У минулих уроках ми навчилися розв'язувати квадратні рівняння. Для цього потрібно було запровадити новий математичний об'єкт – дискримінант. Якщо ви не пам'ятаєте, що це таке, рекомендую повернутися до уроку «Як розв'язувати квадратні рівняння».

Для початку визначення, що взагалі таке квадратне рівняння- Це будь-який вираз, де змінна присутня тільки в 4-й і 2-й ступеня.

1) вводимо нову змінну $ ((x) ^ (2)) = t $. У цьому випадку, звівши обидві частини цього рівняння квадрат, ми отримаємо

\[\begin(align)& ((((((x)^(2))))^(2))=((t)^(2)) \\& ((x)^(4))= ((t)^(2)) \\\end(align)\]

2)переписуємо наш вираз — $a((x)^(4))+b((x)^(2))+4=0\to a((t)^(2))+bt+c=0 $

3) знаходимо рішення для отриманого рівняння і знаходимо змінні $((t)_(1))$ і $((t)_(2))$, якщо коріння буде два.

4)виконуємо зворотну заміну, тобто згадуємо, що таке $t$, отримуємо дві конструкції: $((x)^(2))=((t)_(1))$ і $((x)^ (2))=((t)_(2))$.

5) вирішуємо отримані рівняння та знаходимо ікси.

Реальні завдання

Приклад №1

Погляньмо, як ця схема працює на справжніх біквадратних рівняннях.

Вирішуємо перше завдання:

\[((x)^(4))-5((x)^(2))+4=0\]

Вводимо нову змінну та переписуємо:

\[((x)^(2))=t\to ((t)^(2))-5t+4=0\]

Це звичайне квадратне рівняння, порахуємо його за допомогою дискримінанта:

Це гарне число. Корінь дорівнює 3.

Тепер знаходимо значення $t$:

\[\begin(array)(·(35)(l))

((t)_(1))\text( )=\text( )\frac(5+3)(2)=\text( )\frac(8)(2)\text( )=\text( ) 4 \\((t)_(2))\text( )=\frac(5-3)(2)=text( )\frac(2)(2)\text(= )1 \\end (array)\]

Але будьте уважні, ми знайшли лише $t$ — це не рішення, це лише третій крок. Переходимо до четвертого кроку — згадуємо, що таке $t$ і вирішуємо:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=4\to ((x)^(2))-4=0\to (x-2)(x+2)=0 \\ & \left[ \begin(align)& x=2 \\& x=-2 \\end(align) \right. \\end(align)\]

Ось ми й вирішили першу частину. Переходимо до другого значення $t$:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=1\to ((x)^(2))-1=0\to (x-1)(x+1)=0 \\ & \left[ \begin(align)& x=1 \\& x=-1 \\\end(align) \right. \\end(align)\]

У нас вийшло чотири відповіді: 2; -2; 1; -1, тобто. біквадратне рівняння може мати до чотирьох коренів.

Приклад №2

Переходимо до другого прикладу:

\[((x)^(4))-25((x)^(2))+144=0\]

Тут я не докладно все розписуватиму. Давайте вирішувати так, як би ми це робили в класі.

Замінюємо:

Тоді в нас вийде:

\[((t)^(2))-25t+144=0\]

Вважаємо $D$:

Корінь із дискримінанта дорівнює 7. Знайдемо $t$:

\[\begin(array)(·(35)(l))

((t)_(1))\text( )=\frac(25+7)(2)\text( )=\text( )\frac(32)(2)=\text( )16 \\( (t)_(2))\text( )=\frac(25-7)(2)=\text( )\frac(18)(2)\text( )=\text( )9 \\end (array)\]

Згадуємо, що таке $t$:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=16 \\& \left[ \begin(align)& x=4 \\& x=-4 \\end(align) \right . \\end(align)\]

Другий варіант:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=9 \\& \left[ \begin(align)& x=3 \\& x=-3 \\end(align) \right . \\end(align)\]

От і все. У нас знову чотири відповіді: 4; -4; 3; -3.

Приклад №3

Переходимо до останнього біквадратного рівняння:

\[((x)^(4))-\frac(5)(4((x)^(2)))+\frac(1)(4)=0\]

Знову ж таки вводимо заміну:

\[((t)^(2))-\frac(5)(4t)+\frac(1)(4)=0\]

Давайте помножимо обидві сторони на 4, щоб позбавитися дробових коефіцієнтів:

Знайдемо $D$:

Корінь із дискримінанта дорівнює трьом:

\[\begin(array)(·(35)(l))

((t)_(1))\text( )=\text( )\frac(5+3)(2\cdot 4)=\text( )\frac(8)(8)\text( )=\ text( )1 \\((t)_(2))\text( )=\frac(5-3)(2\cdot 4)=\text( )\frac(2)(8)=\text( )\frac(1)(4) \\\end(array)\]

Вважаємо ікси. Згадуємо, що таке $t$:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=1 \\& \left[ \begin(align)& x=1 \\& x=-1 \\end(align) \right . \\end(align)\]

Другий варіант трохи складніший:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=\frac(1)(4) \\& \left[ \begin(align)& x=\frac(1)(2) \\ & x=-\frac(1)(2) \\\end(align) \right. \\end(align)\]

Ми отримали знову чотири корені:

Ось так наважуються всі біквадратні рівняння. Звичайно, це не самий швидкий спосіб, Зате він найнадійніший. Спробуйте самостійно вирішувати такі приклади, як і в цьому відео. У відповіді значення іксів потрібно записувати через крапку з комою – ось так, як я записував. На цьому урок закінчено. Успіхів!

Інструкція

Спосіб підстановки Виразіть одну змінну та підставте її в інше рівняння. Висловлювати можна будь-яку змінну на вашу думку. Наприклад, висловіть «у другого рівняння:
х-у = 2 => у = х-2 Потім підставте все в перше рівняння:
2х + (х-2) = 10 Перенесіть все без «х в праву частинуі підрахуйте:
2х + х = 10 +2
3х=12 Далі, щоб «х, розділіть обидві частини рівняння на 3:
х=4.Отже, ви знайшли «х. Знайдіть «у. Для цього підставте "х на те рівняння, з якого ви висловили" у:
у = х-2 = 4-2 = 2
у=2.

Зробіть перевірку. Для цього підставте значення, що вийшло, в рівняння:
2*4+2=10
4-2=2
Невідомі знайдені правильно!

Спосіб складання або віднімання рівнянь Позбавтеся відразу зміненої. У нашому випадку це простіше зробити з «у.
Оскільки в «у зі знаком «+ , тоді як у другому «- , ви можете виконати операцію складання, тобто. ліву частину складаємо з лівої, а праву з правої:
2х+у+(х-у)=10+2Перетворіть:
2х+у+х-у=10+2
3х = 12
х=4Підставте "х у будь-яке рівняння і знайдіть "у:
2*4+у=10
8+у=10
у = 10-8
у=2По 1-му методу можете , що знайдені правильно.

Якщо немає чітко виражених змінних, необхідно трохи перетворити рівняння.
У першому рівнянні маємо "2х, а в другому просто" х. Для того, щоб при додаванні або «х скоротився, друге рівняння помножте на 2:
х-у = 2
2х-2у = 4 Потім відніміть з першого рівняння друге:
2х+у-(2х-2у)=10-4Помітимо, якщо перед дужкою стоїть мінус, то після розкриття поміняйте на протилежні:
2х+у-2х+2у=6
3у = 6
у=2«х знайдіть, виразивши з будь-якого рівняння, тобто.
х = 4

Відео на тему

Порада 2: Як вирішувати лінійне рівняння з двома змінними

Рівняння, У загальному вигляді записане ах+bу+с=0, називається лінійним рівнянням з двома змінними. Таке рівняння саме по собі містить нескінченна безлічрішень, тому в завданнях воно завжди чимось доповнюється - ще одним рівнянням або умовами, що обмежують. Залежно від умов, наданих завданням, вирішувати лінійне рівняння з двома зміннимислід різними способами.

Вам знадобиться

• - лінійне рівняння із двома змінними;
• - друге рівняння чи додаткові умови.

Інструкція

Якщо дана система з двох лінійних рівнянь, розв'язуйте її так. Виберіть одне з рівнянь, в якому коефіцієнти перед зміннимименше і висловіть одну із змінних, наприклад, х. Потім підставте це значення, що містить у друге рівняння. В отриманому рівнянні буде лише одна змінна у, перенесіть всі частини з у ліву частину, а вільні - у праву. Знайдіть у і підставте будь-яке з початкових рівнянь, знайдіть х.

Вирішити систему із двох рівнянь можна й іншим способом. Помножте одне з рівнянь на число, щоб коефіцієнт перед однією зі змінних, наприклад перед х, був однаковий в обох рівняннях. Потім відніміть одне з рівнянь з іншого (якщо права частина не дорівнює 0, не забудьте відняти аналогічно і праві частини). Ви побачите, що змінна х зникла, і залишилася тільки одна змінна у. Розв'яжіть отримане рівняння, і підставте знайдене значення у будь-яку з початкових рівностей. Знайдіть х.

Третій спосіб розв'язання системи двох лінійних рівнянь – графічний. Накресліть систему координат та зобразіть графіки двох прямих, рівняння яких вказані у вашій системі. Для цього підставляйте будь-які два значення х у рівняння та знаходьте відповідні у – це будуть координати точок, що належать до прямої. Найзручніше знаходити перетин з осями координат – достатньо підставити значення х=0 і у=0. Координати точки перетину цих двох ліній будуть завдання.

Якщо в умовах завдання лише одне лінійне рівняння, то вам дано додаткові умови, завдяки яким можна знайти рішення. Уважно прочитайте завдання, щоб знайти ці умови. Якщо зміннимих і у позначені відстань, швидкість, вага – сміливо ставте обмеження х≥0 та у≥0. Цілком можливо, під х або у ховається кількість яблук, і т.д. - Тоді значеннями можуть бути лише . Якщо х – вік сина, зрозуміло, що він не може бути старшим за батька, тому вкажіть це в умовах завдання.

Джерела:

• як вирішити рівняння з однією змінною

Само собою рівнянняз трьома невідомимимає безліч рішень, тому найчастіше воно доповнюється ще двома рівняннями чи умовами. Залежно від цього, які вихідні дані, багато в чому залежатиме хід рішення.

Вам знадобиться

• - система з трьох рівнянь із трьома невідомими.

Інструкція

Якщо дві з трьох системи мають лише дві невідомі з трьох, спробуйте висловити одні змінні через інші та підставити їх у рівнянняз трьома невідомими. Ваша мета при цьому – перетворити його на звичайне рівнянняз невідомою. Якщо це, подальше рішення досить просто - підставте знайдене значення в інші рівняння і знайдіть решту невідомих.

Деякі системи рівнянь можна віднімати з одного рівняння іншого. Подивіться, чи немає можливості помножити одне з або змінну так, щоб скоротилися відразу дві невідомі. Якщо така можливість є, скористайтеся нею, швидше за все, наступне рішення не складе труднощів. Не забувайте, що при множенні на число необхідно множити як ліву, так і праву. Так само при відніманні рівнянь необхідно пам'ятати про те, що права частина повинна також відніматися.

Якщо попередні способи не допомогли, скористайтесь загальним способомрішень будь-яких рівнянь із трьома невідомими. Для цього перепишіть рівняння у вигляді а11х1+a12х2+а13х3=b1, а21х1+а22х2+а23х3=b2, а31х1+а32х2+а33х3=b3. Тепер складіть матрицю коефіцієнтів при х (А), матрицю невідомих (Х) та матрицю вільних (В). Зверніть увагу, множачи матрицю коефіцієнтів на матрицю невідомих, ви отримаєте матрицю, матриці вільних членів, тобто А * Х = В.

Знайдіть матрицю А в ступені (-1) попередньо відшукавши , зверніть увагу, він не повинен дорівнювати нулю. Після цього помножте отриману матрицю на матрицю, в результаті ви отримаєте шукану матрицю Х, із зазначенням всіх значень.

Знайти рішення системи із трьох рівнянь можна також за допомогою методу Крамера. Для цього знайдіть визначник третього порядку ∆, який відповідає матриці системи. Потім послідовно знайдіть ще три визначники ∆1, ∆2 та ∆3, підставляючи замість значень відповідних стовпців значення вільних членів. Тепер знайдіть х: х1=∆1/∆, х2=∆2/∆, х3=∆3/∆.

Джерела:

• рішень рівнянь із трьома невідомими

Рішення системи рівнянь складне та захоплююче. Чим складніша систематим цікавіше її вирішувати. Найчастіше у математиці середньої школизустрічаються системи рівнянь із двома невідомими, але в вищої математикизмінних може бути більше. Вирішувати системи можна кількома способами.

Інструкція

Найпоширеніший метод розв'язання системи рівнянь – це підстановка. Для цього необхідно висловити одну змінну через іншу та підставити її у другу рівняннясистеми, таким чином привівши рівняннядо однієї змінної. Наприклад, дана рівнянь: 2х-3у-1 = 0; х + у-3 = 0.

З другого виразу зручно висловити одну із змінних, перенісши все інше в праву частину виразу, не забувши при цьому змінити знак коефіцієнта: х=3-у.

Розкриваємо дужки: 6-2у-3у-1=0;-5у+5=0;у=1.Отримане значення у підставляємо у вираз:х=3-у;х=3-1;х=2.

У першому виразі всі члени 2, можна винести 2 за дужку розподільчій властивості множення: 2*(2х-3)=0. Тепер обидві частини виразу можна скоротити на це число, а потім виразити у, оскільки коефіцієнт по модулю при ньому дорівнює одиниці: -у = 3-2х або у = 2х-3.

Так само, як і в першому випадку, підставляємо цей вислів у другий рівнянняі отримуємо:3х+2*(2х-3)-8=0;3х+4х-6-8=0;7х-14=0;7х=14;х=2.Підставляємо отримане значення у вираз: у=2х -3; у = 4-3 = 1.

Ми бачимо, що коефіцієнт при у однаковий за значенням, але різний за знаком, отже, якщо ми складемо дані рівняння, то зовсім позбавимося від у: 4х + 3х-2у + 2у-6-8 = 0; 7х-14 = 0; х = 2.Підставляємо значення х в будь-яке з двох рівнянь системи і отримуємо у = 1.

Відео на тему

Біквадратне рівнянняявляє собою рівняннячетвертого ступеня, загальний виглядякого є виразом ax^4 + bx^2 + c = 0. Його рішення засноване на застосуванні методу підстановки невідомих. У даному випадкух^2 замінюється іншою змінною. Таким чином, у результаті виходить звичайне квадратне рівняння, яке потрібно вирішити.

Інструкція

Вирішіть квадратне рівняння, що вийшло в результаті заміни. Для цього спочатку порахуємо значення відповідно до формули: D = b^2? 4ac. У цьому змінні a, b, c є коефіцієнтами нашого рівняння.

Знайдіть коріння біквадратного рівняння. Для цього візьміть квадратний корінь з отриманих рішень . Якщо рішення було одне, то буде два – позитивне та негативне значеннякореня квадратного. Якщо рішень було два, у біквадратного рівняння буде чотири корені.

Відео на тему

Одним із класичних способів розв'язання систем лінійних рівнянь є метод Гауса. Він полягає в послідовному виключеннізмінних, коли система рівнянь з допомогою простих перетворень перетворюється на ступінчасту систему, з якої послідовно перебувають усі змінні, починаючи з останніх.

Інструкція

Спочатку наведіть систему рівнянь у такий вигляд, коли всі невідомі стоятимуть у строго визначеному порядку. Наприклад, всі невідомі Х стоятимуть першими у кожному рядку, все Y – після X, все Z – після Y тощо. У правій частині кожного рівняння невідомих не повинно бути. Уявно визначте коефіцієнти, що стоять перед кожною невідомою, а також коефіцієнти у правій частині кожного рівняння.

Усім ще зі школи відоме таке поняття, як рівняння. Рівняння - це рівність, що містить одну або кілька змінних. Знаючи те, що одна з частин даної рівності дорівнює іншій, можна виокремлювати окремі частини рівняння, переносячи ті чи інші його складові за знак рівності за чітко обумовленими правилами. Можна спростити рівняння до необхідного логічного завершення як х=n, де n - будь-яке число.

З початкової школиусі діти проходять курс вивчення різної складності. Пізніше у програмі з'являються складніші лінійні рівняння- квадратні, потім йдуть кубічні рівняння. Кожен наступний вид рівнянь має нові методики розв'язання, стає важчим у вивченні та повторенні.

Однак після цього постає питання про вирішення такого виду рівнянь, як біквадратні рівняння. Цей вид, незважаючи на складність, що здається, вирішується досить просто: головне - вміти привести такі рівняння в належний вигляд. Їхнє рішення вивчається за один-два уроки разом з практичними завданнями, якщо в учнів є базові знанняпро розв'язання квадратних рівнянь.

Що потрібно знати людині, яка зіткнулася з цим типом рівнянь? Для початку те, що вони включають лише парні ступеня змінної «ікс»: четверта і, відповідно, друга. Щоб біквадратне рівняння було вирішуваним, необхідно привести його до вигляду. Як це зробити? Досить просто! Потрібно лише замінити «ікс» у квадраті на «ігрок». Тоді жахливий для багатьох школярів «ікс» четвертою мірою перетвориться на «гравець» у квадраті, а рівняння набуде вигляду звичайного квадратного.

Далі воно вирішується як звичайне квадратне рівняння: розкладається на множники, після чого перебуває значення таємничого «гравця». Щоб вирішити біквадратне рівняння до кінця, потрібно знайти з-поміж «гравець» - це і буде шукана величина «ікс», після знаходження значень якого можна буде привітати себе з успішним завершенням розрахунків.

Що слід пам'ятати, вирішуючи рівняння цього виду? Перше і найголовніше: ігрек не може бути негативним числом! Сама умова, що ігрек - це квадрат числа ікс, виключає подібний варіантрішення. Тому якщо при первинному розв'язанні біквадратного рівняння одне із значень «гравець» виходить у вас позитивним, а друге - негативним, необхідно взяти лише його позитивний варіант, інакше біквадратне рівняння буде вирішено неправильно. Краще одночасно запровадити правило, що змінна «гравець» більше або дорівнює нулю.

Другий важливий нюанс: число "ікс", будучи квадратним коренем числа "гравець", може бути як позитивним, так і негативним. Припустимо, якщо «ігрок» дорівнює чотирьом, то біквадратне рівняння матиме два рішення: два та мінус два. Це відбувається з тієї причини, що від'ємне число, зведене в парний ступінь, Дорівнює числу того ж модуля, але відмінного знака, зведеного в той же ступінь. Тому завжди варто пам'ятати про цей важливий момент, інакше можна просто втратити одну або кілька відповідей рівняння. Найкраще відразу писати, що «ікс» дорівнює плюс-мінус квадратного коренявід "ігрок".

Загалом, рішення біквадратних рівнянь - це досить просто і не вимагає великих тимчасових витрат. На вивчення цієї теми в шкільній програмівистачає двох академічного годинника- не рахуючи, звичайно, повторень і контрольних робіт. Біквадратні рівняння стандартного виглядувирішуються дуже легко, якщо дотримуватися перерахованих вище правил. Їхнє рішення не складе для вас ніяких труднощів, тому що воно докладно розписане в підручниках математики. Вдалого вам навчання та успіхів у вирішенні будь-яких, не тільки математичних, завдань!