» Урок 15. Рішення СЛУ методом Крамера та методом Гауса.

Урок 15. Рішення СЛУ методом Крамера та методом Гауса.

Метод Крамера

(СЛУ)
- визначник системи
Якщо визначник СЛУ відмінний від нуля, рішення системи визначається однозначно за формулами Крамера:
, , ()
де:

	Для цього в стовпець, де стоїть змінна х, а значить, у перший стовпець, замість коефіцієнтів при х, ставимо вільні коефіцієнти, які в системі рівнянь стоять у правих частинах рівнянь
	Для цього в стовпець, де стоїть змінна y (2 стовпець), замість коефіцієнтів при y ставимо вільні коефіцієнти, які в системі рівнянь стоять у правих частинах рівнянь
	Для цього в стовпець, де стоїть змінна z, а значить, третій стовпець, замість коефіцієнтів при z, ставимо вільні коефіцієнти, які в системі рівнянь стоять у правих частинах рівнянь

Завдання 1.Вирішити СЛУ за допомогою формул Крамера в Excel

Хід рішення

1. Запишемо рівняння у матричному вигляді:

2. Введіть матрицю А і В Excel.

3. Знайдіть визначник матриці А. Він повинен вийти рівним 30.

4. Визначник системи відмінний від нуля, отже рішення однозначно визначається за формулами Крамера.

5. Заповніть значення dX, dY, dZ на аркуші Excel (див. мал. нижче).

6. Для обчислення значень dX, dY, dZ у комірки F8, F12, F16 необхідно ввести функцію, яка обчислює визначник dX, dY, dZ відповідно.

7. Для обчислення значення X у комірку I8 необхідно запровадити формулу =F8/B5 (за формулою Крамера dX/|A|).

8. Самостійно введіть формули для обчислення Y та Z.

Завдання 2: самостійно знайти рішення СЛУ методом Крамера:

Формули Крамера та матричний методрішення систем лінійних рівняньне мають серйозного практичного застосування, оскільки пов'язані з громіздкими викладками. Практично на вирішення систем лінійних рівнянь найчастіше застосовується метод Гаусса.

Метод Гауса

Процес рішення методом Гаусса і двох етапів.

1. Прямий хід:система наводиться до ступінчастого (зокрема, трикутного) виду.

Для того, щоб вирішити систему рівнянь, виписують розширену матрицю цієї системи.

і над рядками цієї матриці виробляють елементарні перетворення, наводячи її до вигляду, коли нижче головної діагоналі будуть розташовуватися нулі.
Дозволяється виконувати елементарні перетворення над матрицями.
За допомогою цих перетворень щоразу виходить розширена матриця нової системи, рівносильної вихідної, тобто. такої системи, розв'язання якої збігається з рішенням вихідної системи.

2. Зворотній хід: йде послідовне визначення невідомих із цієї ступінчастої системи.

приклад.Встановити спільність та вирішити систему

Рішення.
Прямий хід:Випишемо розширену матрицю системи і поміняємо місцями перший і другий рядки для того, щоб елемент дорівнював одиниці (так зручніше робити перетворення матриці).



.

Маємо Ранги матриці системи та її розширеної матриці збіглися з числом невідомих. Відповідно до теореми Кронекера-Капеллі система рівнянь спільна і рішення її єдине.
Зворотній хід:Випишемо систему рівнянь, розширену матрицю якої ми отримали в результаті перетворень:

Отже, маємо .
Далі, підставляючи третє рівняння, знайдемо .
Підставляючи і друге рівняння, отримаємо .
Підставляючи у перше рівняння знайдені отримаємо.
Отже, маємо рішення системи .

Рішення СЛУ методом Гауса в Excel:

У тексті буде пропонуватися ввести в діапазон осередків формулу виду: (=A1:B3+$C$2:$C$3) і т.п., це так звані «формули масиву». Microsoft Excelавтоматично укладає її у фігурні дужки (( )). Для введення такого типу формул необхідно виділити весь діапазон, куди потрібно вставити формулу, у першому осередку ввести формулу без фігурних дужок (для прикладу вище =A1:B3+$C$2:$C$3) і натиснути Ctrl+Shift+Enter.
Нехай маємо систему лінійних рівнянь:

1. Запишемо коефіцієнти системи рівнянь у комірки A1: D4 а стовпець вільних членів у комірки E1: E4. Якщо в осередкуA1перебуває 0, потрібно змінити рядки місцями те щоб у цьому осередку було відмінне від нуля значення. Для більшої наочності можна додати заливку осередків, де знаходяться вільні члени.

2. Необхідно коефіцієнт при x1 у всіх рівняннях, крім першого, привести до 0. Для початку зробимо це для другого рівняння. Скопіюємо перший рядок у комірки A6:E6 без змін, у комірки A7:E7 необхідно ввести формулу: (=A2:E2-$A$1:$E$1*(A2/$A$1)). Таким чином, ми від другого рядка віднімаємо першу, помножену на A2/$A$1, тобто. відношення перших коефіцієнтів другого та першого рівняння. Для зручності заповнення рядків 8 та 9 посилання на комірки першого рядка необхідно використовувати абсолютні (використовуємо символ $).

3. Копуємо введену формулу формулу рядки 8 і 9, таким чином позбавляємося коефіцієнтів перед x1 у всіх рівняннях крім першого.

4. Тепер наведемо коефіцієнти перед x2 у третьому і четвертому рівнянні до 0. Для цього скопіюємо отримані 6-й і 7-й рядки (тільки значення) у рядки 11 і 12, а в комірки A13:E13 введемо формулу (=A8:E8-$ A$7:$E$7*(B8/$B$7)), яку потім скопіюємо в комірки A14:E14. Таким чином, реалізується різниця рядків 8 і 7, помножених на коефіцієнт B8/$B$7. .

5. Залишилося навести коефіцієнт при x3 у четвертому рівнянні до 0, для цього знову проробимо аналогічні дії: скопіюємо отримані 11, 12 і 13-го рядка (тільки значення) у рядки 16-18, а в комірки A19:E19 введемо формулу (=A14: E14-$A$13:$E$13*(C14/$C$13)). Таким чином, реалізується різниця рядків 14 і 13, помножених на коефіцієнт C14/$C$13. Не забуваємо проводити перестановку рядків, щоб позбавитися від 0 у знаменнику дробу.

6. Пряме прогін методом Гауса завершено. Зворотне прогін почнемо з останнього рядка отриманої матриці. Необхідно всі елементи останнього рядка розділити коефіцієнт при x4. Для цього рядок 24 введемо формулу (=A19:E19/D19).

7. Наведемо всі рядки до такого виду, для цього заповнимо рядки 23, 22, 21 такими формулами:

23: (=(A18:E18-A24:E24*D18)/C18) – віднімаємо від третього рядка четвертий помножений на коефіцієнт при x4 третього рядка.

22: (=(A17:E17-A23:E23*C17-A24:E24*D17)/B17) – від другого рядка віднімаємо третій та четвертий, помножені на відповідні коефіцієнти.

21: (=(A16:E16-A22:E22*B16-A23:E23*C16-A24:E24*D16)/A16) – від першого рядка забираємо другий, третій та четвертий, помножені на відповідні коефіцієнти.

Результат (корені рівняння) обчислені в осередках E21: E24.

Укладач: Салій Н.А.

Метод Крамера ґрунтується на використанні визначників у вирішенні систем лінійних рівнянь. Це значно прискорює процес розв'язання.

Метод Крамера може бути використаний у вирішенні системи стільки лінійних рівнянь, скільки в кожному рівнянні невідомих. Якщо визначник системи не дорівнює нулю, то метод Крамера може бути використаний у рішенні, якщо дорівнює нулю, то не може. Крім того, метод Крамера може бути використаний у вирішенні систем лінійних рівнянь, що мають єдине рішення.

Визначення. Визначник, складений із коефіцієнтів при невідомих, називається визначником системи та позначається (дельта).

Визначники

виходять шляхом заміни коефіцієнтів за відповідних невідомих вільними членами:

;

.

Теорема Крамера. Якщо визначник системи відмінний від нуля, то система лінійних рівнянь має одне єдине рішення, причому невідоме дорівнює відношенню визначників. У знаменнику – визначник системи, а чисельнику – визначник, отриманий з визначника системи шляхом заміни коефіцієнтів у своїй невідомому вільними членами. Ця теорема має місце системи лінійних рівнянь будь-якого порядку.

приклад 1.Розв'язати систему лінійних рівнянь:

Згідно теоремі Крамерамаємо:

Отже, рішення системи (2):

онлайн-калькулятором вирішальним методомКрамер.

Три випадки під час вирішення систем лінійних рівнянь

Як випливає з теореми Крамера, При вирішенні системи лінійних рівнянь можуть зустрітися три випадки:

Перший випадок: система лінійних рівнянь має єдине рішення

(Система спільна та визначена)

Другий випадок: система лінійних рівнянь має безлічрішень

(Система спільна та невизначена)

** ,

тобто. коефіцієнти при невідомих та вільні члени пропорційні.

Третій випадок: система лінійних рівнянь рішень не має

(Система несумісна)

Отже, система mлінійних рівнянь з nзмінними називається несумісний, якщо вона не має жодного рішення, і спільноїякщо вона має хоча б одне рішення. Спільна системарівнянь, що має лише одне рішення, називається певної, а більше одного – невизначеною.

Приклади розв'язання систем лінійних рівнянь методом Крамера

Нехай дана система

.

На підставі теореми Крамера

………….
,

де
-

визначник системи. Інші визначники отримаємо, замінюючи стовпець з коефіцієнтами відповідної змінної (невідомого) вільними членами:

приклад 2.

.

Отже, система є певною. Для знаходження її рішення обчислюємо визначники

За формулами Крамера знаходимо:

Отже, (1; 0; -1) – єдине рішення системи.

Для перевірки рішень систем рівнянь 3Х3 і 4Х4 можна скористатися онлайн-калькулятором, вирішальним методом Крамера.

Якщо в системі лінійних рівнянь в одному або кількох рівняннях відсутні будь-які змінні, то у визначнику відповідні елементи дорівнюють нулю! Такий такий приклад.

приклад 3.Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Крамера:

.

Рішення. Знаходимо визначник системи:

Уважно подивіться на систему рівнянь і на визначник системи і повторіть відповідь на питання, в яких випадках один або кілька елементів визначника дорівнюють нулю. Отже, визначник не дорівнює нулю, отже система є певною. Для знаходження її рішення обчислюємо визначники за невідомих

За формулами Крамера знаходимо:

Отже, рішення системи – (2; -1; 1).

Для перевірки рішень систем рівнянь 3Х3 і 4Х4 можна скористатися онлайн-калькулятором, вирішальним методом Крамера.

На початок сторінки

Продовжуємо вирішувати системи методом Крамера разом

Як мовилося раніше, якщо визначник системи дорівнює нулю, а визначники при невідомих не дорівнюють нулю, система несовместна, тобто рішень немає. Проілюструємо наступний приклад.

Приклад 6.Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Крамера:

Рішення. Знаходимо визначник системи:

Визначник системи дорівнює нулю, отже, система лінійних рівнянь або несумісна і певна, або несумісна, тобто немає рішень. Для уточнення обчислюємо визначники при невідомих

Визначники при невідомих не дорівнюють нулю, отже, система несумісна, тобто немає рішень.

Для перевірки рішень систем рівнянь 3Х3 і 4Х4 можна скористатися онлайн-калькулятором, вирішальним методом Крамера.

У задачах системи лінійних рівнянь зустрічаються і такі, де крім літер, що позначають змінні, є ще й інші літери. Ці букви позначають деяке число, найчастіше дійсне. На практиці до таких рівнянь та систем рівнянь наводять завдання на пошук загальних властивостейбудь-яких явищ та предметів. Тобто винайшли ви який-небудь новий матеріалабо пристрій, а для опису його властивостей, загальних незалежно від величини або кількості екземпляра, потрібно вирішити систему лінійних рівнянь, де замість деяких коефіцієнтів при змінних - літери. За прикладами далеко не треба ходити.

Наступний приклад - на аналогічне завдання, тільки збільшується кількість рівнянь, змінних і букв, що позначають деяке дійсне число.

Приклад 8.Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Крамера:

Рішення. Знаходимо визначник системи:

Знаходимо визначники при невідомих

Рішення систем лінійних алгебраїчних рівняньв Excel Методи вирішення систем лінійних рівнянь алгебри добре описані в підручнику "Основи обчислювальної математики. Демидович Б.П., Марон І.А. 1966". Завантажити - 11Мб

1. Метод зворотної матриці (рішення в Excel)

Якщо дано рівняння:
A * X = B, де A - квадратна матриця, X,B - вектор;
причому B - відомий вектор(Те стовпець чисел), X - невідомий вектор,
то рішення X можна записати у вигляді:
X = A -1 * B де A -1 - зворотна від А матриця.
У MS Excel зворотна матриця обчислюється функцією МОБР(), а перемножуються матриці (або матриця вектор) - функцією МУМНОЖ().

Є "тонкощі" використання цих матричних дійв Excel. Так, щоб обчислити зворотну матрицю від матриці А потрібно:

1. Мишкою виділити квадратну область клітин, де буде розміщена зворотна матриця. 2. Почати вписувати формулу = МОБР (3. Виділити мишкою матрицю А. При цьому правіше дужки впишеться відповідний діапазон клітин. 4. Закрити дужку, натиснути комбінацію клавіш: Ctrl-Shift-Enter 5. Повинна обчислитися зворотна матриця і заповнити призначену Щоб помножити матрицю на вектор: 1. Мишкою виділити область клітин, де буде розміщено результат множення 2. Почати вписувати формулу =МУМНОЖ(3. Виділити мишкою матрицю - перший співмножник. При цьому правіше дужки впишеться відповідний діапазон клітин. 4. З клавіатури ввести розділювач 5. Виділити мишкою вектор-другий співмножник При цьому правіше дужки впишеться відповідний діапазон клітин 6. Закрити дужку, натиснути комбінацію клавіш: Ctrl-Shift-Enter 7. Повинно обчислитися добуток і заповнити призначену для нього область Є та інший спосіб, при якому використовується кнопка будівельника функції Excel.

Завантажити документ Excel, у якому цей приклад вирішено різними методами.

2. Метод Гауса

Метод Гауса докладно (по кроках) виконується тільки в навчальних ціляхколи потрібно показати, що Ви це вмієте. А щоб вирішити реальну СЛАУ, краще застосувати в Excel метод зворотної матриціабо скористатися спеціальними програмами, наприклад, цією

Короткий опис.

3. Метод Якобі (метод простих ітерацій)

Для застосування методу Якобі (і методу Зейделя) необхідно, щоб діагональні компоненти матриці А були більшими за суму інших компонент того ж рядка. Задана системане має такої властивості, тому виконую попередні перетворення.

(1)' = (1) + 0,43*(2) - 0,18*(3) – 0,96*(4) (2)' = (2) + 0,28*(1) – 1 ,73*(3) + 0,12*(4) (3)' = (3) – 0,27*(1) - 0,75*(2) + 0,08*(4) (4)' = (4) + 0,04 * (1) - 6,50 * (2) + 8,04 * (3) Примітка: підбір коефіцієнтів виконаний на аркуші "Аналіз". Вирішуються системи рівнянь, мета яких – звернути позадіагональні елементи на нуль. Коефіцієнти - це заокруглені результати розв'язання таких систем рівнянь. Звісно, ​​це не справа. В результаті отримую систему рівнянь:
Для застосування методу Якобі систему рівнянь потрібно перетворити на вигляд:
X = B2 + A2*X Перетворюю:

Далі поділяю кожен рядок на множник лівого стовпця, тобто на 16, 7, 3, 70 відповідно. Тоді матриця А2 має вигляд:


А вектор В2:

Коротка теорія з курсу алгебри:

Нехай дана система лінійних рівнянь (1). Матричний спосібРозв'язання систем лінійних рівнянь використовується в тих випадках, коли число рівнянь дорівнює кількості змінних.

Введемо позначення. Нехай А- матриця коефіцієнтів при змінних, B- Вектор вільних членів, X- Вектор значень змінних. Тоді X = A -1 × B, де А -1- матриця, зворотна А. Причому зворотна матриця А -1 існує, якщо визначник матриці А не дорівнює 0. Добуток вихідної матриці А і зворотної А -1 має дорівнювати одиничній матриці:

А -1 А = АА -1 = Е.

Завдання: Розв'язати систему лінійних рівнянь:

Технологія роботи:

Нехай на діапазоні А11:С13 задана вихідна матриця А, складена з коефіцієнтів системи. Спочатку знайдіть визначник матриці А. Для цього в осередку F15 необхідно викликати Майстер функцій, у категорії " Посилання та масивизнайдіть функцію МОПРЕД() Задайте її аргумент A11:С13. Отримали результат 344. Оскільки визначник вихідної матриці А дорівнює 0, тобто. існує обернена їй матриця, тому наступним етапом і буде знаходження зворотної матриці. Для цього виділіть діапазон А15:С17, де розміщуватиметься зворотна матриця. Викликавши Майстри функцій, у категорії " Посилання та масивизнайдіть функцію МОБР( ), задайте її аргумент A11:С13 та натисніть Shift+Ctrl+Enter. Щоб перевірити правильність зворотної матриці, помножте її на вихідну за допомогою функції МУМНІЖ() . Викличте цю функцію, попередньо виділивши діапазон А19: А21. Як аргументи вкажіть вихідну матрицю А, тобто. діапазон А11:С13 та зворотну матрицю, тобто. діапазон А15:С17 та натисніть Shift+Ctrl+Enter. Отримали одиничну матрицю. Таким чином, зворотну матрицю знайдено правильно. Тепер, щоб знайти результат, виділіть для нього діапазон F18:F20. Викличте функцію МУМНІЖ() , використовуючи Майстри функцій, вкажіть два масиву-діапазону, які перемножуватимете - зворотну матрицю і стовпець вільних членів, тобто. А15:С17 та Е11:Е13 і натисніть Shift+Ctrl+Enter. Результат показаний малюнку 6.

Тепер можна провести перевірку правильності знайдених рішень х 1, х 2і х 3. Для цього виконайте обчислення кожного рівняння, використовуючи знайдені значення х 1, х 2і х 3. Наприклад, у клітинці G11 підрахуйте значення , при цьому результат повинен дорівнювати 3. Введемо наступну формулу =A11*$F$18+B11*$F$19+C11*$F$20 . Скопіюйте цю формулу на дві осередки, розташовані нижче, тобто. в G12 та G13. Знову отримаєте стовпець вільних членів. Отже, рішення системи лінійних рівнянь виконано правильно (рис.80).

Рисунок 80 - Розв'язання системи лінійних рівнянь

Варіанти індивідуальних завдань

Завдання №1.Засобами Microsoft Excel обчислити значення виразу:

Таблиця 16 - Індивідуальні варіанти лабораторної роботи