Методи ковзного середнього та експоненційного згладжування. Метод експоненційного згладжування ковзної середньої в Excel

Виявлення та аналіз тенденції часового ряду часто проводиться за допомогою його вирівнювання чи згладжування. Експоненційне згладжування - один із найпростіших і найпоширеніших прийомів вирівнювання ряду. Експонентне згладжування можна представити як фільтр, на вхід якого послідовно надходять члени вихідного ряду, а на виході формуються поточні значення експоненційної середньої.

Нехай – тимчасовий ряд.

Експоненційне згладжування ряду здійснюється за рекурентної формули: , .

Чим менше α, тим у більшою міроюфільтруються, пригнічуються коливання вихідного ряду та шуму.

Якщо послідовно використовувати рекурентне це співвідношення, то експоненційну середню можна виразити через значення часового ряду X.

Якщо на момент початку згладжування існують більш ранні дані, то як початкове значення можна використовувати арифметичну середню всіх наявних даних або якоїсь їх частини.

Після появи робіт Р. Брауна експоненційне згладжування часто використовується на вирішення завдання короткострокового прогнозування часових рядів.

Постановка задачі

Нехай заданий часовий ряд: .

Необхідно вирішити завдання прогнозування часової низки, тобто. знайти

Горизонт прогнозування, необхідно, щоб

Для того, щоб враховувати старіння даних, введемо незростаючу послідовність ваг

Модель Брауна

Припустимо, що D - невеликий (короткостроковий прогноз), то для вирішення такого завдання використовують модель Брауна.

Якщо розглядати прогноз на 1 крок уперед, то – похибка цього прогнозу, а новий прогноз виходить у результаті коригування попереднього прогнозу з урахуванням його помилки – суть адаптації.

При короткостроковому прогнозуванні бажано якнайшвидше відобразити нові зміни і водночас якнайкраще «очистити» ряд від випадкових коливань. Т.о. слід збільшувати вагу свіжіших спостережень: .

З іншого боку, для згладжування випадкових відхилень, α треба зменшити: .

Т.о. ці дві вимоги перебувають у протиріччі. Пошук компромісного значення становить завдання оптимізації моделі. Зазвичай α беруть з інтервалу (0,1/3).

Приклади

Робота експоненційного згладжуванняпри α=0.2 на даних щомісячних звітів з продажу іноземної автомобільної марки в Росії за період з січня 2007 по жовтень 2008 р. Відзначимо різкі падіння в січні та лютому, коли продажі традиційно знижуються і підвищення на початку літа.

Проблеми

Модель працює лише за невеликого горизонту прогнозування. Не враховуються тренд та сезонні зміни. Щоб врахувати їх вплив, пропонується використовувати моделі: Хольта (враховується лінійний тренд) Хольта-Уінтерса (мультиплікативні експоненційний тренд та сезонність), Тейла-Вейджа (віддітивні лінійний тренд та сезонність).

Експонентне згладжування - спосіб згладжування часових рядів, обчислювальна процедура якого включає обробку всіх попередніх спостережень, при цьому враховується старіння інформації з віддалення від прогнозного періоду. Інакше кажучи, що "старше" спостереження, то менше воно має впливати на величину прогнозної оцінки. Ідея експоненційного згладжування полягає в тому, що в міру "старіння" відповідним спостереженням надаються спадні ваги.

Даний метод прогнозування вважається дуже ефективним та відмінковим. Основні переваги методу полягають у можливості обліку ваг вихідної інформації, у простоті обчислювальних операцій, у гнучкості опису різних динаміків процесів. Метод експоненційного згладжування дає можливість отримати оцінку параметрів тренду, що характеризують не середній рівеньпроцесу, а тенденцію, що склалася на момент останнього спостереження. Найбільше застосування метод знайшов реалізації середньострокових прогнозів. Для методу експоненційного згладжування основним моментом є вибір параметра згладжування (константи, що згладжує) і початкових умов.

Просте експоненційне згладжування часових рядів, що містять тренд, призводить до систематичній помилці, пов'язаної з відставанням згладжених значень фактичних рівнів часового ряду. Для обліку тренду в нестаціонарних рядах застосовується спеціальне двопараметричне лінійне експонентне згладжування. На відміну від простого експоненційного згладжування з однією константою, що згладжує (параметром) дана процедура згладжує одночасно випадкові обурення і тренд з використанням двох різних констант (параметрів). Двохпараметричний метод згладжування (метод Хольта) включає два рівняння. Перше призначене для згладжування спостережених значень, а друге для згладжування тренду:

де I - 2, 3, 4 – періоди згладжування; 5 - згладжена величина на період £; У, - фактичне значення рівня на період 1 5, 1 - згладжене значення на період Ь-Ьг- згладжене значення тренду на період 1 - згладжене значення на період I- 1; А і В - константи, що згладжують (числа між 0 і 1).

Константи, що згладжують А і В характеризують фактор зважування спостережень. Зазвичай Л, У< 0,3. Оскільки (1 - а)< 1, (1 - в)< 1, то вони зменшуються за експоненційним законом у міру видалення спостереження від поточного періоду I. Звідси ця процедура отримала назву експоненційного згладжування.

Рівняння додається до загальної процедури для згладжування тренду. Кожна нова оцінка тренда виходить як зважена сума різниці між останніми двома згладженими значеннями (поточна оцінка тренда) та попередньої згладженої оцінки. Це рівняннядозволяє істотно скоротити вплив випадкових збурень на тренд із часом.

Прогнозування з використанням експоненційного згладжування подібне до процедури "наївного" прогнозування, коли прогнозна оцінка на завтра належить рівної сьогоднішньому значенню. У даному випадкуяк прогноз на один період вперед розглядається згладжена величина на поточний період плюс поточне згладжене значення тренду:

Цю процедуру можна використовувати для прогнозування на будь-яку кількість періодів, наприклад на т періодів:

Процедура прогнозування починається з те, що згладжена величина 51 належить рівної першому спостереженню У, тобто. 5, = У,.

Виникає проблема визначення початкового значення тренду 6]. Існують два способи оцінки Ьх.

Спосіб 1. Покладемо Ьх = 0. Такий підхід добре працює у разі довгого вихідного часового ряду. Тоді згладжений тренд за невелику кількість періодів наблизиться до фактичного значення тренду.

Спосіб 2. Можна отримати більше точну оцінку 6, використовуючи перші п'ять (або більше) спостережень часового ряду. На їх основі гю методу найменших квадратіввирішується рівняння У(= а + Ь х м. Величина Ь береться як початкове значення тренда.

Екстраполяція - це метод наукового дослідження, який ґрунтується на поширенні минулих та реальних тенденцій, закономірностей, зв'язків на майбутній розвиток об'єкта прогнозування. До методів екстраполяції відносяться метод ковзної середньої, метод експоненційного згладжування, метод найменших квадратів.

Метод експоненційного згладжування найефективніший при створенні середньострокових прогнозів. Він прийнятний під час прогнозування лише на період вперед. Його основні переваги простота процедури обчислень та можливість урахування ваг вихідної інформації. Робоча формула методу експоненційного згладжування:

При прогнозуванні даним методом виникає дві труднощі:

• вибір значення параметра згладжування;
• визначення початкового значення Uo.

Від величини α залежить Як швидко знижується вага впливу попередніх спостережень. Чим більше α, тим менше впливає попередні роки. Якщо значення α близьке до одиниці, це призводить до обліку при прогнозі переважно впливу лише останніх спостережень. Якщо значення близько до нуля, то ваги, якими зважуються рівні часового ряду, зменшуються повільно, тобто. при прогнозі враховуються всі (чи майже всі) попередні спостереження.

Таким чином, якщо є впевненість, що початкові умови, на підставі яких розробляється прогноз, є достовірними, слід використовувати невелику величину параметра згладжування (α→0). Коли параметр згладжування малий, то функція, що досліджується, веде себе як середня з великої кількостіминулих рівнів. Якщо немає достатньої впевненості в початкових умовах прогнозування, слід використовувати велику величину α, що призведе до обліку при прогнозі в основному впливу останніх спостережень.

Точного методудля вибору оптимальної величини параметра згладжування немає. У окремих випадкахавтор даного методу професор Браун пропонував визначати величину, виходячи з довжини інтервалу згладжування. При цьому α обчислюється за такою формулою:

де n - Число спостережень, що входять в інтервал згладжування.

Завдання вибору Uo (експоненційно зваженого середнього початкового) вирішується такими способами:

• якщо є дані про розвиток явища в минулому, то можна скористатися середньою арифметичною та прирівняти до неї Uo;
• якщо таких відомостей немає, то як Uo використовують вихідне перше значення бази прогнозу У1.

Також можна скористатися експертними оцінками.

Зауважимо, що при вивченні економічних часових рядів та прогнозуванні економічних процесівметод експоненційного згладжування який завжди «спрацьовує». Це зумовлено тим, що економічні часові лави бувають занадто короткими (15-20 спостережень), і у разі, коли темпи зростання і приросту великі, даний методне «встигає» відобразити всі зміни.

Приклад застосування методу експонентного згладжування для розробки прогнозу

Завдання . Є дані, що характеризують рівень безробіття у регіоні, %

• Побудуйте прогноз рівня безробіття в регіоні на листопад, грудень, січень місяці, використовуючи методи: ковзного середнього, експоненційного згладжування, найменших квадратів.
• Розрахуйте помилки отриманих прогнозів під час використання кожного методу.
• Порівняйте отримані результати, зробіть висновки.

Рішення методом експоненційного згладжування

1) Визначаємо значення параметра згладжування за формулою:

де n - Число спостережень, що входять в інтервал згладжування. α = 2/(10+1) = 0,2

2) Визначаємо початкове значення Uo двома способами:
І спосіб (середня арифметична) Uo = (2,99 + 2,66 + 2,63 + 2,56 + 2,40 + 2,22 + 1,97 + 1,72 + 1,56 + 1,42)/ 10 = 22,13/10 = 2,21
II метод (приймаємо перше значення основи прогнозу) Uo = 2,99

3) Розраховуємо експоненційно зважену середню для кожного періоду, використовуючи формулу

де t - період, що передує прогнозному; t+1 – прогнозний період; Ut+1 - прогнозований показник; - параметр згладжування; Уt - фактичне значення досліджуваного показника за період, що передує прогнозному; Ut - експоненційно виважена середня для періоду, що передує прогнозному.

Наприклад:
Uфев = 2,99 * 0,2 + (1-0,2) * 2,21 = 2,37 (І спосіб)
Uмарт = 2,66 * 0,2 + (1-0,2) * 2,37 = 2,43 (І спосіб) і т.д.

Uфев = 2,99 * 0,2 + (1-0,2) * 2,99 = 2,99 (II спосіб)
Uмарт = 2,66 * 0,2 + (1-0,2) * 2,99 = 2,92 (II спосіб)
Uапр = 2,63 * 0,2 + (1-0,2) * 2,92 = 2,86 (II спосіб) і т.д.

4) За цією ж формулою обчислюємо прогнозне значення
Uноябрь = 1,42 * 0,2 + (1-0,2) * 2,08 = 1,95 (І спосіб)
Uноябрь = 1,42 * 0,2 + (1-0,2) * 2,18 = 2,03 (ІІ спосіб)
Результати заносимо до таблиці.

5) Розраховуємо середню відносну помилку за такою формулою:

ε = 209,58/10 = 20,96% (І спосіб)
ε = 255,63/10 = 25,56% (ІІ спосіб)

У кожному випадку точність прогнозу є задовільною, оскільки середня відносна помилкапотрапляє у межі 20-50%.

Вирішивши дане завданняметодами ковзної середньої і найменших квадратів , зробимо висновки

к.е.н., директор з науки та розвитку ЗАТ "КІС"

Метод експоненційного згладжування

Освоєння нових та аналіз відомих управлінських технологій, які дозволяють підвищити ефективність управління бізнесом, стає особливо актуальним для російських підприємств у час. Один із найпопулярніших інструментів - система бюджетування, яка базується на формуванні бюджету підприємства з подальшим контролем виконання. Бюджет є збалансовані короткострокові комерційні, виробничі, фінансові та господарські плани розвитку організації. Бюджет підприємства містить цільові показники, що розраховуються на підставі прогнозних даних. Найбільш значущим прогнозом при складанні бюджету будь-якого підприємства є прогноз продажів. У попередніх статтях було проведено аналіз адитивної та мультиплікативної моделі та розраховано прогнозний обсяг продажів на наступні періоди.

При аналізі часових рядів використовувався метод ковзної середньої, де всі дані незалежно від періоду їх виникнення є рівноправними. Існує інший спосіб, в якому даним приписуються ваги, пізнішим даним надається більша вага, ніж більш раннім.

Метод експоненційного згладжування на відміну від методу ковзних середніх ще й може бути використаний для короткострокових прогнозів майбутньої тенденції на один період вперед і автоматично коригує будь-який прогноз у світлі відмінностей між фактичним та спрогнозованим результатом. Саме тому метод має явну перевагу над раніше розглянутим.

Назва методу походить з того факту, що при його застосуванні виходять експоненційно зважені ковзні середні по всьому часовому ряду. При експоненційному згладжуванні враховуються всі попередні спостереження - попереднє враховується з максимальною вагою, попереднє йому - з дещо меншою, раніше спостереження впливає на результат з мінімальною статистичною вагою.

Алгоритм розрахунку експоненційно згладжених значень у будь-якій точці ряду i заснований на трьох величинах:

фактичне значення Ai у цій точці ряду i,
прогноз у точці ряду Fi
деякий наперед заданий коефіцієнт згладжування W, постійний по всьому ряду.

Новий прогноз можна записати формулою:

Розрахунок експоненційно згладжених значень

При практичному використанніметоду експоненційного згладжування виникає дві проблеми: вибір коефіцієнта згладжування (W), який значною мірою впливає на результати та визначення початкової умови(Fi). З одного боку, для згладжування випадкових відхилень величину необхідно зменшувати. З іншого боку, збільшення ваги нових вимірів потрібно збільшувати.

Хоча, в принципі, W може набувати будь-яких значень з діапазону 0< W < 1, обычно ограничиваются интервалом от 0,2 до 0,5. При високих значенняхкоефіцієнта згладжування більшою мірою враховуються миттєві поточні спостереження відгуку (для фірм, що динамічно розвиваються) і, навпаки, при низьких його значеннях згладжена величина визначається більшою мірою минулою тенденцією розвитку, ніж поточним станомвідгуку системи (за умов стабільного розвитку ринку).

Вибір коефіцієнта постійного згладжування є суб'єктивним. Аналітики більшості фірм при обробці рядів використовують свої традиційні значення W. Так, за опублікованими даними в аналітичному відділі Kodak, традиційно використовують значення 0,38, а на фірмі Ford Motors – 0,28 або 0,3.

Ручний розрахунок експонентного згладжування вимагає вкрай великого обсягу монотонної роботи. На прикладі розрахуємо прогнозний обсяг на 13 квартал, якщо є дані обсягу продажу за останні 12 кварталів, використовуючи метод простого експонентного згладжування.

Припустимо, що у перший квартал прогноз продажів становив 3. І нехай коефіцієнт згладжування W =0,8.

Заповнимо в таблиці третій стовпець, підставляючи для кожного наступного кварталу значення попереднього за формулою:

Для 2 кварталу F2 = 0,8 * 4 (1-0,8) * 3 = 3,8
Для 3 кварталу F3 = 0,8 * 6 (1-0,8) * 3,8 = 5,6

Аналогічно, розраховується згладжене значення коефіцієнта 0,5 і 0,33.

Розрахунок прогнозу обсягу продажу

Прогноз обсягу продажу при W = 0.8 на 13 квартал становив 13.3 тыс.руб.

Ці дані можна подати у графічній формі:

Експонентне згладжування

Наскільки Forecast NOW! краще моделі Експонентне згладжування (ES)ви можете побачити на графіці нижче. По осі X – номер товару, по осі Y – відсоткове поліпшення якості прогнозу. Опис моделі, детальне дослідження, результати експериментів читайте нижче.

Опис моделі

Прогнозування методом експоненційного згладжування є одним із самих простих способівпрогнозування. Прогноз може бути отриманий лише на період вперед. Якщо прогнозування ведеться у межах днів, то тільки на один день вперед, якщо тижнів, то на один тиждень.

Для порівняння, прогнозування проводилося на тиждень вперед протягом 8 тижнів.

Що таке експоненційне згладжування?

Нехай ряд Зпредставляє вихідний ряд продажів для прогнозування

З 1)-продажі в перший тиждень, З(2) у другій тощо.

Рисунок 1. Продаж по тижнях, ряд З

Аналогічно, ряд Sє експоненційно згладженим рядом продажів. Коефіцієнт знаходиться від нуля до одиниці. Виходить він так, тут t - момент часу (день, тиждень)

S(t+1) = S(t) + α *(С(t) - S(t))

Великі значення константи згладжування α прискорюють відгук прогнозу на стрибок процесу, що спостерігається, але можуть призвести до непередбачуваних викидів, тому що згладжування буде майже відсутній.

Перший раз після початку спостережень, маючи лише один результат спостережень С (1) , коли прогнозу S (1) немає і формулою (1) скористатися ще неможливо, як прогноз S (2) слід взяти С (1) .

Формула легко може бути переписана в іншому вигляді:

S (t+1) = (1 -α )* S (t) +α * З (t).

Таким чином, зі збільшенням константи згладжування частка останніх продажів збільшується, а частка згладжених попередніх зменшується.

Константа вибирається дослідним шляхом. Зазвичай будується кілька прогнозів щодо різних констант і вибирається найбільш оптимальна константа з погляду обраного критерію.

Критерієм може бути точність прогнозування на попередні періоди.

У своєму дослідженні ми розглянули моделі експоненційного згладжування, в яких приймає значення (0.2, 0.4, 0.6, 0.8). Для порівняння з алгоритмом прогнозування Forecast NOW! для кожного товару будувалися прогнози при кожному α, вибирався найточніший прогноз. Насправді ж ситуація була б набагато складніша, користувачу не знаючи наперед точності прогнозу потрібно визначитися з коефіцієнтом α, від якого дуже сильно залежить якість прогнозу. Ось таке замкнене коло.

Наочно

Рисунок 2. α =0.2 , ступінь експоненційного згладжування висока, реальні продажі враховуються слабо

Рисунок 3. α =0.4 , ступінь експоненційного згладжування середня, реальні продажі враховуються в середньому

Можна бачити як зі збільшенням константи α згладжений ряд все сильніше відповідає реальним продажам, і якщо там є викиди або аномалії, ми отримаємо вкрай неточний прогноз.

Рисунок 4. α =0.6 , ступінь експоненційного згладжування низька, реальні продажі враховуються значно

Можемо бачити, що при α=0.8 ряд майже точно повторює вихідний, а значить прогноз прагне до правила «буде продано стільки ж, скільки і вчора»

Тут зовсім не можна орієнтуватися на помилку наближення до вихідних даних. Можна досягти ідеальної відповідності, але отримати неприйнятний прогноз.

Рисунок 5. α =0.8 , ступінь експоненційного згладжування вкрай низька, реальні продажі враховуються сильно

Приклади прогнозів

Тепер давайте подивимося на прогнози, які виходять із використанням різних значеньα. Як можна бачити з малюнка 6 і 7, що більший коефіцієнт згладжування, то точніше повторює реальні продажі із запізненням на один крок, прогноз. Таке запізнення насправді може виявитися критичним, тому не можна просто вибирати максимальне значенняα. Інакше вийде ситуація, коли ми говоримо, що буде продано рівно стільки, скільки було продано минулого періоду.

Малюнок 6. Прогноз методу експонентного згладжування при α=0.2

Малюнок 7. Прогноз методу експонентного згладжування при α=0.6

Давайте подивимося, що виходить за α = 1.0. Нагадаємо, S - прогнозовані (згладжені) продажі, C - реальні продажі.

S (t+1) = (1 -α )* S (t) +α * З (t).

S (t+1) =З (t).

Продаж у t+1 день згідно з прогнозом дорівнює продажам у попередній день. Тому до вибору константи треба підходити з розумом.

Порівняння з Forecast NOW!

Тепер розглянемо цей метод прогнозування порівняно з Forecast NOW! Порівняння велося на 256 товарах, які мають різні продажі, з сезонністю короткострокової та довгострокової, з «поганими» продажами та дефіцитом, акціями та іншими викидами. Для кожного товару був побудований прогноз моделі експоненційного згладжування, для різних α, вибирався кращий і порівнювався з прогнозом моделі Forecast NOW!

У таблиці нижче ви бачите значення помилки прогнозу кожного товару. Помилка тут вважалася як RMSE. Це корінь з середньоквадратичного відхиленняпрогноз від реальності. Грубо кажучи, показує, скільки одиниць товару ми відхилилися в прогнозі. Поліпшення показує, на скільки відсотків прогноз Forecast NOW! краще, якщо цифра позитивна і гірше, якщо негативна. На малюнку 8 по осі X відкладено товари, по осі Y зазначено, наскільки прогноз Forecast NOW! краще, ніж прогнозування шляхом експоненційного згладжування. Як можна бачити із цього графіка, точність прогнозування Forecast NOW! майже завжди вдвічі вищий і майже ніколи не гірший. Насправді це означає, що використання Forecast NOW! дозволить вдвічі скоротити запаси чи знизити дефіцит.