y$ позитивні та задовольняють рівняння зв'язку $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2) -1 = 0 $.

Складемо функцію Лагранжа: $ F = 5xy-4 + lambda \ left (\ frac (x ^ 2) (8) + frac (y ^ 2) (2) -1 \ right) $. Знайдемо стаціонарні точки функції Лагранжа:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1 = 0; \ \ & x > 0; \;y > 0. \end(aligned) \right.$$

Усі подальші перетворення здійснюються з урахуванням $x>0; \; y > 0$ (це обумовлено за умови завдання). З другого рівняння виразимо $\lambda=-\frac(5x)(y)$ і підставимо знайдене значення в перше рівняння: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Підставляючи $x=2y$ у третє рівняння, отримаємо: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y = 1 $.

Оскільки $y=1$, то $x=2$, $\lambda=-10$. Характер екстремуму у точці $(2;1)$ визначимо, з знаку $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Оскільки $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, то:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

В принципі, тут можна відразу підставити координати стаціонарної точки $x=2$, $y=1$ та параметра $\lambda=-10$, отримавши при цьому:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Однак в інших завданнях на умовний екстремум стаціонарних точок може бути декілька. У таких випадках краще $d^2F$ уявити в загальному вигляді, а потім підставляти в отриманий вираз координати кожної зі знайдених стаціонарних точок:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\=\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Підставляючи $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, отримаємо:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Оскільки $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Відповідь: у точці $(2;1)$ функція має умовний максимум, $z_(\max)=6$.

У наступній частині розглянемо застосування методу Лагранжа для функцій більшої кількостізмінних.

Спосіб визначення умовного екстремуму починається з побудови допоміжної функції Лагранжа, яка в області допустимих рішень досягає максимуму для тих же значень змінних x 1 , x 2 , ..., x n що і цільова функція z . Нехай вирішується завдання визначення умовного екстремуму функції z = f(X) при обмеженнях φ i ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = 0, i = 1, 2, ..., m , m < n

Складемо функцію

яка називається функцією Лагранжа. X , - Постійні множники ( множники Лагранжа). Зазначимо, що множникам Лагранжа можна надати економічного сенсу. Якщо f (x 1 , x 2 , ..., x n ) - дохід, що відповідає плану X = (x 1 , x 2 , ..., x n ) , а функція φ i (x 1 , x 2 , ..., x n ) - Витрати i-го ресурсу, що відповідають цьому плану, то X , - ціна (оцінка) i-го ресурсу, що характеризує зміну екстремального значення цільової функціїзалежно від зміни розміру i ресурсу (маргінальна оцінка). L(Х) - функція n+m змінних (x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) . Визначення стаціонарних точок цієї функції призводить до розв'язання системи рівнянь

Легко помітити, що . Таким чином, завдання знаходження умовного екстремуму функції z = f(X) зводиться до знаходження локального екстремуму функції L(X) . Якщо стаціонарну точку знайдено, питання про існування екстремуму у найпростіших випадках вирішується виходячи з достатніх умов екстремуму - дослідження знака другого диференціала d 2 L(X) у стаціонарній точці за умови, що змінні збільшення Δx i - пов'язані співвідношеннями

отриманими шляхом диференціювання рівнянь зв'язку.

Вирішення системи нелінійних рівнянь із двома невідомими за допомогою засобу Пошук рішення

Налаштування Пошук рішеннядозволяє знаходити рішення системи нелінійних рівняньз двома невідомими:

де
- нелінійна функція від змінних x і y ,
- Довільна постійна.

Відомо, що пара ( x , y ) є рішенням системи рівнянь (10) тоді і лише тоді, коли вона є рішенням наступного рівняння з двома невідомими:

Зз іншого боку, рішення системи (10) - це точки перетину двох кривих: f ] (x, y) = C і f 2 (х, у) = С 2 на площині ХОY.

З цього випливає метод знаходження коріння системи. нелінійних рівнянь:

Визначити (хоча б приблизно) інтервал існування рішення системи рівнянь (10) або рівняння (11). Тут необхідно враховувати вид рівнянь, що входять до системи, область визначення кожного їх рівняння тощо. Іноді застосовується підбір початкового наближення рішення;

Протабулювати рішення рівняння (11) по змінним x та y на вибраному інтервалі, або побудувати графіки функцій f 1 (x, y) = З, і f 2 (х,у) = С 2 (Система (10)).

Локалізувати передбачуване коріння системи рівнянь – знайти кілька мінімальних значеньз таблиці табулювання коренів рівняння (11), або визначити точки перетину кривих, що входять до системи (10).

4. Знайти коріння для системи рівнянь (10) за допомогою надбудови Пошук рішення.

Метод множників Лагранжа.

Метод множників Лагранжа є одним із методів, які дозволяють вирішувати задачі не лінійного програмування.

Нелінійне програмування-це розділ математичного програмування, що вивчає методи вирішення екстремальних завдань з нелінійною цільовою функцією та областю допустимих рішень, визначеною нелінійними обмеженнями В економіці це відповідає тому, що результати (ефективність) зростають або зменшуються непропорційно до зміни масштабів використання ресурсів (або, що те саме, масштабів виробництва): напр., через розподіл витрат виробництва на підприємствах на змінні та умовно-постійні; через насичення попиту товари, коли кожну наступну одиницю продати важче, ніж попередню тощо.

Завдання нелінійного програмування ставиться як завдання знаходження оптимуму певної цільової функції

F(x 1 ,...x n), F (x) → max

при виконанні умов

g j (x 1 ... x n)≥0, g (x) ≤ b , x ≥ 0

де x-Вектор шуканих змінних;

F (x) -цільова функція;

g (x) - функція обмежень (безперервно диференційована);

b - Вектор констант обмежень.

Розв'язання задачі нелінійного програмування (глобальний максимум або мінімум) може належати або межі, або внутрішній частині допустимої множини.

На відміну від завдання лінійного програмування, завдання програмування нелінійного оптимум необов'язково лежить межі області, певної обмеженнями. Інакше висловлюючись, завдання полягає у виборі таких неотрицательных значень змінних, підпорядкованих системі обмежень у вигляді нерівностей, у яких досягається максимум (чи мінімум) цієї функції. При цьому не обумовлюються форми цільової функції, ні нерівностей. Можуть бути різні випадки: цільова функція нелінійна, а обмеження лінійні; цільова функція лінійна, а обмеження (хоча одне з них) нелінійні; і цільова функція, та обмеження нелінійні.

Завдання нелінійного програмування зустрічається в природничих науках, техніці, економіці, математиці, у сфері ділових відносинта у науці управління державою.

Нелінійне програмування, наприклад, пов'язане з основним економічним завданням. Так, у задачі про розподіл обмежених ресурсів максимізують або ефективність, або, якщо вивчається споживач, споживання за наявності обмежень, що виражають умови нестачі ресурсів. У такій загальній постановці математичне формулювання завдання може виявитися неможливим, але в конкретних застосуванняхкількісний вигляд усіх функцій може бути визначений безпосередньо. Наприклад, промислове підприємствовиробляє вироби із пластмаси. Ефективність виробництва оцінюється прибутком, а обмеження інтерпретуються як готівкова робоча сила, виробничі площі, продуктивність устаткування тощо.

Метод "витрати - ефективність" також укладається у схему нелінійного програмування. Цей методбув розроблений для використання при ухваленні рішень в управлінні державою. Загальною функцієюефективності є добробут. Тут виникають дві задачі нелінійного програмування: перше - максимізація ефекту при обмежених витратах, друге - мінімізація витрат за умови, щоб ефект був вищим за деякий мінімальний рівень. Зазвичай це завдання добре моделюється за допомогою нелінійного програмування.

Результати розв'язання задачі нелінійного програмування є підмогою для прийняття державних рішень. Отримане рішення є, звичайно, рекомендованим, тому необхідно дослідити припущення та точність постановки задачі нелінійного програмування, перш ніж ухвалити остаточне рішення.

Нелінійні завдання складні, часто їх спрощують тим, що призводять до лінійних. Для цього умовно приймають, що на тій чи іншій ділянці цільова функція зростає чи зменшується пропорційно до зміни незалежних змінних. Такий підхід називається методом шматково-лінійних наближень, він застосовний, однак, лише до деяких видів нелінійних завдань.

Нелінійні завдання у певних умовах вирішуються з допомогою функції Лагранжа: знайшовши її сідлову точку, цим знаходять рішення завдання. Серед обчислювальних алгоритмів Н. п. велике місце займають градієнтні методи. Універсального методу для нелінійних завдань немає і, мабуть, може не бути, оскільки вони надзвичайно різноманітні. Особливо важко вирішуються багатоекстремальні завдання.

Одним із методів, які дозволяють звести завдання нелінійного програмування до вирішення системи рівнянь, є метод невизначених множниківЛагранжа.

За допомогою методу множників Лагранжа по суті встановлюються необхідні умови, що дозволяють ідентифікувати точки оптимуму у задачах оптимізації з обмеженнями у вигляді рівностей. При цьому завдання з обмеженнями перетворюється на еквівалентне завдання безумовної оптимізації, в якій фігурують деякі невідомі параметри, які називаються множниками Лагранжа.

Метод множників Лагранжа полягає у зведенні завдань на умовний екстремум до завдань на безумовний екстремум допоміжної функції – т.з. функції Лагранжа.

Для завдання про екстремум функції f(х 1 , x 2 ,..., x n) за умов (рівняння зв'язку) φ i(x 1 , x 2 , ..., x n) = 0, i= 1, 2,..., m, функція Лагранжа має вигляд

L(x 1, x 2… x n ,λ 1, λ 2 ,…λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m λ i φ i (x 1, x 2… x n)

Множителі λ 1 , λ 2 , ..., λmзв. множниками Лагранжа.

Якщо величини x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λmсуть розв'язання рівнянь, що визначають стаціонарні точки функції Лагранжа, а саме, для функцій, що диференціюються, є рішеннями системи рівнянь

то при досить загальних припущеннях x 1 x 2 ... x n доставляють екстремум функції f.

Розглянемо задачу мінімізації функції n змінних з урахуванням одного обмеження у вигляді рівності:

Мінімізувати f(x 1, x 2… x n) (1)

при обмеженнях h 1 (x 1, x 2 ... x n) = 0 (2)

Відповідно до методу множників Лагранжа це завдання перетворюється на наступне завдання безумовної оптимізації:

мінімізувати L(x,λ)=f(x)-λ*h(x) (3)

де Функція L(х;λ) називається функцією Лагранжа,

λ - невідома постійна, яка зветься множника Лагранжа. На знак λ жодних вимог не накладається.

Нехай при заданому значенніλ=λ 0 безумовний мінімум функції L(x,λ) х досягається в точці x=x 0 і x 0 задовольняє рівняння h 1 (x 0)=0. Тоді, як неважко бачити, x 0 мінімізує (1) з урахуванням (2), оскільки для всіх значень х, що задовольняють (2), h 1 (x) = 0 і L (x, λ) = min f (x).

Зрозуміло, необхідно підібрати значення = 0 таким чином, щоб координата точки безумовного мінімуму х 0 задовольняла рівності (2). Це можна зробити, якщо, розглядаючи як змінну, знайти безумовний мінімум функції (3) у вигляді функції, а потім вибрати значення, при якому виконується рівність (2). Проілюструємо це конкретному прикладі.

Мінімізувати f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0

при обмеженні h 1 (x) = 2x 1 + x 2 -2 = 0 = 0

Відповідне завдання безумовної оптимізації записується у такому вигляді:

мінімізувати L(x,λ)=x 1 2 +x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)

Рішення. Прирівнявши два компоненти градієнта L до нуля, отримаємо

→ х 1 0 =λ

→ х 2 0 =λ/2

Щоб перевірити, чи відповідає стаціонарна точка х° мінімуму, обчислимо елементи матриці Гессе функції L(х;u), що розглядається як функція х,

яка виявляється позитивно визначеною.

Це означає, що L(х,u) – опукла функція х. Отже, координати x 1 0 = λ, x 2 0 = λ/2 визначають точку глобального мінімуму. Оптимальне значення λ знаходиться шляхом підстановки значень x 1 0 і x 2 0 рівняння2x 1 +x 2 =2, звідки 2λ+λ/2=2 або λ 0 =4/5. Таким чином, умовний мінімум досягається при x 1 0 =4/5 та x 2 0 =2/5 і дорівнює min f(x)=4/5.

При розв'язанні задачі з прикладу ми розглядали L(х;λ) як функцію двох змінних x 1 і x 2 і, крім того, припускали, що значення параметра вибрано так, щоб виконувалося обмеження. Якщо ж рішення системи

J=1,2,3,…,n

у вигляді явних функційλ отримати не можна, то значення х і λ знаходяться шляхом вирішення наступної системи, що складається з n+1 рівнянь із n+1 невідомими:

J=1,2,3,…,n., h 1 (x)=0

Для знаходження всіх можливих рішеньцією системою можна використовувати чисельні методи пошуку (наприклад, метод Ньютона). Для кожного з рішень () слід обчислити елементи матриці Гессе функції L, що розглядається як функція х, і з'ясувати, чи ця матриця є позитивно визначеною ( локальний мінімум) або негативно визначеною (локальний максимум).

Метод множників Лагранжа можна поширити у разі, коли завдання має кілька обмежень як рівностей. Розглянемо загальне завдання, в якому потрібно

Мінімізувати f(x)

при обмеженнях h k =0, k = 1, 2, ..., До.

Функція Лагранжа приймає наступний вигляд:

Тут λ 1 , λ 2 , ..., λk-множники Лагранжа, тобто. невідомі параметри, значення яких потрібно визначити. Прирівнюючи приватні похідні L по х до нуля, отримуємо наступну систему n рівнянні з n невідомими:

Якщо знайти рішення наведеної вище системи у вигляді функцій вектора виявляється скрутним, то можна розширити систему шляхом включення до неї обмежень у вигляді рівностей

Рішення розширеної системи, що складається з n+К рівнянь з n+К невідомими, визначає стаціонарну точкуфункції L. Потім реалізується процедура перевірки на мінімум або максимум, яка проводиться на основі обчислення елементів матриці Гессе функції L, що розглядається як функція х, подібно до того, як це було зроблено у разі завдання з одним обмеженням. Для деяких завдань розширена система n+К рівнянь з n+K невідомими може мати рішень, і метод множників Лагранжа виявляється неприменимым. Слід, проте, відзначити, що такі завдання практично зустрічаються досить рідко.

Розглянемо окремий випадок спільного завданняНелінійне програмування, припускаючи, що система обмежень містить тільки рівняння, відсутні умови невід'ємності змінних і - безперервні функції разом зі своїми приватними похідними. Отже вирішивши систему рівнянь (7), одержують усі точки, у яких функція (6) може мати екстремальні значення.

Алгоритм методу множників Лагранжа

1.Складаємо функцію Лагранжа.

2. Знаходимо приватні похідні від функції Лагранжа за змінними x J ,λ i і прирівнюємо їх нулю.

3. Вирішуємо систему рівнянь (7), знаходимо точки, в яких цільова функція завдання може мати екстремум.

4. Серед точок, підозрілих на екстремум, знаходимо такі, в яких досягається екстремум, та обчислюємо значення функції (6) у цих точках.

приклад.

Початкові дані:За планом виробництва продукції підприємству необхідно виготовити 180 виробів. Ці вироби можуть бути виготовлені двома технологічними методами. При виробництві x 1 виробів 1 способом витрати дорівнюють 4x 1 +x 1 2 руб., А при виготовленні x 2 виробів 2 способом вони становлять 8x 2 +x 2 2 руб. Визначити, скільки виробів кожним із способів слід виготовити, щоб витрати на виробництво продукції були мінімальними.

Цільова функція для поставленого завдання має вигляд
® minза умов x1+x2=180, x2≥0.
1.Складаємо функцію Лагранжа
.
2. Обчислюємо приватні похідні x 1 , x 2, λ і прирівнюємо їх нулю:

3. Вирішуючи отриману систему рівнянь, знаходимо x 1 = 91, x 2 = 89

4. Зробивши заміну в цільовій функції x 2 =180-x 1, отримаємо функцію від однієї змінної, а саме f 1 =4x 1 +x 1 2 +8(180-x 1)+(180-x 1) 2

Обчислюємо або 4x 1 -364=0

звідки маємо x 1 * = 91, x 2 * = 89.

Відповідь: Кількість виробів виготовлених першим способом дорівнює х1 = 91, другим способом х2 = 89 при цьому значення цільової функції дорівнює 17 278 руб.

Найменування параметру	Значення
Тема статті:	Метод Лагранжа.
Рубрика (тематична категорія)	Математика

Знайти поліном означає визначити значення його коефіцієнта . Для цього використовуючи умову інтерполяції можна сформувати систему лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ).

Визначник цієї СЛАУ прийнято називати визначником Вандермонда. Визначник Вандермонда не дорівнює нулю при , тобто в тому випадку, коли в інтерполяційній таблиці немає вузлів, що збігаються. Τᴀᴋᴋᴎᴩᴀᴈᴈᴏᴍ, можна стверджувати, що СЛАУ має рішення і це рішення єдине. Вирішивши СЛАУ та визначивши невідомі коефіцієнти можна побудувати інтерполяційний поліном.

Поліном, що задовольняє умовам інтерполяції, при інтерполяції методом Лагранжа будується у вигляді лінійної комбінації багаточленів n-ого ступеня:

Багаточлени прийнято називати базиснимибагаточленами. Для того щоб багаточлен Лагранжазадовольняв умовам інтерполяції вкрай важливо, щоб його базисних многочленів виконували наступні умови:

для .

Якщо ці умови виконуються, то для кожного маємо:

Τᴀᴋᴎᴎᴩᴀᴈᴏᴍ, виконання заданих умов для базисних багаточленів означає, що виконуються і умови інтерполяції.

Визначимо вид базисних многочленів з накладених ними обмежень.

1-ша умова:при .

2-ге умова: .

Остаточно для базисного многочлена можна записати:

Тоді, підставляючи отриманий вираз для базисних багаточленів у вихідний поліном, отримуємо остаточний вид багаточлену Лагранжа:

Приватна формабагаточлена Лагранжа прийнято називати формулою лінійної інтерполяції:

Багаточлен Лагранжа взятий при прийнято називати формулою квадратичної інтерполяції:

Метод Лагранжа. - Поняття та види. Класифікація та особливості категорії "Метод Лагранжа." 2017, 2018.

- метод Лагранжа (метод варіації довільної постійної).

Лінійні ДК. Визначення. ДУ виду тобто. лінійне відносно невідомої ф-ції та її похідної наз-ся лінійним. Для реш-я такого типу ур-йРозглянемо два методи: метод Лагранжа і метод Бернуллі.Розглянемо однорідне ДУ Це ур-е з переймами, що розділяються Рішення ур-я Загальне... .

- Лінійні ДУ, однорідне і неоднорідне. Поняття загального реш-я. Метод Лагранжа варіації произв-х постійних.

Визначення. ДУ наз-ся однорідний-м, якщо ф-я може бути представлена, як ф-я отнош-я своїх аргументів Приклад. Ф-я зв-ся однорідний ф-йПриклади вимірювання: 1) - 1-й порядок однорідності. 2) – 2-й порядок однорідності. 3) - нульовий порядокоднорідності (просто однорідна...).

- Лекція 8. Застосування приватних похідних: завдання на екстремум. Метод Лагранжа.

Завдання на екстремум мають велике значенняу економічних розрахунках. Це обчислення, наприклад, максимумів доходу, прибутку, мінімуму витрат залежно від кількох змінних: ресурсів, виробничих фондів тощо. Теорія знаходження екстремумів функций... .

- Т.2.3. ДУ вищих порядків. Рівняння у повних диференціалах. Т.2.4. Лінійні ДК другого порядку з постійними коефіцієнтами. Метод Лагранжа.

3. 2. 1. ДК з роздільними змінними С.Р. 3. У природознавстві, техніці та економіці часто доводиться мати справу з емпіричними формулами, тобто. формулами, складеними на основі обробки статистичних даних або...