Основні елементи часового ряду економетрики. Розрахунок оцінок сезонної компоненти

Під тимчасовими рядами розуміють економічні величини, залежні від часу. При цьому час передбачається дискретним, інакше говорять про випадкові процеси, а не про тимчасові ряди.

6.1. Моделі стаціонарних та нестаціонарних тимчасових рядів, їх ідентифікація

Нехай Розглянемо часовий ряд X(t).Нехай спочатку тимчасовий ряд набуває числових значень. Це можуть бути, наприклад, ціни на батон хліба у сусідньому магазині або курс обміну долара на рублі у найближчому обмінному пункті. Зазвичай у поведінці тимчасового ряду виявляють дві основні тенденції - тренд і періодичні коливання.

При цьому під трендом розуміють залежність від часу лінійного, квадратичного або іншого типу, яку виявляють тим чи іншим способом згладжування (наприклад, експоненційне згладжування) або розрахунковим шляхом, зокрема, за допомогою методу найменших квадратів. Іншими словами, тренд – це очищена від випадковостей основна тенденція часового ряду.

Тимчасовий ряд зазвичай коливається навколо тренду, причому відхилення від тренду часто виявляють правильність. Часто це пов'язано з природною чи призначеною періодичністю, наприклад, сезонною чи тижневою, місячною чи квартальною (наприклад, відповідно до графіків виплати сплати та сплати податків). Іноді наявність періодичності і тим більше її причини незрозумілі, і завдання економетрика - з'ясувати, чи є періодичність.

Елементарні методи оцінки характеристик часових рядів зазвичай досить докладно розглядаються в курсах "Загальної теорії статистики" (див., Наприклад, підручники), тому немає необхідності докладно розбирати їх тут. (Втім, про деякі сучасні методи оцінювання довжини періоду та найперіодичнішою складовою йтиметься нижче.)

Характеристики часових рядів. Для більш докладного вивчення часових рядів використовуються імовірнісно-статистичні моделі. При цьому тимчасовий ряд X(t)розглядається як випадковий процес(З дискретним часом) основними характеристиками є математичне очікування X(t), тобто.

дисперсія X(t), тобто.

і автокореляційна функціятимчасового ряду X(t)

тобто. функція двох змінних, що дорівнює коефіцієнту кореляції між двома значеннями часового ряду X(t)і X(s).

У теоретичних та прикладних дослідженнях розглядають широкий спектр моделей часових рядів. Виділимо спочатку стаціонарнімоделі. Вони спільні функції розподілу будь-якої кількості моментів часу k, а тому і всі перераховані вище характеристики часового ряду не змінюються з часом. Зокрема, математичне очікування та дисперсія є постійними величинами, автокореляційна функція залежить лише від різниці t-s.Тимчасові ряди, які не є стаціонарними, називаються нестаціонарними.

Лінійні регресійні моделі з гомоскедастичними та гетероскедастичними, незалежними та автокорельованими залишками. Як очевидно зі сказаного вище, основне - це " очищення " тимчасового ряду від випадкових відхилень, тобто. оцінювання математичного очікування На відміну від найпростіших моделей регресійного аналізу, розглянутих у розділі 5, тут природним чином з'являються складніші моделі. Наприклад, дисперсія може залежати від часу. Такі моделі називають гетероскедастичними, а ті, в яких немає залежності від часу – гомоскедастичними. (Точніше кажучи, ці терміни можуть відноситися не тільки до змінної "час", але й до інших змінних.)

Далі, у розділі 5 передбачалося, що похибки незалежні між собою. У термінах цієї глави це означало б, що автокореляційна функція має бути виродженою - дорівнювати 1 за рівності аргументів і 0 за її нерівності. Зрозуміло, що з реальних часових рядів так буває не завжди. Якщо природний хід змін спостерігається є досить швидким порівняно з інтервалом між послідовними спостереженнями, то можна очікувати "загасання" автокореляції і отримання практично незалежних залишків, в іншому випадку залишки будуть автокорелювані.

Ідентифікація моделей.Під ідентифікацією моделей зазвичай розуміють виявлення їх структури та оцінювання параметрів. Оскільки структура - це також параметр, хоч і нечисловий (див. розділ 8), то мова йдепро одне з типових завдань економетрики – оцінювання параметрів.

Найпростіше завдання оцінювання вирішується для лінійних (за параметрами) моделей із гомоскедастичними незалежними залишками. Відновлення залежностей у часових рядах може бути проведене на основі методів найменших квадратів та найменших модулів, розглянутих у розділі 5 моделей лінійної (за параметрами) регресії. На випадок часових рядів переносяться результати, пов'язані з оцінюванням необхідного набору регресорів, зокрема легко отримати граничний геометричний розподіл оцінки ступеня тригонометричного полінома.

Однак на більш загальну ситуаціютакого простого перенесення зробити не можна. Так, наприклад, у разі тимчасового ряду з гетероскедастичними та автокорельованими залишками знову можна скористатися загальним підходом методу найменших квадратів, проте система рівнянь методу найменших квадратів і, природно, її вирішення будуть іншими. Формули в термінах матричної алгебри, про які згадувалося в розділі 5, відрізнятимуться. Тому аналізований метод називається " узагальнений метод найменших квадратів(ОМНК)" (див., наприклад, ).

Зауваження.Як зазначалося у розділі 5, найпростіша модель методу найменших квадратів допускає дуже далекі узагальнення, особливо у сфері системам одночасних економетричних рівнянь для часових рядів. Для розуміння відповідної теорії та алгоритмів необхідне професійне володіння матричною алгеброю. Тому ми відсилаємо тих, кому це цікаво, до літератури за системами економетричних рівнянь і безпосередньо з тимчасових рядів , у якій багато цікавляться спектральної теорією, тобто. виділенням сигналу з шуму та розкладанням його на гармоніки. Підкреслимо вкотре, що за кожним розділом цієї книги стоїть велика областьнаукових та прикладних досліджень, цілком гідна того, щоб присвятити їй багато зусиль. Проте через обмеженість обсягу книги ми змушені виклад зробити конспективним.

- 94.50 Кб

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ,

МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ВВНЗ «КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ВАДИМА ГЕТЬМАНА»

КРИМСЬКИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ ІНСТИТУТ

з дисципліни: ЕКОНОМЕТРИКА

тема ТИМЧАСОВІ РЯДИ В ЕКОНОМЕТРИЧНИХ ДОСЛІДЖЕННЯХ

Виконав:

студент 1 курсу

заочного відділення

група МО-11/12

Потоля Євген Васильович

Перевірив:

Сімферополь 2013

Вступ

Економетрика – це наука, у якій основі реальних статистичних даних будуються, аналізуються і відбуваються математичні моделі реальних економічних явищ.

Одним із найважливіших напрямівЕконометрика є побудова прогнозів за різними економічними показниками. Основним завданням економетрики вважатимемо використання статистичних та математичних методів з метою знайти емпіричне подання результатів економічної теорії, а потім підтвердити або спростувати.

Однак математичні методи для представлення результатів економічної теорії використовуються також у математичної економіки. Поділ «сфер інтересів» економетрики та математичної економіки – це відмінність за умов якості отриманих моделей. У економетриці побудована модель тим краще, що краще вона визначає наявні емпіричні дані. У математичній економіці відповідність моделі емпіричним даним який завжди свідчить про її якості, і навпаки, який завжди потрібно домагатися цієї відповідності.

Застосування статистичних методів для аналізу економічних даних має багатовікову історію. Відзначено, що перше емпіричне дослідження попиту (Charles Davenant, 1699) було опубліковано понад три сторіччя тому, а перше сучасне дослідження (Rodulfo Enini, 1907) - на початку 20 ст. Потужним поштовхом у розвитку економетрики стало заснування 1930 р. економетричного суспільства та вихід у січні 1933 р. першого номера журналу «Econometrica». Основною метою діяльності Товариства, як було визначено у першому номері журналу, мало стати «… вивчення можливостей об'єднання теоретико-кількісних та емпірико-кількісних підходів до вирішення економічних завдань, а також поширення конструктивних та точних методіваналізу, аналогічних тим, які нині домінують у науках».

Однак існує кілька видів кількісного аналізув економіці, жоден з яких окремо не повинен асоціюватись з економетрикою. Так, економетрика – це економічна статистика. Економетрика - це і не розділ загальної економічної теорії, хоча значна частина економічної теорії безперечно має кількісний характер. Слово «економетрика» не є простим еквівалентом фрази «застосування математики в економіці». Як показує досвід, всі три перерахованих дисципліни, – статистика, економічна теорія і математика, - необхідні, але жодної, взятої окремо, мало реального розуміння кількісних взаємозв'язків у сучасному економічному житті. Саме поєднання всіх цих трьох дисциплін дає до нього ключ. Саме об'єднання їх і є предметом економетрики.

1. Основні поняття теорії тимчасових рядів

Тимчасовий ряд - це деяка послідовність чисел (вимірювань) економічного чи бізнес-процесу у часі. Його елементи виміряні у послідовні моменти часу, зазвичай, через рівні проміжки.

Як правило, що складають тимчасовий ряд числа або елементи тимчасового ряду, нумерують відповідно до номера моменту часу, до якого вони відносяться. Таким чином, порядок прямування елементів часового ряду дуже суттєвий.

Розширене поняття часового ряду. Поняття часового ряду часто тлумачать розширювально. Наприклад, одночасно можуть реєструватися кілька характеристик цього процесу. У цьому випадку говорять про багатовимірні тимчасові ряди. Якщо виміри проводяться безперервно, говорять про тимчасові ряди з безперервним часом, або випадкових процесів. Нарешті, поточна змінна може мати тимчасової, а якийсь інший характер, наприклад просторовий. В цьому випадку говорять про випадкові поля. Приклади часових рядів. В економіці це щоденні ціни на акції, курси валют, щотижневі та місячні обсяги продажу, річні обсяги виробництва тощо.

Тимчасові ряди називаються стаціонарними, якщо числові характеристики ряду є постійними будь-якій ділянці часового ряду. Реально в житті це не так, але існують методи, що дозволяють перетворити тимчасовий ряд і привести його до стаціонарного.

1. Цілі, етапи та методи аналізу часових рядів

Цілі аналізу часових рядів. При практичному вивченні часових рад на підставі економічних даних на певному проміжку часу економетрист повинен зробити висновки про властивості цього ряду та про ймовірнісний механізм, що породжує цей ряд. Найчастіше щодо тимчасових рядів ставляться такі цели:

1. Короткий (стислий) опис характерних особливостей ряду;

2. Підбір статистичної моделі, що описує часовий ряд;

3. Пророцтво майбутніх значень на основі минулих спостережень;

4. Управління процесом, що породжує тимчасовий ряд.

На практиці ці та подібні цілі досяжні далеко не завжди і далеко не повною мірою. Часто цьому перешкоджає недостатній обсяг спостережень через обмежений час спостережень. Ще частіше - статистична структура часового ряду, що змінюється з часом.

Стадії аналізу часових рядів. Зазвичай при практичному аналізі часових рядів послідовно проходять такі етапи:

1. Графічне подання та опис поведінки тимчасового рада;

2. Виділення та видалення закономірних складових тимчасового рада, що залежать від часу: тренду, сезонних та циклічних складових;

3. Виділення та видалення низько- або високочастотних складових процесу (фільтрація);

4. Дослідження випадкової складової тимчасового ряду, що залишилася після видалення перерахованих вище складових

5. Побудова (підбір) математичної моделі для опису випадкової складової та перевірка її адекватності;

6. Прогнозування майбутнього розвитку процесу, представленого тимчасовим рядом;

7. Дослідження взаємодій між різними та часовими рядами.

Методи аналізу часових рядів. Для вирішення цих завдань існує велика кількість різних методів. З них найбільш поширеними є такі:

1. Кореляційний аналіз, що дозволяє виявити суттєві періодичні залежності та їх лаги (затримки) усередині одного процесу (автокореляція) або між декількома процесами (кроскореляція);

2. Спектральний аналіз, що дозволяє знаходити періодичні та квазіперіодичні складові тимчасового ряду;

3. Згладжування та фільтрація, призначені для перетворення часових рядів з метою видалення з них високочастотних або сезонних коливань;

5. Прогнозування, що дозволяє на основі підібраної моделі поведінки тимчасового рада передбачати його значення у майбутньому.

1. Моделі тренду та методи його виділення з часового ряду

Найпростіші моделі тренду. Наведемо моделі трендів, що найчастіше використовуються при аналізі економічних часових рядів, а також у багатьох інших областях.

По-перше, це проста лінійна модель

Y t = a 0 + a 1 t

де а0, а1 – коефіцієнти моделі тренду; t – час.

Як одиниця часу може бути годину, день (добу), тиждень, місяць, квартал або рік. Незважаючи на свою простоту, виявляється корисною у багатьох реальних завданнях. Якщо нелінійний характер тренду очевидний, то може підійти одна з таких моделей:

1. поліноміальна:

Y t =a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 + a 4 t 4 + …

де значення ступеня полінома n у практичних завданнях рідко перевищує 5;

2. логарифмічна:

Ця модель найчастіше застосовується для даних, що мають тенденцію зберігати

постійні темпи приросту;

3. логістична:

4. Гомперця

log(Y t) = a 0 -a 1 r t де 0< r < 1

Дві останні моделі задають криві тренди S-подібної форми. Вони відповідають процесам з поступово зростаючими темпами зростання в початковій стадії та поступово загасаючими темпами зростання в кінці.

Необхідність подібних моделей обумовлена ​​неможливістю багатьох економічних процесівтривалий час розвиватися з постійними темпами зростання або за поліноміальними моделями у зв'язку з їх досить швидким зростанням (або зменшенням).

При прогнозуванні тренд використовують насамперед для довгострокових прогнозів. Точність короткострокових прогнозів, заснованих тільки на підібраній кривій тренда, як правило, недостатня.

Для оцінки та видалення трендів з часових рядів найчастіше використовується метод найменших квадратів. Значення часового ряду розглядають як відгук (залежну змінну), а час t - як фактор, що впливає на відгук (незалежну змінну).

Для тимчасових рядів характерна взаємна залежність його членів (принаймні не далеко віддалених за часом) і це є істотною відмінністю від звичайного регресійного аналізу, для якого всі спостереження передбачаються незалежними. Тим не менш, оцінки тренду і в цих умовах зазвичай виявляються розумними, якщо обрано адекватну модель тренду і якщо серед спостережень немає викидів. Згадані вище порушення обмежень регресійного аналізу позначаються не так на значеннях оцінок, як на їх статистичних властивостях.

Неправильними виявляються довірчі інтервали для коефіцієнтів моделі, тощо. У найкращому випадкуїх можна як дуже наближені. Це положення може бути частково виправлено, якщо застосовувати модифіковані методи алгоритму найменших квадратів, такі як зважений метод найменших квадратів. Однак для цих методів потрібна додаткова інформація про те, як змінюється дисперсія спостережень або їх кореляція. Якщо така інформація недоступна, дослідникам доводиться застосовувати класичний метод найменших квадратів, попри зазначені недоліки.

1. Порядок аналізу часових рядів

Мета аналізу часових рядів зазвичай полягає у побудові математичної моделі ряду, за допомогою якої можна пояснити його поведінку та здійснити прогноз на певний період часу. Аналіз часових рядів включає такі основні етапи.

Побудова та вивчення графіка. Аналіз часового ряду зазвичай починається з побудови та вивчення його графіка. Якщо нестаціонарність часового ряду очевидна, то насамперед треба виділити та видалити нестаціонарну складову ряду. Процес видалення тренду та інших компонентів ряду, що призводять до порушення стаціонарності, може проходити в кілька етапів.

На кожному з них розглядається ряд залишків, отриманий в результаті віднімання вихідного ряду підібраної моделі тренда, або результат різницевих та інших перетворень ряду. Крім графіків, ознаками нестаціонарності часового ряду можуть бути автокореляційна функція, що не прагне до нуля.

Опис роботи

Одним із найважливіших напрямів економетрики є побудова прогнозів за різними економічними показниками. Основним завданням економетрики вважатимемо використання статистичних та математичних методів з метою знайти емпіричне подання результатів економічної теорії, а потім їх підтвердити або спростувати.
Однак математичні методидля подання результатів економічної теорії використовуються також у математичній економіці. Поділ «сфер інтересів» економетрики та математичної економіки – це відмінність за умов якості отриманих моделей. У економетриці побудована модель тим краще, що краще вона визначає наявні емпіричні дані. У математичній економіці відповідність моделі емпіричним даним який завжди свідчить про її якості, і навпаки, який завжди потрібно домагатися цієї відповідності.

Зміст

Вступ………………………………………...………………………..
Основні поняття теорії тимчасових рядів ………………………..
3
5
Цілі, етапи та методи аналізу часових рядів……………………...
6
Моделі тренду та методи його виділення з часового ряду………..
8
Порядок аналізу часових рядів……………………………………..
10
Графічні методи аналізу часових рядів……………………....
12
Заключение……….………………………………………………………
Список літератури…………………………………

Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму нижче

гарну роботуна сайт">

Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.

Подібні документи

Ефективна оцінка методом найменших квадратів. Кореляційно-регресійний аналіз у економетричному моделюванні. Тимчасові лави в економетричних дослідженнях. Моделювання тенденції часового ряду. Розрахунок коефіцієнта автокореляції.

контрольна робота , доданий 19.06.2015


Аналіз автокореляції рівнів часового ряду, характеристика його структури; побудова адитивної та мультиплікативної моделі, що відображає залежність рівнів від часу; прогноз обсягу випуску товарів на два квартали з урахуванням виявленої сезонності

лабораторна робота , доданий 23.01.2011


Вибірка та Генеральна сукупність. Модель множинної регресії. Нестаціонарні часові ряди. Параметри лінійного рівнянняпарної регресії. Знаходження медіани, ранжування часового ряду. Гіпотеза про незмінність середнього значення часового ряду.

завдання, доданий 08.08.2010


Вивчення поняття імітаційного моделювання. Імітаційна модельтимчасового ряду. Аналіз показників динаміки розвитку економічних процесів. Аномальні рівні низки. Автокореляція та тимчасовий лаг. Оцінка адекватності та точності трендових моделей.

курсова робота , доданий 26.12.2014


Автокореляційна функція тимчасового ряду темпів зростання виробництва деревоволокнистих плит Російської Федерації. Розрахунок значень сезонної компоненти в адитивній моделі та коефіцієнта автокореляції третього порядку за логарифмами рівнів ряду.

контрольна робота , доданий 15.11.2014


Етапи та проблеми економетричних досліджень. Параметри парної лінійної регресії. Оцінка тісноти зв'язку за допомогою показників кореляції та детермінації. Розрахунок коефіцієнтів автокореляції другого порядку для часового ряду витрат споживання.

контрольна робота , доданий 05.01.2011


Необхідність використання фіктивних змінних. Авторегресійні моделі: модель адаптивних очікувань та часткового коригування. Метод інструментальних змінних. Поліноміально розподілені лаги Алмон. Порівняння двох регресій. Суть методу Койка.

контрольна робота , доданий 28.07.2013


Економетричне моделювання вартості квартир у московській області. Матриця парних коефіцієнтів кореляції. Розрахунок параметрів лінійної парної регресії. Дослідження динаміки економічного показника з урахуванням аналізу одновимірного часового ряду.

контрольна робота , доданий 19.01.2011

При побудові економетричної моделі використовуються два типи даних:

• 1) дані, що характеризують сукупність різних об'єктів у певний момент часу;
• 2) дані, що характеризують один об'єкт за низку послідовних моментів часу.

Моделі, збудовані за даними першого типу, називаються просторовими моделями. Моделі, побудовані з урахуванням другого типу даних, називаються моделями часових рядів.

Тимчасовий ряд (ряд динаміки) - це сукупність значень будь-якого показника за кілька послідовних моментів чи періодів часу. Кожен рівень тимчасового ряду формується під впливом великої кількостіфакторів, які умовно можна поділити на три групи:

• 1) фактори, що формують тенденцію низки;
• 2) фактори, що формують циклічні коливання низки;
• 3) випадкові чинники.

Розглянемо вплив кожного фактора на часовий ряд окремо.

Більшість часових рядів економічних показниківмають тенденцію, що характеризує сукупний довготривалий вплив безлічі факторів на динаміку досліджуваного показника. Всі ці фактори, взяті окремо, можуть надавати різноспрямований вплив на досліджуваний показник. Однак у сукупності вони формують його зростаючу чи спадну тенденцію. На рис. 4.1 показаний гіпотетичний часовий ряд, що містить зростаючу тенденцію.

Також досліджуваний показник може бути схильний до циклічних коливань. Ці коливання можуть мати сезонний характер, оскільки економічна діяльність низки галузей економіки залежить від пори року (наприклад, ціни на сільськогосподарську продукцію в літній періодвище, ніж у зимовий; рівень безробіття в курортних містах у зимовий період вищий у порівнянні з літнім). За наявності великих масивів даних протягом тривалих проміжків часу можна виявити циклічні коливання, пов'язані з загальною динамікоюкон'юнктури ринку. На рис. 4.2 представлений гіпотетичний часовий ряд, що містить лише сезонну компоненту.

Деякі часові ряди не містять тенденції та циклічної компоненти, а кожен наступний їхній рівень утворюється як сума середнього рівня ряду та деякої (позитивної чи негативної) випадковий компоненты. Приклад ряду, що містить лише випадкову компоненту, наведено на рис. 4.3.

Очевидно, що реальні дані не випливають цілком і повністю з описаних вище моделей. Найчастіше вони містять усі три компоненти. Кожен їхній рівень формується під впливом тенденції, сезонних коливань та випадкової компоненти.

Найчастіше фактичний рівень часового ряду можна як суму чи твір трендової, циклічної і випадкової компонент. Модель, у якій часовий ряд представлений як сума перерахованих компонентів, називається адитивною моделлю часового ряду. Модель, у якій часовий ряд представлений як добуток перерахованих компонентів, називається мультиплікативною моделлю часового ряду. Основне завдання економетричного дослідження окремого часового ряду - виявлення та надання кількісного виразу кожної з перерахованих вище компонент для того, щоб використовувати отриману інформацію для прогнозування майбутніх значень ряду або при побудові моделей взаємозв'язку двох або більше часових рядів.

Більшість економетричних моделей будується як динамічні економетричні моделі. Це означає, що моделювання причинно-наслідкових зв'язків між змінними здійснюється у часі, а вихідні дані представлені у формі часових рядів.

Тимчасовий ряд х t (t=1; n) – ряд значень будь-якого показника за кілька послідовних проміжків часу.

Кожен часовий ряд х tскладається з наступних основних складових (компонентів):

1. Тенденції, що характеризує загальний напрямок динаміки явища, що вивчається. Аналітично тенденція виражається деякою функцією часу, яка називається трендом ( Т).
2. Циклічної чи періодичної складової, що характеризує циклічні чи періодичні коливання досліджуваного явища. Коливання є відхилення фактичних рівнів ряду від тренда. Обсяг продажів деяких товарів схильний до сезонних коливань. Сезонні коливання ( S) – періодичні коливання, які мають певний та постійний період рівний річному проміжку. Кон'юнктурні коливання (К) пов'язані з великими економічними циклами, період таких коливань – кілька років.
3. Випадковою складовою, яка є результатом впливу безлічі випадкових факторів ( Е).

Тоді рівень низки можна як функцію від цих складових (компонентів): =f(T, K, S, E).

Залежно від взаємозв'язку між складовими може бути побудована або адитивна модель: = T + K + S + E, або мультиплікативна модель: = T · K · S · E ряду динаміки.

Для визначення складу компонентів (структури часового ряду) у моделі часового ряду будують автокореляційну функцію.
Автокореляція – кореляційна зв'язок між послідовними рівнями однієї й тієї ж низки динаміки (зрушеними певний проміжок часу L - лаг). Тобто, автокореляція – це зв'язок між рядом: x 1 , x 2 , ... x n-lі поруч x 1+l , x 2+l , ...,x nде L - позитивне ціле число. Автокореляція може бути виміряна коефіцієнтом автокореляції:
,
де ,
– середній рівеньряду ( x 1+L , x 2+L ,...,x n),
середній рівень низки (x 1 , x 2 ,..., x n-L),
s t, s t-L– середні квадратичні відхиленнядля рядів ( x 1+L, x 2+L ,..., x n) та ( x 1 , x 2 ,..., x n-L) відповідно.

Лаг (зсув у часі) визначає порядок коефіцієнта автокореляції. Якщо L = 1, маємо коефіцієнт автокореляції 1-го порядку r t,t-1, якщо L=2, то коефіцієнт автокореляції другого порядку r t,t- 2 і т.д. Слід враховувати, що зі збільшенням лага на одиницю, число пар значень, якими розраховується коефіцієнт автокореляції зменшується на 1. Тому зазвичай рекомендують максимальний порядок коефіцієнта автокореляції рівний n /4.

Розрахувавши кілька коефіцієнтів автокореляції, можна визначити лаг (L), при якому автокореляція ( r t,t-L) найбільш висока, виявивши тим самим структуру часового ряду.

1. Якщо найвищим виявляється значення коефіцієнта автокореляції першого порядку r t,t- 1 , Досліджуваний ряд містить тільки тенденцію.
2. Якщо найвищим виявився коефіцієнт автокореляції r t,t-L порядку L , ряд містить коливання періодом L .
3. Якщо жоден із r t,t-L не є значущим, можна зробити одне з двох припущень:
   • або ряд не містить тенденції та циклічних коливань, а його рівень визначається лише випадковою компонентою;
   • або ряд містить сильну нелінійну тенденцію, виявлення якої необхідно провести додатковий аналіз.

Послідовність коефіцієнтів автокореляції 1, 2 тощо. порядків називають автокореляційною функцієютимчасового ряду. Графік залежності значень коефіцієнтів автокореляції від величини лага (порядку коефіцієнта автокореляції) називають корелограмою .

Для виявлення закономірних коливань усередині року під час виконання контрольної роботирекомендується розраховувати щонайменше 4-х рівнів коефіцієнтів автокореляції.
Розглянемо з прикладу як побудувати корелограмму, щоб визначається структуру часового ряду.
Нехай нам дані поквартальні дані про обсяг випуску деякого товару деякою фірмою – х(ум.од.) за 3 роки:

1993				1994				1995
1	2	3	4	1	2	3	4	1	2	3	4
410	560	715	500	520	740	975	670	705	950	1200	900

Щоб побудувати корелогораму для прикладу, вихідний ряд динаміки доповнимо рядами з рівнів цього ряду, зрушеними в часі (таблиця 6).
Таблиця 6

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
х t	-	560	715	500	520	740	975	670	705	950	1200	900	r t,t-1 =0,537
x t-1	-	410	560	715	500	520	740	975	670	705	950	1200
х t	-	-	715	500	520	740	975	670	705	950	1200	900	r t,t-2 =0,085
х t-2	-	-	410	560	715	500	520	740	975	670	705	950
х t	-	-	-	500	520	740	975	670	705	950	1200	900	r t,t-3 =0,445
х t-3	-	-	-	410	560	715	500	520	740	975	670	705
х t	-	-	-	-	520	740	975	670	705	950	1200	900	r t,t-4 =0,990
х t-4	-	-	-	-	410	560	715	500	520	740	975	670
х t	-	-	-	-	-	740	975	670	705	950	1200	900	r t,t-5 =0,294
х t-5	-	-	-	-	-	410	560	715	500	520	740	975

Розрахуємо коефіцієнти кореляції:
1-го порядку для рядів х tі х t-1,
2-ого порядку для рядів х tі х t -2 ,
3-го порядку для рядів х t і х t -3
4-ого порядку для рядів х t і х t -4,
5-ого порядку для рядів х t і х t -5

Результати розрахунків представлені у таблиці 7.
Таблиця 7

Лаг (порядок) – L	r t,t-L	Корелограма
1	0,537	****
2	0,085	*
3	0,445	***
4	0,990	*****
5	0,294	**

Висновок: у цьому ряду динаміки є тенденція (т.к. r t,t-1=0,537 →1) та періодичні коливання з періодом (L) рівним 4, тобто. мають місце сезонні коливання (т.к. r t,t-4=0,99 →1).

Побудова моделі часового ряду з сезонними коливаннями(Адитивна модель ).
Процес побудови моделі часового ряду ( х), що містить nрівнів деякого показника за Zроків, з L сезонними коливаннями включає наступні кроки:
1) У вирівнювання вихідного ряду методом ковзної середньої (х c). Зробимо вирівнювання вихідного ряду взятого з прикладу, розглянутого вище, методом ковзної середньої з періодом усереднення рівним 3. Результати представлені в таблиці 9 (стовпець 4).
2) Розрахунок значень сезонної складової Si, i = 1; L,де L- Число сезонів в році. Для прикладу L =4 (сезони - квартали).
Розрахунок значень сезонних складових здійснюється після усунення тенденції з вихідних рівнів низки: x-x c(Стовпець 5, таблиця 9). Для подальшого розрахунку S iзбудуємо окрему таблицю. Рядки цієї таблиці відповідають сезонам, стовпці - рокам. У тілі таблиці є значення: x -x c. За цими даними розраховуються середні оцінки сезонних складових кожного рядка ( S c i). Якщо сума всіх середніх оцінок дорівнює нулю (), то дані середні і будуть остаточними значеннями сезонних складових ( S i = S c i). Якщо їх сума не дорівнює нулю, то розраховуються скориговані значення сезонних складових відніманням з середньої оцінкивеличини, що дорівнює відношенню суми середніх оцінок до них загальному числу (). Для нашого прикладу розрахунок значень S iпредставлений у таблиці 8.
Таблиця 8

Номер сезону	Рік 1	Рік 2	Рік 3	Середня оцінка сезонної складової	Коригована оцінка сезонної складової S i
1	-	-66,67	-70,00	-68,33	-67,15
2	-1,67	-5,00	-1,67	-2,78	-1,60
3	123,33	180 ,00	183,33	162,22	163,40
4	-78,33	-113,33	-	-95,83	-94,66
Разом				-4, 72	0

3) Усунення впливу сезонної складової з вихідного ряду динаміки: x S = x-S i. Результати розрахунку x Sдля нашого прикладу представлені у стовпці 6 таблиці 9.
4) Аналітичне вирівнювання рівнів x S(Побудова тренду): .
Розрахунок параметрів при аналітичному вирівнюванні найчастіше провадиться за допомогою методу найменших квадратів (МНК). При цьому пошук параметрів для лінійного рівняння тренда можна спростити, якщо відлік часу робити так, щоб сума показників часу досліджуваного ряду динаміки дорівнювала нулю. Для цього вводиться нова умовна змінна часу t y , така, що t y = 0. Рівняння тренду при цьому буде наступним: .
При непарному числі рівнів ряду динаміки для отримання ? даному рівнюприсвоюється нульове значення). Дати часу, розташовані ліворуч від цього рівня, позначаються натуральними числамизі знаком мінус (-1 –2 –3 ...), а дати часу, розташовані правіше за цей рівень – натуральними числами зі знаком плюс (1 2 3 ...).
Якщо число рівнів ряду парне, періоди часу лівої половини ряду (до середини) нумеруються -1, -3, -5 і т.д. А періоди правої половини – +1, +3, +5 і.т.д. При цьому t y дорівнюватиме 0.
Система нормальних рівнянь(Відповідних МНК) перетворюється на вид:

Звідси параметри рівняння розраховуються за формулами:
.
Інтерпретація параметрів лінійного рівняння тренду :
- Рівень ряду за період часу t у =0;
- Середній абсолютний приріст рівня низки за одиничний проміжок часу.
У прикладі парне число рівнів ряду: n=12. Отже, умовна змінна часу для 6-го елемента ряду дорівнюватиме –1, а для 7-го +1. Значення змінної i y містяться у другому стовпці таблиці 9.
Параметри лінійного тренду: =14257,5/572=24,93; = 8845/12 = 737,08. Це означає, що з кожним кварталом обсяг випуску товару в середньому зростає на 2∙28,7 ум.од. А середній за період з 1993 по 1995 рр. обсяг випуску становив 738,75 ум.од.
Розрахуємо значення трендової компоненти за формулою (Стовпець 7 таблиці 9).
5) Облік сезонної складової у вирівняних рівнях ряду (=T+S). Результати розрахунку нашого прикладу представлені в стовпці 8 таблиці 9.
6) Розрахунок абсолютної помилки тимчасового ряду ( Е = x-) здійснюється для оцінки якості отриманої моделі. Результати розрахунку нашого прикладу представлені в стовпці 9 таблиці 9.
Таблиця 9

T	t у	x	x c	x-x c	x s		T		E
1	2	3	4	5	6		7	8	9
1	-11	410	-	-		477,15	462,9 0	395,75	14,25
2	-9	560	561,67	-1,67		561,60	512,75	511,15	48,85
3	-7	715	591,67	123,33		551,60	562,60	726,00	-11,01
4	-5	500	578,33	-78,33		594,65	612,45	517,80	-17,80
5	-3	520	586,67	-66,67		587,15	662,31	595,15	-75,15
6	-1	740	745 ,00	-5 ,00		741,60	712,16	710,56	29,44
7	1	975	795 ,00	180 ,00		811,60	762,00	925,41	49,59
8	3	670	783,33	-113,33		764,65	811,86	717,21	-47,21
9	5	705	775 ,00	-70 ,00		772,15	861,71	794,56	-89,56
10	7	950	951,67	-1,67		951,60	911,56	909,97	40,03
11	9	1200	1016,67	183,33		1036, 60	961,41	1124,82	75,18
12	11	900	-	-		994,65	1011,27	916,61	-16,61
Разом		8845				8845 ,00	8845 ,00	8845 ,00	16,61

Значення параметрів лінійного рівняння тренду ( Т) визначається на основі t-критерія Стьюдента як і в лінійному парному регресійному аналізі.

Прогнозування за адитивною моделлю .
Нехай потрібно дати прогноз рівня часового ряду на період ( n+1). Точковий прогноз значення рівня часового ряду х n+1в адитивній моделі є сума трендової компоненти та сезонної компоненти (відповідної iсезону прогнозу): =T n+1 +S i .
Для побудови довірчого інтервалупрогнозу потрібно розрахувати середню помилкупрогнозу:
m р = ,
де h- Число параметрів у рівнянні тренду;
t yp- Значення умовної змінної часу для періоду прогнозування.
Потім розрахуємо граничну помилкупрогнозу: D р = t a· m р,
де t a- Коефіцієнт довіри, що визначається за таблицями Стьюдента за рівнем значущості α і числу ступенів свободи рівним ( n-h).
Остаточно отримаємо: (-D р; + D р).