Послідовність задана рекурентною формулою xn 2. Властивості числових послідовностей

Вида y= f(x), xПро N, де N- безліч натуральних чисел(або функція натурального аргументу), позначається y=f(n) або y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Значення y 1 ,y 2 ,y 3 ,… називають відповідно першим, другим, третім, … членами послідовності.

Наприклад, для функції y= n 2 можна записати:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Способи завдання послідовностей.Послідовності можна задавати у різний спосіб, Серед яких особливо важливі три: аналітичний, описовий та рекурентний.

1. Послідовність задана аналітично, якщо задана її формула n-го члена:

y n=f(n).

приклад. y n= 2n – 1 – послідовність непарних чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Описовий Метод завдання числової послідовності полягає в тому, що пояснюється, з яких елементів будується послідовність.

Приклад 1. "Усі члени послідовності дорівнюють 1". Це означає, мова йдепро стаціонарну послідовність 1, 1, 1, …, 1, ….

Приклад 2. «Послідовність складається з усіх простих чиселв порядку збільшення". Таким чином, задана послідовність 2, 3, 5, 7, 11, …. При такому способі завдання послідовності даному прикладіважко відповісти, чому дорівнює, скажімо, 1000 елемент послідовності.

3. Рекурентний спосіб завдання послідовності полягає в тому, що вказується правило, що дозволяє обчислити n-й член послідовності, якщо відомі попередні члени. Назва рекурентний спосіб походить від латинського слова recurrere- Повертатися. Найчастіше в таких випадках вказують формулу, що дозволяє виразити n-й член послідовності через попередні, і задають 1-2 початкових членапослідовності.

приклад 1. y 1 = 3; y n = y n-1 + 4, якщо n = 2, 3, 4,….

Тут y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Можна бачити, що отриману у цьому прикладі послідовність може бути задана і аналітично: y n= 4n – 1.

приклад 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 , якщо n = 3, 4,….

Тут: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Послідовність, складену в цьому прикладі, спеціально вивчають у математиці, оскільки вона має низку цікавих властивостей та додатків. Її називають послідовністю Фібоначчі - на ім'я італійського математика 13 ст. Задати послідовність Фібоначчі рекурентно дуже легко, а аналітично – дуже важко. n-е число Фібоначчі виражається через його порядковий номернаступною формулою.

На перший погляд, формула для n-го числа Фібоначчі здається неправдоподібною, так як у формулі, що задає послідовність одних лише натуральних чисел, містяться квадратне коріння, але можна перевірити «вручну» справедливість цієї формули для кількох перших n.

Властивості числових послідовностей.

Числова послідовність – окремий випадок числової функціїтому ряд властивостей функцій розглядаються і для послідовностей.

Визначення . Послідовність ( y n} називають зростаючою, якщо кожен її член (крім першого) більший за попередній:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Визначення. Послідовність ( y n} називають спадною, якщо кожен її член (крім першого) менший за попередній:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .

Зростаючі та спадні послідовності поєднують загальним терміном – монотонні послідовності.

приклад 1. y 1 = 1; y n= n 2 – зростаюча послідовність.

Таким чином, вірна наступна теорема (характеристичне властивість арифметичної прогресії). Числова послідовність є арифметичною тоді і лише тоді, коли кожен її член, крім першого (і останнього у разі кінцевої послідовності), дорівнює середньому арифметичному попереднього та наступного членів.

приклад. При якому значенні xчисла 3 x + 2, 5x– 4 та 11 x+ 12 утворюють кінцеву арифметичну прогресію?

Згідно характеристичної властивості, задані висловлювання повинні задовольняти співвідношення

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Вирішення цього рівняння дає x= –5,5. При цьому значення xзадані вирази 3 x + 2, 5x– 4 та 11 x+ 12 приймають, відповідно, значення -14,5, –31,5, –48,5. Це – арифметична прогресія, її різниця дорівнює –17.

Геометрична прогресія.

Числову послідовність, всі члени якої відмінні від нуля і кожен член якої, починаючи з другого, виходить з попереднього члена множенням на одне й те число q, називають геометричною прогресією, а число q– знаменником геометричної прогресії.

Таким чином, геометрична прогресія – це числова послідовність ( b n), задана рекурентно співвідношеннями

b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(bі q –задані числа, b ≠ 0, q ≠ 0).

Приклад 1. 2, 6, 18, 54, ... - Зростаюча геометрична прогресія b = 2, q = 3.

Приклад 2. 2, -2, 2, -2, … – геометрична прогресія b= 2,q= –1.

Приклад 3. 8, 8, 8, 8, … – геометрична прогресія b= 8, q= 1.

Геометрична прогресія є зростаючою послідовністю, якщо b 1 > 0, q> 1, і спадної, якщо b 1 > 0, 0 q

Одне з очевидних властивостей геометричної прогресії у тому, що й послідовність є геометричної прогресією, те й послідовність квадратів, тобто.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2, ... є геометричною прогресією, перший член якої дорівнює b 1 2 , а знаменник – q 2 .

Формула n-го члена геометричної прогресії має вигляд

b n= b 1 q n– 1 .

Можна одержати формулу суми членів кінцевої геометричної прогресії.

Нехай дана кінцева геометрична прогресія

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

нехай S n –сума її членів, тобто.

S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

Приймається, що q№ 1. Для визначення S nзастосовується штучний прийом: виконуються деякі геометричні перетвореннявирази S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .

Таким чином, S n q= S n +b n q – b 1 і, отже,

Це формула з умми n членів геометричної прогресіїдля випадку, коли q≠ 1.

При q= 1 формулу можна виводити окремо, очевидно, що у разі S n= a 1 n.

Геометрична прогресія названа тому, що в ній кожен член крім першого, дорівнює середньому геометричному попереднього і наступного членів. Справді, оскільки

b n = b n- 1 q;

b n = b n+ 1 /q,

отже, b n 2= b n- 1 b n+ 1 і вірна наступна теорема (характеристичне властивість геометричної прогресії):

числова послідовність є геометричною прогресією тоді і лише тоді, коли квадрат кожного її члена, крім першого (і останнього у разі кінцевої послідовності), дорівнює творупопереднього та наступного членів.

Межа послідовності.

Нехай є послідовність ( c n} = {1/n}. Цю послідовність називають гармонійною, оскільки кожен її член, починаючи з другого, є середнім гармонійним між попереднім і наступним членами. Середнє геометричних чисел aі bє число

В іншому випадку послідовність називається розбіжною.

Спираючись на це визначення, можна, наприклад, довести наявність межі A = 0у гармонійної послідовності ( c n} = {1/n). Нехай ε – скільки завгодно мале додатне число. Розглядається різниця

Чи існує таке N, що для всіх n ≥ Nвиконується нерівність 1 /N? Якщо взяти як Nбудь-яке натуральне число, що перевищує 1/ε , то для всіх n ≥ Nвиконується нерівність 1 /n ≤ 1/N ε , що і потрібно було довести.

Довести наявність межі в тій чи іншій послідовності іноді дуже складно. Найпоширеніші послідовності добре вивчені і наводяться в довідниках. Є важливі теореми, дозволяють зробити висновок наявність межі в даної послідовності (і навіть обчислити його), спираючись на вже вивчені послідовності.

Теорема 1. Якщо послідовність має межу, вона обмежена.

Теорема 2. Якщо послідовність монотонна і обмежена, вона має межу.

Теорема 3. Якщо послідовність ( a n} має межу A, то послідовності ( ca n}, {a n+ с) та (| a n|} мають межі cA, A +c, |A| відповідно (тут c- Довільне число).

Теорема 4. Якщо послідовності ( a n} і ( b n) мають межі, рівні Aі B pa n + qb n) має межу pA+ qB.

Теорема 5. Якщо послідовності ( a n) та ( b n)мають межі, рівні Aі Bвідповідно, то послідовність ( a n b n) має межу AB.

Теорема 6. Якщо послідовності ( a n} і ( b n) мають межі, рівні Aі Bвідповідно, і, крім того, b n ≠ 0 та B ≠ 0, то послідовність ( a n / b n) має межу A/B.

Ганна Чугайнова

Цілі уроку:

формування уявлення про числову послідовність як функції з натуральним аргументом;
формування знань про засоби завдання числових послідовностей, умінь знаходити члени послідовності за запропонованою формулою, а також умінь знаходити саму формулу, що задає послідовність;
розвиток умінь застосовувати раніше вивчений матеріал;
розвиток умінь аналізувати, порівнювати, узагальнювати;
виховання умінь працювати у парі, оцінювати себе.

Устаткування: кодоскоп, набір прозорих плівок із завданнями, роздатковий матеріал, плакат із способами завдання послідовностей.

Хід уроку

1. Організаційний момент.

2. Підготовка до нових знань.

Учням пропонується усно вирішити 2 завдання:

Завдання №1: На складі є 500 т вугілля, щодня підвозять по 30 т. Скільки вугілля на складі буде в 1 день? 2 день? 3 день? 4 день? 5 день?

Завдання № 2: При вільному падіннітіло проходить у першу секунду 4,9 м, і кожної наступної на 9,8 м більше. Яка відстань буде пройдено тілом, що падає, за 1 сек? 2 сек? 3 сек? 4 сек? 5 сек?

Відповіді учнів записуються на дошці: Зад.1: 500; 530; 560; 590; 620

Зад.2: 4,9; 14,7; 24,5; 34,3; 44,1

Задаються питання до завдань:

Завдання 1: Скільки вугілля буде на складі на 35 днів?

до задачі 2: Яка відстань буде пройдено тілом за 35 сек?

Для вирішення поставлених проблем розглядаємо відповіді до завдань як послідовність чисел, тобто числові послідовності.

Ставиться мета уроку: Знайти способи знаходження будь-якого члена послідовності.

Завдання уроку: З'ясувати, що таке числова послідовність та як задаються послідовності.

Записується тема уроку

3. Вивчення нового матеріалу.

1. Введення визначення числової послідовності.

Вводяться позначення: y 1 ,y 2 ,y 3 ,y 4 ,y 5 ,...- Члени послідовності; 1,2,3,4,5, - порядковий номер члена послідовності; ( y 2) – сама числова послідовність

У результаті розмови визначаємо поняття числової послідовності.

Навідуючі питання: Знаючи номер члена послідовності, можемо знайти сам член послідовності? А навпаки? Як називаються такі залежності? Який аргумент? Яке значення функції? Яка область визначення?

Учні записують визначення: Числова послідовність – це функція, задана на множині натуральних чисел.

Усно вирішуємо завдання:

Визначте, чи вказана нижче відповідність послідовністю:

а) кожному натуральному числу ставиться у відповідність його квадрат;
б) кожному натуральному числу ставиться у відповідність число 7;
в) кожному натуральному парному числу ставиться у відповідність його куб, а кожному натуральному числу, кратному 4 - 9.

2. Визначте, чи задана функція числовою послідовністю: (формули записуються на дошці)

а) y=2x-1, xI (0;+?)б)

в) y=2x-1, xI Zг) ?

Висновок: (формулюється разом із дітьми) Що головне у визначенні?

Числова послідовність 1) функція 2) її область визначення - множина N.

2. Визначення способів завдання послідовностей.

Нагадується, що функція вважається заданою, якщо визначено правило, за яким будь-якому аргументу ставиться у відповідність значення функції.

Спільно формулюється (а потім записується) умова завдання числової послідовності: Числова послідовність вважається заданою, якщо зазначений спосіб, що дозволяє знайти член послідовності будь-якого номера.

У ході бесіди згадуємо способи завдання функцій (словесний, графічний, формулою (повідомляється, що він називається аналітичний)), їхня суть.

На дошку вивішується схема:

А) Словесний метод. На дошці утворюється суть методу. Учні записують назву способу та її суть у таблицю №1.

Таблиця №1 Способи завдання числової послідовності:

Спосіб
приклад

Описати словами спосіб отримання кожного члена послідовності або задати кілька перших членів послідовності.

У таблицю №1 записуються словесні завдання двох послідовностей:

Послідовність 1. ( y n) - Послідовність натуральних чисел, кратних 3.

Послідовність 2. ( y n) – послідовність парних натуральних чисел.

Завдання: Записати перші 5 членів послідовності. (Навідні питання: що таке кратні 3, які числа вважаються парними). (викликаються до дошки 2 учні)

Наведіть приклади (усно).

Б) Графічний спосіб.

Побудувати безліч точок (n; y n)

Завдання: Задати графічно Послідовність 1 та 2 (два учні на дошці на готовій координатній площині, решта у таблиці №1)

В) Аналітичний спосіб . На дошці утворюється суть методу. Учні записують назву способу та її суть у таблицю №1.

Вказати формулу n-го члена послідовності.

Завдання: 1. Послідовність задана формулою: . Запишіть перші 5 членів послідовності. (По одному учневі біля дошки з повним поясненням, решта зошита)

2. Задайте формулу n-го члена Послідовності 1 і 2 (Промовляємо усно, записують до таблиці №1)

Г) Рекурентний метод.

3. Задайте формулу n-го члена послідовності …, 74, 81, 88, 95, 102, …

А чи можна знайти наступний член послідовності? А далі? (Навідне питання як з 74 отримати 81, з 81 отримати 88)

Висновок: Якщо знатимемо n-1член послідовності, то можна буде знайти і n-ний.

Такий спосіб завдання послідовності називається рекурентним. (До схеми на дошці додається запис рекурентний)

У нашому прикладі y n = y n-1 + 7

Яких даних нам для цього не вистачає? А якщо послідовність задана формулою

y n = y n-1 + y n-2?

Висновок: Для рекурентного завдання послідовності необхідно:

1) знати один або два перші члени послідовності
2) вказати правило для обчислення наступних членів послідовності

На дошці утворюється суть методу. Учні записують назву способу та її суть у таблицю №1.

Виразити кожен член послідовності, починаючи з 2 (або 3) через попередні.

Завдання: 1. Послідовність задана рекурентно y 1 = 2,y n =5y n-1Вкажіть перші 5 членів послідовності. (По одному учневі біля дошки з повним поясненням, решта зошита)

2. Задайте рекурентно Послідовності 1 і 2 (промовляємо усно, записують до таблиці №1)

Проміжний підсумок: Ми отримали 4 способи завдання числових послідовностей. Вони представлені на дошці та таблиці №1. Найбільш цінними для вирішення практичних завдань є 2 останні способи: аналітичний та рекурентний. І ми зараз попрацюємо із цими способами.

4. Первинне осмислення та закріплення матеріалу

Інструкція:Перед Вами таблиці 2 та 3.

Таблиця №2: Аналітичний спосіб Завдання:Заповнити таблицю

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5
	x 1 =	x 4 =

Таблиця №3: Рекурентний спосіб Завдання:Заповнити таблицю

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5	х 1, х 2, х n
		x 1 =	x 4 =

У таблиці представлений аналітичний метод, у таблиці 3 – рекурентний. Завдання в 1 та 2 рядках цих таблиць: за даними формулами задати перші 5 членів послідовності. Завдання в 3 і 4 рядках цих таблиць: за першими членами послідовності поставити відповідну формулу.

Це завдання вже не тривіальне, воно потребує певної кмітливості.

Над завданнями учні працюють у парах.

Першим парам, які виконали завдання, лунають прозорі плівки із завданням, куди вони вписують свої відповіді.

Перевіряються рішення з допомогою кодоскопа.

5. Первинний контроль засвоєння знань(Самостійна робота з подальшою самоперевіркою)

Інструкція: Візьміть аркуші із таблицею №5.

Таблиця № 5: Самостійна робота Завдання:Заповнити таблицю

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5	Аналітичний спосіб	Рекурентний спосіб
			x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 =
			x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 =
500; 530; 560; 590; 620; …
4,9; 14,7; 24,5; 34,3; …

Критерії оцінки: 4 "+" оцінка "5"; 3 "+" оцінка "4"; 2 «+» оцінка «3»

Підпишіть їх. Завдання в 1 та 2 рядках цих таблиць: за даними формулами задати перші 5 членів послідовності. Завдання в 3 і 4 рядках цих таблиць: за першими членами послідовності поставити відповідну формулу.

Завдання виконуються самостійно. Після виконання, перевіряємо рішення.

Перевіряються рішення за допомогою кодоскопа (відповіді записані заздалегідь).

Інструкція з перевірки та оцінювання: Перед Вами відповіді до завдань. Порівняйте їх із Вашими результатами. Якщо правильно, то поставте "+", якщо ні, то "-". Потім порахуйте кількість «+» та поставте собі позначку відповідно до тих критеріїв, які у Вас записані під таблицею. Якщо Ви хочете, щоб отримана позначка була виставлена в журнал, то в дужках, поряд із оцінкою, запишіть «в журнал».

6. Підбиття підсумків уроку

Звертається увага останні 2 сточки в таблице5. Це послідовність завдань початку уроку. Нагадуються питання завдань. Знаходимо відповідь на поставлені проблеми (питаються 2 учні).

Фронтальним опитуванням разом із учнями робляться висновки уроку:

Що таке послідовність
Які існують способи завдання послідовностей? У чому їхня суть?
Який із способів дозволяє визначити член послідовності знаючи лише його номер?
Де застосовуються знання про числові послідовності?

Таблиця № 4: Додаткове завдання:Заповнити таблицю

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5	Аналітичний спосіб
		x 1 =	x 4 =

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5	Рекурентний спосіб
		x 1 =	x 4 =

Рекурентна послідовність. З курсу математики відоме поняття рекурентної послідовності. Це вводиться так: нехай відомо k чисел a1, ..., аk. Ці числа є першими числами числової послідовності. Наступні елементи даної послідовності обчислюються так:

Тут F-функція від k аргументів. Формула виду

називається рекурентною формулою. Розмір k називається глибиною рекурсії.

Інакше кажучи, можна сказати, що рекурентна послідовність - це нескінченний ряд чисел, кожне з яких, крім k початкових, виражається через попередні.

Прикладами рекурентних послідовностей є арифметична (1) та геометрична (2) прогресії:

Рекурентна формула для зазначеної арифметичної прогресії:

Рекурентна формула для даної геометричної прогресії:

Глибина рекурсії в обох випадках дорівнює одиниці (таку залежність ще називають однокроковою рекурсією). У цілому нині рекурентна послідовність описується сукупністю початкових значеньта рекурентної формули. Все це можна об'єднати в одну розгалужену формулу. Для арифметичної прогресії:

Для геометричної прогресії:

Наступна числова послідовність відома в математиці під назвою чисел Фібоначчі:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...

Починаючи з третього елемента кожне число дорівнює сумі значень двох попередніх, тобто це рекурентна послідовність з рівною глибиною 2 (двокрокова рекурсія). Опишемо її в розгалуженій формі:

Введення уявлення про рекурентні послідовності дозволяє по-новому подивитись деякі вже відомі нам завдання. Наприклад, факторіал цілого числа п! можна розглядати як значення n-го елемента наступного ряду чисел:

Рекурентний опис такої послідовності виглядає так:

Програмування обчислень рекурентних послідовностей. З рекурентними послідовностями пов'язані такі завдання:

1) обчислити заданий (n-й) елемент послідовності;

2) математично обробити певну частину послідовності (наприклад, обчислити суму чи добуток перших n членів);

4) визначити номер першого елемента, що задовольняє певну умову;

Даний перелік завдань не претендує на повноту, але найпоширеніші типи він охоплює. У перших чотирьох завданнях не потрібно одночасно зберігати в пам'яті безліч елементів числового ряду. У такому разі його елементи можуть виходити послідовно в одній змінній, змінюючи один одного.

Приклад 1. Обчислити n елемент арифметичної прогресії (1).

Var M,I: 0..Maxint;

For I: =2 To N Do

WriteLn("A(",N:l,")=",A:6:0)

Рекурентна формула ai = ai-1 + 2 перейшла до оператора А: = А + 2.

Приклад 2. Підсумувати перші п елементів геометричної прогресії (2) (не користуючись формулою суми перших n членів прогресії).

Var N,1: 0.. Maxint;

Write("N="); ReadLn(N);

For I: =2 To N Do

WriteLn("Сума дорівнює",S:6:0)

При обчисленні рекурентної послідовності з глибиною 2 не можна обійтися однієї змінної. Це видно з такого прикладу.

Приклад 3. Вивести на друк перші п (п 3) чисел Фібоначчі. Підрахувати, скільки серед них парних чисел.

Var N,I,K,F,F1,F2: 0..Maxint;

WriteLn("F(l)=",Fl,"F(2)=",F2);

For I:=3 To N Do

WriteLn("F(",I:l,")=",F);

If Not Odd(F) Then K:=K+1;

WriteLn("Кількість парних чисел у послідовності дорівнює",К)

Знадобилися три змінні для послідовного обчислення двокрокової рекурсії, оскільки знаходження чергового елемента необхідно пам'ятати значення двох попередніх.

Приклад 4. Для заданого речовинного х та малої величини ε (наприклад, ε = 0,000001) обчислити суму ряду

включивши до неї лише доданки, що перевищують ε. Відомо, що сума такого нескінченного ряду має кінцеве значення, що дорівнює еx, де е = 2,71828... - основа натурального логарифму. Оскільки елементи цього ряду є спадною послідовністю чисел, що прагне до нуля, то підсумовування потрібно проводити до першого доданку, по абсолютної величинине перевищує ε.

Якщо доданки у цьому виразі позначити так:

то узагальнена формула для i-го елемента буде такою:

Неважко побачити, що між елементами даної послідовності є рекурентна залежність. Її можна знайти інтуїтивно, але можна вивести формально. Щоправда, цього потрібно здогадатися, що рекурсія - однокрокова, і кожен наступний елемент виходить шляхом множення попереднього деякий множник, тобто.

Використовуючи узагальнену формулу, маємо:

Дійсно:

Отже, дана рекурентна послідовність може бути описана таким чином:

І нарешті, наведемо програму, яка вирішує поставлене завдання.

Var A, X, S, Eps: Real;

Write("X ="); ReadLn(X);

Write("Epsilon ="); ReadLn(Eps);

A:=l; S:=0; I:=0;

While Abs(A)>Eps Do

WriteLn("Сума ряду дорівнює", S:10:4)

Як і раніше, значення однокрокової рекурентної послідовності обчислюються в одній змінній.

Кожне повторне виконання циклу у цій програмі наближає значення S до шуканого (уточнює значні цифри його записи). Такий обчислювальний процес у математиці називається ітераційним процесом. Відповідно, цикли, що реалізують ітераційний обчислювальний процес, називаються ітераційними циклами. Для їхньої організації використовуються оператори While або Repeat.

Приклад 5. Для заданого натурального N та речового х (х > 0) обчислити значення виразу:

І тут рекурентність менш очевидна. Спробуємо визначити її шляхом індукції. Вважатимемо, що шуканий вираз є N-й елементпослідовності наступного виду:

Звідси видно зв'язок:

Тепер поставлене завдання вирішується дуже просто:

Var A, X: Real; I,N: Integer;

Write("X="); ReadLn(X);

Write("N="); ReadLn(N);

For I:=2 To N Do

WriteLn("Відповідь:",А)

До вирішення всіх перерахованих вище завдань можна підійти інакше.

Згадаймо про рекурсивно певні підпрограми. Подивіться на опис арифметичної прогресії у формі рекурентної послідовності. З нього безпосередньо випливає спосіб визначення функції обчислення заданого елемента прогресії.

Зробимо це для загального випадку, визначивши арифметичну прогресію з першим членом а0 та різницею d:

Відповідна підпрограма-функція виглядає так:

Function Progres(АТ, D: Real; I: Integer): Real;

Then Progres:=AO

Else Progres: = Progres (A0, D, I-1) + D

Наступна програма виводить на екран перші 20 чисел Фібоначчі, значення яких обчислює рекурсивна функція Fibon.

Function Fibon(N: Integer): Integer;

If (N=1) Or (N=2)

Else Fibon:=Fibon(N-1)+Fibon(N-2)

For K:=l To 20 Do WriteLn(Fibon(K))

Слід зазначити, що використання рекурсивних функцій веде до уповільнення рахунки. Крім того, можна зіткнутися із проблемою нестачі довжини стека, в якому запам'ятовується «маршрут» рекурсивних звернень.

Рекурентні послідовності часто використовуються для вирішення різного родуеволюційних завдань, тобто. завдань, у яких простежується якийсь процес, що розвивається у часі. Розглянемо таке завдання.

Приклад 6. Під час лікувального голодування маса пацієнта за 30 днів знизилася з 96 до 70 кг. Було встановлено, що щоденні втрати маси пропорційні масі тіла. Обчислити, чому дорівнювала маса пацієнта через k днів після початку голодування для k = 1, 2, ..., 29.

Позначимо масу пацієнта в І-й деньчерез рi (i = 0, 1, 2, ..., 30). З умов завдання відомо, що р0 = 96 кг, p30 = 70 кг.

Нехай К-коефіцієнт пропорційності зменшення маси за один день. Тоді

Отримуємо послідовність, що описується наступною рекурентною формулою:

Однак нам невідомий коефіцієнт К. Його можна знайти, використовуючи умову p30 = 70.

Для цього робитимемо зворотні підстановки:

Var I: Byte; P, Q: Real;

Q:=Exp(l/30*Ln(70/96));

For I:=l To 29 Do

WriteLn(I,"-й день-",Р:5:3,"кг")